Kvadratické rovnice.

Kvadratická rovnica- algebraická rovnica všeobecného tvaru

kde x je voľná premenná,

a, b, c, sú koeficienty a

Výraz nazývaný štvorcový trojčlen.

Metódy riešenia kvadratických rovníc.

1. METÓDA : Faktorizácia ľavej strany rovnice.

Poďme vyriešiť rovnicu x 2 + 10 x - 24 = 0. Rozložme ľavú stranu na faktor:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

Keďže súčin je nula, potom aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto sa ľavá strana rovnice zmení na nulu x = 2, a tiež kedy x = - 12. To znamená, že číslo 2 A - 12 sú korene rovnice x 2 + 10 x - 24 = 0.

2. METÓDA : Metóda výberu celého štvorca.

Poďme vyriešiť rovnicu x 2 + 6 x - 7 = 0. Vyberte úplný štvorec na ľavej strane.

Za týmto účelom napíšeme výraz x 2 + 6x v nasledujúcom tvare:

x 2 + 6 x = x 2 + 2 x 3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je dvojitým súčinom x x 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 3 2, pretože

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Teraz transformujme ľavú stranu rovnice

x 2 + 6 x - 7 = 0,

pripočítanie a odčítanie 3 2. Máme:

x 2 + 6 x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

teda x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 alebo x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METÓDA :Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.

Vynásobme obe strany rovnice

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

na 4a a postupne máme:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Príklady.

A) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva rôzne korene;

Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri

b2-4ac >0, rovnica ax 2 + bx + c = 0 má dva rôzne korene.

b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,

D = 0, jeden koreň;

Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b2 - 4ac = 0, potom rovnica

ax 2 + bx + c = 0 má jeden koreň

V) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Táto rovnica nemá korene.

Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b 2 - 4ac< 0 , rovnica

ax 2 + bx + c = 0 nemá korene.

Vzorec (1) koreňov kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akýkoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je verbálne vyjadrený takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina z tohto koeficientu bez štvornásobku súčinu prvého koeficientu voľným členom a menovateľom je dvojnásobok prvého koeficientu.

4. SPÔSOB: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Ako je známe, redukovaná kvadratická rovnica má tvar

x 2 + px + c = 0.(1)

Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá, keď a = 1 vyzerá ako

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - str

Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery (z koeficientov p a q môžeme predpovedať znamienka koreňov).

a) Ak je poločlen q daná rovnica (1) je kladná ( q > 0), potom má rovnica dva korene rovnakého znamienka a to závisí od druhého koeficientu p. Ak R< 0 , potom sú oba korene záporné, ak R< 0 , potom sú oba korene kladné.

Napríklad,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 A x 2 = 1, pretože q = 2 > 0 A p = - 3< 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 A x 2 = - 1, pretože q = 7 > 0 A p = 8 > 0.

b) Ak je voľný člen q daná rovnica (1) je záporná ( q< 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a väčší koreň bude kladný, ak p< 0 , alebo negatívne, ak p > 0 .

Napríklad,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 A x 2 = 1, pretože q= - 5< 0 A p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 A x 2 = - 1, pretože q = -9< 0 A p = - 8< 0.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Riešenie. Pretože a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), To

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Odpoveď: 1; -208/345.

2) Vyriešte rovnicu 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Riešenie. Pretože a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), To

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Odpoveď: 1; 115/132.

B. Ak druhý koeficient b = 2k je párne číslo, potom koreňový vzorec

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Riešenie. Máme: a = 3, b = -14, c = 16, k = -7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, dva rôzne korene;

Odpoveď: 2; 8/3

IN. Redukovaná rovnica

x 2 + px + q= 0

sa zhoduje so všeobecnou rovnicou, v ktorej a = 1, b = p A c = q. Preto pre redukovanú kvadratickú rovnicu je koreňový vzorec

Má podobu:

Vzorec (3) je obzvlášť vhodný na použitie, keď R- párne číslo.

Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu x 2 – 14 x – 15 = 0.

Riešenie. Máme: x 1,2 = 7±

Odpoveď: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METÓDA: Riešenie rovníc graficky.

Príklad. Vyriešte rovnicu x2 - 2x - 3 = 0.

Nakreslíme funkciu y = x2 - 2x - 3

1) Máme: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. To znamená, že vrchol paraboly je bod (1; -4) a os paraboly je priamka x = 1.

