Prednáška 6. Aplikácia derivácií na štúdium funkcií

Ak funkcia f(X) má deriváciu v každom bode segmentu [ A, b], potom je možné študovať jeho správanie pomocou derivácie f"(X).

Pozrime sa na základné teorémy diferenciálneho počtu, ktoré sú základom derivačných aplikácií.

Fermatova veta

Veta(Farma) ( o rovnosti derivácie na nulu ). Ak funkcia f(X), diferencovateľné na intervale (a, b) a svoju najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu dosiahne v bode c є ( a, b), potom je derivácia funkcie v tomto bode nulová, t.j. f"(s) = 0.

Dôkaz. Nechajte funkciu f(X) je diferencovateľný na intervale ( a, b) a v bode X = s má najväčšiu hodnotu M pri s є ( a, b) (obr. 1), t.j.

f(s) ≥ f(X) alebo f(X) – f(c) ≤ 0 alebo f(s +Δ X) – f(s) ≤ 0.

Derivát f"(X) v bode X = s: .

Ak X> c, Δ X> 0 (t.j. A X→ 0 napravo od bodu s), To a preto f"(s) ≤ 0.

Ak X< с , Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 naľavo od bodu s), To , z čoho vyplýva, že f"(s) ≥ 0.

Podľa podmienok f(X) je v bode rozlíšiteľné s, teda jeho limit pri X→ s nezávisí od voľby smeru prístupu argumentu X k veci s, t.j. .

Získame systém, z ktorého to vyplýva f"(s) = 0.

V prípade f(s) = T(tie. f(X) zaberá na mieste s najmenšia hodnota), dôkaz je podobný. Veta bola dokázaná.

Geometrický význam Fermatovej vety: v bode najväčšej alebo najmenšej hodnoty dosiahnutej v rámci intervalu je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou x.

Súbor FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Certifikát Ukrajiny č. 27312

KRÁTKY DÔKAZ FERmatovej poslednej vety

Posledná Fermatova veta je formulovaná takto: Diofantínska rovnica (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A n + B n = C n * /1/

Kde n- kladné celé číslo väčšie ako dva nemá riešenie v kladných celých číslach A , B , S .

DÔKAZ

Z formulácie Fermatovej poslednej vety vyplýva: ak n je kladné celé číslo väčšie ako dva, potom za predpokladu, že dve z troch čísel A , IN alebo S- kladné celé číslo, jedno z týchto čísel nie je kladné celé číslo.

Dôkaz konštruujeme na základe základnej vety aritmetiky, ktorá sa nazýva „jedinečná faktorizačná veta“ alebo „teorém jedinečnosti faktorizácie zložených celých čísel“. Možné sú nepárne a párne exponenty n . Zoberme si oba prípady.

1. Prvý prípad: exponent n - nepárne číslo.

V tomto prípade sa výraz /1/ transformuje podľa známych vzorcov takto:

A n + IN n = S n /2/

Tomu veríme A A B– kladné celé čísla.

čísla A , IN A S musia byť navzájom prvočísla.

Z rovnice /2/ vyplýva, že pre dané hodnoty čísel A A B faktor ( A + B ) n , S.

Predpokladajme, že číslo S - kladné celé číslo. Ak vezmeme do úvahy prijaté podmienky a základnú vetu aritmetiky, podmienka musí byť splnená :

S n = A n + B n = (A+B) n ∙ D n , / 3/

kde je faktor Dn D

Z rovnice /3/ vyplýva:

Z rovnice /3/ tiež vyplýva, že číslo [ Cn = A n + Bn ] za predpokladu, že číslo S ( A + B ) n. Je však známe, že:

A n + Bn < ( A + B ) n /5/

Preto:

- zlomkové číslo menšie ako jedna. /6/

Zlomkové číslo.

n

Pre nepárne exponenty n >2 číslo:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Z rozboru rovnice /2/ vyplýva, že pre nepárny exponent nčíslo:

S n = A n + IN n = (A+B)

pozostáva z dvoch špecifických algebraických faktorov a pre akúkoľvek hodnotu exponentu n algebraický faktor zostáva nezmenený ( A + B ).

Fermatova posledná veta teda nemá riešenie v kladných celých číslach pre nepárne exponenty n >2.

2. Druhý prípad: exponent n - párne číslo .

Podstata poslednej Fermatovej vety sa nezmení, ak rovnicu /1/ prepíšeme takto:

A n = Cn - Bn /7/

V tomto prípade sa rovnica /7/ transformuje takto:

A n = C n - B n = ( S +B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B+ Cn-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Akceptujeme to S A IN- celé čísla.

Z rovnice /8/ vyplýva, že pre dané hodnoty čísel B A C faktor (C+ B ) má rovnakú hodnotu pre akúkoľvek hodnotu exponentu n , je teda deliteľom čísla A .

Predpokladajme, že číslo A– celé číslo. Ak vezmeme do úvahy prijaté podmienky a základnú vetu aritmetiky, podmienka musí byť splnená :

A n = C n - Bn = (C+ B ) n ∙ Dn , / 9/

kde je faktor Dn musí byť celé číslo, a teda číslo D musí byť tiež celé číslo.

