Când numărul se înmulțește singur pentru mine, muncă numit grad.

Deci 2,2 = 4, pătrat sau a doua putere a lui 2
2.2.2 = 8, cub sau a treia putere.
2.2.2.2 = 16, gradul al patrulea.

De asemenea, 10,10 = 100, a doua putere este 10.
10.10.10 = 1000, gradul trei.
10.10.10.10 = 10000 gradul al patrulea.

Și a.a = aa, a doua putere a lui a
a.a.a = aaa, a treia putere a lui a
a.a.a.a = aaaa, a patra putere a lui a

Se numește numărul inițial rădăcină grade ale acelui număr, deoarece acesta este numărul din care au fost create gradele.

Nu este însă foarte convenabil, mai ales în cazul puterilor mari, să notăm toți factorii care compun puterile. Prin urmare, se utilizează o metodă de notare abreviată. Rădăcina gradului se scrie o singură dată, iar în dreapta și puțin mai sus lângă ea, dar într-un font puțin mai mic se scrie de câte ori rădăcina acționează ca un factor. Acest număr sau literă este numit exponent sau grad numere. Deci, a 2 este egal cu a.a sau aa, deoarece rădăcina lui a trebuie înmulțită cu ea însăși de două ori pentru a obține puterea lui aa. De asemenea, un 3 înseamnă aaa, adică aici a se repetă de trei ori ca multiplicator.

Exponentul primei puteri este 1, dar de obicei nu este scris. Deci, un 1 se scrie ca a.

Nu trebuie să confundați grade cu coeficienți. Coeficientul arată cât de des este luată valoarea ca parteîntreg. Exponentul indică cât de des este luată valoarea ca factorîn lucru.
Deci, 4a = a + a + a + a. Dar a 4 = a.a.a.a

Notația exponențială are avantajul deosebit de a ne permite să exprimăm necunoscut grad. În acest scop, în locul unui număr, se scrie exponentul scrisoare. În procesul de rezolvare a problemei, putem obține o valoare care, după cum știm, este niste grad de altă magnitudine. Dar până acum nu știm dacă este un pătrat, un cub sau un alt grad, mai mare. Deci, în expresia a x , exponentul înseamnă că această expresie are niste grad, deși nu este definit ce grad. Deci, b m și d n sunt ridicate la puterile lui m și n. Când se găsește exponentul, numărînlocuit cu o scrisoare. Deci, dacă m=3, atunci b m = b 3 ; dar dacă m = 5 atunci b m =b 5 .

Metoda de scriere a valorilor cu exponenți este, de asemenea, un mare avantaj la utilizare expresii. Astfel, (a + b + d) 3 este (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), adică cubul trinomului (a + b + d) . Dar dacă scriem această expresie după cub, va arăta ca
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Dacă luăm o serie de puteri ai căror exponenți cresc sau scad cu 1, constatăm că produsul crește cu factor comun sau redus cu divizor comun, iar acest factor sau divizor este numărul inițial care este ridicat la o putere.

Deci, în seria aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
sau a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
indicatorii, dacă sunt numărați de la dreapta la stânga, sunt 1, 2, 3, 4, 5; iar diferența dintre valorile lor este 1. Dacă începem pe dreapta multiplica pe a, vom obține cu succes mai multe valori.

Deci a.a = a 2 , al doilea termen. Și a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , al treilea termen. a 4 .a = a 5 .

Dacă începem stânga divide pe o,
obținem un 5:a = a 4 și a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Dar un astfel de proces de divizare poate fi continuat mai departe și obținem un nou set de valori.

Deci, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Rândul complet va fi: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Sau a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Aici valori pe dreapta din unitate este verso valorile din stânga unuia. Prin urmare, aceste grade pot fi numite puteri inverse A. Se mai poate spune că puterile din stânga sunt inversul puterilor din dreapta.

Deci, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Și 1:(1/a 3) = a 3 .

Se poate aplica același plan de înregistrare polinomiale. Deci, pentru a + b, obținem o mulțime,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Pentru comoditate, se folosește o altă formă de scriere a puterilor inverse.

