VIII clasa: Tema 3. Zonele figurilor. Teorema lui Pitagora.

1. Conceptul de zonă. Cifre egale.

Dacă lungimea este o caracteristică numerică a unei linii, atunci aria este o caracteristică numerică a unei figuri închise. În ciuda faptului că suntem bine familiarizați cu conceptul de zonă din viața de zi cu zi, nu este ușor să oferim o definiție strictă a acestui concept. Se pare că aria unei figuri închise poate fi numită orice mărime nenegativă care are următoarele proprietăți pentru măsurarea ariilor figurilor:

Cifrele egale au suprafețe egale. Dacă această cifră închisă este împărțită în mai multe figuri închise, atunci aria figurii este egală cu suma ariilor figurilor sale constitutive (figura din figura 1 este împărțită în n cifre; în acest caz, zona figurii, unde Si- pătrat i figura).

În principiu, s-ar putea veni cu un set de cantități care au proprietățile formulate și, prin urmare, caracterizează zona figurii. Dar cea mai familiară și convenabilă este valoarea care caracterizează aria unui pătrat drept pătratul laturii sale. Să numim acest „aranjament” a treia proprietate a măsurării ariilor figurilor:

Aria unui pătrat este egală cu pătratul laturii sale (Figura 2).

Cu această definiție, aria figurilor este măsurată în unități pătrate ( cm 2, km 2, Ha=100m 2).

cifre având suprafeţe egale se numesc egale ca mărime .

Cometariu: Cifrele egale au suprafețe egale, adică cifrele egale au dimensiuni egale. Dar figurile de dimensiuni egale sunt departe de a fi întotdeauna egale (de exemplu, Figura 3 prezintă un pătrat și un triunghi isoscel format din triunghiuri dreptunghiulare egale (apropo, cum ar fi cifre numit compus în mod egal ); este clar că pătratul și triunghiul sunt egale ca mărime, dar nu sunt egale, deoarece nu sunt suprapuse).

În continuare, derivăm formule pentru calcularea ariilor tuturor tipurilor principale de poligoane (inclusiv formula binecunoscută pentru găsirea ariei unui dreptunghi), pe baza proprietăților formulate pentru măsurarea ariilor figurilor.

2. Aria unui dreptunghi. Aria unui paralelogram.

Formula pentru calcularea ariei unui dreptunghi: Aria unui dreptunghi este egală cu produsul celor două laturi adiacente ale acestuia (Figura 4).

Dat:

ABCD- dreptunghi;

ANUNȚ=A, AB=b.

Dovedi: SABCD=A× b.

Dovada:

1. Lungiți lateralul AB pentru un segment BP=A, și lateral ANUNȚ- pentru un segment DV=b. Să construim un paralelogram APRV(Figura 4). Din moment ce R A=90°, APRV- dreptunghi. în care AP=A+b=AV, Þ APRV este un pătrat cu o latură ( A+b).

2. Notează î.HrÇ R.V.=T, CDÇ relatii cu publicul=Q. Apoi BCQP- un pătrat cu o latură A, CDVT- un pătrat cu o latură b, CQRT- un dreptunghi cu laturi Ași b.

Formula pentru calcularea ariei unui paralelogram: Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre înălțimea și baza acestuia (Figura 5).

Cometariu: Baza paralelogramului se numește latura pe care este trasă înălțimea; este clar că orice latură a paralelogramului poate servi drept bază.

Dat:

ABCD– p/g;

BH^ANUNȚ, HÎ ANUNȚ.

Dovedi: SABCD=ANUNȚ× BH.

Dovada:

1. Conduceți la bază ANUNȚînălţime CF(Figura 5).

2. î.Hrïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- p / g prin definiție. R H=90°, Þ BCFH- dreptunghi.

3. BCFH– p/g, Þ după proprietatea p/g BH=CF, Þ D BAH=D CDF de-a lungul ipotenuzei și catetei ( AB=CD conform Sf. p / g, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× î.Hr=BH× ANUNȚ. #

3. Aria unui triunghi.

Formula pentru calcularea ariei unui triunghi: Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul înălțimii și bazei sale (Figura 6).

Cometariu: Baza triunghiului în acest caz numiți partea în care este trasă înălțimea. Oricare dintre cele trei laturi ale unui triunghi poate servi drept bază.

Dat:

BD^AC, DÎ AC.

Dovedi: .

Dovada:

1. Completează D ABCînainte de p/a ABKC prin trecerea prin vârf B Drept BKïê AC, și prin vârf C- Drept CKïê AB(Figura 6).

