De îndată ce am putut ține prelegeri după operație, prima întrebare pe care elevii au pus-o a fost:

Când ne vei desena un cub cu 4 dimensiuni? Ilyas Abdulkhaevici ne-a promis!

Îmi amintesc că prietenilor mei dragi le place uneori un moment de activități educaționale matematice. Prin urmare, voi scrie aici o parte din prelegerea mea pentru matematicieni. Și voi încerca fără să fiu plictisitor. În unele momente am citit prelegerea mai strict, desigur.

Să fim de acord mai întâi. Spațiul 4-dimensional și cu atât mai mult 5-6-7- și în general k-dimensional nu ne este oferit în senzațiile senzoriale.
„Suntem nefericiți pentru că suntem doar tridimensionali”, așa cum a spus profesorul meu de la școala duminicală, care mi-a spus prima dată ce este un cub cu patru dimensiuni. Școala duminicală era, firește, extrem de religioasă – matematică. Acea dată studiam hiper-cuburi. Cu o săptămână înainte de aceasta, inducția matematică, o săptămână după aceea, ciclurile hamiltoniene în grafice - în consecință, aceasta este clasa a VII-a.

Nu putem atinge, mirosi, auzi sau vede un cub 4-dimensional. Ce putem face cu el? Ne putem imagina! Pentru că creierul nostru este mult mai complex decât ochii și mâinile noastre.

Așadar, pentru a înțelege ce este un cub cu 4 dimensiuni, să înțelegem mai întâi ce ne este la dispoziție. Ce este un cub tridimensional?

BINE BINE! Nu vă cer o definiție matematică clară. Imaginează-ți cel mai simplu și mai obișnuit cub tridimensional. Introdus?

Amenda.
Pentru a înțelege cum să generalizați un cub 3-dimensional într-un spațiu 4-dimensional, să ne dăm seama ce este un cub 2-dimensional. Este atât de simplu - este un pătrat!

Un pătrat are 2 coordonate. Cubul are trei. Punctele pătrate sunt puncte cu două coordonate. Primul este de la 0 la 1. Iar al doilea este de la 0 la 1. Punctele cubului au trei coordonate. Și fiecare este orice număr de la 0 la 1.

Este logic să ne imaginăm că un cub cu 4 dimensiuni este un lucru care are 4 coordonate și totul este de la 0 la 1.

/* Este imediat logic să ne imaginăm un cub unidimensional, care nu este altceva decât un simplu segment de la 0 la 1. */

Deci, stai, cum desenezi un cub cu 4 dimensiuni? La urma urmei, nu putem desena spațiu 4-dimensional pe un plan!
Dar nici nu desenăm spațiu tridimensional pe un plan, îl desenăm proiecție pe un plan de desen bidimensional. Așezăm a treia coordonată (z) într-un unghi, imaginându-ne că axa din planul desenului merge „spre noi”.

Acum este complet clar cum să desenezi un cub cu 4 dimensiuni. În același mod în care am poziționat a treia axă la un anumit unghi, să luăm a patra axă și, de asemenea, să o poziționăm la un anumit unghi.
Și - voila! -- proiecția unui cub 4-dimensional pe un plan.

Ce? Ce este asta oricum? Aud mereu șoapte de la birourile din spate. Permiteți-mi să explic mai detaliat ce este acest amestec de linii.
Priviți mai întâi cubul tridimensional. Ce am făcut? Am luat pătratul și l-am târât de-a lungul celei de-a treia axe (z). Este ca multe, multe pătrate de hârtie lipite împreună într-un teanc.
Este la fel și cu un cub cu 4 dimensiuni. Să numim a patra axă, pentru comoditate și pentru science fiction, „axa timpului”. Trebuie să luăm un cub tridimensional obișnuit și să-l tragem în timp de la momentul „acum” până la momentul „într-o oră”.

Avem un cub „acum”. In poza este roz.

Și acum îl tragem de-a lungul celei de-a patra axe - de-a lungul axei timpului (am arătat-o ​​în verde). Și obținem cubul viitorului - albastru.

Fiecare vârf al „cubului acum” lasă o urmă în timp - un segment. Conectând prezentul ei cu viitorul ei.

Pe scurt, fără versuri: am desenat două cuburi tridimensionale identice și am conectat vârfurile corespunzătoare.
Exact la fel ca și cu un cub tridimensional (desenați 2 cuburi bidimensionale identice și conectați vârfurile).

Pentru a desena un cub 5-dimensional, va trebui să desenați două copii ale unui cub 4-dimensional (un cub 4-dimensional cu a cincea coordonată 0 și un cub 4-dimensional cu a cincea coordonată 1) și să conectați vârfurile corespunzătoare cu muchii. Adevărat, va exista un astfel de amestec de margini în avion, încât va fi aproape imposibil să înțelegi ceva.

