Practic, întregul curs de matematică se bazează pe operații cu numere pozitive și negative. La urma urmei, de îndată ce începem să studiem linia de coordonate, numerele cu semne plus și minus încep să ne întâlnească peste tot, în fiecare subiect nou. Nu este nimic mai ușor decât adunarea numerelor pozitive obișnuite, nu este dificil să scazi unul din celălalt. Chiar și aritmetica cu două numere negative este rareori o problemă.

Cu toate acestea, mulți oameni devin confuzi în adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite. Amintiți-vă regulile după care au loc aceste acțiuni.

Adunarea numerelor cu semne diferite

Dacă pentru a rezolva problema trebuie să adăugăm un număr negativ „-b” unui anumit număr „a”, atunci trebuie să acționăm după cum urmează.

• Să luăm module ale ambelor numere - |a| și |b| - și comparați aceste valori absolute între ele.
• Observați care dintre module este mai mare și care este mai mic și scădeți valoarea mai mică din valoarea mai mare.
• Punem înaintea numărului rezultat semnul numărului al cărui modul este mai mare.

Acesta va fi răspunsul. Se poate spune mai simplu: dacă în expresia a + (-b) modulul numărului „b” este mai mare decât modulul lui „a”, atunci scădem „a” din „b” și punem „minus”. " în fața rezultatului. Dacă modulul „a” este mai mare, atunci „b” se scade din „a” - iar soluția se obține cu semnul „plus”.

De asemenea, se întâmplă ca modulele să fie egale. Dacă da, atunci vă puteți opri în acest moment - vorbim de numere opuse, iar suma lor va fi întotdeauna zero.

Scăderea numerelor cu semne diferite

Ne-am dat seama de adunare, acum luați în considerare regula pentru scădere. De asemenea, este destul de simplu - și, în plus, repetă complet o regulă similară pentru scăderea a două numere negative.

Pentru a scădea dintr-un anumit număr „a” - arbitrar, adică cu orice semn - un număr negativ „c”, trebuie să adăugați la numărul nostru arbitrar „a” numărul opus „c”. De exemplu:

• Dacă „a” este un număr pozitiv, iar „c” este negativ, iar „c” trebuie scăzut din „a”, atunci îl scriem astfel: a - (-c) \u003d a + c.
• Dacă „a” este un număr negativ, iar „c” este pozitiv, iar „c” trebuie scăzut din „a”, atunci scriem după cum urmează: (- a) - c \u003d - a + (-c).

Astfel, la scăderea numerelor cu semne diferite, revenim în cele din urmă la regulile adunării, iar la adunarea numerelor cu semne diferite, revenim la regulile scăderii. Amintirea acestor reguli vă permite să rezolvați problemele rapid și ușor.

Regula de adunare negativă

Dacă vă amintiți lecția de matematică și subiectul „Adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite”, atunci pentru a adăuga două numere negative aveți nevoie:

• efectuează adăugarea modulelor lor;
• adăugați semnul „-” la suma primită.

Conform regulii de adunare, putem scrie:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Regula adunării negative se aplică numerelor întregi negative, numerelor raționale și numerelor reale.

Exemplul 1

Adăugați numere negative $−185$ și $−23 \ 789.$

Soluţie.

Să folosim regula adunării numerelor negative.

Să găsim modulele acestor numere:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Să adunăm numerele rezultate:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Punem semnul $"–"$ în fața numărului găsit și obținem $−23 \ 974$.

Rezolvare scurtă: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Răspuns: $−23 \ 974$.

Când se adună numere raționale negative, acestea trebuie convertite în numere naturale, fracții ordinare sau zecimale.

Exemplul 2

Adăugați numerele negative $-\frac(1)(4)$ și $−7,15$.

Soluţie.

Conform regulii de adunare a numerelor negative, mai întâi trebuie să găsiți suma modulelor:

$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;

Este convenabil să reduceți valorile obținute la fracții zecimale și să efectuați adunarea lor:

$\frac(1)(4)=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Să punem semnul $"-"$ în fața valorii primite și să obținem -7,4$.

Rezumatul soluției:

$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4$.

Pentru a adăuga numere pozitive și negative:

1. calcula module de numere;

comparați numerele primite:

• dacă sunt egale, atunci numerele originale sunt opuse și suma lor este egală cu zero;
• dacă nu sunt egale, atunci trebuie să vă amintiți semnul numărului al cărui modul este mai mare;

2. scade pe cel mai mic din cel mai mare;

3. înainte de valoarea primită se pune semnul numărului al cărui modul este mai mare.

