Tento vzorec sa nazýva vzorec pre objem tela z hľadiska plochy paralelných rezov.

Príklad. Nájdite objem elipsoidu x2 + y2 + z2 = 1. a 2b 2c 2

Rezaním elipsoidu rovinou rovnobežnou s rovinou Oyz a vo vzdialenostiach od nej (-a ≤ x ≤ a) dostaneme elipsu (pozri obr. 15):

Oblasť tejto elipsy je

S(x) = π bc1

Preto podľa vzorca (16) máme

Výpočet plochy povrchu revolúcie

Nech krivka AB je grafom funkcie y \u003d f (x) ≥ 0, kde x [a, b], funkcia y \u003d f (x) a jej derivácia y "\u003d f" (x) sú kontinuálne v tomto segmente.

Potom sa plocha S povrchu vytvorená rotáciou krivky AB okolo osi Ox vypočíta podľa vzorca

		2 pi			1 + (y ′) 2 dx .

Ak je krivka AB daná parametrickými rovnicami x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, potom vzorec pre povrchovú plochu rotácie má tvar

S x = 2 π ∫ y (t ) (x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Príklad Nájdite povrch gule s polomerom R. Riešenie:

Môžeme predpokladať, že povrch gule je tvorený rotáciou polkruhu y \u003d R 2 - x 2, - R ≤x ≤R, okolo osi Ох. Podľa vzorca (19) nájdeme

			− x
S = 2		R2−x21+						dx=
					− x
	− R

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Príklad. Daná cykloida x = a (t − sin t ), 0 ≤ t ≤ 2 π . y = a (1- náklady ),

Nájdite plochu povrchu vytvorenú jeho rotáciou okolo osi x. Riešenie:

Keď sa polovica oblúka cykloidy otáča okolo osi Ox, povrchová plocha rotácie sa rovná

1S x

2π π ∫ a (1– náklady )

(a(1 − náklady t)) 2 + (asin t) 2 dt=

2π ∫ π a 2

2 hriech2 t

2 cena + cena 2

t + sin 2 tdt=

4 π a 2

π ∫ sin2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

π ∫ sin2 t

hriech t

dt =

= −8 π a 2 ∫

− čos

dcos

= − 16 π a

32π a

= −16 π a

0 −

1− 0+

= −16 π a

1 S x = 32 π a 2 . v dôsledku toho

64 π a 2.

Výpočet dĺžky oblúka rovinnej krivky

Obdĺžnikové súradnice

Nechajte v oblúku, keď sa počet prepojení lomenej čiary zvyšuje na neurčito a dĺžka najväčších pravouhlých súradníc je rovinná krivka AB, ktorej rovnica je y \u003d f (x), kde a ≤ x ≤ b .

Dĺžka oblúka AB sa chápe ako hranica, ku ktorej dĺžka prerušovanej čiary vpísanej do tohto spojenia smeruje k nule. Ukážme, že ak je funkcia y \u003d f (x) a jej derivácia y′ = f′ (x) spojitá na segmente [a , b ], potom má krivka AB dĺžku rovnajúcu sa

Ak je rovnica krivky AB uvedená v parametrickom tvare

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t),

kde x (t) a y (t) sú spojité funkcie so spojitými deriváciami a x (α) \u003d a, x (β) \u003d b, potom dĺžku l krivky AB nájdeme podľa vzorca

(x'(t))2 + (y'(t))2dt. = R arcsin

π .

− x

Preto l = 2π R. Ak je rovnica kruhu napísaná v parametrickom tvare = R cost, y = R sint (0 ≤ t ≤ 2π ), potom

	(− Rsin t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 π = 2 π R.
l = ∫

Polárne súradnice

Nech je krivka AB daná rovnicou v polárnych súradniciach r =r (ϕ ),α ≤ ϕ ≤ β . Predpokladajme, že r (ϕ ) a r" (ϕ ) sú spojité na intervale [α ,β ].

Ak sú v rovnosti x \u003d r cosϕ, y \u003d r sinϕ, spájajúc polárne a karteziánske súradnice,

uhol ϕ považujeme za parameter, potom krivku AB môžeme parametricky nastaviť x = r (ϕ ) cos ϕ ,

y = r (ϕ ) sinϕ .