Odată ce ne-am imaginat un cub cu 4 dimensiuni și chiar am putut să-l desenăm, îl putem explora în moduri diferite. Amintește-ți să-l explorezi atât în ​​mintea ta, cât și din imagine.
De exemplu. Un cub bidimensional este delimitat pe 4 laturi de cuburi unidimensionale. Acest lucru este logic: pentru fiecare dintre cele 2 coordonate are atât un început, cât și un sfârșit.
Un cub tridimensional este delimitat pe 6 laturi de cuburi bidimensionale. Pentru fiecare dintre cele trei coordonate are un început și un sfârșit.
Aceasta înseamnă că un cub 4-dimensional trebuie să fie limitat de opt cuburi 3-dimensionale. Pentru fiecare dintre cele 4 coordonate - pe ambele părți. În figura de mai sus vedem clar 2 fețe care o limitează de-a lungul coordonatei „timp”.

Iată două cuburi (sunt ușor oblice pentru că au 2 dimensiuni proiectate în plan în unghi), limitând hipercubul nostru la stânga și la dreapta.

De asemenea, este ușor de observat „sus” și „jos”.

Cel mai dificil lucru este să înțelegeți vizual unde sunt „fața” și „spate”. Cel din față începe de la marginea din față a „cubului acum” și până la marginea din față a „cubului viitorului” - este roșu. Cel din spate este violet.

Sunt cele mai greu de observat deoarece alte cuburi sunt încurcate sub picioare, ceea ce limitează hipercubul la o coordonată proiectată diferită. Dar rețineți că cuburile sunt încă diferite! Iată din nou imaginea, unde sunt evidențiate „cubul de acum” și „cubul viitorului”.

Desigur, este posibil să proiectați un cub 4-dimensional în spațiul 3-dimensional.
Primul model spațial posibil este clar cum arată: trebuie să luați 2 cadre cub și să conectați vârfurile corespunzătoare cu o nouă muchie.
Nu am acest model pe stoc acum. La prelegere, le arăt studenților un model tridimensional ușor diferit al unui cub cu patru dimensiuni.

Știi cum se proiectează un cub pe un astfel de plan.
Parcă ne uităm la un cub de sus.

Marginea apropiată este, desigur, mare. Și marginea îndepărtată pare mai mică, o vedem prin cea din apropiere.

Acesta este modul în care puteți proiecta un cub 4-dimensional. Cubul este mai mare acum, vedem cubul viitorului în depărtare, așa că pare mai mic.

Pe cealaltă parte. Din partea de sus.

Direct exact din partea marginii:

Din partea coastei:

Iar ultimul unghi, asimetric. Din secțiunea „Spune-mi că m-am uitat printre coastele lui”.

Ei bine, atunci poți veni cu orice. De exemplu, așa cum există o dezvoltare a unui cub tridimensional pe un plan (este ca și cum ai tăia o foaie de hârtie, astfel încât atunci când este pliat să obții un cub), același lucru se întâmplă și cu dezvoltarea unui cub tridimensional în spaţiu. Este ca și cum ai tăia o bucată de lemn, astfel încât pliând-o în spațiu 4-dimensional să obținem un teseract.

Puteți studia nu doar un cub cu 4 dimensiuni, ci și cuburi n-dimensionale în general. De exemplu, este adevărat că raza unei sfere circumscrise în jurul unui cub n-dimensional este mai mică decât lungimea muchiei acestui cub? Sau iată o întrebare mai simplă: câte vârfuri are un cub n-dimensional? Câte muchii (fețe unidimensionale)?

Să începem prin a explica ce este spațiul cu patru dimensiuni.

Acesta este un spațiu unidimensional, adică pur și simplu axa OX. Orice punct de pe el este caracterizat de o coordonată.

Acum să desenăm axa OY perpendiculară pe axa OX. Deci obținem un spațiu bidimensional, adică planul XOY. Orice punct de pe acesta este caracterizat de două coordonate - abscisă și ordonată.

Să desenăm axa OZ perpendiculară pe axele OX și OY. Rezultă un spațiu tridimensional în care orice punct are abscisă, ordonată și aplicată.

Este logic ca a patra axă, OQ, să fie perpendiculară pe axele OX, OY și OZ în același timp. Dar nu putem construi cu exactitate o astfel de axă și, prin urmare, nu putem decât să încercăm să ne imaginăm. Fiecare punct din spațiul cu patru dimensiuni are patru coordonate: x, y, z și q.

Acum să vedem cum a apărut cubul cu patru dimensiuni.

Imaginea arată o figură într-un spațiu unidimensional - o linie.

