Monomiálny je výraz, ktorý je výsledkom dvoch alebo viacerých faktorov, z ktorých každý je číslo vyjadrené písmenom, číslicami alebo mocninou (s nezáporným exponentom celého čísla):

2a, a 3 X, 4abc, -7X

Keďže súčin identických faktorov možno zapísať ako stupeň, potom jeden stupeň (s nezáporným celočíselným exponentom) je tiež monomický:

(-4) 3 , X 5 ,

Keďže číslo (celé alebo zlomkové), vyjadrené písmenom alebo číslami, možno zapísať ako súčin tohto čísla jednotkou, potom každé jednotlivé číslo možno považovať za jednočlenné:

X, 16, -a,

Štandardná forma monomiálu

Štandardná forma monomiálu- ide o jednočlen, ktorý má len jeden číselný činiteľ, ktorý treba zapísať na prvom mieste. Všetky premenné sú v abecednom poradí a sú obsiahnuté v monomiáli iba raz.

Čísla, premenné a stupne premenných sa vzťahujú aj na monomály štandardného tvaru:

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomály štandardného tvaru.

Číselný faktor štandardného tvarového monomiálu sa nazýva monomiálny koeficient. Monomické koeficienty rovné 1 a -1 sa zvyčajne nepíšu.

Ak v monomiáli štandardnej formy nie je žiadny číselný faktor, potom sa predpokladá, že koeficient monomiálu je 1:

X 3 = 1 X 3

Ak v monomiáli štandardného tvaru nie je žiadny číselný faktor a predchádza mu znamienko mínus, potom sa predpokladá, že koeficient monomiálu je -1:

-X 3 = -1 X 3

Redukcia monomiálu na štandardnú formu

Na uvedenie monomiálu do štandardnej formy potrebujete:

1. Vynásobte číselné faktory, ak ich je niekoľko. Zvýšte číselný faktor na mocninu, ak má exponent. Na prvé miesto dajte násobiteľa čísel.
2. Vynásobte všetky identické premenné tak, aby sa každá premenná vyskytla v monomiáli iba raz.
3. Usporiadajte premenné za číselným faktorom v abecednom poradí.

Príklad. Vyjadrite jednočlen v štandardnej forme:

a) 3 yx 2 (-2) r 5 X; b) 6 bc 0,5 ab 3

Riešenie:

a) 3 yx 2 (-2) r 5 X= 3 (-2) X 2 Xrr 5 = -6X 3 r 6
b) 6 bc 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Stupeň monomiálu

Stupeň monomiálu je súčet exponentov všetkých písmen v ňom.

Ak je jednočlen číslo, to znamená, že neobsahuje premenné, potom sa jeho stupeň považuje za rovný nule. Napríklad:

5, -7, 21 - jednostupňové nula.

Preto, aby ste našli stupeň monomiálu, musíte určiť exponent každého z písmen v ňom zahrnutých a tieto exponenty pridať. Ak nie je zadaný exponent písmena, potom sa rovná jednej.

Príklady:

Takže ako sa máš X exponent nie je určený, to znamená, že je rovný 1. Monomial neobsahuje ďalšie premenné, čo znamená, že jeho stupeň je rovný 1.

Monomial obsahuje iba jednu premennú v druhom stupni, čo znamená, že stupeň tohto monomiálu je 2.

3) ab 3 c 2 d

Index a sa rovná 1, indikátor b- 3, indikátor c- 2, indikátor d- 1. Stupeň tohto monomiálu sa rovná súčtu týchto ukazovateľov.

Stupeň monomiálu

Pre monomiál existuje pojem jeho stupňa. Poďme zistiť, čo to je.

Definícia.

Stupeň monomiáluštandardná forma je súčet exponentov všetkých premenných zahrnutých v jeho zázname; ak v monomiálnom zázname nie sú žiadne premenné a je odlišný od nuly, potom sa jeho stupeň považuje za nulový; číslo nula sa považuje za jednočlenné, ktorého stupeň nie je definovaný.

Definícia stupňa monomiálu nám umožňuje uviesť príklady. Stupeň monomiálu a je rovný jednej, keďže a je a 1 . Stupeň monomiálu 5 je nula, pretože je nenulový a jeho zápis neobsahuje žiadne premenné. A súčin 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 je monočlen ôsmeho stupňa, keďže súčet exponentov všetkých premenných a, x a y je 2+1+3+2=8.

