Pentru a rezolva majoritatea problemelor din matematica de liceu, sunt necesare cunoștințe de proporție. Această abilitate simplă va ajuta nu numai să efectuați exerciții complexe din manual, ci și să vă adânciți în însăși esența științei matematice. Cum se face o proporție? Acum să ne dăm seama.

Cel mai simplu exemplu este o problemă în care se cunosc trei parametri, iar al patrulea trebuie găsit. Proporțiile sunt, desigur, diferite, dar adesea trebuie să găsiți un număr în procente. De exemplu, băiatul avea zece mere în total. I-a dat a patra parte mamei sale. Câte mere i-au rămas băiatului? Acesta este cel mai simplu exemplu care vă va permite să faceți o proporție. Principalul lucru este să o faci. Inițial erau zece mere. Să fie 100%. Asta i-am marcat toate merele. A dat un sfert. 1/4=25/100. Deci, a plecat: 100% (a fost inițial) - 25% (a dat) = 75%. Această cifră arată procentul cantității de fructe rămase față de cantitatea de fructe care a fost disponibilă mai întâi. Acum avem trei numere prin care putem rezolva deja proporția. 10 mere - 100%, X mere - 75%, unde x este cantitatea dorită de fructe. Cum se face o proporție? Este necesar să înțelegem ce este. Matematic arată așa. Semnul egal este pentru înțelegerea ta.

10 mere = 100%;

x mere = 75%.

Se pare că 10/x = 100%/75. Aceasta este principala proprietate a proporțiilor. La urma urmei, cu cât este mai mult x, cu atât acest număr este mai mare față de original. Rezolvăm această proporție și obținem că x=7,5 mere. De ce băiatul a decis să dea o sumă care nu este întreagă, nu știm. Acum știi cum să faci o proporție. Principalul lucru este să găsiți două rapoarte, dintre care unul conține necunoscutul dorit.

Rezolvarea unei proporții se reduce adesea la o simplă înmulțire și apoi împărțire. Copiii nu sunt învățați în școli de ce este așa. Deși este important să înțelegem că relațiile proporționale sunt clasice matematice, însăși esența științei. Pentru a rezolva proporțiile, trebuie să fii capabil să gestionezi fracțiile. De exemplu, este adesea necesar să convertiți procentele în fracții obișnuite. Adică, un record de 95% nu va funcționa. Și dacă scrieți imediat 95/100, atunci puteți face reduceri solide fără a începe numărătoarea principală. Merită să spuneți imediat că, dacă proporția dvs. s-a dovedit cu două necunoscute, atunci nu poate fi rezolvată. Nici un profesor nu te poate ajuta aici. Iar sarcina ta, cel mai probabil, are un algoritm mai complex pentru acțiuni corecte.

Luați în considerare un alt exemplu în care nu există procente. Șoferul a cumpărat 5 litri de benzină pentru 150 de ruble. S-a gândit cât va plăti pentru 30 de litri de combustibil. Pentru a rezolva această problemă, notăm cu x suma necesară de bani. Puteți rezolva singur această problemă și apoi verificați răspunsul. Dacă încă nu v-ați dat seama cum să faceți o proporție, atunci uitați-vă. 5 litri de benzină înseamnă 150 de ruble. Ca și în primul exemplu, să scriem 5l - 150r. Acum să găsim al treilea număr. Desigur, sunt 30 de litri. De acord că o pereche de 30 l - x ruble este potrivită în această situație. Să trecem la limbajul matematic.

5 litri - 150 de ruble;

30 de litri - x ruble;

Rezolvam aceasta proportie:

x = 900 de ruble.

Asta am decis noi. În sarcina dvs., nu uitați să verificați caracterul adecvat al răspunsului. Se întâmplă ca, cu o decizie greșită, mașinile să atingă viteze nerealiste de 5000 de kilometri pe oră și așa mai departe. Acum știi cum să faci o proporție. De asemenea, o poți rezolva. După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în asta.

Sarcina 1. Grosimea a 300 de coli de hârtie pentru imprimantă este de 3,3 cm. Cât de gros ar fi un teanc de 500 de coli din aceeași hârtie?

Soluţie. Fie x cm grosimea unei rame de hârtie de 500 de coli. În două moduri găsim grosimea unei foi de hârtie:

3,3: 300 sau x : 500.