Z rovnice /9/ vyplýva:

/10/

Z rovnice /9/ tiež vyplýva, že číslo [ A n = S n - Bn ] za predpokladu, že číslo A– celé číslo, musí byť deliteľné číslom (C+ B ) n. Je však známe, že:

S n - Bn < (С+ B ) n /11/

Preto:

- zlomkové číslo menšie ako jedna. /12/

Zlomkové číslo.

Z toho vyplýva, že pre nepárnu hodnotu exponentu n rovnica /1/ poslednej Fermatovej vety nemá riešenie v kladných celých číslach.

Pre párne exponenty n >2 číslo:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Posledná Fermatova veta teda nemá riešenie v kladných celých číslach a pre párne exponenty n >2.

Z vyššie uvedeného vyplýva všeobecný záver: rovnica /1/ poslednej Fermatovej vety nemá riešenie v kladných celých číslach A, B A S za predpokladu, že exponent n >2.

DODATOČNÉ ODÔVODNENIE

V prípade, že exponent n – párne číslo, algebraický výraz ( Cn - Bn ) rozkladá sa na algebraické faktory:

C2 – B2 =(C-B)* (C+B); /13/

C4 – B4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C2 + B 2);/14/

C6 – B6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Uveďme príklady v číslach.

PRÍKLAD 1: B = 11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) = 2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

PRÍKLAD 2: B = 16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) = 3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Z rozboru rovníc /13/, /14/, /15/ a /16/ a príslušných číselných príkladov vyplýva:

Pre daný exponent n , ak ide o párne číslo, číslo A n = C n - Bn rozkladá sa na presne definovaný počet presne definovaných algebraických faktorov;

Pre akýkoľvek exponent n , ak ide o párne číslo, v algebraickom výraze ( Cn - Bn ) vždy existujú multiplikátory ( C - B ) A ( C + B ) ;

Každý algebraický faktor zodpovedá úplne určitému číselnému faktoru;

Pre dané čísla IN A Sčíselné faktory môžu byť prvočísla alebo zložené číselné faktory;

Každý zložený číselný faktor je súčinom prvočísel, ktoré čiastočne alebo úplne chýbajú v iných zložených číselných faktoroch;

Veľkosť prvočísel v zložení zložených číselných faktorov rastie s nárastom týchto faktorov;

Najväčší zložený číselný faktor zodpovedajúci najväčšiemu algebraickému faktoru zahŕňa najväčšie prvočíslo s mocninou menšou ako je exponent n(najčastejšie na prvom stupni).

ZÁVERY: Ďalšie dôkazy podporujú záver, že Fermatova posledná veta nemá riešenie v kladných celých číslach.

strojný inžinier

Súdiac podľa popularity dotazu „Fermatova veta - krátky dôkaz" tento matematický problém skutočne zaujíma veľa ľudí. Túto vetu prvýkrát vyslovil Pierre de Fermat v roku 1637 na okraji kópie Aritmetiky, kde tvrdil, že má riešenie, ktoré je príliš veľké na to, aby sa zmestilo na okraj.

Prvý úspešný dôkaz bol publikovaný v roku 1995, úplný dôkaz Fermatovej vety od Andrewa Wilesa. Bol opísaný ako „ohromujúci pokrok“ a viedol Wilesa k získaniu Abelovej ceny v roku 2016. Zatiaľ čo dôkaz Fermatovej vety bol opísaný pomerne stručne, dokázal tiež veľa z vety o modularite a otvoril nové prístupy k mnohým ďalším problémom a efektívnym metódam na zvýšenie modularity. Tieto úspechy posunuli matematiku o 100 rokov. Dôkaz Fermatovej malej vety dnes nie je ničím výnimočným.

Nevyriešený problém podnietil rozvoj algebraickej teórie čísel v 19. storočí a hľadanie dôkazu vety o modularite v 20. storočí. Je to jedna z najvýznamnejších teorémov v histórii matematiky a pred úplným dôkazom poslednej Fermatovej vety delením bola v Guinessovej knihe rekordov ako „najťažší matematický problém“, ktorého jednou z čŕt je že má najväčší počet neúspešných dôkazov.

Historický odkaz

Pytagorova rovnica x 2 + y 2 = z 2 má nekonečný počet kladných celočíselných riešení pre x, y a z. Tieto riešenia sú známe ako pytagorejské trojice. Okolo roku 1637 Fermat na margo knihy napísal, že všeobecnejšia rovnica a n + b n = c n nemá riešenia v prirodzených číslach, ak n je celé číslo väčšie ako 2. Hoci Fermat sám tvrdil, že má riešenie svojho problému, nezanecháva žiadne podrobnosti o jej dôkaze. Elementárnym dôkazom Fermatovej vety, ktorú vyslovil jej tvorca, bol skôr jeho chvastúnsky vynález. Kniha veľkého francúzskeho matematika bola objavená 30 rokov po jeho smrti. Táto rovnica, nazývaná Fermatova posledná veta, zostala v matematike nevyriešená tri a pol storočia.

Veta sa nakoniec stala jedným z najvýznamnejších nevyriešených problémov v matematike. Pokusy dokázať to podnietili významný vývoj v teórii čísel a postupom času sa Fermatova posledná veta stala známou ako nevyriešený problém v matematike.

