Conținutul articolului

SECȚIUNI CONICE, curbe plane, care se obțin prin traversarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful acestuia (Fig. 1). Din punctul de vedere al geometriei analitice, o secțiune conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole.

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care se rotesc în jurul Soarelui sunt elipse. Un cerc este un caz special al unei elipse, în care axa majoră este egală cu cea minoră. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa ei converg într-un punct (focal). Acesta este folosit în majoritatea telescoapelor reflectorizante care folosesc oglinzi parabolice, precum și în antene radar și microfoane speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în focarul unui reflector parabolic. Prin urmare, oglinzile parabolice sunt folosite în reflectoare puternice și faruri auto. O hiperbola este un grafic al multor relații fizice importante, cum ar fi legea lui Boyle (care leagă presiunea și volumul unui gaz ideal) și legea lui Ohm, care definește curentul electric ca o funcție a rezistenței la tensiune constantă.

ISTORIE VIMPURIE

Descoperitorul secțiunilor conice este Menechmus (secolul al IV-lea î.Hr.), un elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru cel Mare. Menechmus a folosit o parabolă și o hiperbolă isoscelă pentru a rezolva problema dublării unui cub.

Tratate de secțiuni conice scrise de Aristaeus și Euclid la sfârșitul secolului al IV-lea. BC, s-au pierdut, dar materialele din ele au fost incluse în celebre Secțiuni conice Apollonius din Perga (c. 260-170 î.Hr.), care au supraviețuit până în vremea noastră. Apollonius a abandonat cerința ca planul secant al generatricei conului să fie perpendicular și, variind unghiul de înclinare a acestuia, a obținut toate secțiunile conice dintr-un singur con circular, drept sau înclinat. De asemenea, lui Apollonius îi datorăm denumirile moderne de curbe - elipsă, parabolă și hiperbolă.

În construcțiile sale, Apollonius a folosit un con circular cu două foi (ca în Fig. 1), așa că pentru prima dată a devenit clar că o hiperbolă este o curbă cu două ramuri. Din vremea lui Apollonius, secțiunile conice au fost împărțite în trei tipuri, în funcție de înclinarea planului de tăiere față de generatria conului. Elipsa (Fig. 1, A) se formează când planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; parabolă (Fig. 1, b) - când planul de tăiere este paralel cu unul dintre planurile tangente ale conului; hiperbola (fig. 1, în) - când planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului.

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE

În timp ce studiau secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistant de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă.

Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în puncte F 1 și F 2 (Fig. 2), apoi curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. puncte F 1 și F 2 se numesc focarele elipsei, iar segmentele V 1 V 2 și v 1 v 2 între punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate - axele majore și minore. Dacă punctele F 1 și F 2 coincid, apoi elipsa se transformă într-un cerc.

Hiperbolă.

Când construiți o hiperbolă, un punct P, vârful unui creion, se fixează pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în puncte F 1 și F 2 așa cum se arată în fig. 3, A. Distanţele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 este mai lung decât segmentul PF 1 cu o sumă fixă ​​mai mică decât distanța F 1 F 2. În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuier F 1 și ambele capete ale firului trec peste cuier F 2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, așa că trebuie să-l fixați făcând o buclă mică pe fir și înfilând vârful în el.) O ramură a hiperbolei ( PV 1 Q) tragem, asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și trăgând ambele capete ale firului în jos dincolo de punct F 2, iar când punctul P va fi sub linie F 1 F 2, ținând firul la ambele capete și strângându-l cu grijă (adică eliberându-l). A doua ramură a hiperbolei ( Pў V 2 Qў) desenăm, schimbând anterior rolurile cuierelor F 1 și F 2 .

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Fig. 3, b. Pantele acestor drepte sunt ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), unde v 1 v 2 - un segment al bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segment F 1 F 2; segment de linie v 1 v 2 se numește axa conjugată a hiperbolei și segmentul V 1 V 2 - axa sa transversală. Deci asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v 1 și v 2. Sunt la aceeași distanță, egală cu

din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catete Ov 1 și V 2 O si ipotenuza F 2 O.

Dacă asimptotele hiperbolei sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscelă. Două hiperbole având asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă.

Focarele elipsei și hiperbolei erau cunoscute de Apollonius, dar focarul parabolei, aparent, a fost stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul punctelor echidistante de un punct dat ( focus) și o linie dreaptă dată, care se numește director. Construcția unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI). Poziționați rigla astfel încât marginea acesteia să coincidă cu directriza LLў (Fig. 4) și atașați piciorul de această margine AC triunghi de desen ABC. Fixăm un capăt al firului cu o lungime ABîn vârf B triunghi și celălalt la focarul parabolei F. Tragând firul cu vârful unui creion, apăsați vârful într-un punct variabil P la patina liberă AB triunghi de desen. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focalizare Fși directoare LLў, deoarece lungimea totală a firului este egală cu AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și, prin urmare, segmentul rămas al firului PF trebuie să fie egal cu restul piciorului AB, adică PA. Punct de intersecție V parabola cu o axă se numește vârful parabolei, o linie dreaptă care trece prin Fși V, este axa parabolei. Dacă prin focar este trasată o linie dreaptă perpendiculară pe axă, atunci segmentul acestei linii drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este definit în mod similar.

PROPRIETĂȚI ALE SECȚIUNILOR CONICE

Definiții Pappus.

Stabilirea focalizării parabolei l-a condus pe Pappus la ideea de a oferi o definiție alternativă a secțiunilor conice în general. Lăsa F este un punct dat (focalizare) și L este o linie dreaptă dată (directrice) care nu trece prin F, și D Fși D L– distanta fata de punctul de miscare P a se concentra F si directori L respectiv. Apoi, după cum a arătat Papp, secțiunile conice sunt definite ca loc de puncte P, pentru care raportul D F/D L este o constantă nenegativă. Acest raport se numește excentricitate e sectiune conica. La e e > 1 este o hiperbolă; la e= 1 este o parabolă. În cazul în care un F se întinde pe L, atunci locusul are forma unor linii (reale sau imaginare), care sunt secțiuni conice degenerate.

Simetria vizibilă a elipsei și a hiperbolei sugerează că fiecare dintre aceste curbe are două directrice și două focare, iar această circumstanță l-a condus pe Kepler în 1604 la ideea că parabola are și un al doilea focar și o a doua directrice - un punct la infinit și Drept. În mod similar, cercul poate fi considerat ca o elipsă, ale cărei focare coincid cu centrul, iar directricele sunt la infinit. Excentricitate eîn acest caz este zero.

Designul lui Dandelin.

Focalele și directricele unei secțiuni conice pot fi demonstrate clar folosind sfere înscrise într-un con și numite sfere Dandelin (bile) în onoarea matematicianului și inginerului belgian J. Dandelin (1794–1847), care a propus următoarea construcție. Fie ca secțiunea conică să fie formată prin intersecția unui plan p cu un con circular drept cu două cavităţi cu vârf într-un punct O. Să înscriem două sfere în acest con S 1 și S 2 care ating avionul p la puncte F 1 și F 2 respectiv. Dacă secțiunea conică este o elipsă (Fig. 5, A), atunci ambele sfere se află în interiorul aceleiași cavități: o sferă este situată deasupra planului p iar celălalt dedesubt. Fiecare generatrică a conului atinge ambele sfere, iar locul punctelor de contact are forma a două cercuri C 1 și C 2 situate în planuri paralele p 1 și p 2. Lăsa P este un punct arbitrar pe o secțiune conică. Să desenăm drept PF 1 , PF 2 și extindeți linia PO. Aceste drepte sunt tangente la sferele în puncte F 1 , F 2 și R 1 , R 2. Deoarece toate tangentele trasate la sferă dintr-un punct sunt egale, atunci PF 1 = relatii cu publicul 1 și PF 2 = relatii cu publicul 2. Prin urmare, PF 1 + PF 2 = relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 = R 1 R 2. Din moment ce avioanele p 1 și p 2 paralel, segment R 1 R 2 este de lungime constantă. Astfel, valoarea relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 este același pentru toate pozițiile punctului P, și punct P aparține locului punctelor pentru care suma distanțelor de la P inainte de F 1 și F 2 este constantă. Prin urmare, punctele F 1 și F 2 - focare de secțiune eliptică. În plus, se poate demonstra că liniile de-a lungul cărora planul p traversează avionul p 1 și p 2, sunt directrice ale elipsei construite. În cazul în care un p traversează ambele cavități ale conului (Fig. 5, b), apoi două sfere Dandelin se află pe aceeași parte a avionului p, o sferă în fiecare cavitate a conului. În acest caz, diferența dintre PF 1 și PF 2 este constantă, iar locul punctelor P are forma unei hiperbole cu focare F 1 și F 2 și linii drepte - linii de intersecție p Cu p 1 și p 2 - în calitate de directori. Dacă secțiunea conică este o parabolă, așa cum se arată în Fig. 5, în, atunci doar o sferă Dandelin poate fi înscrisă în con.

Alte proprietăți.

Proprietățile secțiunilor conice sunt cu adevărat inepuizabile și oricare dintre ele poate fi considerată decisivă. loc important în Întâlnire matematică Pappa (c. 300), geometrii Descartes (1637) și Începuturile Newton (1687) este preocupat de problema locului punctelor în raport cu patru drepte. Dacă pe plan sunt date patru drepte L 1 , L 2 , L 3 și L 4 (dintre care două se pot potrivi) și un punct P este astfel încât produsul distanțelor de la P inainte de L 1 și L 2 este proporțional cu produsul distanțelor de la P inainte de L 3 și L 4, apoi locul punctelor P este o secțiune conică. Crezând în mod eronat că Apollonius și Pappus nu au reușit să rezolve problema locului punctelor față de patru drepte, Descartes, pentru a obține o soluție și a o generaliza, a creat geometria analitică.

ABORDAREA ANALITICĂ

Clasificare algebrică.

În termeni algebrici, secțiunile conice pot fi definite ca curbe plane ale căror coordonate carteziene satisfac o ecuație de gradul doi. Cu alte cuvinte, ecuația tuturor secțiunilor conice poate fi scrisă în formă generală ca

unde nu toți coeficienții A, Bși C sunt egale cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

topor 2 + de 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Prima ecuație se obține din ecuația (1) cu B 2 № AC, al doilea - la ora B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiuni conice date prin ecuații de al doilea tip cu q Nr. 0, sunt numite non-centrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților.

2831) i A, bși c au același semn, atunci nu există puncte reale ale căror coordonate ar satisface ecuația. O astfel de secțiune conică se numește elipsă imaginară (sau cerc imaginar dacă A = b).

2) Dacă Ași b au un singur semn și c- opus, atunci secțiunea conică este o elipsă (Fig. 1, A); la A = b- cerc (Fig. 6, b).

3) Dacă Ași b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă (Fig. 1, în).

