Prvá úroveň

Derivácia funkcie. Komplexný sprievodca (2019)

Predstavte si rovnú cestu vedúcu cez kopcovitú oblasť. To znamená, že ide hore a dole, ale nezatáča doprava ani doľava. Ak je os nasmerovaná horizontálne pozdĺž cesty a vertikálne, potom bude čiara cesty veľmi podobná grafu nejakej súvislej funkcie:

Os je určitá úroveň nulovej výšky, v živote ako to používame hladinu mora.

Po takejto ceste vpred sa pohybujeme aj nahor alebo nadol. Môžeme tiež povedať: keď sa argument zmení (pohyb pozdĺž osi x), zmení sa hodnota funkcie (pohyb pozdĺž osi y). Teraz sa zamyslime nad tým, ako určiť „strmosť“ našej cesty? Aká by mohla byť táto hodnota? Veľmi jednoduché: ako veľmi sa zmení výška pri pohybe dopredu o určitú vzdialenosť. Skutočne, na rôznych úsekoch cesty, keď sa posunieme vpred (pozdĺž úsečky) o jeden kilometer, budeme stúpať alebo klesať o iný počet metrov v porovnaní s hladinou mora (pozdĺž ordináty).

Označujeme postup vpred (čítaj "delta x").

Grécke písmeno (delta) sa bežne používa v matematike ako predpona s významom „zmena“. To je - to je zmena veľkosti, - zmena; čo je potom? Presne tak, zmena veľkosti.

Dôležité: výraz je jedna entita, jedna premenná. Nikdy by ste nemali odtrhávať "delta" od "x" alebo akéhokoľvek iného písmena! To je napríklad .

Takže sme sa posunuli vpred, horizontálne, ďalej. Ak porovnáme čiaru cesty s grafom funkcie, ako potom označíme stúpanie? Samozrejme, . To znamená, že keď sa pohybujeme vpred, stúpame vyššie.

Je ľahké vypočítať hodnotu: ak sme na začiatku boli vo výške a po presune sme boli vo výške, potom. Ak sa ukáže, že koncový bod je nižší ako počiatočný bod, bude záporný - to znamená, že nestúpame, ale klesáme.

Späť na „strmosť“: toto je hodnota, ktorá udáva, o koľko (strmé) sa výška zväčšuje pri pohybe dopredu na jednotku vzdialenosti:

Predpokladajme, že na niektorom úseku cesty pri postupovaní o km stúpa cesta o km. Potom je strmosť v tomto mieste rovnaká. A ak cesta pri postupe o m klesla o km? Potom je sklon rovnaký.

Teraz zvážte vrchol kopca. Ak vezmete začiatok úseku pol kilometra na vrchol a koniec - pol kilometra za ním, môžete vidieť, že výška je takmer rovnaká.

To znamená, že podľa našej logiky sa ukazuje, že sklon je tu takmer rovný nule, čo zjavne nie je pravda. Len pár kilometrov odtiaľ sa môže veľa zmeniť. Pre adekvátnejšie a presnejšie posúdenie strmosti je potrebné zvážiť menšie plochy. Ak napríklad zmeriate zmenu výšky pri pohybe o jeden meter, výsledok bude oveľa presnejší. Ale ani táto presnosť nám nemusí stačiť – veď ak je v strede cesty stĺp, môžeme sa cez neho jednoducho prešmyknúť. Akú vzdialenosť by sme teda mali zvoliť? Centimeter? Milimeter? Menej je lepšie!

V reálnom živote je meranie vzdialenosti s presnosťou na milimeter viac než dostatočné. Ale matematici sa vždy snažia o dokonalosť. Preto bol koncept nekonečne malý, to znamená, že hodnota modulo je menšia ako akékoľvek číslo, ktoré vieme pomenovať. Napríklad poviete: jeden bilión! O koľko menej? A toto číslo vydelíte - a bude ešte menej. A tak ďalej. Ak chceme napísať, že hodnota je nekonečne malá, napíšeme takto: (čítame „x inklinuje k nule“). Je veľmi dôležité pochopiť že toto číslo sa nerovná nule! Ale veľmi blízko k tomu. To znamená, že sa dá rozdeliť na.

