"Nepriateľ môjho nepriateľa je môj priateľ"

Prečo sa mínus jeden krát mínus jeden rovná plus jeden? Prečo sa mínus jeden krát plus jedna rovná mínus jedna? Najjednoduchšia odpoveď je: "Pretože toto sú pravidlá pre prácu so zápornými číslami." Pravidlá, ktoré sa učíme v škole a uplatňujeme ich po celý život. Učebnice však nevysvetľujú, prečo sú pravidlá také, aké sú. Najprv sa to pokúsime pochopiť z histórie vývoja aritmetiky a potom na túto otázku odpovieme z pohľadu modernej matematiky.

Kedysi dávno ľudia poznali iba prirodzené čísla: Používali sa na počítanie náčinia, koristi, nepriateľov atď. Čísla samy osebe sú však dosť zbytočné – musíte ich vedieť zvládnuť. Sčítanie je jasné a zrozumiteľné, okrem toho súčet dvoch prirodzených čísel je tiež prirodzené číslo (matematik by povedal, že množina prirodzených čísel je uzavretá operáciou sčítania). Násobenie je v skutočnosti rovnaké sčítanie, ak hovoríme o prirodzených číslach. V živote často vykonávame úkony súvisiace s týmito dvoma operáciami (napríklad pri nakupovaní sčítavame a násobíme) a je zvláštne myslieť si, že naši predkovia sa s nimi stretávali menej často – sčítanie a násobenie ľudstvo ovládalo veľmi dlho pred. Často je potrebné rozdeliť jedno množstvo druhým, ale tu nie je výsledok vždy vyjadrený ako prirodzené číslo - takto sa objavili zlomkové čísla.

Odčítanie je, samozrejme, tiež nevyhnutné. V praxi však máme tendenciu odčítať menšie číslo od väčšieho čísla a nie je potrebné používať záporné čísla. (Ak mám cukrík a dám ho svojej sestre, budem mať cukrík, ale nemôžem jej dať cukrík so všetkou túžbou.) To môže vysvetliť, prečo ľudia dlho nepoužívali záporné čísla.

Záporné čísla sa objavujú v indických dokumentoch zo 7. storočia nášho letopočtu; Číňania ich zjavne začali používať o niečo skôr. Používali sa na účtovanie dlhov alebo pri medzivýpočtoch na zjednodušenie riešenia rovníc – bol to len nástroj na získanie kladnej odpovede. Skutočnosť, že záporné čísla na rozdiel od kladných nevyjadrujú prítomnosť žiadnej entity, vzbudzovala silnú nedôveru. Ľudia v doslovnom zmysle slova sa vyhýbali záporným číslam: ak problém dostal zápornú odpoveď, verili, že neexistuje žiadna odpoveď. Táto nedôvera pretrvávala veľmi dlho a aj Descartes – jeden zo „zakladateľov“ modernej matematiky – ich nazval „falošnými“ (v 17. storočí!).

Zoberme si rovnicu ako príklad. Dá sa to vyriešiť takto: presuňte pojmy s neznámym na ľavú stranu a zvyšok doprava, ukáže sa , , . Pri tomto riešení sme sa nestretli ani so zápornými číslami.

Ale dalo by sa to urobiť náhodou aj inak: presuňte pojmy s neznámym na pravú stranu a získajte , . Ak chcete nájsť neznáme, musíte vydeliť jedno záporné číslo druhým: . Ale správna odpoveď je známa a zostáva dospieť k záveru, že .

Čo ukazuje tento jednoduchý príklad? Po prvé, je zrejmé, že logika určila pravidlá pre akcie so zápornými číslami: výsledky týchto akcií sa musia zhodovať s odpoveďami, ktoré sa získajú iným spôsobom, bez záporných čísel. Po druhé, povolením používania záporných čísel sa zbavíme zdĺhavého (ak sa rovnica ukáže byť komplikovanejšia, s veľkým počtom výrazov) hľadania cesty riešenia, pri ktorej sa všetky akcie vykonávajú iba na prirodzených číslach. Navyše už nemôžeme zakaždým premýšľať o zmysluplnosti prevádzaných veličín – a to už je krok k tomu, aby sa matematika zmenila na abstraktnú vedu.

Pravidlá pre akcie na záporných číslach neboli vytvorené okamžite, ale stali sa zovšeobecnením mnohých príkladov, ktoré vznikli pri riešení aplikovaných problémov. Vo všeobecnosti možno vývoj matematiky podmienečne rozdeliť na etapy: každá ďalšia etapa sa líši od predchádzajúcej novou úrovňou abstrakcie v štúdiu objektov. Takže v 19. storočí si matematici uvedomili, že celé čísla a polynómy majú pri všetkej svojej vonkajšej odlišnosti veľa spoločného: oboje možno sčítať, odčítať a násobiť. Tieto operácie sa riadia rovnakými zákonmi – ako v prípade čísel, tak aj v prípade polynómov. Ale delenie celých čísel medzi sebou, takže výsledkom sú opäť celé čísla, nie je vždy možné. To isté platí pre polynómy.

Potom boli objavené ďalšie zbierky matematických objektov, na ktorých je možné vykonávať takéto operácie: formálne mocninné rady, spojité funkcie... Nakoniec prišlo pochopenie, že ak študujete vlastnosti samotných operácií, výsledky možno aplikovať na všetky tieto zbierky predmetov (tento prístup je typický pre celú modernú matematiku).