2) Vezmite dva body na osi x, ktoré sú symetrické okolo osi paraboly, napríklad body x = -1 a x = 3.

Máme f(-1) = f(3) = 0. Zostrojme body (-1; 0) a (3; 0) na rovine súradníc.

3) Cez body (-1; 0), (1; -4), (3; 0) nakreslíme parabolu (obr. 68).

Korene rovnice x2 - 2x - 3 = 0 sú úsečky priesečníkov paraboly s osou x; To znamená, že korene rovnice sú: x1 = - 1, x2 - 3.

Pripomeňme si základné vlastnosti stupňov. Nech a > 0, b > 0, n, m sú ľubovoľné reálne čísla. Potom
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (an) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, ak a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m, ak je 0

V praxi sa často používajú funkcie tvaru y = a x, kde a je dané kladné číslo, x je premenná. Takéto funkcie sú tzv orientačné. Tento názov sa vysvetľuje skutočnosťou, že argument exponenciálnej funkcie je exponent a základom exponentu je dané číslo.

Definícia. Exponenciálna funkcia je funkcia tvaru y = a x, kde a je dané číslo, a > 0, \(a \neq 1\)

Exponenciálna funkcia má nasledujúce vlastnosti

1) Definičný obor exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.
Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že mocnina a x kde a > 0 je definovaná pre všetky reálne čísla x.

2) Množina hodnôt exponenciálnej funkcie je množina všetkých kladných čísel.
Aby ste to overili, musíte ukázať, že rovnica a x = b, kde a > 0, \(a \neq 1\), nemá korene, ak \(b \leq 0\), a má koreň pre akékoľvek b > 0

3) Exponenciálna funkcia y = a x je rastúca na množine všetkých reálnych čísel, ak a > 1, a klesajúca, ak je 0. Vyplýva to z vlastností stupňa (8) a (9)

Zostrojme grafy exponenciálnych funkcií y = a x pre a > 0 a pre 0. Pomocou uvažovaných vlastností si všimneme, že graf funkcie y = a x pre a > 0 prechádza bodom (0; 1) a nachádza sa nad os Ox.
Ak x 0.
Ak x > 0 a |x| sa zvyšuje, graf rýchlo stúpa.

Graf funkcie y = a x pri 0 Ak x > 0 a rastie, potom sa graf rýchlo približuje k osi Ox (bez toho, aby ju prekročil). Os Ox je teda horizontálna asymptota grafu.
Ak x

Exponenciálne rovnice

Uvažujme niekoľko príkladov exponenciálnych rovníc, t.j. rovnice, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente. Riešenie exponenciálnych rovníc často vedie k riešeniu rovnice a x = a b, kde a > 0, \(a \neq 1\), x je neznáma. Táto rovnica je vyriešená pomocou vlastnosti mocniny: mocniny s rovnakým základom a > 0, \(a \neq 1\) sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich exponenty rovnaké.

Vyriešte rovnicu 2 3x 3 x = 576
Pretože 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, rovnicu možno zapísať ako 8 x 3 x = 24 2 alebo ako 24 x = 24 2, z čoho x = 2.
Odpoveď x = 2

Vyriešte rovnicu 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Vybratím spoločného činiteľa 3 x - 2 zo zátvoriek na ľavej strane dostaneme 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
kde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Odpoveď x = 2

Vyriešte rovnicu 3 x = 7 x
Keďže \(7^x \neq 0 \) , rovnicu možno zapísať v tvare \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), z čoho \(\left(\frac(3) )( 7) \vpravo) ^x = 1 \), x = 0
Odpoveď x = 0

Vyriešte rovnicu 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Nahradením 3 x = t sa táto rovnica zredukuje na kvadratickú rovnicu t 2 - 4t - 45 = 0. Vyriešením tejto rovnice nájdeme jej korene: t 1 = 9, t 2 = -5, odkiaľ 3 x = 9, 3 x = -5.
Rovnica 3 x = 9 má koreň x = 2 a rovnica 3 x = -5 nemá korene, pretože exponenciálna funkcia nemôže nadobúdať záporné hodnoty.
Odpoveď x = 2

Vyriešte rovnicu 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Napíšeme rovnicu do tvaru
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, odkiaľ
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Odpoveď x = 2

Riešte rovnicu 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Pretože 3 > 0, \(3 \neq 1\), potom je pôvodná rovnica ekvivalentná rovnici |x-1| = |x+3|
Umocnením tejto rovnice získame jej dôsledok (x - 1) 2 = (x + 3) 2, z ktorého
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Kontrola ukazuje, že x = -1 je koreň pôvodnej rovnice.
Odpoveď x = -1