Pojem opačný k nekonečne malému je nekonečne veľký (). Pravdepodobne ste sa s tým už stretli, keď ste pracovali na nerovnostiach: toto číslo je v module väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť. Ak vám vyjde čo najväčšie číslo, stačí ho vynásobiť dvomi a dostanete ešte viac. A nekonečno je ešte viac ako to, čo sa deje. V skutočnosti sú nekonečne veľké a nekonečne malé navzájom inverzné, teda at, a naopak: at.

Teraz späť k našej ceste. Ideálne vypočítaný sklon je sklon vypočítaný pre nekonečne malý úsek cesty, to znamená:

Podotýkam, že pri nekonečne malom posunutí bude aj zmena výšky nekonečne malá. Ale pripomínam, že nekonečne malý neznamená rovný nule. Ak medzi sebou delíte nekonečne malé čísla, dostanete napríklad úplne obyčajné číslo. To znamená, že jedna malá hodnota môže byť presne dvakrát väčšia ako druhá.

Prečo toto všetko? Cesta, strmosť ... Nejdeme na rely, ale učíme sa matematiku. A v matematike je všetko úplne rovnaké, len sa inak volá.

Pojem derivát

Derivácia funkcie je pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pri infinitezimálnom prírastku argumentu.

Prírastok v matematike sa nazýva zmena. Ako veľmi sa zmenil argument () pri pohybe pozdĺž osi, sa nazýva prírastok argumentov a označuje sa ako veľmi sa zmenila funkcia (výška) pri pohybe vpred pozdĺž osi o vzdialenosť tzv. prírastok funkcie a je označený.

Derivácia funkcie je teda vzťah k tomu, kedy. Deriváciu označujeme rovnakým písmenom ako funkciu, len ťahom vpravo hore: alebo jednoducho. Takže napíšme odvodený vzorec pomocou týchto zápisov:

Rovnako ako v analógii s cestou, aj tu, keď sa funkcia zvyšuje, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná.

Ale rovná sa derivácia nule? Samozrejme. Napríklad, ak ideme po rovnej vodorovnej ceste, strmosť je nulová. V skutočnosti sa výška vôbec nemení. Takže s deriváciou: derivácia konštantnej funkcie (konštanta) sa rovná nule:

keďže prírastok takejto funkcie je nulový pre ľubovoľnú.

Vezmime si príklad z kopca. Ukázalo sa, že je možné usporiadať konce segmentu na opačných stranách vrcholu tak, aby výška na koncoch bola rovnaká, to znamená, že segment bol rovnobežný s osou:

Ale veľké segmenty sú znakom nepresného merania. Zdvihneme náš segment nahor rovnobežne so sebou, potom sa jeho dĺžka zníži.

Nakoniec, keď sme nekonečne blízko vrcholu, dĺžka segmentu bude nekonečne malá. Zároveň však zostal rovnobežný s osou, to znamená, že výškový rozdiel na jej koncoch sa rovná nule (nemá tendenciu, ale je rovný). Takže derivát

Dá sa to chápať takto: keď stojíme na samom vrchole, malý posun doľava alebo doprava zmení našu výšku zanedbateľne.

Existuje aj čisto algebraické vysvetlenie: vľavo od vrchu sa funkcia zvyšuje a vpravo klesá. Ako sme už skôr zistili, keď funkcia rastie, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná. Mení sa ale plynulo, bez skokov (pretože cesta nikde prudko nemení sklon). Preto musia existovať záporné a kladné hodnoty. Bude to tam, kde sa funkcia ani nezväčšuje, ani neznižuje – v bode vrcholu.

To isté platí pre údolie (oblasť, kde funkcia vľavo klesá a vpravo rastie):

Trochu viac o prírastkoch.

Takže zmeníme argument na hodnotu. Z akej hodnoty sa meníme? Čím sa stal (argument) teraz? Môžeme si vybrať ľubovoľný bod a teraz z neho budeme tancovať.

Zvážte bod so súradnicou. Hodnota funkcie v ňom je rovnaká. Potom urobíme rovnaký prírastok: zvýšime súradnicu o. Aký je teraz argument? Veľmi ľahké: . Akú hodnotu má funkcia teraz? Kam ide argument, tam ide funkcia: . A čo prírastok funkcie? Nič nové: toto je stále suma, o ktorú sa funkcia zmenila:

Precvičte si nájdenie prírastkov:

1. Nájdite prírastok funkcie v bode s prírastkom argumentu rovným.
2. To isté pre funkciu v bode.

Riešenia:

V rôznych bodoch, s rovnakým prírastkom argumentu, bude prírastok funkcie odlišný. To znamená, že derivácia v každom bode má svoj vlastný (to sme rozoberali úplne na začiatku – strmosť cesty v rôznych bodoch je rôzna). Preto, keď píšeme derivát, musíme uviesť, v ktorom bode:

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia sa nazýva funkcia, kde je argument do určitej miery (logický, však?).

