Ecuații cu parametri: metoda soluției grafice

8-9 clase

Articolul discută o metodă grafică de rezolvare a unor ecuații cu parametri, care este foarte eficientă atunci când trebuie să stabiliți câte rădăcini are ecuația în funcție de parametru A.

Problema 1. Câte rădăcini are ecuația | | x | – 2 | = A in functie de parametru A?

Soluţie. În sistemul de coordonate (x; y), trasăm graficele funcțiilor y = | | x | – 2 | și y= A. Graficul funcției y = | | x | – 2 | prezentată în figură.

Graficul funcției y = a este o dreaptă paralelă cu axa Ox sau care coincide cu aceasta (pentru A = 0).

Din desen se poate observa că:

În cazul în care un A= 0, apoi linia y = A coincide cu axa Ox si are cu graficul functiei y = | | x | – 2 | două puncte comune; aceasta înseamnă că ecuația originală are două rădăcini (în acest caz, rădăcinile pot fi găsite: x 1,2 \u003d q 2).
Daca 0< A < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
În cazul în care un A= 2, atunci linia y = 2 are trei puncte în comun cu graficul funcției. Atunci ecuația originală are trei rădăcini.
În cazul în care un A> 2, apoi linia y = A va avea două puncte cu graficul funcției originale, adică această ecuație va avea două rădăcini.

dacă A < 0, то корней нет;
dacă A = 0, A> 2, apoi două rădăcini;
dacă A= 2, apoi trei rădăcini;
daca 0< A < 2, то четыре корня.

Problema 2. Câte rădăcini are ecuația | x 2 – 2| x | – 3 | = A in functie de parametru A?

Soluţie. În sistemul de coordonate (x; y), trasăm graficele funcțiilor y = | x 2 – 2| x | – 3 | și y= A.

Graficul funcției y = | x 2 – 2| x | – 3 | prezentată în figură. Graficul funcției y = a este o dreaptă paralelă cu Ox sau care coincide cu aceasta (când A = 0).

Din desen se vede:

În cazul în care un A= 0, apoi linia y = A coincide cu axa Ox si are cu graficul functiei y = | x2-2| x | – 3 | două puncte comune, precum și o dreaptă y = A va avea cu funcția graficul y = | x 2 – 2| x | – 3 | două puncte comune A> 4. Prin urmare, pentru A= 0 și A> 4 ecuația originală are două rădăcini.
Daca 0< A < 3, то прямая y = A are cu funcția graficul y = | x 2 – 2| x | – 3 | patru puncte comune, precum și o dreaptă y= A va avea patru puncte comune cu graficul funcției construite la A= 4. Prin urmare, la 0< A < 3, A= 4 ecuația originală are patru rădăcini.
În cazul în care un A= 3, apoi linia y = A intersectează graficul funcției în cinci puncte; prin urmare, ecuația are cinci rădăcini.
Daca 3< A < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
În cazul în care un A < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

dacă A < 0, то корней нет;
dacă A = 0, A> 4, apoi două rădăcini;
daca 0< A < 3, A= 4, apoi patru rădăcini;
dacă A= 3, apoi cinci rădăcini;
daca 3< A < 4, то шесть корней.

Problema 3. Câte rădăcini are ecuația

in functie de parametru A?

Soluţie. Construim în sistemul de coordonate (x; y) graficul funcției dar mai întâi să o punem sub forma:

Liniile x = 1, y = 1 sunt asimptotele graficului funcției. Graficul funcției y = | x | + A obtinut din graficul functiei y = | x | compensat de o unitate de-a lungul axei Oy.

Grafice de funcții se intersectează la un punct la A> – 1; prin urmare, ecuația (1) pentru aceste valori ale parametrului are o soluție.

La A = – 1, A= – 2 grafice se intersectează în două puncte; prin urmare, pentru aceste valori ale parametrului, ecuația (1) are două rădăcini.
La - 2< A < – 1, A < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

dacă A> – 1, apoi o soluție;
dacă A = – 1, A= – 2, apoi două soluții;
dacă - 2< A < – 1, A < – 1, то три решения.