Aplikovaním vzorca (15) dostaneme l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Príklad Nájdite dĺžku kardioidy r =a (1 + cosϕ ). Riešenie:

Kardioida r \u003d a (1 + cosϕ ) má tvar znázornený na obrázku 14. Je symetrická okolo polárnej osi. Nájdite polovicu dĺžky kardioidy:

1 l =	π∫	(a (1 + cos ϕ ))2 + (a (− sin ϕ ))2 d ϕ =
A π ∫	2 + 2cosϕ d ϕ =a π ∫		2 2cos2 ϕ d ϕ =
2a π / cosϕ d ϕ = 4a sinϕ

Teda 1 2 l = 4 a . Takže l = 8a.

5. Nájdenie plochy povrchu rotačných telies

Nech krivka AB je grafom funkcie y = f(x) ≥ 0, kde x [a; b] a funkcia y \u003d f (x) a jej derivácia y "\u003d f" (x) sú v tomto segmente spojité.

Nájdite plochu S plochy vytvorenú rotáciou krivky AB okolo osi Ox (obr. 8).

Aplikujeme schému II (diferenciálna metóda).

Cez ľubovoľný bod x [a; b] narysujme rovinu P, kolmú na os Ox. Rovina P pretína rotačnú plochu pozdĺž kružnice s polomerom y - f(x). Hodnota S povrchu časti rotačného útvaru ležiaceho vľavo od roviny je funkciou x, t.j. s = s(x) (s(a) = 0 a s(b) = S).

Dajme argumentu x prírastok Δх = dх. Cez bod x + dx [a; b] nakreslite aj rovinu kolmú na os x. Funkcia s = s(x) dostane prírastok Δs, znázornený na obrázku ako „pás“.

Nájdime diferenciál plochy ds, pričom obrazec vytvorený medzi rezmi nahradíme zrezaným kužeľom, ktorého tvoriaca čiara sa rovná dl a polomery báz sú rovné y a y + dy. Jeho bočný povrch je: = 2ydl + dydl.

Vynechaním súčinu dу d1 ako nekonečne malého rádu vyššieho ako ds dostaneme ds = 2уdl, čiže, keďže d1 = dx.

Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od x = a do x = b dostaneme

Ak je krivka AB daná parametrickými rovnicami x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, potom sa vzorec pre oblasť rotačnej plochy stane

S = 2 dt.

Príklad: Nájdite povrch gule s polomerom R.

S = 2 =

6. Nájdenie práce premennej sily

Práca s premenlivou silou

Nechajte hmotný bod M pohybovať sa pozdĺž osi Ox pôsobením premennej sily F = F(x) smerujúcej rovnobežne s touto osou. Práca vykonaná silou pri pohybe bodu M z polohy x = a do polohy x = b (a

Akú prácu treba vykonať, aby sa pružina natiahla o 0,05 m, ak sila 100 N natiahne pružinu o 0,01 m?

Podľa Hookovho zákona je elastická sila, ktorá napína pružinu, úmerná tomuto natiahnutiu x, t.j. F = kx, kde k je koeficient proporcionality. Podľa stavu úlohy sila F = 100 N natiahne pružinu o x = 0,01 m; preto 100 = k 0,01, odkiaľ k = 10 000; teda F = 10000x.

Požadovaná práca na základe vzorca

A=

Nájdite prácu, ktorú je potrebné vynaložiť na prečerpanie kvapaliny cez okraj zvislej valcovej nádrže s výškou H m a polomerom základne R m (obr. 13).

Práca vynaložená na zdvihnutie telesa s hmotnosťou p do výšky h sa rovná p H. Ale rôzne vrstvy kvapaliny v nádrži sú v rôznych hĺbkach a výške stúpania (k okraju nádrže) nádrže. rôzne vrstvy nie sú rovnaké.

Na vyriešenie problému použijeme schému II (diferenciálna metóda). Zavádzame súradnicový systém.

1) Práca vynaložená na odčerpanie vrstvy kvapaliny s hrúbkou x (0 ≤ x ≤ H) z nádrže je funkciou x, t.j. A \u003d A (x), kde (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Hlavnú časť prírastku ΔA nájdeme pri zmene x o Δx = dx, t.j. nájdeme diferenciál dA funkcie A(x).