Conform acestei forme, 1/a sau 1/a 1 = a -1 . Și 1/aaa sau 1/a 3 = a -3 .
1/aa sau 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa sau 1/a 4 = a -4 .

Și pentru a face din exponenți o serie completă cu 1 ca diferență totală, a/a sau 1, se consideră ca atare care nu are grad și se scrie ca 0 .

Apoi, ținând cont de puterile directe și inverse
în loc de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
se poate scrie un 4 , un 3 , un 2 , un 1 , un 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
Sau a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Și o serie de grade luate numai separat va avea forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rădăcina gradului poate fi exprimată prin mai multe litere.

Astfel, aa.aa sau (aa) 2 este a doua putere a lui aa.
Și aa.aa.aa sau (aa) 3 este a treia putere a lui aa.

Toate gradele numărului 1 sunt aceleași: 1.1 sau 1.1.1. va fi egal cu 1.

Exponentiația înseamnă găsirea valorii oricărui număr prin înmulțirea acelui număr cu el însuși. Regula exponentiatiei:

Înmulțiți valoarea cu ea însăși de câte ori este indicat în puterea numărului.

Această regulă este comună tuturor exemplelor care pot apărea în procesul de exponențiere. Dar va fi corect să explicăm cum se aplică în anumite cazuri.

Dacă un singur termen este ridicat la o putere, atunci acesta este înmulțit cu el însuși de câte ori indică exponentul.

A patra putere a este un 4 sau aaaa. (Art. 195.)
A șasea putere a lui y este y 6 sau yyyyyy.
Puterea a n-a a lui x este x n sau xxx..... de n ori repetate.

Dacă este necesar să se ridice o expresie a mai multor termeni unei puteri, principiul că gradul produsului mai multor factori este egal cu produsul acestor factori ridicați la o putere.

Deci (ay) 2 =a 2 y 2 ; (da) 2 = ay.ay.
Dar ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Deci, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Prin urmare, în găsirea gradului unui produs, putem fie să operam pe întregul produs deodată, fie să putem opera pe fiecare factor separat și apoi să le înmulțim valorile cu grade.

Exemplul 1. A patra putere a lui dhy este (dhy) 4 sau d 4 h 4 y 4 .

Exemplul 2. A treia putere a lui 4b este (4b) 3 , sau 4 3 b 3 , sau 64b 3 .

Exemplul 3. Puterea a n-a a lui 6ad este (6ad) n sau 6 n și d n .

Exemplul 4. A treia putere a lui 3m.2y este (3m.2y) 3 sau 27m 3 .8y 3 .

Gradul unui binom, format din termeni legați prin + și -, se calculează prin înmulțirea termenilor săi. Da,

(a + b) 1 = a + b, prima putere.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , a doua putere (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, gradul al treilea.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, gradul al patrulea.

Pătrat a - b, există a 2 - 2ab + b 2 .

Pătratul a + b + h este a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Exercițiul 1. Aflați cubul a + 2d + 3

Exercițiul 2. Aflați a patra putere b + 2.

Exercițiul 3. Aflați puterea a cincea a lui x + 1.

Exercițiul 4. Aflați gradul al șaselea 1 - b.

Sumă pătrate sumeși diferență binomele sunt atât de comune în algebră încât este necesar să le cunoaștem foarte bine.

Dacă înmulțim a + h cu el însuși sau a - h cu el însuși,
obținem: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 de asemenea, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Aceasta arată că, în fiecare caz, primul și ultimul termen sunt pătratele lui a și h, iar termenul mijlociu este de două ori produsul dintre a și h. Prin urmare, pătratul sumei și diferenței binomurilor poate fi găsit folosind următoarea regulă.

Pătratul unui binom ai cărui ambii termeni sunt pozitivi este egal cu pătratul primului termen + de două ori produsul ambilor termeni, + pătratul ultimului termen.

Pătrat diferență binom este egal cu pătratul primului termen minus de două ori produsul ambilor termeni plus pătratul celui de-al doilea termen.

Exemplul 1. Pătrat 2a + b, există 4a 2 + 4ab + b 2 .

Exemplul 2. Pătratul ab + cd este a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Exemplul 3. Pătratul 3d - h este 9d 2 + 6dh + h 2 .