Cometariu. La rezolvarea ecuației (1) a problemei 3, trebuie acordată o atenție deosebită cazului în care A= - 2, deoarece punctul (- 1; - 1) nu aparține graficului funcției dar aparține graficului funcției y = | x | + A.

Să trecem la rezolvarea unei alte probleme.

Problema 4. Câte rădăcini are ecuația

x + 2 = A| x – 1 | (2)

in functie de parametru A?

Soluţie. Rețineți că x = 1 nu este o rădăcină a acestei ecuații, deoarece egalitatea 3 = A 0 nu poate fi adevărat pentru nicio valoare a parametrului A. Împărțim ambele părți ale ecuației cu | x – 1 |(| x – 1 | Nr. 0), atunci ecuația (2) va lua forma În sistemul de coordonate xOy, trasăm funcția

Graficul acestei funcții este prezentat în figură. Graficul funcției y = A este o linie dreaptă paralelă cu axa Ox sau care coincide cu aceasta (pentru A = 0).

dacă A J - 1, atunci nu există rădăcini;
dacă - 1< AЈ 1, apoi o rădăcină;
dacă A> 1, atunci există două rădăcini.

Luați în considerare cea mai complexă ecuație.

Sarcina 5. Pentru ce valori ale parametrului A ecuația

A x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

are trei solutii?

Soluţie. 1. Valoarea de control a parametrului pentru această ecuație va fi numărul A= 0, la care ecuația (3) ia forma 0 + | x – 1 | = 0, de unde x = 1. Prin urmare, pentru A= 0 ecuația (3) are o rădăcină, care nu satisface condiția problemei.

2. Luați în considerare cazul când A № 0.

Să rescriem ecuația (3) în următoarea formă: A x 2 = - | x – 1 |. Rețineți că ecuația va avea doar soluții pentru A < 0.

În sistemul de coordonate xOy, trasăm graficele funcțiilor y = | x – 1 | și y= A x 2 . Graficul funcției y = | x – 1 | prezentată în figură. Graficul funcției y = A x 2 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos, deoarece A < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Ecuația (3) va avea trei soluții numai atunci când linia y = – x + 1 este tangentă la graficul funcției y= A x 2 .

Fie x 0 abscisa punctului de contact cu dreapta y = - x + 1 cu parabola y = A x 2 . Ecuația tangentei are forma

y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).

Să notăm condițiile de atingere:

Această ecuație poate fi rezolvată fără a utiliza conceptul de derivată.

Să luăm în considerare un alt mod. Folosim faptul că dacă dreapta y = kx + b are un singur punct comun cu parabola y = A x 2 + px + q, apoi ecuația A x 2 + px + q = kx + b trebuie să aibă o soluție unică, adică discriminantul său este zero. În cazul nostru, avem ecuația A x 2 \u003d - x + 1 ( A nr. 0). Ecuația discriminantă

Sarcini pentru soluție independentă

6. Câte rădăcini are ecuația în funcție de parametru A?

1)| | x | – 3 | = A;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = A;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = A;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = A.

1) dacă A<0, то корней нет; если A=0, A>3, apoi două rădăcini; dacă A=3, apoi trei rădăcini; daca 0<A<3, то четыре корня;
2) dacă A<1, то корней нет; если A=1, apoi o mulțime infinită de soluții din segmentul [– 2; - unu]; dacă A> 1, apoi două soluții;
3) dacă A<0, то корней нет; если A=0, A<3, то четыре корня; если 0<A<1, то восемь корней; если A=1, apoi șase rădăcini; dacă A=3, apoi trei soluții; dacă A>3, apoi două soluții;
4) dacă A<0, то корней нет; если A=0, 4<A<5, то четыре корня; если 0<A< 4, то восемь корней; если A=4, apoi șase rădăcini; dacă A=5, apoi trei rădăcini; dacă A>5, apoi două rădăcini.

7. Câte rădăcini are ecuația | x + 1 | = A(x – 1) în funcție de parametru A?

Instruire. Deoarece x = 1 nu este o rădăcină a ecuației, această ecuație poate fi redusă la forma .