Vzhľadom na malosť dx predpokladáme, že „elementárna“ vrstva kvapaliny je v rovnakej hĺbke x (od okraja nádrže). Potom dА = dрх, kde dр je hmotnosť tejto vrstvy; rovná sa g AV, kde g je tiažové zrýchlenie, je hustota kvapaliny, dv je objem „elementárnej“ vrstvy kvapaliny (na obrázku je zvýraznená), t.j. dr = g. Objem tejto kvapalnej vrstvy je samozrejme rovný , kde dx je výška valca (vrstvy), je plocha jeho základne, t.j. dv = .

Teda dр = . a

3) Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od x \u003d 0 do x \u003d H zistíme

A

8. Výpočet integrálov pomocou balíka MathCAD

Pri riešení niektorých aplikovaných problémov je potrebné použiť operáciu symbolickej integrácie. V tomto prípade môže byť program MathCad užitočný ako v počiatočnej fáze (je dobré poznať odpoveď vopred alebo vedieť, že existuje), tak aj v konečnej fáze (je dobré skontrolovať výsledok získaný pomocou odpovede od iného zdroj alebo riešenie inej osoby).

Pri riešení veľkého množstva problémov si môžete všimnúť niektoré funkcie riešenia problémov pomocou programu MathCad. Pokúsme sa na niekoľkých príkladoch pochopiť, ako tento program funguje, analyzovať riešenia získané s jeho pomocou a porovnať tieto riešenia s riešeniami získanými inými metódami.

Hlavné problémy pri používaní programu MathCad sú nasledovné:

a) program dáva odpoveď nie vo forme známych elementárnych funkcií, ale vo forme špeciálnych funkcií, ktoré nie sú známe každému;

b) v niektorých prípadoch „odmieta“ odpovedať, hoci problém má riešenie;

c) niekedy nie je možné použiť získaný výsledok pre jeho objemnosť;

d) rieši problém neúplne a neanalyzuje riešenie.

Na vyriešenie týchto problémov je potrebné využiť silné a slabé stránky programu.

S jeho pomocou je ľahké a jednoduché vypočítať integrály zlomkových racionálnych funkcií. Preto sa odporúča použiť metódu variabilnej substitúcie, t.j. integrál vopred pripraviť na riešenie. Na tieto účely sa môžu použiť vyššie diskutované substitúcie. Treba mať tiež na pamäti, že získané výsledky musia byť skúmané na zhodu domén definície pôvodnej funkcie a získaného výsledku. Niektoré zo získaných riešení si navyše vyžadujú ďalší výskum.

Program MathCad oslobodzuje študenta alebo výskumníka od rutinnej práce, ale nedokáže ho oslobodiť od dodatočnej analýzy pri zadávaní problému ani pri získavaní akýchkoľvek výsledkov.

V tomto príspevku boli zvážené hlavné ustanovenia týkajúce sa štúdia aplikácií určitého integrálu v kurze matematiky.

– bola vykonaná analýza teoretických východísk riešenia integrálov;

- materiál bol podrobený systematizácii a zovšeobecňovaniu.

Počas práce na kurze sa zvažovali príklady praktických problémov z oblasti fyziky, geometrie, mechaniky.

Záver

Vyššie uvedené príklady praktických problémov nám dávajú jasnú predstavu o význame určitého integrálu pre ich riešiteľnosť.

Je ťažké pomenovať vedeckú oblasť, v ktorej by sa vo všeobecnosti neuplatňovali metódy integrálneho počtu a najmä vlastnosti určitého integrálu. Takže v procese práce na kurze sme zvažovali príklady praktických problémov v oblasti fyziky, geometrie, mechaniky, biológie a ekonómie. Samozrejme, toto nie je ani zďaleka vyčerpávajúci zoznam vied, ktoré využívajú integrálnu metódu na nájdenie stanovenej hodnoty pri riešení konkrétneho problému a na stanovenie teoretických faktov.

Určitý integrál sa tiež používa na štúdium samotnej matematiky. Napríklad pri riešení diferenciálnych rovníc, ktoré zase neodmysliteľne prispievajú k riešeniu praktických problémov. Dá sa povedať, že určitý integrál je akýmsi základom pre štúdium matematiky. Preto je dôležité vedieť, ako ich vyriešiť.

Zo všetkého uvedeného je zrejmé, prečo k zoznámeniu s určitým integrálom dochádza aj v rámci priemeru stredná škola, kde sa žiaci učia nielen pojem integrál a jeho vlastnosti, ale aj niektoré jeho aplikácie.