Exemplul 4. Pătratul a - 1 este a 2 - 2a + 1.

Pentru o metodă de găsire a puterilor mai mari ale binoamelor, consultați secțiunile următoare.

În multe cazuri, este eficient să scrii grad nici o multiplicare.

Deci, pătratul a + b este (a + b) 2 .
Puterea a n-a bc + 8 + x este (bc + 8 + x) n

În astfel de cazuri, suporturile acoperă toate membri sub grad.

Dar dacă rădăcina gradului este formată din mai multe multiplicatori, parantezele pot acoperi întreaga expresie sau pot fi aplicate separat factorilor, în funcție de comoditate.

Astfel, pătratul (a + b)(c + d) este fie [(a + b).(c + d)] 2, fie (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Pentru prima dintre aceste expresii, rezultatul este pătratul produsului a doi factori, iar pentru a doua, produsul pătratelor acestora. Dar sunt egali unul cu celălalt.

Cubul a.(b + d), este 3 sau a 3 .(b + d) 3 .

De asemenea, este necesar să se țină cont de semnul din fața membrilor implicați. Este foarte important să ne amintim că atunci când rădăcina unei puteri este pozitivă, toate puterile sale pozitive sunt de asemenea pozitive. Dar când rădăcina este negativă, valorile de la ciudat puterile sunt negative, în timp ce valorile chiar gradele sunt pozitive.

A doua putere (- a) este +a 2
Al treilea grad (-a) este -a 3
A patra putere (-a) este +a 4
A cincea putere (-a) este -a 5

De aici orice ciudat exponentul are același semn ca și numărul. Dar chiar gradul este pozitiv, indiferent dacă numărul are semn negativ sau pozitiv.
Deci, +a.+a = +a 2
ȘI -a.-a = +a 2

O valoare deja ridicată la o putere este ridicată din nou la o putere prin înmulțirea exponenților.

A treia putere a unui 2 este a 2.3 = a 6 .

Pentru a 2 = aa; cubul aa este aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; care este a șasea putere a lui a, dar a treia putere a lui a 2 .

A patra putere a 3 b 2 este a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A treia putere a lui 4a 2 x este 64a 6 x 3 .

Puterea a cincea a lui (a + b) 2 este (a + b) 10 .

Puterea a N-a a unui 3 este un 3n

Puterea a n-a a lui (x - y) m este (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Regula se aplică în egală măsură negativ grade.

Exemplul 1. A treia putere a lui a -2 este a -3.3 =a -6 .

Pentru a -2 = 1/aa, iar a treia putere a acesteia
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

A patra putere a 2 b -3 este a 8 b -12 sau a 8 / b 12 .

Pătratul b 3 x -1 este b 6 x -2 .

A n-a putere ax -m este x -mn sau 1/x .

Cu toate acestea, trebuie amintit aici că dacă un semn anterior gradul este „-”, apoi ar trebui schimbat în „+” ori de câte ori gradul este un număr par.

Exemplul 1. Pătratul -a 3 este +a 6 . Pătratul lui -a 3 este -a 3 .-a 3 , care, după regulile semnelor de înmulțire, este +a 6 .

2. Dar cubul -a 3 este -a 9 . Pentru -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Puterea a N-a a lui -a 3 este un 3n .

Aici rezultatul poate fi pozitiv sau negativ, în funcție de faptul că n este par sau impar.

În cazul în care un fracțiune ridicat la putere, numărătorul și numitorul sunt ridicate la putere.

Pătratul a/b este a 2 /b 2 . Conform regulii înmulțirii fracțiilor,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

A doua, a treia și a n-a putere a lui 1/a sunt 1/a 2 , 1/a 3 și 1/a n .

Exemple binoame unde unul dintre termeni este o fracție.

1. Aflați pătratul x + 1/2 și x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Pătratul a + 2/3 este a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Pătrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Pătratul x - b/m este x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Anterior, s-a arătat că coeficient fracționar poate fi mutat de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător. Folosind schema de scriere a puterilor inverse, se poate observa că orice multiplicator poate fi de asemenea mutat dacă se schimbă semnul gradului.