Răspuns: dacă A J -1, A > 1, A=0, apoi o rădăcină; dacă - 1<A<0, то два корня; если 0<AЈ 1, atunci nu există rădăcini.

8. Câte rădăcini are ecuația x + 1 = A| x – 1 | în funcție de parametru A?

Construiți un grafic (vezi figura).

Răspuns: dacă AЈ –1, atunci nu există rădăcini; dacă - 1<AЈ 1, apoi o rădăcină; dacă A>1, atunci există două rădăcini.

9. Câte rădăcini are ecuația

2| x | – 1 = a(x – 1)

in functie de parametru A?

Instruire. Aduceți ecuația în formă

Răspuns: dacă A J -2, A>2, A=1, apoi o rădăcină; dacă -2<A<1, то два корня; если 1<AЈ 2, atunci nu există rădăcini.

10. Câte rădăcini are ecuația

in functie de parametru A?

Răspuns: dacă AЈ 0, A i 2, apoi o rădăcină; daca 0<A<2, то два корня.

11. La ce valori ale parametrului A ecuația

x 2 + A| x – 2 | = 0

are trei solutii?

Instruire. Aduceți ecuația la forma x 2 = - A| x - 2 |.

Răspuns: când AЈ -8.

12. La ce valori ale parametrului A ecuația

A x 2 + | x + 1 | = 0

are trei solutii?

Instruire. Folosiți problema 5. Această ecuație are trei soluții numai dacă ecuația A x 2 + x + 1 = 0 are o soluție și cazul A= 0 nu satisface condiția problemei, adică rămâne cazul când

13. Câte rădăcini are ecuația

x | x – 2 | = 1 - A

in functie de parametru A?

Instruire. Aduceți ecuația la forma –x |x – 2| + 1 = A

in functie de parametru A?

Instruire. Construiți grafice ale părților din stânga și din dreapta acestei ecuații.

Răspuns: dacă A<0, A>2, apoi două rădăcini; dacă 0Ј AЈ 2, apoi o rădăcină.

16. Câte rădăcini are ecuația

in functie de parametru A?

Instruire. Construiți grafice ale părților din stânga și din dreapta acestei ecuații. Pentru a reprezenta o funcție găsiți intervalele de constanță ale expresiilor x + 2 și x:

Răspuns: dacă A>– 1, apoi o soluție; dacă A= – 1, apoi două soluții; dacă - 3<A<–1, то четыре решения; если AЈ –3, apoi trei soluții.

La sarcini cu parametru includ, de exemplu, căutarea unei soluții la ecuații liniare și pătratice într-o formă generală, studiul ecuației pentru numărul de rădăcini disponibile, în funcție de valoarea parametrului.

Fără a oferi definiții detaliate, luați în considerare următoarele ecuații ca exemple:

y = kx, unde x, y sunt variabile, k este un parametru;

y = kx + b, unde x, y sunt variabile, k și b sunt parametri;

ax 2 + bx + c = 0, unde x sunt variabile, a, b și c sunt parametri.

A rezolva o ecuație (inegalitate, sistem) cu un parametru înseamnă, de regulă, a rezolva o mulțime infinită de ecuații (inegalități, sisteme).

Sarcinile cu un parametru pot fi împărțite condiționat în două tipuri:

A) condiția spune: rezolvați ecuația (inegalitatea, sistemul) - aceasta înseamnă, pentru toate valorile parametrului, găsiți toate soluțiile. Dacă cel puțin un caz rămâne neexplorat, o astfel de soluție nu poate fi considerată satisfăcătoare.

b) este necesar să se indice posibilele valori ale parametrului pentru care ecuația (inegalitatea, sistemul) are anumite proprietăți. De exemplu, are o soluție, nu are soluții, are soluții care aparțin intervalului etc. În astfel de sarcini, este necesar să se indice clar la ce valoare a parametrului este îndeplinită condiția necesară.