Kábel LSV 2-7 16x0,12 patrí k typom pások, ktoré sa úspešne používajú na vnútro- a medziprístrojové inštalácie elektrických a rádioelektronických zariadení pracujúcich v energetických sieťach s jednosmerným prúdom 350 V alebo s 250 V striedavé napätie pri frekvenciách do 50 Hz. Inštalácia hardvéru sa vykonáva za účasti rôznych typov konektorov, použitia krimpovacích a kontaktných konektorov, pri ktorých je možné izoláciu prepichnúť spájkovaním, ako aj lepidiel a lakov, ktoré neovplyvňujú izoláciu. Izolácia nie je narušená, ak sú žily oddelené prepojkou. Značka dokonale odoláva vplyvom sínusových vibrácií, akustického hluku, lineárneho zrýchlenia, jednorazových a viacnásobných mechanických rázov.

Vysvetlenie značenia LSV 2-7 16x0,12:

• L - páska
• S - sériový
• B - izolácia z PVC

Konštrukčné prvky kábla LSV 2-7 16x0,12

1. Jednodrôtový pocínovaný medený vnútorný vodič
2. Polymérna izolácia z PVC

Technické parametre kábla LSV 2-7 16x0,12

Certifikáty a záruky

I. ax 2 = 0 – neúplné kvadratická rovnica (b=0, c=0 ). Riešenie: x=0. odpoveď: 0.

Riešte rovnice.

2x·(x+3)=6x-x2.

Riešenie. Zátvorky otvoríme násobením 2x pre každý výraz v zátvorkách:

2x2 +6x=6x-x2; Posúvame pojmy z pravej strany na ľavú:

2x 2 +6x-6x+x2 =0; Tu sú podobné výrazy:

3x 2 = 0, teda x = 0.

odpoveď: 0.

II. ax 2 + bx = 0 –neúplné kvadratická rovnica (c=0 ). Riešenie: x (ax+b)=0 → x 1 =0 alebo ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odpoveď: 0; -b/a.

5x 2 -26x = 0.

Riešenie. Vyberme spoločný faktor X mimo zátvoriek:

x(5x-26)=0; každý faktor sa môže rovnať nule:

x=0 alebo 5x-26=0→ 5x=26, obe strany rovnosti vydeľte 5 a dostaneme: x=5,2.

odpoveď: 0; 5,2.

Príklad 3 64x+4x2 = 0.

Riešenie. Vyberme spoločný faktor 4x mimo zátvoriek:

4x(16+x)=0. Máme tri faktory, 4≠0, teda, resp x=0 alebo 16+x=0. Z poslednej rovnosti dostaneme x=-16.

odpoveď: -16; 0.

Príklad 4.(x-3) 2 + 5 x = 9.

Riešenie. Použitím vzorca pre druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov otvoríme zátvorky:

x 2-6x+9+5x=9; transformovať do tvaru: x 2 -6x+9+5x-9=0; Ukážeme si podobné pojmy:

x2-x=0; vyberieme to X mimo zátvoriek dostaneme: x (x-1)=0. Odtiaľto resp x=0 alebo x-1=0→ x=1.

odpoveď: 0; 1.

III. ax 2 + c = 0 –neúplné kvadratická rovnica (b=0 ); Riešenie: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Ak (-c/a)<0 , potom neexistujú žiadne skutočné korene. Ak (-с/а)>0

Príklad 5. x 2-49=0.

Riešenie.

x 2 = 49, odtiaľto x=±7. odpoveď:-7; 7.

Príklad 6. 9x2-4=0.

Riešenie.

Často musíte nájsť súčet štvorcov (x 1 2 + x 2 2) alebo súčet kociek (x 1 3 + x 2 3) koreňov kvadratickej rovnice, menej často - súčet recipročných hodnôt druhých mocnín koreňov alebo súčtu aritmetických druhých odmocnín odmocnín kvadratickej rovnice:

Vietova veta s tým môže pomôcť:

x 2 +px+q=0

xi + x2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.

Vyjadrime sa cez p A q:

1) súčet druhých mocnín koreňov rovnice x 2 +px+q=0;

2) súčet kociek koreňov rovnice x 2 +px+q=0.

Riešenie.

