Veta. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.

Vezmite trojuholník ABC (obr. 208). Označme jej vnútorné uhly 1, 2 a 3. Dokážme to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Nakreslite cez nejaký vrchol trojuholníka, napríklad B, priamku MN rovnobežnú s AC.

Vo vrchole B sme dostali tri uhly: ∠4, ∠2 a ∠5. Ich súčet je priamy uhol, preto sa rovná 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ale ∠4 \u003d ∠1 sú vnútorné priečne ležiace uhly s rovnobežnými čiarami MN a AC a sečnicou AB.

∠5 = ∠3 sú vnútorné priečne ležiace uhly s rovnobežkami MN a AC a sečnou BC.

Preto ∠4 a ∠5 možno nahradiť ich rovnými ∠1 a ∠3.

Preto ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Veta bola dokázaná.

2. Vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka.

Veta. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.

V trojuholníku ABC (obr. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ale aj ∠BCD, je vonkajší uhol tohto trojuholníka, ktorý nesusedí s ∠1 a ∠2, tiež rovný 180° - ∠3.

Touto cestou:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Preto ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Odvodená vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka spresňuje obsah predtým dokázanej vety o vonkajšom uhle trojuholníka, v ktorej bolo uvedené len to, že vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako každý vnútorný uhol trojuholníka, ktorý je nesusedí s ním; teraz sa zistilo, že vonkajší uhol sa rovná súčtu oboch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.

3. Vlastnosť pravouhlého trojuholníka s uhlom 30°.

Veta. Rameno pravouhlého trojuholníka oproti uhlu 30° sa rovná polovici prepony.

Nech je uhol B rovný 30° v pravouhlom trojuholníku ACB (obr. 210). Potom bude jeho ďalší ostrý uhol 60°.

Dokážme, že noha AC sa rovná polovici prepony AB. Pokračujeme v nohe AC za vrchol pravého uhla C a dáme bokom úsek CM, ktorý sa rovná úseku AC. Bod M spojíme s bodom B. Výsledný trojuholník BCM sa rovná trojuholníku DIA. Vidíme, že každý uhol trojuholníka AVM sa rovná 60°, preto je tento trojuholník rovnostranný.

Úsek AC sa rovná polovici AM a keďže úsek AM sa rovná AB, úsek AC sa bude rovnať polovici prepony AB.

1) Súčet uhlov trojuholníka je 180°.

Dôkaz

Nech ABC" je ľubovoľný trojuholník. Vedieme čiaru cez vrchol B rovnobežnú s priamkou AC (takúto priamku nazývame euklidovská čiara). Označte na nej bod D tak, aby body A a D ležali na opačných stranách. priamky BC. Uhly DBC a ACB sú rovnaké ako vnútorné ležiace naprieč, ktoré tvoria sečna BC s rovnobežnými priamkami AC a BD. Preto sa súčet uhlov trojuholníka vo vrcholoch B a C rovná uhlu ABD. Súčet všetkých troch uhlov trojuholníka sa rovná súčtu uhlov ABD a BAC Keďže tieto uhly sú pre rovnobežky AC a BD na sečne AB vnútorné jednostranné, potom sa ich súčet rovná 180° Veta je dokázal.
2) Vonkajší uhol trojuholníka v danom vrchole je uhol susediaci s uhlom trojuholníka v tomto vrchole.

Veta: Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia

Dôkaz. Nech ABC je daný trojuholník. Podľa vety o súčte uhlov v trojuholníku
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180º.
to znamená
∠ ABC + ∠ CAB = 180º - ∠ BCA = ∠ BCD
Veta bola dokázaná.