2. D ABC=D KCB pe trei laturi ( î.Hr- general, AB=KCși AC=KB conform Sf. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Consecința 2: Dacă luăm în considerare p/y D ABC cu înălțimea AH atras de ipotenuză î.Hr, apoi . Prin urmare, în p/a D-ke înălțimea trasă la ipotenuză este egală cu raportul dintre produsul catetelor sale și ipotenuză . Acest raport este adesea folosit în rezolvarea problemelor.

4. Consecințe din formula pentru găsirea ariei unui triunghi: raportul dintre ariile triunghiurilor cu înălțimi sau baze egale; triunghiuri egale în figuri; proprietatea ariilor triunghiurilor formate din diagonalele unui patrulater convex.

Din formula pentru calcularea ariei unui triunghi, urmează în mod elementar două corolare:

1. Raportul ariilor triunghiurilor cu înălțimi egale este egal cu raportul dintre bazele lor (în Figura 8 ).

2. Raportul ariilor triunghiurilor cu baze egale este egal cu raportul dintre înălțimile lor (în Figura 9 ).

Cometariu: La rezolvarea problemelor, triunghiurile cu o înălțime comună sunt foarte frecvente. În acest caz, de regulă, bazele lor se află pe aceeași linie dreaptă, iar vârful opus bazelor este comun (de exemplu, în Figura 10 S 1:S 2:S 3=A:b:c). Ar trebui să înveți să vezi înălțimea totală a unor astfel de triunghiuri.

De asemenea, din formula de calcul a ariei unui triunghi rezultă fapte utile, permițându-vă să găsiți triunghiuri cu arie egală în figuri:

1. Mediana unui triunghi arbitrar îl împarte în două triunghiuri de arie egală (în figura 11 la D ABM si D ACMînălţime AH- general, și bazele BMși CM egal prin definiția mediei; rezultă că D ABM si D ACM sunt egale).

2. Diagonalele unui paralelogram îl împart în patru triunghiuri de arie egală. (în figura 12 AO este mediana triunghiului ABD prin proprietatea diagonalelor p/g, z datorita triunghiurilor St. anterioare ABOși ZGOMOT sunt egale; deoarece BO este mediana triunghiului ABC, triunghiuri ABOși BCO sunt egale; deoarece CO este mediana triunghiului BCD, triunghiuri BCOși DCO sunt egale; prin urmare, S D ZGOMOT=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Diagonalele unui trapez îl împart în patru triunghiuri; două dintre ele, adiacente laturilor, sunt egale (Figura 13).

Dat:

ABCD- trapez;

î.Hrïê ANUNȚ; ACÇ BD=O.

Dovedi: S D ABO=S D DCO.

Dovada:

1. Să desenăm înălțimi bfși CH(Figura 13). Apoi D ABD si D ACD baza ANUNȚ- general, și înălțimi bfși CH sunt egale; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Dacă desenați diagonalele unui patrulater convex (Figura 14), se formează patru triunghiuri, ale căror zone sunt legate printr-un raport foarte ușor de reținut. Derivarea acestei relații se bazează numai pe formula de calcul a ariei unui triunghi; cu toate acestea, este rar întâlnit în literatură. Fiind utilă în rezolvarea problemelor, relația care va fi formulată și dovedită mai jos merită o atenție deosebită:

Proprietatea ariilor triunghiurilor formate din diagonalele unui patrulater convex: Dacă diagonalele unui patrulater convex ABCD se intersectează într-un punct O, apoi (Figura 14).

ABCD- patrulater convex;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Dovada:

1. bf- înălțimea totală D AOB si D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=AO:CO.

2. D.H.- înălțimea totală D AOD si D COD; Þ S D AOD:S D COD=AO:CO.

5. Raportul ariilor triunghiurilor cu unghi egal.

Teorema raportului dintre ariile triunghiurilor cu unghi egal: Zonele triunghiurilor care au un unghi egal sunt legate ca produse ale laturilor care înconjoară aceste unghiuri (Figura 15).

Dat:

D ABC, D A 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.

Dovedi:

.

Dovada:

1. Puneți deoparte pe grinda AB segment de linie AB 2=A 1B 1, și pe grindă AC- segment de linie AC 2=A 1C 1 (Figura 15). Apoi D AB 2C 2=D A 1B 1C 1 pe două laturi și unghiul dintre ele ( AB 2=A 1B 1 și AC 2=A 1C 1 prin construcție și Р B 2AC 2=R B 1A 1C 1 după condiție). Mijloace, .

2. Conectați punctele Cși B 2.

3. CH- înălțimea totală D AB 2C si D ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Proprietatea bisectoarei unui triunghi.