Deci, în fracția ax -2 /y, putem muta x de la numărător la numitor.
Atunci ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

În fracția a/cu 3 putem muta y de la numitor la numărător.
Atunci a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

În același mod, putem muta un factor care are un exponent pozitiv la numărător, sau un factor cu un exponent negativ la numitor.

Deci, ax 3 / b = a / bx -3 . Pentru x 3 inversul este x -3 , care este x 3 = 1/x -3 .

Prin urmare, numitorul oricărei fracții poate fi eliminat complet, sau numărătorul poate fi redus la unul fără a schimba sensul expresiei.

Deci, a/b = 1/ba -1 sau ab -1.

În continuarea conversației despre gradul unui număr, este logic să ne ocupăm de găsirea valorii gradului. Acest proces a fost numit exponentiare. În acest articol, vom studia doar modul în care se realizează exponențiarea, în timp ce vom atinge toți exponenții posibili - naturali, întregi, raționali și iraționali. Și prin tradiție, vom lua în considerare în detaliu soluțiile la exemple de creștere a numerelor în diferite grade.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă „exponentiare”?

Să începem prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția relevantă.

Definiție.

Exponentiatie este de a afla valoarea puterii unui număr.

Astfel, găsirea valorii puterii lui a cu exponentul r și ridicarea numărului a la puterea lui r este același lucru. De exemplu, dacă sarcina este „calculați valoarea puterii (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea lui 5”.

Acum puteți merge direct la regulile prin care se realizează exponentiarea.

Ridicarea unui număr la o putere naturală

În practică, egalitatea bazată pe se aplică de obicei sub forma . Adică, atunci când se ridică numărul a la o putere fracțională m / n, se extrage mai întâi rădăcina gradului al n-lea din numărul a, după care rezultatul este ridicat la o putere întreagă m.

Luați în considerare soluții la exemple de ridicare la o putere fracțională.

Exemplu.

Calculați valoarea gradului.

Soluţie.

Vă prezentăm două soluții.

Prima cale. Prin definiția gradului cu exponent fracționar. Calculăm valoarea gradului sub semnul rădăcinii, după care extragem rădăcina cubă: .

A doua cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar și pe baza proprietăților rădăcinilor, egalitățile sunt adevărate . Acum extrageți rădăcina În cele din urmă, ridicăm la o putere întreagă .

Evident, rezultatele obținute ale ridicării la o putere fracțională coincid.

Răspuns:

Rețineți că exponentul fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuit cu fracția obișnuită corespunzătoare, iar apoi trebuie efectuată exponențiarea.

Exemplu.

Calculați (44,89) 2,5 .

Soluţie.

Să scriem exponentul sub forma unei fracții obișnuite (dacă este necesar, vezi articolul): . Acum efectuăm ridicarea la o putere fracțională:

Răspuns:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

De asemenea, trebuie spus că ridicarea numerelor la puteri raționale este un proces destul de laborios (mai ales atunci când numărătorul și numitorul exponentului fracționar sunt numere destul de mari), care se realizează de obicei folosind tehnologia computerizată.

În încheierea acestui paragraf, ne vom opri asupra construcției numărului zero într-o putere fracțională. Am dat următorul sens gradului fracționar de zero al formei: căci avem , în timp ce zero la puterea m/n nu este definit. Deci, zero la o putere fracțională pozitivă este zero, de exemplu, . Și zero într-o putere negativă fracțională nu are sens, de exemplu, expresiile și 0 -4,3 nu au sens.

Ridicarea la o putere irațională

Uneori devine necesar să se afle valoarea gradului unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice, de obicei este suficientă obținerea valorii gradului până la un anumit semn. Observăm imediat că, în practică, această valoare este calculată folosind tehnologia de calcul electronică, deoarece ridicarea manuală la o putere irațională necesită un număr mare de calcule greoaie. Dar cu toate acestea vom descrie în termeni generali esența acțiunilor.

Pentru a obține o valoare aproximativă a exponentului lui a cu un exponent irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea exponentului. Această valoare este valoarea aproximativă a gradului numărului a cu un exponent irațional. Cu cât este mai precisă aproximarea zecimală a numărului inițial, cu atât mai precisă va fi valoarea gradului în final.