4) Dacă Ași b au semne diferite şi c= 0, atunci secțiunea conică este formată din două linii drepte care se intersectează (Fig. 6, A).

5) Dacă Ași b au un singur semn și c= 0, atunci există un singur punct real pe curbă care satisface ecuația, iar secțiunea conică este două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, se vorbește și de o elipsă contractată la un punct sau, dacă A = b, contractat într-un punct al unui cerc (Fig. 6, b).

6) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

7) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au același semn, atunci nu există niciun punct real care să satisfacă ecuația. În acest caz, se spune că secțiunea conică este formată din două linii paralele imaginare.

8) Dacă c= 0 și fie A, sau b este, de asemenea, egală cu zero, atunci secțiunea conică este formată din două drepte reale care coincid. (Ecuația nu definește nicio secțiune conică la A = b= 0, deoarece în acest caz ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.)

9) Ecuațiile de al doilea tip definesc parabolele dacă pși q sunt diferite de zero. În cazul în care un p nr. 0 și q= 0, se obține curba de la itemul 8. Dacă, pe de altă parte, p= 0, atunci ecuația nu definește nicio secțiune conică, deoarece ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.

Derivarea ecuațiilor secțiunilor conice.

Orice secțiune conică poate fi definită și ca o curbă de-a lungul căreia un plan se intersectează cu o suprafață pătratică, adică cu suprafaţa dată de ecuaţia gradului II f (X, y, z) = 0. Aparent, secțiunile conice au fost recunoscute pentru prima dată sub această formă, iar numele lor ( vezi mai jos) sunt legate de faptul că au fost obținute prin încrucișarea planului cu conul z 2 = X 2 + y 2. Lăsa ABCD- baza unui con circular drept (Fig. 7) cu unghi drept în vârf V. Lasă avionul FDC intersectează generatoarea VB la punct F, baza este în linie dreaptă CD iar suprafața conului - de-a lungul curbei DFPC, Unde P este orice punct al curbei. Desenați prin mijlocul segmentului CD- punct E- direct EF si diametrul AB. Prin punct P trageți un plan paralel cu baza conului, intersectând conul într-un cerc RPS si direct EF la punct Q. Apoi QFși QP pot fi luate, respectiv, pentru abscisă X si ordonata y puncte P. Curba rezultată va fi o parabolă.

Construcția prezentată în fig. 7 poate fi folosit pentru a obține ecuații generale pentru secțiunile conice. Pătratul lungimii unui segment al unei perpendiculare, restabilit din orice punct al diametrului la intersecția cu cercul, este întotdeauna egal cu produsul lungimilor segmentelor diametrului. De aceea

y 2 = RQ H QS.

Pentru o parabolă, un segment RQ are o lungime constantă (deoarece pentru orice poziție a punctului P este egal cu segmentul AE), și lungimea segmentului QS proporţional X(din relație QS/EB = QF/F.E.). De aici rezultă că

Unde A este un coeficient constant. Număr A exprimă lungimea parametrului focal al parabolei.

Dacă unghiul de la vârful conului este acut, atunci segmentul RQ nu egal cu tăierea AE; dar raportul y 2 = RQ H QS este echivalent cu o ecuație de formă

Unde Ași b sunt constante sau, după deplasarea axelor, la ecuație

care este ecuația unei elipse. Punctele de intersecție ale elipsei cu axa X (X = Ași X = –A) și punctele de intersecție ale elipsei cu axa y (y = bși y = –b) definesc axele majore și, respectiv, minore. Dacă unghiul de la vârful conului este obtuz, atunci curba de intersecție a conului și a planului are forma unei hiperbole, iar ecuația ia următoarea formă:

sau, după mutarea axelor,

În acest caz, punctele de intersecție cu axa X, dat de relația X 2 = A 2, definiți axa transversală și punctele de intersecție cu axa y, dat de relația y 2 = –b 2 definiți axa de împerechere. Dacă este constantă Ași bîn ecuația (4a) sunt egale, atunci hiperbola se numește isoscelă. Prin rotirea axelor, ecuația sa se reduce la forma

X y = k.

Acum din ecuațiile (3), (2) și (4) putem înțelege semnificația numelor date de Apollonius celor trei secțiuni conice principale. Termenii „elipsă”, „parabolă” și „hiperbolă” provin din cuvinte grecești care înseamnă „lipsă”, „egal” și „superior”. Din ecuațiile (3), (2) și (4) este clar că pentru o elipsă y 2 b 2 / A) X, pentru parabolă y 2 = (A) X iar pentru hiperbolă y 2 > (2b 2 /A) X. În fiecare caz, valoarea cuprinsă între paranteze este egală cu parametrul focal al curbei.

Apollonius însuși a considerat doar trei tipuri generale de secțiuni conice (tipurile 2, 3 și 9 enumerate mai sus), dar abordarea sa admite o generalizare care permite să se ia în considerare toate curbele reale de ordinul doi. Dacă planul de tăiere este ales paralel cu baza circulară a conului, atunci secțiunea va fi un cerc. Dacă planul de tăiere are un singur punct comun cu conul, vârful acestuia, atunci se va obține o secțiune de tip 5; dacă conține un vârf și o tangentă la con, atunci obținem o secțiune de tip 8 (Fig. 6, b); dacă planul de tăiere conține doi generatori ai conului, atunci se obține o curbă de tip 4 în secțiune (Fig. 6, A); când vârful este transferat la infinit, conul se transformă într-un cilindru, iar dacă planul conține două generatoare, atunci se obține o secțiune de tip 6.

Când este privit dintr-un unghi oblic, un cerc arată ca o elipsă. Relația dintre cerc și elipsă, cunoscută lui Arhimede, devine evidentă dacă cerc X 2 + Y 2 = A 2 folosind substituția X = X, Y = (A/b) y convertiți într-o elipsă dată de ecuația (3a). transformare X = X, Y = (ai/b) y, Unde i 2 = –1, ne permite să scriem ecuația cercului sub forma (4a). Aceasta arată că o hiperbolă poate fi privită ca o elipsă cu o axă minoră imaginară sau, dimpotrivă, o elipsă poate fi văzută ca o hiperbolă cu o axă conjugată imaginară.

Relația dintre ordonatele unui cerc X 2 + y 2 = A 2 și elipsa ( X 2 /A 2) + (y 2 /b 2) = 1 duce direct la formula lui Arhimede A = p ab pentru zona elipsei. Kepler cunoștea formula aproximativă p(A + b) pentru perimetrul unei elipse apropiate unui cerc, dar expresia exactă a fost obținută abia în secolul al XVIII-lea. după introducerea integralelor eliptice. După cum a arătat Arhimede, aria unui segment parabolic este de patru treimi din aria unui triunghi înscris, dar lungimea arcului unei parabole a putut fi calculată abia după secolul al XVII-lea. a fost inventat calculul diferenţial.

ABORDAREA PROIECTIVĂ

Geometria proiectivă este strâns legată de construcția perspectivei. Dacă desenați un cerc pe o foaie transparentă de hârtie și o plasați sub o sursă de lumină, atunci acest cerc va fi proiectat în planul de mai jos. În acest caz, dacă sursa de lumină este situată direct deasupra centrului cercului, iar planul și foaia transparentă sunt paralele, atunci proiecția va fi și un cerc (Fig. 8). Poziția sursei de lumină se numește punct de fugă. Este marcat cu litera V. În cazul în care un V situat nu deasupra centrului cercului sau dacă planul nu este paralel cu foaia de hârtie, atunci proiecția cercului ia forma unei elipse. Cu o înclinare și mai mare a planului, axa majoră a elipsei (proiecția cercului) se prelungește, iar elipsa se transformă treptat într-o parabolă; pe un plan paralel cu o dreaptă VP, proiecția arată ca o parabolă; cu o înclinare și mai mare, proiecția ia forma uneia dintre ramurile hiperbolei.

Fiecare punct de pe cercul original corespunde unui punct din proiecție. Dacă proiecția are forma unei parabole sau hiperbole, atunci ei spun că punctul corespunzător punctului P, este la infinit sau la infinit.

După cum am văzut, cu o alegere adecvată a punctelor de fugă, un cerc poate fi proiectat în elipse de diferite dimensiuni și cu diferite excentricități, iar lungimile axelor majore nu sunt direct legate de diametrul cercului proiectat. Prin urmare, geometria proiectivă nu se ocupă de distanțe sau lungimi în sine, sarcina sa este de a studia raportul lungimilor care se păstrează sub proiecție. Această relație poate fi găsită folosind următoarea construcție. prin orice punct P plan desenăm două tangente la orice cerc și conectăm punctele de contact cu o dreaptă p. Lasă o altă linie să treacă prin punct P, intersectează cercul în puncte C 1 și C 2, ci linia dreaptă p- la punct Q(Fig. 9). Planimetria demonstrează că PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Semnul minus apare deoarece direcția segmentului QC 1 opus directiilor altor segmente.) Cu alte cuvinte, punctele Pși Qîmpărțiți segmentul C 1 C 2 extern și intern în același sens; ei mai spun că raportul armonic al celor patru segmente este - 1. Dacă cercul este proiectat într-o secțiune conică și aceleași denumiri sunt păstrate pentru punctele corespunzătoare, atunci raportul armonic ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) va rămâne egal - 1. Punct P numit polul liniei pîn raport cu o secțiune conică și o linie dreaptă p- punctul polar P faţă de secţiunea conică.

Când punct P se apropie de o secţiune conică, polarul tinde să ia poziţia unei tangente; dacă punct P se află pe secțiunea conică, apoi polara sa coincide cu tangenta la secțiunea conică în punctul respectiv P. Dacă punct P situat în interiorul secțiunii conice, atunci polarul său poate fi construit după cum urmează. Să trecem prin punct P orice linie dreaptă care intersectează o secțiune conică în două puncte; trageți tangente la secțiunea conică în punctele de intersecție; să presupunem că aceste tangente se intersectează într-un punct P unu . Să trecem prin punct P o altă linie dreaptă care intersectează secțiunea conică în alte două puncte; să presupunem că tangentele la secțiunea conică în aceste noi puncte se intersectează în acest punct P 2 (Fig. 10). Linie care trece prin puncte P 1 și P 2 și există polarul dorit p. Dacă punct P apropiindu-se de centru O secțiunea conică centrală, apoi cea polară p se îndepărtează de O. Când punct P coincide cu O, apoi polarul său devine la infinit, sau ideal, drept pe plan.

CLĂDIRI SPECIALE

De interes deosebit pentru astronomi este următoarea construcție simplă a punctelor unei elipse folosind o busolă și o linie dreaptă. Fie o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct O(Fig. 11, A), se intersectează în puncte Qși R două cercuri concentrice centrate într-un punct Oși razele bși A, Unde b A. Să trecem prin punct Q linie orizontală și R- o linie verticală și indică punctul lor de intersecție P P când se rotește drept OQRîn jurul punctului O va fi o elipsă. Colţ fîntre linie OQR iar axa majoră se numește unghi excentric, iar elipsa construită este specificată convenabil de ecuațiile parametrice X = A cos f, y = b păcat f. Excluzând parametrul f, obținem ecuația (3a).