Stručná história dôkazov

Ak n = 4, ako sám Fermat dokázal, stačí dokázať vetu o indexoch n, ktoré sú prvočíslami. Počas nasledujúcich dvoch storočí (1637-1839) sa dohad dokázal len pre prvočísla 3, 5 a 7, hoci Sophie Germain aktualizovala a dokázala prístup, ktorý sa vzťahoval na celú triedu prvočísel. V polovici 19. storočia to Ernst Kummer rozšíril a dokázal vetu pre všetky regulárne prvočísla, čo spôsobilo, že nepravidelné prvočísla boli analyzované individuálne. Stavajúc na Kummerovej práci a pomocou sofistikovaného počítačového výskumu boli iní matematici schopní rozšíriť riešenie teorému s cieľom pokryť všetky hlavné exponenty až do štyroch miliónov, ale dôkaz pre všetky exponenty bol stále nedostupný (čo znamená, že matematici vo všeobecnosti považovali riešenie za k vete nemožné, mimoriadne ťažké alebo nedosiahnuteľné so súčasnými poznatkami).

Dielo Shimuru a Taniyamu

V roku 1955 mali japonskí matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama podozrenie, že existuje spojenie medzi eliptickými krivkami a modulárnymi formami, dvoma úplne odlišnými oblasťami matematiky. V tom čase známy ako hypotéza Taniyama-Shimura-Weil a (nakoniec) ako teorém modularity, stál sám osebe bez zjavnej spojitosti s poslednou Fermatovou vetou. Bola všeobecne považovaná za dôležitú matematickú vetu sama osebe, ale považovala sa (podobne ako Fermatovu vetu) za nemožné dokázať. Dôkaz veľkej Fermatovej vety (metódou delenia a použitím zložitých matematických vzorcov) sa zároveň uskutočnil až o pol storočia neskôr.

V roku 1984 si Gerhard Frey všimol zjavnú súvislosť medzi týmito dvoma predtým nesúvisiacimi a nevyriešenými problémami. Úplný dôkaz, že tieto dve vety spolu úzko súvisia, publikoval v roku 1986 Ken Ribet, ktorý staval na čiastočnom dôkaze Jeana-Pierra Serresa, ktorý dokázal všetky okrem jednej časti, známej ako „epsilonová domnienka“. Jednoducho povedané, tieto práce Freya, Serresa a Ribeho ukázali, že ak by sa veta o modulárnosti dala dokázať aspoň pre semistabilnú triedu eliptických kriviek, potom by sa skôr či neskôr objavil aj dôkaz poslednej Fermatovej vety. Akékoľvek riešenie, ktoré môže byť v rozpore s poslednou Fermatovou vetou, môže byť tiež použité na protirečenie teorému modularity. Preto, ak sa teorém modularity ukázal ako pravdivý, potom podľa definície nemôže existovať riešenie, ktoré je v rozpore s Fermatovou poslednou vetou, čo znamená, že by sa malo čoskoro dokázať.

Hoci obe vety boli ťažké problémy v matematike, považované za neriešiteľné, práca dvoch Japoncov bola prvým návrhom, ako by sa posledná Fermatova veta dala rozšíriť a dokázať pre všetky čísla, nielen pre niektoré. Pre výskumníkov, ktorí si zvolili tému výskumu, bola dôležitá skutočnosť, že na rozdiel od poslednej Fermatovej vety bola veta modularity hlavnou aktívnou oblasťou výskumu, pre ktorú bol vyvinutý dôkaz, a nie len historickou zvláštnosťou, takže čas strávený práca na ňom by mohla byť z odborného hľadiska opodstatnená. Všeobecný konsenzus však bol, že riešenie dohadu Taniyama-Shimura nebolo praktické.

Fermatova posledná veta: Wilesov dôkaz

Anglický matematik Andrew Wiles, ktorý sa o Fermatovu poslednú vetu zaujímal už od detstva a mal skúsenosti s prácou s eliptickými krivkami a súvisiacimi poľami, sa po tom, čo sa dozvedel, že Ribet dokázal Freyovu teóriu ako správnu, rozhodol, že sa pokúsi dokázať Taniyama-Shimurov dohad ako spôsob dokážte poslednú Fermatovu vetu. V roku 1993, šesť rokov po oznámení svojho cieľa, sa Wilesovi pri tajnej práci na probléme riešenia vety podarilo dokázať súvisiaci dohad, ktorý mu zase pomohol dokázať poslednú Fermatovu vetu. Wilesov dokument bol obrovský čo do veľkosti a rozsahu.

Chyba bola objavená v jednej časti jeho pôvodného článku počas partnerského hodnotenia a vyžadovala si ďalší rok spolupráce s Richardom Taylorom na spoločné vyriešenie vety. Výsledkom bolo, že Wilesov posledný dôkaz Fermatovej poslednej vety na seba nenechal dlho čakať. V roku 1995 bola publikovaná v oveľa menšom rozsahu ako predchádzajúca Wilesova matematická práca, čo jasne ukazuje, že sa vo svojich predchádzajúcich záveroch o možnosti dokázať vetu nemýlil. Wilesov úspech bol široko hlásený v populárnej tlači a popularizovaný v knihách a televíznych programoch. Zostávajúce časti dohadu Taniyama-Shimura-Weil, ktoré boli teraz dokázané a sú známe ako teorém modularity, boli následne dokázané inými matematikmi, ktorí stavali na Wilesovej práci v rokoch 1996 až 2001. Za svoj úspech bol Wiles ocenený a získal množstvo ocenení vrátane Abelovej ceny za rok 2016.