V dôsledku toho sa objavil nový koncept: prsteň. Je to len kopa prvkov plus akcií, ktoré sa na nich dajú vykonávať. Základnými pravidlami sú tu len pravidlá (nazývajú sa axiómy), ktoré podliehajú činnosti, a nie povaha prvkov množiny (tu je to nová úroveň abstrakcie!). Matematici chcú zdôrazniť, že dôležitá je štruktúra, ktorá vzniká po zavedení axióm: okruh celých čísel, okruh polynómov atď. Vychádzajúc z axióm je možné odvodiť ďalšie vlastnosti okruhov.

Sformulujeme axiómy kruhu (ktoré sú, samozrejme, podobné pravidlám pre operácie s celými číslami) a potom dokážeme, že v akomkoľvek kruhu vynásobením mínus mínusom dostaneme plus.

Krúžok je množina s dvoma binárnymi operáciami (to znamená, že do každej operácie sú zapojené dva prvky kruhu), ktoré sa tradične nazývajú sčítanie a násobenie, a nasledujúce axiómy:

Všimnite si, že kruhy v najvšeobecnejšej konštrukcii nevyžadujú násobenie, aby boli permutabilné, ani nie sú invertovateľné (to znamená, že nie je vždy možné deliť), ani nevyžaduje existenciu jednotky - neutrálneho prvku vzhľadom na k množeniu. Ak sa zavedú tieto axiómy, získajú sa ďalšie algebraické štruktúry, ale všetky vety dokázané pre kruhy v nich budú platiť.

Teraz dokážeme, že pre akékoľvek prvky a ľubovoľný kruh, po prvé, a po druhé, . Z toho ľahko vyplývajú výroky o jednotkách: a .

Aby sme to dosiahli, musíme zistiť niektoré fakty. Najprv dokážeme, že každý prvok môže mať iba jeden protiklad. Vskutku, nech má prvok dva opačné prvky: a . To je . Zoberme si súčet. Pomocou asociatívnych a komutatívnych zákonov a vlastnosti nuly dostaneme, že na jednej strane sa súčet rovná a na druhej strane sa rovná. Znamená, .

Všimnite si teraz, že a , a sú protiklady toho istého prvku , takže sa musia rovnať.

Prvý fakt sa získa takto: , to znamená opak k , čo znamená, že sa rovná .

Aby sme boli matematicky rigorózni, vysvetlime tiež prečo pre ktorýkoľvek prvok . Naozaj, . To znamená, že sčítanie nemení súčet. Tento súčin sa teda rovná nule.

A to, že v krúžku je práve jedna nula (veď axiómy hovoria, že takýto prvok existuje, ale nič sa nehovorí o jeho jedinečnosti!), necháme na čitateľa ako jednoduché cvičenie.

Jevgenij Epifanov
"prvky"

Komentáre: 0

Jacques Cesiano

Za dve tisícročia došlo k trom dôležitým rozšíreniam numerickej oblasti. Najprv okolo roku 450 p.n.l. vedci zo školy Pythagoras dokázali existenciu iracionálnych čísel. Ich prvotným cieľom bolo číselne vyjadriť uhlopriečku jednotkového štvorca. Po druhé, v XIII-XV storočí európski vedci, ktorí riešili systémy lineárnych rovníc, pripustili možnosť jedného negatívneho riešenia. A po tretie, v roku 1572 taliansky algebraista Raphael Bombelli použil komplexné čísla na získanie skutočného riešenia určitej kubickej rovnice.

Proskuryakov I.V.

Účelom tejto knihy je striktne definovať čísla, polynómy a algebraické zlomky a zdôvodniť ich vlastnosti známe už zo školy a nie predstavovať čitateľovi nové vlastnosti. Čitateľ tu teda nenájde pre neho nové fakty (snáď s výnimkou niektorých vlastností, reálnych a komplexných čísel), ale dozvie sa, ako sa dokazujú veci, ktoré sú mu dobre známe, počnúc „dvakrát dva - štyri“ a končiac pravidlami operácií s polynómami a algebraickými zlomkami. Na druhej strane sa čitateľ zoznámi s množstvom všeobecných pojmov, ktoré hrajú v algebre hlavnú úlohu.

Iľja Ščurov

Matematik Ilya Shchurov o desatinných zlomkoch, transcendencii a iracionalite Pi.

Leon Takhtajyan

Pôjde o štyri poviedky. Začneme číslami, potom sa budeme baviť o pohybe, o zmene, potom o tvaroch a veľkostiach a potom o začiatkoch a koncoch. Takýmto trochu zašifrovaným štýlom sa pokúsime pozrieť na matematiku zvonku aj zvnútra a precízne ako na objekt. O čom matematici premýšľajú a čím žijú – o tom sa môžeme porozprávať neskôr.

Vladlen Timorin

Matematik Vladlen Timorin o výhodách komplexných čísel, Hamiltonových kvaterniónov, osemrozmerných Cayleyho čísel a rozmanitosti čísel v geometrii.