Literatúra

1. Volkov E.A. Numerické metódy. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Diferenciálny a integrálny počet. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Šipačov V.S. Vyššia matematika. M., Vyššia škola, 1990.

Preto hneď prejdem k základným pojmom a praktickým príkladom.

Pozrime sa na jednoduchý obrázok

A pamätajte: čo sa dá vypočítať pomocou určitý integrál?

V prvom rade, samozrejme, oblasť zakriveného lichobežníka. Známy už od školských čias.

Ak sa tento obrazec otáča okolo súradnicovej osi, potom už hovoríme o nájdení telo revolúcie. Je to také jednoduché.

Čo ešte? Nedávno recenzované problém s dĺžkou oblúka .

A dnes sa naučíme, ako vypočítať ešte jednu charakteristiku – ešte jednu oblasť. Predstavte si tú čiaru sa točí okolo osi. V dôsledku tejto akcie sa získa geometrický útvar, tzv rotačný povrch. V tomto prípade pripomína taký hrniec bez dna. A bez krytu. Ako by povedal somár Ijáček, srdcervúci pohľad =)

Aby som odstránil nejednoznačný výklad, urobím nudné, ale dôležité vysvetlenie:

z geometrického hľadiska náš „hrnec“ má nekonečne tenký stena a dva povrchy s rovnakou plochou - vonkajšie a vnútorné. Takže všetky ďalšie výpočty zahŕňajú plochu iba vonkajší povrch.

V pravouhlom súradnicovom systéme sa plocha rotácie vypočíta podľa vzorca:

alebo kompaktnejšie: .

Na funkciu a jej deriváciu sú kladené rovnaké požiadavky ako pri hľadaní dĺžka oblúka krivky, ale okrem toho musí byť krivka umiestnená vyššie osi . Toto je významné! Je ľahké pochopiť, že ak je linka umiestnená pod os, potom bude integrand záporný: , a preto bude potrebné do vzorca pridať znamienko mínus, aby sa zachoval geometrický význam úlohy.

Zvážte nezaslúžene prehliadanú postavu:

Povrchová plocha torusu

Stručne, tor je bagel. Učebnicový príklad, zvažovaný takmer vo všetkých učebniciach matanu, je venovaný hľadaniu objem torus, a preto pre spestrenie rozoberiem vzácnejší problém o jeho povrchová plocha. Najprv s konkrétnymi číselnými hodnotami:

Príklad 1

Vypočítajte povrch torusu získaného otáčaním kruhu okolo osi.

Riešenie: ako poznáš rovnicu súpravy kruh polomer jednotky so stredom . To uľahčuje získanie dvoch funkcií:

– nastavuje horný polkruh;
– nastavuje spodný polkruh:

Podstata je krištáľovo čistá: kruh rotuje okolo osi x a tvorí povrch bagel. Jediná vec, aby ste sa vyhli hrubým výhradám, je opatrnosť v terminológii: ak rotujete kruh, ohraničený kruhom , potom dostanete geometrický útvar telo, teda samotný rožok. A teraz sa bavte o tom povrchy, ktorý je samozrejme potrebné vypočítať ako súčet plôch:

1) Nájdite plochu povrchu, ktorá sa získa otáčaním „modrého“ oblúka okolo osi x. Používame vzorec . Ako som opakovane odporučil, je pohodlnejšie vykonávať akcie v etapách:

Berieme funkciu a nájsť to derivát:

A nakoniec načítame výsledok do vzorca:

Všimnite si, že v tomto prípade sa to ukázalo ako racionálnejšie dvojnásobok integrálu párnej funkcie v priebehu riešenia, skôr než predbežne diskutovať o symetrii obrazca vzhľadom na os y.

2) Nájdite plochu povrchu, ktorá sa získa otáčaním „červeného“ oblúka okolo osi x. Všetky akcie sa budú líšiť v skutočnosti iba jedným znakom. Navrhnem riešenie v inom štýle, ktorý má, samozrejme, aj právo na život:


3) Povrchová plocha torusu:

Odpoveď:

Problém by sa dal vyriešiť všeobecným spôsobom - vypočítať povrchovú plochu torusu získanú otáčaním kruhu okolo osi x a získať odpoveď . Pre prehľadnosť a väčšiu jednoduchosť som však riešenie realizoval na konkrétnych číslach.