Folosind teoremele privind raportul dintre ariile triunghiurilor cu unghiuri egale și raportul dintre ariile triunghiurilor cu înălțimi egale, demonstrăm pur și simplu un fapt extrem de util în rezolvarea unor probleme care nu are legătură directă cu ariile figurilor:

Proprietatea bisectoarei unui triunghi: Bisectoarea unui triunghi împarte latura de care este trasat în segmente proporționale cu laturile adiacente acestora.

Dat:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Dovada:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Din punctele 1 și 2 obținem: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Cometariu: Deoarece membrii extremi sau membrii mijlocii pot fi interschimbați în proporția corectă, este mai convenabil să ne amintim proprietatea bisectoarei unui triunghi în următoarea formă (Figura 16):.

7. Aria unui trapez.

Formula pentru calcularea ariei unui trapez: Aria unui trapez este egală cu produsul dintre înălțimea acestuia și jumătate din suma bazelor.

Dat:

ABCD- trapez;

î.Hrïê ANUNȚ;

BH- înălțime.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Dovada:

1. Desenați o diagonală BD si inaltime D.F.(Figura 17). BHDF– dreptunghi, Þ BH = D.F..

Consecinţă: Raportul ariilor trapezelor cu înălțimi egale este egal cu raportul liniilor mediane ale acestora (sau raportul sumelor bazelor).

8. Aria unui patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare.

Formula pentru calcularea ariei unui patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare: Aria unui patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale.

ABCD- patrulater;

AC^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Dovada:

1. Notează ACÇ BD=O. În măsura în care AC^BD, AO- inaltimea D ABD, A CO- inaltimea D CBD(Figurile 18a și 18b pentru cazurile patrulaterelor convexe și, respectiv, neconvexe).

2.
(semnele „+” sau „-” corespund cazurilor de patrulatere convexe și, respectiv, neconvexe). #

Teorema lui Pitagora joacă un rol extrem de important în rezolvarea unei game largi de probleme; vă permite să găsiți latura necunoscută a unui triunghi dreptunghic având în vedere cele două laturi cunoscute ale acestuia. Există multe dovezi ale teoremei lui Pitagora. Iată cel mai simplu dintre ele, bazat pe formule pentru calcularea ariilor unui pătrat și a unui triunghi:

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Dat:

D ABC- p/y;

Ð A=90°.

Dovedi:

î.Hr 2=AB 2+AC 2.

Dovada:

1. Notează AC=A, AB=b. Să-l punem pe grindă AB segment de linie BP=A, iar pe grindă AC- segment de linie CV=b(Figura 19). Să trecem prin punct P direct relatii cu publiculïê AV, și prin punct V- direct VRïê AP. Apoi APRV- p / g prin definiție. În același timp, din moment ce Р A=90°, APRV- dreptunghi. Și de când AV=A+b=AP, APRV- un pătrat cu o latură A+b, și SAPRV=(A+b)2. Să împărțim partea relatii cu publicul punct Qîn segmente PQ=bși QR=A, și lateral R.V.- punct Tîn segmente RT=bși televizor=A.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT pe două picioare, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, î.Hr=QB=TQ=CTși https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Pentru că î.Hr=QB=TQ=CT, CBQT- romb. În același timp, R QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT este un pătrat și SCBQT=î.Hr 2.

4. . Asa de, î.Hr 2=AB 2+AC 2. #

Teorema inversă a lui Pitagora este un semn al unui triunghi dreptunghic, adică vă permite să verificați dacă triunghiul este dreptunghic de trei laturi cunoscute ale triunghiului.

Teorema inversă a lui Pitagora: Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale sale, atunci acest triunghi este dreptunghic, iar latura sa cea mai lungă este ipotenuza.

Dat:

î.Hr 2=AB 2+AC 2.

Dovedi: D ABC- p/y;

Ð A=90°.

Dovada:

1. Să construim un unghi drept A 1 și puneți deoparte segmentele pe părțile laterale ale acesteia A 1B 1=ABși A 1C 1=AC(Figura 20). În p / a D primit A 1B 1C 1 prin teorema lui Pitagora B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+AC 2; ci prin conditie AB 2+AC 2=î.Hr 2; Þ B 1C 12=î.Hr 2, Y B 1C 1=î.Hr.

2.D ABC=D A 1B 1C 1 pe trei laturi ( A 1B 1=ABși A 1C 1=AC prin constructie, B 1C 1=î.Hr de la punctul 1), Þ Ð A=Ð A 1=90°, Þ D ABC-p/a. #

Se numesc triunghiuri dreptunghiulare ale căror laturi sunt numere întregi Triunghiuri pitagoreice , iar triplele numerelor naturale corespunzătoare sunt tripleți pitagoreici . Triplele pitagorice sunt utile de reținut (cel mai mare dintre aceste numere este egal cu suma pătratelor celorlalte două). Iată câteva triple pitagorice:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4, 5 a fost folosit în Egipt pentru a construi unghiuri drepte și, prin urmare, astfel de triunghi numit egiptean .