Jacques Cesiano

O Diofantovi vieme málo. Zdá sa, že žil v Alexandrii. Žiaden grécky matematik ho pred 4. storočím nespomína, takže žil pravdepodobne v polovici 3. storočia. Najdôležitejšie dielo Diofanta, „Aritmetika“ (Ἀριθμητικά), sa odohralo na začiatku 13 „kníh“ (βιβλία), teda kapitol. Dnes ich máme 10, a to: 6 v gréckom texte a 4 ďalšie v stredovekom arabskom preklade, ktorých miesto je uprostred gréckych kníh: knihy I-III v gréčtine, IV-VII v arabčine, VIII-X po grécky . „Aritmetika“ Diophantusa je predovšetkým súbor problémov, celkovo ich je asi 260. V skutočnosti neexistuje žiadna teória; v úvode knihy sú len všeobecné pokyny a v prípade potreby špecifické poznámky k niektorým problémom. „Aritmetika“ už má črty algebraického pojednania. Po prvé, Diophantus používa rôzne znaky na vyjadrenie neznámeho a jeho stupňov, tiež niektoré výpočty; ako všetka algebraická symbolika stredoveku, jej symbolika pochádza z matematických slov. Potom Diophantus vysvetľuje, ako vyriešiť problém algebraickým spôsobom. Diofantinove problémy však nie sú algebraické v obvyklom zmysle, pretože takmer všetky sú redukované na riešenie neurčitej rovnice alebo sústavy takýchto rovníc.

Svet matematiky je bez nich nepredstaviteľný – bez prvočísel. Čo sú prvočísla, čo je na nich zvláštne a aký význam majú v každodennom živote? Britský profesor matematiky Marcus du Sotoy v tomto filme odhalí tajomstvo prvočísel.

George Shabat

V škole nám všetkým vštepujú mylnú predstavu, že na množine racionálnych čísel Q existuje jedinečná prirodzená vzdialenosť (modul rozdielu), vzhľadom na ktorú sú všetky aritmetické operácie spojité. Existuje však aj nekonečné množstvo vzdialeností, takzvaných p-adických, pre každé číslo p jedna. Podľa Ostrovského teorému „obyčajná“ vzdialenosť spolu so všetkými p-adickými vzdialenosťami skutočne vyčerpáva všetky rozumné vzdialenosti Q. Termín adele demokracia zaviedol Yu.I. Manin. Podľa princípu adele demokracie sú všetky rozumné vzdialenosti na Q rovnaké pred matematickými zákonmi (možno len tradičné „trochu = trochu rovnejšie ...“. Kurz predstaví adelí prsteň, ktorý vám umožní pracovať so všetkými tieto vzdialenosti v rovnakom čase.

Vladimír Arnold

JL Lagrange dokázal, že postupnosť neúplných kvocientov (začínajúcich od nejakého miesta) je periodická práve vtedy, ak je číslo x kvadratickou iracionalitou. R. O. Kuzmin dokázal, že v postupnosti neúplných podielov takmer akéhokoľvek reálneho čísla je podiel d_m rovný m neúplným podielom rovnaký (pre typické reálne čísla). Zlomok d_m klesá ako m→∞ ako 1/m^2 a jeho hodnotu predpovedal Gauss (ktorý nič nedokázal). V. I. Arnolda (pred 20 rokmi) predpokladal, že Gaussova–Kuzminova štatistika d_m platí aj pre periódy súvislých zlomkov koreňov kvadratických rovníc x^2+px+q=0 (s celým číslom p a q): ak píšeme spolu neúplné kvocienty tvoriace periódy všetkých súvislých zlomkov koreňov takýchto rovníc s p^2+q^2≤R^2, potom zlomok neúplného kvocientu m medzi nimi bude smerovať k číslu d_m ako R→ ∞. V. A. Bykovskij a jeho študenti z Chabarovska nedávno dokázali túto dlhoročnú hypotézu. Napriek tomu otázka štatistiky nie písmen, ale slov z nich zložených, ktoré sú periódami súvislých zlomkov ľubovoľných koreňov x rovníc x^2+px+q=0, nie je ani zďaleka vyriešená.

Reid Miles

Nadpis a abstrakt nechávam tak vágne, ako je to len možné, aby som mohol hovoriť o čom mám v daný deň chuť. Mnohé odrody zaujímavé v klasifikácii odrôd sa získavajú ako Spec alebo Proj z Gorensteinovho prsteňa. V kodimenzii ⩽3 dobre známa teória štruktúry poskytuje explicitné metódy výpočtu s Gorensteinovými kruhmi. Na rozdiel od toho neexistuje žiadna použiteľná teória štruktúry pre kruhy s kodimenziou ⩾4. Napriek tomu v mnohých prípadoch Gorensteinova projekcia (a jej inverzná, Kustin-Millerova neprojekcia) poskytuje metódy útoku na tieto prstence. Tieto metódy sa aplikujú na sporadické triedy kanonických okruhov pravidelných algebraických plôch a na systematickejšie konštrukcie Q-Fano 3-násobkov, Sarkisovových väzieb medzi nimi a 3-násobných flipov typu A Moriho teórie.

Prečo sa mínus krát mínus rovná plus?

• • (1 palica) - (2 palice) = ((1 palica)+(2 palice))= 2 palice (A dve palice sú +, pretože na tyči sú 2 palice)))

Mínus krát mínus dáva plus, pretože je to školské pravidlo. V súčasnosti podľa mňa neexistuje presná odpoveď prečo. Toto je pravidlo a platí to už dlhé roky. Len si treba zapamätať, že kúsok za kúsok dáva štipček.

Zo školského kurzu matematiky vieme, že mínus krát mínus dáva plus. Toto pravidlo má aj zjednodušené, hravé vysvetlenie: mínus je jedna čiara, dve mínusky sú dve čiary a plus sa skladá len z 2 čiar. Preto mínus krát mínus dáva znamienko plus.

Myslím, že áno: mínus je palica - pridať ešte jednu mínusovú tyčinku - potom dostanete dve palice a ak ich spojíte krížom, naučí sa znak + quot ;, takto som povedal svoj názor na otázku: mínus mínus dátumy plus.