Ak potrebujete vypočítať objem samotnej šišky, pozrite si návod ako rýchly odkaz:

Podľa teoretickej poznámky uvažujeme o hornom polkruhu. Je "vykreslený" pri zmene hodnoty parametra v rámci (to je ľahké vidieť v tomto intervale), takto:

Odpoveď:

Ak problém vyriešime všeobecne, dostaneme presne školský vzorec pre oblasť gule, kde je jej polomer.

Niečo bolestivo jednoduchý problém, dokonca som sa hanbil .... Odporúčam opraviť túto chybu =)

Príklad 4

Vypočítajte plochu povrchu získanú rotáciou prvého oblúka cykloidy okolo osi.

Úloha je kreatívna. Pokúste sa odvodiť alebo vytušiť vzorec na výpočet plochy povrchu získanej rotáciou krivky okolo osi y. A, samozrejme, opäť treba poznamenať výhodu parametrických rovníc - nie je potrebné ich nejako upravovať; netreba sa obťažovať hľadaním iných hraníc integrácie.

Cykloidný graf si môžete pozrieť na stránke Plocha a objem, ak je linka nastavená parametricky. Plocha rotácie sa bude podobať ... ani neviem, s čím to porovnať ... niečo nadpozemské - zaoblené so špicatou priehlbinou v strede. Tu mi pre prípad rotácie cykloidy okolo osi okamžite prišla na um asociácia - podlhovastá rugbyová lopta.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Našu fascinujúcu recenziu uzatvárame prípadom polárne súradnice. Áno, je to recenzia, ak sa pozriete do učebníc matematickej analýzy (od Fikhtengoltsa, Bokhana, Piskunova a iných autorov), môžete získať dobrý tucet (alebo dokonca výrazne viac) štandardných príkladov, medzi ktorými je celkom možné, že nájde problém, ktorý potrebujete.

Ako vypočítať plochu revolúcie,
ak je čiara uvedená v polárnom súradnicovom systéme?

Ak je krivka nastavená na polárne súradnice rovnica a funkcia má spojitú deriváciu na danom intervale, potom sa plocha získaná rotáciou tejto krivky okolo polárnej osi vypočíta podľa vzorca , kde sú uhlové hodnoty zodpovedajúce koncom krivky.

V súlade s geometrickým významom problému integrand , a to sa dosiahne iba vtedy, ak (a sú známe ako nezáporné). Preto je potrebné zvážiť hodnoty uhla z rozsahu , inými slovami, krivka by mala byť umiestnená vyššie polárna os a jej predĺženia. Ako vidíte, rovnaký príbeh ako v predchádzajúcich dvoch odsekoch.

Príklad 5

Vypočítajte plochu povrchu tvorenú rotáciou kardioidy okolo polárnej osi.

Riešenie: graf tejto krivky je možné vidieť v príklade 6 lekcie o polárny súradnicový systém. Kardioida je symetrická okolo polárnej osi, takže jej hornú polovicu zvažujeme na medzere (čo je v skutočnosti tiež spôsobené vyššie uvedenou poznámkou).

Plocha rotácie bude pripomínať terč.

Technika riešenia je štandardná. Poďme nájsť derivát vzhľadom na "phi":

Zložte a zjednodušte koreň:

Dúfam, že s nadpočetnými

Zdravím vás, milí študenti Argemony University!

Dnes budeme pokračovať v štúdiu materializácie predmetov. Minule sme otáčali ploché postavy a dostali sme trojrozmerné telá. Niektoré z nich sú veľmi lákavé a užitočné. Myslím, že toľko, čo kúzelník vymyslí, sa dá využiť v budúcnosti.

Dnes budeme otáčať krivky. Je jasné, že týmto spôsobom môžeme získať nejaký predmet s veľmi tenkými okrajmi (kužeľ alebo fľašu na elixíry, vázu na kvety, pohár na nápoje atď.), pretože práve takéto predmety dokáže vytvoriť rotujúca krivka. . Inými slovami, otáčaním krivky môžeme získať nejaký druh povrchu - uzavretý zo všetkých strán alebo nie. Prečo som si práve teraz spomenul na dierovaný pohár, z ktorého celý čas pil sir Shurf Lonley-Lockley.

