V tejto lekcii budeme hovoriť o exponenciálnych a logaritmických funkciách. Zvyčajne sa študujú spoločne, pretože sú vzájomne inverzné. Povieme si o využití týchto funkcií, o tom, prečo sú tieto funkcie vybrané na štúdium.

Exponenciálna funkcia sa používa na opis všetkých javov, ktoré nazývame lavínové procesy. Jasnejšie povedané, ide o procesy, pri ktorých je zmena veľkosti úmerná množstvu už prítomnej veľkosti (čím viac, tým viac sa mení, čím menej, tým menej sa mení).

Príkladom takéhoto procesu je rozmnožovanie baktérií. Uvažujme o takejto úlohe. V pohári je jedna baktéria. Každú sekundu sa rozdelí na dve baktérie, nové baktérie sa každú sekundu rozdelia na dve atď. V priebehu minúty bol celý pohár naplnený baktériami. Koľko baktérií bolo v pohári pred sekundou?

Chcel by som povedať, že niekde sa naplnilo o niečo menej ako celý pohár, ale správna odpoveď je: pol pohára. Ak je polovica pohára naplnená, za sekundu sa každá baktéria rozdelí na časti a tie naplnia celý pohár. Ako vidíte, prvá polovica pohára bola naplnená za pár sekúnd a druhá polovica bola naplnená iba za sekundu.

Topiace sa ľadovce

Určite každý počul o probléme topenia ľadu na planéte. Prečo k takýmto procesom zaľadnenia a naopak otepľovania dochádza? Boli aj predtým, aj keď teraz hovoria, že na ich rýchlosť má kľúčový vplyv ľudská činnosť. Existujú rôzne hypotézy, ale to nie je také dôležité.

Ešte dôležitejšie je, že zníženie množstva ľadu zvyšuje množstvo absorbovanej slnečnej energie. To znamená, že čím menej ľadu bude, tým rýchlejšie sa roztopí. Tento proces je exponenciálny, alebo inými slovami, samovyvolávajúci sa, samoživenie.

Takýto proces je opísaný exponenciálna funkcia (alebo exponenciálna): (obr. 1). - základ, , a - exponent, meniaca sa hodnota.

Ryža. 1. Graf funkcie

Ďalším príkladom exponenciálnej funkcie, ktorú mnohí poznajú, je zložené úročenie. Ak vložíme peniaze do banky s pevným percentom, pričom peniaze nevyberáme a z celej dostupnej sumy sa účtuje úrok, potom suma, ktorú dostaneme počas období: , kde je počiatočný vklad, je úroková sadzba, je počet uplynutých období (rokov, mesiacov atď.). Najprv bude množstvo rásť pomaly, ale potom sa rast zrýchli.

Ďalší dobrý príklad. Ak zvýšime na mocninu, dostaneme približne, ale v mocnine je to prakticky. Ak uvedieme tento príklad vo forme úroku, potom sa v prvom prípade účtuje za deň, potom za rok sa suma zvýši o faktor. A v druhom prípade sa stiahne jedno percento denne, potom o rok nezostane takmer nič.

Zároveň je jednou z charakteristických čŕt exponenciálnej funkcie to, že pri takejto schéme sa súčet nemôže znižovať. Podobným príkladom z jadrovej fyziky je polčas rozpadu. Rádioaktívne prvky majú polčas rozpadu, napríklad v priebehu rokov sa hmotnosť látky zníži na polovicu (obr. 2).

Ryža. 2. Tabuľka polčasov rozpadu niektorých prvkov

To znamená, že ak by sme mali kilogram látky, potom v prvých rokoch zmizne gram látky (dosť veľa) av ďalších rokoch už gram atď. A potom príde obdobie, keď v priebehu rokov ujde asi gram látky. Toto je príklad klesajúceho exponentu.

Ak vezmeme do úvahy množinu všetkých funkcií a vyberieme z nich tie, ktoré majú nasledujúcu vlastnosť: , potom bude splnená pre exponenciálne funkcie: .