Mínus krát mínus nie vždy dáva plus, dokonca ani v matematike. Ale v podstate toto tvrdenie porovnávam s matematikou, kde sa najčastejšie vyskytuje. Hovorí sa tiež, že vyraďujú šrot páčidlom - to je tiež nejako spojené s mínusmi.

Predstavte si, že ste si požičali 100 rubľov. Teraz váš účet: -100 rubľov. Potom ste tento dlh splatili. Ukazuje sa teda, že ste znížili (-) svoj dlh (-100) o rovnakú sumu peňazí. Dostaneme: -100-(-100)=0

Mínus ukazuje opak: opak 5 je -5. Ale -(-5) je číslo opačné ako opačné, t.j. 5.

Ako vo vtipe:

1. - Kde je opačná strana ulice?

2. - na druhej strane

1. - a povedali, že na tomto ...

Predstavte si váhu s dvoma miskami. Skutočnosť, že na pravej miske má vždy znamienko plus, na ľavej miske - mínus. Teraz vynásobenie číslom so znamienkom plus bude znamenať, že sa vyskytuje na tej istej miske, a vynásobenie číslom so znamienkom mínus bude znamenať, že sa výsledok prenesie do inej misky. Príklady. 5 jabĺk vynásobíme 2. Na pravú misku dostaneme 10 jabĺk. Vynásobíme - 5 jabĺk 2, dostaneme 10 jabĺk na ľavú misku, čiže -10. Teraz vynásobte -5 -2. To znamená 5 jabĺk na ľavej miske vynásobených 2 a prenesených do pravej misky, čiže odpoveď je 10. Zaujímavé je, že násobenie plus mínus, teda jabĺk na pravej miske, má mínusový výsledok, teda jablká idú doľava. A vynásobením mínus ľavých jabĺk plusom ich zostane v mínuse na ľavej miske.

Myslím, že to možno demonštrovať nasledujúcim spôsobom. Ak dáte päť jabĺk do piatich košíkov, bude ich spolu 25. V košíkoch. A mínus päť jabĺk znamená, že som ich nenahlásil, ale vybral z každého z piatich košíkov. a vyšlo rovnako 25 jabĺk, ale nie v košíkoch. Preto ako mínus idú koše.

Veľmi dobre to môžete demonštrovať aj na nasledujúcom príklade. Ak vám horí dom, je to mínus. Ale ak ste zabudli vypnúť kohútik vo vani a začali ste zaplavovať, je to tiež mínus. Ale toto je oddelené. Ale ak sa to všetko stalo v rovnakom čase, potom mínus po mínus dáva plus a váš byt má šancu prežiť.

1) Prečo sa mínus jeden krát mínus jeden rovná plus jeden?
2) Prečo sa mínus jeden krát plus jeden rovná mínus jeden?

"Nepriateľ môjho nepriateľa je môj priateľ."

Najjednoduchšia odpoveď je: "Pretože toto sú pravidlá pre prácu so zápornými číslami." Pravidlá, ktoré sa učíme v škole a uplatňujeme ich po celý život. Učebnice však nevysvetľujú, prečo sú pravidlá také, aké sú. Najprv sa to pokúsime pochopiť z histórie vývoja aritmetiky a potom na túto otázku odpovieme z pohľadu modernej matematiky.

Kedysi dávno ľudia poznali len prirodzené čísla: 1, 2, 3, ... Používali sa na počítanie náčinia, koristi, nepriateľov atď. Ale samotné čísla sú skôr zbytočné - treba si vedieť poradiť. ich. Sčítanie je jasné a zrozumiteľné a okrem toho súčet dvoch prirodzených čísel je tiež prirodzené číslo (matematik by povedal, že množina prirodzených čísel je uzavretá operáciou sčítania). Násobenie je v skutočnosti rovnaké sčítanie, ak hovoríme o prirodzených číslach. V živote často vykonávame úkony súvisiace s týmito dvoma operáciami (napríklad pri nakupovaní sčítavame a násobíme) a je zvláštne myslieť si, že naši predkovia sa s nimi stretávali menej často – sčítanie a násobenie ľudstvo ovládalo veľmi dlho pred. Často je potrebné deliť jednu veličinu druhou, ale tu nie je výsledok vždy vyjadrený prirodzeným číslom - takto sa objavili zlomkové čísla.

Odčítanie je, samozrejme, tiež nevyhnutné. V praxi však máme tendenciu odčítať menšie číslo od väčšieho čísla a nie je potrebné používať záporné čísla. (Ak mám 5 cukríkov a 3 dám sestre, budem mať 5 - 3 = 2 cukríky, ale nemôžem jej dať 7 cukríkov so všetkou túžbou.) To môže vysvetliť, prečo ľudia nepoužívali záporné čísla na dlhú dobu.

Záporné čísla sa objavujú v indických dokumentoch zo 7. storočia nášho letopočtu; Číňania ich zjavne začali používať o niečo skôr. Používali sa na účtovanie dlhov alebo pri medzivýpočtoch na zjednodušenie riešenia rovníc – bol to len nástroj na získanie kladnej odpovede. Skutočnosť, že záporné čísla na rozdiel od kladných nevyjadrujú prítomnosť žiadnej entity, vzbudzovala silnú nedôveru. Ľudia v doslovnom zmysle slova sa vyhýbali záporným číslam: ak problém dostal zápornú odpoveď, verili, že neexistuje žiadna odpoveď. Táto nedôvera pretrvávala veľmi dlho a aj Descartes, jeden zo „zakladateľov“ modernej matematiky, ich nazval „falošnými“ (v 17. storočí!).