Pentru o hiperbolă, construcția este în mare măsură similară. Linie arbitrară care trece printr-un punct O, intersectează unul dintre cele două cercuri într-un punct R(Fig. 11, b). Până la punctul R un cerc și până la punctul final S diametrul orizontal al altui cerc, desenăm tangente care se intersectează OS la punct Tși SAU- la punct Q. Lasă linia verticală care trece prin punct T, și o linie orizontală care trece prin punct Q, se intersectează într-un punct P. Apoi locul punctelor P la rotirea segmentului SAUîn jurul O va exista o hiperbolă dată de ecuațiile parametrice X = A sec f, y = b tg f, Unde f- unghi excentric. Aceste ecuații au fost obținute de matematicianul francez A. Legendre (1752–1833). Prin excluderea parametrului f, obținem ecuația (4a).

O elipsă, după cum a observat N. Copernic (1473-1543), poate fi construită folosind o mișcare epiciclică. Dacă un cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul interiorului altui cerc cu diametrul de două ori mai mare, atunci fiecare punct P, care nu se află pe un cerc mai mic, ci fix în raport cu acesta, va descrie o elipsă. Dacă punct P este pe cercul mai mic, atunci traiectoria acestui punct este un caz degenerat al unei elipse - diametrul cercului mai mare. O construcție și mai simplă a unei elipse a fost propusă de Proclus în secolul al V-lea. Dacă se termină Ași B segment de linie dreaptă AB al unei lungimi date alunecă de-a lungul a două linii drepte fixe care se intersectează (de exemplu, de-a lungul axelor de coordonate), apoi fiecare punct intern P segmentul va descrie o elipsă; matematicianul olandez F. van Schoten (1615–1660) a arătat că orice punct din planul dreptelor care se intersectează, fix față de segmentul de alunecare, va descrie și o elipsă.

B. Pascal (1623-1662) la vârsta de 16 ani a formulat acum celebra teoremă a lui Pascal, care spune: trei puncte de intersecție ale laturilor opuse ale unui hexagon înscrise în orice secțiune conică se află pe o singură dreaptă. Pascal a derivat peste 400 de corolare din această teoremă.

segment de linie l.)

13) Dat un paralelogram ABCD. Desenați o dreaptă printr-un punct dat P paralel cu o dreaptă dată l. (Sugestie: aplicați 10 în centrul paralelogramului și folosiți 8.)

14) dat un paralelogram; crește segmentul dat de n ori. (Sugestie: utilizați 13 și 11.)

15) dat un paralelogram; împărțiți segmentul dat în n părți egale.

16) Dat un cerc fix cu centru. Desenați o dreaptă paralelă cu dreapta dată prin punctul dat. (Sugestie: aplicați 13.)

17) Dat un cerc fix cu centru. Măriți și micșorați segmentul dat de n ori. (Sugestie: aplicați 13.)

18) Dat un cerc fix cu centru. Desenați o perpendiculară pe o dreaptă dată printr-un punct dat. (Sugestie: utilizați un dreptunghi înscris într-un cerc dat, cu două laturi paralele cu o dreaptă dată și reduceți la problemele precedente.)

19) După ce am revizuit sarcinile 1-18, enumerați sarcinile de bază de construcție pe care le puteți face cu o riglă cu două fețe (două laturi paralele).

20) Două linii date l 1 și l2 se intersectează în punctul P, care se află în afara desenului. Construiți o dreaptă care leagă punctul dat Q cu punctul P . (Sugestie: completați elementele date în așa fel încât să se obțină o configurație a teoremei plane Desargues, cu P și Q devenind punctele de intersecție ale laturilor care se corespun reciproc a două triunghiuri.)

21) Desenați o linie dreaptă prin două puncte care sunt separate cu mai mult decât lungimea riglei. (Sugestie: aplicați 20.)

22) Dreptele l 1 şi l2 se intersectează în punctul P ; drepte m1 și m2 - în punctul Q; ambele puncte P și Q sunt în afara desenului. Construiți acea parte a dreptei P Q care se află în desen. (Indicație: pentru a obține un punct al dreptei P Q, construiți configurația Desargues în așa fel încât două laturi ale unui triunghi să fie respectiv pe l1 și m1 , două laturi ale celuilalt - respectiv pe l2 și m2 ).

23) Rezolvați 20 folosind teorema lui Pascal (pag. 209). (Sugestie: finalizați configurația Pascal, considerând l1 și l2 ca o pereche de laturi opuse ale hexagonului și Q ca punctul de intersecție al altei perechi de laturi opuse.)

*24) Fiecare dintre cele două linii drepte aflate în întregime în afara desenului este dată de două perechi de linii drepte care se intersectează în afara desenului

în puncte ale dreptei corespunzătoare. Definiți punctul lor de intersecție folosind două linii care se intersectează în afara desenului.

§ 8. Secțiuni conice și cvadrici

1. Geometria metrică elementară a secțiunilor conice. Până acum, ne-am ocupat doar de puncte, drepte, plane și figuri formate dintr-un număr finit al acestor elemente. Dacă geometria proiectivă s-ar limita la luarea în considerare a unor astfel de „li-

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

figuri naturale, ar fi relativ neinteresant. Dar un fapt de o importanță capitală este faptul că geometria proiectivă nu se limitează la aceasta, ci include și o zonă vastă de secțiuni conice și generalizările lor multidimensionale. Tratamentul metric apolinic al secțiunilor conice - elipse, hiperbole și parabole - a fost unul dintre succesele remarcabile ale matematicii antice. Cu greu se poate supraestima importanța secțiunilor conice atât pentru matematica pură, cât și pentru cea aplicată (de exemplu, orbitele planetelor și orbitele electronilor dintr-un atom de hidrogen sunt secțiuni conice). Nu este surprinzător că teoria clasică a secțiunilor conice, care își are originea în Grecia antică, este și astăzi o parte necesară a educației matematice. Dar geometria greacă nu avea nicidecum ultimul cuvânt. Două mii de ani mai târziu, au fost descoperite proprietăți proiective remarcabile ale secțiunilor conice. În ciuda simplității și eleganței acestor proprietăți, inerția academică a reprezentat până acum un obstacol în calea pătrunderii lor în predarea școlară.

Începem prin a aminti definițiile metrice ale fluxurilor conice. Există mai multe astfel de definiții, iar echivalența lor este dovedită în geometria elementară. Cele mai comune definiții sunt legate de focarele curbelor. O elipsă este definită ca locația unor astfel de puncte P pe planul în care suma distanțelor lor r1 și r2 de la două puncte date F1 și F2, numite focare, are o valoare constantă. (Dacă focarele coincid, curba se transformă într-un cerc.) O hiperbolă este definită ca locul punctelor P de pe plan astfel încât valoarea absolută a diferenței r1 − r2 să fie egală cu aceeași valoare constantă. O parabolă este definită ca locația punctelor P a căror distanță r de un punct dat F este egală cu distanța l de la o dreaptă dată.

În geometria analitică, aceste curbe sunt reprezentate prin ecuații de gradul doi în coordonate dreptunghiulare x, y. Este ușor de demonstrat, invers, că orice curbă reprezentată printr-o ecuație de ordinul doi

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

există fie una dintre cele trei secțiuni conice menționate mai sus, fie o linie dreaptă, fie o pereche de linii drepte, fie este redusă la un singur punct, fie este pur imaginar. După cum se arată în orice curs de geometrie analitică, este suficient să se facă o schimbare aleasă corect a sistemului de coordonate pentru demonstrație.

Definițiile de mai sus ale secțiunilor conice sunt în esență metrice, deoarece folosesc conceptul de distanță. Dar iată o altă definiție care stabilește locul secțiunilor conice în proiectiv

Orez. 94. Secțiuni conice

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

geometrie: secțiunile conice nu sunt altceva decât proiecții ale unui cerc pe un plan. Dacă începem să proiectăm cercul C dintr-un punct O, atunci liniile de proiectare formează un con dublu infinit, iar intersecția acestui con cu planul p va fi proiecția cercului C. Curba de intersecție va fi o elipsă sau a hiperbolă,

în funcţie de dacă planul intersectează doar o „cavitate” a conului sau ambele. Un caz intermediar de parabolă este de asemenea posibil dacă planul p este paralel cu una dintre liniile proeminente prin O (Fig. 94).

Conul proiectant nu trebuie să fie „circular dreapta” cu vârful O vertical deasupra centrului cercului C: poate fi și „oblic”. Dar în toate cazurile (cum vom accepta aici fără să demonstrăm) la intersecția unui con cu un plan se obține o curbă, a cărei ecuație este de gradul doi; și invers, orice curbă de ordinul doi poate fi obținută dintr-un cerc prin proiecție. Din acest motiv, curbele de ordinul doi sunt altfel numite secțiuni conice.

Am observat deja că dacă planul intersectează doar o „cavitate” a unui con circular drept, atunci intersecția E este o elipsă. Este ușor de stabilit că

Linia E satisface definiția focală obișnuită a unei elipse, care a fost formulată mai sus. Iată o dovadă foarte simplă și elegantă dată în 1822 de matematicianul belgian Dandelin. Să ne imaginăm două sfere S1 și S2 (Fig. 95), care ating planul de secțiune p în punctele F1 și, respectiv, F2 și, în plus, ating conul de-a lungul cercurilor paralele K1 și K2. Luând un punct arbitrar P al curbei E, desenăm segmentele P F1 și P F2 . Se consideră apoi segmentul P O care leagă punctul P cu vârful conului O; acest segment se află în întregime pe suprafața conului; notăm cu Q1 și Q2 punctele de intersecție cu cercurile K1 și K2 . Deoarece P F1 și P Q1 sunt două

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

tangente trase din punctul P la aceeași sferă S1, atunci

P F1 = P Q1 .

Similar

P F2 = P Q2 .

Adăugând aceste egalități, obținem:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2 .

Dar P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 este distanța dintre cercurile paralele K1 și K2 de pe suprafața conului: nu depinde de alegerea punctului P de pe curba E. Rezultă că, oricare ar fi punctul P pe E, egalitatea

P F1 + P F2 = const,

și aceasta este definiția focală a unei elipse. Deci E este o elipsă, iar F1 și F2 sunt focarele sale.

Un exercitiu. Dacă planul intersectează ambele „cavități” ale conului, atunci curba de intersecție este o hiperbolă. Demonstrați această afirmație plasând câte o sferă în fiecare dintre „cavitățile” conului.