1) Výraz x 1 2 + x 2 2 získaná kvadratúrou oboch strán rovnice xi + x2 = -p;

(x1+x2)2 = (-p)2; otvorte zátvorky: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; vyjadríme požadované množstvo: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Získali sme užitočnú rovnosť: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

2) Výraz x 1 3 + x 2 3 Predstavme súčet kociek pomocou vzorca:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p2-2q-q)=-p·(p2 -3q).

Ďalšia užitočná rovnica: xi3+x23 = -p·(p2-3q).

Príklady.

3) x 2-3x-4=0. Bez riešenia rovnice vypočítajte hodnotu výrazu x 1 2 + x 2 2.

Riešenie.

x 1 + x 2 =-p=3, a prácu x 1 ∙x 2 =q=v príklade 1) rovnosť:

x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. Máme -p= x 1 + x 2 = 3 → p2=32=9; q= x 1 x 2 = -4. Potom x12 +x22 =9-2·(-4)=9+8=17.

odpoveď: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2-2x-4=0. Vypočítajte: x 1 3 + x 2 3 .

Riešenie.

Podľa Vietovej vety je súčet koreňov tejto redukovanej kvadratickej rovnice x 1 + x 2 =-p=2, a prácu x 1 ∙x 2 =q=-4. Použime to, čo sme dostali ( v príklade 2) rovnosť: x13 +x23 =-p·(p2-3q)= 2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

odpoveď: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Otázka: čo ak dostaneme neredukovanú kvadratickú rovnicu? Odpoveď: vždy sa dá „znížiť“ vydelením člen po člen prvým koeficientom.

5) 2x 2-5x-7=0. Bez rozhodovania vypočítajte: x 1 2 + x 2 2.

Riešenie. Dostali sme úplnú kvadratickú rovnicu. Vydeľte obe strany rovnosti 2 (prvý koeficient) a získajte nasledujúcu kvadratickú rovnicu: x 2 - 2,5 x - 3,5 = 0.

Podľa Vietovej vety sa súčet koreňov rovná 2,5 ; súčin koreňov je rovnaký -3,5 .

Riešime to rovnakým spôsobom ako v príklade 3) pomocou rovnosti: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

x12 +x22 =p2-2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

odpoveď: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2-5x-2=0. Nájsť:

Transformujme túto rovnosť a pomocou Vietovej vety nahraďme súčet koreňov -p, a produkt koreňov cez q, dostaneme ďalší užitočný vzorec. Pri odvodzovaní vzorca sme použili rovnosť 1): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

V našom príklade x1+x2=-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Tieto hodnoty dosadíme do výsledného vzorca:

7) x 2 - 13 x + 36 = 0. Nájsť:

Transformujme tento súčet a získajme vzorec, ktorý možno použiť na nájdenie súčtu aritmetických odmocnín z koreňov kvadratickej rovnice.

Máme x1+x2 =-p=13; x 1 ∙ x 2 =q=36. Tieto hodnoty dosadíme do výsledného vzorca:

Poradenstvo : vždy preverte možnosť hľadania koreňov kvadratickej rovnice vhodnou metódou, pretože 4 preskúmané užitočné vzorce vám umožňujú rýchlo dokončiť úlohu, najmä v prípadoch, keď je diskriminant „nepohodlné“ číslo. Vo všetkých jednoduchých prípadoch nájdite korene a operujte ich. Napríklad v poslednom príklade vyberieme korene pomocou Vietovej vety: súčet koreňov by sa mal rovnať 13 a produkt z koreňov 36 . Aké sú tieto čísla? určite, 4 a 9. Teraz vypočítajte súčet druhých odmocnín týchto čísel: 2+3=5. To je všetko!

I. Vietova veta pre redukovanú kvadratickú rovnicu.

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu:

xi + x2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.

Nájdite korene danej kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety.

Príklad 1) x2-x-30=0. Toto je redukovaná kvadratická rovnica ( x 2 +px+q=0), druhý koeficient p = -1 a bezplatný člen q = -30. Najprv sa uistite, že táto rovnica má korene a že korene (ak nejaké existujú) budú vyjadrené v celých číslach. Na to stačí, aby bol diskriminant dokonalou druhou mocninou celého čísla.

Hľadanie diskriminujúceho D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Teraz, podľa Vietovej vety, súčet koreňov sa musí rovnať druhému koeficientu s opačným znamienkom, t.j. ( -p), a produkt sa rovná voľnému termínu, t.j. ( q). potom:

xi + x2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Musíme vybrať dve čísla tak, aby sa ich súčin rovnal -30 , a suma je jednotka. Toto sú čísla -5 A 6 . Odpoveď: -5; 6.