10. Formula lui Heron.

Formula lui Heron vă permite să găsiți aria unui triunghi arbitrar după cele trei laturi cunoscute și este indispensabilă pentru rezolvarea multor probleme.

Formula stârcului: Aria unui triunghi cu laturile A, bși c se calculează prin următoarea formulă: , unde este semiperimetrul triunghiului.

Dat:

î.Hr=A; AC=b; AB=c.). Apoi .

4. Înlocuiți expresia rezultată pentru înălțime în formula pentru calcularea ariei unui triunghi: . #

1. Tăiere dreaptă Partea unei linii drepte delimitată de două puncte. Un segment este o parte a unei linii drepte care este delimitată de două puncte (capetele segmentului). Un segment are atât un început, cât și un sfârșit. Se notează segmentul sau segmentul AB.

puncte Ași B numit capetele segmentului. Toate celelalte puncte sunt numite punctele interne segment.

Distanța dintre capetele unui segment se numește lung si denota |AB|.

Toate punctele unui segment se află pe aceeași linie dreaptă care trece prin capete.

2. După două date puncte care sunt în același plan, puteți desena o singură linie dreaptă. Este posibil să trasezi o linie dreaptă prin oricare două puncte și, în plus, doar unul

3. Dacă două drepte se intersectează, atunci ele au un punct, iar dacă liniile sunt paralele, atunci niciunul! Două drepte se intersectează, adică au un singur punct comun. Determinarea punctului de intersecție a dreptelor: Punctul în care două drepte se intersectează se numește punctul de intersecție al acestor drepte.

4. Ce este un fascicul și ce este un semiplan? o rază este o parte a unei linii drepte care are un început, dar fără sfârșit și are o direcție

Dacă desenați o linie și marcați un punct O pe ea, atunci linia va împărți în două părți, fiecare dintre acestea fiind numită rază care emană din punctul O (aceste raze se numesc suplimentare). Punctul O se numește începutul fasciculului. grindă se numește o parte a unei linii, constând din toate punctele care se află pe o parte a unui punct fix al unei linii, și acest punct în sine, numit începutul fasciculului . Se numesc diferite raze ale aceleiași linii cu o origine comună adiţional . Axiomă. Linia dreaptă împarte planul în două semiplane. Acestea. Orice linie împarte un plan în două părți, fiecare dintre acestea fiind numită semiplan, iar linia însăși este numită granița fiecăruia dintre aceste semiplanuri.

5. Unghi înapoise dovedește parte a planului delimitată de două raze. Razele în sine sunt numite laturile unghiului, iar punctul comun din care ies razele se numește vârful unghiului. Unghiul este o figură geometrică careformat din două raze venite din acelaşi punct. Vârful unui unghi este punctul din care emană razele. Latura unghiului este una dintre aceste raze 6. Două raze complementare una cu cealaltă formează un unghi dezvoltat. Laturile acestui unghi formează împreună o linie dreaptă pe care se află vârful unghiului desfășurat. (Se numesc diferite raze ale aceleiași linii cu o origine comună adiţional ) . Unghi extins - este un unghi ale cărui laturi se află pe aceeași linie dreaptă. De exemplu AOV.

7. Ce înseamnă cuvintele „o rază împarte un unghi în două unghiuri”? când o rază împarte un unghi în două unghiuri, gradul de măsurare a întregului unghi este egală cu suma gradelor de măsură ale acelor unghiuri. Ray OS împarte unghiul AOB la jumătate.

8. Ce cifre se numesc egale?

Formele care se potrivesc atunci când sunt suprapuse se numesc EGALE. Două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi combinate atunci când sunt suprapuse

9. explicați cum să comparați două segmenteși cum să compari 2 unghiuri. Suprapuneți un segment pe celălalt astfel încât capătul primului să fie aliniat cu capătul celui de-al doilea, dacă celelalte două capete nu sunt aliniate, atunci segmentele nu sunt egale, dacă sunt aliniate, atunci sunt egale. Pentru a compara 2 segmente, trebuie să comparați lungimile lor, pentru a compara 2 unghiuri, trebuie să comparați măsura gradului lor, Se spune că două unghiuri sunt egale dacă pot fi suprapuse. Pentru a stabili dacă două unghiuri neexpandite sunt egale sau nu, este necesar să combinați latura unui unghi cu latura celui de-al doilea, astfel încât celelalte două laturi să fie de aceeași parte a laturilor combinate..Așezați un colț pe celălalt colț în așa fel încât vârfurile lor să coincidă pe o parte, iar celelalte două să fie pe aceeași parte a laturilor aliniate. Dacă a doua latură a unui unghi este aliniată cu a doua latură a altui unghi, atunci aceste unghiuri sunt egale. (Impuneți colțurile astfel încât partea unuia să fie aliniată cu latura celuilalt, iar celelalte două să fie de aceeași parte a laturilor aliniate. Dacă celelalte două laturi sunt aliniate, atunci unghiurile sunt complet aliniate, ceea ce înseamnă sunt egali.)