Adunarea numerelor cu semne opuse se reduce la scăderea unui număr negativ mai mic dintr-un număr pozitiv mai mare.

Regula adunării numerelor cu semne opuse se aplică pentru numere întregi, raționale și reale.

Exemplul 3

Adăugați numerele $4$ și $−8$.

Soluţie.

Trebuie să adăugați numere cu semne opuse. Să folosim regula de adăugare adecvată.

Să găsim modulele acestor numere:

Modulul numărului $−8$ este mai mare decât modulul numărului $4$, adică. amintiți-vă semnul $"-"$.

Punem semnul $"–"$, pe care l-am memorat, în fața numărului rezultat și obținem $−4.$

Rezumatul soluției:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Răspuns: $4+(−8)=−4$.

Pentru a adăuga numere raționale cu semne opuse, este convenabil să le reprezentați ca fracții ordinare sau zecimale.

Scăderea numerelor cu semne diferite și negative

Regula pentru scăderea numerelor negative:

Pentru a scădea un număr negativ $b$ din numărul $a$, este necesar să adăugați la minuend $a$ numărul $−b$, care este opusul $b$ scăzut.

După regula scăderii, putem scrie:

$a−b=a+(−b)$.

Această regulă este valabilă pentru numere întregi, raționale și reale. Regula poate fi folosită atunci când scădeți un număr negativ dintr-un număr pozitiv, dintr-un număr negativ și din zero.

Exemplul 4

Scădeți din numărul negativ $−28$ numărul negativ $−5$.

Soluţie.

Numărul opus pentru numărul $–5$ este numărul $5$.

Conform regulii de scădere a numerelor negative, obținem:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Să adunăm numere cu semne opuse:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Răspuns: $(−28)−(−5)=−23$.

Când scădeți numere fracționale negative, trebuie să convertiți numerele în forma de fracții obișnuite, numere mixte sau fracții zecimale.

Adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite

Regula pentru scăderea numerelor cu semne opuse este aceeași cu regula pentru scăderea numerelor negative.

Exemplul 5

Scădeți numărul pozitiv $7$ din numărul negativ $−11$.

Soluţie.

Numărul opus pentru numărul $7$ este numărul $–7$.

Conform regulii de scădere a numerelor cu semne opuse, obținem:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Să adăugăm numere negative:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Rezolvare scurtă: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Răspuns: $(−11)−7=−18$.

Când scădeți numere fracționale cu semne diferite, este necesar să convertiți numerele în forma de fracții ordinare sau zecimale.

Ca parte a acestui material, vom atinge un subiect atât de important precum adăugarea numerelor negative. În primul paragraf, vom descrie regula de bază pentru această acțiune, iar în al doilea, vom analiza exemple concrete de rezolvare a unor astfel de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regula de bază pentru adunarea numerelor naturale

Înainte de a deriva regula, să ne amintim ceea ce știm în general despre numerele pozitive și negative. Mai devreme am convenit că numerele negative ar trebui percepute ca o datorie, o pierdere. Modulul unui număr negativ exprimă mărimea exactă a acestei pierderi. Apoi, adăugarea numerelor negative poate fi considerată ca adunarea a două pierderi.

Folosind acest raționament, formulăm regula de bază pentru adunarea numerelor negative.

Definiția 1

Pentru a îndeplini adunarea numerelor negative, trebuie să adăugați valorile modulelor lor și să puneți un minus în fața rezultatului. În formă literală, formula arată ca (− a) + (− b) = − (a + b) .

Pe baza acestei reguli, putem concluziona că adunarea numerelor negative este asemănătoare cu adunarea celor pozitive, doar că în final trebuie să obținem cu siguranță un număr negativ, deoarece trebuie să punem semnul minus în fața sumei modulelor.

Ce dovezi pot fi date pentru această regulă? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim proprietățile de bază ale operațiilor cu numere reale (fie cu numere întregi, fie cu numere raționale - sunt aceleași pentru toate aceste tipuri de numere). Pentru a o demonstra, trebuie doar să demonstrăm că diferența dintre părțile stânga și dreaptă ale ecuației (− a) + (− b) = − (a + b) va fi egală cu 0 .

Scăderea unui număr dintr-altul este la fel cu adăugarea aceluiași număr opus. Prin urmare, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Reamintim că expresiile numerice cu adunare au două proprietăți principale - asociativă și comutativă. Atunci putem concluziona că (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Deoarece, adunând numere opuse, obținem întotdeauna 0, atunci (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 și 0 + 0 \u003d 0. Egalitatea noastră poate fi considerată dovedită, ceea ce înseamnă că regula de adunare a numerelor negative am demonstrat-o si noi.