2. Proprietățile proiective ale secțiunilor conice. Pe baza prevederilor stabilite în paragraful anterior, acum acceptăm temporar următoarea definiție: o secțiune conică este o proiecție a unui cerc pe un plan. Aceasta este definiția durerii-

corespunde spiritului geometriei proiective într-o măsură mai mare decât focalului general acceptat Orez. 95. Sfere de păpădie

nye definiții, deoarece acestea din urmă se bazează în întregime pe conceptul metric al distanței. Noua definiție nu este, de asemenea, complet scutită de acest neajuns, deoarece „cerc” este, de asemenea, un concept metric. Dar în scurt timp vom ajunge la o definiție pur proiectivă a secțiunilor conice.

Deoarece am acceptat că o secțiune conică nu este altceva decât o proiecție a unui cerc (cu alte cuvinte, prin termenul „secțiune conică” înțelegem orice curbă aparținând unei proiective

			GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ
	clasa de cerc; vezi p. 206), de aici rezultă imediat că
	orice proprietate a unui cerc care este invariantă sub proiectiv
						transformări,	ar trebui să-
						a aparține oricui
						sectiunea nic. Să ne amintim
						acum, următoarele este bine de-
						cunoscut - metric - propriu -
						circumferinta: „inscrisa in
						unghiuri de circumferință care susțin-
						pe acelasi arc, egal cu
						noi unul față de celălalt”. Pe fig. 96
						unghiul AOB, bazat pe du-
						gu ab, independent de poziție
						punctul O pe cerc. Sfânt
						înţelegere proiectivă
	Orez. 96. Relație dublă pe circumferențială					tiem dublu raport, introducând
						nu mai sunt doi pe cerc
						punctele A, B și patru: A, B, C,
	D. Patru drepte a, b, c, d care unesc aceste puncte cu punctul O pe
	cercurile au un raport dublu (a, b, c, d) depinzând numai de
	unghiuri bazate pe arce CA, CB, DA, DB. Conectarea A, B, C, D

cu un alt punct O0 pe cerc, obținem dreptele a0 , b0 , c0 , d0 . Din proprietatea notă anterior a cercului rezultă că două cvadruple de drepte sunt „congruente”1. Prin urmare, vor avea același raport dublu: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). Să proiectăm un cerc pe o secțiune conică K: apoi pe K obținem patru puncte, pe care le notăm din nou cu A, B, C, D, două puncte O și O0 și două patru linii a, b, c, d și a0, b0, c0, d0. Aceste două cvadruple de linii nu vor mai fi congruente, deoarece, în general, unghiurile nu se păstrează în timpul proiecției. Dar, deoarece raportul dublu nu se modifică în timpul proiectării, egalitatea (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ) este încă valabilă. Am ajuns astfel la următoarea teoremă principală: dacă patru puncte ale unei secțiuni conice K, să spunem A, B, C, D, sunt legate

Cu al cincilea punct O al aceleiași secțiuni prin liniile a, b, c, d, atunci raportul dublu (abcd) nu depinde de poziția lui O pe curba K (Fig. 97).

Acesta este un rezultat minunat. După cum știm deja, dacă pe o dreaptă sunt luate patru puncte A, B, C, D, atunci relația dublă compusă din drepte care leagă aceste puncte cu al cincilea punct O nu depinde de

1 Cvadruplu a, b, c, d este considerat congruent cu un alt cvadruplu a 0 , b0 , c0 , d0 , dacă unghiurile dintre fiecare pereche de drepte din primul cvadruplu sunt egale atât ca mărime, cât și în direcția de referință cu unghiurile dintre liniile corespunzătoare ale celui de-al doilea cvadruplu.

	SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE
alegând acest al cincilea punct. Aceasta este poziția de pornire subiacentă
geometrie proiectivă. Am aflat acum că o declarație similară
Definiția este valabilă și în ceea ce privește patru puncte luate asupra unora
secţiunea conică K, dar cu o limitare semnificativă: a cincea
punctul O nu se mai poate deplasa liber pe întregul plan, dar poate
deplasați-vă doar de-a lungul secțiunii conice K.
	Nu este dificil de demonstrat teorema inversă după cum urmează.
forma: daca sunt doua puncte O si O0 pe curba K care au
prin proprietatea că oricare ar fi cvadruplu de puncte A, B, C, D pe
curba K, raporturi duble formate din linii drepte care leagă
aceste puncte cu O, iar din liniile care leagă aceste puncte cu O0 sunt egale
între ele, atunci curba K este o secțiune conică (și chiar și atunci, de
teorema directă, o relație dublă compusă din drepte, conectate
luând patru puncte date cu un punct arbitrar O00 pe K, va fi
au aceeași valoare constantă). Dar dovada suntem aici
nu vom aduce.
	Proprietățile proiective de mai sus ale secțiunilor conice conduc la
ideea unei metode generale de construcție punctuală a acestor curbe. Să fim de acord
sub un creion de linii se înțelege totalitatea tuturor liniilor planului,
trecând prin acest punct
ku O. Luați în considerare creioanele de linii,
trecând prin două
	O0 , situat
secţiunea K. Între dreptă
fascicul O și grinzi drepte
	O0 poate fi setat reciproc
ci o corespondență unu-la-unu
furnizând direct a din prima
linia snopului a0 de la al doilea all-
indică cum a și a0 se întâlnesc			Orez. 97. Relație dublă pe o elipsă
la un punct A al curbei K.
Atunci orice cvadruplu de linii a,
b, c, d din snopul O va avea același raport dublu ca și co-
cvadruplu corespunzător a0 , b0 , c0 , d0 din snopul O0 . Totul este unul reciproc -
o corespondenţă univalorică între două creioane de linii care are
această ultimă proprietate se numește corespondență proiectivă.
(Această definiție este duală în ceea ce privește definiția unui proiectiv
corespondența dintre punctele pe două linii, vezi pp. 198–198.)
Folosind această definiție, putem afirma acum că conica
secțiunea K este locul punctelor de intersecție
linii corespunzătoare din două creioane în proiectivă
conformitate. Teorema rezultată oferă o bază pentru următoarele
care dă o definiţie pur proiectivă a secţiunilor conice: conică

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

o secțiune este locul punctelor de intersecție ale liniilor reciproc corespondente din două creioane care sunt în corespondență proiectivă1. Oricât de tentant ar fi să pătrundem în profunzimea teoriei secțiunilor conice pe baza unei astfel de definiții, totuși, suntem nevoiți să ne limităm la câteva observații pe acest subiect.

Perechile de snopi în corespondență proiectivă pot fi obținute după cum urmează. Să proiectăm toate punctele P ale dreptei l din două centre diferite O și O00 și să stabilim o corespondență unu-la-unu între creioanele proiectate comparând unele cu altele acele linii care se intersectează pe linia l. Acest lucru este suficient pentru ca fasciculele rezultate să fie în corespondență proiectivă. Apoi luăm fasciculul O00 și îl transferăm „ca ceva solid” într-o poziție arbitrară O0 . Că noul snop O0 va fi în corespondență proiectivă cu snopiul O este destul de evident. Dar lucru remarcabil este că orice corespondență proiectivă între doi snopi poate fi

Orez. 98. Despre construcția creioanelor proiective de linii

ia-o asa. (Această circumstanță este duală la exercițiul 1 de la p. 199.) Dacă snopii O și O0 sunt congruenți, se obține un cerc. Dacă unghiurile dintre razele corespunzătoare din două fascicule sunt egale, dar sunt măsurate în direcții opuse, atunci se obține o hiperbolă echilaterală (Fig. 99).

De asemenea, trebuie remarcat faptul că definiția indicată a unei secțiuni conice poate da, în special, o linie dreaptă, așa cum se arată în Fig. 98. În acest caz, linia OO00 îi corespunde ea însăși, iar toate punctele sale trebuie considerate ca aparținând locului dorit. Astfel secțiunea conică degenerează în

1 Acest loc, în anumite circumstanțe, poate degenera într-o linie dreaptă; vezi fig. 98.

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

o pereche de linii drepte: această împrejurare este destul de consistentă cu faptul că există secțiuni ale unui con formate din două linii drepte (dacă planul de tăiere trece prin vârful conului).

9 8 O 7

Orez. 99. Formarea unui cerc și a unei hiperbole echilaterale folosind snopi proiectivi

Exerciții. 1) Desenați elipse, hiperbole și parabole folosind creioane proiective. (Cititorul este încurajat cu tărie să experimenteze cu acest tip de construcție. Acest lucru este foarte propice pentru înțelegerea esenței problemei.)

2) Sunt date cinci puncte O, O0 , A, B, C ale unei secțiuni conice K. Aflați punctele de intersecție D ale unei drepte arbitrare d a creionului O cu curba K. (Indicație: trasați liniile OA, OB, OC prin O și numiți-le a, b , c Desenați linii O0 A, O0 B, O0 C prin O0 și numiți-le a0 , b0 , c0 Desenați linia d prin O și construiți o linie d0 din O0 astfel încât (abcd) = ( a0 b0 c0 d0 ) Atunci punctul de intersecție al lui d și d0 aparține curbei K.)

3. Secțiuni conice ca „curbe rigle”. Conceptul de tangentă la o secțiune conică aparține geometriei proiective, deoarece tangenta la o secțiune conică este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu curba însăși și aceasta este o proprietate care se păstrează în timpul proiecției. Proprietățile proiective ale tangentelor la secțiunile conice se bazează pe următoarea teoremă:

Raport dublu al punctelor de intersecție a patru tangente fixe la o secțiune conică cu o a cincea tangentă arbitrară

Orez. 100. Cercul ca o colecție de tangente

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

nu depinde de alegerea acestei a cincea tangente. Dovada acestei teoreme este foarte

pur şi simplu. Deoarece orice secțiune conică este o proiecție a unui cerc și din moment ce teorema tratează numai astfel de proprietăți care sunt invariante sub proiecție, atunci pentru a demonstra teorema în cazul general, este suficient să o demonstrăm pentru cazul particular al cerc.

Pentru același caz particular, teorema este demonstrată prin geometrie elementară. Fie P , Q, R, S patru puncte pe cercul K; a, b, c, d sunt tangente în aceste puncte; T - alt punct de pe cerc, o - tangentă în el; fie, mai departe, A, B, C, D -

punctele de intersecție ale tangentei o cu tangentele a, b, c, d. Daca M-

centrul cercului, apoi, evident, T MA = 1 2 T MP , iar ultimul

Expresia reprezintă unghiul înscris în K, pe baza arcului T P . În același mod, T MB reprezintă un unghi înscris în K și bazat pe arcul T Q. Prin urmare,

AMB = 1 2 ^ PQ,

unde 1 2 ^ P Q denotă unghiul înscris în K și bazat pe

gu P Q. Din aceasta este clar că A, B, C, D sunt proiectate din M prin patru linii drepte, unghiurile dintre care au valori care depind doar de poziția punctelor P , Q, R, S. Ho atunci raportul dublu (ABCD) depinde doar de patru tangente a, b, c, d, dar nu de tangentei o. Acesta este exact ceea ce trebuia instalat.