10. Ce punct se numește mijlocul segmentului? Punctul de mijloc al unui segment este punctul care împarte segmentul dat în două părți egale. Punctul care împarte un segment în jumătate se numește punctul de mijloc al segmentului.

11. bisectoare(din latină bi- „dublu” și sectio „tăiere”) un unghi este o rază care iese din vârful unghiului și trece prin regiunea sa interioară, care formează două unghiuri egale cu laturile sale. Sau se numește o rază care emană din vârful unui unghi și o împarte în două unghiuri egale bisectoare a unghiului.

12. Cum este măsurarea segmentelor. A măsura un segment proporțional cu unul înseamnă a afla de câte ori conține o unitate sau o fracțiune de unitate. Măsurarea distanței se realizează prin compararea acestuia cu un anumit segment luat ca unitate. Puteți măsura lungimea segmentului folosind o riglă sau o bandă de măsurare. Este necesar să suprapunem un segment peste altul, pe care l-am luat ca unitate de măsură, astfel încât capetele lor să fie aliniate.

? 13. Cum sunt legate lungimile segmentelor AB și CD dacă: a) segmentele AB și CD sunt egale; b) este segmentul AB mai mic decât segmentul CD?

A) lungimile segmentelor AB și CD sunt egale. B) lungimea segmentului AB este mai mică decât lungimea segmentului CD.

14. Punctul C împarte segmentul AB în două segmente. Cum sunt legate lungimile segmentelor AB, AC și CB? Lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor AC șiCB. Pentru a găsi lungimea segmentului AB, adăugați lungimile segmentelor AC și CB.

15. Ce este o diplomă? Ce arată măsura gradului unui unghi?? Unghiurile sunt măsurate în diferite unități. Pot fi grade, radiani. Cel mai adesea, unghiurile sunt măsurate în grade. (Acest grad nu trebuie confundat cu o măsură a temperaturii, unde se folosește și cuvântul „grad”). Măsurarea unghiurilor se bazează pe compararea lor cu un unghi luat ca unitate de măsură. De obicei, un grad este luat ca unitate de măsură pentru unghiuri - un unghi egal cu 1/180 dintr-un unghi dezvoltat. Gradul este o unitate a unghiurilor plane din geometrie. (Ca unitate de măsură a unghiurilor geometrice, se ia un grad - parte a unui unghi dezvoltat.) .

Măsura gradului unui unghi arată de câte ori un grad și părțile sale - un minut și o secundă - se încadrează într-un unghi dat , adică o măsură a gradului - o valoare care reflectă numărul de grade, minute și secunde dintre laturile unghiului.

16. Ce parte a unui grad se numește minut și ce parte se numește secundă? 1/60 de grad se numește minut, iar 1/60 de minut se numește secundă. Minutele sunt notate cu semnul „′”, iar secundele - prin semnul „″”

? 17. Cum sunt legate măsurile gradelor a două unghiuri dacă: a) aceste unghiuri sunt egale; b) un unghi este mai mic decât celălalt? a) gradul de măsurare a unghiurilor este aceeaşi. b) Gradul de măsurare a unui unghi este mai mic decât gradul de măsurare a celui de-al doilea unghi.

18. Raza OC împarte unghiul AOB în două unghiuri. Cum sunt legate măsurile de grad ale unghiurilor AOB, AOC și COB? Când o rază împarte un unghi în două unghiuri, gradul de măsurare a întregului unghi este egală cu suma gradelor de măsură ale acelor unghiuri. AOB este egală cu suma măsurilor de grad ale părților sale AOC și COB.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției: Repetați subiectul „Aria unui paralelogram”. Deduceți formula pentru aria unui triunghi, introduceți conceptul de figuri de dimensiuni egale. Rezolvarea problemelor pe tema „Zone cu figuri de dimensiuni egale”.

În timpul orelor

I. Repetarea.

1) Oral conform desenului finit Deduceți formula pentru aria unui paralelogram.

2) Care este relația dintre laturile paralelogramului și înălțimile căzute pe ele?

(conform desenului finit)

relația este invers proporțională.