Zoberme si napríklad rovnicu 7x - 17 = 2x - 2. Dá sa to vyriešiť takto: presuňte pojmy s neznámym na ľavú stranu a zvyšok doprava, ukáže sa 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Pri tomto riešení sme sa nestretli ani so zápornými číslami.

Ale dalo by sa to náhodou urobiť inak: posunúť pojmy s neznámym na správnu stranu a dostať 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Ak chcete nájsť neznáme, musíte vydeliť jedno záporné číslo druhým: x = (-15)/(-5). Ale správna odpoveď je známa a zostáva len dospieť k záveru (-15)/(-5) = 3 .

Čo ukazuje tento jednoduchý príklad? Po prvé, je jasné, aká logika určila pravidlá pre akcie so zápornými číslami: výsledky týchto akcií sa musia zhodovať s odpoveďami získanými iným spôsobom, bez záporných čísel. Po druhé, povolením používania záporných čísel sa zbavíme zdĺhavého (ak sa rovnica ukáže byť komplikovanejšia, s veľkým počtom výrazov) hľadania cesty riešenia, pri ktorej sa všetky akcie vykonávajú iba na prirodzených číslach. Navyše už nemôžeme zakaždým premýšľať o zmysluplnosti prevádzaných veličín – a to už je krok k tomu, aby sa matematika zmenila na abstraktnú vedu.

Pravidlá pre akcie na záporných číslach neboli vytvorené okamžite, ale stali sa zovšeobecnením mnohých príkladov, ktoré vznikli pri riešení aplikovaných problémov. Vo všeobecnosti možno vývoj matematiky podmienečne rozdeliť na etapy: každá ďalšia etapa sa líši od predchádzajúcej novou úrovňou abstrakcie v štúdiu objektov. Takže v 19. storočí si matematici uvedomili, že celé čísla a polynómy majú pri všetkej svojej vonkajšej odlišnosti veľa spoločného: oboje možno sčítať, odčítať a násobiť. Tieto operácie sa riadia rovnakými zákonmi – ako v prípade čísel, tak aj v prípade polynómov. Ale delenie celých čísel medzi sebou, takže výsledkom sú opäť celé čísla, nie je vždy možné. To isté platí pre polynómy.

Potom boli objavené ďalšie zbierky matematických objektov, na ktorých je možné vykonávať takéto operácie: formálne mocninné rady, spojité funkcie... Nakoniec prišlo pochopenie, že ak študujete vlastnosti samotných operácií, výsledky možno aplikovať na všetky tieto zbierky predmetov (tento prístup je typický pre celú modernú matematiku).

V dôsledku toho sa objavil nový koncept: prsteň. Je to len kopa prvkov plus akcií, ktoré sa na nich dajú vykonávať. Základné pravidlá sú tu len pravidlá (tzv axiómy), ktorým podliehajú akcie, nie povaha prvkov súboru (tu je to nová úroveň abstrakcie!). Matematici chcú zdôrazniť, že dôležitá je štruktúra, ktorá vzniká po zavedení axióm: okruh celých čísel, okruh polynómov atď. Vychádzajúc z axióm je možné odvodiť ďalšie vlastnosti okruhov.

Sformulujeme axiómy kruhu (ktoré sú, samozrejme, podobné pravidlám pre operácie s celými číslami) a potom dokážeme, že v akomkoľvek kruhu vynásobením mínus mínusom dostaneme plus.

prsteň je množina s dvoma binárnymi operáciami (to znamená, že do každej operácie sú zapojené dva prvky kruhu), ktoré sa tradične nazývajú sčítanie a násobenie, a nasledujúce axiómy:

• pridanie prstencových prvkov podlieha komutatívnemu ( A + B = B + A pre akékoľvek prvky A a B) a asociatívne ( A + (B + C) = (A + B) + C) zákony; krúžok obsahuje špeciálny prvok 0 (navyše neutrálny) taký, že A + 0 = A a pre akýkoľvek prvok A existuje opačný prvok (označený (-A)), čo A+ (-A) = 0 ;
• násobenie sa riadi kombinačným zákonom: A (BC) = (A B) C ;
• sčítanie a násobenie súvisia podľa nasledujúcich pravidiel rozšírenia zátvoriek: (A + B) C = AC + B C a A (B + C) = A B + AC .

Poznamenávame, že kruhy v najvšeobecnejšej konštrukcii nevyžadujú násobenie, aby boli permutabilné, ani nie sú invertibilné (to znamená, že nie je vždy možné deliť), ani nevyžaduje existenciu jednotky, neutrálneho prvku s vzhľadom na násobenie. Ak sa zavedú tieto axiómy, získajú sa ďalšie algebraické štruktúry, ale všetky vety dokázané pre kruhy v nich budú platiť.

Teraz to dokážeme pre akékoľvek prvky A a Bľubovoľný prsteň je pravdivý, po prvé, (-A) B = -(A B) a po druhé (-(-A)) = A. Z toho ľahko vyplývajú tvrdenia o jednotkách: (-1)1 = -(11) = -1 a (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

Aby sme to dosiahli, musíme zistiť niektoré fakty. Najprv dokážeme, že každý prvok môže mať iba jeden protiklad. Naozaj, nechajte prvok A existujú dva protiklady: B a OD. Teda A + B = 0 = A + C. Zvážte sumu A+B+C. Pomocou asociatívnych a komutatívnych zákonov a vlastnosti nuly dostaneme, že na jednej strane sa súčet rovná B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a na druhej strane sa rovná C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. znamená, B=C .