Takže vytvoríme deravú misku a neperforovanú misku a vypočítame plochu vytvoreného povrchu. Myslím, že z nejakého dôvodu to (vo všeobecnosti plocha) bude potrebné - teda aspoň na nanášanie špeciálnej magickej farby. A na druhej strane, oblasti magických artefaktov môžu byť potrebné na výpočet magických síl, ktoré na ne pôsobia, alebo niečo iné. Naučíme sa, ako ho nájsť, a nájdeme, kde ho aplikovať.

Takže kúsok paraboly nám môže dať tvar misky. Zoberme si najjednoduchšie y=x 2 na intervale . Je vidieť, že keď sa otáča okolo osi OY, získa sa len miska. Žiadne dno.

Kúzlo na výpočet povrchovej plochy rotácie je nasledovné:

Tu |y| je vzdialenosť od osi otáčania k akémukoľvek bodu na krivke, ktorý sa otáča. Ako viete, vzdialenosť je kolmica.
Trochu ťažšie s druhým prvkom kúzla: ds je oblúkový diferenciál. Tieto slová nám nič nedávajú, tak sa netrápme, ale prepnime do reči vzorcov, kde je tento diferenciál výslovne uvedený pre všetky nám známe prípady:
- karteziánsky súradnicový systém;
- záznamy krivky v parametrickej forme;
- polárny súradnicový systém.

V našom prípade je vzdialenosť od osi rotácie k ľubovoľnému bodu na krivke x. Zvažujeme povrch výslednej dierovanej misky:

Ak chcete vyrobiť misku s dnom, musíte si vziať ďalší kus, ale s inou krivkou: na intervale je to čiara y=1.

Je jasné, že keď sa otáča okolo osi OY, dno misky sa získa vo forme kruhu s jednotkovým polomerom. A vieme, ako sa vypočíta plocha kruhu (podľa vzorca pi * r ^ 2. V našom prípade sa plocha kruhu bude rovnať pi), ale vypočítame to pomocou nového vzorca - na overenie.
Vzdialenosť od osi rotácie k akémukoľvek bodu tejto časti krivky je tiež x.

Naše výpočty sú správne, čo poteší.

A teraz domáca úloha.

1. Nájdite plochu povrchu získanú otáčaním polyčiary ABC, kde A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), okolo osi OX.
Poradenstvo. Zaznamenajte všetky segmenty v parametrickej forme.
AB: x=1, y=t, 2BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Mimochodom, ako vyzerá výsledná položka?

2. No a teraz niečo vymyslite sami. Tri položky, myslím, stačia.

I. Objemy revolučných telies. Predbežne si preštudujte kapitolu XII, str. 197, 198, podľa učebnice G. M. Fikhtengol'ts* Podrobne analyzujte príklady uvedené na str. 198.

508. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elipsy okolo osi x.

Touto cestou,

530. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou okolo osi Ox oblúka sínusoidy y \u003d sin x z bodu X \u003d 0 do bodu X \u003d It.

531. Vypočítajte povrch kužeľa s výškou h a polomerom r.

532. Vypočítajte povrch tvorený

rotácia astroidu x3 -) - y* - a3 okolo osi x.

533. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú inverziou slučky krivky 18 y-x(6-x)r okolo osi x.

534. Nájdite povrch torusu, ktorý vznikne rotáciou kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 okolo osi x.

535. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú rotáciou kruhu X = a cost, y = asint okolo osi Ox.

536. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú rotáciou slučky krivky x = 9t2, y = St - 9t3 okolo osi Ox.

537. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou oblúka krivky x = e * sint, y = el cost okolo osi Ox

od t = 0 do t = -.

538. Ukážte, že plocha vytvorená rotáciou oblúka cykloidy x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) okolo osi Oy sa rovná 16 u2 o2.

539. Nájdite plochu získanú rotáciou kardioidy okolo polárnej osi.

540. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou lemniskátu okolo polárnej osi.

Dodatočné úlohy pre kapitolu IV

Plochy rovinných postáv

541. Nájdite celú oblasť oblasti ohraničenú krivkou A os Oh.

542. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

543. Nájdite časť oblasti regiónu umiestnenú v prvom kvadrante a ohraničenú krivkou

l súradnicové osi.

544. Nájdite oblasť oblasti, ktorá sa v nej nachádza

slučky:

545. Nájdite oblasť oblasti ohraničenú jednou slučkou krivky:

546. Nájdite oblasť oblasti vo vnútri slučky:

547. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

548. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

549. Nájdite oblasť regiónu ohraničenú osou Oxr

rovné a zakrivené