Dacă faceți o translație paralelă a acestei linii de-a lungul axei OY și apoi conectați capetele corespunzătoare ale celor două linii rezultate, veți obține un pătrat.

În mod similar, dacă faceți o translație paralelă a pătratului de-a lungul axei OZ și conectați vârfurile corespunzătoare, veți obține un cub.

Și dacă facem o translație paralelă a cubului de-a lungul axei OQ și conectăm vârfurile acestor două cuburi, atunci vom obține un cub cu patru dimensiuni. Apropo, se numește tesseract.

Pentru a desena un cub pe un avion, ai nevoie de el proiect. Vizual arată așa:

Să ne imaginăm că atârnă în aer deasupra suprafeței model wireframe cub, adică ca și cum ar fi „făcut din sârmă”, iar deasupra este un bec. Dacă aprindeți becul, trasați umbra cubului cu un creion și apoi stingeți becul, o proiecție a cubului va fi reprezentată pe suprafață.

Să trecem la ceva un pic mai complex. Privește din nou desenul cu becul: după cum poți vedea, toate razele converg într-un punct. Se numeste punct de disparitieși este folosit pentru a construi proiecție în perspectivă(și poate fi și paralelă, când toate razele sunt paralele între ele. Rezultatul este că nu se creează senzația de volum, dar este mai ușoară și, în plus, dacă punctul de fugă este destul de îndepărtat de obiectul proiectat , atunci diferența dintre aceste două proiecții este puțin vizibilă). Pentru a proiecta un punct dat pe un plan dat folosind un punct de fuga, trebuie să trasați o linie dreaptă prin punctul de fuga și punctul dat, apoi găsiți punctul de intersecție al dreptei rezultate și al planului. Și pentru a proiecta o figură mai complexă, să zicem, un cub, trebuie să proiectați fiecare dintre vârfurile sale și apoi să conectați punctele corespunzătoare. Trebuie remarcat faptul că algoritm pentru proiectarea spațiului în subspațiu poate fi generalizat la cazul 4D->3D, nu doar 3D->2D.

După cum am spus, nu ne putem imagina exact cum arată axa OQ, la fel ca tesseract. Dar ne putem face o idee limitată despre el dacă îl proiectăm pe un volum și apoi îl desenăm pe ecranul unui computer!

Acum să vorbim despre proiecția teseractului.

În stânga este proiecția cubului pe plan, iar în dreapta este tesseract pe volum. Ele sunt destul de asemănătoare: proiecția unui cub arată ca două pătrate, mici și mari, unul în interiorul celuilalt, și ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin linii. Și proiecția teseractului arată ca două cuburi, mici și mari, unul în interiorul celuilalt, și ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate. Dar toți am văzut cubul și putem spune cu încredere că atât pătratul mic, cât și cel mare, și cele patru trapeze de deasupra, dedesubt, la dreapta și la stânga pătratului mic, sunt de fapt pătrate și sunt egale. . Și teseract are același lucru. Și un cub mare și un cub mic și șase piramide trunchiate pe părțile laterale ale unui cub mic - toate acestea sunt cuburi și sunt egale.

Programul meu poate nu numai să deseneze proiecția unui tesseract pe un volum, ci și să îl rotească. Să vedem cum se face acest lucru.

În primul rând, vă voi spune despre ce este vorba rotație paralelă cu planul.

Imaginează-ți că cubul se rotește în jurul axei OZ. Apoi fiecare dintre vârfurile sale descrie un cerc în jurul axei OZ.

Un cerc este o figură plată. Și planurile fiecăruia dintre aceste cercuri sunt paralele între ele și, în acest caz, paralele cu planul XOY. Adică putem vorbi nu numai despre rotație în jurul axei OZ, ci și despre rotație paralelă cu planul XOY După cum vedem, pentru punctele care se rotesc paralel cu axa XOY, doar abscisa și ordonatele se schimbă, în timp ce aplicatul rămâne. neschimbat.Și, de fapt, putem vorbi despre rotație în jurul unei linii drepte doar atunci când avem de-a face cu spațiu tridimensional. În spațiul bidimensional totul se rotește în jurul unui punct, în spațiul patrudimensional totul se rotește în jurul unui plan, în spațiul cincidimensional vorbim despre rotație în jurul unui volum. Și dacă ne putem imagina rotația în jurul unui punct, atunci rotația în jurul unui plan și al unui volum este ceva de neconceput. Și dacă vorbim despre rotație paralelă cu planul, atunci în orice spațiu n-dimensional un punct se poate roti paralel cu planul.