Deoarece foile de hârtie sunt aceleași, aceste două rapoarte sunt egale între ele. Obținem proporția aducere aminte: proporția este egalitatea a două rapoarte):

x=(3,3 · 500): 300;

x=5,5. Răspuns: ambalaj 500 foile de hârtie au o grosime 5,5 cm.

Acesta este un raționament și o formulare clasică a unei soluții la o problemă. Astfel de probleme sunt adesea incluse în testele de absolvire, care de obicei scriu soluția în această formă:

sau se decid oral, argumentând astfel: dacă 300 de coli au grosimea de 3,3 cm, atunci 100 de coli au o grosime de 3 ori mai mică. Împărțim 3,3 cu 3, obținem 1,1 cm. Aceasta este grosimea unei coli de hârtie de 100. Prin urmare, 500 de foi vor avea o grosime de 5 ori mai mare, prin urmare, înmulțim 1,1 cm cu 5 și obținem răspunsul: 5,5 cm.

Desigur, acest lucru este justificat, deoarece timpul pentru testarea absolvenților și a solicitanților este limitat. Cu toate acestea, în această lecție vom raționa și vom scrie soluția așa cum ar trebui făcută 6 clasă.

Sarcina 2. Câtă apă este conținută în 5 kg de pepene verde dacă se știe că pepenele este format din 98% apă?

Soluţie.

Întreaga masă de pepene verde (5 kg) este de 100%. Apa va fi x kg sau 98%. În două moduri, puteți afla câte kg cad pe 1% din masă.

5: 100 sau x : 98. Obținem proporția:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4,9 Răspuns: în 5 kg pepenele verde conține 4,9 kg de apă.

Masa a 21 de litri de ulei este de 16,8 kg. Care este masa a 35 de litri de ulei?

Soluţie.

Fie ca masa a 35 de litri de ulei să fie x kg. Apoi, în două moduri, puteți găsi masa a 1 litru de ulei:

16,8: 21 sau x : 35. Obținem proporția:

16,8: 21=x : 35.

Găsiți termenul mediu al proporției. Pentru a face acest lucru, înmulțim termenii extremi ai proporției ( 16,8 și 35 ) și împărțiți la termenul mediu cunoscut ( 21 ). Reduceți fracția cu 7 .

Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu 10 astfel încât numărătorul și numitorul să conțină numai numere naturale. Reducem fracția cu 5 (5 și 10) și mai departe 3 (168 și 3).

Răspuns: 35 litrii de ulei au o masă 28 kg.

După ce 82% din întreg câmpul fusese arat, au mai rămas de arat 9 hectare. Care este suprafața întregului domeniu?

Soluţie.

Fie ca aria întregului câmp să fie x ha, care este 100%. Rămâne de arat 9 hectare, adică 100% - 82% = 18% din întregul câmp. Să exprimăm 1% din suprafața câmpului în două moduri. Aceasta:

X : 100 sau 9 : 18. Facem o proporție:

X : 100 = 9: 18.

Găsim termenul extrem necunoscut al proporției. Pentru a face acest lucru, înmulțim termenii medii ai proporției ( 100 și 9 ) și împărțiți la termenul extrem cunoscut ( 18 ). Reducem fracția.

Răspuns: zona întregului domeniu 50 ha.

Pagina 1 din 1 1

În secțiunea cu întrebarea Amintește-mi cum să calculez procentele folosind proporții? dat de autor însilozare cel mai bun răspuns este Pe o bucată de hârtie, înmulțind datele cunoscute cu o cruce și împărțind la al 3-lea număr. Mai mult sau mai puțin așa:
500=100%
200=??? %
Total 200*100/500= 40%
Ceva de genul...))

Raspuns de la Ierghey Orlov[maestru]
Este mai bine pentru elevii slabi să găsească sarcini dificile la matematică cu ajutorul proporțiilor.
Ei pot găsi procente ale unui număr fără proporții.
Înmulțiți numărul de pe calculator cu numărul de procente împărțit la 100.
Pentru a găsi 13% din 70 aveți nevoie de 70 * 0,13
Există încă 2 tipuri de sarcini pentru %.
A găsi rata de % face parte din întreg. Deși aici te poți descurca cu ușurință fără proporții.
Dar când % din număr este cunoscut. Sunt deja multe dificultăți.
Dacă întâlniți o sarcină pentru %, luați pentru „x” ceea ce trebuie să găsiți.
Pune o liniuță și scrie cu ce corespunde.
Mai jos scrieți următoarele date.
De exemplu, pentru ultimul tip de sarcină.
Este dificil pentru mulți jucători de 4 jucători să o rezolve.
5% dintr-un număr este egal cu, să spunem, 12.
Găsiți numărul în sine. Să aplicăm acest lucru la chimie. Dată o soluție acidă 5%. Masa to-you (in-va pur, concentrat) din soluție este de 12 g. Aflați masa întregii soluții.
Scriem proporție.
x ------100%
12g -------5%
Înmulțiți în cruce.
x*5 = 12*100
Rezolvăm ecuația rezultată
x \u003d (12 * 100) 5 \u003d 240 (g.)