Orez. 101. Proprietatea unei tangente la un cerc

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

În subsecțiunea anterioară, am avut ocazia să verificăm că o secțiune conică poate fi construită „prin puncte” dacă începem să marchem punctele de intersecție a liniilor corespondente reciproc a două creioane între care se stabilește o corespondență proiectivă. Teorema tocmai demonstrată ne permite să formulăm teorema duală. Luați două tangente a și a0 la secțiunea conică K. Fie ca a treia tangentă t să intersecteze a și a0 în punctele A și, respectiv, A0. Dacă t se mișcă de-a lungul curbei, atunci se va stabili o corespondență

A ←→ A0

între punctele a și punctele a0 . Această corespondență va fi proiectivă, deoarece prin teorema tocmai demonstrată, un cvadruplu arbitrar de puncte pe a va avea în mod necesar același raport dublu ca și cvadruplu corespunzător de puncte pe a0 . De aici rezultă că secțiunea conică K dis-

Orez. 102. Rânduri proiective de puncte pe două tangente la o elipsă

privită ca „totalitatea tangentelor sale”, „constă” din drepte care leagă puncte corespunzând reciproc ale serii de două puncte1 pe a și pe a0 care sunt în corespondență proiectivă. Această împrejurare ne permite să introducem o nouă definiție a secțiunilor conice, de data aceasta considerate „curbe rigle”. Să comparăm această definiție cu definiția proiectivă anterioară a unei secțiuni conice.

1 O colecție de puncte pe o dreaptă se numește serie de puncte. Acest concept este dual cu privire la un creion de linii.

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

niya, dat în paragraful anterior:

O secțiune conică, considerată ca o colecție de puncte, constă din punctele de intersecție ale liniilor corespunzătoare reciproc în două proiective.

O secțiune conică, considerată ca o „colecție de linii”, constă din linii care leagă puncte corespunzătoare reciproc în două proiective.

Dacă considerăm tangenta la secțiunea conică în unele dintre punctele sale ca un element dual față de punctul însuși și, în plus, suntem de acord că, pe baza dualității, comparăm „curba riglată” (formată dintr-un multime de tangente) cu o „curba punctuala” (formata dintr-un set de puncte), apoi formularile anterioare vor fi impecabile din punctul de vedere al principiului dualitatii. Când se „traduce” o formulare în alta cu înlocuirea tuturor conceptelor cu conceptele duale corespunzătoare, „secțiunea conică” rămâne neschimbată; dar într-un caz este considerată ca o „curbă punctată” definită de punctele sale, în celălalt ca o „curbă riglată” definită de tangentele sale.

Din cele de mai sus rezultă un corolar important: principiul dualității, stabilit inițial în geometria proiectivă a planului doar pentru puncte și drepte, se dovedește a fi aplicabil și secțiunilor conice. Dacă, în formularea oricărei teoreme privind punctele, liniile și secțiunile conice, înlocuim fiecare element cu dualul său (fără a pierde din vedere faptul că un punct al unei secțiuni conice trebuie să fie asociat cu o tangentă la această secțiune conică),

atunci rezultatul este și o teoremă validă. Vom întâlni un exemplu de funcționare a acestui principiu în paragraful 4 al acestui paragraf.

Construcția secțiunilor conice, înțelese ca „curbe rigle”, este prezentată în fig. 103–104. În special, dacă în două serii de puncte proiective punctele de la infinit corespund între ele (acest lucru se va întâmpla cu siguranță dacă seriile de puncte sunt congruente sau similare 1

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

Principiul dualității aplicat secțiunilor conice este relația dintre teoremele generale ale lui Pascal și Brianchon. Prima dintre ele a fost descoperită în 1640, a doua - în 1806. Și, totuși, fiecare dintre ele este o consecință imediată a celeilalte, deoarece orice teoremă, a cărei formulare menționează doar secțiuni conice, drepte și puncte, rămâne cu siguranță valabilă. când formularea este schimbată de principiul dualităţii.

Teoremele demonstrate în § 5 sub aceleași denumiri sunt „cazuri degenerate” ale următoarelor teoreme mai generale.

teorema lui Pascal. Laturile opuse ale unui hexagon înscris într-o secțiune conică se intersectează în trei puncte coliniare.

Orez. 105. Configurația generală a lui Pascal. Sunt prezentate două cazuri, unul pentru hexagonul 1, 2, 3, 4, 5, 6, celălalt pentru hexagonul 1, 3, 5, 2, 6, 4

teorema lui Brianchon. Trei diagonale care leagă vârfuri opuse ale unui hexagon circumscris unei secțiuni conice sunt concurente.

Ambele teoreme au un conținut proiectiv evident. Dualitatea lor este izbitoare atunci când este formulată după cum urmează:

teorema lui Pascal. Având în vedere șase puncte 1, 2, 3, 4, 5, 6 pe o secțiune conică. Conectați puncte succesive cu linii drepte (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Observați punctele de intersecție ale liniilor (1, 2) și (4, 5), (2, 3) și (5, 6), (3, 4) și (6, 1). Aceste trei puncte se află pe aceeași linie.

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

teorema lui Brianchon. Având în vedere șase tangente 1, 2, 3, 4, 5, 6 la secțiunea conică. Tangentele succesive se intersectează în punctele (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Să desenăm linii drepte care leagă punctele (1, 2) și (4, 5), (2, 3) și (5, 6), (3, 4) și (6, 1). Aceste trei linii trec prin același punct.

Probele se realizează cu ajutorul unei specializări de acelaşi fel ca în cazurile de degenerescenţă avute în vedere mai devreme. Să demonstrăm teorema lui Pascal. Fie A, B, C, D, E, F vârfurile unui hexagon înscris într-o secțiune conică K. Prin proiectare este posibil să facem paralele dreptele AB și ED, F A și CD (și apoi obținem configurația prezentată). în Fig. 107, pentru comoditate, hexagonul din desen este considerat ca auto-intersectant, deși nu este nevoie de acest lucru.) Acum trebuie să demonstrăm un singur lucru: că linia CB este paralelă cu dreapta F E; cu alte cuvinte, că laturile opuse se intersectează la linia la infinit. Pentru a demonstra acest lucru, considerăm un cvadruplu de puncte F , A, B, D, care, după cum știm, păstrează același raport dublu, să zicem, k, atunci când este proiectat din orice punct K. Să proiectăm din punctul C la linia AF; obţinem un cvadruplu de puncte F , A, Y , ∞, şi

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(Vezi pagina 205).

Să proiectăm acum din punctul E pe dreapta BA; primim

	GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

Orez. 108. Construcția de linii care intersectează trei linii date în poziție generală

patru puncte X, A, B, ∞ și

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA=Y YF A,

ceea ce înseamnă doar că Y B k F X. Dovada teoremei lui Pascal este completă.

Teorema lui Brianchon, după cum sa subliniat, decurge din teorema lui Pascal prin principiul dualității. Dar poate fi demonstrată și direct, prin raționament dual față de cel tocmai dat. Va fi un exercițiu excelent pentru cititor să realizeze acest raționament în detaliu.

5. Hiperboloid. În spațiul tridimensional întâlnim așa-numitele cvadrici (suprafețe de ordinul doi), care în acest caz joacă același rol ca „secțiunile conice” (curbe de ordinul doi) în plan.

Cele mai simple dintre acestea sunt sfera și elipsoidul. Quadricurile sunt mai diverse decât secțiunile conice, iar studiul lor implică mai multe dificultăți. Vom considera pe scurt și fără dovezi una dintre cele mai interesante suprafețe de acest tip: așa-numitul hiperboloid conectat (sau cu o singură foaie).

Această suprafață poate fi obținută în felul următor. Luați în spațiu trei linii l1 , l2 , l3 în poziție generală. Aceasta din urmă înseamnă că niciunul dintre ele nu este paralel și toate trei

Orez. 109. Hiperboloid

§ 8 SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE 239

nu sunt paralele cu același plan. Poate părea surprinzător că există un număr infinit de linii în spațiu, fiecare dintre ele intersectând toate cele trei linii date. Să ne asigurăm de asta.

Fie p un plan arbitrar care contine dreapta l1 ; acest plan intersectează dreptele l2 și l3 în două puncte, iar dreapta m prin aceste două puncte intersectează în mod evident toate dreptele l1 , l2 și l3 . Când planul p se rotește în jurul dreptei l1, linia m își va schimba poziția, dar continuă să intersecteze cele trei drepte date. Când m se mișcă, apare o suprafață care merge la infinit la infinit, care se numește hiperboloid cu o singură foaie. Conține un set infinit de linii de tip m. Oricare trei astfel de linii, să spunem m1 , m2 și m3 , vor fi, de asemenea, în poziție generală, iar acele linii din spațiu care vor intersecta trei linii m1 , m2 și m3 în același timp,

se va întinde și pe suprafața considerată. Aceasta implică proprietatea principală a hiperboloidului: este compus din două familii diferite de linii drepte; fiecare trei linii ale aceleiași familii sunt în poziție generală și fiecare linie a unei familii intersectează toate liniile alteia.

O proprietate proiectivă importantă a unui hiperboloid este că raportul dublu al celor patru puncte în care un cvadruplu dat de drepte dintr-o familie intersectează o dreaptă din a doua familie nu depinde de alegerea acesteia din urmă. Această afirmație decurge din metoda de construire a unui hiperboloid folosind un plan rotativ, iar cititorul poate fi convins de validitatea acestuia și de calitatea exercițiului.

Observăm o altă proprietate remarcabilă a unui hiperboloid: deși conține două familii de linii drepte, existența acestor linii nu împiedică îndoirea suprafeței - nu o face rigidă. Dacă construim un model de hiperboloid din tije care se pot roti liber în jurul punctelor de intersecții reciproce, atunci suprafața în ansamblu

Instituția Municipală de Învățământ

Scoala Gimnaziala nr 4

Secțiuni conice

împlinit

Spiridonov Anton

elev de clasa a XI-a

verificat

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Introducere

Conceptul de secțiuni conice

Tipuri de secțiuni conice

Studiu

Construcția secțiunilor conice

Abordare analitică

Aplicație

Aplicație

Bibliografie

Introducere.

Scop: studierea secțiunilor conice.

Obiective: să învețe să distingă tipurile de secțiuni conice, să construiască secțiuni cinice și să aplice o abordare analitică.

Secțiunile conice au fost propuse pentru prima dată de geometrul grec antic Menechmus, care a trăit în secolul al IV-lea î.Hr., când a rezolvat problema dublării unui cub. Această sarcină este asociată cu următoarea legendă.

