Je zrejmé, že čísla s mocninami možno pridávať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.
Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.
Šance rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.
Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.
Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.
Ale stupne rôzne premenné a rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať tak, že ich pridáte k svojim znakom.
Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .
Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.
Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.
alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Násobenie moci
Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšete za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.
Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.
alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.
Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .
Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.
Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.
Takže a n .a m = a m+n .
Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;
A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;
Preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním exponentov.
Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú - negatívne.
1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn
Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.
Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.
Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.
Rozdelenie právomocí
Čísla s mocninami možno deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením v tvare zlomku.
Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .
alebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.
Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..
Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.
A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, že $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac(1)(aaaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.
Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami
1. Znížte exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpoveď: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Znížte exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpoveď: $\frac(2x)(1)$ alebo 2x.
3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.
4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.
5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).
7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.
8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.
9. Delenie (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.
) a menovateľ menovateľom (dostaneme menovateľa súčinu).
Vzorec na násobenie zlomkov:
Napríklad:
Pred pristúpením k násobeniu čitateľov a menovateľov je potrebné skontrolovať možnosť zníženia zlomkov. Ak sa vám podarí zlomok znížiť, bude pre vás jednoduchšie pokračovať vo výpočtoch.
Delenie obyčajného zlomku zlomkom.
Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené číslo.
Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako v prípade sčítania prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:
Násobenie zmiešaných frakcií.
Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):
- previesť zmiešané frakcie na nesprávne;
- vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov;
- znížime zlomok;
- ak dostaneme nevlastný zlomok, tak premeníme nevlastný zlomok na zmiešaný.
Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr uviesť do tvaru nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.
Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.
Výhodnejšie je použiť druhú metódu násobenia obyčajného zlomku číslom.
Poznámka! Na vynásobenie zlomku prirodzeným číslom je potrebné vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a ponechať čitateľa nezmenený.
Z uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť vtedy, keď je menovateľ zlomku bezo zvyšku delený prirodzeným číslom.
Viacúrovňové zlomky.
Na strednej škole sa často nachádzajú trojposchodové (alebo viac) zlomky. Príklad:
Aby sa takýto zlomok dostal do jeho obvyklej podoby, používa sa rozdelenie na 2 body:
Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.
Poznámka, napríklad:
Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:
Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Je lepšie zapísať si do návrhu pár riadkov navyše, ako sa zmiasť vo výpočtoch v hlave.
2. V úlohách s rôznymi druhmi zlomkov – prejdite na typ obyčajných zlomkov.
3. Všetky frakcie redukujeme, až kým to už nie je možné.
4. Viacúrovňové zlomkové výrazy prenesieme na bežné, pomocou delenia cez 2 body.
5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.
V minulej lekcii sme sa naučili sčítať a odčítať desatinné zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov“). Zároveň odhadli, o koľko sú výpočty zjednodušené v porovnaní s bežnými „dvojposchodovými“ zlomkami.
Žiaľ, pri násobení a delení desatinných zlomkov tento efekt nenastáva. V niektorých prípadoch desiatkový zápis dokonca tieto operácie komplikuje.
Najprv si predstavme novú definíciu. Stretneme sa s ním pomerne často a nielen v tejto lekcii.
Významnou časťou čísla je všetko medzi prvou a poslednou nenulovou číslicou vrátane upútavok. Hovoríme len o číslach, desatinná čiarka sa neberie do úvahy.
Číslice obsiahnuté vo významnej časti čísla sa nazývajú platné číslice. Môžu sa opakovať a dokonca sa rovnať nule.
Zvážte napríklad niekoľko desatinných zlomkov a zapíšte im zodpovedajúce významné časti:
- 91,25 → 9125 (významné čísla: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (významné čísla: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (významné čísla: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (významné čísla: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (existuje len jeden platný údaj: 3).
Upozornenie: nuly vo vnútri významnej časti čísla nikam nevedú. S niečím podobným sme sa už stretli, keď sme sa učili prevádzať desatinné zlomky na obyčajné (pozri lekciu “ Desatinné zlomky”).
Tento bod je taký dôležitý a chyby sa tu robia tak často, že v blízkej budúcnosti zverejním test na túto tému. Určite cvičte! A my, vyzbrojení konceptom významnej časti, v skutočnosti pristúpime k téme hodiny.