3) Găsiți a doua înălțime (conform desenului finit)

4) Găsiți aria paralelogramului conform desenului finit.

Decizie:

5) Comparați ariile paralelogramelor S1, S2, S3. (Au arii egale, toate au baza a și înălțimea h).

Definiție: figurile cu arii egale se numesc egale.

II. Rezolvarea problemelor.

1) Demonstrați că orice dreaptă care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor o împarte în 2 părți egale.

Decizie:

2) În paralelogram ABCD CF și CE înălțimi. Demonstrați că AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Dat un trapez cu bazele a și 4a. Este posibil să tragem linii drepte printr-unul dintre vârfurile sale, împărțind trapezul în 5 triunghiuri de suprafață egală?

Decizie: Poate sa. Toate triunghiurile sunt egale.

4) Demonstrați că dacă luăm punctul A de pe latura paralelogramului și îl conectăm la vârfuri, atunci aria triunghiului rezultat ABC este egală cu jumătate din aria paralelogramului.

Decizie:

5) Tortul are forma unui paralelogram. Kid și Carlson îl împart astfel: Kid arată un punct de pe suprafața tortului, iar Carlson taie tortul în 2 bucăți de-a lungul unei linii drepte care trece prin acest punct și ia una dintre bucăți pentru el. Toată lumea vrea o piesă mai mare. Unde ar trebui să pună capăt Copilului?

Decizie:În punctul de intersecție a diagonalelor.

6) Pe diagonala dreptunghiului s-a ales un punct și s-au trasat linii drepte prin el, paralele cu laturile dreptunghiului. Pe laturile opuse au format 2 dreptunghiuri. Comparați zonele lor.

Decizie:

III. Studierea subiectului „Aria unui triunghi”

începe cu o sarcină:

„Aflați aria unui triunghi a cărui bază este a și înălțimea este h.”

Băieții, folosind conceptul de figuri de dimensiuni egale, demonstrează teorema.

Să construim un triunghi până la un paralelogram.

Aria unui triunghi este jumătate din aria unui paralelogram.

Exercițiu: Desenați triunghiuri egale.

Se folosește un model (3 triunghiuri colorate sunt decupate din hârtie și lipite la baze).

Exercițiul numărul 474. „Comparați ariile celor două triunghiuri în care triunghiul dat este împărțit la mediana lui.”

Triunghiurile au aceleași baze a și aceeași înălțime h. Triunghiurile au aceeași arie

Concluzie: figurile cu arii egale se numesc egale.

Întrebări pentru clasă:

1. Sunt cifrele egale de aceeași dimensiune?
2. Formulați afirmația opusă. Este adevarat?
3. Este adevarat:
   a) Triunghiurile echilaterale sunt egale ca aria?
   b) Triunghiurile echilaterale cu laturile egale sunt egale?
   c) Pătratele cu laturile egale sunt egale?
   d) Demonstrați că paralelogramele formate prin intersecția a două benzi de aceeași lățime la unghiuri de înclinare diferite una față de cealaltă sunt egale. Aflați paralelogramul celei mai mici zone formate prin intersecția a două benzi de aceeași lățime. (Afișați pe model: dungi cu lățime egală)

IV. Pas înainte!

Scris pe tablă sarcini optionale:

1. „Tăiați triunghiul cu două linii drepte, astfel încât să puteți plia piesele într-un dreptunghi”.

Decizie:

2. „Tăiați dreptunghiul în linie dreaptă în 2 părți, din care puteți face un triunghi dreptunghic.”

Decizie:

3) Se trasează o diagonală într-un dreptunghi. Într-unul dintre triunghiurile rezultate, este trasată o mediană. Aflați rapoartele dintre ariile figurilor .

Decizie:

Răspuns:

3. Din sarcinile olimpiadei:

„În patrulaterul ABCD, punctul E este punctul de mijloc al lui AB, conectat la vârful D, iar F este punctul de mijloc al lui CD, la vârful B. Demonstrați că aria patrulaterului EBFD este de 2 ori mai mică decât aria patrulaterului ABCD.

Rezolvare: desenați o diagonală BD.

Exercițiul numărul 475.

„Desenați triunghiul ABC. Prin vârful B, trageți 2 linii drepte astfel încât să împartă acest triunghi în 3 triunghiuri cu arii egale.

Folosește teorema Thales (împarte AC în 3 părți egale).

V. Sarcina zilei.

Pentru ea, am luat partea de extremă dreaptă a tablei, pe care scriu sarcina de astăzi. Copiii pot decide sau nu. Nu vom rezolva această problemă astăzi în clasă. Doar că cei care sunt interesați de ele o pot scrie, o pot rezolva acasă sau în pauză. De obicei, deja la pauză, mulți tipi încep să rezolve problema, dacă se hotărăsc, arată soluția, iar eu o rezolv într-un tabel special. În lecția următoare, vom reveni cu siguranță la această problemă, dedicând o mică parte a lecției rezolvării acesteia (și o nouă problemă poate fi scrisă pe tablă).