Într-o zi, o ciuma a izbucnit pe insula Delos. Locuitorii insulei s-au îndreptat către oracol, care a spus că pentru a opri epidemia a fost necesară dublarea altarului de aur, care avea forma unui cub și se afla în templul lui Apollo din Atena. Insulei au făcut un nou altar, ale cărui coaste erau de două ori mai mari decât coastele celui dintâi. Cu toate acestea, ciuma nu s-a oprit. Locuitorii furioși au auzit de la oracol că au înțeles greșit prescripția lui - a fost necesar să se dubleze nu marginile cubului, ci volumul acestuia, adică să se mărească marginile cubului cu

o singura data. În ceea ce privește algebrei geometrice, care a fost folosită de matematicienii greci, problema însemna: pentru un anumit segment a, găsiți astfel de segmente x și y astfel încât a: x = x: y = y: 2a. Atunci lungimea lui x va fi .

Proporția dată poate fi considerată ca un sistem de ecuații:

Dar x 2 =ay și y 2 =2ax sunt ecuațiile parabolelor. Prin urmare, pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți punctele de intersecție a acestora. Dacă ținem cont că din sistem se poate obține și ecuația hiperbolei xy=2a 2, atunci aceeași problemă poate fi rezolvată prin găsirea punctelor de intersecție ale parabolei cu hiperbola.

Pentru a obține secțiuni conice, Menechmus a traversat un con - unghiular, dreptunghiular sau obtuz - cu un plan perpendicular pe unul dintre generatoare. Pentru un con cu unghi ascuțit, secțiunea unui plan perpendicular pe generatricea sa are forma unei elipse. Un con obtuz dă o hiperbolă, în timp ce un con dreptunghiular dă o parabolă.

De aici au venit denumirile curbelor, care au fost introduse de Apollonius din Perga, care a trăit în secolul al III-lea î.Hr.: elipsă (έλλείψίς), care înseamnă un defect, o lipsă (a unui unghi de con față de o linie dreaptă); hiperbolă (ύπέρβωλη) - exagerare, preponderență (unghiul unui con peste o dreaptă); parabola (παραβολη) - aproximare, egalitate (unghiul conului la unghiul drept). Mai târziu, grecii au observat că toate cele trei curbe pot fi obținute pe același con prin modificarea pantei planului de tăiere. În acest caz, ar trebui să luăm un con format din două cavități și să ne gândim că se extind la infinit (Fig. 1).

Dacă desenăm o secțiune a unui con circular perpendicular pe axa acestuia și apoi rotim planul de tăiere, lăsând un punct de intersecție cu conul nemișcat, vom vedea cum se va întinde mai întâi cercul, transformându-se într-o elipsă. Apoi, al doilea vârf al elipsei va merge la infinit, iar în loc de o elipsă va apărea o parabolă, iar apoi planul va tăia a doua cavitate a conului și va apărea o hiperbolă.

Conceptul de secțiuni conice.

Secțiunile conice sunt curbe plane care se obțin prin intersectarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful său. Din punctul de vedere al geometriei analitice, o secțiune conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole (Fig. 2).

Când un triunghi dreptunghic se rotește în jurul unuia dintre catete, ipotenuza cu prelungirile sale descrie o suprafață conică, numită suprafața unui con circular drept, care poate fi considerată ca o serie continuă de drepte care trec prin vârf și numite generatrice, iar toți generatorii se bazează pe același cerc, numit producător. Fiecare dintre generatoare este o ipotenuză a unui triunghi rotativ (în poziția sa cunoscută), continuată în ambele direcții până la infinit. Astfel, fiecare generatrică se extinde pe ambele părți ale vârfului, drept urmare suprafața are și două cavități: acestea converg către un punct la un vârf comun. Dacă o astfel de suprafață este străbătută de un plan, atunci se va obține o curbă în secțiune, care se numește secțiune conică. Poate fi de trei tipuri:

1) dacă un plan intersectează o suprafață conică de-a lungul tuturor generatoarelor, atunci este tăiată o singură cavitate și se obține o curbă închisă în secțiune, numită elipsă;

2) dacă planul de tăiere intersectează ambele cavități, atunci se obține o curbă care are două ramuri și se numește hiperbolă;

3) dacă planul de tăiere este paralel cu unul dintre generatoare, atunci se obține o parabolă.

Dacă planul de tăiere este paralel cu cercul generator, atunci se obține un cerc, care poate fi considerat ca un caz special al unei elipse. Planul de tăiere poate intersecta suprafața conică doar la un vârf, apoi se obține un punct în secțiune, ca caz special al unei elipse.

Dacă ambele cavități sunt intersectate de un plan care trece prin vârf, atunci în secțiune se obține o pereche de drepte care se intersectează, considerată ca un caz special de hiperbolă.

Dacă vârful este la infinit, atunci suprafața conică se transformă într-una cilindrică, iar secțiunea sa printr-un plan paralel cu generatoarele dă o pereche de drepte paralele ca un caz special de parabolă. Secțiunile conice sunt exprimate prin ecuații de ordinul 2, a căror formă generală este

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

și se numesc curbe de ordinul 2.

Tipuri de secțiuni conice.

Secțiunile conice pot fi de trei tipuri:

1) planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; linia de intersecție este o curbă ovală închisă - o elipsă; un cerc ca caz special al unei elipse se obține atunci când planul de tăiere este perpendicular pe axa conului.

2) Planul de tăiere este paralel cu unul din planurile tangente ale conului; în secțiune, se obține o curbă deschisă care merge la infinit - o parabolă, situată în întregime pe o cavitate.

3) Planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului; linia de intersecție - hiperbola - este formată din două părți identice neînchise (ramuri ale hiperbolei) care se extind la infinit, situate pe ambele cavități ale conului.

Studiu.

În cazurile în care secțiunea conică are un centru de simetrie (centru), adică este o elipsă sau o hiperbolă, ecuația sa poate fi redusă (prin mutarea originii în centru) la forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Studii ulterioare ale unor astfel de secțiuni conice (numite centrale) arată că ecuațiile lor pot fi reduse la o formă și mai simplă:

Ah 2 + Wu 2 = C,

dacă alegeți direcțiile principale pentru direcțiile axelor de coordonate - direcțiile axelor principale (axele de simetrie) ale secțiunilor conice. Dacă A și B au același semn (coincidend cu semnul lui C), atunci ecuația definește o elipsă; dacă A și B au semne diferite, atunci este o hiperbolă.

Ecuația unei parabole nu poate fi redusă la forma (Ax 2 + Vu 2 \u003d C). Cu o alegere adecvată a axelor de coordonate (o axă de coordonate este singura axă de simetrie a parabolei, cealaltă este o dreaptă perpendiculară pe aceasta, care trece prin vârful parabolei), ecuația sa poate fi redusă la forma:

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE.

În timp ce studiau secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistant de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă. Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în punctele F 1 și F 2 (Fig. 3), atunci curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. Punctele F 1 și F 2 se numesc focare ale elipsei, iar segmentele V 1 V 2 și v 1 v 2 dintre punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate sunt numite axe majore și minore. Dacă punctele F 1 și F 2 coincid, atunci elipsa se transformă într-un cerc (Fig. 3).

Hiperbolă. La construirea unei hiperbole, punctul P, vârful unui creion, este fixat pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în punctele F 1 și F 2, așa cum se arată în Figura 4, iar distanțele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 este mai lung decât segmentul PF 1 cu o valoare fixă ​​mai mică decât distanţa F 1 F 2 . În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuiul F1 și ambele capete ale firului trec peste cheul F2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, așa că trebuie fixat făcând o buclă mică pe fir și înfilând vârful în el.) Desenăm o ramură a hiperbolei (PV 1 Q), asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și, trăgând ambele capete ale firului în jos dincolo de punctul F 2, iar când punctul P este sub segmentul F 1 F 2, ținând firul la ambele capete și eliberându-l cu grijă. Desenăm a doua ramură a hiperbolei schimbând mai întâi pinii F 1 și F 2 (Fig. 4).

SECȚIUNI CONICE
curbe plane, care se obțin prin traversarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful acestuia (Fig. 1). Din punctul de vedere al geometriei analitice, o secțiune conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole.

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care se rotesc în jurul Soarelui sunt elipse. Un cerc este un caz special al unei elipse, în care axa majoră este egală cu cea minoră. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa ei converg într-un punct (focal). Acesta este folosit în majoritatea telescoapelor reflectorizante care folosesc oglinzi parabolice, precum și în antene radar și microfoane speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în focarul unui reflector parabolic. Prin urmare, oglinzile parabolice sunt folosite în reflectoare puternice și faruri auto. O hiperbola este un grafic al multor relații fizice importante, cum ar fi legea lui Boyle (care leagă presiunea și volumul unui gaz ideal) și legea lui Ohm, care definește curentul electric ca o funcție a rezistenței la tensiune constantă.
Vezi si MECANICA CERESTIA.
ISTORIE VIMPURIE
Descoperitorul secțiunilor conice este considerat a fi Menechmus (secolul al IV-lea î.Hr.), un elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru cel Mare. Menechmus a folosit o parabolă și o hiperbolă isoscelă pentru a rezolva problema dublării unui cub. Tratate de secțiuni conice scrise de Aristaeus și Euclid la sfârșitul secolului al IV-lea. î.Hr., s-au pierdut, dar materialele din ele au fost incluse în celebrele Secțiuni Conice ale lui Apollonius din Perga (c. 260-170 î.Hr.), care au supraviețuit până în vremea noastră. Apollonius a abandonat cerința ca planul secant al generatricei conului să fie perpendicular și, variind unghiul de înclinare a acestuia, a obținut toate secțiunile conice dintr-un singur con circular, drept sau înclinat. De asemenea, lui Apollonius îi datorăm denumirile moderne de curbe - elipsă, parabolă și hiperbolă. În construcțiile sale, Apollonius a folosit un con circular cu două foi (ca în Fig. 1), așa că pentru prima dată a devenit clar că o hiperbolă este o curbă cu două ramuri. Din vremea lui Apollonius, secțiunile conice au fost împărțite în trei tipuri, în funcție de înclinarea planului de tăiere față de generatria conului. O elipsă (Fig. 1, a) se formează atunci când planul de tăiere intersectează toți generatorii conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; parabola (Fig. 1, b) - când planul de tăiere este paralel cu unul dintre planurile tangente ale conului; hiperbola (Fig. 1, c) - când planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului.
CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE
În timp ce studiau secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistant de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă. Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.
Elipsă. Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în punctele F1 și F2 (Fig. 2), atunci curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. Punctele F1 și F2 sunt numite focare ale elipsei, iar segmentele V1V2 și v1v2 dintre punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate sunt numite axe majore și minore. Dacă punctele F1 și F2 coincid, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Hiperbolă. Când se construiește o hiperbolă, punctul P, punctul unui creion, este fixat pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în punctele F1 și F2, așa cum se arată în Fig. 3a. Distanțele sunt alese astfel încât segmentul PF2 să fie mai lung decât segmentul PF1 cu o sumă fixă, care este mai mică decât distanța F1F2. În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuiul F1 și ambele capete ale firului trec peste cuiul F2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, deci trebuie să fie asigurat făcând o buclă mică pe fir și înfilând vârful în el.) Desenăm o ramură a hiperbolei (PV1Q), asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și trăgând firul de ambele capete în jos dincolo de punctul F2 și, când punctul P este sub segmentul F1F2, ținând firul la ambele capete și strângând cu grijă (adică eliberându-l). Desenăm a doua ramură a hiperbolei (P „V2Q”), schimbând anterior rolurile cheie F1 și F2.