Ca exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii lui 2 1,174367... . Să luăm următoarea aproximare zecimală a unui indicator irațional: . Acum ridicăm 2 la o putere rațională de 1,17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1,17 ≈ 2,250116. În acest fel, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a unui exponent irațional, de exemplu, , atunci obținem o valoare mai precisă a gradului inițial: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică Zh pentru 5 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 7 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 9 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru

De ce sunt necesare diplome? Unde ai nevoie de ele? De ce trebuie să petreci timp studiindu-le?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor te va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Corect - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.

Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.

Puteți număra pur și simplu împingând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().

Ați observat că am înmulțit același număr de la sine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece se înmulțește același număr, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt, sau ... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, de altfel, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați un bazin: un fund de un metru de dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi metru cu metru vor intra în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:

Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge in sfarsit ca gradele au fost inventate de mocasini si vicleni pentru a-si rezolva problemele vietii, si nu pentru a-ti crea probleme, iata inca cateva exemple din viata.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Așadar, în primul an - de două ori de două... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să-ți amintești că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Tu ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.

Iată o poză ca să fii sigur.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a reține mai bine ... Un grad cu o bază „” și un indicator „” se citește ca „în grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce crezi că sunt aceste numere?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, atunci obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietăți de grad

De unde au venit aceste proprietăți? Îți arăt acum.

Să vedem ce este și ?

Prin definitie:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat factori factori, iar rezultatul sunt factori.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu exponent, adică: , care trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie sa fie acelasi motiv!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

numai pentru produse ale puterilor!

Sub nicio formă nu trebuie să scrii asta.

2. adică -a-a putere a unui număr

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Grad cu o bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În grade de la indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, se dovedește.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de practică

Analiza soluției 6 exemple

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce ​​număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prin definitie:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie index grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un număr întreg negativ - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de greu de imaginat un grad cu un exponent irațional (la fel cum este greu de imaginat un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Calculatorul vă ajută să ridicați rapid un număr la o putere online. Baza gradului poate fi orice număr (atât întreg, cât și real). Exponentul poate fi, de asemenea, întreg sau real și, de asemenea, atât pozitiv, cât și negativ. Trebuie amintit că pentru numerele negative, creșterea la o putere non-întreg nu este definită și, prin urmare, calculatorul va raporta o eroare dacă tot încercați să faceți acest lucru.

Calculator de grade

Ridicați-vă la putere

Exponentiatii: 24601

Ce este puterea naturală a unui număr?

Numărul p se numește puterea a n-a a numărului a dacă p este egal cu numărul a înmulțit cu el însuși de n ori: p \u003d a n \u003d a ... a
n - numit exponent, iar numărul a - baza gradului.

Cum să ridici un număr la o putere naturală?

Pentru a înțelege cum să ridicați diferite numere la puteri naturale, luați în considerare câteva exemple:

Exemplul 1. Ridicați numărul trei la a patra putere. Adică, este necesar să se calculeze 3 4
Soluţie: după cum sa menționat mai sus, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Răspuns: 3 4 = 81 .

Exemplul 2. Ridicați numărul cinci la puterea a cincea. Adică, este necesar să se calculeze 5 5
Soluţie: în mod similar, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Răspuns: 5 5 = 3125 .

Astfel, pentru a ridica un număr la o putere naturală, este suficient doar să-l înmulțim de n ori.

Ce este o putere negativă a unui număr?

Puterea negativă -n a lui a este una împărțită cu a la puterea lui n: a -n = .

În acest caz, un exponent negativ există numai pentru alte numere decât zero, deoarece altfel ar avea loc împărțirea la zero.

Cum se ridică un număr la un întreg negativ?

Pentru a ridica un număr diferit de zero la o putere negativă, trebuie să calculați valoarea acestui număr la aceeași putere pozitivă și să împărțiți unul la rezultat.

Exemplul 1. Ridicați numărul doi la puterea a patra minus. Adică, este necesar să se calculeze 2 -4

Soluţie: după cum sa menționat mai sus, 2 -4 = = = 0,0625 .

