Ak chcete vyriešiť príklady so zlomkami, musíte byť schopní nájsť najmenšieho spoločného menovateľa. Nižšie je podrobný návod.

Ako nájsť najnižšieho spoločného menovateľa - koncept

Najmenší spoločný menovateľ (LCD) jednoduchými slovami je minimálny počet, ktorý je deliteľný menovateľmi všetkých zlomkov daného príkladu. Inými slovami, nazýva sa to Least Common Multiple (LCM). NOZ sa používa len vtedy, ak sú menovatele zlomkov rozdielne.

Ako nájsť najmenšieho spoločného menovateľa - príklady

Uvažujme o príkladoch nájdenia NOZ.

Vypočítajte: 3/5 + 2/15.

Riešenie (Postupnosť akcií):

• Pozeráme sa na menovateľov zlomkov, dbáme na to, aby boli rôzne a výrazy boli čo najviac zredukované.
• Nájdeme najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 5 aj 15. Toto číslo bude 15. Teda 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Zistili sme menovateľa. Čo bude v čitateli? Dodatočný multiplikátor nám to pomôže zistiť. Doplnkovým faktorom je číslo získané vydelením NOZ menovateľom konkrétneho zlomku. Pre 3/5 je dodatočný faktor 3, pretože 15/5 = 3. Pre druhý zlomok je dodatočný faktor 1, pretože 15/15 = 1.
• Po zistení dodatočného faktora ho vynásobíme čitateľmi zlomkov a pripočítame výsledné hodnoty. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odpoveď: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Ak v príklade nie sú sčítané alebo odčítané 2, ale 3 a viac zlomkov, tak v NOZ treba hľadať toľko zlomkov, koľko je zadaných.

Vypočítajte: 1/2 - 5/12 + 3/6

Riešenie (postupnosť akcií):

• Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. Minimálne číslo deliteľné 2, 12 a 6 je 12.
• Získame: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Hľadáme ďalších násobiteľov. Pre 1/2 - 6; pre 5/12 - 1; na 3/6 - 2.
• Vynásobíme čitateľmi a priradíme zodpovedajúce znamienka: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Odpoveď: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Pri sčítavaní a odčítavaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi vedú najskôr zlomky k spoločný menovateľ. To znamená, že nájdu takého jediného menovateľa, ktorý sa vydelí pôvodným menovateľom každého algebraického zlomku, ktorý je súčasťou tohto výrazu.

Ako viete, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (alebo vydelia) rovnakým číslom iným ako nula, hodnota zlomku sa nezmení. Toto je hlavná vlastnosť zlomku. Preto, keď zlomky vedú k spoločnému menovateľovi, v skutočnosti sa pôvodný menovateľ každého zlomku vynásobí chýbajúcim faktorom na spoločného menovateľa. V tomto prípade je potrebné vynásobiť týmto faktorom a čitateľom zlomku (pre každý zlomok je iný).

Napríklad, ak vezmeme do úvahy nasledujúci súčet algebraických zlomkov:

Je potrebné výraz zjednodušiť, t. j. pridať dva algebraické zlomky. Na to je v prvom rade potrebné zredukovať členy-zlomky na spoločného menovateľa. Prvým krokom je nájsť jednočlen, ktorý je deliteľný 3x aj 2y. V tomto prípade je žiaduce, aby bol najmenší, t.j. nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) pre 3x a 2y.

Pre číselné koeficienty a premenné sa LCM vyhľadáva samostatne. LCM(3,2) = 6 a LCM(x, y) = xy. Ďalej sa nájdené hodnoty vynásobia: 6xy.

Teraz musíme určiť, akým faktorom musíme vynásobiť 3x, aby sme dostali 6xy:
6xy ÷ 3x = 2r

To znamená, že pri redukcii prvého algebraického zlomku na spoločného menovateľa treba jeho čitateľa vynásobiť 2y (menovateľ bol už vynásobený pri redukcii na spoločného menovateľa). Podobne sa hľadá faktor pre čitateľa druhého zlomku. Bude to rovné 3x.

Tak dostaneme:

Ďalej je už možné konať ako so zlomkami s rovnakými menovateľmi: čitatelia sa sčítajú a do menovateľa sa zapíše jeden spoločný:

Po transformáciách sa získa zjednodušený výraz, ktorým je jeden algebraický zlomok, ktorý je súčtom dvoch pôvodných:

Algebraické zlomky v pôvodnom výraze môžu obsahovať menovateľov, ktoré sú skôr polynómami než monočlenmi (ako vo vyššie uvedenom príklade). V tomto prípade pred nájdením spoločného menovateľa vynásobte menovateľov (ak je to možné). Ďalej sa spoločný menovateľ zhromažďuje z rôznych faktorov. Ak je faktor vo viacerých počiatočných menovateľoch, berie sa raz. Ak má faktor v pôvodných menovateľoch rôzne stupne, potom sa berie s väčším. Napríklad:

Tu možno polynóm a 2 - b 2 znázorniť ako súčin (a - b) (a + b). Faktor 2a – 2b sa rozšíri ako 2(a – b). Spoločný menovateľ sa teda bude rovnať 2 (a - b) (a + b).