Parametrul, fiind un număr fix necunoscut, are, parcă, o dualitate aparte. În primul rând, trebuie avut în vedere faptul că pretinsa faimă sugerează că parametrul trebuie perceput ca un număr. În al doilea rând, libertatea de a gestiona un parametru este limitată de necunoscutul acestuia. Deci, de exemplu, operațiile de împărțire la o expresie în care există un parametru sau extragerea unei rădăcini de grad par dintr-o expresie similară necesită cercetări preliminare. Prin urmare, trebuie avut grijă în manipularea parametrului.

De exemplu, pentru a compara două numere -6a și 3a, trebuie luate în considerare trei cazuri:

1) -6a va fi mai mare decât 3a dacă a este un număr negativ;

2) -6a = 3a în cazul în care a = 0;

3) -6a va fi mai mic decât 3a dacă a este un număr pozitiv 0.

Decizia va fi răspunsul.

Să fie dată ecuația kx = b. Această ecuație este prescurtarea unui set infinit de ecuații într-o variabilă.

La rezolvarea unor astfel de ecuații, pot exista cazuri:

1. Fie k orice număr real diferit de zero și b orice număr din R, atunci x = b/k.

2. Fie k = 0 și b ≠ 0, ecuația inițială va lua forma 0 · x = b. Evident, această ecuație nu are soluții.

3. Fie k și b numere egale cu zero, atunci avem egalitatea 0 · x = 0. Soluția sa este orice număr real.

Algoritmul pentru rezolvarea acestui tip de ecuații:

1. Determinați valorile de „control” ale parametrului.

2. Rezolvați ecuația inițială pentru x cu valorile parametrului care au fost determinate în primul paragraf.

3. Rezolvați ecuația originală pentru x cu valori ale parametrilor care diferă de cele selectate în primul paragraf.

4. Puteți nota răspunsul în următoarea formă:

1) când ... (valoarea parametrului), ecuația are rădăcini ...;

2) când ... (valoarea parametrului), nu există rădăcini în ecuație.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația cu parametrul |6 – x| = a.

Soluţie.

Este ușor de observat că aici a ≥ 0.

Prin regula modulo 6 – x = ±a, exprimăm x:

Răspuns: x = 6 ± a, unde a ≥ 0.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 în raport cu variabila x.

Soluţie.

Să deschidem parantezele: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Să scriem ecuația în formă standard: x(a + 2) = a + 2.

Dacă expresia a + 2 nu este zero, adică dacă a ≠ -2, avem soluția x = (a + 2) / (a ​​+ 2), adică. x = 1.

Dacă a + 2 este egal cu zero, i.e. a \u003d -2, atunci avem egalitatea corectă 0 x \u003d 0, prin urmare x este orice număr real.

Răspuns: x \u003d 1 pentru un ≠ -2 și x € R pentru un \u003d -2.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația x/a + 1 = a + x față de variabila x.

Soluţie.

Dacă a \u003d 0, atunci transformăm ecuația în forma a + x \u003d a 2 + ax sau (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Ultima ecuație pentru a = 1 are forma 0 · x = 0, prin urmare, x este orice număr.

Dacă a ≠ 1, atunci ultima ecuație va lua forma x = -a.

Această soluție poate fi ilustrată pe linia de coordonate (Fig. 1)

Răspuns: nu există soluții pentru a = 0; x - orice număr la a = 1; x \u003d -a cu a ≠ 0 și a ≠ 1.

Metoda grafică

Luați în considerare un alt mod de a rezolva ecuații cu un parametru - grafic. Această metodă este folosită destul de des.

Exemplul 4

Câte rădăcini, în funcție de parametrul a, are ecuația ||x| – 2| = a?

Soluţie.

Pentru a rezolva printr-o metodă grafică, construim grafice ale funcțiilor y = ||x| – 2| și y = a (Fig. 2).

Desenul arată clar cazurile posibile de locație a dreptei y = a și numărul de rădăcini din fiecare dintre ele.

Răspuns: ecuația nu va avea rădăcini dacă a< 0; два корня будет в случае, если a >2 și a = 0; ecuația va avea trei rădăcini în cazul a = 2; patru rădăcini - la 0< a < 2.