Mulți dintre voi probabil ați auzit de matricea de rotație. Înmulțind punctul cu acesta, obținem un punct rotit paralel cu planul cu un unghi phi. Pentru spațiul bidimensional arată astfel:

Cum se înmulțește: x dintr-un punct rotit cu un unghi phi = cosinusul unghiului phi*ix al punctului inițial minus sinus al unghiului phi*ig al punctului inițial;
ig al unui punct rotit cu un unghi phi = sinusul unghiului phi * ix al punctului original plus cosinusul unghiului phi * ig al punctului original.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, unde Xa și Ya sunt abscisa și ordonata punctului care trebuie rotit, Xa` și Ya` sunt abscisa și ordonata punctului deja rotit

Pentru spațiul tridimensional, această matrice este generalizată după cum urmează:

Rotație paralelă cu planul XOY. După cum puteți vedea, coordonatele Z nu se schimbă, ci doar X și Y se schimbă
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (în esență, Za`=Za)

Rotație paralelă cu planul XOZ. Nimic nou,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (în esență, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Și a treia matrice.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (în esență, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Și pentru a patra dimensiune arată astfel:


Cred că înțelegeți deja cu ce să înmulțiți, așa că nu voi mai intra în detalii. Dar observ că face același lucru ca o matrice pentru rotație paralelă cu un plan în spațiul tridimensional! Ambele schimba doar ordonata si aplicata, si nu ating celelalte coordonate, deci poate fi folosita in cazul tridimensional, pur si simplu fara a acorda atentie celei de-a patra coordonate.

Dar cu formula de proiecție, nu totul este atât de simplu. Indiferent câte forumuri am citit, nici una dintre metodele de proiecție nu a funcționat pentru mine. Cea paralelă nu era potrivită pentru mine, deoarece proiecția nu ar părea tridimensională. În unele formule de proiecție, pentru a găsi un punct trebuie să rezolvi un sistem de ecuații (și nu știu să învăț un calculator să le rezolve), altele pur și simplu nu le-am înțeles... În general, am decis să vin cu felul meu. În acest scop, luați în considerare proiecția 2D->1D.

pov înseamnă „Punctul de vedere”, ptp înseamnă „Punctul de proiectat” (punctul de proiectat), iar ptp` este punctul dorit pe axa OX.

Unghiurile povptpB și ptpptp`A sunt egale ca corespunzătoare (linia punctată este paralelă cu axa OX, linia dreaptă povptp este o secantă).
X-ul punctului ptp` este egal cu x-ul punctului ptp minus lungimea segmentului ptp`A. Acest segment poate fi găsit din triunghiul ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangente a unghiului ptpptp`A. Putem găsi această tangentă din triunghiul povptpB: tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Răspuns: Xptp`=Xptp-Yptp/tangente a unghiului ptpptp`A.

Nu am descris acest algoritm în detaliu aici, deoarece există o mulțime de cazuri speciale când formula se schimbă oarecum. Dacă cineva este interesat, uită-te la codul sursă al programului, totul este descris acolo în comentarii.

Pentru a proiecta un punct din spațiul tridimensional pe un plan, pur și simplu luăm în considerare două plane - XOZ și YOZ și rezolvăm această problemă pentru fiecare dintre ele. În cazul spațiului cu patru dimensiuni, este necesar să se ia în considerare trei planuri: XOQ, YOQ și ZOQ.

Și în sfârșit, despre program. Funcționează astfel: inițializați șaisprezece vârfuri ale tesseractului -> în funcție de comenzile introduse de utilizator, rotiți-l -> proiectați-l pe volum -> în funcție de comenzile introduse de utilizator, rotiți proiecția acestuia -> proiectați-l pe volum avion -> desen.

Am scris eu însumi proiecțiile și rotațiile. Funcționează după formulele pe care tocmai le-am descris. Biblioteca OpenGL desenează linii și, de asemenea, se ocupă de amestecarea culorilor. Și coordonatele vârfurilor teseractelor sunt calculate în acest fel:

Coordonatele vârfurilor unei linii centrate la origine și lungimea 2 - (1) și (-1);
- " - " - pătrat - " - " - și o margine de lungime 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) și (-1; -1);
- " - " - cub - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
După cum puteți vedea, un pătrat este o linie deasupra axei OY și o linie sub axa OY; un cub este un pătrat în fața planului XOY și unul în spatele acestuia; Tesseractul este un cub pe cealaltă parte a volumului XOYZ și unul pe această parte. Dar este mult mai ușor de perceput această alternanță de uni și minus dacă sunt scrise într-o coloană

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

În prima coloană, unu și minus unu alternează. În a doua coloană, mai întâi sunt două plusuri, apoi două minusuri. În al treilea - patru plus, și apoi patru minus. Acestea erau vârfurile cubului. Teseractul are de două ori mai multe dintre ele și, prin urmare, a fost necesar să scrieți o buclă pentru a le declara, altfel este foarte ușor să vă confundați.