Wilesov dôkaz poslednej Fermatovej vety je špeciálnym prípadom riešenia vety o modulárnosti pre eliptické krivky. Toto je však najznámejší prípad takejto rozsiahlej matematickej operácie. Spolu s riešením Ribetovej vety získal britský matematik aj dôkaz poslednej Fermatovej vety. Fermatov posledný teorém a teorém modularity boli modernými matematikmi takmer všeobecne považované za nepreukázateľné, ale Andrew Wiles dokázal celému vedeckému svetu dokázať, že aj učenci sa môžu mýliť.

Wiles prvýkrát oznámil svoj objav v stredu 23. júna 1993 na prednáške v Cambridge s názvom „Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations“. V septembri 1993 sa však zistilo, že jeho výpočty obsahovali chybu. O rok neskôr, 19. septembra 1994, v čase, ktorý by nazval „najdôležitejším okamihom svojho pracovného života“, Wiles narazil na odhalenie, ktoré mu umožnilo opraviť riešenie problému do bodu, kedy by mohlo uspokojiť matematické komunity.

Charakteristika práce

Dôkaz Fermatovej vety Andrewa Wilesa využíva mnoho techník z algebraickej geometrie a teórie čísel a má mnoho dôsledkov v týchto oblastiach matematiky. Používa tiež štandardné konštrukcie modernej algebraickej geometrie, ako je kategória schém a teória Iwasawa, ako aj iné metódy 20. storočia, ktoré Pierre Fermat nemal k dispozícii.

Dva články obsahujúce dôkazy majú spolu 129 strán a boli napísané počas siedmich rokov. John Coates opísal tento objav ako jeden z najväčších úspechov teórie čísel a John Conway ho označil za hlavný matematický úspech 20. storočia. Wiles, aby dokázal poslednú Fermatovu vetu dokázaním vety o modularite pre špeciálny prípad polostabilných eliptických kriviek, vyvinul výkonné metódy na zdvíhanie modularity a objavil nové prístupy k mnohým ďalším problémom. Za vyriešenie poslednej Fermatovej vety bol pasovaný za rytiera a získal ďalšie ocenenia. Keď bolo oznámené, že Wiles získal Abelovu cenu, Nórska akadémia vied opísala jeho úspech ako „úžasný a elementárny dôkaz poslednej Fermatovej vety“.

Ako to bolo

Jedným z ľudí, ktorí analyzovali Wilesov pôvodný rukopis riešenia vety, bol Nick Katz. Počas svojej recenzie položil Britovi sériu objasňujúcich otázok, ktoré prinútili Wilesa priznať, že jeho práca jasne obsahuje medzeru. V jednej kritickej časti dôkazu, ktorý poskytoval odhad poradia konkrétnej skupiny, bola chyba: Eulerov systém použitý na rozšírenie Kolyvaginovej a Flachovej metódy bol neúplný. Chyba však neznamenala, že by jeho práca bola zbytočná – každá časť Wilesovho diela bola sama o sebe veľmi významná a inovatívna, rovnako ako mnohé z vývojov a metód, ktoré vytvoril v priebehu svojej práce a ktoré ovplyvnili iba jednu časť rukopis. Táto pôvodná práca, publikovaná v roku 1993, však v skutočnosti neposkytla dôkaz Fermatovej poslednej vety.

Wiles sa takmer rok pokúšal znovu objaviť riešenie vety, najprv sám a potom v spolupráci so svojím bývalým študentom Richardom Taylorom, no všetko sa zdalo byť márne. Do konca roku 1993 sa šírili zvesti, že Wilesov dôkaz zlyhal pri testovaní, ale nebolo známe, aké vážne zlyhanie bolo. Matematici začali na Wilesa vyvíjať nátlak, aby odhalil detaily svojej práce, či už bola dokončená alebo nie, aby širšia komunita matematikov mohla preskúmať a využiť všetko, čo dosiahol. Namiesto rýchleho napravenia svojej chyby Wiles objavil iba ďalšie zložitosti v dôkaze poslednej Fermatovej vety a nakoniec si uvedomil, aké ťažké to bolo.

Wiles uvádza, že ráno 19. septembra 1994 bol na pokraji vzdať sa a vzdať sa a takmer rezignoval na to, že zlyhal. Bol ochotný zverejniť svoje nedokončené dielo, aby na ňom mohli stavať iní a nájsť, kde urobil chybu. Anglický matematik sa rozhodol dať si poslednú šancu a poslednýkrát analyzoval vetu, aby sa pokúsil pochopiť hlavné dôvody, prečo jeho prístup nefungoval, keď si zrazu uvedomil, že Kolyvagin-Flac prístup nebude fungovať, kým nezahrnie aj dôkaz proces Iwasawova teória, vďaka čomu to funguje.