A - v akomkoľvek rozsahu: .

Najjednoduchší prípad je, keď je exponent:

Nájdite jeho derivát v bode. Pamätajte na definíciu derivátu:

Takže argument sa mení z na. Aký je prírastok funkcie?

Prírastok je. Ale funkcia v ktoromkoľvek bode sa rovná jej argumentu. Preto:

Derivát je:

Derivát je:

b) Teraz zvážte kvadratickú funkciu (): .

Teraz si to pripomeňme. To znamená, že hodnotu prírastku možno zanedbať, pretože je nekonečne malá, a preto na pozadí iného výrazu nevýznamná:

Takže máme ďalšie pravidlo:

c) Pokračujeme v logickom rade: .

Tento výraz je možné zjednodušiť rôznymi spôsobmi: otvorte prvú zátvorku pomocou vzorca na skrátené násobenie kocky súčtu alebo rozložte celý výraz na faktory pomocou vzorca pre rozdiel kociek. Skúste to urobiť sami niektorým z navrhovaných spôsobov.

Takže som dostal nasledovné:

A pripomeňme si to ešte raz. To znamená, že môžeme zanedbať všetky výrazy obsahujúce:

Dostaneme: .

d) Podobné pravidlá možno získať pre veľké právomoci:

e) Ukazuje sa, že toto pravidlo možno zovšeobecniť pre mocninnú funkciu s ľubovoľným exponentom, dokonca ani nie celým číslom:

(2)

Pravidlo môžete formulovať slovami: „stupeň sa posunie dopredu ako koeficient a potom sa zníži o“.

Toto pravidlo si preukážeme neskôr (takmer na samom konci). Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Nájdite deriváciu funkcií:

1. (dvoma spôsobmi: vzorcom a pomocou definície derivácie - počítaním prírastku funkcie);

1. . Verte alebo nie, toto je mocenská funkcia. Ak máte otázky typu „Ako sa máš? A kde je titul? “, Pamätajte na tému„ “!
   Áno, áno, koreň je tiež stupeň, len zlomkový:.
   Takže naša druhá odmocnina je len mocnina s exponentom:
   .
   Hľadáme derivát pomocou nedávno naučeného vzorca:

   Ak to v tomto bode bude opäť nejasné, zopakujte tému "" !!! (asi stupeň so záporným ukazovateľom)

2. . Teraz exponent:

   A teraz cez definíciu (ešte ste zabudli?):
   ;
   .
   Teraz, ako obvykle, zanedbávame výraz obsahujúci:
   .

3. . Kombinácia predchádzajúcich prípadov: .

goniometrické funkcie.

Tu použijeme jeden fakt z vyššej matematiky:

Keď výraz.

Dôkaz sa naučíte v prvom ročníku inštitútu (a aby ste sa tam dostali, musíte dobre zložiť skúšku). Teraz to ukážem graficky:

Vidíme, že keď funkcia neexistuje - bod na grafe je prerazený. Ale čím bližšie k hodnote, tým bližšie je funkcia.

Toto pravidlo môžete navyše skontrolovať pomocou kalkulačky. Áno, áno, nehanbite sa, vezmite si kalkulačku, ešte nie sme na skúške.

Tak skúsme: ;

Nezabudnite prepnúť kalkulačku do režimu Radians!

atď. Vidíme, že čím je menší, tým je hodnota pomeru bližšie.

a) Uvažujme funkciu. Ako obvykle nájdeme jeho prírastok:

Premeňme rozdiel sínusov na produkt. Na tento účel používame vzorec (zapamätajte si tému ""):.

Teraz derivát:

Urobme náhradu: . Potom je pre nekonečne malý aj nekonečne malý: . Výraz pre má tvar:

A teraz si to pamätáme s výrazom. A tiež, čo ak sa dá v súčte (teda at) zanedbať nekonečne malá hodnota.

Takže dostaneme nasledujúce pravidlo: derivácia sínusu sa rovná kosínusu:

Ide o základné („tabuľkové“) deriváty. Tu sú v jednom zozname:

Neskôr k nim pridáme niekoľko ďalších, no tieto sú najdôležitejšie, keďže sa používajú najčastejšie.

Cvičenie:

1. Nájdite deriváciu funkcie v bode;
2. Nájdite deriváciu funkcie.

Riešenia:

1. Najprv nájdeme derivát vo všeobecnom tvare a potom namiesto neho dosadíme jeho hodnotu:
   ;
   .
2. Tu máme niečo podobné ako výkonová funkcia. Skúsme ju priviesť
   normálny pohľad:
   .
   Dobre, teraz môžete použiť vzorec:
   .
   .
3. . Eeeeeee.... Čo to je????

Dobre, máte pravdu, stále nevieme, ako takéto deriváty nájsť. Tu máme kombináciu niekoľkých typov funkcií. Ak chcete s nimi pracovať, musíte sa naučiť niekoľko ďalších pravidiel:

Exponent a prirodzený logaritmus.

V matematike existuje taká funkcia, ktorej derivácia pre ľubovoľnú sa rovná hodnote samotnej funkcie pre to isté. Nazýva sa „exponent“ a je to exponenciálna funkcia

Základom tejto funkcie – konštanta – je nekonečný desatinný zlomok, teda iracionálne číslo (ako napr.). Nazýva sa „Eulerovo číslo“, preto sa označuje písmenom.

Pravidlo teda znie:

Je veľmi ľahké si to zapamätať.

No nepôjdeme ďaleko, hneď zvážime inverznú funkciu. Aká je inverzia exponenciálnej funkcie? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

Čomu sa rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponent a prirodzený logaritmus sú funkcie, ktoré sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

aké pravidlá? Opäť nový termín?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

Iba a všetko. Aké je iné slovo pre tento proces? Nie proizvodnovanie... Diferenciál matematiky sa nazýva samotný prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

1. (derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže je to lineárna funkcia, pamätáte?);

Derivát produktu

Všetko je tu podobné: predstavujeme novú funkciu a nájdeme jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite deriváty funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz vaše znalosti stačia na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponenta (zabudli ste už, čo to je?).

Tak kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme preniesť našu funkciu na nový základ:

Na to používame jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte sami:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

Odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, teda nedá sa napísať v jednoduchšej forme. Preto je v odpovedi ponechaná v tejto podobe.

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný z logaritmu s iným základom, napríklad:

Tento logaritmus musíme preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto napíšeme:

Ukázalo sa, že menovateľ je len konštanta (stále číslo, bez premennej). Derivát je veľmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkus tangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko bude fungovať), ale z hľadiska matematiky slovo „komplexný“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravník: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Ak chcete jesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme si podobný matematický pipeline: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže nám dajú číslo (čokoládu), ja nájdem jeho kosínus (obal) a potom zarovnáte, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď, aby sme našli jej hodnotu, vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s tým, čo sa stalo ako výsledok prvej.

Môžeme urobiť tie isté kroky v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Inými slovami, Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre prvý príklad, .

Druhý príklad: (rovnaký). .

Posledná akcia, ktorú vykonáme, bude tzv „vonkajšia“ funkcia, a úkon vykonaný ako prvý – resp „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

1. Aké kroky podnikneme ako prvé? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. Ide teda o vnútornú funkciu, nie vonkajšiu.
   A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
2. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
3. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
4. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
5. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .

zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vytiahneme našu čokoládu - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Pre pôvodný príklad to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Všetko sa zdá byť jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nič nevyberá, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že tu existuje trojúrovňová komplexná funkcia: koniec koncov, toto je už sama o sebe zložitá funkcia a stále z nej extrahujeme koreň, to znamená, že vykonávame tretiu akciu (vložiť čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Poďme určiť postup.

1. Radikálne vyjadrenie. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá diferenciácie:

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie:

Derivát súčtu:

odvodený produkt:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Ak budeme postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:

Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste vypočítať podľa tohto vzorca, povedzme, deriváciu funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.

Na začiatok si všimneme, že takzvané elementárne funkcie možno odlíšiť od celej škály funkcií. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a zapísané do tabuľky. Takéto funkcie sa dajú ľahko zapamätať spolu s ich derivátmi.

Deriváty elementárnych funkcií

Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je ťažké si ich zapamätať – preto sú elementárne.

Takže deriváty elementárnych funkcií:

názov	Funkcia	Derivát
Neustále	f(X) = C, C ∈ R	0 (áno, áno, nula!)
Stupeň s racionálnym exponentom	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	f(X) = hriech X	cos X
Kosínus	f(X) = cos X	− hriech X(mínus sinus)
Tangenta	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	f(X) = ctg X	− 1/sin2 X
prirodzený logaritmus	f(X) = log X	1/X
Ľubovoľný logaritmus	f(X) = log a X	1/(X ln a)
Exponenciálna funkcia	f(X) = e X	e X(nič sa nezmenilo)

Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa derivácia novej funkcie tiež ľahko vypočíta:

(C · f)’ = C · f ’.

Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:

(2X 3)' = 2 ( X 3) = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zrejmé, že elementárne funkcie možno navzájom sčítať, násobiť, deliť a mnoho ďalšieho. Takto sa objavia nové funkcie, už nie veľmi elementárne, ale aj diferencovateľné podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú uvedené nižšie.

Derivácia súčtu a rozdielu

Nechajte funkcie f(X) a g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Presne povedané, v algebre neexistuje koncept „odčítania“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g, a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, takže:

f ’(X) = (X 2+ hriech X)’ = (X 2) + (hriech X)’ = 2X+ cosx;

Podobne argumentujeme aj pri funkcii g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát produktu

Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia súčtu rovná súčtu derivácií, potom derivácia súčinu štrajk"\u003e sa rovná súčinu derivátov. Ale pre vás! Derivát súčinu sa vypočíta pomocou úplne iného vzorca. Konkrétne:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Vzorec je jednoduchý, ale často zabudnutý. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funkcia f(X) je produktom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:

f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)

Funkcia g(X) prvý multiplikátor je trochu komplikovanejší, ale všeobecná schéma sa od toho nemení. Je zrejmé, že prvý multiplikátor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Všimnite si, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné, ale väčšina derivátov sa nevypočítava sama o sebe, ale na preskúmanie funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, zistia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz rozložený na faktory.

Ak existujú dve funkcie f(X) a g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať novú funkciu h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:

Nie slabé, však? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? Ale takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať na konkrétnych príkladoch.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií:

V čitateli a menovateli každého zlomku sú elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu kvocientu:

Podľa tradície započítavame čitateľa do faktorov - to výrazne zjednoduší odpoveď:

Komplexná funkcia nie je nevyhnutne vzorec dlhý pol kilometra. Napríklad stačí prevziať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2+ln X. Ukázalo sa f(X) = hriech ( X 2+ln X) je komplexná funkcia. Má tiež derivát, ale nebude fungovať nájsť ho podľa vyššie uvedených pravidiel.

Ako byť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:

f ’(X) = f ’(t) · t', ak X sa nahrádza t(X).

Spravidla je situácia s chápaním tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie vysvetliť to na konkrétnych príkladoch, s podrobným popisom každého kroku.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2+ln X)

Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom dostaneme elementárnu funkciu f(X) = e X. Preto urobíme substitúciu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A teraz - pozor! Vykonanie spätnej substitúcie: t = 2X+ 3. Dostaneme:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Očividne treba vymeniť. X 2+ln X = t. Máme:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (hriech t)’ · t' = cos t · t ’

Spätná výmena: t = X 2+ln X. potom:

g ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivácie súčtu.

odpoveď:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) čos( X 2+ln X).

Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „mŕtvica“. Napríklad zdvih súčtu sa rovná súčtu zdvihov. Je to jasnejšie? Takže, toto je dobre.

Výpočet derivátu teda vedie k zbaveniu sa práve týchto ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:

(X n)’ = n · X n − 1

Málokto to vie v úlohe n môže byť aj zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Ale čo ak je pod koreňom niečo zložité? Opäť sa ukáže komplexná funkcia - radi dávajú takéto konštrukcie v testoch a skúškach.

Úloha. Nájdite deriváciu funkcie:

Najprv prepíšme odmocninu s racionálnym exponentom:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz urobíme náhradu: nech X 2 + 8X − 7 = t. Deriváciu nájdeme podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Urobíme opačnú substitúciu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Nakoniec späť ku koreňom:

Operácia hľadania derivátu sa nazýva diferenciácia.

V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) boli prví, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov.

Preto v našej dobe, aby sme našli deriváciu akejkoľvek funkcie, nie je potrebné vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku derivátov a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.

Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod znakom ťahu rozobrať jednoduché funkcie a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.

Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „X“ sa rovná jednej a derivácia sínusu je kosínus. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Diferencovať ako deriváciu súčtu, v ktorej druhý člen s konštantným faktorom, možno vyňať zo znamienka derivácie:

Ak stále existujú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, spravidla sa vyjasnia po prečítaní tabuľky derivátov a najjednoduchších pravidiel diferenciácie. Práve k nim ideme.

Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií

1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy nula. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často
2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie "x". Vždy sa rovná jednej. Toto je tiež dôležité mať na pamäti
3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte previesť iné ako odmocniny na mocninu.
4. Derivácia premennej na mocninu -1
5. Derivácia odmocniny
6. Sínusová derivácia
7. Kosínový derivát
8. Tangentová derivácia
9. Derivácia kotangens
10. Derivácia arksínusu
11. Derivácia oblúkového kosínusu
12. Derivácia arkustangens
13. Derivácia inverznej tangenty
14. Derivácia prirodzeného logaritmu
15. Derivácia logaritmickej funkcie
16. Derivácia exponentu
17. Derivácia exponenciálnej funkcie

Pravidlá diferenciácie

1. Derivát súčtu alebo rozdielu
2. Derivát produktu
2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom
3. Derivácia kvocientu
4. Derivácia komplexnej funkcie

Pravidlo 1Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom v tom istom bode funkcie

a

tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií.

Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantou, potom ich derivácie sú, t.j.

Pravidlo 2Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt v rovnakom bode tiež diferencovateľný

a

tie. derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.

Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého z faktorov a všetkých ostatných.

Napríklad pre tri multiplikátory:

Pravidlo 3Ak funkcie

v určitom bode rozlíšiteľné a , potom je v tomto bode ich kvocient tiež diferencovateľný.u/v a

tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa .

Kde hľadať na iných stránkach

Pri hľadaní derivácie súčinu a kvocientu v reálnych úlohách je vždy potrebné aplikovať viacero pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto derivácie."Derivácia produktu a kvocient".

Komentujte. Konštantu (čiže číslo) by ste si nemali zamieňať za člen v súčte a za konštantný faktor! V prípade členu sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantného faktora je vyňatá zo znamienka derivácií. Toto je typická chyba, ktorá sa vyskytuje v počiatočnom štádiu štúdia derivátov, ale keďže priemerný študent rieši niekoľko jedno-dvojzložkových príkladov, túto chybu už nerobí.

A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, kde u- číslo, napríklad 2 alebo 5, teda konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (takýto prípad je analyzovaný v príklade 10) .

Ďalšou častou chybou je mechanické riešenie derivácie komplexnej funkcie ako derivácie jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie venovaný samostatnému článku. Najprv sa však naučíme nájsť derivácie jednoduchých funkcií.

Po ceste sa nezaobídete bez transformácií výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručky v novom systéme Windows Akcie so silami a koreňmi a Akcie so zlomkami .

Ak hľadáte riešenia na derivácie s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá , potom postupujte podľa lekcie "Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami".

Ak máte úlohu napr , potom ste na lekcii "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií".

Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Určujeme časti výrazu funkcie: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, v druhom z nich jeden z členov obsahuje konštantný faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií a derivácie druhej:

Ďalej aplikujeme pravidlo diferenciácie súčtu: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade v každom súčte druhý člen so znamienkom mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže "x" sa zmení na jeden a mínus 5 - na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Získame nasledujúce hodnoty derivátov:

Nájdené derivácie dosadíme do súčtu produktov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:

Príklad 4 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalého čitateľa. Dostaneme:

Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabudnime tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:

Ak hľadáte riešenia na také úlohy, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a stupňov, ako napr. potom vitaj v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami" .

Ak sa potrebujete dozvedieť viac o deriváciách sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrických funkcií, teda keď funkcia vyzerá , potom máte lekciu "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .

Príklad 5 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s ktorej deriváciou sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Podľa pravidla diferenciácie produktu a tabuľkovej hodnoty derivácie druhej odmocniny dostaneme:

Príklad 6 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhá odmocnina nezávislej premennej. Podľa pravidla diferenciácie kvocientu, ktoré sme zopakovali a aplikovali v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateľovi, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .

Video kurz "Get an A" obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.