Z vety vyplýva:
Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako ktorýkoľvek uhol trojuholníka, ktorý s ním nesusedí.
3) Súčet uhlov trojuholníka = 180 stupňov. Ak je jeden z uhlov priamka (90 stupňov), ďalšie dva tiež predstavujú 90, čo znamená, že každý z nich je menší ako 90, to znamená, že sú ostré. ak je jeden z uhlov tupý, potom ostatné dva majú menej ako 90, to znamená, že sú zreteľne ostré.
4) tupý - väčší ako 90 stupňov
akútne - menej ako 90 stupňov
5) a. Trojuholník s jedným z uhlov rovným 90 stupňom.
b. Nohy a hypotenzia
6) 6°. V každom trojuholníku leží väčší uhol oproti väčšej strane a naopak: väčšia strana leží oproti väčšiemu uhlu. Každý segment má jeden a iba jeden stred.
7) Podľa Pytagorovej vety: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh, čo znamená, že prepona je väčšia ako každá prepona.
8) --- to isté ako 7
9) Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov. a ak by každá strana trojuholníka bola väčšia ako súčet ostatných dvoch strán, potom by súčet uhlov bol väčší ako 180, čo je nemožné. teda - každá strana trojuholníka je menšia ako súčet ostatných dvoch strán.
10) Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180 stupňov.
Keďže tento trojuholník je pravouhlý, jeden z jeho uhlov je pravý, to znamená, že sa rovná 90 stupňom.
Preto súčet ďalších dvoch ostrých uhlov je 180-90=90 stupňov.
11) 1. Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC, v ktorom je uhol A pravý uhol, uhol B \u003d 30 stupňov a uhol C \u003d 60. Rovnaký trojuholník ABD aplikujme na trojuholník ABC. Dostaneme trojuholníky BCD, v ktorých uhol B = uhol D = 60 stupňov, teda DC = BC. Ale stavbou AC 1/2 pred Kr., čo sa malo dokázať.2. Ak sa rameno pravouhlého trojuholníka rovná polovici prepony, potom uhol ležiaci oproti tomuto ramenu je 30 stupňov. Aplikujme na trojuholník ABC jeho rovnaký trojuholník ABD. Získajte rovnostranný trojuholník BCD. Uhly rovnostranného trojuholníka sú si navzájom rovné (keďže rovnaké uhly ležia na rovnakých stranách), takže každý z nich = 60 stupňov. Ale uhol DBC = 2 uhly ABC, teda uhol ABC = 30 stupňov, ktorý bolo potrebné dokázať.

>>Geometria: Súčet uhlov trojuholníka. Kompletné lekcie

TÉMA LEKCIE: Súčet uhlov trojuholníka.

Ciele lekcie:

• Upevnenie a preverenie vedomostí žiakov na tému: "Súčet uhlov trojuholníka";
• Dôkaz vlastností uhlov trojuholníka;
• Využitie tejto vlastnosti pri riešení najjednoduchších problémov;
• Využitie historického materiálu na rozvoj kognitívnej činnosti žiakov;
• Vštepovanie zručnosti presnosti pri konštrukcii výkresov.

Ciele lekcie:

• Skontrolujte schopnosť študentov riešiť problémy.

Plán lekcie:

1. Trojuholník;
2. Veta o súčte uhlov trojuholníka;
3. Príklad úlohy.

Trojuholník.

Súbor:O.gif Trojuholník- najjednoduchší mnohouholník, ktorý má 3 vrcholy (rohy) a 3 strany; časť roviny ohraničená tromi bodmi a tromi úsečkami spájajúcimi tieto body v pároch.
Tri body v priestore, ktoré neležia na jednej priamke, zodpovedajú len jednej rovine.
Akýkoľvek mnohouholník možno rozdeliť na trojuholníky - tento proces sa nazýva triangulácia.
Existuje časť matematiky venovaná výlučne štúdiu vzorov trojuholníkov - Trigonometria.

Veta o súčte uhlov trojuholníka.

