nazýva sa ľubovoľný súbor dvoch alebo viacerých lineárnych nerovností obsahujúcich rovnakú neznámu veličinu

Tu sú príklady takýchto systémov:

Naším riešením je priesečníkový interval dvoch lúčov. Preto je riešením tejto nerovnosti všetko X nachádza medzi dvoma a ôsmimi.

odpoveď: X

Aplikácia tohto typu mapovania riešenia sústavy nerovníc je niekedy tzv strešná metóda.

Definícia: Priesečník dvoch množín ALE a AT sa nazýva taká tretia množina, ktorá zahŕňa všetky prvky zahrnuté v a v ALE a v AT. To je význam priesečníka množín ľubovoľnej povahy. Teraz podrobne uvažujeme o číselných množinách, preto pri hľadaní lineárnych nerovností sú takýmito množinami lúče - spolusmerované, protismerované atď.

Poďme zistiť reálne príklady hľadanie lineárnych sústav nerovníc, ako určiť priesečník množín riešení k jednotlivým nerovniciam obsiahnutým v sústave.

Vypočítať systém nerovností:

Položme dve siločiary pod seba. Navrch uvádzame tieto hodnoty X, ktoré napĺňajú prvú nerovnosť X>7 , a na dne - ktoré fungujú ako riešenie druhej nerovnosti X>10 Korelujeme výsledky číselných radov, zistíme, že obe nerovnosti budú uspokojené pre X>10.

Odpoveď: (10;+∞).

Robíme to analogicky s prvou vzorkou. Na zadanú číselnú os nakreslite všetky tieto hodnoty X pre ktoré prvý existuje systémová nerovnosť a na druhej číselnej osi umiestnenej pod prvou všetky tieto hodnoty X, pre ktorú je splnená druhá nerovnosť systému. Porovnajme tieto dva výsledky a určime, že obe nerovnosti budú súčasne splnené pre všetky hodnoty X umiestnené medzi 7 a 10, berúc do úvahy znamienka, dostaneme 7<x≤10

Odpoveď: (7; 10].

Nasledujúce sú vyriešené rovnakým spôsobom. systémy nerovností.

Tento článok zhromaždil počiatočné informácie o systémoch nerovností. Tu uvádzame definíciu systému nerovností a definíciu riešenia systému nerovností. Sú tam uvedené aj hlavné typy systémov, s ktorými musíte na hodinách algebry v škole najčastejšie pracovať, a uvedené sú aj príklady.

Navigácia na stránke.

Čo je to systém nerovností?

Sústavy nerovníc je vhodné definovať rovnakým spôsobom, ako sme zaviedli definíciu sústavy rovníc, teda podľa typu záznamu a významu v ňom obsiahnutého.

Definícia.

Systém nerovností je záznam predstavujúci určitý počet nerovností zapísaných pod sebou, spojených vľavo zloženou zátvorkou a označujúci množinu všetkých riešení, ktoré sú súčasne riešením každej nerovnosti systému.

Uveďme príklad systému nerovností. Vezmite dve ľubovoľné, napríklad 2 x−3>0 a 5−x≥4 x−11, napíšte ich pod seba
2x−3>0 ,
5-x≥4 x-11
a spojíme sa so znakom systému - kučeravou zátvorkou, výsledkom je systém nerovností nasledujúceho tvaru:

Podobne je predstava o systémoch nerovností v školských učebniciach. Stojí za zmienku, že definície v nich sú uvedené užšie: pre nerovnosti s jednou premennou alebo s dvoma premennými.

Hlavné typy systémov nerovností

Je jasné, že existuje nekonečne veľa rôznych systémov nerovností. Aby ste sa v tejto rozmanitosti nestratili, je vhodné ich zvážiť v skupinách, ktoré majú svoje vlastné charakteristické črty. Všetky systémy nerovností možno rozdeliť do skupín podľa nasledujúcich kritérií:

• počtom nerovností v systéme;
• podľa počtu premenných zahrnutých do zaznamenávania;
• podľa povahy nerovností.

Podľa počtu nerovností zahrnutých v zázname sa rozlišujú systémy dva, tri, štyri atď. nerovnosti. V predchádzajúcom odseku sme uviedli príklad systému, ktorý je systémom dvoch nerovností. Ukážme si ďalší príklad systému štyroch nerovností .

Samostatne hovoríme, že nemá zmysel hovoriť o systéme jednej nerovnosti, v tomto prípade v skutočnosti hovoríme o nerovnosti samotnej, a nie o systéme.