Desatinné násobenie
Operácia násobenia pozostáva z troch po sebe nasledujúcich krokov:
- Pre každý zlomok zapíšte významnú časť. Získate dve obyčajné celé čísla - bez menovateľov a desatinných čiarok;
- Vynásobte tieto čísla akýmkoľvek vhodným spôsobom. Priamo, ak sú čísla malé, alebo v stĺpci. Získame významnú časť požadovaného zlomku;
- Zistite, kde a o koľko číslic je posunutá desatinná čiarka v pôvodných zlomkoch, aby ste získali zodpovedajúcu významnú časť. Vykonajte spätné posuny na významnej časti získanej v predchádzajúcom kroku.
Ešte raz pripomeniem, že nuly po stranách významnej časti sa nikdy neberú do úvahy. Ignorovanie tohto pravidla vedie k chybám.
- 0,28 ± 12,5;
- 6,3 1,08;
- 132,5 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 10 000.
Pracujeme s prvým výrazom: 0,28 12,5.
- Vypíšme významné časti pre čísla z tohto výrazu: 28 a 125;
- Ich súčin: 28 125 = 3500;
- V prvom multiplikátore sa desatinná čiarka posunie o 2 číslice doprava (0,28 → 28) a v druhom o ďalšiu 1 číslicu. Celkovo je potrebný posun doľava o tri číslice: 3 500 → 3 500 = 3,5.
Teraz sa poďme zaoberať výrazom 6.3 1.08.
- Vypíšme podstatné časti: 63 a 108;
- Ich súčin: 63 108 = 6804;
- Opäť dva posuny doprava: o 2 a 1 číslicu. Celkovo - opäť 3 číslice doprava, takže spätný posun bude 3 číslice doľava: 6804 → 6.804. Tentoraz na konci nie sú žiadne nuly.
Dostali sme sa k tretiemu výrazu: 132,5 0,0034.
- Významné časti: 1325 a 34;
- Ich súčin: 1325 34 = 45 050;
- V prvom zlomku sa desatinná čiarka posúva doprava o 1 číslicu a v druhom až o 4. Celkom: 5 doprava. Vykonávame posun o 5 doľava: 45050 → ,45050 = 0,4505. Nula bola na konci odstránená a pridaná dopredu, aby nezostala „holá“ desatinná čiarka.
Nasledujúci výraz: 0,0108 1600,5.
- Píšeme významné časti: 108 a 16 005;
- Vynásobíme ich: 108 16 005 = 1 728 540;
- Počítame čísla za desatinnou čiarkou: v prvom čísle sú 4, v druhom - 1. Celkovo - opäť 5. Máme: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na konci bola „extra“ nula odstránená.
Nakoniec posledný výraz: 5,25 10 000.
- Významné časti: 525 a 1;
- Vynásobíme ich: 525 1 = 525;
- Prvý zlomok je posunutý o 2 číslice doprava a druhý zlomok je posunutý o 4 číslice doľava (10 000 → 1 0000 = 1). Celkom 4 − 2 = 2 číslice vľavo. Prevedieme spätný posun o 2 číslice doprava: 525, → 52 500 (museli sme pridať nuly).
Venujte pozornosť poslednému príkladu: keďže sa desatinná čiarka pohybuje rôznymi smermi, celkový posun je cez rozdiel. Toto je veľmi dôležitý bod! Tu je ďalší príklad:
Zoberme si čísla 1,5 a 12 500. Máme: 1,5 → 15 (posun o 1 doprava); 12 500 → 125 (posun 2 doľava). „Vykročíme“ o 1 číslicu doprava a potom o 2 číslice doľava. V dôsledku toho sme ustúpili 2 − 1 = 1 číslica doľava.
Desatinné delenie
Rozdelenie je možno najťažšia operácia. Samozrejme, tu môžete konať analogicky s násobením: rozdeliť významné časti a potom „presunúť“ desatinnú čiarku. Ale v tomto prípade existuje veľa jemností, ktoré negujú potenciálne úspory.
