Rodina Georga Kantora (1845-1918) sa presťahovala z Ruska do Nemecka, keď bol ešte dieťa. Tam začal študovať matematiku. V roku 1868 obhájil dizertačnú prácu z teórie čísel a získal doktorát na univerzite v Berlíne. Vo veku 27 rokov Kantor publikoval článok obsahujúci všeobecné riešenie veľmi zložitého matematického problému – a myšlienky, ktoré neskôr prerástli do jeho slávnej teórie – teórie množín. V roku 1878 zaviedol a sformuloval značné množstvo nových konceptov, dal definíciu množiny a prvú definíciu kontinua a rozvinul princípy porovnávania množín. V rokoch 1879-1884 systematicky prezentoval princípy svojej doktríny nekonečna.

Cantorovo naliehanie na to, aby sa nekonečno považovalo za niečo skutočne dané, bolo v tom čase veľkou novinkou. Kantor uvažoval o svojej teórii ako o úplne novom počte nekonečnej, „transfinitnej“ (teda „superfinitnej“) matematiky. Vytvorenie takéhoto kalkulu malo podľa jeho predstavy spôsobiť revolúciu nielen v matematike, ale aj v metafyzike a teológii, čo Cantora zaujímalo takmer viac ako samotný vedecký výskum. Bol jediným matematikom a filozofom, ktorý veril, že skutočné nekonečno nielenže existuje, ale je aj človekom pochopiteľné v plnom zmysle a toto chápanie pozdvihne matematikov a po nich teológov vyššie a bližšie k Bohu. Tejto úlohe zasvätil svoj život. Vedec pevne veril, že bol vyvolený Bohom, aby urobil veľkú revolúciu vo vede, a túto vieru podporovali mystické vízie. Titánsky pokus Georga Cantora sa však skončil zvláštne: v teórii boli objavené neprekonateľné paradoxy, ktoré spochybňujú význam Cantorovej obľúbenej myšlienky – „rebríka alefov“, postupného radu transfinitných čísel. (Tieto čísla sú všeobecne známe v označení, ktoré prijal: vo forme písmena aleph - prvé písmeno hebrejskej abecedy.)

Neočakávanosť a originalita jeho pohľadu, napriek všetkým výhodám prístupu, viedla k ostrému odmietnutiu jeho práce väčšinou vedcov. Desaťročia zvádzal tvrdohlavý boj s takmer všetkými svojimi súčasníkmi, filozofmi a matematikmi, ktorí popierali legitímnosť budovania matematiky na základe skutočného nekonečna. Niektorí to považovali za výzvu, pretože Cantor predpokladal existenciu množín alebo postupností čísel, ktoré majú nekonečne veľa prvkov. Slávny matematik Poincaré nazval teóriu transfinitných čísel „chorobou“, z ktorej sa matematika raz musí vyliečiť. L. Kronecker – Cantorov učiteľ a jeden z najuznávanejších matematikov v Nemecku – dokonca na Cantora zaútočil a označil ho za „šarlatána“, „renegáta“ a „obťažovateľa mládeže“! Až v roku 1890, keď boli získané aplikácie teórie množín na analýzu a geometriu, bola Cantorova teória uznaná ako nezávislý odbor matematiky.

Je dôležité poznamenať, že Kantor prispel k vytvoreniu profesijného združenia - Nemeckej matematickej spoločnosti, ktorá prispela k rozvoju matematiky v Nemecku. Veril, že jeho vedecká kariéra trpela predsudkami voči jeho práci a dúfal, že nezávislá organizácia umožní mladým matematikom nezávisle posudzovať nové myšlienky a rozvíjať ich. Bol tiež iniciátorom zvolania prvého medzinárodného matematického kongresu v Zürichu.

Kantor ťažko znášal rozpory svojej teórie a ťažkosti s jej prijatím. Od roku 1884 trpel hlbokými depresiami a po niekoľkých rokoch odišiel z vedeckej činnosti. Kantor zomrel na zlyhanie srdca v psychiatrickej liečebni v Halle.

Kantor dokázal existenciu hierarchie nekonečna, z ktorých každé je „väčšie“ ako predchádzajúce. Jeho teória nekonečných množín, ktorá prežila roky pochybností a útokov, nakoniec prerástla do veľkolepej revolučnej sily v matematike 20. storočia. a stal sa jej základným kameňom.

Začiatok 19. storočia sa niesol v znamení objavu neeuklidovskej geometrie. V roku 1825 - Nikolaj Vasilyevič Lobačevskij, o niečo neskôr, v roku 1831 - Janos Bolyai. A osud týchto objavov bol veľmi tragický. Ani jeden, ani druhý objav nebol uznaný. Až do 60. rokov 19. storočia, pred objavmi iných neeuklidovských geometrií - Riemann a i. A objavitelia neeuklidovskej geometrie už zomreli! A teraz - teória množín, ktorá tiež nie je uznávaná, karhá ... Ach, toto zvláštne 19. storočie ...

Cantor), Georg (3. 3. 1845 – 6. 1. 1918) – matematik a mysliteľ, tvorca teórie množín, ktorá má svoj základ. objekt nekonečných množín. Rod. V Petrohrade. Od roku 1872 - prof. univerzite v Halle. Zomrel v Halle v psychiatrickej liečebni. POLIKLINIKA. K vytvoreniu teórie množín (1870) ho priviedli štúdie trigonometrie. riadkov. Tvorivé obdobie v živote K., ktoré trvalo do roku 1897 (prerušené duchovnou krízou v roku 1885), je poznačené op. „O nekonečných lineárnych bodových varietách“ („?ber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten“, 1879 – 1884), „O zdôvodnení teórie transfinitných množín“ („Beitr?ge zur Begr?ndung der transfiniten Mengenlehre“, 1895 – 97 ), atď. K. položil základy ako abstraktná teória množín [študujúce množiny len z hľadiska. ich "čísla" (kardinalita množiny) a vzťahy medzi ich prvkami (radové typy množín)] a teória bodových množín (t. j. množiny pozostávajúce z bodov číselnej osy a vo všeobecnosti z čísla n- rozmerový priestor). K. ako jeden z prvých skonštruoval teóriu reálnych čísel, ktorá sa dodnes (spolu s teóriami nemeckých vedcov R. Dedekinda a K. Weierstrassa) bežne používa ako základ pre konštrukciu matematických. analýza. Cantorova teória množín znamenala dôležitý krok vpred v štúdiu konceptu nekonečna; jeho vytvorenie bolo revolúciou vo všetkom matematickom. vedomosti. Na začiatku. 20. storočie celá matematika bola reštrukturalizovaná na základe teórie množín; jej rozvoj a prienik do rôznych oblastí matematiky viedol k vzniku nových vedeckých. disciplíny, napr. topológia, abstraktná algebra atď. Neskôr boli v teórii množín objavené paradoxy, ktoré dali nový impulz štúdiu logiky. základy matematiky a viedli k vzniku nových trendov v jej filozofii. interpretácia (napr. intuicionizmus). Jeden z prvých paradoxov tohto druhu (spojený s pojmom mocniny množiny všetkých množín) objavil sám K. v roku 1899. Matematika, založená na bezpodmienečnej aplikácii K. teórie množín, v súčasnosti. čas sa často nazýva klasický. Pozri Matematika, Teória množín, Matematické nekonečno. Philos. aspekt myšlienok K. spočíval v uznaní plnej legitimity konceptu vlastne nekonečna. K. rozlíšil dva druhy matematických. nekonečno: nenáležite nekonečné (potenciálne, resp. synkategorematické, nekonečné) a vlastné nekonečné (vlastne nekonečné), chápané K. ako niečo úplné, ako prísne ohraničený celok. V súvislosti s otázkou reality sa matematická K. rozlišoval pojmy: ich vnútrosubjektívna alebo imanentná realita (ich vnútorná logika. konzistencia) a ich transsubjektívna alebo prechodná realita, pod ktorou chápal súlad medzi matematickými. koncepty a procesy reálneho sveta. Na rozdiel od Kroneckera, ktorý tieto metódy dokazovania existencie matematických odmietal. objektov, ktoré nie sú spojené s ich konštrukciou alebo výpočtom, K. predložil tézu: "podstata matematiky - v jej slobode," DOS. význam to-rogo bol zredukovaný na predpoklad konštrukcie akejkoľvek logicky konzistentnej abstraktnej matematiky. systémov sa otázka „prechodnej reality“ to-rykh rieši ich porovnaním s procesmi reality. Plodnosť tejto K. myšlienky potvrdil rozvoj matematiky v 20. storočí, ktorý priniesol množstvo príkladov aplikácie novovznikajúcich abstraktných matematických pojmov. a logické. teórie vo fyzike, technológii, lingvistike a iných oblastiach. Podľa ich filozofie. názory K. bol objektívny idealista. Skutočné nekonečno považoval v matematike len za jednu z foriem existencie vlastne nekonečna vôbec; ten druhý nadobúda „najvyššiu úplnosť“ v úplne nezávislej, mimosvetskej existencii – v Bohu; boh je absolútne nekonečný alebo absolútny; okrem toho skutočné nekonečno podľa K. objektívne existuje vo vonkajšom svete. K. kritizoval Hegela, odmietajúc jeho dialektiku s odôvodnením, že jej jadrom je rozpor. Preto pozornosť, najmä v poslednom období svojho života, venoval K. teológii. Jeho náboženská filozofia. názory sa formovali pod vplyvom Aristotela, Platóna a scholastiky. op.: Gesammelte Abhandlungen..., V., 1932. Lit.: Fraenkel?., Georg Cantor, Lpz., 1930. A. Konoplyankin. Moskva.

Veľká definícia

Neúplná definícia ↓

KANTOR Georg (1845-1918)

Nemecký matematik, logik, teológ, tvorca teórie transfinitných (nekonečných) množín, ktorá mala rozhodujúci vplyv na rozvoj matematických vied na prelome 19. a 20. storočia. Absolvent Berlínskej univerzity (1867), profesor na univerzite v Halle (1879-1913). Hlavné dielo: „Základy všeobecnej náuky o odrodách“ (1902). K. výskum, iniciovaný potrebou riešiť naliehavé problémy v teórii nekonečných Fourierových radov, sa stal základom pre ďalší fundamentálny výskum v smere teórie numerických množín, kde zaviedol: všeobecnú definíciu množiny, transfinitné čísla, všeobecný pojem "mocnosť množiny" (ako počet prvkov množiny), kardinality rôznych transfinitných množín. Pod množinou K. rozumel „... vo všeobecnosti akékoľvek množstvo vecí, ktoré možno považovať za jeden celok, teda akýkoľvek súbor určitých prvkov, ktoré možno pomocou nejakého zákona spojiť do jedného celku. "." Základom konceptu množiny je akt spojenia rôznych predmetov do jedného celku, definovaného ako množina. Prvky množín môžu byť akékoľvek predmety skutočnej reality, ľudská intuícia alebo intelekt. Prítomnosť frázy „... súbor určitých prvkov, ktoré možno pomocou určitého zákona spojiť do jedného celku ...“ v definícii K. úplne určuje súbor jeho prvkov alebo zákona (charakteristické znaky , vlastnosti), podľa ktorých sa akt spájania rôznych predmetov odohráva do jediného celku – množstva. Preto základným pojmom teórie množín nie je pojem množiny ako taký, ale vzťah príslušnosti objektov k množine. Tradícia rozdeľovania nekonečna na aktuálne a potenciálne siaha až k Aristotelovi: „Ostáva alternatíva, podľa ktorej má nekonečno potenciálnu existenciu... Nekonečno v skutočnosti neexistuje“ (Aristoteles, „Fyzika“). V tejto tradícii pokračoval Descartes („Nekonečno je rozpoznateľné, ale nie poznateľné“) a dokonca aj za čias K. Gaussa („V matematike nemožno nekonečnú hodnotu nikdy použiť ako niečo konečné; nekonečno nie je nič iné ako facon de parle / spôsob vyjadrenia - С.С / , čo znamená hranicu, ku ktorej niektoré veličiny smerujú, keď iné donekonečna klesajú“). K., ako napísal M. Kline, sa odklonil od dlhej tradície „už tým, že nekonečné množiny považoval za samostatné entity, navyše entity prístupné ľudskej mysli“. Ostro nesúhlasil so svojimi kolegami matematikmi v jeho názoroch na matematické nekonečno, K. motivoval potrebu zaviesť skutočne nekonečné množiny tým, že „potenciálne nekonečno v skutočnosti závisí od skutočného nekonečna, ktoré mu logicky predchádza“. Klasickým príkladom skutočne nekonečnej množiny podľa K. sú desatinné expanzie iracionálnych čísel, keďže každý „konečný segment takéhoto rozkladu dáva iba konečnú aproximáciu k iracionálnemu číslu“. V roku 1873 začal K. výskum klasifikácie skutočne nekonečných množín. O niečo neskôr K. definoval nekonečnú množinu ako množinu, pre ktorú existuje zhoda jedna ku jednej s jej vlastnou podmnožinou (teda odlišnou od celej množiny). Jedným z dôsledkov tohto prístupu bola napríklad možnosť vytvorenia vzájomnej korešpondencie medzi bodmi priamky a bodmi množiny ľubovoľného rozmeru. Na základe vlastnej definície nekonečných množín dokázal K. pre každú z nich stanoviť vzťah ekvivalencie (rovnakej sily). V roku 1874 K. dokázal nespočitateľnosť množiny všetkých reálnych čísel, pričom zistil existenciu dvojíc nekonečných množín s rôznou mohutnosťou (neekvivalentné množiny). Systematicky základy svojej teórie matematického nekonečna K. načrtol v rokoch 1879-1884. Základ hierarchie nekonečna K. dokázala v prvej polovici 90. rokov 19. storočia známa K.-Bernsteinova veta: „ak sú dve množiny A a B také, že existuje korešpondencia jedna ku jednej medzi množinou A a podmnožinou množiny B a medzi množinou B a podmnožinou množiny A, potom je tiež možné stanoviť vzájomnú zhodu medzi množinou A a množinou B", t.j. stanoviť ekvivalenciu (ekvivalenciu) množín A a B. Zároveň K. určil, že ak množinu A možno dať do vzájomnej korešpondencie s vlastnou podmnožinou B a množinu B nemožno dať do korešpondencia jedna ku jednej s vlastnou podmnožinou A, potom je množina B podľa definície väčšia ako množina A. Takáto definícia podľa M. Kleina zovšeobecňuje na prípad nekonečných množín, čo je „okamžite zrejmé v prípade konečných množín“. Na základe tohto prístupu K. dokázal, že pre každú „danú množinu vždy existuje množina väčšia ako pôvodná“ (napríklad množina všetkých podmnožín danej množiny je väčšia ako pôvodná množina). Skutočnosť, že medzi dvoma mocnosťami je možné vytvoriť vzťahy „rovnosť“, „viac“ a „menej“, dala K. existuje dôvod nazývať symboly na označenie mohutností nekonečných množín „číslami“ (v prípade konečných množín sú symbolmi na označenie ich mohutností čísla prirodzeného radu, ktoré určujú počet prvkov v každej z ekvivalentných konečných množín). Na rozdiel od čísel prirodzeného radu [radové čísla / z nem. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - radové číslovky - C.C.I, K. nazývali kardinálne čísla (z nem. Die Kardinalzahl - kvantitatívne čísla)] "čísla" označujúce silu nekonečných množín. K. veril, že oblasť určitých hodnôt nie je obmedzená na konečné hodnoty, tk. o „skutočnom nekonečne je možné aj demonštratívne poznanie“. Ak bol pojem kardinality rozšíreným pojmom „množstvo“ pre nekonečné množiny, potom sa pojem kardinálneho čísla stal rozšíreným zovšeobecnením pojmu „čísla vo všeobecnosti“. K. rozšírenie pojmu „číslo“ v ríši Nekonečna znamenalo prechod matematiky na kvalitatívne novú úroveň myslenia. Sila množín podľa K. totiž odráža v mysli ľudského bádateľa určité vzťahy množín, t.j. mohutnosť množín v K. je najvšeobecnejšou charakteristikou ekvivalentných nekonečných množín. Bolzano na začiatku 19. storočia. dospel ku konceptu korešpondencie jedna k jednej medzi množinami (a následne ku konceptu kardinalít množín a ich vyjadrenia kardinálnymi číslami). Avšak pod „množstvom“ až do polovice 19. stor. veľkosť bola pochopená. A keďže je možné každú veličinu vyjadriť pomocou zvolenej mernej jednotky číslom, myšlienka kvantity bola spojená s pojmom číslo. Básnik Bolzano bol nútený ustúpiť pred vážnymi ťažkosťami vyplývajúcimi z pojmu „množstvo“. Vtedajšia matematika bola všeobecne definovaná ako veda, ktorá študuje vzťahy medzi veličinami a číslami, ktoré ich vyjadrujú. Ako však píše VA Volkov, „bez ohľadu na to, aké dôležité sú rôzne typy veličín a vzťahy medzi nimi pre praktické aplikácie matematiky, nepokrývajú celú bohatosť rôznych kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem reálneho sveta“. K. zaviedol do matematiky aj pojem „limitný bod odvodenej množiny“, skonštruoval príklad dokonalej množiny („množina K.“) a sformuloval jednu z axióm spojitosti („axióma K.“). Dôsledky teórie K. odhalili rozpory v celkom seriózne študovaných oblastiach základov matematiky. Vedúci predstavitelia matematiky v tej dobe nazývali tieto rozpory paradoxmi (antinómiami) len z toho dôvodu, že paradox „je možné vysvetliť a matematici neopúšťali nádej, že nakoniec budú schopní vyriešiť všetky ťažkosti, s ktorými sa stretli“. Teóriu matematického nekonečna K. na rozdiel od väčšiny popredných matematikov tej doby podporovali Russell a Hilbert. Russell, ktorý považuje K. za jedného z veľkých mysliteľov 19. storočia, v roku 1910 napísal, že riešenie K. problémov, „ktoré dlho zahalili tajomstvo matematického nekonečna, je pravdepodobne najväčším úspechom, akým by naše storočie / 20. storočie malo byť hrdý na - S.S ./“. Hilbert si v roku 1926 myslel, že teória K. - je "najkrásnejším kvetom matematického myslenia a jedným z najväčších úspechov ľudskej činnosti v oblasti čistého myslenia." A E. Borel a A. Lebesgue už na samom začiatku 20. storočia. zovšeobecnil pojem integrálu a rozvinul teóriu miery a merania, ktorá vychádzala z teórie K. V roku 1897 bol K. nútený zastaviť aktívny matematický výskum kvôli ostrému odporu voči jeho myšlienkam (najmä od L. Kronecker, ktorý K. nazval šarlatánom), navrhol „zákon zachovania nevedomosti“: „Nie je ľahké vyvrátiť akýkoľvek nesprávny záver, keď už k nemu dôjde a dostatočne sa rozšíri, a tým menej sa chápe, tým tvrdohlavejšie sa ho dodržiava.“ K. vždy zdieľal filozofické myšlienky Platóna a veril, že vo svete okolo nás „idey existujú nezávisle od človeka. K., ktorý bol v súlade s dlhou náboženskou tradíciou svojej rodiny horlivým luteránom, vo svojich vyjadreniach často používal teologické argumenty. To sa prejavilo najmä po jeho odchode z matematiky.

Georg Cantor (foto je uvedené ďalej v článku) je nemecký matematik, ktorý vytvoril teóriu množín a zaviedol koncept transfinitných čísel, nekonečne veľkých, ale navzájom odlišných. Definoval tiež radové a kardinálne čísla a vytvoril ich aritmetiku.

Georg Kantor: krátky životopis

Narodený v Petrohrade 3.3.1845. Jeho otcom bol Dán protestantského vierovyznania Georg-Valdemar Kantor, ktorý sa zaoberal obchodom, a to aj na burze. Jeho matka Maria Bem bola katolíčka a pochádzala z rodiny významných hudobníkov. Keď Georgov otec v roku 1856 ochorel, rodina sa presťahovala najprv do Wiesbadenu a potom do Frankfurtu, kde hľadala miernejšie podnebie. Chlapcov matematický talent sa prejavil ešte pred jeho 15. narodeninami počas štúdia na súkromných školách a gymnáziách v Darmstadte a Wiesbadene. Nakoniec Georg Cantor presvedčil svojho otca o svojom pevnom úmysle stať sa matematikom, nie inžinierom.

Po krátkom štúdiu na univerzite v Zürichu Kantor v roku 1863 prestúpil na univerzitu v Berlíne študovať fyziku, filozofiu a matematiku. Tam ho učili:

• Karl Theodor Weierstrass, ktorého špecializácia na analýzu mala na Georga pravdepodobne najväčší vplyv;
• Ernst Eduard Kummer, ktorý vyučoval vyššiu aritmetiku;
• Leopold Kronecker, teoretik čísel, ktorý sa neskôr postavil proti Cantorovi.

Po tom, čo Georg strávil jeden semester na univerzite v Göttingene v roku 1866, nasledujúci rok napísal doktorandskú prácu s názvom „V matematike je umenie klásť otázky cennejšie ako riešenie problémov“, ktorá sa týka problému, ktorý Carl Friedrich Gauss nechal nevyriešený vo svojich Disquisitiones Arithmeticae. (1801). Po krátkom vyučovaní na berlínskej dievčenskej škole začal Kantor pôsobiť na univerzite v Halle, kde zostal až do konca života, najskôr ako učiteľ, od roku 1872 ako odborný asistent a od roku 1879 ako profesor.

Výskum

Na začiatku série 10 článkov z rokov 1869 až 1873 Georg Cantor uvažoval o teórii čísel. Práca odrážala jeho vášeň pre túto tému, jeho štúdie Gaussa a vplyv Kroneckera. Na návrh Heinricha Eduarda Heineho, Cantorovho kolegu v Halle, ktorý rozpoznal jeho matematický talent, sa priklonil k teórii trigonometrických radov, v ktorej rozšíril pojem reálnych čísel.

Na základe práce nemeckého matematika Bernharda Riemanna o funkcii komplexnej premennej v roku 1854 Kantor v roku 1870 ukázal, že takáto funkcia môže byť reprezentovaná iba jedným spôsobom - trigonometrickým radom. Úvaha o množine čísel (bodov), ktoré by takémuto zobrazeniu neodporovali, ho v roku 1872 priviedla najskôr k definícii z hľadiska racionálnych čísel (zlomkov celých čísel) a potom k začiatku práce na jeho celoživotnom diele, súbore teória a pojem transfinitné čísla.

teória množín

Georg Cantor, ktorého teória množín vznikla v korešpondencii s matematikom Technického inštitútu v Braunschweigu Richardom Dedekindom, sa s ním kamarátil od detstva. Dospeli k záveru, že množiny, či už konečné alebo nekonečné, sú súbory prvkov (napr. čísla, (0, ±1, ±2 . . .)), ktoré majú určitú vlastnosť, pričom si zachovávajú svoju individualitu. Keď však Georg Cantor použil individuálnu korešpondenciu (napríklad (A, B, C) až (1, 2, 3)) na štúdium ich charakteristík, rýchlo si uvedomil, že sa líšia stupňom členstva, aj keby to boli nekonečné množiny, t. j. množiny, ktorých časť alebo podmnožina obsahuje toľko objektov ako ona sama. Jeho metóda čoskoro priniesla úžasné výsledky.

V roku 1873 Georg Cantor (matematik) ukázal, že racionálne čísla, hoci sú nekonečné, sú spočítateľné, pretože ich možno dať do vzájomnej korešpondencie s prirodzenými číslami (t.j. 1, 2, 3 atď.). Ukázal, že množina reálnych čísel, pozostávajúca z iracionálnych a racionálnych, je nekonečná a nespočítateľná. Paradoxnejšie, Cantor dokázal, že množina všetkých algebraických čísel obsahuje toľko prvkov ako množina všetkých celých čísel, a že nealgebraické transcendentálne čísla, ktoré sú podmnožinou iracionálnych čísel, sú nespočítateľné, a teda početnejšie ako celé čísla. a malo by sa s ním zaobchádzať ako s nekonečným.

Odporcovia a priaznivci

Kantorova práca, v ktorej prvýkrát predložil tieto výsledky, však nebola publikovaná v časopise Krell, pretože jeden z recenzentov, Kronecker, bol kategoricky proti. Ale po zásahu Dedekinda bola publikovaná v roku 1874 pod názvom O charakteristických vlastnostiach všetkých skutočných algebraických čísel.

Veda a osobný život

V tom istom roku, počas medových týždňov s manželkou Valli Gutman, Kantor stretol Dedekinda, ktorý sa priaznivo vyjadril o jeho novej teórii. Georgov plat bol malý, ale za peniaze svojho otca, ktorý zomrel v roku 1863, postavil dom pre svoju manželku a päť detí. Mnohé z jeho prác boli publikované vo Švédsku v novom časopise Acta Mathematica, ktorý editoval a založil Gesta Mittag-Leffler, ktorý bol medzi prvými, ktorí rozpoznali talent nemeckého matematika.

Spojenie s metafyzikou

Cantorova teória sa stala úplne novým predmetom štúdia matematiky nekonečna (napr. séria 1, 2, 3 atď. a zložitejšie množiny), ktorá do značnej miery závisela na vzájomnej korešpondencii. Cantorov vývoj nových metód kladenia otázok týkajúcich sa kontinuity a nekonečna dal jeho výskumu nejednoznačný charakter.

Keď tvrdil, že skutočne existujú nekonečné čísla, obrátil sa k antickej a stredovekej filozofii týkajúcej sa skutočného a potenciálneho nekonečna, ako aj k ranému náboženskému vzdelaniu, ktoré mu dali jeho rodičia. V roku 1883 Cantor vo svojej knihe Základy všeobecnej teórie množín spojil svoj koncept s Platónovou metafyzikou.

Kronecker, ktorý tvrdil, že „existujú“ iba celé čísla („Boh stvoril celé čísla, zvyšok je dielom človeka“), dlhé roky zanietene odmietal jeho úvahy a bránil jeho vymenovaniu na Berlínsku univerzitu.

transfinitné čísla

V rokoch 1895-97. Georg Cantor plne sformoval svoju predstavu o kontinuite a nekonečne, vrátane nekonečných radových a kardinálnych čísel, vo svojom najznámejšom diele, ktoré vyšlo ako Príspevky k ustanoveniu teórie transfinitných čísel (1915). Táto esej obsahuje jeho koncept, ku ktorému ho priviedlo demonštrovanie, že nekonečnú množinu možno dať do vzájomnej korešpondencie s jednou z jej podmnožín.

Najmenším transfinitným kardinálnym číslom mal na mysli mohutnosť akejkoľvek množiny, ktorú možno dať do vzájomnej korešpondencie s prirodzenými číslami. Cantor to nazval aleph-null. Označujú sa veľké transfinitné množiny atď. Ďalej rozvinul aritmetiku konečných čísel, ktorá bola analogická konečnej aritmetike. Tak obohatil koncept nekonečna.

Opozíciu, s ktorou sa stretol, a čas potrebný na úplné prijatie jeho myšlienok sa vysvetľuje ťažkosťami pri prehodnotení starodávnej otázky, čo je to číslo. Cantor ukázal, že množina bodov na priamke má vyššiu mohutnosť ako aleph-nula. To viedlo k známemu problému hypotézy kontinua – medzi aleph-nulou a mocnosťou bodov na priamke nie sú žiadne kardinálne čísla. Tento problém v prvej a druhej polovici 20. storočia vzbudil veľký záujem a zaoberali sa ním mnohí matematici vrátane Kurta Gödela a Paula Cohena.

Depresia

Biografiu Georga Kantora od roku 1884 zatienila jeho duševná choroba, no naďalej aktívne pracoval. V roku 1897 pomohol usporiadať prvý medzinárodný matematický kongres v Zürichu. Čiastočne preto, že proti nemu stál Kronecker, často sympatizoval s mladými začínajúcimi matematikmi a snažil sa nájsť spôsob, ako ich zachrániť pred šikanovaním učiteľov, ktorí sa cítili ohrození novými myšlienkami.

spoveď

Na prelome storočia bola jeho práca plne uznaná ako základ pre teóriu funkcií, analýzu a topológiu. Okrem toho knihy Cantora Georga slúžili ako impulz pre ďalší rozvoj intuicionistických a formalistických škôl logických základov matematiky. To výrazne zmenilo systém výučby a často sa to spája s „novou matematikou“.

V roku 1911 bol Kantor medzi pozvanými na oslavu 500. výročia založenia University of St. Andrews v Škótsku. Išiel tam v nádeji, že sa stretne, s kým sa vo svojej nedávno publikovanej Principia Mathematica opakovane odvolával na nemeckého matematika, ale nestalo sa tak. Univerzita udelila Kantorovi čestný titul, no pre chorobu si cenu nemohol prevziať osobne.

Kantor odišiel do dôchodku v roku 1913, žil v chudobe a počas prvej svetovej vojny hladoval. Oslavy na počesť jeho 70. narodenín v roku 1915 boli pre vojnu zrušené, no u neho doma sa konal malý obrad. Zomrel 1.6.1918 v Halle v psychiatrickej liečebni, kde prežil posledné roky svojho života.

Georg Kantor: biografia. rodina

9. augusta 1874 sa nemecký matematik oženil s Wally Gutmanom. Pár mal 4 synov a 2 dcéry. Posledné dieťa sa narodilo v roku 1886 v novom dome, ktorý kúpil Kantor. Dedičstvo po otcovi mu pomohlo uživiť rodinu. Kantorov zdravotný stav výrazne ovplyvnila smrť najmladšieho syna v roku 1899 – odvtedy ho depresia neopustila.

Ed., Gesammelte Abhandlungen matematický a filozofický inhaluje, mit erlä uternden anmerkungen sowie mit ergä nzungen aus dem briefwechsel Cantor- Dedekind, Berlín, Verlag von Julius Springer, 1932

1. Vývojové obdobie (1845−1871)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor, tvorca teórie množín, jedného z najväčších nových fenoménov vo svete vedy, sa narodil v Petrohrade 19. februára o.s. slohu (3. marca, nový sloh) 1845. Jeho otec Georg Voldemar Kantor, pôvodom z Kodane, pricestoval v mladosti do Petrohradu; mal tam maklérsku spoločnosť pod vlastným menom, niekedy pod menom "Kantor a K." Usilovný a úspešný obchodník dosiahol veľký úspech a zanechal po jeho smrti (1863) veľmi významný majetok; očividne sa tešil veľkej úcte tak v Petrohrade, ako aj neskôr v Nemecku. Kvôli pľúcnej chorobe sa v roku 1856 presťahoval s rodinou do Nemecka; tam sa čoskoro rozhodol zostať vo Frankfurte nad Mohanom, kde žil v pozícii rentiéra. Kantorova matka Mária rodená Boehmová pochádzala z rodiny, ktorej mnohí členovia boli nadaní v rôznych oblastiach umenia; jej vplyv bol nepochybne evidentný v bohatej fantázii jej syna. Jeho starý otec Ludwig Böhm bol kapelníkom; dedkov brat Jozef, ktorý žil vo Viedni, bol učiteľom slávneho virtuózneho violončelistu Joachima; Brat Márie Kantorovej bol tiež hudobník a jej sestra Annette mala dcéru umelkyňu, ktorá učila na Mníchovskej škole umeleckých remesiel. Umelecká línia je badateľná aj u brata Georga Kantora, Konstantina, ktorý bol talentovaným klaviristom, a u jeho sestry Sophie, ktorá mala obzvlášť rada kreslenie.

Nadaný chlapec, ktorý navštevoval základnú školu v Petrohrade, už veľmi skoro prejavil vášnivú túžbu začať študovať matematiku. Jeho otec s tým však nesúhlasil, profesiu inžiniera považoval za zárobkovo perspektívnejšiu. Syn najprv poslúchol; istý čas navštevoval gymnázium vo Wiesbadene, ako aj súkromné ​​školy vo Frankfurte nad Mohanom; potom na jar roku 1859 vstúpil do krajinskej reálnej školy Hesenského veľkovojvodstva v Darmstadte, kde sa učilo aj latinčina; odtiaľ prešiel v roku 1860 do všeobecného kurzu Vyššej remeselnej školy (neskôr Vyššej technickej školy). Jeho otec riadil jeho vzdelanie s nezvyčajne vysokými štandardmi; osobitný význam pripisoval výchove energie, pevnosti charakteru a nábožnosti, prenikajúcej do celého života; zdôraznil najmä dôležitosť úplného zvládnutia hlavných moderných jazykov. Otec mu (v potvrdzovacom liste z roku 1860) prikázal, aby napriek všetkému nepriateľstvu pevne stál a vždy dosiahol svoje; na toto volanie si syn viackrát spomenul v hodinách ťažkých skúšok a možno práve tejto otcovskej výchove vďačíme za to, že jeho tvorivý duch nebol predčasne zlomený a jeho plody sa nestratili pre potomkov.

Synova hlboká príťažlivosť k matematike časom nemohla ovplyvniť jeho otca, ktorého listy tiež svedčia o jeho úcte k vede. V liste z Darmstadtu z 25. mája 1862, ktorý predstavuje prvý zachovaný list od Kantora, mohol syn už poďakovať otcovi za schválenie jeho plánov: „Drahý otec! Viete si predstaviť, akú radosť mi urobil váš list; určuje moju budúcnosť. Posledné dni som strávil v pochybnostiach a neistote; a nemohol dospieť k žiadnemu rozhodnutiu. Povinnosť a príťažlivosť boli neustále vo vojne. Teraz som šťastný, keď vidím, že vás nebudem zarmucovať tým, že sa budem pri výbere riadiť svojím vlastným sklonom. Dúfam, drahý otec, že ​​ti ešte budem môcť robiť radosť, lebo moja duša, celá moja bytosť žije v mojom volaní; človek si robí čo chce a môže a k čomu ho vedie jeho neznámy, tajomný hlas! .."

Na jeseň 1862 začal Kantor štúdium v ​​Zürichu, z ktorého však po prvom semestri odišiel pre smrť svojho otca. Od jesene 1863 študoval matematiku, fyziku a filozofiu v Berlíne, kde triumvirát Kummer, Weierstrass a Kronecker priťahoval tie najlepšie talenty a vzrušoval mysle (vtedy ešte dosť úzkeho) okruhu poslucháčov v najrozmanitejších smeroch. V Göttingene strávil len jarný semester roku 1866. Weierstrass mal nepochybne najsilnejší vplyv na jeho vedecký rozvoj. Je pozoruhodné a charakteristické pre šírku Weierstrassových názorov, pre jeho nezaujatý a bystrý úsudok, s akým súcitným pochopením a ako skoro ocenil nekonvenčné nápady svojho študenta, čím reagoval na hlbokú úctu, ktorú mu počas života vždy preukazoval, napriek prechodným hádkam. Počas berlínskych rokov bol Kantor nielen členom matematickej spoločnosti, ale aj užšiemu okruhu mladých kolegov, ktorí sa týždenne stretávali v Remelovej krčme; do tohto okruhu patrili okrem občasných hostí Henoch (budúci vydavateľ Fortschritte (Úspechy), Lampe, Mertens, Max Simon, Thoma; posledný z nich mal ku Kantorovi obzvlášť blízko. Ďalej G A. Schwartz, ktorý mal dva roky starší, neskôr sa však s myšlienkami Cantora stretával na rozdiel od svojho učiteľa Weierstrassa s najväčšou nedôverou a až do konca života pred nimi podobne ako Kronecker svojich žiakov zvlášť varoval. 14. december 1867 Dvadsiatka. - dvojročný študent ukončil na Berlínskej univerzite diplomovú prácu, ktorá vzišla z hĺbkového štúdia Legendrových Disquisitiones aritmeticae (Štúdie z aritmetiky) a Legendrovej Teórie čísel a bola fakultou hodnotená ako „dissertatio docta et ingeniosa “ (Vedecké a dômyselné zdôvodnenie) * Táto práca sa pripája k Gaussovým vzorcom na riešenie diofantínovej rovnice sekera 2 + a"x"2 + a"x"2 = 0; je v ňom ustanovený nejaký vzťah, ktorý Gauss výslovne neuvádza. Podrobnú diskusiu o Cantorovom diele obsahuje podrobný životopis, ktorý som o ňom napísal, uverejnený v Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, zväzok 39 (1930), str. 1930; venoval svojim opatrovníkom (zároveň opatrovníkom svojho brata a sestry). Na ústnej skúške získal „magna cum laude“ („s osobitným vyznamenaním“). Z troch téz, ktoré navrhoval obhájiť, je charakteristická najmä tretia: „In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quamsolvendi“ (V matematike je umenie klásť otázky dôležitejšie ako umenie ich riešiť.) Možno dokonca aj výsledky, ktoré získal v teórii množín, majú nižšiu hodnotu ako problémy s revolučnými formuláciami, ktoré svojím vplyvom siahajú ďaleko za hranice jeho vlastných spisov.

Zdá sa, že Kantor učil krátky čas v dievčenskej škole v Berlíne; v každom prípade, v roku 1868 po zložení štátnej skúšky vstúpil do známeho Schelbachského seminára, ktorý pripravoval učiteľov matematiky.

Doktorandská práca, ktorá umožnila Kantorovi stať sa Privatdozentom na univerzite v Halle na jar 1869, patrí spolu s niekoľkými krátkymi poznámkami publikovanými v rokoch 1868-72 k jeho prvému, aritmetickému okruhu záujmov, do ktorého sa venoval len zriedka Tieto štúdie teórie čísel pod vedením a so súhlasom Kroneckera však neboli pre Cantora len náhodnou epizódou. Naopak, zažil hlboký vnútorný vplyv tejto disciplíny s jej zvláštnou čistotou a gráciou. Svedčí o tom spolu s prvou aj tretia téza, ktorú predložil na obhajobu: „Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationshipibus compositum efficere“ („Celé čísla, podobne ako nebeské telesá, by sa mali interpretovať ako jediné celok, viazaný zákonmi a vzťahmi“). Vytvorenie súvislostí medzi rôznymi číselnými teoretickými funkciami a Riemannovou zeta funkciou (susednou s Riemannovou prácou o prvočíslach) patrí tiež do ranej doby, možno už do tohto obdobia; toto dielo vydal Kantor až v roku 1880 pod vplyvom Lipschitzovej poznámky v Paris Comptes Rendus („Správy“). Ďalšími Cantorovými číselno-teoretickými záujmami sú okrem jeho číselnej tabuľky zachované aj do roku 1884, no neuskutočnené, zámer publikovať v Acta Mathematica dielo o kvadratických formách.

E. Heine, ktorý bol v čase, keď tam Kantor obhajoval dizertačnú prácu, obyčajným profesorom v Halle, si hneď uvedomil, že v jeho mladom kolegovi sa šťastne spája neobyčajná bystrosť mysle s najbohatšou fantáziou. Rozhodujúci význam mala skutočnosť, že čoskoro po Cantorovom presťahovaní do Halle ho Heine podnietil k štúdiu teórie trigonometrických radov. Horlivá práca na tejto téme priniesla nielen množstvo významných úspechov, ale priviedla Cantora aj na cestu k teórii bodových množín a transfinitných radových čísel. Práce , , a sú venované spresneniu jedného z Riemannových tvrdení o trigonometrických radoch (a sprievodnej polemike s Appelom, v ktorej sa podrobne zaoberal konceptom rovnomernej konvergencie); Kantor vo svojej práci dokazuje vetu o jedinečnosti goniometrickej reprezentácie * Je prekvapujúce, že Kronecker, ktorý mal najprv kladný postoj ku Cantorovej vete o jedinečnosti (porov. ), následne tento výsledok úplne ignoruje; napríklad v „Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale“ („Prednášky o teórii jednoduchých a viacnásobných integrálov“) (1894) predstavuje otázku jedinečnosti ako stále otvorenú!. Tento výsledok sa snaží zovšeobecniť tým, že sa vzdáva akýchkoľvek predpokladov o správaní série na nejakom výnimočnom súbore; to ho núti predložiť v práci stručný náčrt myšlienok, „ktoré môžu byť užitočné na objasnenie vzťahov, ktoré vznikajú vo všetkých prípadoch, keď sú číselné veličiny dané v konečnom alebo nekonečnom čísle. Tu pre bodové množiny, limitné body a derivácie ( konečného rádu) sú zavedené. Za týmto účelom Cantor na jednej strane rozvíja svoju teóriu iracionálnych čísel * . V Heineho Prvkoch teórie funkcií (J. Math., 74, s. 172-188, 1872) sú iracionálne čísla zavedené spôsobom presne podľa Cantorových predstáv; porov. úvod k Heineho článku, ako aj Kantorovmu dielu "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ("K náuke o transfinite"), v nadväznosti na teóriu množín zvečnil svoje meno, kde sa iracionálne čísla považujú za základné rady. Na druhej strane pre prechod ku geometrii zavádza špeciálnu axiómu (Cantorovu axiómu), ktorá sa súčasne a samostatne objavila v trochu inej formulácii v Dedekindovej knihe Kontinuita a iracionálne čísla.