Ak sa pozriete na počet premenných, potom existujú systémy nerovností s jednou, dvoma, tromi atď. premenné (alebo, ako sa hovorí, neznáme). Pozrite sa na posledný systém nerovností napísaný o dva odseky vyššie. Ide o systém s tromi premennými x , y a z . Všimnite si, že jej prvé dve nerovnosti neobsahujú všetky tri premenné, ale iba jednu z nich. V kontexte tohto systému ich treba chápať ako nerovnosti s tromi premennými v tvare x+0 y+0 z≥−2 a 0 x+y+0 z≤5. Všimnite si, že škola sa zameriava na nerovnosti s jednou premennou.

Zostáva diskutovať o tom, aké typy nerovností sú zahrnuté v systémoch písania. V škole uvažujú najmä o sústavách dvoch nerovníc (menej často - troch, ešte zriedkavejšie - štyroch a viacerých) s jednou alebo dvoma premennými a samotné nerovnosti sú zvyčajne celočíselných nerovností prvý alebo druhý stupeň (menej často - vyššie stupne alebo čiastočne racionálne). Nebuďte však prekvapení, ak v prípravných materiáloch pre OGE narazíte na sústavy nerovností obsahujúce iracionálne, logaritmické, exponenciálne a iné nerovnosti. Ako príklad uvádzame systém nerovností , je prevzaté z .

Aké je riešenie systému nerovností?

Zavádzame ďalšiu definíciu súvisiacu so sústavami nerovností - definíciu riešenia sústavy nerovností:

Definícia.

Riešenie sústavy nerovníc s jednou premennou nazýva sa taká hodnota premennej, ktorá premení každú z nerovností systému na pravdivú, inými slovami, je riešením každej nerovnosti systému.

Vysvetlíme si to na príklade. Zoberme si systém dvoch nerovníc s jednou premennou . Zoberme si hodnotu premennej x rovnú 8, je to z definície riešenie našej sústavy nerovníc, keďže jej dosadením do nerovníc sústavy vzniknú dve správne číselné nerovnosti 8>7 a 2−3 8≤0 . Naopak, jednotka nie je riešením systému, pretože pri jej dosadení za premennú x sa prvá nerovnosť zmení na nesprávnu číselnú nerovnosť 1>7 .

Podobne môžeme zaviesť definíciu riešenia systému nerovností s dvomi, tromi alebo viacerými premennými:

Definícia.

Riešenie sústavy nerovníc s dvojkou, trojkou atď. premenné nazývaný pár, trojica atď. hodnoty týchto premenných, čo je súčasne riešením každej nerovnosti systému, to znamená, že každú nerovnosť systému premení na skutočnú číselnú nerovnosť.

Napríklad dvojica hodnôt x=1, y=2 alebo v inom zápise (1, 2) je riešením systému nerovností s dvoma premennými, keďže 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systémy nerovníc nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať konečný počet riešení alebo môžu mať nekonečne veľa riešení. Často sa hovorí o súbore riešení systému nerovností. Keď systém nemá žiadne riešenia, potom existuje prázdna množina jeho riešení. Keď existuje konečný počet riešení, potom množina riešení obsahuje konečný počet prvkov, a keď existuje nekonečne veľa riešení, potom množina riešení pozostáva z nekonečného počtu prvkov.

Niektoré zdroje uvádzajú definície konkrétneho a všeobecného riešenia systému nerovností, ako napríklad v Mordkovichových učebniciach. Pod konkrétne riešenie systému nerovností pochopiť jeho jediné riešenie. Vo svojom poradí všeobecné riešenie sústavy nerovností- to všetko sú jej súkromné ​​rozhodnutia. Tieto pojmy však dávajú zmysel len vtedy, keď je potrebné zdôrazniť, o akom riešení sa diskutuje, ale zvyčajne je to jasné už z kontextu, takže je oveľa bežnejšie jednoducho povedať „riešenie systému nerovností“.

Z definícií sústavy nerovníc a jej riešení uvedených v tomto článku vyplýva, že riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení všetkých nerovníc tejto sústavy.

Bibliografia.

1. algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14. hodine 1. časť. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. POUŽÍVAŤ-2013. Matematika: typické možnosti skúšania: 30 možností / ed. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. - M .: Vydavateľstvo "Národné školstvo", 2012. - 192 s. - (USE-2013. FIPI - škola).