Mimochodom, stupeň monomiálu, ktorý nie je napísaný v štandardnej forme, sa rovná stupňu zodpovedajúceho štandardného tvaru monomial. Na ilustráciu toho, čo bolo povedané, vypočítame stupeň monomiálu 3 x 2 y 3 x (-2) x 5 r. Tento jednočlen v štandardnom tvare má tvar −6·x 8 ·y 4 , jeho stupeň je 8+4=12 . Stupeň pôvodného monomiálu je teda 12 .

Monomálny koeficient

Monomial v štandardnom tvare, ktorý má vo svojom zápise aspoň jednu premennú, je súčinom s jediným číselným faktorom - číselným koeficientom. Tento koeficient sa nazýva monomiálny koeficient. Vyššie uvedenú úvahu formalizujme vo forme definície.

Definícia.

Monomálny koeficient je číselný faktor jednočlena zapísaný v štandardnom tvare.

Teraz môžeme uviesť príklady koeficientov rôznych monomílov. Číslo 5 je podľa definície koeficient jednočlenu 5 a 3, podobne aj jednočlen (−2,3) x y z má koeficient −2,3 .

Osobitnú pozornosť si zasluhujú koeficienty monočlenov rovné 1 a −1. Ide o to, že zvyčajne nie sú v zázname výslovne uvedené. Predpokladá sa, že koeficient monomiálov štandardnej formy, ktoré nemajú vo svojom zápise číselný faktor, sa rovná jednej. Napríklad monomiály a, xz3, atx atď. majú koeficient 1, keďže a možno považovať za 1 a, x z 3 za 1 x z 3 atď.

Podobne koeficient jednočlenov, ktorých údaje v štandardnom tvare nemajú číselný faktor a začínajú znamienkom mínus, sa považuje za mínus jedna. Napríklad monočleny −x , −x 3 y z 3 atď. mať koeficient −1 , pretože −x=(−1) x , −x 3 y z 3 = (−1) x 3 y z 3 atď.

Mimochodom, pojem koeficient monomílu sa často označuje ako monomiály štandardného tvaru, čo sú čísla bez abecedných faktorov. Koeficienty takýchto jednočlenných čísel sa považujú za tieto čísla. Takže napríklad koeficient monomiálu 7 sa považuje za rovný 7.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

V tejto lekcii uvedieme prísnu definíciu monomiálu, zvážte rôzne príklady z učebnice. Pripomeňme si pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom. Uveďme definíciu štandardného tvaru jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho doslovnú časť. Uvažujme o dvoch základných typických operáciách s monomiáliami, a to o redukcii na štandardnú formu a výpočet špecifickej číselnej hodnoty monomiálu pre dané hodnoty doslovných premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté. Sformulujme pravidlo pre redukciu monomiálu na štandardný tvar. Poďme sa naučiť, ako riešiť typické problémy s akýmikoľvek monomámi.

téma:monomiály. Aritmetické operácie s jednočlenmi

lekcia:Koncept monomiálu. Štandardná forma monomiálu

Zvážte niekoľko príkladov:

3. ;

Nájdime spoločné znaky pre dané výrazy. Vo všetkých troch prípadoch je výraz súčinom čísel a premenných umocnených na mocninu. Na základe toho dávame definícia monomiálu : jednočlen je algebraický výraz, ktorý pozostáva zo súčinu mocnín a čísel.

Teraz uvádzame príklady výrazov, ktoré nie sú jednočlenné:

Nájdime rozdiel medzi týmito výrazmi a predchádzajúcimi. Spočíva v tom, že v príkladoch 4-7 sú operácie sčítania, odčítania alebo delenia, kým v príkladoch 1-3, ktoré sú jednočlenné, tieto operácie nie sú.

Tu je niekoľko ďalších príkladov:

Výraz číslo 8 je jednočlenný, pretože je súčinom mocniny a čísla, zatiaľ čo príklad 9 jednočlenný nie je.

Teraz to poďme zistiť akcie na monomály .

1. Zjednodušenie. Zvážte príklad č. 3 ;a príklad č. 2 /

V druhom príklade vidíme iba jeden koeficient - , každá premenná sa vyskytuje iba raz, teda premenná " a“ je reprezentovaný v jedinom prípade ako „“, podobne aj premenné „“ a „“ sa vyskytujú iba raz.