În al doilea paragraf, vom lua probleme specifice în care trebuie să adăugați numere negative și vom încerca să aplicați regula învățată în ele.

Exemplul 1

Aflați suma a două numere negative - 304 și - 18007.

Soluţie

Să facem pașii pas cu pas. Mai întâi trebuie să găsim modulele numerelor de adăugat: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . În continuare, trebuie să efectuăm acțiunea de adăugare, pentru care folosim metoda numărării coloanelor:

Tot ce ne rămâne este să punem un minus în fața rezultatului și să obținem - 18 311 .

Răspuns: - - 18 311 .

Depinde ce numere avem, la ce putem reduce acțiunea adunării: la găsirea sumei numerelor naturale, la adunarea fracțiilor ordinare sau zecimale. Să analizăm problema cu astfel de numere.

Exemplul N

Aflați suma a două numere negative - 2 5 și − 4 , (12) .

Soluţie

Găsim modulele numerelor dorite și obținem 2 5 și 4 , (12) . Avem două fracții diferite. Reducem problema la adunarea a două fracții ordinare, pentru care reprezentăm fracția periodică sub forma unui ordinar:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

Drept urmare, am obținut o fracție care va fi ușor de adăugat la primul termen original (dacă ați uitat cum să adăugați corect fracții cu diferiți numitori, repetați materialul corespunzător).

2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

Drept urmare, am obținut un număr mixt, în fața căruia trebuie să punem doar un minus. Aceasta completează calculele.

Răspuns: - 4 86 105 .

Numerele negative reale se adună în același mod. Rezultatul unei astfel de acțiuni este de obicei scris ca o expresie numerică. Valoarea sa nu poate fi calculată sau limitată la calcule aproximative. Deci, de exemplu, dacă trebuie să găsim suma - 3 + (− 5) , atunci scriem răspunsul ca - 3 − 5 . Am dedicat un material separat adunării numerelor reale, în care puteți găsi alte exemple.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Adunarea numerelor negative.

Suma numerelor negative este un număr negativ. Modulul sumei este egal cu suma modulelor termenilor.

Să vedem de ce și suma numerelor negative va fi un număr negativ. Linia de coordonate ne va ajuta în acest sens, pe care vom efectua adăugarea numerelor -3 și -5. Să marchem un punct pe linia de coordonate corespunzătoare numărului -3.

La numărul -3 trebuie să adăugăm numărul -5. Unde mergem din punctul corespunzător numărului -3? Așa e, la stânga! Pentru 5 segmente simple. Marcam punctul și scriem numărul corespunzător acestuia. Acest număr este -8.

Deci, atunci când adunăm numere negative folosind o linie de coordonate, suntem întotdeauna la stânga punctului de referință, prin urmare, este clar că rezultatul adunării numerelor negative este, de asemenea, un număr negativ.

Notă. Am adăugat numerele -3 și -5, adică. a găsit valoarea expresiei -3+(-5). De obicei, atunci când adaugă numere raționale, pur și simplu notează aceste numere cu semnele lor, ca și cum ar enumera toate numerele care trebuie adăugate. O astfel de notație se numește sumă algebrică. Aplicați (în exemplul nostru) înregistrarea: -3-5=-8.

Exemplu. Aflați suma numerelor negative: -23-42-54. (Sunteți de acord că această intrare este mai scurtă și mai convenabilă astfel: -23+(-42)+(-54))?

Noi decidem după regula adunării numerelor negative: adunăm modulele termenilor: 23+42+54=119. Rezultatul va fi cu semnul minus.

De obicei, o notează astfel: -23-42-54 \u003d -119.

Adunarea numerelor cu semne diferite.

Suma a două numere cu semne diferite are semnul adunului cu un modul mare. Pentru a găsi modulul sumei, trebuie să scădeți modulul mai mic din modulul mai mare.

Să efectuăm adunarea numerelor cu semne diferite folosind linia de coordonate.

1) -4+6. Este necesar să adăugați numărul -4 la numărul 6. Marcam numărul -4 cu un punct pe linia de coordonate. Numărul 6 este pozitiv, ceea ce înseamnă că din punctul cu coordonata -4 trebuie să mergem la dreapta cu 6 segmente de unitate. Am ajuns în dreapta originii (de la zero) cu 2 segmente de unitate.