Programul meu poate desena și anaglifă. Posesorii fericiți de ochelari 3D pot observa o imagine stereoscopică. Nu este nimic dificil să desenezi o imagine; pur și simplu desenezi două proiecții pe plan, pentru ochiul drept și ochiul stâng. Dar programul devine mult mai vizual și mai interesant și, cel mai important, oferă o idee mai bună a lumii cu patru dimensiuni.

Funcții mai puțin semnificative sunt iluminarea uneia dintre margini în roșu, astfel încât virajele să poată fi văzute mai bine, precum și facilități minore - reglarea coordonatelor punctelor „ochi”, creșterea și scăderea vitezei de viraj.

Arhivați cu programul, codul sursă și instrucțiunile de utilizare.

Dacă ți s-a întâmplat un incident neobișnuit, ai văzut o creatură ciudată sau un fenomen de neînțeles, ne poți trimite povestea ta și va fi publicată pe site-ul nostru ===> .

Doctrina spațiilor multidimensionale a început să apară la mijlocul secolului al XIX-lea. Ideea spațiului cu patru dimensiuni a fost împrumutată de la oamenii de știință de scriitorii de science fiction. În lucrările lor, ei au povestit lumii despre minunile uimitoare ale celei de-a patra dimensiuni.

Eroii lucrărilor lor, folosind proprietățile spațiului cu patru dimensiuni, puteau mânca conținutul unui ou fără a deteriora coaja și să bea o băutură fără a deschide capacul sticlei. Hoții au scos comoara din seif prin dimensiunea a patra. Chirurgii au efectuat operații asupra organelor interne fără a tăia țesutul corpului pacientului.

Teseract

În geometrie, un hipercub este o analogie n-dimensională a unui pătrat (n = 2) și a unui cub (n = 3). Analogul cu patru dimensiuni al cubului nostru tridimensional obișnuit este cunoscut sub numele de tesseract. Teseractul este la cub, așa cum cubul este la pătrat. Mai formal, un tesseract poate fi descris ca un poliedru cu patru dimensiuni convex obișnuit a cărui limită constă din opt celule cubice.

Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, tesseractul are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.
Apropo, conform Dicționarului Oxford, cuvântul tesseract a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853-1907) în cartea sa A New Age of Thought. Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură un tetracub (greacă tetra - patru) - un cub cu patru dimensiuni.

Construcție și descriere

Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.
Într-un „spațiu” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Rezultatul este un CDBA pătrat. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional CDBAGHFE. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul CDBAGHFEKLJIOPNM.

Într-un mod similar, ne putem continua raționamentul pentru hipercuburi de un număr mai mare de dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum ne va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, rezidenții spațiului tridimensional.

Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.

Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine poate fi împărțit într-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.

Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.

Hipercubul în art

Tesseract este o figură atât de interesantă încât a atras în mod repetat atenția scriitorilor și realizatorilor de film.
Robert E. Heinlein a menționat de mai multe ori hipercuburi. În The House That Teal Built (1940), el a descris o casă construită ca un teseract neîmpachetat și apoi, din cauza unui cutremur, „s-a pliat” în dimensiunea a patra pentru a deveni un „adevărat” tesseract. Romanul lui Heinlein, Drumul Gloriei, descrie o cutie de dimensiuni foarte mari, care era mai mare la interior decât la exterior.

Povestea lui Henry Kuttner „All Tenali Borogov” descrie o jucărie educativă pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.

Intriga din Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi conectate.

O lume paralelă

Abstracțiile matematice au dat naștere ideii existenței unor lumi paralele. Acestea sunt înțelese ca realități care există simultan cu ale noastre, dar independent de aceasta. O lume paralelă poate avea dimensiuni diferite: de la o zonă geografică mică la un întreg univers. Într-o lume paralelă, evenimentele au loc în felul lor; pot diferi de lumea noastră, atât în ​​detalii individuale, cât și în aproape orice. Mai mult, legile fizice ale unei lumi paralele nu sunt neapărat similare cu legile Universului nostru.

Acest subiect este un teren fertil pentru scriitorii de science fiction.

Pictura lui Salvador Dali „Răstignirea” înfățișează un teseract. „Răstignirea sau corpul hipercubic” este un tablou al artistului spaniol Salvador Dali, pictat în 1954. Îl înfățișează pe Iisus Hristos răstignit pe o scanare a teseractelor. Pictura este păstrată la Metropolitan Museum of Art din New York

Totul a început în 1895, când H.G. Wells, cu povestea sa „The Door in the Wall”, a deschis existența unor lumi paralele cu science-fiction. În 1923, Wells a revenit la ideea de lumi paralele și a plasat într-una dintre ele o țară utopică în care merg personajele din romanul Men Like Gods.