Príklad 2) x 2 +6x+8=0. Máme redukovanú kvadratickú rovnicu s druhým koeficientom p=6 a voľný člen q = 8. Uistime sa, že existujú celé čísla. Nájdime diskriminantov D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je dokonalá druhá mocnina čísla 1 , čo znamená, že korene tejto rovnice sú celé čísla. Vyberme korene pomocou Vietovej vety: súčet koreňov sa rovná –R=-6, a súčin koreňov sa rovná q = 8. Toto sú čísla -4 A -2 .

V skutočnosti: -4-2=-6=-R; -4∙(-2)=8=q. Odpoveď: -4; -2.

Príklad 3) x 2 +2x-4=0. V tejto redukovanej kvadratickej rovnici druhý koeficient p=2 a bezplatný člen q = -4. Nájdime diskriminantov D 1, keďže druhý koeficient je párne číslo. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nie je dokonalou druhou mocninou čísla, tak to robíme my záver: Korene tejto rovnice nie sú celé čísla a nemožno ich nájsť pomocou Vietovej vety. To znamená, že túto rovnicu riešime ako obvykle pomocou vzorcov (v tomto prípade pomocou vzorcov). Dostaneme:

Príklad 4). Napíšte kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov ak x1=-7, x2=4.

Riešenie. Požadovaná rovnica bude napísaná v tvare: x 2 +px+q=0 a na základe Vietovej vety –p=x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Potom bude mať rovnica tvar: x 2 + 3 x -28 = 0.

Príklad 5). Napíšte kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov, ak:

II. Vietov teorém pre úplnú kvadratickú rovnicu ax 2 + bx + c = 0.

Súčet koreňov je mínus b, deleno A, súčin koreňov sa rovná s, deleno A:

xi + x2 = -b/a; x 1 ∙ x 2 = c/a.

Príklad 6). Nájdite súčet koreňov kvadratickej rovnice 2x 2-7x-11=0.

Riešenie.

Uistíme sa, že táto rovnica bude mať korene. Na to stačí vytvoriť výraz pre diskriminant a bez toho, aby ste ho vypočítali, sa uistite, že je diskriminant väčší ako nula. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Teraz poďme použiť teorém Vieta pre úplné kvadratické rovnice.

x 1 + x 2 = -b:a=- (-7):2=3,5.

Príklad 7). Nájdite súčin koreňov kvadratickej rovnice 3x 2 +8x-21=0.

Riešenie.

Nájdime diskriminantov D 1, keďže druhý koeficient ( 8 ) je párne číslo. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratická rovnica má 2 koreň, podľa Vietovej vety súčin koreňov x 1 ∙ x 2 = c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– všeobecná kvadratická rovnica

Diskriminačný D=b2-4ac.

Ak D>0, potom máme dva skutočné korene:

Ak D = 0, potom máme jeden koreň (alebo dva rovnaké korene) x=-b/(2a).

Ak D<0, то действительных корней нет.

Príklad 1) 2x 2 + 5x-3=0.

Riešenie. a=2; b=5; c=-3.

D=b2-4ac=52-4∙2∙(-3)=25+24=49=72 >0; 2 skutočné korene.

4x 2 +21x+5=0.

Riešenie. a=4; b=21; c=5.

D=b2-4ac=212 - 4∙4∙5=441-80=361=192 >0; 2 skutočné korene.

II. ax 2 + bx + c = 0 – kvadratická rovnica konkrétneho tvaru s párnym druhým

koeficient b

Príklad 3) 3x 2 -10x+3=0.

Riešenie. a=3; b=-10 (párne číslo); c=3.

Príklad 4) 5x 2 -14x-3=0.

Riešenie. a=5; b= -14 (párne číslo); c=-3.

Príklad 5) 71 x 2 + 144 x + 4 = 0.

Riešenie. a=71; b=144 (párne číslo); c=4.

Príklad 6) 9x 2 -30x+25=0.

Riešenie. a=9; b=-30 (párne číslo); c=25.

III. ax 2 + bx + c = 0 – kvadratická rovnica poskytnutý súkromný typ: a-b+c=0.

Prvý koreň je vždy rovný mínus jedna a druhý koreň je vždy rovný mínus s, deleno A:

x1 = -1, x2 = -c/a.