Răspuns: 2 -4 = 0.0625 .

Ne-am dat seama care este gradul unui număr în general. Acum trebuie să înțelegem cum să o calculăm corect, de exemplu. ridica numerele la puteri. În acest material, vom analiza regulile de bază pentru calcularea gradului în cazul unui exponent întreg, natural, fracționar, rațional și irațional. Toate definițiile vor fi ilustrate cu exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de exponentiare

Să începem cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Exponentiatie este calculul valorii puterii unui număr.

Adică cuvintele „calcul valorii gradului” și „exponențiație” înseamnă același lucru. Deci, dacă sarcina este „Ridicați numărul 0 , 5 la a cincea putere”, aceasta ar trebui înțeleasă ca „calculați valoarea puterii (0 , 5) 5 .

Acum oferim regulile de bază care trebuie urmate în astfel de calcule.

Amintiți-vă ce este o putere a unui număr cu exponent natural. Pentru o putere cu baza a și exponentul n, acesta va fi produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. Acesta poate fi scris astfel:

Pentru a calcula valoarea gradului, trebuie să efectuați operația de înmulțire, adică să înmulțiți bazele gradului de numărul specificat de ori. Însuși conceptul de diplomă cu un indicator natural se bazează pe capacitatea de a se înmulți rapid. Să dăm exemple.

Exemplul 1

Condiție: Ridicați - 2 la puterea de 4.

Soluţie

Folosind definiția de mai sus, scriem: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . În continuare, trebuie doar să urmăm acești pași și să obținem 16 .

Să luăm un exemplu mai complicat.

Exemplul 2

Calculați valoarea 3 2 7 2

Soluţie

Această intrare poate fi rescrisă ca 3 2 7 · 3 2 7 . Mai devreme, am analizat cum să înmulțim corect numerele mixte menționate în condiție.

Efectuați acești pași și obțineți răspunsul: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Dacă sarcina indică necesitatea de a ridica numerele iraționale la o putere naturală, va trebui mai întâi să le rotunjim bazele la o cifră care ne va permite să obținem un răspuns cu precizia dorită. Să luăm un exemplu.

Exemplul 3

Efectuați pătratul numărului π .

Soluţie

Să o rotunjim mai întâi la sutimi. Atunci π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Dacă π ≈ 3 . 14159, atunci vom obține un rezultat mai precis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Rețineți că necesitatea de a calcula puterile numerelor iraționale în practică apare relativ rar. Putem apoi să scriem răspunsul ca puterea însăși (ln 6) 3 sau să convertim dacă este posibil: 5 7 = 125 5 .

Separat, trebuie indicat care este prima putere a unui număr. Aici vă puteți aminti că orice număr ridicat la prima putere va rămâne el însuși:

Acest lucru este clar din înregistrare. .

Nu depinde de baza gradului.

Exemplul 4

Deci, (− 9) 1 = − 9 , iar 7 3 ridicat la prima putere rămâne egal cu 7 3 .

Pentru comoditate, vom analiza trei cazuri separat: dacă exponentul este un întreg pozitiv, dacă este zero și dacă este un număr întreg negativ.

În primul caz, aceasta este același lucru cu ridicarea la o putere naturală: la urma urmei, numerele întregi pozitive aparțin mulțimii numerelor naturale. Am descris deja cum să lucrăm cu astfel de grade mai sus.

Acum să vedem cum să ridicăm corect la puterea zero. Cu o bază care este diferită de zero, acest calcul produce întotdeauna o ieșire de 1. Am explicat anterior că puterea 0 a lui a poate fi definită pentru orice număr real care nu este egal cu 0, iar a 0 = 1.

Exemplul 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nedefinit.

Ne rămâne doar cazul unui grad cu exponent întreg negativ. Am discutat deja că astfel de grade pot fi scrise ca o fracție 1 a z, unde a este orice număr și z este un număr întreg negativ. Vedem că numitorul acestei fracții nu este altceva decât un grad obișnuit cu un întreg pozitiv și am învățat deja cum să-l calculăm. Să dăm exemple de sarcini.

Exemplul 6

Ridicați 3 la puterea -2.