Romanul nu a trecut neobservat. În 1926 a apărut povestea lui G. Dent „Împăratul Țării „Dacă””.În povestea lui Dent, a apărut pentru prima dată ideea că ar putea exista țări (lumi) a căror istorie ar putea merge diferit de istoria țărilor reale. în lumea noastră.Și lumi acestea nu sunt mai puțin reale decât ale noastre.

În 1944, Jorge Luis Borges a publicat povestea „Grădina căilor care se bifurcă” în cartea sa Povestiri fictive. Aici ideea timpului de ramificare a fost în cele din urmă exprimată cu cea mai mare claritate.
În ciuda apariției lucrărilor enumerate mai sus, ideea multor lumi a început să se dezvolte serios în science fiction abia la sfârșitul anilor patruzeci ai secolului al XX-lea, aproximativ în același timp când a apărut o idee similară în fizică.

Unul dintre pionierii noii direcții în science-fiction a fost John Bixby, care a sugerat în povestea „One Way Street” (1954) că între lumi te poți mișca doar într-o singură direcție - odată ce treci din lumea ta într-una paralelă, nu te vei întoarce înapoi, dar vei trece dintr-o lume în alta. Cu toate acestea, întoarcerea la propria lume nu este exclusă - pentru aceasta este necesar ca sistemul de lumi să fie închis.

Romanul lui Clifford Simak Un inel în jurul soarelui (1982) descrie numeroase planete Pământ, fiecare existând în propria sa lume, dar pe aceeași orbită, iar aceste lumi și aceste planete diferă unele de altele doar printr-o ușoară schimbare (microsecundă) în timp. Numeroasele Pământuri pe care le vizitează eroul romanului formează un singur sistem de lumi.

Alfred Bester a exprimat o viziune interesantă asupra ramificării lumilor în povestea sa „The Man Who Killed Mohammed” (1958). „Schimbând trecutul”, a argumentat eroul poveștii, „îl schimbi doar pentru tine”. Cu alte cuvinte, după o schimbare în trecut, se naște o ramură a istoriei în care doar pentru personajul care a făcut schimbarea există această schimbare.

Povestea fraților Strugatsky „Monday Begins on Saturday” (1962) descrie călătoriile personajelor către diferite versiuni ale viitorului descrise de scriitorii de science-fiction - spre deosebire de călătoriile către diferite versiuni ale trecutului care existau deja în science fiction.

Cu toate acestea, chiar și o simplă enumerare a tuturor lucrărilor care ating tema lumilor paralele ar dura prea mult timp. Și, deși scriitorii de science fiction, de regulă, nu fundamentează științific postulatul multidimensionalității, au dreptate cu privire la un lucru - aceasta este o ipoteză care are dreptul de a exista.
A patra dimensiune a teseractului încă așteaptă să o vizităm.

Victor Savinov

Dacă ești fan al filmelor Avengers, primul lucru care ți-ar putea veni în minte atunci când auzi cuvântul „Tesseract” este vasul transparent în formă de cub al Pietrei Infinitului, care conține putere nelimitată.

Pentru fanii Universului Marvel, Tesseract este un cub albastru strălucitor care îi înnebunește pe oameni nu numai de pe Pământ, ci și de pe alte planete. De aceea, toți Răzbunătorii s-au unit pentru a-i proteja pe pământeni de puterile extrem de distructive ale Teseractului.

Cu toate acestea, acest lucru trebuie spus: Tesseract este un concept geometric real, sau mai precis, o formă care există în 4D. Nu este doar un cub albastru de la Avengers... este un concept real.

Teseractul este un obiect în 4 dimensiuni. Dar înainte de a o explica în detaliu, să începem de la început.

Ce este „măsurarea”?

Fiecare persoană a auzit termenii 2D și 3D, reprezentând obiecte bidimensionale sau tridimensionale din spațiu. Dar care sunt aceste măsurători?

Dimensiunea este pur și simplu o direcție în care poți merge. De exemplu, dacă desenați o linie pe o bucată de hârtie, puteți merge fie la stânga/dreapta (axa x), fie în sus/jos (axa y). Deci spunem că hârtia este bidimensională pentru că poți merge doar în două direcții.

Există un sentiment de profunzime în 3D.

Acum, în lumea reală, pe lângă cele două direcții menționate mai sus (stânga/dreapta și sus/jos), puteți merge și „la/de la”. În consecință, spațiului 3D este adăugat un sentiment de profunzime. De aceea spunem că viața reală este tridimensională.

Un punct poate reprezenta 0 dimensiuni (deoarece nu se mișcă în nicio direcție), o linie reprezintă 1 dimensiune (lungime), un pătrat reprezintă 2 dimensiuni (lungime și lățime), iar un cub reprezintă 3 dimensiuni (lungime, lățime și înălțime). ).