Príklad 7) 2x 2 + 9x + 7 = 0.

Riešenie. a=2; b=9; c=7. Pozrime sa na rovnosť: a-b+c=0. Dostaneme: 2-9+7=0 .

Potom x1=-1,x2=-c/a=-7/2=-3,5. odpoveď: -1; -3,5.

IV. ax 2 + bx + c = 0 – kvadratická rovnica konkrétneho tvaru podliehajúca : a+b+c=0.

Prvý koreň sa vždy rovná jednej a druhý koreň sa rovná s, deleno A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

Príklad 8) 2x 2 -9x+7=0.

Riešenie. a=2; b=-9; c=7. Pozrime sa na rovnosť: a+b+c=0. Dostaneme: 2-9+7=0 .

Potom x 1 = 1, x 2 = c/a = 7/2 = 3,5. odpoveď: 1; 3,5.

Strana 1 z 1 1

Spočíva v tom, že betón vystužený pevnými oceľovými rámami je stavebným materiálom s vysokou pevnosťou a nepodlieha mnohým vplyvom prostredia, vďaka čomu je konštrukcia základu podpery nadzemného vedenia schopná niesť oceľ a vystužená betónové podpery elektrického vedenia bez hrozby ich prevrátenia na desiatky rokov. Trvanlivosť, odolnosť voči zaťaženiu a pevnosť sú hlavnými výhodami použitia železobetónových základov FP2,7x2,7-A pre kovové podpery 220 kV jednookruhových vzdušných vedení, 330 kV jednookruhových vzdušných vedení v energetickej výstavbe.

Železobetónové základy FP2,7x2,7-A pre kovové podpery 220 kV jednookruhových nadzemných vedení, 330 kV jednookruhových nadzemných vedení sú vyrobené z ťažkého betónu s triedou pevnosti v tlaku najmenej B30, trieda - od M300. Trieda betónu pre mrazuvzdornosť nie je nižšia ako F150, pre odolnosť proti vode - W4 - W6. Cement a inertné materiály používané na výrobu betónu musia spĺňať požiadavky SNiP I-B.3-62 a TP4-68. Najväčšia veľkosť zrna v betónovej štruktúre by nemala presiahnuť 20-40 mm. Kontrola pevnosti betónu podperných základov v súlade s GOST 10180-67 „Ťažký betón. Metódy určovania pevnosti“ a GOST 10181-62 „Ťažký betón. Metódy zisťovania pohyblivosti a tuhosti betónovej zmesi.“

Ako výstuž sa používajú základy FP2,7x2,7-A pre kovové podpery 220 kV jednookruhové vzdušné vedenia, 330 kV jednookruhové vzdušné vedenia: za tepla valcované betonárske prúty triedy A-I, za tepla valcované betonárske prúty zn. periodický profil triedy A-III, armovacie oceľové tyče periodickej triedy profilu A-IV a obyčajný armatúrny drôt triedy B1. Pre montážne slučky sa používa iba za tepla valcovaná tyčová výstuž triedy A-I z uhlíkovej mäkkej ocele.

Základy podperných vedení pre energetické stavby stoja pred zodpovednou úlohou - udržať stabilitu a pevnosť podpier prenosových vedení po mnoho rokov v rôznych klimatických podmienkach, v každom ročnom období a za každého počasia. Preto sú na podperné základy kladené veľmi vysoké nároky. Pred odoslaním k zákazníkovi sa základy podpier FP2,7x2,7-A pre kovové podpery 220 kV jednookruhových nadzemných vedení, 330 kV jednookruhových nadzemných vedení testujú podľa rôznych parametrov, napríklad podľa stupňa stability , pevnosť, trvanlivosť a odolnosť proti opotrebovaniu, odolnosť voči negatívnym teplotám a atmosférickým vplyvom. Pred zváraním musia byť časti spoja zbavené hrdze. Železobetónové základy s hrúbkou betónovej ochrannej vrstvy menšou ako 30 mm, ako aj základy inštalované v agresívnych pôdach, musia byť chránené hydroizoláciou.