Riešenie nerovnosti s dvoma premennými, a ešte viac sústavy nerovností s dvoma premennými, sa zdá byť celkom výzvou. Existuje však jednoduchý algoritmus, ktorý pomáha ľahko a bez námahy riešiť zdanlivo veľmi zložité problémy tohto druhu. Skúsme na to prísť.

Predpokladajme, že máme nerovnosť s dvoma premennými jedného z nasledujúcich typov:

y > f(x); y > f(x); r< f(x); y ≤ f(x).

Ak chcete zobraziť množinu riešení takejto nerovnosti v rovine súradníc, postupujte takto:

1. Zostrojíme graf funkcie y = f(x), ktorý rozdelí rovinu na dve oblasti.

2. Vyberieme si ktorúkoľvek zo získaných oblastí a zvažujeme v nej ľubovoľný bod. Pre tento bod skontrolujeme splniteľnosť pôvodnej nerovnosti. Ak sa v dôsledku kontroly získa správna číselná nerovnosť, potom usúdime, že pôvodná nerovnosť je splnená v celej oblasti, do ktorej patrí vybraný bod. Množina riešení nerovnosti je teda oblasť, do ktorej patrí vybraný bod. Ak sa v dôsledku kontroly získa nesprávna číselná nerovnosť, potom množina riešení nerovnosti bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.

3. Ak je nerovnosť striktná, potom hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), nie sú zahrnuté v množine riešení a hranica je znázornená bodkovanou čiarou. Ak nerovnosť nie je striktná, potom hranice oblasti, teda body grafu funkcie y = f(x), sú zahrnuté v množine riešení tejto nerovnosti a hranica je v tomto prípade znázornené ako plná čiara.
Teraz sa pozrime na niekoľko problémov na túto tému.

Úloha 1.

Aká množina bodov je daná nerovnicou x · y ≤ 4?

rozhodnutie.

1) Zostavíme graf rovnice x · y = 4. Aby sme to dosiahli, najprv ho transformujeme. Je zrejmé, že x sa v tomto prípade nezmení na 0, pretože inak by sme mali 0 · y = 4, čo nie je pravda. Takže našu rovnicu môžeme rozdeliť x. Dostaneme: y = 4/x. Graf tejto funkcie je hyperbola. Rozdeľuje celú rovinu na dve oblasti: jednu medzi dvoma vetvami hyperboly a tú mimo nich.

2) Vyberieme ľubovoľný bod z prvej oblasti, nech je to bod (4; 2).
Kontrola nerovnosti: 4 2 ≤ 4 je nepravda.

To znamená, že body tohto regiónu nespĺňajú pôvodnú nerovnosť. Potom môžeme konštatovať, že množina riešení nerovnice bude druhou oblasťou, do ktorej vybraný bod nepatrí.

3) Keďže nerovnosť nie je striktná, hraničné body, teda body grafu funkcie y = 4/x, nakreslíme plnou čiarou.

Množinu bodov, ktorá definuje pôvodnú nerovnosť, vyfarbíme žltou farbou (obr. 1).

Úloha 2.

Nakreslite oblasť definovanú v súradnicovej rovine systémom
(y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
(x2 + y2 ≤ 9.

rozhodnutie.

Na začiatok vytvoríme grafy nasledujúcich funkcií (obr. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - priamka

x 2 + y 2 \u003d 9 je kruh.

1) y > x 2 + 2.

Zoberieme bod (0; 5), ktorý leží nad grafom funkcie.
Kontrola nerovnosti: 5 > 0 2 + 2 je pravda.

Preto všetky body ležiace nad danou parabolou y = x 2 + 2 vyhovujú prvej nerovnici sústavy. Zafarbíme ich na žlto.

2) y + x > 1.

Zoberieme bod (0; 3), ktorý leží nad grafom funkcie.
Kontrola nerovnosti: 3 + 0 > 1 je pravda.

Preto všetky body ležiace nad priamkou y + x = 1 vyhovujú druhej nerovnici sústavy. Vyfarbíme ich na zeleno.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Zoberieme bod (0; -4), ktorý leží mimo kružnice x 2 + y 2 = 9.
Kontrola nerovnosti: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 je nesprávna.

Preto všetky body ležiace mimo kružnice x 2 + y 2 = 9, nespĺňajú tretiu nerovnosť systému. Potom môžeme konštatovať, že všetky body ležiace vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 9 spĺňajú tretiu nerovnosť systému. Namaľujeme ich fialovým tieňovaním.

Nezabudnite, že ak je nerovnosť prísna, potom by mala byť zodpovedajúca hraničná čiara nakreslená bodkovanou čiarou. Dostávame nasledujúci obrázok (obr. 3).

(obr. 4).

Úloha 3.

Nakreslite oblasť definovanú v súradnicovej rovine systémom:
(x2 + y2 < 16;
(x > -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

rozhodnutie.

Na začiatok vytvoríme grafy nasledujúcich funkcií:

x 2 + y 2 \u003d 16 - kruh,

x \u003d -y - rovné

x 2 + y 2 \u003d 4 - kruh (obr. 5).

Teraz sa zaoberáme každou nerovnosťou samostatne.

1) x2 + y2 ≤ 16.

Zoberieme bod (0; 0), ktorý leží vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 16.
Kontrola nerovnosti: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 je pravda.

Preto všetky body ležiace vo vnútri kruhu x 2 + y 2 = 16 spĺňajú prvú nerovnosť systému.
Vyfarbíme ich červenou farbou.

Zoberieme bod (1; 1), ktorý leží nad grafom funkcie.
Skontrolujeme nerovnosť: 1 ≥ -1 - pravda.

Preto všetky body ležiace nad priamkou x = -y spĺňajú druhú nerovnosť sústavy. Vyfarbíme ich na modro.

3) x2 + y2 ≥ 4.

Zoberieme bod (0; 5), ktorý leží mimo kružnice x 2 + y 2 = 4.
Skontrolujeme nerovnosť: 0 2 + 5 2 ≥ 4 je správna.

Preto všetky body mimo kružnice x 2 + y 2 = 4 spĺňajú tretiu nerovnosť sústavy. Zafarbíme ich na modro.

V tomto probléme nie sú všetky nerovnosti striktné, čo znamená, že všetky hranice nakreslíme plnou čiarou. Dostávame nasledujúci obrázok (obr. 6).

Oblasť záujmu je oblasť, kde sa všetky tri farebné oblasti navzájom pretínajú. (obr. 7).

Máte nejaké otázky? Nie ste si istí, ako vyriešiť systém nerovníc s dvoma premennými?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Systém nerovností.
Príklad 1. Nájdite rozsah výrazu
rozhodnutie. Pod odmocninou musí byť nezáporné číslo, čo znamená, že súčasne musia platiť dve nerovnosti: V takýchto prípadoch sa vraj problém redukuje na riešenie systému nerovností

Ale s takýmto matematickým modelom (systém nerovníc) sme sa ešte nestretli. To znamená, že ešte nie sme schopní dokončiť riešenie príkladu.

Nerovnosti, ktoré tvoria sústavu, sa kombinujú so zloženou zátvorkou (rovnako je to aj v sústavách rovníc). Napríklad vstup

znamená, že nerovnosti 2x - 1 > 3 a 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Niekedy sa systém nerovností píše ako dvojitá nerovnosť. Napríklad systém nerovností

možno zapísať ako dvojitú nerovnosť 3<2х-1<11.

V kurze algebry 9. ročníka budeme uvažovať iba o sústavách dvoch nerovníc.

Zvážte systém nerovností

Môžete si vybrať niekoľko jeho konkrétnych riešení, napríklad x = 3, x = 4, x = 3,5. V skutočnosti pre x = 3 má prvá nerovnosť tvar 5 > 3 a druhá - tvar 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Hodnota x = 5 zároveň nie je riešením sústavy nerovníc. Pre x = 5 má prvá nerovnosť tvar 9 > 3 - správna číselná nerovnosť a druhá - tvar 13< 11- неверное числовое неравенство .
Vyriešiť systém nerovností znamená nájsť všetky jeho konkrétne riešenia. Je jasné, že takéto hádanie, ako je uvedené vyššie, nie je metódou na riešenie systému nerovností. Na nasledujúcom príklade si ukážeme, ako sa zvyčajne argumentuje pri riešení sústavy nerovníc.

Príklad 3 Vyriešte systém nerovností:

rozhodnutie.

a) Riešením prvej nerovnosti sústavy nájdeme 2x > 4, x > 2; pri riešení druhej nerovnosti sústavy nájdeme Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Riešením prvej nerovnosti systému nájdeme x > 2; riešenie druhej nerovnosti systému nájdeme Tieto medzery označíme na jednej súradnicovej línii, pričom pri prvej medzere použijeme horné šrafovanie a pri druhej dolné šrafovanie (obr. 23). Riešenie sústavy nerovníc bude priesečníkom riešení nerovníc sústavy, t.j. interval, v ktorom sa oba šrafy zhodujú. V uvažovanom príklade dostaneme lúč

v) Vyriešením prvej nerovnosti systému nájdeme x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Zovšeobecnme úvahy uskutočnené v uvažovanom príklade. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém nerovností

Nech je napríklad interval (a, b) riešením nerovnosti fx 2 > g (x) a interval (c, d) je riešením nerovnosti f 2 (x) > s 2 (x ). Tieto medzery označíme na jednej súradnicovej línii, pričom pre prvú medzeru použijeme hornú šrafu a pre druhú dolnú šrafu (obr. 25). Riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom riešení nerovníc sústavy, t.j. interval, v ktorom sa oba šrafy zhodujú. Na obr. 25 je interval (s, b).

Teraz môžeme jednoducho vyriešiť systém nerovností, ktorý sme dostali vyššie, v príklade 1:

Riešením prvej nerovnosti systému nájdeme x > 2; pri riešení druhej nerovnosti sústavy nájdeme x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Samozrejme, systém nerovností nemusí pozostávať z lineárnych nerovností, ako tomu bolo doteraz; môžu nastať akékoľvek racionálne (a nielen racionálne) nerovnosti. Technicky je práca so systémom racionálnych nelineárnych nerovníc samozrejme náročnejšia, ale nie je tu nič zásadne nové (v porovnaní so systémami lineárnych nerovníc).

Príklad 4 Vyriešte systém nerovností

rozhodnutie.

1) Vyriešte nerovnosť, ktorú máme
Všimnite si body -3 a 3 na číselnej osi (obr. 27). Rozdeľujú priamku na tri intervaly a na každom intervale si výraz p (x) = (x - 3) (x + 3) zachováva konštantné znamienko - tieto znamienka sú naznačené na obr. 27. Zaujímajú nás intervaly, kde je splnená nerovnosť p(x) > 0 (na obr. 27 sú vytieňované), a body, kde je splnená nerovnosť p(x) = 0, t.j. body x \u003d -3, x \u003d 3 (na obr. 2 7 sú označené tmavými kruhmi). Na obr. 27 je znázornený geometrický model riešenia prvej nerovnosti.

2) Vyriešte nerovnosť, ktorú máme
Všimnite si body 0 a 5 na číselnej osi (obr. 28). Rozdeľujú riadok na tri intervaly a na každom intervale výraz<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (na obr. 28 tieňované), a body, v ktorých je splnená rovnosť g (x) - O, t.j. body x = 0, x = 5 (na obr. 28 sú označené tmavými krúžkami). Na obr. 28 je znázornený geometrický model riešenia druhej nerovnosti sústavy.

3) Nájdené riešenia pre prvú a druhú nerovnicu sústavy označíme na tej istej súradnicovej čiare, pričom pri riešení prvej nerovnosti použijeme hornú šrafu a pri riešení druhej dolnú šrafu (obr. 29). Riešenie sústavy nerovníc bude priesečníkom riešení nerovníc sústavy, t.j. interval, v ktorom sa oba šrafy zhodujú. Takýmto intervalom je segment.

Príklad 5 Vyriešte systém nerovností:

rozhodnutie:

a) Z prvej nerovnosti nájdeme x >2. Zvážte druhú nerovnosť. Štvorcový trojčlen x 2 + x + 2 nemá žiadne skutočné korene a jeho vodiaci koeficient (koeficient pri x 2) je kladný. To znamená, že pre všetky x je splnená nerovnosť x 2 + x + 2>0, a preto druhá nerovnosť systému nemá riešenia. Čo to znamená pre systém nerovností? To znamená, že systém nemá žiadne riešenia.

b) Z prvej nerovnosti nájdeme x > 2 a druhá nerovnosť platí pre ľubovoľné hodnoty x. Čo to znamená pre systém nerovností? To znamená, že jeho riešenie má tvar x>2, t.j. sa zhoduje s riešením prvej nerovnosti.

odpoveď:

a) neexistujú žiadne rozhodnutia; b) x>2.

Tento príklad je ilustráciou nasledujúceho užitočného

1. Ak v systéme viacerých nerovníc s jednou premennou jedna nerovnosť nemá riešenia, potom systém nemá riešenia.

2. Ak je v systéme dvoch nerovníc s jednou premennou splnená jedna nerovnosť pre ľubovoľné hodnoty premennej, potom riešením systému je riešenie druhej nerovnosti systému.

Na záver tejto časti sa vráťme k problému koncipovaného čísla uvedeného na jeho začiatku a vyriešme ho, ako sa hovorí, podľa všetkých pravidiel.

Príklad 2(pozri str. 29). Myslite na prirodzené číslo. Je známe, že ak sa k druhej mocnine koncipovaného čísla pridá 13, potom bude súčet väčší ako súčin vytvoreného čísla a čísla 14. Ak sa k druhej mocnine koncipovaného čísla pridá 45, potom sa súčet byť menší ako súčin vymysleného čísla a čísla 18. Aké číslo je počaté?

rozhodnutie.

Prvé štádium. Zostavenie matematického modelu.
Zamýšľané číslo x, ako sme videli vyššie, musí spĺňať systém nerovností

Druhá fáza. Práca so zostaveným matematickým modelom Transformujme prvú nerovnicu sústavy do tvaru
x2- 14x+ 13 > 0.

Nájdime korene trojčlenky x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Pomocou paraboly y \u003d x 2 - 14x + 13 (obr. 30) dospejeme k záveru, že nerovnosť záujem je pre nás uspokojený za x< 1 или x > 13.

Transformujme druhú nerovnosť systému do tvaru x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Pozrime sa na príklady riešenia sústavy lineárnych nerovníc.

4x - 19 \end(pole) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Na vyriešenie systému je potrebná každá z jeho základných nerovností. Prijalo sa iba rozhodnutie zapísať nie oddelene, ale spoločne a spojiť ich s kučeravou zátvorkou.

V každej z nerovností sústavy prenášame neznáme na jednu stranu, známe na druhú s opačným znamienkom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Po zjednodušení treba obe časti nerovnosti vydeliť číslom pred x. Prvú nerovnosť delíme kladným číslom, takže znamienko nerovnosti sa nemení. Druhú nerovnosť delíme záporným číslom, takže znamienko nerovnosti musí byť obrátené:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Riešenie nerovníc označíme na číselných radoch:

Ako odpoveď zapíšeme priesečník riešení, teda časť, kde je tieňovanie na oboch riadkoch.

Odpoveď: x∈[-2;1).

Zbavme sa zlomku v prvej nerovnosti. Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe časti člen po člen najmenším spoločným menovateľom 2. Pri vynásobení kladným číslom sa znamienko nerovnosti nemení.

Otvorte zátvorky v druhej nerovnosti. Súčin súčtu a rozdielu dvoch výrazov sa rovná rozdielu druhých mocnín týchto výrazov. Na pravej strane je štvorec rozdielu medzi týmito dvoma výrazmi.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Neznáme prenesieme na jednu stranu, známe na druhú s opačným znamienkom a zjednodušíme:

Vydeľte obe strany nerovnosti číslom pred x. V prvej nerovnosti delíme záporným číslom, takže znamienko nerovnosti je obrátené. V druhom delíme kladným číslom, znamienko nerovnosti sa nemení:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obidve nerovnosti sú označené „menšie ako“ (nie je nevyhnutné, aby jedno znamienko bolo striktne „menšie ako“, druhé nebolo prísne, „menšie alebo rovné“). Nemôžeme označiť obe riešenia, ale použijeme pravidlo "". Najmenšia je 1, preto sa systém redukuje na nerovnosť

Jeho riešenie označíme na číselnej osi:

Odpoveď: x∈(-∞;1].

Otvárame zátvorky. V prvej nerovnosti - . Rovná sa súčtu kociek týchto výrazov.

V druhom - súčin súčtu a rozdielu dvoch výrazov, ktorý sa rovná rozdielu štvorcov. Pretože tu je pred zátvorkami znamienko mínus, je lepšie ich otvoriť v dvoch fázach: najprv použite vzorec a až potom otvorte zátvorky a zmeňte znamienko každého výrazu na opak.

Neznáme prenášame na jednu stranu, známe na druhú s opačným znamienkom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obe sú väčšie ako znamenia. Pomocou pravidla „viac ako viac“ redukujeme systém nerovností na jednu nerovnosť. Väčšie z týchto dvoch čísel je 5

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Riešenie nerovnice označíme na číselnej osi a odpoveď zapíšeme:

Odpoveď: x∈(5;∞).

Keďže sústavy lineárnych nerovníc sa v algebre vyskytujú nielen ako samostatné úlohy, ale aj pri riešení rôznych druhov rovníc, nerovníc a pod., je dôležité si túto tému včas osvojiť.

Nabudúce sa pozrieme na príklady riešenia sústav lineárnych nerovníc v špeciálnych prípadoch, keď jedna z nerovníc nemá riešenia alebo je jej riešením ľubovoľné číslo.

Rubrika: |