Všimnime si to teraz A, a (-(-A)) sú opačné k rovnakému prvku (-A), takže musia byť rovnaké.

Prvý fakt znie takto: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, teda (-A) B opak A B, takže sa rovná -(A B) .

Aby sme boli matematicky rigorózni, vysvetlíme prečo 0 B = 0 pre akýkoľvek prvok B. Naozaj, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Teda doplnenie 0 B nemení sumu. Tento súčin sa teda rovná nule.

A to, že v krúžku je práve jedna nula (veď axiómy hovoria, že takýto prvok existuje, ale nič sa nehovorí o jeho jedinečnosti!), necháme na čitateľa ako jednoduché cvičenie.

Evgeny Epifanov, Zem (Sol III).

Naozaj, prečo? Najjednoduchšia odpoveď je: "Pretože toto sú pravidlá pre prácu so zápornými číslami." Pravidlá, ktoré sa učíme v škole a uplatňujeme ich po celý život. Učebnice však nevysvetľujú, prečo sú pravidlá také, aké sú. Spomenuli sme si - to je všetko a už sa nepýtame na otázku.

A pýtajme sa...

Kedysi dávno ľudia poznali len prirodzené čísla: 1, 2, 3, ... Používali sa na počítanie náčinia, koristi, nepriateľov atď. Ale samotné čísla sú skôr zbytočné - treba si vedieť poradiť. ich. Sčítanie je jasné a zrozumiteľné a okrem toho súčet dvoch prirodzených čísel je tiež prirodzené číslo (matematik by povedal, že množina prirodzených čísel je uzavretá operáciou sčítania). Násobenie je v skutočnosti rovnaké sčítanie, ak hovoríme o prirodzených číslach. V živote často vykonávame úkony súvisiace s týmito dvoma operáciami (napríklad pri nakupovaní sčítavame a násobíme) a je zvláštne myslieť si, že naši predkovia sa s nimi stretávali menej často – sčítanie a násobenie ľudstvo ovládalo veľmi dlho pred. Často je potrebné deliť jednu veličinu druhou, ale tu nie je výsledok vždy vyjadrený prirodzeným číslom - takto sa objavili zlomkové čísla.

Odčítanie je, samozrejme, tiež nevyhnutné. V praxi však máme tendenciu odčítať menšie číslo od väčšieho čísla a nie je potrebné používať záporné čísla. (Ak mám 5 cukríkov a 3 dám sestre, budem mať 5 - 3 = 2 cukríky, ale nemôžem jej dať 7 cukríkov so všetkou túžbou.) To môže vysvetliť, prečo ľudia nepoužívali záporné čísla na dlhú dobu.


Záporné čísla sa objavujú v indických dokumentoch zo 7. storočia nášho letopočtu; Číňania ich zjavne začali používať o niečo skôr. Používali sa na účtovanie dlhov alebo pri medzivýpočtoch na zjednodušenie riešenia rovníc – bol to len nástroj na získanie kladnej odpovede. Skutočnosť, že záporné čísla na rozdiel od kladných nevyjadrujú prítomnosť žiadnej entity, vzbudzovala silnú nedôveru. Ľudia v doslovnom zmysle slova sa vyhýbali záporným číslam: ak problém dostal zápornú odpoveď, verili, že neexistuje žiadna odpoveď. Táto nedôvera pretrvávala veľmi dlho a aj Descartes, jeden zo „zakladateľov“ modernej matematiky, ich nazval „falošnými“ (v 17. storočí!).

Zoberme si napríklad rovnicu 7x - 17 \u003d 2x - 2. Dá sa to vyriešiť takto: presuňte výrazy s neznámou na ľavú stranu a zvyšok doprava, dostanete 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. S týmto sme sa v riešení nestretli ani so zápornými číslami.

Náhodou sa to však dalo urobiť inak: posuňte členy s neznámou na pravú stranu a dostanete 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Ak chcete nájsť neznámu, musíte vydeliť jedno záporné číslo druhým: x = (-15)/(-5). Ale správna odpoveď je známa a zostáva dospieť k záveru, že (-15)/(-5) = 3.

Čo ukazuje tento jednoduchý príklad? Po prvé, je zrejmé, že logika určila pravidlá pre akcie so zápornými číslami: výsledky týchto akcií sa musia zhodovať s odpoveďami, ktoré sa získajú iným spôsobom, bez záporných čísel. Po druhé, povolením používania záporných čísel sa zbavíme zdĺhavého (ak sa rovnica ukáže byť komplikovanejšia, s veľkým počtom výrazov) hľadania cesty riešenia, pri ktorej sa všetky akcie vykonávajú iba na prirodzených číslach. Navyše už nemôžeme zakaždým premýšľať o zmysluplnosti prevádzaných veličín – a to už je krok k tomu, aby sa matematika zmenila na abstraktnú vedu.

Pravidlá pre akcie na záporných číslach neboli vytvorené okamžite, ale stali sa zovšeobecnením mnohých príkladov, ktoré vznikli pri riešení aplikovaných problémov. Vo všeobecnosti možno vývoj matematiky podmienečne rozdeliť na etapy: každá ďalšia etapa sa líši od predchádzajúcej novou úrovňou abstrakcie v štúdiu objektov. Takže v 19. storočí si matematici uvedomili, že celé čísla a polynómy majú pri všetkej svojej vonkajšej odlišnosti veľa spoločného: oboje možno sčítať, odčítať a násobiť. Tieto operácie sa riadia rovnakými zákonmi – ako v prípade čísel, tak aj v prípade polynómov. Ale delenie celých čísel medzi sebou, takže výsledkom sú opäť celé čísla, nie je vždy možné. To isté platí pre polynómy.

