La întrebarea 1. Dați o definiție a dreptelor paralele. Ce două segmente de dreaptă se numesc paralele? dat de autor Sasha Nizhevyasov cel mai bun răspuns este care în plan nu se va intersecta niciodată

Răspuns de la adaptabilitate[guru]
Liniile paralele sunt drepte care se află în același plan și fie coincid, fie nu se intersectează.

Răspuns de la Naumenko[guru]
segmente. aparținând dreptelor paralele. sunt paralele.
linii drepte pe planul numit. paralel. dacă nu se intersectează sau coincid.

Răspuns de la Neurolog[incepator]
Două drepte care se află în același plan și nu au un punct comun se numesc paralele.

Răspuns de la Arunca[maestru]

Răspuns de la Varvara Lamekina[incepator]
se spune că două drepte dintr-un plan sunt paralele dacă nu se intersectează)

Răspuns de la Maxim Ivanov[incepator]
Care nu se intersectează în plan.

Răspuns de la Sem2805[activ]
două drepte dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează (gradul 7)

Răspuns de la Sasha Klyuchnikov[incepator]
Drepte paralele în geometria euclidiană, drepte care se află în același plan și nu se intersectează. În geometria absolută, printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece cel puțin o dreaptă care nu intersectează dreapta dată. În geometria euclidiană, există o singură astfel de linie. Acest fapt este echivalent cu al cincilea postulat al lui Euclid (despre paralel). În geometria Lobachevsky (vezi geometria Lobachevsky) în planul prin punctul C (vezi figura) în afara dreptei date AB există o mulțime infinită de drepte care nu se intersectează cu AB. Dintre acestea, doar două sunt numite paralele cu AB. Linia CE se numește paralelă cu dreapta AB în direcția de la A la B dacă: 1) punctele B și E se află de aceeași parte a dreptei AC; 2) linia CE nu intersectează linia AB; orice rază care trece în interiorul unghiului ACE intersectează raza AB. Linia dreaptă CF paralelă cu AB pe direcția de la B la A este definită în mod similar.

Răspuns de la Anatoly Mishin[incepator]
Două drepte din spațiu se numesc paralele dacă se află în același plan și nu se intersectează.

Răspuns de la Ўliya[activ]
Liniile paralele sunt linii care nu se intersectează

Răspuns de la spuse Charakov[incepator]
Paralele sunt două drepte care se află în același plan și nu au puncte comune.
Printr-un punct, o singură dreaptă poate fi trasată paralelă cu un plan dat.

Răspuns de la Olga Nemtyreva[incepator]
Liniile paralele sunt drepte care se află în același plan și fie coincid, fie nu se intersectează. ..Geometria Lobachevsky) în planul prin punctul C (vezi fig.) în afara dreptei date AB trece o mulţime infinită de drepte care nu se intersectează cu AB. Dintre acestea, doar două sunt numite paralele cu AB.

Răspuns de la Oksana Tyshchenko[incepator]
Liniile paralele sunt două drepte dintr-un plan care nu se intersectează. Două segmente de dreaptă se numesc paralele dacă se află pe drepte paralele.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Acest articol este despre linii paralele și despre linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele în plan și în spațiu, este introdusă notația, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt analizate semnele și condițiile de paralelism ale dreptelor. În concluzie, sunt prezentate soluții pentru probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de unele ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.

Navigare în pagină.

Linii paralele - informații de bază.

Definiție.

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu au puncte comune.

Definiție.

Se numesc două linii în trei dimensiuni paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci sunt oblice.

Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Căile ferate pe teren plan pot fi, de asemenea, considerate linii paralele.

Simbolul „” este folosit pentru a desemna linii paralele. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci puteți scrie pe scurt a b.

Rețineți că dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.

Să exprimăm o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele în plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi demonstrată cu ușurință folosind axioma de mai sus a dreptelor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie clasa 10-11, care este enumerată la sfârșitul articolului în bibliografie).

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se demonstrează cu ușurință folosind axioma dreptelor paralele prezentată mai sus.

Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.

Un semn de linii paralele este o condiție suficientă pentru liniile paralele, adică o astfel de condiție, a cărei îndeplinire garantează linii paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a afirma faptul că liniile sunt paralele.