Wiles požiadal 6. októbra troch kolegov (vrátane Faltinsa), aby zhodnotili jeho novú prácu a 24. októbra 1994 predložil dva rukopisy, „Moduárne eliptické krivky a Fermatova posledná veta“ a „Teoretické vlastnosti kruhu niektorých Heckeho algebier“. “, z ktorých druhý Wiles napísal spolu s Taylorom a tvrdil, že boli splnené určité podmienky potrebné na odôvodnenie opraveného kroku v hlavnom článku.

Tieto dva články boli recenzované a nakoniec publikované ako fulltextové vydanie v máji 1995 vo vydaní Annals of Mathematics. Andrewove nové výpočty boli široko analyzované a nakoniec prijaté vedeckou komunitou. Tieto práce vytvorili teorém modularity pre semistabilné eliptické krivky, posledný krok k preukázaniu Fermatovej poslednej vety, 358 rokov po jej vytvorení.

História Veľkého problému

Riešenie tejto vety sa po mnoho storočí považuje za najväčší problém v matematike. V roku 1816 a znova v roku 1850 Francúzska akadémia vied ponúkla cenu za všeobecný dôkaz poslednej Fermatovej vety. V roku 1857 akadémia udelila Kummerovi 3000 frankov a zlatú medailu za výskum ideálnych čísel, hoci sa o cenu neuchádzal. Ďalšiu cenu mu ponúkla v roku 1883 bruselská akadémia.

Wolfskehlovu cenu

V roku 1908 nemecký priemyselník a amatérsky matematik Paul Wolfskehl odkázal 100 000 zlatých mariek (na tú dobu veľká suma) Göttingenskej akadémii vied ako cenu za úplný dôkaz poslednej Fermatovej vety. 27. júna 1908 Akadémia zverejnila deväť pravidiel udeľovania cien. Tieto pravidlá okrem iného vyžadovali zverejnenie dôkazov v recenzovanom časopise. Cena mala byť udelená až dva roky po zverejnení. Súťaž mala vypršať 13. septembra 2007 – približne storočie po jej začatí. 27. júna 1997 dostal Wiles Wolfschelovu odmenu a potom ďalších 50 000 dolárov. V marci 2016 dostal od nórskej vlády 600 000 eur ako súčasť Abelovej ceny za „ohromujúci dôkaz poslednej Fermatovej vety pomocou predpokladu modularity pre semistabilné eliptické krivky, čím otvoril novú éru v teórii čísel“. Pre skromného Angličana to bol svetový triumf.

Pred Wilesovým dôkazom bola Fermatova veta, ako už bolo spomenuté, po stáročia považovaná za absolútne neriešiteľnú. Wolfskehlovmu výboru boli v rôznom čase predložené tisíce nesprávnych dôkazov, ktoré predstavovali približne 3 metre korešpondencie. Len v prvom roku existencie ceny (1907-1908) bolo podaných 621 žiadostí o vyriešenie vety, hoci do 70. rokov sa tento počet znížil na približne 3-4 žiadosti za mesiac. Podľa F. Schlichtinga, Wolfschelovho recenzenta, väčšina dôkazov bola založená na základných metódach vyučovaných na školách a často ich predkladali „ľudia s technickým vzdelaním, ale neúspešnou kariérou“. Podľa historika matematiky Howarda Avesa posledná Fermatova veta zaznamenala akýsi rekord – je to veta s najnesprávnejšími dôkazmi.

Fermatské vavríny išli Japoncom

Ako už bolo spomenuté, okolo roku 1955 japonskí matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama objavili možné spojenie medzi dvoma zjavne úplne odlišnými odvetviami matematiky – eliptickými krivkami a modulárnymi formami. Výsledná teoréma modularity (vtedy známa ako hypotéza Taniyama-Shimura) z ich výskumu uvádza, že každá eliptická krivka je modulárna, čo znamená, že môže byť spojená s jedinečnou modulárnou formou.

Táto teória bola spočiatku odmietnutá ako nepravdepodobná alebo vysoko špekulatívna, ale bola braná vážnejšie, keď teoretik čísel Andre Weyl našiel dôkazy na podporu japonských zistení. V dôsledku toho sa domnienka často nazývala domnienka Taniyama-Shimura-Weil. Stala sa súčasťou programu Langlands, čo je zoznam dôležitých hypotéz, ktoré si v budúcnosti vyžadujú dôkaz.

Dokonca aj po vážnej pozornosti moderný matematici tento dohad uznali za mimoriadne ťažké alebo možno nemožné dokázať. Teraz práve táto veta čaká na Andrewa Wilesa, ktorý by svojím riešením mohol prekvapiť celý svet.

Fermatova veta: Perelmanov dôkaz

Napriek populárnemu mýtu nemá ruský matematik Grigory Perelman pri všetkej svojej genialite nič spoločné s Fermatovou vetou. Čo však nijako neuberá na jeho početných službách vedeckej komunite.

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval geniálny francúzsky matematik Pierre Fermat, je vo svojej podstate veľmi jednoduchá a zrozumiteľná každému so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n = c na n nemá prirodzené (teda nie zlomkové) riešenia pre n > 2. Všetko sa zdá jednoduché a jasné, ale najlepší matematici aj obyčajní amatéri zápasili s hľadaním riešenia viac ako tri a pol storočia.

Prečo je taká slávna? Teraz zistíme...