Potom boli objavené ďalšie zbierky matematických objektov, na ktorých je možné vykonávať takéto operácie: formálne mocninné rady, spojité funkcie... Nakoniec prišlo pochopenie, že ak študujete vlastnosti samotných operácií, výsledky možno aplikovať na všetky tieto zbierky predmetov (tento prístup je typický pre celú modernú matematiku).

V dôsledku toho sa objavil nový koncept: prsteň. Je to len kopa prvkov plus akcií, ktoré sa na nich dajú vykonávať. Základnými pravidlami sú tu len pravidlá (nazývajú sa axiómy), ktoré podliehajú činnosti, a nie povaha prvkov množiny (tu je to nová úroveň abstrakcie!). Matematici chcú zdôrazniť, že dôležitá je štruktúra, ktorá vzniká po zavedení axióm: okruh celých čísel, okruh polynómov atď. Vychádzajúc z axióm je možné odvodiť ďalšie vlastnosti okruhov.

Sformulujeme axiómy kruhu (ktoré sú, samozrejme, podobné pravidlám pre operácie s celými číslami) a potom dokážeme, že v akomkoľvek kruhu vynásobením mínus mínusom dostaneme plus.

Krúžok je množina s dvoma binárnymi operáciami (to znamená, že do každej operácie sú zapojené dva prvky kruhu), ktoré sa tradične nazývajú sčítanie a násobenie, a nasledujúce axiómy:

Pridávanie kruhových prvkov sa riadi komutatívnymi (A + B = B + A pre ľubovoľné prvky A a B) a kombinačnými (A + (B + C) = (A + B) + C) zákonmi; kruh má špeciálny prvok 0 (adičný neutrálny), takže A + 0 = A, a pre akýkoľvek prvok A existuje opačný prvok (označený (-A)), takže A + (-A) = 0;
- násobenie sa riadi kombinačným zákonom: A (B C) = (A B) C;
sčítanie a násobenie súvisia podľa nasledujúcich pravidiel rozširovania zátvoriek: (A + B) C = A C + B C a A (B + C) = A B + A C.

Poznamenávame, že kruhy v najvšeobecnejšej konštrukcii nevyžadujú násobenie, aby boli permutabilné, ani nie sú invertibilné (to znamená, že nie je vždy možné deliť), ani nevyžaduje existenciu jednotky, neutrálneho prvku s vzhľadom na násobenie. Ak sa zavedú tieto axiómy, získajú sa ďalšie algebraické štruktúry, ale všetky vety dokázané pre kruhy v nich budú platiť.

Teraz dokážme, že pre ľubovoľné prvky A a B ľubovoľného kruhu je po prvé (-A) B = -(A B) a po druhé (-(-A)) = A. Z toho ľahko vyplývajú tvrdenia o jednotkách: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 a (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Aby sme to dosiahli, musíme zistiť niektoré fakty. Najprv dokážeme, že každý prvok môže mať iba jeden protiklad. Nech má prvok A dva opačné prvky: B a C. To znamená, že A + B = 0 = A + C. Uvažujme súčet A + B + C. Pomocou asociatívnych a komutatívnych zákonov a vlastnosti nuly získajte, že na jednej strane sa súčet rovná B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C a na druhej strane sa rovná C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Preto B = C.

Všimnite si teraz, že A aj (-(-A)) sú protiklady toho istého prvku (-A), takže sa musia rovnať.

Prvý fakt sa získa takto: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, to znamená, že (-A) B je opak A B, takže sa rovná - (A B).

Aby sme boli matematicky presní, vysvetlime tiež, prečo 0·B = 0 pre ktorýkoľvek prvok z B. Skutočne, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. To znamená, že pridanie 0 B nezmení súčet. Tento súčin sa teda rovná nule.

A to, že v krúžku je práve jedna nula (veď axiómy hovoria, že takýto prvok existuje, ale nič sa nehovorí o jeho jedinečnosti!), necháme na čitateľa ako jednoduché cvičenie.

Jevgenij Epifanov

Pri počúvaní učiteľa matematiky väčšina žiakov vníma látku ako axiómu. Zároveň sa málokto snaží dostať dnu a prísť na to, prečo „mínus“ až „plus“ dáva znamienko „mínus“ a keď sa vynásobia dve záporné čísla, vyjde kladné.

Zákony matematiky

Väčšina dospelých nedokáže sebe ani svojim deťom vysvetliť, prečo sa to deje. Tento materiál sa dôkladne naučili v škole, ale ani sa nepokúšali zistiť, odkiaľ takéto pravidlá pochádzajú. Ale márne. Moderné deti často nie sú také dôverčivé, potrebujú sa dostať k podstate veci a pochopiť, povedzme, prečo „plus“ na „mínus“ dáva „mínus“. A niekedy kocúri schválne kladú zložité otázky, aby si užili chvíle, keď dospelí nevedia dať zrozumiteľnú odpoveď. A je to naozaj katastrofa, ak sa mladý učiteľ dostane do problémov ...

Mimochodom, treba poznamenať, že vyššie uvedené pravidlo platí pre násobenie aj delenie. Súčin záporného a kladného čísla poskytne iba „mínus". Ak hovoríme o dvoch čísliciach so znamienkom „-", výsledkom bude kladné číslo. To isté platí pre delenie. Ak jeden z čísla sú záporné, potom bude podiel aj so znamienkom "- ".