„Un paralelogram este tăiat într-un paralelogram. Împărțiți restul în 2 figuri egale.

Decizie: Secanta AB trece prin punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramelor O și O1.

Probleme suplimentare (din problemele olimpiadei):

1) „În trapezul ABCD (AD || BC), vârfurile A și B sunt conectate la punctul M, punctul de mijloc al laturii CD. Aria triunghiului ABM este m. Aflați aria trapezului ABCD.

Decizie:

Triunghiurile ABM și AMK sunt cifre egale, deoarece AM este mediana.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Răspuns: SABCD = 2m.

2) „În trapezul ABCD (AD || BC), diagonalele se intersectează în punctul O. Demonstrați că triunghiurile AOB și COD sunt arii egale.”

Decizie:

S ∆BCD = S ∆ABC , deoarece au o bază comună BC și aceeași înălțime.

3) Latura AB a unui triunghi arbitrar ABC este extinsă dincolo de vârful B, astfel încât BP = AB, latura AC este extinsă dincolo de vârful A, astfel încât AM = CA, latura BC este extinsă dincolo de vârful C, astfel încât KS = BC. De câte ori este aria triunghiului RMK mai mare decât aria triunghiului ABC?

Decizie:

Într-un triunghi MVS: MA = AC, deci aria triunghiului BAM este egală cu aria triunghiului ABC. Într-un triunghi stație de lucru: BP = AB, deci aria triunghiului BAM este egală cu aria triunghiului ABP. Într-un triunghi ARS: AB = BP, deci aria triunghiului BAC este egală cu aria triunghiului BPC. Într-un triunghi VRK: BC \u003d SC, prin urmare, aria triunghiului VRS este egală cu aria triunghiului RKS. Într-un triunghi AVK: BC = SC, deci aria triunghiului BAC este egală cu aria triunghiului ASC. În triunghiul MSC: MA = AC, deci aria triunghiului KAM este egală cu aria triunghiului ASC. Obținem 7 triunghiuri egale. Mijloace,

Răspuns: Aria triunghiului MRK este de 7 ori aria triunghiului ABC.

4) Paralelograme legate.

2 paralelograme sunt situate așa cum se arată în figură: au un vârf comun și încă un vârf pentru fiecare dintre paralelograme se află pe laturile celuilalt paralelogram. Demonstrați că ariile paralelogramelor sunt egale.

Decizie:

și , mijloace,

Lista literaturii folosite:

1. Manual „Geometrie 7-9” (autori L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moscova, „Iluminismul”, 2003).
2. Probleme ale olimpiadelor din diferiți ani, în special din manualul „Cele mai bune probleme ale olimpiadelor de matematică” (compilat de A.A. Korznyakov, Perm, „Knizhny Mir”, 1996).
3. O selecție de sarcini acumulate pe parcursul multor ani de muncă.

Când se calculează suprafețele poligoanelor, se folosește un truc simplu numit metoda de partiționare. Luați în considerare poligoanele și prezentate în Fig. 1, care arată cum se despart aceste poligoane în același număr de părți, respectiv egale (părțile egale sunt marcate cu aceleași numere). Despre poligoane și spuneți că sunt compuse în mod egal. În general, poligoane se numesc compuse egal dacă, tăind poligonul într-un număr finit de părți într-un anumit mod, este posibil, prin aranjarea diferită a acestor părți, să se facă din ele un poligon. Este ușor de observat că următoarea teoremă este adevărată: poligoane de dimensiune egală au aceeași arie sau, după cum se spune, sunt de aceeași zonă. De exemplu, un paralelogram este echidistant cu un dreptunghi (Fig. 2) și, prin urmare, cunoscând formula pentru aria unui dreptunghi, aflăm că aria unui paralelogram este egală cu produsul lungimilor lui latura acestuia și înălțimea corespunzătoare.

Acest exemplu ilustrează metoda de împărțire, care constă în faptul că, pentru a calcula aria unui poligon, se încearcă împărțirea acestuia într-un număr finit de părți, astfel încât din aceste părți să se poată forma un poligon mai simplu, a cărui zonă o știm deja. De exemplu, un triunghi este echidistant cu un paralelogram având aceeași bază și jumătate din înălțime (Fig. 3); de aici se deduce cu ușurință formula pentru aria unui triunghi. Această metodă de calcul a suprafețelor poligoanelor era cunoscută de Euclid, care a trăit în urmă cu mai bine de 2000 de ani.