Súbor:T.gif Veta o súčte uhlov trojuholníka je klasická veta v euklidovskej geometrii, ktorá hovorí, že súčet uhlov trojuholníka je 180°.

dôkaz" :

Nech je dané Δ ABC. Vedieme cez vrchol B priamku rovnobežnú s (AC) a označme na nej bod D tak, aby body A a D ležali na opačných stranách priamky BC. Potom sú uhol (DBC) a uhol (ACB) rovnaké ako vnútorné kríže ležiace na rovnobežných čiarach BD a AC a sečne (BC). Potom sa súčet uhlov trojuholníka vo vrcholoch B a C rovná uhlu (ABD). Ale uhol (ABD) a uhol (BAC) vo vrchole A trojuholníka ABC sú vnútorné jednostranné s rovnobežkami BD a AC a sečnicou (AB) a ich súčet je 180°. Preto je súčet uhlov trojuholníka 180°. Veta bola dokázaná.

Dôsledky.

Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia.

dôkaz:

Nech je dané Δ ABC. Bod D leží na priamke AC tak, že A leží medzi C a D. Potom BAD je vonkajší voči uhlu trojuholníka pri vrchole A a A + BAD = 180°. Ale A + B + C = 180°, a teda B + C = 180° – A. Preto ZLE = B + C. Dôsledok je dokázaný.

Dôsledky.

Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako ktorýkoľvek uhol trojuholníka, ktorý s ním nesusedí.

Úloha.

Vonkajší uhol trojuholníka je uhol susediaci s ktorýmkoľvek uhlom tohto trojuholníka. Dokážte, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré k nemu nepriliehajú.
(Obr.1)

Riešenie:

Nech je v Δ ABC ∠DAC externý (obr.1). Potom ∠DAC=180°-∠BAC (podľa vlastnosti susedných uhlov), podľa vety o súčte uhlov trojuholníka ∠B+∠C =180°-∠BAC. Z týchto rovníc dostaneme ∠DAC=∠B+∠C

Zaujímavý fakt:

Súčet uhlov trojuholníka :

V Lobačevského geometrii je súčet uhlov trojuholníka vždy menší ako 180. V Euklidovej geometrii je vždy rovný 180. V Riemannovej geometrii je súčet uhlov trojuholníka vždy väčší ako 180.

Z histórie matematiky:

Euclid (III. storočie pred naším letopočtom) v diele „Začiatky“ uvádza nasledujúcu definíciu: „Paralelné sú priame čiary, ktoré sú v rovnakej rovine a sú predĺžené na neurčito v oboch smeroch a nestretávajú sa na žiadnej strane“ .
Posidonius (1. storočie pred Kristom) „Dve rovné čiary ležiace v rovnakej rovine, rovnako vzdialené od seba“
Staroveký grécky vedec Pappus (III. storočie pred Kristom) zaviedol symbol rovnobežných línií - znak =. Následne anglický ekonóm Ricardo (1720-1823) použil tento symbol ako znak rovnosti.
Až v 18. storočí začali používať symbol rovnobežných čiar – znak ||.
Živé spojenie medzi generáciami sa ani na chvíľu nepreruší, každý deň sa dozvedáme skúsenosti, ktoré nazbierali naši predkovia. Starí Gréci na základe pozorovaní a praktických skúseností vyvodzovali závery, vyslovovali hypotézy a následne sa na stretnutiach vedcov – sympóziách (doslova „hostina“) snažili tieto hypotézy podložiť a dokázať. Vtedy vznikol výrok: „Pravda sa rodí v spore“.

otázky:

1. čo je trojuholník?
2. Čo hovorí veta o súčte trojuholníka?
3. Aký je vonkajší uhol trojuholníka?

Skutočnosť, že „súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka v euklidovskej geometrii je 180 stupňov“, si možno ľahko zapamätať. Ak zapamätanie nie je ľahké, môžete vykonať niekoľko experimentov na lepšie zapamätanie.

Experiment jeden

Nakreslite ľubovoľné trojuholníky na kus papiera, napríklad:

• s ľubovoľnými stranami;
• rovnoramenný trojuholník;
• správny trojuholník.