Soluţie

Folosind definiția de mai sus, scriem: 2 - 3 = 1 2 3

Calculăm numitorul acestei fracții și obținem 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Atunci răspunsul este: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplul 7

Ridicați 1, 43 la puterea -2.

Soluţie

Reformulați: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculăm pătratul la numitor: 1,43 1,43. Decimalele pot fi înmulțite astfel:

Ca rezultat, am obținut (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Rămâne să scriem acest rezultat sub forma unei fracții obișnuite, pentru care este necesar să-l înmulțim cu 10 mii (a se vedea materialul despre conversia fracțiilor).

Răspuns: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caz separat este ridicarea unui număr la prima putere minus. Valoarea unui astfel de grad este egală cu numărul opus valorii inițiale a bazei: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemplul 8

Exemplu: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cum se ridică un număr la o putere fracțională

Pentru a efectua o astfel de operație, trebuie să ne amintim definiția de bază a unui grad cu un exponent fracționar: a m n \u003d a m n pentru orice a pozitiv, întreg m și n natural.

Definiția 2

Astfel, calculul unui grad fracționar trebuie efectuat în două etape: ridicarea la o putere întreagă și găsirea rădăcinii gradului al n-lea.

Avem egalitatea a m n = a m n , care, având în vedere proprietățile rădăcinilor, este de obicei folosită pentru a rezolva probleme sub forma a m n = a n m . Aceasta înseamnă că dacă ridicăm numărul a la o putere fracțională m / n, atunci mai întâi extragem rădăcina gradului al n-lea din a, apoi ridicăm rezultatul la o putere cu un exponent întreg m.

Să ilustrăm cu un exemplu.

Exemplul 9

Calculați 8 - 2 3 .

Soluţie

Metoda 1. Conform definiției de bază, putem reprezenta aceasta ca: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Acum să calculăm gradul sub rădăcină și să extragem a treia rădăcină din rezultat: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Să transformăm egalitatea de bază: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

După aceea, extragem rădăcina 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 și pătratăm rezultatul: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vedem că soluțiile sunt identice. Puteți folosi în orice mod doriți.

Există cazuri când gradul are un indicator exprimat ca număr mixt sau fracție zecimală. Pentru a ușura calculul, este mai bine să o înlocuiți cu o fracție obișnuită și să numărați așa cum este indicat mai sus.

Exemplul 10

Ridicați 44,89 la puterea de 2,5.

Soluţie

Să convertim valoarea indicatorului într-o fracție obișnuită - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Și acum efectuăm toate acțiunile indicate mai sus în ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 100 50 = 100 50 13 501, 25107

Răspuns: 13501, 25107.

Dacă există numere mari în numărătorul și numitorul unui exponent fracționar, atunci calcularea unor astfel de exponenți cu exponenți raționali este o muncă destul de dificilă. De obicei necesită tehnologie computerizată.

Separat, ne oprim asupra gradului cu o bază zero și un exponent fracționar. O expresie de forma 0 m n i se poate da următorul sens: dacă m n > 0, atunci 0 m n = 0 m n = 0 ; dacă m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cum să ridici un număr la o putere irațională

Necesitatea de a calcula valoarea gradului, în indicatorul căruia există un număr irațional, nu apare atât de des. În practică, sarcina este de obicei limitată la calcularea unei valori aproximative (până la un anumit număr de zecimale). Acest lucru este de obicei calculat pe un computer datorită complexității unor astfel de calcule, așa că nu ne vom opri în detaliu, ci vom indica doar principalele prevederi.

Dacă trebuie să calculăm valoarea gradului a cu un exponent irațional a , atunci luăm aproximarea zecimală a exponentului și numărăm din acesta. Rezultatul va fi un răspuns aproximativ. Cu cât aproximarea zecimală luată este mai precisă, cu atât răspunsul este mai precis. Să arătăm cu un exemplu:

Exemplul 11

Calculați o valoare aproximativă de 21 , 174367 ....

Soluţie

Ne restrângem la aproximarea zecimală a n = 1 , 17 . Să facem calculele folosind acest număr: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Dacă luăm, de exemplu, aproximarea a n = 1 , 1743 , atunci răspunsul va fi puțin mai precis: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter