Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Iracionálna rovnica je každá rovnica, ktorá obsahuje funkciu pod znamienkom odmocniny. Napríklad:

Takéto rovnice sa vždy riešia v 3 krokoch:

1. Oddeľte koreň. Inými slovami, ak sú naľavo od znamienka rovnosti okrem koreňa aj iné čísla alebo funkcie, toto všetko je potrebné posunúť doprava zmenou znamienka. Zároveň by mal zostať vľavo iba radikál - bez akýchkoľvek koeficientov.
2. 2. Odmocníme obe strany rovnice. Zároveň si pamätajte, že rozsahom odmocniny sú všetky nezáporné čísla. Preto funkcia vpravo iracionálna rovnica musí byť tiež nezáporné: g (x) ≥ 0.
3. Tretí krok logicky vyplýva z druhého: musíte vykonať kontrolu. Faktom je, že v druhom kroku by sme mohli mať korene navyše. A aby sme ich odrezali, je potrebné dosadiť výsledné kandidátske čísla do pôvodnej rovnice a skontrolovať: je skutočne dosiahnutá správna číselná rovnosť?

Riešenie iracionálnej rovnice

Poďme sa zaoberať našou iracionálnou rovnicou uvedenou na samom začiatku lekcie. Tu je koreň už v ústraní: naľavo od znamienka rovnosti nie je nič iné ako koreň. Vyrovnajme obe strany:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4 x - 12 = 0

Výslednú kvadratickú rovnicu riešime cez diskriminant:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Zostáva len dosadiť tieto čísla do pôvodnej rovnice, t.j. vykonať kontrolu. Ale aj tu môžete urobiť správnu vec pre zjednodušenie konečného rozhodnutia.

Ako zjednodušiť rozhodovanie

Zamyslime sa: prečo vôbec kontrolujeme na konci riešenia iracionálnej rovnice? Chceme sa uistiť, že pri dosadzovaní našich koreňov bude napravo od znamienka rovnosti nezáporné číslo. Veď už s istotou vieme, že ide o nezáporné číslo vľavo, pretože aritmetická druhá odmocnina (kvôli ktorej sa naša rovnica nazýva iracionálna) podľa definície nemôže byť menšia ako nula.

Preto všetko, čo musíme skontrolovať, je, že funkcia g ( x ) = 5 − x , ktorá je napravo od znamienka rovnosti, je nezáporná:

g(x) ≥ 0

Do tejto funkcie nahradíme naše korene a získame:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Zo získaných hodnôt vyplýva, že odmocnina x 1 = 6 nám nevyhovuje, keďže pri dosadení do pravej strany pôvodnej rovnice dostaneme záporné číslo. Ale koreň x 2 \u003d −2 je pre nás celkom vhodný, pretože:

1. Tento koreň je riešením kvadratickej rovnice získanej zdvihnutím oboch strán iracionálna rovnica do štvorca.
2. Pravá strana pôvodnej iracionálnej rovnice sa pri dosadení koreňa x 2 = −2 zmení na kladné číslo, t.j. rozsah aritmetického koreňa nie je porušený.

To je celý algoritmus! Ako vidíte, riešenie rovníc s radikálmi nie je také ťažké. Hlavnou vecou je nezabudnúť skontrolovať prijaté korene, inak je veľmi pravdepodobné, že dostanete ďalšie odpovede.

Riešenie iracionálnych rovníc.

V tomto článku budeme hovoriť o spôsoboch riešenia najjednoduchšie iracionálne rovnice.

Iracionálna rovnica nazývaná rovnica, ktorá obsahuje neznámu pod znamienkom odmocniny.

Pozrime sa na dva typy iracionálne rovnice, ktoré sú si na prvý pohľad veľmi podobné, no v skutočnosti sa od seba veľmi líšia.

(1)

(2)

V prvej rovnici vidíme, že neznáme je pod znakom koreňa tretieho stupňa. Zo záporného čísla môžeme extrahovať nepárny koreň, takže v tejto rovnici neexistujú žiadne obmedzenia ani pre výraz pod znamienkom odmocniny, ani pre výraz na pravej strane rovnice. Môžeme zvýšiť obe strany rovnice na tretiu mocninu, aby sme sa zbavili koreňa. Dostaneme ekvivalentnú rovnicu:

Keď zvýšime pravú a ľavú stranu rovnice na nepárnu mocninu, nemôžeme sa báť získať cudzie korene.

Príklad 1. Poďme vyriešiť rovnicu

Uveďme obe strany rovnice na tretiu mocninu. Dostaneme ekvivalentnú rovnicu:

Presuňme všetky výrazy jedným smerom a vyberme x zo zátvoriek:

Každý faktor prirovnáme k nule a dostaneme:

Odpoveď: (0;1;2)

Pozrime sa bližšie na druhú rovnicu: . Na ľavej strane rovnice je druhá odmocnina, ktorá nadobúda iba nezáporné hodnoty. Preto, aby rovnica mala riešenia, musí byť aj pravá strana nezáporná. Preto je na pravej strane rovnice uložená nasledujúca podmienka:

Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} podmienkou existencie koreňov.

Ak chcete vyriešiť rovnicu tohto druhu, musíte odmocniť obe strany rovnice:

(3)

Umocnenie môže zaviesť cudzie korene, takže potrebujeme rovnice:

Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

Nerovnosť (4) však vyplýva z podmienky (3): ak je pravá strana rovnosti druhou mocninou nejakého výrazu a druhá mocnina akéhokoľvek výrazu môže nadobúdať iba nezáporné hodnoty, potom ľavá strana musí byť tiež nezáporná. negatívne. Podmienka (4) teda automaticky vyplýva z podmienky (3) a našej rovnica je ekvivalentný systému:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Príklad 2. Poďme vyriešiť rovnicu:

.

Prejdime k ekvivalentnému systému:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Vyriešime prvú rovnicu sústavy a skontrolujeme, ktoré korene vyhovujú nerovnici.

Nerovnosť title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Odpoveď: x=1

Pozor! Ak v procese riešenia odmocníme obe strany rovnice, musíme si uvedomiť, že sa môžu objaviť cudzie korene. Preto buď musíte prejsť na ekvivalentný systém, alebo si na konci riešenia SKONTROLUJTE: nájdite korene a dosaďte ich do pôvodnej rovnice.

Príklad 3. Poďme vyriešiť rovnicu:

Na vyriešenie tejto rovnice musíme tiež odmocniť obe strany. Nezaťažujme sa ODZ a podmienkou existencie koreňov v tejto rovnici, ale jednoducho na konci riešenia skontrolujeme.

Odmocnime obe strany rovnice:

Posuňte výraz obsahujúci koreň doľava a všetky ostatné výrazy doprava:

Znovu odmocnime obe strany rovnice:

Podľa Vieta Terme:

Urobme kontrolu. Aby sme to dosiahli, dosadíme nájdené korene do pôvodnej rovnice. Je zrejmé, že pre , pravá strana pôvodnej rovnice je záporná, zatiaľ čo ľavá strana je kladná.

Keď dostaneme správnu rovnosť.

Zhrnutie lekcie

"Metódy riešenia iracionálnych rovníc"

11. ročník fyzikálno-matematického profilu.

Zelenodolský mestský obvod Tatarskej republiky

Valíeva S.Z.

Téma hodiny: Metódy riešenia iracionálnych rovníc

Účel lekcie: 1. Študujte rôzne spôsoby riešenia iracionálnych rovníc.

1. 
   Rozvíjať schopnosť zovšeobecňovať, správne vyberať metódy riešenia iracionálnych rovníc.
2. 
   Rozvíjať samostatnosť, vzdelávať rečovú gramotnosť

Typ lekcie: seminár.
Plán lekcie:

1. 
   Organizácia času
2. 
   Učenie sa nového materiálu
3. 
   Ukotvenie
4. 
   Domáca úloha
5. 
   Zhrnutie lekcie

Počas vyučovania
ja. Čas na organizáciu: posolstvo témy vyučovacej hodiny, účel vyučovacej hodiny.

V predchádzajúcej lekcii sme uvažovali o riešení iracionálnych rovníc obsahujúcich druhé odmocniny ich odmocnením. V tomto prípade získame dôsledkovú rovnicu, ktorá niekedy vedie k objaveniu sa cudzích koreňov. A potom povinnou súčasťou riešenia rovnice je kontrola koreňov. Uvažovali sme aj nad riešením rovníc pomocou definície druhej odmocniny. V tomto prípade možno kontrolu vynechať. Pri riešení rovníc však nie je vždy potrebné okamžite pristúpiť k „slepej“ aplikácii algoritmov na riešenie rovnice. V úlohách Jednotnej štátnej skúšky je pomerne veľa rovníc, pri riešení ktorých je potrebné zvoliť taký spôsob riešenia, ktorý vám umožní riešiť rovnice jednoduchšie a rýchlejšie. Preto je potrebné poznať ďalšie metódy riešenia iracionálnych rovníc, s ktorými sa dnes zoznámime. Predtým bola trieda rozdelená do 8 kreatívnych skupín, ktoré dostali konkrétne príklady, aby odhalili podstatu konkrétnej metódy. Dávame im slovo.

II. Učenie sa nového materiálu.

Z každej skupiny 1 žiak vysvetlí deťom, ako riešiť iracionálne rovnice. Celá trieda ich počúva a robí si poznámky.

1 spôsob. Zavedenie novej premennej.

Vyriešte rovnicu: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

t > 0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 – 2 x – 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Odpoveď: -3; 5.

2 spôsobom. výskum ODZ.

vyriešiť rovnicu

ODZ:


x \u003d 2. Kontrolou sa ubezpečíme, že x \u003d 2 je koreň rovnice.

3 spôsob. Násobenie oboch strán rovnice konjugovaným faktorom.

+
(vynásobte obe strany -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, teda x=1. Kontrolou sme presvedčení, že x \u003d 1 je koreň tejto rovnice.

4 spôsob. Redukcia rovnice na systém zavedením premennej.

vyriešiť rovnicu

Nech = ty,
=v.

Dostaneme systém:

Riešime substitučnou metódou. Dostaneme u = 2, v = 2.

dostaneme x = 1.

Odpoveď: x = 1.

5 spôsobom. Výber celého štvorca.

vyriešiť rovnicu

Otvoríme moduly. Pretože -1≤cos0,5x≤1, potom -4≤cos0,5x-3≤-2, takže . podobne,

Potom dostaneme rovnicu

x = 4πn, nZ.

Odpoveď: 4πn, nZ.

6 spôsobom. Metóda hodnotenia

vyriešiť rovnicu

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, podľa definície pravá strana -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

dostaneme
tie. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Riešením rovnice rozkladom dostaneme x = 2, x = -2

Metóda 7: Použitie vlastností monotónnosti funkcií.

Vyriešte rovnicu. Funkcie sa striktne zvyšujú. Súčet rastúcich funkcií sa zvyšuje a táto rovnica má najviac jeden koreň. Výberom nájdeme x = 1.

8 spôsobom. Použitie vektorov.

Vyriešte rovnicu. ODZ: -1≤х≤3.

Nechajte vektor
. Skalárnym súčinom vektorov je ľavá strana. Poďme nájsť súčin ich dĺžok. Toto je pravá strana. Mám
, t.j. vektory a a b sú kolineárne. Odtiaľ
. Zarovnajme obe strany. Vyriešením rovnice dostaneme x \u003d 1 a x \u003d
.

1. 
   Konsolidácia.(každý študent dostane pracovný list)

Predná ústna práca

Nájdite nápad na riešenie rovníc (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(náhrada)

4. (výber celého štvorca)

5.
(Redukcia rovnice na systém zavedením premennej.)

6.
(vynásobením vedľajším výrazom)

7.
pretože
. Táto rovnica nemá korene.

8. Pretože každý člen je nezáporný, prirovnáme ich k nule a vyriešime systém.

9. 3

10. Nájdite koreň rovnice (alebo súčin koreňov, ak ich je viacero) rovnice.

Písomná samostatná práca s následným overením

vyriešiť rovnice očíslované 11,13,17,19

Riešiť rovnice:

12. (x + 6) 2 -

14.

Metóda hodnotenia

Využitie vlastností monotónnosti funkcií.

Použitie vektorov.

1. 
   Ktoré z týchto metód sa používajú na riešenie iných typov rovníc?
2. 
   Ktorá z týchto metód sa vám páčila najviac a prečo?

1. 
   Domáca úloha: Vyriešte zostávajúce rovnice.

Bibliografia:

1. 
   Algebra a začiatok matematickej analýzy: učebnica. pre 11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. M: Osvietenie, 2009

1. 
   Didaktické materiály z algebry a princípov analýzy pre ročník 11 /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. – M.: Osveta, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra a začiatky analýzy. 10 - 11 buniek: Zošit úloh pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcií. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. Nezávislá a riadiaca práca na algebre a princípoch analýzy pre ročníky 10-11. – M.: Ileksa, 2004
4. 
   KIM POUŽÍVANIE 2002 - 2010

6. Algebraický simulátor. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Príručka pre školákov a účastníkov. Moskva.: "Ileksa" 2001.
7. Rovnice a nerovnice. Neštandardné metódy riešenia. Výchovno - metodická príručka. 10 - 11 tried. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moskva. "Drop". 2001

Rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom koreňa, sa nazývajú iracionálne.

Metódy riešenia iracionálnych rovníc sú spravidla založené na možnosti nahradiť (pomocou niektorých transformácií) iracionálnu rovnicu racionálnou rovnicou, ktorá je buď ekvivalentná pôvodnej iracionálnej rovnici, alebo je jej dôsledkom. Najčastejšie sú obe strany rovnice umocnené na rovnakú moc. V tomto prípade sa získa rovnica, ktorá je dôsledkom pôvodnej.

Pri riešení iracionálnych rovníc je potrebné vziať do úvahy nasledovné:

1) ak je koreňový index párne číslo, potom radikálny výraz musí byť nezáporný; hodnota koreňa je tiež nezáporná (definícia koreňa s párnym exponentom);

2) ak je koreňový index nepárne číslo, potom radikálnym výrazom môže byť akékoľvek reálne číslo; v tomto prípade je znak koreňa rovnaký ako znak koreňového výrazu.

Príklad 1 vyriešiť rovnicu

Odmocnime obe strany rovnice.
x 2 - 3 \u003d 1;
Prenesieme -3 z ľavej strany rovnice na pravú stranu a vykonáme redukciu podobných členov.
x 2 \u003d 4;
Výsledná neúplná kvadratická rovnica má dva korene -2 a 2.

Skontrolujeme získané korene, za týmto účelom dosadíme hodnoty premennej x do pôvodnej rovnice.
Vyšetrenie.
Keď x 1 \u003d -2 - pravda:
Keď x 2 \u003d -2- pravda.
Z toho vyplýva, že pôvodná iracionálna rovnica má dva korene -2 a 2.

Príklad 2 vyriešiť rovnicu .

Túto rovnicu je možné vyriešiť rovnakou metódou ako v prvom príklade, ale urobíme to inak.

Nájdite ODZ tejto rovnice. Z definície druhej odmocniny vyplýva, že v tejto rovnici musia byť súčasne splnené dve podmienky:

ODZ danej rovnice: x.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 3 vyriešiť rovnicu =+ 2.

Nájsť ODZ v tejto rovnici je pomerne náročná úloha. Odmocnime obe strany rovnice:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2 = 0.
Po kontrole zistíme, že x 2 \u003d 0 je ďalší koreň.
Odpoveď: x 1 \u003d 1.

Príklad 4 Vyriešte rovnicu x =.

V tomto príklade je ľahké nájsť ODZ. ODZ tejto rovnice: x[-1;).

Odmocnime obe strany tejto rovnice, výsledkom je rovnica x 2 \u003d x + 1. Korene tejto rovnice:

Je ťažké skontrolovať nájdené korene. Ale napriek tomu, že oba korene patria do ODZ, nie je možné tvrdiť, že oba korene sú koreňmi pôvodnej rovnice. Výsledkom bude chyba. V tomto prípade je iracionálna rovnica ekvivalentná kombinácii dvoch nerovností a jednej rovnice:

x+10 a x0 a x 2 \u003d x + 1, z čoho vyplýva, že záporný koreň iracionálnej rovnice je cudzí a musí sa zahodiť.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu += 7.

Odmocnime obe strany rovnice a vykonajte redukciu podobných členov, preneste členy z jednej časti rovnice do druhej a vynásobte obe časti číslom 0,5. V dôsledku toho dostaneme rovnicu
= 12, (*), čo je dôsledok pôvodného. Opäť odmocnime obe strany rovnice. Dostaneme rovnicu (x + 5) (20 - x) = 144, ktorá je dôsledkom pôvodnej. Výsledná rovnica sa zredukuje na tvar x 2 - 15x + 44 =0.

Táto rovnica (ktorá je tiež dôsledkom tej pôvodnej) má korene x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Oba korene, ako ukazuje test, spĺňajú pôvodnú rovnicu.

Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

Komentujte. Pri kvadratúre rovníc študenti často v rovniciach typu (*) násobia radikálové výrazy, t.j. namiesto rovnice = 12 napíšu rovnicu = 12. To nevedie k chybám, pretože rovnice sú dôsledkom rovníc. Treba však mať na pamäti, že vo všeobecnom prípade takéto násobenie radikálnych výrazov dáva neekvivalentné rovnice.

Vo vyššie diskutovaných príkladoch bolo možné najskôr preniesť jeden z radikálov na pravú stranu rovnice. Potom zostane jeden radikál na ľavej strane rovnice a po kvadratúre oboch strán rovnice sa získa racionálna funkcia na ľavej strane rovnice. Táto technika (samota radikála) sa pomerne často používa pri riešení iracionálnych rovníc.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu-= 3.

Po izolovaní prvého radikálu dostaneme rovnicu
=+ 3, čo je ekvivalent pôvodného.

Vyrovnaním oboch strán tejto rovnice dostaneme rovnicu

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, čo je ekvivalentné rovnici

4x - 5 = 3 (*). Táto rovnica je dôsledkom pôvodnej rovnice. Umocnením oboch strán rovnice sa dostaneme k rovnici
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), alebo

7x2 - 13x - 2 = 0.

Táto rovnica je dôsledkom rovnice (*) (a teda pôvodnej rovnice) a má korene. Prvý koreň x 1 = 2 spĺňa pôvodnú rovnicu a druhý x 2 =- nie.

Odpoveď: x = 2.

Všimnite si, že ak by sme okamžite, bez izolácie jedného z radikálov, kvadratúrovali obe časti pôvodnej rovnice, museli by sme vykonávať dosť ťažkopádne transformácie.

Pri riešení iracionálnych rovníc sa okrem izolácie radikálov využívajú aj iné metódy. Uvažujme o príklade použitia metódy nahradenia neznámeho (metóda zavedenia pomocnej premennej).