Raspuns de la Agatakristi[guru]
De fapt, în clasa a cincea se studiază procentele și se învață să calculeze fără ajutorul proporțiilor. Predau la o universitate, la Facultatea de Economie, iar mai mult de jumătate dintre studenții mei întâmpină dificultăți în operațiuni cu interes, ceea ce mă surprinde sincer. La urma urmei, acestea sunt lucruri simple! Ce fel de studenți au mers! Dacă la universitate trebuie să explice programul clasei a V-a!

Raspuns de la baston[guru]
5% reducere 68
68 - 100%
X - 5%
X \u003d (5 * 68) / 100 \u003d 3,4
sau
68 * 0,05 \u003d 3,4 deoarece procentul este 1/100 din număr

Ecuație cuadratică pe Wikipedia
Ecuație cuadratică

Matematică proporțională pe Wikipedia
Consultați articolul wikipedia pe Proporția de matematică

În ultimul tutorial video, am luat în considerare rezolvarea problemelor procentuale folosind proporții. Apoi, în funcție de starea problemei, trebuia să găsim valoarea uneia sau alteia cantități.

De data aceasta, valorile inițiale și finale ne sunt deja date. Prin urmare, în sarcini va fi necesar să se găsească procente. Mai precis, cu ce procent s-a schimbat cutare sau cutare valoare. Sa incercam.

O sarcină. Pantofii de sport costă 3200 de ruble. După creșterea prețului, au început să coste 4000 de ruble. Cu ce ​​procent a crescut prețul adidașilor?

Deci, rezolvăm prin proporție. Primul pas - prețul inițial a fost egal cu 3200 de ruble. Prin urmare, 3200 de ruble este 100%.

În plus, ni s-a dat prețul final - 4000 de ruble. Acesta este un procent necunoscut, deci să-l notăm ca x . Obținem următoarea construcție:

3200 — 100%
4000 - x%

Ei bine, starea problemei este scrisă. Facem o proporție:

Fracția din stânga este perfect redusă cu 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. În plus, puteți reduce cu 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obținem următoarea proporție:

Să folosim proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor din mijloc. Primim:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

Aceasta este ecuația liniară obișnuită. De aici găsim x:

x=1000:8=125

Deci, am obținut procentul final x = 125. Dar este numărul 125 soluția problemei? În nici un caz! Pentru că sarcina vă cere să aflați cu ce procent a fost crescut prețul pantofilor sport.

Cu câte procente - asta înseamnă că trebuie să găsim o schimbare:

∆ = 125 − 100 = 25

Am primit 25% - cu atât a crescut prețul inițial. Acesta este răspunsul: 25.

Problema B2 pentru dobânda #2

Să trecem la a doua sarcină.

O sarcină. Cămașa a costat 1800 de ruble. După reducerea prețului, a început să coste 1530 de ruble. Cu ce ​​procent s-a redus pretul camasii?

Traducem condiția în limbaj matematic. Prețul inițial de 1800 de ruble este de 100%. Și prețul final este de 1530 de ruble - îl știm, dar nu se știe câte procente este din valoarea inițială. Prin urmare, o notăm cu x. Obținem următoarea construcție:

1800 — 100%
1530 - x%

Pe baza înregistrării rezultate, alcătuim proporția:

Să împărțim ambele părți ale acestei ecuații la 100 pentru a simplifica calculele suplimentare. Cu alte cuvinte, tăiem două zerouri la numărătorul fracțiilor din stânga și din dreapta. Primim:

Acum să folosim din nou proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor medii.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

Rămâne de găsit x:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Am obținut că x = 85. Dar, ca și în problema anterioară, acest număr în sine nu este răspunsul. Să ne întoarcem la starea noastră. Știm acum că noul preț după reducere este de 85% din prețul vechi. Și pentru a găsi modificările, aveți nevoie de prețul vechi, adică. 100%, scade noul preț, adică 85%. Primim:

∆ = 100 − 85 = 15

Acest număr va fi răspunsul: Vă rugăm să rețineți: exact 15, și în niciun caz 85. Atât! Problema rezolvata.