Luați un cub 3D și înlocuiți fiecare dintre fețele sale (care sunt în prezent pătrate) cu un cub. Și așa! Forma pe care o obțineți este teseract.

Ce este un tesseract?

Mai simplu spus, un tesseract este un cub în spațiu cu 4 dimensiuni. De asemenea, puteți spune că este un analog 4D al unui cub. Aceasta este o formă 4D în care fiecare față este un cub.

O proiecție 3D a unui tesseract care efectuează o rotație dublă în jurul a două plane ortogonale.
Imagine: Jason Hise

Iată o modalitate simplă de a conceptualiza dimensiunile: un pătrat este bidimensional; prin urmare, fiecare dintre colțurile sale are 2 linii care se extind de la el la un unghi de 90 de grade unul față de celălalt. Cubul este 3D, astfel încât fiecare dintre colțurile sale are 3 linii care provin din el. La fel, tesseractul este o formă 4D, astfel încât fiecare colț are 4 linii care se extind din el.

De ce este dificil să-ți imaginezi un tesseract?

Deoarece noi, ca oameni, am evoluat pentru a vizualiza obiectele în trei dimensiuni, orice intră în dimensiuni suplimentare, cum ar fi 4D, 5D, 6D etc., nu are prea mult sens pentru noi, deoarece nu le putem introduce deloc. Creierul nostru nu poate înțelege a 4-a dimensiune în spațiu. Pur și simplu nu ne putem gândi la asta.

Cu toate acestea, doar pentru că nu putem vizualiza conceptul de spații multidimensionale nu înseamnă că nu poate exista.

Din punct de vedere matematic, teseractul este o formă perfect precisă. De asemenea, toate formele în dimensiuni superioare, adică 5D și 6D, sunt, de asemenea, plauzibile din punct de vedere matematic.

Așa cum un cub poate fi extins în 6 pătrate în spațiul 2D, un tesseract poate fi extins în 8 cuburi în spațiul 3D.

Surprinzător și de neînțeles, nu-i așa?

Deci tesseractul este un „concept real” care este absolut plauzibil din punct de vedere matematic, nu doar cubul albastru strălucitor pentru care se luptă în filmele Avengers.

Hipercubul și solidele platonice

Modelați un icosaedru trunchiat („minge de fotbal”) în sistemul „Vector”.
în care fiecare pentagon este delimitat de hexagoane

Icosaedru trunchiat poate fi obținut prin tăierea a 12 vârfuri pentru a forma fețe sub formă de pentagoane regulate. În acest caz, numărul de vârfuri ale noului poliedru crește de 5 ori (12×5=60), 20 de fețe triunghiulare se transformă în hexagoane regulate (în total fețele devin 20+12=32), A numărul muchiilor crește la 30+12×5=90.

Etape pentru construirea unui icosaedru trunchiat în sistemul Vector

Figuri în spațiu 4-dimensional.

--à

--à ?

De exemplu, având în vedere un cub și un hipercub. Un hipercub are 24 de fețe. Aceasta înseamnă că un octaedru cu 4 dimensiuni va avea 24 de vârfuri. Deși nu, un hipercub are 8 fețe de cuburi - fiecare are un centru la vârf. Aceasta înseamnă că un octaedru cu 4 dimensiuni va avea 8 vârfuri, ceea ce este și mai ușor.

octaedru cu 4 dimensiuni. Este format din opt tetraedre echilaterale și egale,
legate prin patru la fiecare vârf.

Orez. O încercare de a simula
hipersferă-hipersferă în sistemul Vector

Fețe față - spate - bile fără distorsiuni. Alte șase bile pot fi definite prin elipsoide sau suprafețe pătratice (prin 4 linii de contur ca generatoare) sau prin fețe (definite mai întâi prin generatoare).

Mai multe tehnici pentru a „construi” o hipersferă
- aceeași „minge de fotbal” în spațiul 4-dimensional

Anexa 2

Pentru poliedre convexe, există o proprietate care leagă numărul vârfurilor, muchiilor și fețelor sale, dovedită în 1752 de Leonhard Euler și numită teorema lui Euler.

Înainte de a-l formula, luați în considerare poliedrele cunoscute nouă și completați următorul tabel, în care B este numărul de vârfuri, P - muchii și G - fețe ale unui poliedru dat:

Nume poliedru
Piramida triunghiulara
Piramida patruunghiulara
Prisma triunghiulara
Prismă patruunghiulară
n-piramida cărbunelui	n+1	2n	n+1
n-prismă de carbon	2n	3n	n+2
n-cărbune trunchiat piramidă	2n	3n	n+2

Din acest tabel este imediat clar că pentru toate poliedrele selectate este valabilă egalitatea B - P + G = 2. Se pare că această egalitate este valabilă nu numai pentru aceste poliedre, ci și pentru un poliedru convex arbitrar.

teorema lui Euler. Pentru orice poliedru convex, egalitatea este valabilă

B - P + G = 2,

unde B este numărul de vârfuri, P este numărul de muchii și G este numărul de fețe ale unui poliedru dat.