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Fig. 3b. Pantele acestor drepte sunt egale cu ± (v1v2)/(V1V2), unde v1v2 este segmentul bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segmentul F1F2; segmentul v1v2 se numește axa conjugată a hiperbolei, iar segmentul V1V2 se numește axa ei transversală. Astfel, asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v1, v2, V1, V2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v1 și v2. Sunt la aceeași distanță, egală cu

Din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catetele Ov1 și V2O și ipotenuza F2O. Dacă asimptotele hiperbolei sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscelă. Două hiperbole având asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.
Parabolă. Focarele elipsei și hiperbolei erau cunoscute de Apollonius, dar focarul parabolei, aparent, a fost stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul punctelor echidistante de un punct dat ( focus) și o linie dreaptă dată, care se numește director. Construcția unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI). Să aranjam rigla astfel încât marginea ei să coincidă cu directricea LLў (Fig. 4) și să atașăm piciorul AC al triunghiului de desen ABC la această margine. Fixăm un capăt al firului de lungime AB la vârful B al triunghiului, iar celălalt la focarul parabolei F. Tragând firul cu vârful creionului, apăsăm vârful în punctul variabil P spre liber. catetul AB al triunghiului desenat. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focalizarea F și directricea LLў, deoarece lungimea totală a firului este AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și prin urmare, segmentul rămas al filetului PF trebuie să fie egal cu părțile rămase ale piciorului AB, adică. PA. Punctul de intersecție al parabolei V cu axa se numește vârful parabolei, linia dreaptă care trece prin F și V se numește axa parabolei. Dacă prin focar este trasată o linie dreaptă perpendiculară pe axă, atunci segmentul acestei linii drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este definit în mod similar.

PROPRIETĂȚI ALE SECȚIUNILOR CONICE
Definiții Pappus. Stabilirea focalizării parabolei l-a condus pe Pappus la ideea de a oferi o definiție alternativă a secțiunilor conice în general. Fie F un punct dat (focus), L o linie dată (directrice) care nu trece prin F și DF și DL distanțele de la punctul de mișcare P la focarul F și, respectiv, directriza L. Apoi, după cum a arătat Papp, secțiunile conice sunt definite ca loc al punctelor P pentru care raportul DF/DL este o constantă nenegativă. Acest raport se numește excentricitatea e a secțiunii conice. Când e 1 - hiperbolă; pentru e = 1 - parabolă. Dacă F se află pe L, atunci locul are forma unor drepte (reale sau imaginare), care sunt secțiuni conice degenerate. Simetria vizibilă a elipsei și a hiperbolei sugerează că fiecare dintre aceste curbe are două directrice și două focare, iar această circumstanță l-a condus pe Kepler în 1604 la ideea că parabola are și un al doilea focar și o a doua directrice - un punct la infinit și Drept. În mod similar, cercul poate fi considerat ca o elipsă, ale cărei focare coincid cu centrul, iar directricele sunt la infinit. Excentricitatea e în acest caz este egală cu zero.
Designul lui Dandelin. Focalele și directricele unei secțiuni conice pot fi demonstrate clar folosind sfere înscrise într-un con și numite sfere Dandelin (bile) în onoarea matematicianului și inginerului belgian J. Dandelin (1794-1847), care a propus următoarea construcție. Fie secțiunea conică formată prin intersecția unui plan p cu un con circular drept cu două foi cu vârf în punctul O. Înscriem în acest con două sfere S1 și S2 care ating planul p în punctele F1 și F2, respectiv. Dacă secțiunea conică este o elipsă (Fig. 5a), atunci ambele sfere se află în interiorul aceleiași cavități: o sferă este situată deasupra planului p, iar cealaltă este sub acesta. Fiecare generatrică a conului atinge ambele sfere, iar locul punctelor de contact are forma a două cercuri C1 și C2 situate în planuri paralele p1 și p2. Fie P un punct arbitrar pe o secțiune conică. Desenați liniile PF1, PF2 și extindeți linia PO. Aceste drepte sunt tangente la sferele din punctele F1, F2 și R1, R2. Deoarece toate tangentele trasate la sferă dintr-un punct sunt egale, atunci PF1 = PR1 și PF2 = PR2. Prin urmare, PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2. Deoarece planele p1 și p2 sunt paralele, segmentul R1R2 are o lungime constantă. Astfel, cantitatea PR1 + PR2 este aceeași pentru toate pozițiile punctului P, iar punctul P aparține locului punctelor pentru care suma distanțelor de la P la F1 și F2 este constantă. Prin urmare, punctele F1 și F2 sunt focare ale secțiunii eliptice. În plus, se poate demonstra că liniile de-a lungul cărora planul p intersectează planurile p1 și p2 sunt directrice ale elipsei construite. Dacă p intersectează ambele cavități ale conului (Fig. 5b), atunci două sfere de Dandelin se află pe aceeași parte a planului p, câte o sferă în fiecare cavitate a conului. În acest caz, diferența dintre PF1 și PF2 este constantă, iar locul punctelor P are forma unei hiperbole cu focarele F1 și F2 și drepte - linii de intersecție ale lui p cu p1 și p2 - ca directrice. Dacă secțiunea conică este o parabolă, așa cum se arată în Fig. 5c, atunci o singură sferă de Dandelin poate fi înscrisă în con.

Alte proprietăți. Proprietățile secțiunilor conice sunt cu adevărat inepuizabile și oricare dintre ele poate fi considerată decisivă. Un loc important în Colecția matematică a lui Pappus (c. 300), Geometria lui Descartes (1637) și Principiile lui Newton (1687) îl ocupă problema locului punctelor în raport cu patru drepte. Dacă pe plan sunt date patru drepte L1, L2, L3 și L4 (dintre care două pot coincide) și punctul P este astfel încât produsul distanțelor de la P la L1 și L2 este proporțional cu produsul distanțelor de la P la L3 și L4, atunci locul punctelor P este secțiunea conică. Crezând în mod eronat că Apollonius și Pappus nu au reușit să rezolve problema locului punctelor față de patru drepte, Descartes, pentru a obține o soluție și a o generaliza, a creat geometria analitică.
ABORDAREA ANALITICĂ
Clasificare algebrică.În termeni algebrici, secțiunile conice pot fi definite ca curbe plane ale căror coordonate carteziene satisfac o ecuație de gradul doi. Cu alte cuvinte, ecuația tuturor secțiunilor conice poate fi scrisă în formă generală ca

Unde nu toți coeficienții A, B și C sunt egali cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma ax2 + by2 + c = 0
sau px2 + qy = 0. Prima ecuație se obține din ecuația (1) cu B2 № AC, a doua - cu B2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiunile conice date prin ecuații de al doilea tip cu q nr 0 se numesc necentrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților. 1) Dacă coeficienții a, b și c au același semn, atunci nu există puncte reale ale căror coordonate ar satisface ecuația. O astfel de secțiune conică se numește elipsă imaginară (sau cerc imaginar dacă a = b). 2) Dacă a și b au același semn, iar c este opus, atunci secțiunea conică este o elipsă (Fig. 1, a); pentru a = b - un cerc (Fig. 6,b).

3) Dacă a și b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă (Fig. 1, c). 4) Dacă a și b au semne diferite și c = 0, atunci secțiunea conică este formată din două drepte care se intersectează (Fig. 6a). 5) Dacă a și b au același semn și c = 0, atunci există un singur punct real pe curbă care satisface ecuația, iar secțiunea conică este două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, se vorbește și de o elipsă contractată la un punct sau, dacă a = b, de un cerc contractat la un punct (Fig. 6b). 6) Dacă a sau b este egal cu zero, iar ceilalți coeficienți au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele. 7) Dacă a sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au același semn, atunci nu există niciun punct real care să satisfacă ecuația. În acest caz, se spune că secțiunea conică este formată din două linii paralele imaginare. 8) Dacă c = 0 și fie a sau b este, de asemenea, zero, atunci secțiunea conică este formată din două drepte reale congruente. (Ecuația nu definește nicio secțiune conică pentru a = b = 0, deoarece în acest caz ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.) 9) Ecuațiile de al doilea tip definesc parabolele dacă p și q sunt diferite de zero. Dacă p Nr. 0, și q = 0, obținem curba de la elementul 8. Dacă p = 0, atunci ecuația nu definește nicio secțiune conică, deoarece ecuația inițială (1) nu este de gradul doi. Derivarea ecuațiilor secțiunilor conice. Orice secțiune conică poate fi definită și ca o curbă de-a lungul căreia un plan se intersectează cu o suprafață pătratică, adică cu suprafața dată de ecuația de gradul doi f (x, y, z) = 0. Aparent, secțiunile conice au fost recunoscute pentru prima dată sub această formă, iar numele lor (vezi mai jos) sunt asociate cu faptul că au fost obținute prin plan de trecere cu un con z2 = x2 + y2. Fie ABCD baza unui con circular drept (Fig. 7) cu unghi drept la vârful V. Fie planul FDC să intersecteze generatoarea VB în punctul F, baza de-a lungul liniei CD și suprafața conului de-a lungul curba DFPC, unde P este orice punct al curbei. Desenați prin mijlocul segmentului CD - punctul E - linia EF și diametrul AB. Prin punctul P trasăm un plan paralel cu baza conului, intersectând conul de-a lungul cercului RPS și dreapta EF în punctul Q. Atunci QF și QP pot fi luate, respectiv, ca abscisă x și ordonată y a punctului P. Curba rezultată va fi o parabolă. Construcția prezentată în fig. 7 poate fi folosit pentru a obține ecuații generale pentru secțiunile conice. Pătratul lungimii unui segment al unei perpendiculare, restabilit din orice punct al diametrului la intersecția cu cercul, este întotdeauna egal cu produsul lungimilor segmentelor diametrului. De aceea

y2 = RQ*QS.
Pentru o parabolă, segmentul RQ are lungime constantă (deoarece pentru orice poziție a punctului P este egal cu segmentul AE), iar lungimea segmentului QS este proporțională cu x (din relația QS/EB = QF/ FE). De aici rezultă că

Unde a este un factor constant. Numărul a exprimă lungimea parametrului focal al parabolei. Dacă unghiul de la vârful conului este acut, atunci segmentul RQ nu este egal cu segmentul AE; dar relaţia y2 = RQЧQS este echivalentă cu o ecuaţie de forma