Exemplul 5

Pentru care a ecuația 2|x| + |x – 1| = a are o singură rădăcină?

Soluţie.

Să desenăm grafice ale funcțiilor y = 2|x| + |x – 1| și y = a. Pentru y = 2|x| + |x - 1|, extinzând modulele prin metoda gap, obținem:

(-3x + 1, la x< 0,

y = (x + 1, pentru 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, pentru x > 1.

Pe Figura 3 se vede clar că ecuația va avea o rădăcină unică numai atunci când a = 1.

Răspuns: a = 1.

Exemplul 6

Determinați numărul de soluții ale ecuației |x + 1| + |x + 2| = a in functie de parametrul a?

Soluţie.

Graficul funcției y = |x + 1| + |x + 2| va fi o linie întreruptă. Vârfurile sale vor fi situate în punctele (-2; 1) și (-1; 1) (poza 4).

Răspuns: dacă parametrul a este mai mic de unu, atunci ecuația nu va avea rădăcini; dacă a = 1, atunci soluția ecuației este o mulțime infinită de numere din intervalul [-2; -unu]; dacă valorile parametrului a sunt mai mari decât unu, atunci ecuația va avea două rădăcini.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații cu un parametru?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Ecuațiile cu parametrii sunt considerate pe bună dreptate una dintre cele mai dificile sarcini în cursul matematicii școlare. Aceste sarcini se încadrează de la an la an în lista sarcinilor de tip B și C la examenul de stat unificat al examenului de stat unificat. Cu toate acestea, printre numărul mare de ecuații cu parametri se numără și cele care pot fi rezolvate cu ușurință grafic. Să luăm în considerare această metodă pe exemplul rezolvării mai multor probleme.

Aflați suma valorilor întregi ale lui a pentru care ecuația |x 2 – 2x – 3| = a are patru rădăcini.

Soluţie.

Pentru a răspunde la întrebarea problemei, construim grafice ale funcțiilor pe un plan de coordonate

y = |x 2 – 2x – 3| și y = a.

Graficul primei funcții y = |x 2 – 2x – 3| se va obține din graficul parabolei y = x 2 - 2x - 3 prin afișarea simetrică față de axa absciselor a părții din grafic care se află sub axa Ox. Partea graficului de deasupra axei x va rămâne neschimbată.

Să o facem pas cu pas. Graficul funcției y \u003d x 2 - 2x - 3 este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus. Pentru a construi graficul său, găsim coordonatele vârfului. Acest lucru se poate face folosind formula x 0 = -b / 2a. Astfel, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Pentru a găsi coordonatele vârfului parabolei de-a lungul axei y, înlocuim valoarea obținută pentru x 0 în ecuația funcției luate în considerare. Obținem că y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Prin urmare, vârful parabolei are coordonatele (1; -4).

În continuare, trebuie să găsiți punctele de intersecție ale ramurilor parabolei cu axele de coordonate. În punctele de intersecție a ramurilor parabolei cu axa absciselor, valoarea funcției este zero. Prin urmare, rezolvăm ecuația pătratică x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Rădăcinile sale vor fi punctele dorite. După teorema Vieta, avem x 1 = -1, x 2 = 3.

În punctele de intersecție a ramurilor parabolei cu axa y, valoarea argumentului este zero. Astfel, punctul y = -3 este punctul de intersecție al ramurilor parabolei cu axa y. Graficul rezultat este prezentat în Figura 1.

Pentru a obține graficul funcției y = |x 2 - 2x - 3|, vom afișa partea graficului, care se află sub axa x, simetric față de axa x. Graficul rezultat este prezentat în Figura 2.

Graficul funcției y = a este o dreaptă paralelă cu axa x. Este prezentat în Figura 3. Folosind figura și constatăm că graficele au patru puncte comune (și ecuația are patru rădăcini) dacă a aparține intervalului (0; 4).

Valori întregi ale numărului a din intervalul primit: 1; 2; 3. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, să găsim suma acestor numere: 1 + 2 + 3 = 6.

Raspuns: 6.