Existuje veľa overených, neoverených a ešte neoverených teorémov? Ide o to, že Fermatova posledná veta predstavuje najväčší kontrast medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neskutočne ťažký problém a predsa jej formuláciu pochopí každý, kto má 5. ročník strednej školy, ale dôkazu nerozumie ani každý profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v matematike neexistuje jediný problém, ktorý by sa dal sformulovať tak jednoducho, no zostal tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho pozostáva?

Začnime pythagorejskými nohavicami Znenie je naozaj jednoduché – na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, „pytagorejské nohavice sú rovnaké na všetkých stranách“. Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom tvrdení, ktoré každý pozná – Pytagorovej vete: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec postavený na prepone rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.

V 5. storočí pred Kr. Pytagoras založil pytagorejské bratstvo. Pythagorejci okrem iného študovali celočíselné trojice spĺňajúce rovnosť x²+y²=z². Dokázali, že pytagorejských trojíc je nekonečne veľa a získali všeobecné vzorce na ich nájdenie. Pravdepodobne sa snažili hľadať C a vyššie stupne. Pytagorejci presvedčení, že to nefungovalo, zanechali svoje zbytočné pokusy. Členovia bratstva boli viac filozofi a estéti ako matematici.


To znamená, že je ľahké vybrať množinu čísel, ktoré dokonale spĺňajú rovnosť x²+y²=z²

Počnúc od 3, 4, 5 - skutočne, mladší študent chápe, že 9 + 16 = 25.

Alebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvelé.

A tak ďalej. Čo ak vezmeme podobnú rovnicu x³+y³=z³? Možno existujú aj také čísla?




A tak ďalej (obr. 1).

Takže sa ukazuje, že NIE. Tu začína trik. Jednoduchosť je zjavná, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak jeho neprítomnosť. Keď potrebujete dokázať, že existuje riešenie, môžete a mali by ste ho jednoducho predložiť.

Dokazovanie absencie je ťažšie: niekto napríklad hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenia. Dať ho do mláky? jednoduché: bam - a tu to je, riešenie! (dať riešenie). A to je všetko, súper je porazený. Ako dokázať absenciu?

Povedzte: „Nenašiel som také riešenia“? Alebo ste možno nevyzerali dobre? Čo ak existujú, len veľmi veľké, veľmi veľké, takže ani supervýkonný počítač stále nemá dostatok sily? Toto je ťažké.

Vizuálne to možno ukázať takto: ak vezmete dva štvorce vhodnej veľkosti a rozložíte ich na jednotkové štvorce, potom z tohto zväzku jednotkových štvorcov získate tretí štvorec (obr. 2):


Ale urobme to isté s tretím rozmerom (obr. 3) – nefunguje to. Nie je dostatok kociek alebo zostali ďalšie:





Ale francúzsky matematik Pierre de Fermat zo 17. storočia nadšene študoval všeobecnú rovnicu x n + y n = z n . A nakoniec som dospel k záveru: pre n>2 neexistujú celočíselné riešenia. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy horia! Zostáva iba jeho poznámka v Diophantus's Arithmetic: „Našiel som skutočne úžasný dôkaz tohto tvrdenia, ale okraje sú príliš úzke na to, aby ho obsiahli.

Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva hypotéza. Ale Fermat má povesť, že nikdy nerobí chyby. Ak aj nezanechal dôkaz o výpovedi, následne sa to potvrdilo. Navyše Fermat dokázal svoju tézu pre n=4. Tak sa hypotéza francúzskeho matematika zapísala do histórie ako Fermatova posledná veta.

Po Fermatovi pracovali také veľké mysle ako Leonhard Euler na hľadaní dôkazu (v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3),

Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Lamé (ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnohí ďalší. V polovici 80. rokov minulého storočia už bolo jasné, že vedecký svet je na ceste ku konečnému riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a verili, že tristoročná epos o hľadaní dôkazu Posledná Fermatova veta bola prakticky ukončená.

Ľahko sa ukáže, že stačí dokázať Fermatovu vetu len pre jednoduché n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pre kompozit n zostáva dôkaz platný. Ale prvočísel je nekonečne veľa...

V roku 1825 pomocou metódy Sophie Germainovej, matematičky, Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n=5. V roku 1839 tou istou metódou ukázal Francúz Gabriel Lame pravdivosť vety pre n=7. Postupne bola veta dokázaná pre takmer všetkých n menej ako sto.


Napokon, nemecký matematik Ernst Kummer v brilantnej štúdii ukázal, že teorém vo všeobecnosti nie je možné dokázať pomocou metód matematiky 19. storočia. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, zostala neudelená.

V roku 1907 sa bohatý nemecký priemyselník Paul Wolfskehl rozhodol vziať si život kvôli neopätovanej láske. Ako správny Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň urobil závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Veci sa skončili pred polnocou. Treba povedať, že Pavla zaujímala matematika. Keďže nemal nič iné na práci, odišiel do knižnice a začal čítať Kummerov slávny článok. Zrazu sa mu zdalo, že sa Kummer vo svojich úvahách pomýlil. Wolfskel začal túto časť článku analyzovať s ceruzkou v rukách. Polnoc prešla, prišlo ráno. Medzera v dôkaze bola vyplnená. A samotný dôvod samovraždy teraz vyzeral úplne smiešne. Paul roztrhal listy na rozlúčku a prepísal svoj testament.

Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dedičov to poriadne prekvapilo: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier šterlingov) bolo prevedených na účet Kráľovskej vedeckej spoločnosti v Göttingene, ktorá v tom istom roku vyhlásila súťaž o Wolfskehlovu cenu. Osoba, ktorá dokázala Fermatovu vetu, získala 100 000 bodov. Za vyvrátenie vety nebol udelený ani fenig...

Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazu Fermatovej poslednej vety za beznádejnú úlohu a rezolútne odmietli strácať čas takýmto zbytočným cvičením. Ale amatéri sa bavili. Niekoľko týždňov po oznámení zasiahla univerzitu v Göttingene lavína „dôkazov“. Profesor E.M. Landau, ktorého zodpovednosťou bolo analyzovať zaslané dôkazy, rozdal svojim študentom karty:


Drahá. . . . . . . .

Ďakujem, že ste mi poslali rukopis s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na strane ... v riadku... . Kvôli tomu stráca celý dôkaz svoju platnosť.
Profesor E. M. Landau











V roku 1963 Paul Cohen, opierajúc sa o Gödelove zistenia, dokázal neriešiteľnosť jedného z dvadsiatich troch Hilbertových problémov – hypotézy kontinua. Čo ak je nerozhodnuteľná aj Fermatova posledná veta?! Skutoční fanatici Veľkej vety však vôbec neboli sklamaní. Nástup počítačov zrazu dal matematikom novú metódu dokazovania. Po druhej svetovej vojne tímy programátorov a matematikov dokázali Fermatovu poslednú vetu pre všetky hodnoty n do 500, potom do 1 000 a neskôr do 10 000.

V 80. rokoch Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. rokoch matematici vyhlásili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty n až do 4 miliónov. Ale ak odpočítate čo i len bilión biliónov od nekonečna, nezmenší sa. Matematikov nepresvedčí štatistika. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať ju pre VŠETKÝCH n ísť do nekonečna.




V roku 1954 začali dvaja mladí japonskí priatelia matematici skúmať modulárne formy. Tieto formuláre generujú série čísel, z ktorých každé má svoj vlastný rad. Taniyama náhodou porovnal tieto série so sériami generovanými eliptickými rovnicami. Zhodovali sa! Ale modulárne formy sú geometrické objekty a eliptické rovnice sú algebraické. Medzi takými rozdielnymi objektmi sa nikdy nenašlo žiadne spojenie.

Po starostlivom testovaní však priatelia predložili hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojča - modulárnu formu a naopak. Bola to táto hypotéza, ktorá sa stala základom celého smeru v matematike, ale kým sa nepreukázala hypotéza Taniyama-Shimura, celá budova sa mohla kedykoľvek zrútiť.

V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, môže byť zahrnuté do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s domnienkou Taniyama-Shimura. Po preukázaní, že každá eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že neexistuje žiadna eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice a Fermatova posledná veta by bola okamžite dokázaná. Ale tridsať rokov nebolo možné dokázať hypotézu Taniyama-Shimura a nádej na úspech bola čoraz menšia.

V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa jej nemôže vzdať. Ako školák, študent a postgraduálny študent sa na túto úlohu pripravoval.

Keď sa Wiles dozvedel o zisteniach Kena Ribeta, vrhol sa strmhlav do dokazovania Taniyama-Shimurovej domnienky. Rozhodol sa pracovať v úplnej izolácii a utajení. "Uvedomil som si, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, vzbudzuje príliš veľký záujem... Príliš veľa divákov očividne zasahuje do dosiahnutia cieľa." Sedem rokov tvrdej práce sa vyplatilo;

V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu svoj dôkaz Fermatovej poslednej vety (Wiles čítal svoj senzačný článok na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), práca na ktorej trvala viac ako sedem rokov.







Zatiaľ čo humbuk v tlači pokračoval, začala sa vážna práca na overovaní dôkazov. Každý dôkaz musí byť dôkladne preskúmaný predtým, ako sa dôkaz môže považovať za prísny a presný. Wiles strávil nepokojné leto čakaním na spätnú väzbu od recenzentov v nádeji, že sa mu podarí získať ich súhlas. Koncom augusta znalci rozsudok zistili ako nedostatočne odôvodnený.

Ukázalo sa, že toto rozhodnutie obsahuje hrubú chybu, hoci vo všeobecnosti je správne. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc slávneho špecialistu na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a rozšírený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise „Annals of Mathematics“. Ani tam sa však príbeh neskončil – definitívny bod sa dosiahol až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.

„...pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som Nadyi odovzdal rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Wales). Ešte som nepovedal, že matematici sú zvláštni ľudia?






Tentoraz o dôkazoch nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najstarostlivejšej analýze a boli publikované v máji 1995 v Annals of Mathematics.

Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor, že Fermat’s Last Theorem je neriešiteľný. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom - málokto je spokojný s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie na 130 stranách!

Preto sa teraz úsilie mnohých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhá do hľadania jednoduchého a výstižného dôkazu, no táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nevedie...

Pre celé čísla n väčšie ako 2 nemá rovnica x n + y n = z n žiadne nenulové riešenia v prirodzených číslach.