Na vysvetlenie správnosti tohto matematického zákona je potrebné sformulovať axiómy kruhu. Najprv však musíte pochopiť, čo to je. V matematike je zvykom nazývať prsteň množinou, v ktorej sú zahrnuté dve operácie s dvoma prvkami. Ale je lepšie to pochopiť na príklade.

Prstencová axióma

Existuje niekoľko matematických zákonov.

• Prvý z nich je podľa neho posuvný C + V = V + C.
• Druhá sa nazýva asociatívna (V + C) + D = V + (C + D).

Násobenie (V x C) x D \u003d V x (C x D) ich tiež dodržiava.

Nikto nezrušil pravidlá, ktorými sa otvárajú zátvorky (V + C) x D = V x D + C x D, platí tiež, že C x (V + D) = C x V + C x D.

Okrem toho sa zistilo, že do kruhu možno zaviesť špeciálny, adične neutrálny prvok, pomocou ktorého bude platiť: C + 0 = C. Okrem toho pre každé C existuje opačný prvok, ktorý môže byť označené ako (-C). V tomto prípade C + (-C) \u003d 0.

Odvodenie axióm pre záporné čísla

Po akceptovaní vyššie uvedených tvrdení môžeme odpovedať na otázku: "Plus" na "mínus" dáva aké znamenie? Keď poznáme axiómu o násobení záporných čísel, je potrebné potvrdiť, že skutočne (-C) x V = -(C x V). A tiež, že platí nasledujúca rovnosť: (-(-C)) = C.

K tomu musíme najskôr dokázať, že každý z elementov má len jedného protiľahlého „brata“. Zvážte nasledujúci príklad dôkazu. Skúsme si predstaviť, že dve čísla sú opačné pre C - V a D. Z toho vyplýva, že C + V = 0 a C + D = 0, teda C + V = 0 = C + D. Zapamätanie si zákonov o posunutí a o vlastnostiach čísla 0 môžeme uvažovať súčet všetkých troch čísel: C, V a D. Skúsme zistiť hodnotu V. Je logické, že V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, pretože hodnota C + D, ako bolo prijaté vyššie, sa rovná 0. V = V + C + D.

Hodnota pre D je odvodená rovnakým spôsobom: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na základe toho je zrejmé, že V = D.

Aby ste pochopili, prečo „plus“ na „mínus“ dáva „mínus“, musíte pochopiť nasledujúce. Takže pre prvok (-C) sú opačné C a (-(-C)), to znamená, že sú si navzájom rovné.

Potom je zrejmé, že 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Z toho vyplýva, že C x V je opak (-) C x V , čo znamená (- C) x V = -(C x V).

Pre úplnú matematickú presnosť je tiež potrebné potvrdiť, že 0 x V = 0 pre akýkoľvek prvok. Ak budete postupovať podľa logiky, potom 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. To znamená, že pridaním produktu 0 x V sa nastavené množstvo nijako nemení. Koniec koncov, tento produkt sa rovná nule.

Keď poznáme všetky tieto axiómy, je možné odvodiť nielen to, koľko dáva „plus“ a „mínus“, ale aj to, čo sa stane, keď sa vynásobia záporné čísla.

Násobenie a delenie dvoch čísel znakom "-".

Ak sa neponoríte do matematických nuancií, môžete sa pokúsiť vysvetliť pravidlá činnosti so zápornými číslami jednoduchším spôsobom.

Predpokladajme, že C - (-V) = D, na základe toho C = D + (-V), teda C = D - V. Prenesieme V a dostaneme, že C + V = D. To znamená C + V = C-(-V). Tento príklad vysvetľuje, prečo vo výraze, kde sú dve „mínus“ za sebou, by sa spomínané znamienka mali zmeniť na „plus“. Teraz sa poďme zaoberať násobením.

(-C) x (-V) \u003d D, k výrazu je možné pridať a odčítať dva rovnaké produkty, ktoré nezmenia jeho hodnotu: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Keď si pamätáme pravidlá pre prácu so zátvorkami, dostaneme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Z toho vyplýva, že C x V \u003d (-C) x (-V).

Podobne môžeme dokázať, že výsledok delenia dvoch záporných čísel bude kladný.

Všeobecné matematické pravidlá

Samozrejme, takéto vysvetlenie nie je vhodné pre žiakov základných škôl, ktorí sa len začínajú učiť abstraktné záporné čísla. Je pre nich lepšie vysvetľovať na viditeľných predmetoch, manipulovať so známym pojmom cez zrkadlo. Nachádzajú sa tam napríklad vynájdené, ale neexistujúce hračky. Môžu byť zobrazené so znamienkom „-“. Násobenie dvoch zrkadlových predmetov ich prenáša do iného sveta, ktorý sa rovná súčasnosti, čiže v dôsledku toho máme kladné čísla. Ale vynásobením abstraktného záporného čísla kladným výsledkom je výsledok známy každému. Koniec koncov, „plus“ vynásobený „mínusom“ dáva „mínus“. Je pravda, že deti sa príliš nesnažia ponoriť sa do všetkých matematických nuancií.

Aj keď, ak sa pozriete pravde do očí, pre mnohých ľudí, dokonca aj s vyšším vzdelaním, zostávajú mnohé pravidlá záhadou. Každý berie ako samozrejmosť to, čo ho učitelia učia, bez rozpakov ponoriť sa do všetkých zložitostí, ktorými je matematika plná. "Mínus" na "mínus" dáva "plus" - každý o tom vie bez výnimky. To platí pre celé čísla aj zlomkové čísla.

Pozor, iba DNES!

• Spôsoby triedenia v programovaní: Bublinové triedenie