Aflați media aritmetică a valorilor întregi ale numărului a, pentru care ecuația |x 2 – 4|x| – 1| = a are șase rădăcini.

Să începem prin a reprezenta grafic funcția y = |x 2 – 4|x| – 1|. Pentru a face acest lucru, folosim egalitatea a 2 = |a| 2 și selectați pătratul complet din expresia submodulului scrisă în partea dreaptă a funcției:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Atunci funcția originală va arăta ca y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Pentru a construi un grafic al acestei funcții, construim succesiv grafice de funcții:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - o parabolă cu un vârf într-un punct cu coordonatele (2; -5); (Fig. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - partea de parabolă construită la paragraful 1, care este situată în dreapta axei ordonatelor, este afișată simetric la stânga axei Oy; (Fig. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - partea din grafic construită la paragraful 2, care se află sub axa x, este afișată simetric față de axa absciselor în sus. (Fig. 3).

Luați în considerare desenele rezultate:

Graficul funcției y = a este o dreaptă paralelă cu axa x.

Folosind figura, concluzionăm că graficele funcțiilor au șase puncte comune (ecuația are șase rădăcini) dacă a aparține intervalului (1; 5).

Acest lucru poate fi văzut în următoarea figură:

Găsiți media aritmetică a valorilor întregi ale parametrului a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Raspuns: 3.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

§ 8. APLICAREA TEORIEI PROBABILITĂȚII LA STATISTICĂ.

2. Determinarea parametrilor de distribuție necunoscuți.

Cu ajutorul unei histograme, putem construi aproximativ un grafic al densității de distribuție a unei variabile aleatoare. Apariția acestui grafic face deseori posibilă realizarea unei ipoteze despre densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare. Expresia pentru această densitate de distribuție include de obicei câțiva parametri care trebuie determinați din datele experimentale.
Să ne oprim asupra cazului particular în care densitatea distribuției depinde de doi parametri.
Asa ca lasa x 1 , x 2 , ..., x n sunt valorile observate ale unei variabile aleatoare continue și lasă densitatea distribuției de probabilitate a acesteia să depindă de doi parametri necunoscuți Ași B, adică se pare ca . Una dintre metodele de găsire a parametrilor necunoscuți Ași B este că acestea sunt alese în așa fel încât așteptarea matematică și varianța distribuției teoretice să coincidă cu media și varianța eșantionului:

(66)

Unde

(67)

Din cele două ecuații obținute () găsiți parametri necunoscuți Ași B. Deci, de exemplu, dacă o variabilă aleatoare respectă legea distribuției normale a probabilității, atunci densitatea distribuției probabilității sale

depinde de doi parametri Ași . Acești parametri, după cum știm, sunt, respectiv, așteptarea matematică și abaterea standard a variabilei aleatoare; deci egal cu () va fi scris astfel:

(68)

Prin urmare, densitatea distribuției de probabilitate are forma

Observație 1. Am rezolvat deja această problemă în . Rezultatul măsurării este o variabilă aleatoare care respectă legea distribuției normale cu parametri Ași . Pentru o aproximare A am ales valoarea , iar pentru valoarea aproximativă - valoarea .

Observația 2. Cu un număr mare de experimente, găsirea valorilor și utilizarea formulelor () este asociată cu calcule greoaie. Prin urmare, aceștia acționează după cum urmează: fiecare dintre valorile observate ale cantității, care a căzut în i- al-lea interval ] X i-1 , X i [ serie statistică, este considerată aproximativ egală cu mijlocul c i acest interval, adică c i \u003d (X i-1 + X i) / 2. Luați în considerare primul interval ] X 0 , X 1 [. A fost lovit m 1 valorile observate ale variabilei aleatoare, pe care le înlocuim fiecare cu un număr de la 1. Prin urmare, suma acestor valori este aproximativ egală cu m 1 s 1. În mod similar, suma valorilor care au căzut în al doilea interval este aproximativ egală cu m 2 s 2 etc. De aceea

În mod similar, obținem egalitatea aproximativă

Deci hai să arătăm asta

(71)

Într-adevăr,