Rezultatul sumei numerelor -4 și 6 este numărul pozitiv 2:

— 4+6=2. Cum ai putut obține numărul 2? Scădeți 4 din 6, adică scade pe cel mai mic din cel mai mare. Rezultatul are același semn ca și termenul cu un modul mare.

2) Să calculăm: -7+3 folosind linia de coordonate. Marcam punctul corespunzător numărului -7. Mergem la dreapta cu 3 segmente de unitate și obținem un punct cu coordonata -4. Am fost și am rămas în stânga originii: răspunsul este un număr negativ.

— 7+3=-4. Am putea obține acest rezultat astfel: l-am scăzut pe cel mai mic din modulul mai mare, adică. 7-3=4. Ca urmare, a fost stabilit semnul termenului cu un modul mai mare: |-7|>|3|.

Exemple. Calculati: A) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.

În acest articol vom vorbi despre adunarea numerelor negative. În primul rând, dăm o regulă pentru adunarea numerelor negative și o demonstrăm. După aceea, vom analiza exemple tipice de adăugare de numere negative.

Navigare în pagină.

Regula de adunare negativă

Înainte de a da formularea regulii de adunare a numerelor negative, să ne întoarcem la materialul articolului numere pozitive și negative. Acolo am menționat că numerele negative pot fi percepute ca datorie, iar în acest caz determină cuantumul acestei datorii. Prin urmare, adăugarea a două numere negative este adăugarea a două datorii.

Această concluzie face posibilă înțelegerea regula de adunare negativă. Pentru a adăuga două numere negative, aveți nevoie de:

• stivuiți modulele lor;
• pune semnul minus în fața sumei primite.

Să scriem regula pentru adăugarea numerelor negative −a și −b în formă literală: (−a)+(−b)=−(a+b).

Este clar că regula vocală reduce adunarea numerelor negative la adunarea numerelor pozitive (modulul unui număr negativ este un număr pozitiv). De asemenea, este clar că rezultatul adunării a două numere negative este un număr negativ, așa cum o demonstrează semnul minus care este plasat în fața sumei modulelor.

Regula de adunare a numerelor negative poate fi demonstrată pe baza proprietățile acțiunilor cu numere reale(sau aceleași proprietăți ale operațiilor cu numere raționale sau întregi). Pentru a face acest lucru, este suficient să arătăm că diferența dintre părțile din stânga și din dreapta ale egalității (−a)+(−b)=−(a+b) este egală cu zero.

Deoarece scăderea unui număr este la fel cu adăugarea numărului opus (vezi regula pentru scăderea numerelor întregi), atunci (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). În virtutea proprietăților comutative și asociative ale adunării, avem (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Deoarece suma numerelor opuse este egală cu zero, atunci (−a+a)+(−b+b)=0+0 și 0+0=0 datorită proprietății de a adăuga un număr la zero. Aceasta dovedește egalitatea (−a)+(−b)=−(a+b) și, prin urmare, regula de adunare a numerelor negative.

Rămâne doar să înveți cum să aplici în practică regula de adunare a numerelor negative, ceea ce vom face în paragraful următor.

Exemple de adăugare de numere negative

Să analizăm exemple de adunare a numerelor negative. Să începem cu cel mai simplu caz - adăugarea numerelor întregi negative, adunarea se va efectua conform regulii discutate în paragraful anterior.

Exemplu.

Adăugați numere negative -304 și -18007.

Soluţie.

Să urmăm toți pașii regulii de adunare a numerelor negative.

În primul rând, găsim modulele numerelor adăugate: și . Acum trebuie să adăugați numerele rezultate, aici este convenabil să efectuați adăugarea coloanelor:

Acum punem un semn minus în fața numărului rezultat, ca rezultat avem −18 311 .

Să scriem întreaga soluție sub formă scurtă: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

Răspuns:

−18 311 .

Adunarea numerelor raționale negative, în funcție de numerele în sine, se poate reduce fie la adunarea numerelor naturale, fie la adunarea fracțiilor obișnuite, fie la adăugarea fracțiilor zecimale.

Exemplu.

Adăugați un număr negativ și un număr negativ −4,(12) .

Soluţie.

Conform regulii de adunare a numerelor negative, mai întâi trebuie să calculați suma modulelor. Modulele numerelor negative adăugate sunt 2/5 și, respectiv, 4 (12). Adunarea numerelor rezultate poate fi redusă la adunarea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, traducem fracția zecimală periodică într-o fracție obișnuită:. Deci 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Acum hai să executăm