Základy FP2,7x2,7-A pre kovové podpery vzdušných vedení jednookruhových 220 kV, vzdušných vedení 330 kV počas prevádzky podliehajú starostlivému dohľadu najmä v prvých rokoch prevádzky vzdušného vedenia. Jednou z najzávažnejších chýb pri výstavbe základov, ktoré sa v prevádzkových podmienkach ťažko odstraňujú, je porušenie technologických noriem pri ich výrobe: použitie nekvalitného alebo zle umytého štrku, porušenie proporcií pri príprave betónovej zmesi atď. . Rovnako závažným defektom je vrstvená betonáž základov, kedy sa jednotlivé prvky toho istého základu betónujú v rôznych časoch bez predchádzajúcej prípravy povrchu. V tomto prípade betón jedného základového prvku netvrdne s druhým a pri vonkajších zaťaženiach, ktoré sú výrazne menšie ako vypočítané, môže dôjsť k zničeniu základu.

Pri výrobe železobetónových základov pre podpery sa niekedy porušujú aj normy: používa sa betón nízkej kvality, výstuž je položená v nesprávnych veľkostiach, ako je uvedené v projekte. Pri výstavbe elektrického vedenia na prefabrikovaných alebo pilótových železobetónových základoch sa môžu vyskytnúť závažné poruchy, ktoré energetická výstavba nepripúšťa. Medzi takéto závady patrí montáž porušených železobetónových základov, ich nedostatočné zahĺbenie do zeme (najmä pri montáži podpier na svahoch kopcov a roklín), nevhodné zhutňovanie pri zásypoch, montáž prefabrikovaných základov menších rozmerov a pod. montáž železobetónových základov, pri ktorých jednotlivé prefabrikované základy určené ako základ kovovej podpery majú rôzne zvislé prevýšenia alebo posunutia jednotlivých základov v pôdoryse. Pri neodbornom vyložení môže dôjsť k poškodeniu základov FP2,7x2,7-A pre kovové podpery 220 kV jednookruhových vzdušných vedení, 330 kV vzdušných vedení 330 kV, môže dôjsť k obnaženiu betónových triesok a výstuže. Počas procesu preberania by sa mala venovať osobitná pozornosť súladu kotevných skrutiek a ich matíc s konštrukčnými rozmermi.

V prevádzkových podmienkach sú železobetónové základy FP2,7x2,7-A pre kovové podpery 220 kV jednookruhových nadzemných vedení, 330 kV jednookruhových nadzemných vedení poškodené vplyvom prostredia aj veľkým vonkajším zaťažením. Výstuž základov s pórobetónovou štruktúrou je poškodzovaná agresívnym pôsobením spodnej vody. Trhliny, ktoré sa tvoria na povrchu základov, sa pri vystavení prevádzkovému striedavému zaťaženiu, ako aj vetru, vlhkosti a nízkej teplote rozširujú, čo v konečnom dôsledku vedie k zničeniu betónu a vystaveniu výstuže. V oblastiach nachádzajúcich sa v blízkosti chemických závodov sa kotevné skrutky a horná časť kovových stupačiek rýchlo zhoršujú.

Zlomenie základu podpery môže tiež nastať v dôsledku jeho nesúososti s regálmi, čo spôsobuje veľké ohybové momenty. K podobnému rozpadu môže dôjsť, keď je základňa nadácie odplavená podzemnou vodou a odchyľuje sa od svojej vertikálnej polohy.

Základy FP2,7x2,7-A pre kovové podpery 220 kV jednookruhových vzdušných vedení, 330 kV vzdušných vedení 330 kV sa pri preberacom procese kontrolujú z hľadiska súladu s projektom, hĺbkou uloženia, kvalitou betónu, kvalitou zváranie pracovnej výstuže a kotevných skrutiek, prítomnosť a kvalita ochrany pred pôsobením agresívnych vôd . Zmerajú sa zvislé značky základov a skontroluje sa umiestnenie kotevných skrutiek podľa šablóny. V prípade zistenia akéhokoľvek nesúladu s normami sa pred zasypaním jám odstránia všetky závady. Opravené sú základy, ktoré majú štiepaný betón a obnaženú výstuž v hornej časti. Za týmto účelom je inštalovaný betónový rám o hrúbke 10-20 cm zakopaný 20-30 cm pod úrovňou terénu.Treba mať na pamäti, že energetická výstavba neumožňuje rám vyrobený z troskového betónu, keďže troska obsahuje prímes síra, ktorá spôsobuje intenzívnu koróziu výstuže a kotiev.skrutky Pri výraznejšom poškodení základov (aj monolitických) sa poškodená časť prekryje výstužou privarenou k výstuži hlavného základu a po osadení debnenia sa zabetónuje.