Elevii atenți se vor întreba probabil: de ce la prima sarcină, la găsirea diferenței, am scăzut numărul inițial din numărul final, iar la a doua sarcină am făcut exact invers: din 100% inițial am scăzut 85% final?

Să lămurim asta. Formal, în matematică, schimbarea valorii este întotdeauna diferența dintre valoarea finală și cea inițială. Cu alte cuvinte, în a doua problemă, ar fi trebuit să obținem nu 15, ci -15.

Cu toate acestea, în niciun caz acest minus nu trebuie inclus în răspuns, deoarece a fost deja luat în considerare în starea problemei inițiale. Scrie chiar acolo despre reducerea prețului. O scădere a prețului cu 15% este aceeași cu o creștere a prețului cu -15%. De aceea, în rezolvarea și răspunsul problemei este suficient să scrieți doar 15 - fără niciun minus.

Tot, sper, cu acest moment le-am înțeles. Aceasta încheie lecția noastră de astăzi. Ne vedem în curând!

Din punctul de vedere al matematicii, o proporție este egalitatea a două rapoarte. Interdependența este caracteristică tuturor părților proporției, precum și rezultatul lor neschimbător. Puteți înțelege cum să faceți o proporție familiarizându-vă cu proprietățile și formula proporției. Pentru a înțelege principiul rezolvării proporțiilor, va fi suficient să luăm în considerare un exemplu. Doar rezolvând direct proporții, puteți învăța ușor și rapid aceste abilități. Și acest articol va ajuta cititorul în acest sens.

Proprietăți proporționale și formulă

1. Inversarea proporției. În cazul în care egalitatea dată arată ca 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți 2b: 1a = 4d: 3c. (Mai mult, 1a, 2b, 3c și 4d sunt numere prime, altele decât 0).
2. Înmulțirea încrucișată a membrilor proporției date. În termeni literali, acesta arată astfel: 1a: 2b \u003d 3c: 4d, iar scrierea 1a4d \u003d 2b3c va fi echivalentă cu aceasta. Astfel, produsul părților extreme ale oricărei proporții (numerele de la marginile egalității) este întotdeauna egal cu produsul părților din mijloc (numerele situate în mijlocul egalității).
3. La compilarea unei proporții, o astfel de proprietate a acesteia ca o permutare a termenilor extremi și medii poate fi, de asemenea, utilă. Formula de egalitate 1a: 2b = 3c: 4d poate fi afișată în următoarele moduri:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (când membrii mijlocii ai proporției sunt rearanjați).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (când membrii extremi ai proporției sunt rearanjați).
4. Ajută perfect la rezolvarea proporției proprietății sale de creștere și scădere. Cu 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (egalitatea prin proporție crescătoare).
   • (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (egalitate prin proporție descrescătoare).
5. Puteți crea proporții adunând și scăzând. Când proporția este scrisă ca 1a:2b = 3c:4d atunci:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (se adaugă proporția).
   • (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (se scade proporția).
6. De asemenea, atunci când rezolvați o proporție care conține numere fracționale sau mari, puteți împărți sau înmulți ambii termeni cu același număr. De exemplu, componentele proporției 70:40=320:60 pot fi scrise astfel: 10*(7:4=32:6).
7. Varianta de rezolvare a proporției cu procente arată așa. De exemplu, notați, 30=100%, 12=x. Acum ar trebui să înmulțiți termenii de mijloc (12 * 100) și să împărțiți la extrema cunoscută (30). Astfel, răspunsul este: x=40%. În mod similar, dacă este necesar, puteți înmulți termenii extremi cunoscuți și îi puteți împărți la un număr mediu dat, obținând rezultatul dorit.

Dacă sunteți interesat de o anumită formulă de proporție, atunci în versiunea cea mai simplă și cea mai comună, proporția este o astfel de egalitate (formulă): a / b \u003d c / d, în care a, b, c și d sunt patru non -zero numere.