Există, de asemenea, condiții necesare și suficiente pentru liniile paralele în plan și în spațiul tridimensional.

Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.

Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Și care este „condiția necesară pentru linii paralele”? Prin denumirea de „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru liniile paralele, atunci liniile nu sunt paralele. În acest fel, condiție necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn al liniilor paralele și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.

Înainte de a afirma condiția necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele, este util să amintim câteva definiții auxiliare.

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte non-coincidente date.

La intersecția a două linii ale unei secante se formează opt nedesfășurate. Asa numitul culcat în cruce, corespunzătorși colțuri unilaterale. Să le arătăm pe desen.

Teorema.

Dacă două drepte pe un plan sunt încrucișate de o secantă, atunci pentru paralelismul lor este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade. .

Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru drepte paralele în plan.

Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru linii paralele în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.

Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.

Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul liniilor.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici rezultă din axioma dreptelor paralele.

Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.

Teorema.

Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici este luată în considerare la lecțiile de geometrie din clasa a 10-a.

Să ilustrăm teoremele vocale.

Să mai dăm o teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor în plan.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.

Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.

Toate teoremele formulate mai sus, semnele și condițiile necesare și suficiente sunt perfect potrivite pentru demonstrarea paralelismului dreptelor prin metode de geometrie. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, este necesar să se arate că acestea sunt paralele cu a treia dreaptă sau să se arate egalitatea unghiurilor încrucișate etc. Multe dintre aceste probleme sunt rezolvate la orele de geometrie din liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că în multe cazuri este convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

În această secțiune a articolului, vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care determină aceste drepte, și vom oferi și soluții detaliate la probleme tipice.

Să începem cu condiția de paralelism a două drepte pe plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy . Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al dreptei și definiția vectorului normal al dreptei pe plan.

Teorema.

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul de direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.

Evident, condiția de paralelism a două drepte în plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua linii). Astfel, dacă și sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b și și sunt vectorii normali ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci condiția necesară și suficientă pentru liniile paralele a și b poate fi scrisă ca , sau , sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele vectorilor de direcție și (sau) normali ai dreptelor a și b se găsesc din ecuațiile cunoscute ale dreptelor.

În special, dacă linia a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește ecuația generală a dreptei de forma , iar linia dreaptă b - , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .

Dacă linia dreaptă a corespunde ecuaţiei dreptei cu coeficientul de pantă al formei . Prin urmare, dacă liniile drepte pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi date prin ecuații de drepte cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai liniilor vor fi egali. Și invers: dacă liniile drepte necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi date de ecuațiile unei drepte cu coeficienți egali de pantă, atunci astfel de drepte sunt paralele.

Dacă linia a și linia b într-un sistem de coordonate dreptunghiular definesc ecuațiile canonice ale dreptei pe planul formei și , sau ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan al formei și respectiv, atunci vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism pentru liniile a și b se scrie ca .

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt liniile paralele? și ?

Soluţie.

Rescriem ecuația unei linii drepte în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii drepte: . Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , și este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari, deoarece nu există un număr real t pentru care egalitatea ( ). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, liniile nu sunt paralele.

Exemplu.

Sunt drepte și paralele?

Soluţie.

Aducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu pantă: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, dreptele date ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, prin urmare, liniile inițiale sunt paralele.

În acest articol, vom vorbi despre linii paralele, vom da definiții, vom desemna semnele și condițiile paralelismului. Pentru claritatea materialului teoretic, vom folosi ilustrații și soluția de exemple tipice.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiția 1

Linii paralele în plan sunt două drepte în plan care nu au puncte comune.

Definiția 2

Linii paralele în spațiul 3D- două drepte în spațiu tridimensional care se află în același plan și nu au puncte comune.

De remarcat că, pentru a determina drepte paralele în spațiu, clarificarea „în același plan” este extrem de importantă: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralel, dar care se intersectează.

Pentru a desemna drepte paralele, este obișnuit să folosiți simbolul ∥ . Adică, dacă dreptele date a și b sunt paralele, această condiție trebuie scrisă pe scurt după cum urmează: a ‖ b . Verbal, paralelismul dreptelor este indicat astfel: liniile a și b sunt paralele, sau linia a este paralelă cu dreapta b sau linia b este paralelă cu dreapta a.