Uistite sa, že používate linku. Teraz musíte vystrihnúť výsledné trojuholníky a urobiť to presne pozdĺž nakreslených čiar. Vyfarbite rohy každého trojuholníka farebnou ceruzkou alebo fixkou. Napríklad v prvom trojuholníku budú všetky rohy červené, v druhom - modré, tretie - zelené. http://bit.ly/2gY4Yfz

Z prvého trojuholníka odrežte všetky 3 rohy a spojte ich v jednom bode s vrcholmi tak, aby boli najbližšie strany každého rohu spojené. Ako vidíte, tri uhly trojuholníka tvorili priamy uhol, ktorý sa rovná 180 stupňom. Urobte to isté s ďalšími dvoma trojuholníkmi - výsledok bude rovnaký. http://bit.ly/2zurCrd

Experiment dva

Nakreslíme ľubovoľný trojuholník ABC. Vyberieme ľubovoľný vrchol (napríklad C) a nakreslíme ním priamku DE rovnobežnú s opačnou stranou (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Získame nasledovné:

1. Uhly BAC a ACD sú rovnaké, pretože sú vnútorne prekrížené vzhľadom na AC;
2. Uhly ABC a BCE sú rovnaké, pretože sú vnútorne prekrížené vzhľadom na BC;
3. Vidíme, že uhly 1, 2 a 3 - uhly trojuholníka, spojené v jednom bode, vytvorili rozvinutý uhol DCE, ktorý sa rovná 180 stupňom.

Veta o súčte trojuholníka hovorí, že súčet všetkých vnútorných uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180°.

Nech sú vnútorné uhly trojuholníka a, b a c, potom:

a + b + c = 180°.

Z tejto teórie môžeme vyvodiť záver, že súčet všetkých vonkajších uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 360 ​​°. Keďže vonkajší uhol susedí s vnútorným uhlom, ich súčet je 180°. Nech sú vnútorné uhly trojuholníka a, b a c, potom vonkajšie uhly v týchto uhloch sú 180° - a, 180° - b a 180° - c.

Nájdite súčet vonkajších uhlov trojuholníka:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Odpoveď: súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°; súčet vonkajších uhlov trojuholníka je 360°.

„Povedz mi a ja zabudnem
Ukáž mi a ja si zapamätám
Zapoj ma a ja sa to naučím"
východné príslovie

Cieľ: Dokázať vetu o súčte uhlov trojuholníka, precvičiť si riešenie úloh pomocou tejto vety, rozvíjať kognitívnu činnosť žiakov pomocou doplnkového materiálu z rôznych zdrojov, kultivovať schopnosť počúvať druhých.

Vybavenie: Uhlomer, pravítko, trojuholníkové vzory, náladový pásik.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment.

Označte na páske nálady svoj stav na začiatku hodiny.

2. Opakovanie.

Zopakujte si pojmy, ktoré budú použité pri dôkaze vety: vlastnosti uhlov s rovnobežkami, definícia priameho uhla, miera priameho uhla.

3. Nový materiál.

3.1. Praktická práca.

Každý študent má tri modely trojuholníka: ostrý, obdĺžnikový a tupý. Navrhuje sa zmerať uhly trojuholníka a nájsť ich súčet. Analyzujte výsledok. Môžete získať hodnoty ​​177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 stupňov. Vypočítajte aritmetický priemer (=180°) Navrhuje sa zapamätať si, kedy majú uhly mieru stupňov 180 stupňov. Žiaci si zapamätajú, že ide o priamy uhol a súčet jednostranných uhlov.

Pokúsme sa získať súčet uhlov trojuholníka pomocou origami.

Odkaz na históriu

Origami (japonsky, lit.: „zložený papier“) je staré umenie skladania papierových figúrok. Umenie origami má svoje korene v starovekej Číne, kde bol objavený papier.

3.2. Dôkaz vety z učebnice L.S. Atanasjana.

Veta o súčte uhlov trojuholníka.

Dokážme jednu z najdôležitejších teorém geometrie – vetu o súčte uhlov trojuholníka.

Veta. Súčet uhlov trojuholníka je 180°.

Dôkaz. Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC a dokážte, že A + B + C= 180°.

Vedieme priamku a cez vrchol B rovnobežnú so stranou AC. Uhly 1 a 4 sú priečne ležiace uhly v priesečníku rovnobežiek a a AC sečnicou AB a uhly 3 a 5 sú priečne ležiace uhly v priesečníku tých istých rovnobežiek sečnicou BC. Takže uhol 4 sa rovná uhlu 1, uhol 5 sa rovná uhlu 3.

Je zrejmé, že súčet uhlov 4, 2 a 5 sa rovná uhlu s vrcholom B, t.j. uhol 4 + uhol 2 + uhol 5 = 180°. Odtiaľ, berúc do úvahy predchádzajúce rovnosti, dostaneme: uhol 1 + uhol 2+ uhol 3= 180°, alebo A + B+ C=180°. Veta bola dokázaná.

3.3. Dôkaz vety z učebnice A. V. Pogorelova

Dôkaz: A + B + C = 180°

dôkaz:

1. Nakreslite cez vrchol B čiaru BD // AC

2. DBC=ACB, ležiace priečne na AC//BD a sečne BC.

3.ABD=ACB+CBD

Preto A + B + C = ABD + BAC

4. ABD a BAC sú jednostranné s BD // AC a sečnicou AB, takže ich súčet sa rovná 180 °, t.j. А+B + C=180 ° , čo sa malo dokázať.

3. 4. Dôkaz vety z učebnice Kiselev A.N., Rybkina N.A.

Vzhľadom na to: ABC

dokázať: A+B+C=180°

dôkaz:

1. Pokračujeme stranou AC. Vykonáme CE//AB

2. A \u003d ESD, ako zodpovedá AB / / CE a AD - sečna

3. B \u003d ALL, ako keby ležali krížom-krážom s AB / / CE a BC - sečna.

4. ESD + ALL + C \u003d 180 °, takže A + B + C \u003d 180 °, čo bolo potrebné preukázať.

3.5. Dôsledky 1. V akomkoľvek trojuholníku sú všetky uhly ostré, alebo dva uhly sú ostré a tretí je tupý alebo pravý.

Dôsledok 2.

Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu ostatných dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia.

3.6. Veta nám umožňuje klasifikovať trojuholníky nielen podľa strán, ale aj podľa uhlov.

Trojuholníkový pohľad	Rovnoramenné	Rovnostranný	Všestranný
pravouhlý
tupý
ostrý uhlový

4. Upevnenie.

4.1. Riešenie úloh podľa hotových výkresov.

Nájdite neznáme uhly trojuholníka.

4.2. Kontrola vedomostí.

1. Na konci našej lekcie odpovedzte na otázky:

Existujú trojuholníky s rohmi:

a) 30, 60, 90 stupňov,

b) 46, 4, 140 stupňov,

c) 56, 46, 72 stupňov?

2. Môže byť v trojuholníku:

a) dva tupé uhly

b) tupé a pravé uhly,

c) dva pravé uhly?

3. Určte typ trojuholníka, ak jeden uhol má 45 stupňov, druhý 90 stupňov.

4. V ktorom trojuholníku je súčet uhlov väčší: v ostrom, tupom alebo pravouhlom trojuholníku?

5. Je možné zmerať uhly akéhokoľvek trojuholníka?

Toto je vtipná otázka, pretože existuje Bermudský trojuholník, ktorý sa nachádza v Atlantickom oceáne medzi Bermudami, štátom Portoriko a polostrovom Florida, pre ktorý nie je možné merať uhly. (Príloha 1)

5. Výsledok hodiny.

Na konci hodiny si označte svoj stav na páske nálady.

Domáca úloha.

S. 30–31; č. 223 a, b; č. 227a; zošit č.116,118.