Určite si pamätáte zo školských čias Pytagorova veta: Druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín nôh. Možno si pamätáte aj klasický pravouhlý trojuholník so stranami, ktorých dĺžky sú v pomere 3 : 4 : 5. Pytagorova veta preň vyzerá takto:

Toto je príklad riešenia zovšeobecnenej Pytagorovej rovnice v nenulových celých číslach s n= 2. Fermatova posledná veta (tiež nazývaná „Fermatova posledná veta“ a „Fermatova posledná veta“) je výrok, že pre hodnoty n> 2 rovnice tvaru x n + y n = z n nemajú žiadne nenulové riešenia v prirodzených číslach.

História Fermatovej poslednej vety je veľmi zaujímavá a poučná, a to nielen pre matematikov. Pierre de Fermat prispel k rozvoju rôznych oblastí matematiky, no hlavná časť jeho vedeckej pozostalosti bola publikovaná až posmrtne. Faktom je, že matematika bola pre Fermata niečo ako hobby a nie profesionálna práca. Korešpondoval s poprednými matematikmi svojej doby, ale neusiloval sa o publikovanie svojej práce. Fermatove vedecké spisy sa nachádzajú najmä vo forme súkromnej korešpondencie a útržkovitých poznámok, často napísaných na okrajoch rôznych kníh. Nachádza sa na okraji (druhého zväzku starogréckej „Aritmetiky“ Diofanta. - Poznámka prekladateľ) Krátko po smrti matematika potomkovia objavili formuláciu slávnej vety a doslovu:

« Našiel som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú na to príliš úzke».

Bohužiaľ, Fermat sa zrejme nikdy neobťažoval zapísať „zázračný dôkaz“, ktorý našiel, a potomkovia ho neúspešne hľadali viac ako tri storočia. Zo všetkého Fermatovho roztrúseného vedeckého dedičstva, ktoré obsahuje mnoho prekvapivých vyhlásení, to bola Veľká veta, ktorá tvrdošijne odmietala vyriešiť.

Kto sa pokúšal dokázať Fermatovu poslednú vetu, je márne! Ďalší veľký francúzsky matematik René Descartes (1596 – 1650) nazval Fermata „chvastúňom“ a anglický matematik John Wallis (1616 – 1703) ho nazval „prekliatym Francúzom“. Sám Fermat však pre tento prípad stále zanechal dôkaz svojej vety n= 4. S dôkazom pre n= 3 vyriešil veľký švajčiarsko-ruský matematik 18. storočia Leonhard Euler (1707 – 83), po ktorom nedokázal nájsť dôkazy pre n> 4, žartom navrhol, aby Fermatov dom prehľadali, aby našli kľúč k strateným dôkazom. V 19. storočí nové metódy v teórii čísel umožnili dokázať tvrdenie pre mnohé celé čísla do 200, ale opäť nie pre všetky.

V roku 1908 bola za vyriešenie tohto problému stanovená cena 100 000 nemeckých mariek. Výherný fond odkázal nemecký priemyselník Paul Wolfskehl, ktorý sa podľa legendy chystal spáchať samovraždu, no bol tak unesený Fermatovou poslednou vetou, že si umieranie rozmyslel. S príchodom sčítacích strojov a potom počítačov sa hodnota bar n začala stúpať stále vyššie - na 617 do začiatku druhej svetovej vojny, na 4001 v roku 1954, na 125 000 v roku 1976. Koncom 20. storočia boli najvýkonnejšie počítače vo vojenských laboratóriách v Los Alamos (Nové Mexiko, USA) naprogramované na riešenie Fermatovho problému na pozadí (podobne ako režim šetriča obrazovky osobného počítača). Bolo teda možné ukázať, že teorém platí pre neuveriteľne veľké hodnoty x, y, z A n, ale to nemôže slúžiť ako prísny dôkaz, pretože niektorá z nasledujúcich hodnôt n alebo trojice prirodzených čísel by mohli vyvrátiť vetu ako celok.

Napokon v roku 1994 anglický matematik Andrew John Wiles (nar. 1953), pôsobiaci v Princetone, publikoval dôkaz Fermatovej poslednej vety, ktorý bol po určitých úpravách považovaný za komplexný. Dôkaz zabral viac ako sto strán časopisu a bol založený na použití moderného aparátu vyššej matematiky, ktorý nebol vyvinutý vo Fermatovej ére. Čo teda Fermat myslel tým, že nechal na okraji knihy odkaz, že našiel dôkaz? Väčšina matematikov, s ktorými som hovoril na túto tému, poukázala na to, že v priebehu storočí bolo nesprávnych dôkazov Fermatovej poslednej vety viac než dosť a že s najväčšou pravdepodobnosťou sám Fermat našiel podobný dôkaz, ale nedokázal rozpoznať chybu. v ňom. Je však možné, že ešte stále existuje nejaký krátky a elegantný dôkaz Fermatovej poslednej vety, ktorý ešte nikto nenašiel. S istotou sa dá povedať len jedna vec: dnes s istotou vieme, že teorém je pravdivý. Myslím si, že väčšina matematikov by bezvýhradne súhlasila s Andrewom Wilesom, ktorý o svojom dôkaze poznamenal: „Teraz je moja myseľ konečne pokojná.“