Dovada. Pentru a demonstra această egalitate, imaginați-vă suprafața acestui poliedru realizat dintr-un material elastic. Să scoatem (decupăm) una dintre fețele acesteia și să întindem suprafața rămasă pe un plan. Obținem un poligon (format din muchiile feței îndepărtate a poliedrului), împărțit în poligoane mai mici (formate din fețele rămase ale poliedrului).

Rețineți că poligoanele pot fi deformate, mărite, reduse sau chiar curbate laturile lor, atâta timp cât nu există goluri în laturi. Numărul de vârfuri, muchii și fețe nu se va modifica.

Să demonstrăm că împărțirea rezultată a poligonului în poligoane mai mici satisface egalitatea

(*)B - P + G " = 1,

unde B este numărul total de vârfuri, P este numărul total de muchii și Г " este numărul de poligoane incluse în partiție. Este clar că Г " = Г - 1, unde Г este numărul de fețe ale unei date date. poliedru.

Să demonstrăm că egalitatea (*) nu se schimbă dacă o diagonală este trasată într-un poligon al unei partiții date (Fig. 5, a). Într-adevăr, după desenarea unei astfel de diagonale, noua partiție va avea B vârfuri, P+1 muchii și numărul de poligoane va crește cu unul. Prin urmare, avem

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Folosind această proprietate, desenăm diagonale care împart poligoanele de intrare în triunghiuri, iar pentru partiția rezultată arătăm fezabilitatea egalității (*) (Fig. 5, b). Pentru a face acest lucru, vom elimina secvenţial marginile exterioare, reducând numărul de triunghiuri. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

a) a elimina un triunghi ABC este necesar să se scoată două coaste, în cazul nostru ABȘi B.C.;

b) pentru a elimina triunghiulMKNeste necesar să scoatem o margine, în cazul nostruMN.

În ambele cazuri, egalitatea (*) nu se va modifica. De exemplu, în primul caz, după îndepărtarea triunghiului, graficul va fi format din B - 1 vârfuri, P - 2 muchii și G " - 1 poligon:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Luați în considerare al doilea caz.

Astfel, eliminarea unui triunghi nu schimbă egalitatea (*). Continuând acest proces de eliminare a triunghiurilor, vom ajunge în cele din urmă la o partiție formată dintr-un singur triunghi. Pentru o astfel de partiție, B = 3, P = 3, Г " = 1 și, prin urmare, B – Р + Г " = 1. Aceasta înseamnă că egalitatea (*) este valabilă și pentru partiția originală, din care în final obținem că pentru această partiție a egalității poligonului (*) este adevărată. Astfel, pentru poliedrul convex original, egalitatea B - P + G = 2 este adevărată.

Un exemplu de poliedru pentru care relația lui Euler nu este valabilă, prezentat în Figura 6. Acest poliedru are 16 vârfuri, 32 de muchii și 16 fețe. Astfel, pentru acest poliedru este valabilă egalitatea B – P + G = 0.

Anexa 3.

Film Cube 2: Hypercube este un film science fiction, o continuare a filmului Cube.

Opt străini se trezesc în camere în formă de cub. Camerele sunt situate în interiorul unui hipercub cu patru dimensiuni. Camerele se mișcă în mod constant prin „teleportare cuantică”, iar dacă urci în camera următoare, este puțin probabil să te întorci la cea anterioară. Lumile paralele se intersectează în hipercub, timpul curge diferit în unele camere, iar unele camere sunt capcane mortale.

Intriga filmului repetă în mare măsură povestea primei părți, care se reflectă și în imaginile unora dintre personaje. Laureatul Nobel Rosenzweig, care a calculat momentul exact al distrugerii hipercubului, moare în încăperile hipercubului..

Critică

Dacă în prima parte oamenii închiși într-un labirint au încercat să se ajute unii pe alții, în acest film este fiecare bărbat pentru el însuși. Există o mulțime de efecte speciale inutile (aka capcane) care nu leagă în mod logic această parte a filmului cu cea anterioară. Adică, se dovedește că filmul Cube 2 este un fel de labirint al viitorului 2020-2030, dar nu 2000. În prima parte, toate tipurile de capcane pot fi, teoretic, create de o persoană. În a doua parte, aceste capcane sunt un fel de program de calculator, așa-numitul „Realitate Virtuală”.