Pozrime sa teda na generický algoritmus, ktorý je o niečo dlhší, ale oveľa spoľahlivejší:
- Preveďte všetky desatinné miesta na bežné zlomky. S trochou cviku vám tento krok zaberie pár sekúnd;
- Výsledné zlomky rozdeľte klasickým spôsobom. Inými slovami, vynásobte prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou (pozri lekciu „Násobenie a delenie číselných zlomkov“);
- Ak je to možné, vráťte výsledok ako desatinné číslo. Aj tento krok je rýchly, pretože často má menovateľ už mocninu desať.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Berieme do úvahy prvý výraz. Najprv preveďme zlomky obi na desatinné miesta:
To isté urobíme s druhým výrazom. Čitateľ prvého zlomku sa opäť rozloží na faktory:
V treťom a štvrtom príklade je dôležitý bod: po zbavení sa desatinného zápisu sa objavia zrušiteľné zlomky. Toto zníženie však nevykonáme.
Posledný príklad je zaujímavý, pretože čitateľ druhého zlomku je prvočíslo. Tu jednoducho nie je čo faktorizovať, takže to považujeme za „prázdne“:
Niekedy výsledkom delenia je celé číslo (hovorím o poslednom príklade). V tomto prípade sa tretí krok vôbec nevykoná.
Okrem toho sa pri delení často objavujú „škaredé“ zlomky, ktoré sa nedajú previesť na desatinné miesta. Tu sa delenie líši od násobenia, kde sú výsledky vždy vyjadrené v desatinnej forme. Samozrejme, v tomto prípade sa posledný krok opäť nevykoná.
Venujte pozornosť aj 3. a 4. príkladu. V nich zámerne neredukujeme obyčajné zlomky získané z desatinných miest. V opačnom prípade to skomplikuje inverzný problém - predstavuje konečnú odpoveď opäť v desiatkovej forme.
Pamätajte: základná vlastnosť zlomku (ako každé iné pravidlo v matematike) sama o sebe neznamená, že sa musí aplikovať všade a vždy, pri každej príležitosti.
Príklad.
Nájdite súčin algebraických zlomkov a.
Riešenie.
Pred vykonaním násobenia zlomkov rozkladáme polynóm na faktor v čitateli prvého zlomku a menovateli druhého. Pomôžu nám k tomu zodpovedajúce skrátené vzorce násobenia: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 a x 2 −1=(x−1) (x+1) . Touto cestou, .
Je zrejmé, že výsledná frakcia sa môže znížiť 
(o tomto procese sme hovorili v článku o redukcii algebraických zlomkov).
Zostáva len zapísať výsledok vo forme algebraického zlomku, pre ktorý musíte vynásobiť monomiál polynómom v menovateli: 
.
Zvyčajne je riešenie napísané bez vysvetlenia ako postupnosť rovnosti: 
odpoveď:
.
Niekedy pri algebraických zlomkoch, ktoré je potrebné násobiť alebo deliť, by sa mali vykonať niektoré transformácie, aby bola implementácia týchto operácií jednoduchšia a rýchlejšia.
Príklad.
Rozdeľte algebraický zlomok zlomkom.
Riešenie.
Zjednodušme tvar algebraického zlomku tým, že sa zbavíme zlomkového koeficientu. Aby sme to dosiahli, vynásobíme jeho čitateľa a menovateľa číslom 7, čo nám umožňuje urobiť hlavnú vlastnosť algebraického zlomku, 
.
Teraz sa ukázalo, že menovateľ výsledného zlomku a menovateľ zlomku, ktorým musíme deliť, sú opačné výrazy. Zmeňte znamienka čitateľa a menovateľa zlomku , máme 
.
Čistá matematika je svojím spôsobom poézia logickej myšlienky. Albert Einstein
V tomto článku vám ponúkame výber jednoduchých matematických trikov, z ktorých mnohé sú v živote celkom relevantné a umožňujú vám rýchlejšie počítať.
1. Rýchly výpočet úrokov
Možno, že v ére pôžičiek a splátok možno najdôležitejšiu matematickú zručnosť nazvať virtuóznym mentálnym prepočtom úrokov. Najrýchlejší spôsob, ako vypočítať určité percento z čísla, je vynásobiť dané percento týmto číslom a následne zahodiť posledné dve číslice vo výslednom výsledku, pretože percento nie je nič iné ako jedna stotina.
Koľko je 20 % zo 70? 70 × 20 = 1400. Dve číslice vyhodíme a dostaneme 14. Keď preusporiadate faktory, súčin sa nezmení a ak sa pokúsite vypočítať 70 % z 20, odpoveď bude tiež 14.
Táto metóda je veľmi jednoduchá v prípade okrúhlych čísel, ale čo ak potrebujete vypočítať napríklad percento z čísla 72 alebo 29? V takejto situácii budete musieť obetovať presnosť kvôli rýchlosti a zaokrúhliť číslo (v našom príklade je 72 zaokrúhlené na 70 a 29 na 30) a potom použiť rovnaký trik s vynásobením a vyradením posledného čísla. dve číslice.
2. Rýchla kontrola deliteľnosti
Dá sa 408 cukríkov rozdeliť rovným dielom medzi 12 detí? Je ľahké odpovedať na túto otázku bez pomoci kalkulačky, ak si spomenieme na jednoduché znaky deliteľnosti, ktoré nás učili v škole.
- Číslo je deliteľné 2, ak je jeho posledná číslica deliteľná 2.
- Číslo je deliteľné 3, ak súčet číslic, ktoré tvoria číslo, je deliteľný 3. Napríklad, vezmite si číslo 501, reprezentujte ho ako 5 + 0 + 1 = 6. 6 je deliteľné 3, čo znamená, že samotné číslo 501 je deliteľné 3 .
- Číslo je deliteľné 4, ak číslo tvorené jeho poslednými dvoma číslicami je deliteľné 4. Napríklad vezmite 2340. Posledné dve číslice tvoria číslo 40, ktoré je deliteľné 4.
- Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica 0 alebo 5.
- Číslo je deliteľné 6, ak je deliteľné 2 a 3.
- Číslo je deliteľné 9, ak súčet číslic, ktoré tvoria číslo, je deliteľný 9. Vezmime si napríklad číslo 6 390 a predstavme ho ako 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 je deliteľné 9, čo znamená, že samotné číslo 6 390 je deliteľné 9.
- Číslo je deliteľné 12, ak je deliteľné 3 a 4.
3. Rýchly výpočet druhej odmocniny
Druhá odmocnina zo 4 je 2. To môže spočítať každý. A čo druhá odmocnina z 85?
Pre rýchle približné riešenie nájdeme najbližšie štvorcové číslo k danému, v tomto prípade je to 81 = 9^2.
Teraz nájdite ďalší najbližší štvorec. V tomto prípade je to 100 = 10^2.
Druhá odmocnina z 85 je niekde medzi 9 a 10, a keďže 85 je bližšie k 81 ako k 100, druhá odmocnina tohto čísla je niečo 9.
4. Rýchly výpočet času, po ktorom sa hotovostný vklad na určité percento zdvojnásobí
Chcete rýchlo zistiť, za aký čas sa váš hotovostný vklad pri určitej úrokovej sadzbe zdvojnásobí? Nie je potrebná ani kalkulačka, stačí poznať „pravidlo 72“.
Číslo 72 vydelíme našou úrokovou sadzbou, po ktorej dostaneme približnú dobu, po ktorej sa vklad zdvojnásobí.
Ak sa vklad uskutoční vo výške 5 % ročne, bude trvať 14 nepárnych rokov, kým sa zdvojnásobí.
Prečo práve 72 (niekedy berú 70 alebo 69)? Ako to funguje? Na tieto otázky podrobne odpovie Wikipedia.
5. Rýchly výpočet času, po ktorom sa hotovostný vklad na určité percento strojnásobí
V tomto prípade by sa úroková sadzba vkladu mala stať deliteľom 115.
Ak sa vklad uskutoční vo výške 5 % ročne, bude trvať 23 rokov, kým sa strojnásobí.
6. Rýchly výpočet hodinovej sadzby
Predstavte si, že vediete pohovor s dvoma zamestnávateľmi, ktorí neposkytujú platy v zvyčajnom formáte „rubľov za mesiac“, ale hovoria o ročných platoch a hodinovej mzde. Ako rýchlo vypočítať, kde platia viac? Kde je ročný plat 360 000 rubľov, alebo kde platia 200 rubľov za hodinu?
Na výpočet platby za jednu hodinu práce pri vyjadrení ročnej mzdy je potrebné vyradiť posledné tri znaky z uvedenej sumy a výsledné číslo potom vydeliť 2.
360 000 sa zmení na 360 ÷ 2 = 180 rubľov za hodinu. Ak sú ostatné veci rovnaké, ukazuje sa, že druhý návrh je lepší.
7. Pokročilá matematika na prstoch
Vaše prsty sú schopné oveľa viac ako len jednoduché sčítanie a odčítanie.
Prstami ľahko vynásobíte 9, ak ste zrazu zabudli násobilku.
Očíslujme prsty na rukách zľava doprava od 1 do 10.
Ak chceme vynásobiť 9 x 5, tak piaty prst ohneme zľava.
Teraz sa pozrime na ruky. Ukázalo sa, že štyri neohnuté prsty sú ohnuté. Predstavujú desiatky. A päť neohnutých prstov po ohnutom. Predstavujú jednotky. odpoveď: 45.
Ak chceme vynásobiť 9 x 6, tak šiesty prst ohneme zľava. Dostaneme päť neohnutých prstov pred ohnutým prstom a štyri po ňom. odpoveď: 54.
Takto môžete reprodukovať celý stĺpec násobenia číslom 9.
8. Rýchle násobenie číslom 4
Existuje extrémne jednoduchý spôsob, ako bleskovo vynásobiť aj veľké čísla 4. Na to stačí rozložiť operáciu na dva kroky, vynásobiť požadované číslo 2 a potom ešte raz 2.
Presvedčte sa sami. Nie každý dokáže v mysli vynásobiť 1 223 hneď 4. A teraz urobíme 1223 × 2 = 2446 a potom 2446 × 2 = 4892. Je to oveľa jednoduchšie.
9. Rýchle určenie požadovaného minima
Predstavte si, že absolvujete sériu piatich testov, na úspešné absolvovanie ktorých potrebujete minimálne 92. Zostáva posledný test a výsledky predchádzajúcich sú: 81, 98, 90, 93. Ako vypočítať požadované minimum, ktoré musíte získať v poslednom teste?
Aby sme to dosiahli, zvážime, koľko bodov sme vynechali / prekročili v testoch, ktoré už prešli, pričom nedostatok označíme zápornými číslami a výsledky s okrajom - kladné.
Takže, 81 − 92 = −11; 98 - 92 = 6; 90 - 92 = -2; 93 - 92 = 1.
Sčítaním týchto čísel dostaneme úpravu pre požadované minimum: -11 + 6 - 2 + 1 = -6.
Ukazuje sa deficit 6 bodov, čo znamená, že požadované minimum sa zvyšuje: 92 + 6 = 98. Veci sú zlé. :(
10. Rýchla reprezentácia hodnoty obyčajného zlomku
Približná hodnota obyčajného zlomku môže byť veľmi rýchlo reprezentovaná ako desatinný zlomok, ak ho najprv uvediete do jednoduchých a zrozumiteľných pomerov: 1/4, 1/3, 1/2 a 3/4.
Napríklad máme zlomok 28/77, čo je veľmi blízko k 28/84 = 1/3, ale keďže sme menovateľa zväčšili, pôvodné číslo bude o niečo väčšie, teda o niečo viac ako 0,33.
11. Trik na hádanie čísel
Môžete sa zahrať trochu na Davida Blaina a prekvapiť svojich priateľov zaujímavým, no veľmi jednoduchým matematickým trikom.
- Požiadajte priateľa, aby uhádol akékoľvek celé číslo.
- Nech to vynásobí 2.
- Potom k výslednému číslu pridajte 9.
- Teraz odčítajme 3 od výsledného čísla.
- A teraz nech výsledné číslo rozdelí na polovicu (aj tak sa rozdelí bezo zvyšku).
- Nakoniec ho požiadajte, aby od výsledného čísla odčítal číslo, ktoré si myslel na začiatku.
Odpoveď bude vždy 3.
Áno, veľmi hlúpe, ale efekt často prevyšuje všetky očakávania.
Bonus
A samozrejme sme si nemohli pomôcť, ale nevložili sme do tohto príspevku ten istý obrázok s veľmi cool spôsobom násobenia.