Aby ste zlomky dostali k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, musíte: 1) nájsť najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov, bude to najmenší spoločný menovateľ. 2) nájdite pre každý zo zlomkov ďalší faktor, pre ktorý vydelíme nového menovateľa menovateľom každého zlomku. 3) vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku jeho dodatočným faktorom.

Príklady. Znížte nasledujúce zlomky na najnižšieho spoločného menovateľa.

Nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov: LCM(5; 4) = 20, keďže 20 je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 5 aj 4. Pre 1. zlomok nájdeme dodatočný faktor 4 (20 : 5 = 4). Pre druhý zlomok je dodatočný násobiteľ 5 (20 : 4 = 5). Čitateľ a menovateľ 1. zlomku vynásobíme 4 a čitateľ a menovateľ 2. zlomku 5. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenší spoločný menovateľ ( 20 ).

Najnižší spoločný menovateľ týchto zlomkov je 8, pretože 8 je deliteľné 4 a samo sebou. K 1. zlomku nebude dodatočný násobiteľ (alebo môžeme povedať, že sa rovná jednej), k 2. zlomku je dodatočný násobiteľ 2 (8 : 4=2). Čitateľ a menovateľ 2. zlomku vynásobíme 2. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenší spoločný menovateľ ( 8 ).

Tieto frakcie nie sú neredukovateľné.

Prvý zlomok znížime o 4 a druhý zlomok o 2. ( pozri príklady redukcie obyčajných zlomkov: Mapa stránok → 5.4.2. Príklady redukcie obyčajných zlomkov). Nájsť LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Dodatočný násobiteľ pre 1. zlomok je 5 (80 : 16 = 5). Dodatočný násobiteľ pre 2. zlomok je 4 (80 : 20 = 4). Čitateľ a menovateľ 1. zlomku vynásobíme 5 a čitateľ a menovateľ 2. zlomku 4. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenší spoločný menovateľ ( 80 ).

Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa NOC(5 ; 6 a 15) = LCM(5 ; 6 a 15) = 30. Dodatočný násobiteľ k prvému zlomku je 6 (30 : 5=6), dodatočný násobiteľ k 2. zlomku je 5 (30 : 6=5), dodatočný násobiteľ k tretiemu zlomku je 2 (30 : 15=2). Čitateľa a menovateľa 1. zlomku vynásobíme 6, čitateľa a menovateľa 2. zlomku 5, čitateľa a menovateľa 3. zlomku 2. Tieto zlomky sme zredukovali na najnižšieho spoločného menovateľa ( 30 ).

Strana 1 z 1 1

Menovateľom aritmetického zlomku a / b je číslo b, ktoré ukazuje veľkosť zlomkov jednotky, ktoré tvoria zlomok. Menovateľom algebraického zlomku A / B je algebraický výraz B. Ak chcete vykonávať aritmetické operácie so zlomkami, musia byť zredukované na najmenšieho spoločného menovateľa.

Budete potrebovať

• Na prácu s algebraickými zlomkami pri hľadaní najmenšieho spoločného menovateľa potrebujete poznať metódy faktorizácie polynómov.

Inštrukcia

Zvážte redukciu dvoch aritmetických zlomkov n/m a s/t na najmenšieho spoločného menovateľa, kde n, m, s, t sú celé čísla. Je jasné, že tieto dva zlomky možno redukovať na ľubovoľného menovateľa deliteľného m a t. Ale snažia sa doviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi. Rovná sa najmenšiemu spoločnému násobku menovateľov m a t daných zlomkov. Najmenší násobok (LCM) čísel je najmenší, ktorý je deliteľný všetkými danými číslami súčasne. Tie. v našom prípade je potrebné nájsť najmenší spoločný násobok čísel m a t. Označené ako LCM (m, t). Ďalej sa frakcie vynásobia zodpovedajúcimi: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa troch zlomkov: 4/5, 7/8, 11/14. Najprv rozvinieme menovateľov 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Ďalej vypočítame LCM (5, 8, 14), vynásobením všetkých čísel zahrnutých aspoň v jednom z rozšírení. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Všimnite si, že ak sa faktor vyskytuje v expanzii niekoľkých čísel (faktor 2 v expanzii menovateľov 8 a 14), potom vezmeme faktor do vyšší stupeň (v našom prípade 2^3).

Takže generál je prijatý. Rovná sa 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tu dostaneme čísla, ktorými sa musia vynásobiť zlomky so zodpovedajúcimi menovateľmi, aby sa dostali k najnižšiemu spoločnému menovateľovi. Získame 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Redukcia na najmenší spoločný menovateľ algebraických zlomkov sa vykonáva analogicky s aritmetikou. Pre jasnosť zvážte problém na príklade. Nech sú dané dva zlomky (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) a (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Rozložme oboch menovateľov na faktor. Všimnite si, že menovateľ prvého zlomku je dokonalý štvorec: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pre

V tejto lekcii sa pozrieme na redukciu zlomkov na spoločného menovateľa a na riešenie problémov na túto tému. Uveďme definíciu pojmu spoločného menovateľa a dodatočného faktora, pamätajte na spoločné čísla. Definujme pojem najmenší spoločný menovateľ (LCD) a vyriešme množstvo problémov na jeho nájdenie.

Téma: Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Lekcia: Redukovanie zlomkov na spoločného menovateľa

Opakovanie. Základná vlastnosť zlomku.

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým prirodzeným číslom, získa sa zlomok, ktorý sa mu rovná.

Čitateľ a menovateľ zlomku môžeme napríklad deliť 2. Dostaneme zlomok. Táto operácia sa nazýva redukcia frakcií. Spätnú transformáciu môžete vykonať aj vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku číslom 2. V tomto prípade hovoríme, že sme zlomok zredukovali na nového menovateľa. Číslo 2 sa nazýva dodatočný faktor.

Záver. Zlomok možno redukovať na ľubovoľného menovateľa, ktorý je násobkom menovateľa daného zlomku. Aby sa zlomok dostal do nového menovateľa, jeho čitateľ a menovateľ sa vynásobia dodatočným faktorom.

1. Zlomok uveďte do menovateľa 35.

Číslo 35 je násobkom 7, to znamená, že 35 je deliteľné 7 bezo zvyšku. Takže táto transformácia je možná. Poďme nájsť ďalší faktor. Aby sme to urobili, vydelíme 35 číslom 7. Dostaneme 5. Čitateľ a menovateľ pôvodného zlomku vynásobíme číslom 5.

2. Zlomok uveďte do menovateľa 18.

Poďme nájsť ďalší faktor. Aby sme to dosiahli, vydelíme nového menovateľa pôvodným. Dostaneme 3. Čitateľa a menovateľa tohto zlomku vynásobíme 3.

3. Zlomok uveďte do menovateľa 60.

Vydelením 60 číslom 15 dostaneme ďalší násobiteľ. Rovná sa 4. Vynásobme čitateľa a menovateľa 4.

4. Zlomok uveďte do menovateľa 24

V jednoduchých prípadoch sa redukcia na nového menovateľa vykonáva v mysli. Je zvykom uviesť dodatočný faktor za zátvorkou len trochu vpravo a nad pôvodný zlomok.

Zlomok možno zmenšiť na menovateľa 15 a zlomok zmenšiť na menovateľa 15. Zlomky majú spoločného menovateľa 15.

Spoločným menovateľom zlomkov môže byť akýkoľvek spoločný násobok ich menovateľov. Pre jednoduchosť sú zlomky redukované na najmenšieho spoločného menovateľa. Rovná sa najmenšiemu spoločnému násobku menovateľov daných zlomkov.

Príklad. Zredukujte na najmenší spoločný menovateľ zlomku a .

Najprv nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov. Toto číslo je 12. Nájdite ďalší faktor pre prvý a druhý zlomok. Aby sme to dosiahli, vydelíme 12 4 a 6. Tri je dodatočný faktor pre prvý zlomok a dva pre druhý. Zlomky privedieme do menovateľa 12.

Zlomky sme zredukovali na spoločného menovateľa, to znamená, že sme našli zlomky, ktoré sa im rovnajú a majú rovnakého menovateľa.

Pravidlo. Ak chcete zlomky priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi,

Najprv nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov, ktorý bude ich najmenším spoločným menovateľom;

Po druhé, vydeľte najmenší spoločný menovateľ menovateľmi týchto zlomkov, to znamená, že pre každý zlomok nájdite ďalší faktor.

Po tretie, vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku jeho dodatočným faktorom.

a) Redukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Najnižší spoločný menovateľ je 12. Dodatočný faktor pre prvý zlomok je 4, pre druhý - 3. Zlomky prinášame do menovateľa 24.

b) Zredukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Najnižší spoločný menovateľ je 45. Delením 45 číslom 9 číslom 15 dostaneme číslo 5, respektíve 3. Zlomky privedieme k menovateľovi 45.

c) Redukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Spoločným menovateľom je 24. Ďalšie faktory sú 2 a 3.

Niekedy je ťažké slovne nájsť najmenší spoločný násobok pre menovateľov daných zlomkov. Potom sa nájde spoločný menovateľ a ďalšie faktory započítaním do hlavných faktorov.

Znížte na spoločného menovateľa zlomku a .

Rozložme čísla 60 a 168 na prvočísla. Vypíšeme si rozšírenie čísla 60 a doplníme chýbajúce faktory 2 a 7 z druhého rozšírenia. Vynásobte číslo 60 číslom 14 a získajte spoločného menovateľa 840. Prídavný súčiniteľ pre prvý zlomok je 14. Prídavný súčiniteľ pre druhý zlomok je 5. Zmenšeme zlomky na spoločného menovateľa 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a iné.Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky 5.-6. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. a iné Matematika: Učebnica-hovorca pre 5. – 6. ročník strednej školy. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

Môžete si stiahnuť knihy uvedené v odseku 1.2. túto lekciu.

Domáca úloha

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a iné.Matematika 6. - M .: Mnemozina, 2012. (pozri link 1.2)

Domáca úloha: č.297, č.298, č.300.

Ďalšie úlohy: #270, #290