Să formulăm o afirmație care joacă un rol important în tema studiată.

Axiomă

Printr-un punct care nu aparține unei drepte date, există doar o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată. Această afirmație nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei.

În cazul când vine vorba de spațiu, teorema este adevărată:

Teorema 1

Prin orice punct din spațiu care nu aparține unei linii date, va exista doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Această teoremă este ușor de demonstrat pe baza axiomei de mai sus (program de geometrie pentru clasele 10-11).

Semnul paralelismului este o condiție suficientă în care sunt garantate liniile paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a confirma faptul paralelismului.

În special, există condiții necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor în plan și în spațiu. Să explicăm: necesar înseamnă condiția a cărei îndeplinire este necesară pentru liniile paralele; dacă nu este satisfăcut, liniile nu sunt paralele.

Rezumând, o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor este o astfel de condiție, a cărei respectare este necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele între ele. Pe de o parte, acesta este un semn de paralelism, pe de altă parte, o proprietate inerentă liniilor paralele.

Înainte de a da o formulare precisă a condițiilor necesare și suficiente, amintim încă câteva concepte suplimentare.

Definiția 3

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte necoincidente date.

Intersectând două linii drepte, secantele formează opt unghiuri neexpandate. Pentru a formula condiția necesară și suficientă, vom folosi tipuri de unghiuri precum încrucișate, corespondente și unilaterale. Să le demonstrăm în ilustrație:

Teorema 2

Dacă două drepte dintr-un plan intersectează o secante, atunci pentru ca dreptele date să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 grade.

Să ilustrăm grafic condiția necesară și suficientă pentru drepte paralele pe plan:

Dovada acestor condiții este prezentă în programul de geometrie pentru clasele 7-9.

În general, aceste condiții sunt aplicabile și pentru spațiul tridimensional, cu condiția ca cele două drepte și secanta să aparțină aceluiași plan.

Să mai subliniem câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra faptul că dreptele sunt paralele.

Teorema 3

Într-un plan, două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Această caracteristică este dovedită pe baza axiomei paralelismului menționată mai sus.

Teorema 4

În spațiul tridimensional, două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.

Dovada atributului este studiată în cadrul programului de geometrie de clasa a X-a.

Oferim o ilustrare a acestor teoreme:

Să mai indicăm încă o pereche de teoreme care dovedesc paralelismul dreptelor.

Teorema 5

Într-un plan, două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să formulăm unul similar pentru un spațiu tridimensional.

Teorema 6

În spațiul tridimensional, două linii perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să ilustrăm:

Toate teoremele, semnele și condițiile de mai sus fac posibilă demonstrarea comodă a paralelismului dreptelor prin metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul dreptelor, se poate arăta că unghiurile corespunzătoare sunt egale sau se poate demonstra faptul că două drepte date sunt perpendiculare pe a treia și așa mai departe. Dar observăm că de multe ori este mai convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, o linie dreaptă este determinată de ecuația unei drepte pe un plan de unul dintre tipurile posibile. În mod similar, o linie dreaptă dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional corespunde unor ecuații ale unei linii drepte în spațiu.

Să scriem condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuație care descrie liniile date.

Să începem cu condiția dreptelor paralele în plan. Se bazează pe definițiile vectorului de direcție al dreptei și al vectorului normal al dreptei în plan.

Teorema 7

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele pe un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorii normali ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorul direcției unei linii să fie perpendicular pe vectorul normal al celeilalte drepte.

Devine evident că condiția dreptelor paralele pe plan se bazează pe condiția vectorilor coliniari sau condiția perpendicularității a doi vectori. Adică dacă a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b ;

și n b → = (n b x , n b y) sunt vectori normali ai dreptelor a și b , atunci scriem condiția necesară și suficientă de mai sus astfel: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y sau n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y sau a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , unde t este un număr real. Coordonatele vectorilor direcți sau direcți sunt determinate de ecuațiile date ale dreptelor. Să luăm în considerare principalele exemple.

1. Linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de ecuația generală a dreptei: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linia b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (A 1 , B 1) și respectiv (A 2 , B 2). Scriem condiția paralelismului după cum urmează:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Linia dreaptă a este descrisă de ecuația unei drepte cu panta de forma y = k 1 x + b 1 . Linie dreaptă b - y \u003d k 2 x + b 2. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (k 1 , - 1) și respectiv (k 2 , - 1), și scriem condiția de paralelism după cum urmează:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Astfel, dacă liniile paralele pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuații cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai dreptelor date vor fi egali. Și afirmația inversă este adevărată: dacă liniile necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile unei drepte cu aceiași coeficienți de pantă, atunci aceste drepte date sunt paralele.

1. Dreptele a și b într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuațiile canonice ale dreptei pe plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y și x - x 2 b x = y - y 2 b y sau ecuațiile parametrice a dreptei pe plan: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y și x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Atunci vectorii de direcție ai dreptelor date vor fi: a x , a y și respectiv b x , b y și vom scrie condiția de paralelism astfel:

a x = t b x a y = t b y

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Date două drepte: 2 x - 3 y + 1 = 0 și x 1 2 + y 5 = 1 . Trebuie să determinați dacă sunt paralele.

Soluţie

Scriem ecuația unei drepte în segmente sub forma unei ecuații generale:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vedem că n a → = (2 , - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x - 3 y + 1 = 0 , iar n b → = 2 , 1 5 este vectorul normal al dreptei x 1 2 + y 5 = 1 .

Vectorii rezultați nu sunt coliniari, deoarece nu există o astfel de valoare a lui t pentru care egalitatea să fie adevărată:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Astfel, condiția necesară și suficientă a paralelismului dreptelor pe plan nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns: liniile date nu sunt paralele.

Exemplul 2

Datele drepte y = 2 x + 1 și x 1 = y - 4 2 . Sunt paralele?

Soluţie

Să transformăm ecuația canonică a dreptei x 1 \u003d y - 4 2 în ecuația unei linii drepte cu pantă:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vedem că ecuațiile dreptelor y = 2 x + 1 și y = 2 x + 4 nu sunt aceleași (dacă ar fi altfel, liniile ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, ceea ce înseamnă că liniile date sunt paralele.

Să încercăm să rezolvăm problema altfel. În primul rând, verificăm dacă liniile date coincid. Folosim orice punct al liniei y \u003d 2 x + 1, de exemplu, (0, 1), coordonatele acestui punct nu corespund ecuației liniei x 1 \u003d y - 4 2, ceea ce înseamnă că liniile nu coincid.

Următorul pas este de a determina îndeplinirea condiției de paralelism pentru liniile date.

Vectorul normal al dreptei y = 2 x + 1 este vectorul n a → = (2 , - 1) , iar vectorul direcție al celei de-a doua linii date este b → = (1 , 2) . Produsul scalar al acestor vectori este zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Astfel, vectorii sunt perpendiculari: aceasta ne demonstrează îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru ca dreptele inițiale să fie paralele. Acestea. liniile date sunt paralele.

Răspuns: aceste linii sunt paralele.

Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.

Teorema 8

Pentru ca două linii necoincidente din spațiul tridimensional să fie paralele, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor linii să fie coliniari.

Acestea. pentru ecuațiile date de drepte din spațiul tridimensional, răspunsul la întrebarea: sunt paralele sau nu, se găsește prin determinarea coordonatelor vectorilor de direcție ai dreptelor date, precum și prin verificarea stării de coliniaritate a acestora. Cu alte cuvinte, dacă a → = (a x, a y, a z) și b → = (b x, b y, b z) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci pentru ca acestea să fie paralele, existența a unui astfel de număr real t este necesar, astfel încât egalitatea să fie valabilă:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplul 3

Dreptele date x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 și x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Este necesar să se demonstreze paralelismul acestor drepte.

Soluţie

Condițiile problemei sunt ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu și ecuațiile parametrice ale altei drepte în spațiu. Vectori de direcție a → și b → liniile date au coordonatele: (1 , 0 , - 3) și (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , atunci a → = 1 2 b → .

Prin urmare, condiția necesară și suficientă pentru linii paralele în spațiu este îndeplinită.

Răspuns: se demonstrează paralelismul dreptelor date.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter