Kvadratické rovnice sa používajú pri riešení mnohých problémov. Značná časť problémov, ktoré sa dajú ľahko vyriešiť pomocou rovníc prvého stupňa, sa dá riešiť aj čisto aritmeticky, aj keď niekedy oveľa náročnejším, zdĺhavejším a často umelo vytvoreným spôsobom. Problémy, ktoré vedú ku kvadratickým rovniciam, sa spravidla vôbec nehodia na aritmetické riešenie. K takýmto problémom vedú mnohé a najrozmanitejšie otázky fyziky, mechaniky, hydromechaniky, aerodynamiky a mnohých ďalších aplikovaných vied.

Hlavné etapy zostavovania kvadratických rovníc podľa podmienok úlohy sú rovnaké ako pri riešení úloh vedúcich k rovniciam prvého stupňa. Uveďme si príklady.

Úloha. 1. Dvaja pisári prepísali rukopis za 6 hodín. 40 min. Ako dlho by trvalo, kým by každý pisár prepísal rukopis sám, ak by prvý venoval tejto práci o 3 hodiny viac ako druhý?

rozhodnutie. Nech druhý pisár strávi x hodín pretlačou rukopisu. To znamená, že prvý pisár strávi hodiny na tej istej práci.

Dozvieme sa, akú časť celej práce každý pisár vykoná za jednu hodinu a akú časť - obe spolu.

Prvý pisár dokončí časť za hodinu

Druhá časť.

Obaja pisári hrajú rolu.

Preto máme:

Podľa významu problému kladné číslo

Vynásobte obe strany rovnice číslom Po zjednodušení dostaneme kvadratickú rovnicu:

Od roku má rovnica dva korene. Podľa vzorca (B) zistíme:

Ale ako by to malo byť, táto hodnota nie je platná pre túto úlohu.

Odpoveď. Prvý pisár strávi v práci hodiny, druhý 12 hodín.

Úloha 2. Vlastná rýchlosť lietadla km za hodinu. Lietadlo preletelo dvakrát vzdialenosť 1 km: najprv po vetre, potom proti vetru a pri druhom lete strávilo viac hodín. Vypočítajte rýchlosť vetra.

Priebeh riešenia znázorníme formou diagramu.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich vyriešiť je nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a , b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Majú presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec musí byť známy naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako si z nejakého dôvodu mnohí ľudia myslia. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napíšeme koeficienty pre prvú rovnicu a nájdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme rovnakým spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Ostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sa rovná nule - koreň bude jedna.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to zdĺhavé – ale nebudete si miešať šance a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po vyriešení 50-70 rovníc - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Je možné použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú, keď sa do vzorca nahrádzajú záporné koeficienty. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, namaľte každý krok - a zbavte sa chýb veľmi skoro.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že jeden z výrazov v týchto rovniciach chýba. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani počítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnicu ax 2 + bx + c = 0 nazývame neúplnou kvadratickou rovnicou, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 \u003d 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jedinú koreň: x \u003d 0.

Pozrime sa na ďalšie prípady. Nech b \u003d 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu tvaru ax 2 + c \u003d 0. Poďme ju mierne transformovať:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len vtedy, keď (−c / a ) ≥ 0. Záver:

1. Ak neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 + c = 0 spĺňa nerovnosť (−c / a ) ≥ 0, korene budú dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný - v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Polynóm stačí faktorizovať:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvorky

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver analyzujeme niekoľko z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Štvorcový TRIPÓN III

§ 50 Kvadratické rovnice

Rovnice formulára

sekera 2 + bx+c = 0, (1)

kde X- neznáma hodnota, a, b, c- dané čísla ( a =/= 0) sa nazývajú štvorcové.

Vyčlenením celého štvorca na ľavej strane kvadratickej rovnice (pozri vzorec (1) § 49) dostaneme:

Je zrejmé, že rovnica (2) je ekvivalentná rovnici (1) (pozri § 2). Rovnica (2) môže mať skutočné korene len vtedy, keď alebo b 2 - 4eso > 0 (od 4 a 2 > 0).

Vzhľadom na osobitnú úlohu, ktorú zohráva výraz D = b 2 - 4eso pri riešení rovnice (1) má tento výraz špeciálny názov - diskriminačný kvadratická rovnica sekera 2 + bx+c = 0 (alebo diskriminant štvorcového trinomu sekera 2 + bx+c ). takze ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, potom rovnica nemá žiadne skutočné korene.

Ak D = b 2 - 4eso > 0, potom z (2) dostaneme:

Ak je diskriminant kvadratickej rovnice nezáporný, potom má táto rovnica skutočné korene. Zapisujú sa ako zlomok, ktorého čitateľom je koeficient rovnice pre X , brané s opačným znamienkom, plus alebo mínus druhá odmocnina diskriminantu, a v menovateli - dvojnásobok koeficientu pri X 2 .

Ak je diskriminant kvadratickej rovnice kladný, potom má rovnica dva rôzne reálne korene:

Ak je diskriminant kvadratickej rovnice nula, potom rovnica má jeden skutočný koreň:

X = - b / 2 a

(V tomto prípade sa niekedy hovorí, že rovnica má dva rovnaké korene: X 1 = X 2 = - b / 2 a )

Príklady.

1) Pre rovnicu 2 X 2 - X - 3 = 0 diskriminant D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. Rovnica má dva rôzne korene:

2) Pre rovnicu 3 X 2 - 6X + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. Táto rovnica má jeden skutočný koreň

3) Pre rovnicu 5 X 2 + 4X + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124< 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Zistite, za aké hodnoty a kvadratická rovnica X 2 + Oh + 1 = 0:

a) má jeden koreň

b) má dva rôzne korene;

c) nemá žiadne korene,

Diskriminant tejto kvadratickej rovnice je

D= a 2 - 4.

Ak | a | = 2, potom D = 0; v tomto prípade má rovnica jeden koreň.

Ak | a | > 2, potom D > 0; v tomto prípade má rovnica dva rôzne korene.

Nakoniec, ak | a | < 2, то данное уравнение не имеет корней.

Cvičenia

Vyriešte rovnice (č. 364-369):

364. 6X 2 - X - 1 = 0. 367. - X 2 + 8X - 16 = 0.

365. 3X 2 - 5X + 1 = 0. 368. 2X 2 - 12X + 12 == 0.

366. X 2 - X + 1 = 0. 369. 2X - X 2 - 6 = 0.

370. Môže byť číslo 15 vyjadrené ako súčet dvoch čísel tak, aby ich súčin bol rovný 70?

371. Pri akých hodnotách a rovnica

X 2 - 2Oh + a (1 + a ) = 0

a) má dva rôzne korene;

b) má iba jeden koreň;

c) nemá korene?

372. Pri akých hodnotách a rovnica

(1 - a ) X 2 - 4Oh + 4 (1 - a ) = 0

a) nemá korene;

b) nemá viac ako jeden koreň;

c) má aspoň jeden koreň?

373. V akej hodnote a rovnica X 2 + Oh + 1 = 0 má jedinečný koreň? čomu sa to rovná?

374. Aké sú hranice počtu a , ak je známe, že rovnice

X 2 + x + a = 0 a X 2 + x - a = 0

375. Čo poviete na veľkosť a ak rovnice

4a (X 2 + X ) = a - 2,5 a X (X - 1) = 1,25 - a

mať rovnaký počet koreňov?

376. Vlak meškal v stanici pre t min. Aby vodič dohnal stratený čas, zvýšil rýchlosť a km/h a v ďalšej etape v b km eliminovali meškanie. Ako rýchlo bol vlak pred meškaním na stanici?

377. Dva žeriavy, ktoré spolupracovali, vyložili čln pre t h) Za aký čas môže každý žeriav samostatne vyložiť čln, ak na to jeden z nich strávi a h menej ako ostatné?

378. Jedna z tovární vybaví nejakú objednávku o 4 dni rýchlejšie ako druhá. Ako dlho môže každý závod dokončiť zákazku pracujúcu oddelene, ak je známe, že pri spoločnej práci za 24 dní dokončili zákazku 5-krát väčšiu?

Riešte rovnice (č. 379, 380).

(Všimnite si, že v týchto rovniciach je neznáma obsiahnutá v menovateľoch zlomkov. Výsledné korene bude potrebné skontrolovať!)

381*. V akých hodnotách a rovnice

X 2 + Oh + 1 = 0 a X 2 + X + a = 0

máte aspoň jeden spoločný koreň?

Farafonová Natália Igorevna

Predmet: Neúplné kvadratické rovnice.

Ciele lekcie:- Zaviesť pojem neúplnej kvadratickej rovnice;

Naučte sa riešiť neúplné kvadratické rovnice.

Ciele lekcie:- vedieť určiť tvar kvadratickej rovnice;

Riešte neúplné kvadratické rovnice.

Webbook: Algebra: Proc. pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov a ďalší - M.: Vzdelávanie, 2010.

Počas vyučovania.

1. Pripomeňte žiakom, že pred riešením akejkoľvek kvadratickej rovnice je potrebné ju uviesť do štandardného tvaru. Zapamätajte si definíciu úplná kvadratická rovnica:ax2+bx +c = 0,a ≠ 0.

V týchto kvadratických rovniciach pomenujte koeficienty a, b, c:

a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4 x - 1 = 0; c) x 2 - 4 \u003d 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Uveďte definíciu neúplnej kvadratickej rovnice:

Kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov, b alebo c, rovná 0. Dávajte pozor, aby koeficient a ≠ 0. Z vyššie uvedených rovníc vyberte neúplné kvadratické rovnice.

3. Typy neúplných kvadratických rovníc s príkladmi riešení je vhodnejšie uvádzať vo forme tabuľky:

1. Bez riešenia určite počet koreňov pre každú neúplnú kvadratickú rovnicu:

a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x \u003d 0; d) 0,6 x 2 = 0; e) -8 x 2 - 4 = 0.

1. Riešenie neúplných kvadratických rovníc (riešenie rovníc, s kontrolou na tabuli, 2 možnosti):

c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

e) 2x 2 - 16 = 0

f) 5 (x 2 + 2) = 2 (x 2 + 5)

g) (x + 1) 2-4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d) x 2 + 9 x = 0

e) 81 x 2 - 64 = 0

f) 2 (x 2 + 4) = 4 (x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Samostatná práca na možnostiach:

1 možnosť

a) 3x 2 - 12 = 0

b) 2x 2 + 6x = 0

e) 7 x 2 - 14 = 0

Možnosť 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9r 2 - 4 = 0

d) -y2 + 5 = 0

e) 1 - 4y2 = 0

f) 8y2 + y = 0

3 možnosť

a) 6r – y2 = 0

b) 0,1 r 2 - 0,5 r = 0

c) (x + 1) (x-2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

e) x 2 - 2 x = 0

f) x 2 - 16 = 0

4 možnosť

a) 9 x 2 - 1 = 0

b) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2 x - 3 = 2 x + 6

e) 3x 2 + 7 = 12x + 7

5 možnosť

a) 2x 2 - 18 = 0

b) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

e) 6 x 2 - 18 = 0

f) x 2 - 5 x = 0

6 možnosť

b) 4x 2 + 36 = 0

c) 25 rokov 2 - 1 = 0

d) -y2 + 2 = 0

e) 9 - 16y2 = 0

f) 7y2 + y = 0

7 možnosť

a) 4r - y2 = 0

b) 0,2 r2 - y = 0

c) (x + 2) (x - 1) = 0

d) (x - 0,3) x = 0

e) x 2 + 4 x = 0

f) x 2 - 36 = 0

8 možnosť

a) 16x 2 - 1 = 0

b) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

e) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Odpovede na samostatnú prácu:

Možnosť 1: a) 2, b) 0;-3; c) 0; d) nemajú korene; e);

Možnosť 2 a) 0; b) korene; v); G); e); f)0;-;

3 možnosť a) 0, 6; b) 0,5; c) -1;2; d) 0;-0,5; e) 0;2; f)4

4 možnosť a); b) 0:1,5; c) 0;3; d) 3; e)0;4 e)5

5 možnosť a)3; b) 0;4; c) 0; d) nemajú korene; e) f) 0, 5

6 možnosť a) 0; b) nemajú korene; c) d) e) f) 0;-

7 možnosť a) 0, 4; b) 0,5; c) -2;1; d) 0,03; e) 0;-4; f)6

8 možnosť a) b) 0; c) 0,7; d) 4; e) 0;3; e)

Zhrnutie lekcie: Formuluje sa pojem „neúplná kvadratická rovnica“; sú znázornené spôsoby riešenia rôznych typov neúplných kvadratických rovníc. Pri plnení rôznych úloh sa precvičovali zručnosti pri riešení neúplných kvadratických rovníc.

7. Domáca úloha: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Ďalšia úloha:

Pre aké hodnoty a je rovnica neúplnou kvadratickou rovnicou? Vyriešte rovnicu pre získané hodnoty a:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2) x 2 + sekera \u003d 4 - a 2 \u003d 0