Unde a și b sunt constante sau, după deplasarea axelor, ecuația

Fiind ecuația unei elipse. Punctele de intersecție ale elipsei cu axa x (x = a și x = -a) și punctele de intersecție ale elipsei cu axa y (y = b și y = -b) definesc axele majore și minore , respectiv. Dacă unghiul de la vârful conului este obtuz, atunci curba de intersecție a conului și a planului are forma unei hiperbole, iar ecuația ia următoarea formă:

Sau, după deplasarea axelor,

În acest caz, intersecția cu x date de x2 = a2 definește axa transversală, iar intersecția cu y dată de y2 = -b2 definește axa conjugată. Dacă constantele a și b din ecuația (4a) sunt egale, atunci hiperbola se numește isoscelă. Prin rotirea axelor, ecuația sa se reduce la forma xy = k.
Acum din ecuațiile (3), (2) și (4) putem înțelege semnificația numelor date de Apollonius celor trei secțiuni conice principale. Termenii „elipsă”, „parabolă” și „hiperbolă” provin din cuvinte grecești care înseamnă „lipsă”, „egal” și „superior”. Din ecuațiile (3), (2) și (4) este clar că pentru elipsa y2 (2b2/a) x. În fiecare caz, valoarea cuprinsă între paranteze este egală cu parametrul focal al curbei. Apollonius însuși a considerat doar trei tipuri generale de secțiuni conice (tipurile 2, 3 și 9 enumerate mai sus), dar abordarea sa admite o generalizare care permite să se ia în considerare toate curbele reale de ordinul doi. Dacă planul de tăiere este ales paralel cu baza circulară a conului, atunci secțiunea va fi un cerc. Dacă planul de tăiere are un singur punct comun cu conul, vârful acestuia, atunci se va obține o secțiune de tip 5; dacă conține un vârf și o tangentă la con, atunci obținem o secțiune de tip 8 (Fig. 6b); dacă planul de tăiere conține doi generatori ai conului, atunci în secțiune se obține o curbă de tip 4 (Fig. 6, a); când vârful este mutat la infinit, conul se transformă într-un cilindru, iar dacă planul conține două generatoare, atunci se obține o secțiune de tip 6. Dacă privești cercul într-un unghi oblic, atunci arată ca o elipsă. Relația dintre cerc și elipsă, deja cunoscută lui Arhimede, devine evidentă dacă cercul X2 + Y2 = a2 este transformat în elipsa dată de ecuația (3a) folosind substituția X = x, Y = (a/b) y . Transformarea X = x, Y = (ai/b) y, unde i2 = -1, ne permite să scriem ecuația cercului sub forma (4a). Aceasta arată că o hiperbolă poate fi privită ca o elipsă cu o axă minoră imaginară sau, dimpotrivă, o elipsă poate fi văzută ca o hiperbolă cu o axă conjugată imaginară. Relația dintre ordonatele cercului x2 + y2 = a2 și elipsa (x2/a2) + (y2/b2) = 1 duce direct la formula lui Arhimede A = pab pentru aria elipsei. Kepler cunoștea formula aproximativă p(a + b) pentru perimetrul unei elipse apropiate de cerc, dar expresia exactă a fost obținută abia în secolul al XVIII-lea. după introducerea integralelor eliptice. După cum a arătat Arhimede, aria unui segment parabolic este de patru treimi din aria unui triunghi înscris, dar lungimea arcului unei parabole a putut fi calculată abia după secolul al XVII-lea. a fost inventat calculul diferenţial.
ABORDAREA PROIECTIVĂ
Geometria proiectivă este strâns legată de construcția perspectivei. Dacă desenați un cerc pe o foaie transparentă de hârtie și o plasați sub o sursă de lumină, atunci acest cerc va fi proiectat în planul de mai jos. În acest caz, dacă sursa de lumină este situată direct deasupra centrului cercului, iar planul și foaia transparentă sunt paralele, atunci proiecția va fi și un cerc (Fig. 8). Poziția sursei de lumină se numește punct de fugă. Se notează cu litera V. Dacă V nu este situat deasupra centrului cercului sau dacă planul nu este paralel cu foaia de hârtie, atunci proiecția cercului ia forma unei elipse. Cu o înclinare și mai mare a planului, axa majoră a elipsei (proiecția cercului) se prelungește, iar elipsa se transformă treptat într-o parabolă; pe un plan paralel cu dreapta VP, proiecția arată ca o parabolă; cu o înclinare și mai mare, proiecția ia forma uneia dintre ramurile hiperbolei.

Fiecare punct de pe cercul original corespunde unui punct din proiecție. Dacă proiecția are forma unei parabole sau a unei hiperbole, atunci punctul corespunzător punctului P se spune că este la infinit sau la infinit. După cum am văzut, cu o alegere adecvată a punctelor de fugă, un cerc poate fi proiectat în elipse de diferite dimensiuni și cu diferite excentricități, iar lungimile axelor majore nu sunt direct legate de diametrul cercului proiectat. Prin urmare, geometria proiectivă nu se ocupă de distanțe sau lungimi în sine, sarcina sa este de a studia raportul lungimilor care se păstrează sub proiecție. Această relație poate fi găsită folosind următoarea construcție. Prin orice punct P al planului trasăm două tangente la orice cerc și conectăm punctele de contact cu dreapta p. O altă dreaptă care trece prin punctul P intersectează cercul în punctele C1 și C2, iar dreapta p - în punctul Q (Fig. 9). Planimetria demonstrează că PC1/PC2 = -QC1/QC2. (Semnul minus provine din faptul că direcția segmentului QC1 este opusă direcțiilor altor segmente.) Cu alte cuvinte, punctele P și Q împart segmentul C1C2 extern și intern în același raport; ei mai spun că raportul armonic al celor patru segmente este -1. Dacă cercul este proiectat într-o secțiune conică și aceleași denumiri sunt păstrate pentru punctele corespunzătoare, atunci raportul armonic (PC1)(QC2)/(PC2)(QC1) rămâne egal cu -1. Punctul P se numește polul dreptei p față de secțiunea conică, iar linia p se numește polara punctului P față de secțiunea conică.

Pe măsură ce punctul P se apropie de conică, polarul tinde să ia o poziție tangentă; dacă punctul P se află pe secțiunea conică, atunci polara sa coincide cu tangenta la secțiunea conică în punctul P. Dacă punctul P este situat în interiorul secțiunii conice, atunci polara sa poate fi construită după cum urmează. Desenați prin punctul P orice dreaptă care intersectează secțiunea conică în două puncte; trageți tangente la secțiunea conică în punctele de intersecție; să presupunem că aceste tangente se intersectează în punctul P1. Să tragem o altă linie prin punctul P, care intersectează secțiunea conică în alte două puncte; să presupunem că tangentele la conică în aceste noi puncte se intersectează în punctul P2 (Fig. 10). Linia dreaptă care trece prin punctele P1 și P2 este p polara dorită. Dacă punctul P se apropie de centrul O al secțiunii conice centrale, atunci polara p se îndepărtează de O. Când punctul P coincide cu O, atunci polarul său devine la infinit, sau ideal, drept pe plan. Vezi si GEOMETRIE PROIECTIVĂ.

CLĂDIRI SPECIALE
De interes deosebit pentru astronomi este următoarea construcție simplă a punctelor unei elipse folosind o busolă și o linie dreaptă. Fie ca o dreaptă arbitrară care trece prin punctul O (Fig. 11, a) intersectează în punctele Q și R două cercuri concentrice centrate în punctul O și razele b și a, unde b

Pentru o hiperbolă, construcția este în mare măsură similară. O dreaptă arbitrară care trece prin punctul O intersectează unul dintre cele două cercuri în punctul R (Fig. 11b). La punctul R al unui cerc și la punctul final S al diametrului orizontal al celuilalt cerc, trasăm tangente care intersectează OS în punctul T și OR în punctul Q. Fie linia verticală care trece prin punctul T și linia orizontală care trece prin punctul Q se intersectează în punctul P. Atunci locul punctelor P în timpul rotației segmentului OR în jurul lui O va fi o hiperbolă dată de ecuațiile parametrice x = a sec f, y = b tg f, unde f este unghiul excentric. Aceste ecuații au fost obținute de matematicianul francez A. Legendre (1752-1833). Eliminând parametrul f, obținem ecuația (4a). O elipsă, după cum a observat N. Copernic (1473-1543), poate fi construită folosind o mișcare epiciclică. Dacă un cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul interiorului altui cerc cu diametrul de două ori mai mare, atunci fiecare punct P care nu se află pe cercul mai mic, ci este fixat față de acesta, va descrie o elipsă. Dacă punctul P se află pe un cerc mai mic, atunci traiectoria acestui punct este un caz degenerat al unei elipse - diametrul cercului mai mare. O construcție și mai simplă a unei elipse a fost propusă de Proclus în secolul al V-lea. Dacă capetele A și B ale unui segment de dreaptă AB de o lungime dată alunecă de-a lungul a două drepte fixe care se intersectează (de exemplu, de-a lungul axelor de coordonate), atunci fiecare punct interior P al segmentului va descrie o elipsă; matematicianul olandez F. van Schoten (1615-1660) a arătat că orice punct din planul dreptelor care se intersectează, fix față de segmentul de alunecare, va descrie și o elipsă. B. Pascal (1623-1662) la vârsta de 16 ani a formulat acum celebra teoremă a lui Pascal, care spune: trei puncte de intersecție ale laturilor opuse ale unui hexagon înscrise în orice secțiune conică se află pe o singură dreaptă. Pascal a derivat peste 400 de corolare din această teoremă.
LITERATURĂ
Van der Waerden B.L. Trezirea Științei. M., 1959 Aleksandrov P.S. Prelegeri despre geometrie analitică. M., 1968

Enciclopedia Collier. - Societate deschisă. 2000 .

Vedeți ce sunt „SECȚIUNI CONICE” în ​​alte dicționare:

Secțiuni conice: cerc, elipsă, parabolă (planul secțiunii este paralel cu generatricea conului), hiperbolă. O secțiune conică sau conică este intersecția unui plan cu un con circular. Există trei tipuri principale de secțiuni conice: elipsă, ... ... Wikipedia

Curbe rezultate din intersecția unui con cu un plan în direcții diferite; tipurile lor: elipsă, hiperbolă, parabolă. Un dicționar complet de cuvinte străine care au intrat în uz în limba rusă. Popov M., 1907. SECȚIUNI CONICE, așa-zise. curbe...... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Liniile de intersecție ale unui con rotund (vezi Suprafața conică) cu plane care nu trec prin vârful său. În funcție de poziția relativă a conului și a planului secant, se obțin trei tipuri de secțiuni conice: elipsă, parabolă, hiperbolă... Dicţionar enciclopedic mare