Este remarcabil că teorema inversă este valabilă și pentru teorema de mai sus: dacă două poligoane sunt egale ca mărime, atunci ele sunt de compoziție egală. Această teoremă, dovedită în prima jumătate a secolului al XIX-lea. de matematicianul maghiar F. Bolyai și ofițerul și matematicianul german P. Gervin, poate fi explicat astfel: dacă există o turtă dulce sub formă de poligon și o cutie poligonală de formă complet diferită, dar de aceeași zonă, apoi poti taia turta dulce intr-un numar finit de bucati in asa fel incat sa reuseasca sa puna in aceasta cutie.

În legătură cu teorema Bolyai-Gervin, se pune problema impunerii unor restricții suplimentare privind numărul sau aranjarea părților care formează poligoane cu suprafață egală. De exemplu, să ne imaginăm un avion ca o foaie de hârtie colorată cu o parte roșie și cealaltă albă. Dacă dintr-o astfel de hârtie sunt tăiate două poligoane roșii de dimensiuni egale, atunci se pune întrebarea dacă unul dintre ele poate fi tăiat în bucăți din care să fie posibil să se adauge un poligon roșu egal cu al doilea. Părțile pot fi mutate fără a le întoarce pe partea albă, greșită. Răspunsul la această întrebare este, de asemenea, afirmativ.

O variantă a acestei probleme a fost propusă la una dintre olimpiadele de matematică de la Moscova în următoarea formă comică. Cofetarul excentric a copt prajitura (iar prajitura, spre deosebire de turta dulce, are crema in partea de sus) in forma de triunghi scalen. Au făcut și o cutie pentru tort, dar din cauza unei neglijențe au lipit-o greșit, astfel încât tortul și cutia s-au dovedit a fi simetrice între ele (Fig. 4). Este necesar (dacă se poate și economic) să tăiați tortul în bucăți care ar putea fi puse în această cutie. Desigur, părți din tort nu pot fi așezate cu smântână.

Un rezultat interesant legat de impunerea unor cerințe suplimentare privind aranjarea pieselor a fost obținut în 1952 de către matematicienii elvețieni G. Hadwiger și P. Glur: echiconstituția a două poligoane de suprafață egală poate fi stabilită folosind partiții în care părțile corespunzătoare au laturi paralele. La prima vedere, acest lucru pare chiar neplauzibil: este greu de crezut că două triunghiuri egale rotite unul față de celălalt printr-un unghi arbitrar (Fig. 5) pot fi întotdeauna împărțite în părți egale cu laturile paralele corespunzător. Cu toate acestea, există o astfel de împărțire a acestor triunghiuri, încât părțile în care este împărțit un triunghi sunt obținute din părțile corespunzătoare ale celui de-al doilea triunghi prin translații paralele sau simetrii centrale. Același lucru este valabil pentru oricare două poligoane de arie egală. Cu toate acestea, transferurile paralele ale pieselor singure nu pot fi renunțate. De exemplu, indiferent de modul în care tăiem un paralelogram în părți, este imposibil să facem un triunghi din aceste părți prin translații paralele.

Interesul pentru aceste întrebări a fost trezit de celebrul raport „Probleme matematice”, care a fost citit de remarcabilul matematician D. Hilbert la cel de-al doilea Congres Internațional al Matematicienilor, desfășurat la începutul secolelor XIX și XX. Dintre cele douăzeci și trei de probleme puse de Hilbert, cele mai multe se referă la noi ramuri ale matematicii care se dezvoltă rapid. Și o singură problemă - a treia - este legată de problemele geometriei școlare. Hilbert atrage atenția asupra faptului că atunci când se calculează volumul unei piramide triunghiulare, din timpul lui Euclid, se folosește o trecere destul de complicată la limită (a se vedea Limita) (și acum - integrare), în timp ce se calculează aria lui un triunghi, ne facem fără o trecere similară la limită. Esența problemei lui Hilbert este de a justifica folosirea acestui trecere „de prisos” (în comparație cu planimetria) la limită, i.e. demonstrați că fără ea nu se poate construi teoria volumelor poliedrelor. În 1900, M. Dehn a rezolvat a treia problemă a lui Hilbert demonstrând că un tetraedru obișnuit și un cub de dimensiune egală nu sunt de dimensiune egală. Hilbert a prevăzut că această întrebare ar putea duce la crearea unei teorii bogate și interesante din punct de vedere matematic a echiconsistenței poligoanelor și poliedrelor. Predicția lui Hilbert s-a împlinit cu brio; frumoasa clădire a teoriei moderne a compoziției egale este un monument demn pentru om de știință.