V príklade č. 3 sú naopak dva rôzne koeficienty - a , premennú "" vidíme dvakrát - ako "" a ako "", podobne premenná "" sa vyskytuje dvakrát. To znamená, že tento výraz by sa mal zjednodušiť, čím sa dostávame prvou akciou vykonanou na monomiách je uvedenie monomiálu do štandardnej formy . Aby sme to urobili, prenesieme výraz z príkladu 3 do štandardného tvaru, potom definujeme túto operáciu a naučíme sa, ako preniesť ľubovoľný jednočlen do štandardného tvaru.

Takže zvážte príklad:

Prvým krokom v operácii štandardizácie je vždy vynásobenie všetkých číselných faktorov:

;

Výsledok tejto akcie bude vyvolaný monomiálny koeficient .

Ďalej musíte vynásobiť stupne. Vynásobíme stupne premennej " X“podľa pravidla pre násobenie mocnín s rovnakým základom, ktoré hovorí, že pri násobení sa exponenty spočítajú:

Teraz znásobme sily pri»:

;

Takže tu je zjednodušený výraz:

;

Akýkoľvek monomiál môže byť zredukovaný na štandardnú formu. Poďme formulovať štandardizačné pravidlo :

Vynásobte všetky číselné faktory;

Dajte výsledný koeficient na prvé miesto;

Vynásobte všetky stupne, to znamená, že získate časť písmena;

To znamená, že akýkoľvek monomiál je charakterizovaný koeficientom a písmenom. Pri pohľade do budúcnosti si všimneme, že monomály, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nazývajú podobné.

Teraz musíte zarobiť technika na redukciu monomiálov na štandardnú formu . Zvážte príklady z učebnice:

Úloha: priveďte jednohlas do štandardného tvaru, pomenujte koeficient a písmenovú časť.

Na dokončenie úlohy používame pravidlo uvedenia monomiálu do štandardného tvaru a vlastnosti stupňov.

1. ;

3. ;

Komentáre k prvému príkladu: Na začiatok určme, či je tento výraz skutočne jednočlenný, preto skontrolujeme, či obsahuje operácie násobenia čísel a mocnín a či obsahuje operácie sčítania, odčítania alebo delenia. Môžeme povedať, že tento výraz je jednočlenný, pretože vyššie uvedená podmienka je splnená. Ďalej, podľa pravidla uvedenia monomiálu do štandardnej formy, vynásobíme číselné faktory:

- našli sme koeficient daného monomiálu;

; ; ; to znamená, že sa prijíma doslovná časť výrazu:;

zapíšte odpoveď: ;

Komentáre k druhému príkladu: Podľa pravidla vykonáme:

1) vynásobte číselné faktory:

2) vynásobte mocniny:

Premenné a sú prezentované v jednej kópii, to znamená, že sa nedajú ničím násobiť, prepisujú sa bez zmien, stupeň sa násobí:

napíš odpoveď:

;

V tomto príklade sa monomiálny koeficient rovná jednej a doslovná časť je .

Komentáre k tretiemu príkladu: a podobne ako v predchádzajúcich príkladoch vykonáme nasledujúce akcie:

1) vynásobte číselné faktory:

;

2) vynásobte mocniny:

;

napíš odpoveď: ;

V tomto prípade sa koeficient monomiálu rovná "" a doslovnej časti .

Teraz zvážte druhá štandardná operácia na monomiáliách . Keďže monomický výraz je algebraický výraz pozostávajúci z doslovných premenných, ktoré môžu nadobúdať špecifické číselné hodnoty, máme aritmetický číselný výraz, ktorý by sa mal vypočítať. To znamená, že nasledujúca operácia s polynómami je výpočet ich konkrétnej číselnej hodnoty .

Zvážte príklad. Monomial je daný:

tento jednočlen už bol zredukovaný na štandardnú formu, jeho koeficient sa rovná jednej a doslovná časť

Predtým sme povedali, že algebraický výraz nemožno vždy vypočítať, to znamená, že premenné, ktoré do neho vstupujú, nemusia mať žiadnu hodnotu. V prípade monomiálu môžu byť premenné v ňom zahrnuté ľubovoľné, to je vlastnosť monomiálu.

Takže v uvedenom príklade je potrebné vypočítať hodnotu monomiálu pre , , , .

1. Celočíselný kladný koeficient. Nech máme jednočlenný +5a, keďže kladné číslo +5 sa považuje za rovnaké ako aritmetické číslo 5, potom

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

Tiež +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc atď.

Na základe týchto príkladov môžeme stanoviť, že kladný celočíselný koeficient ukazuje, koľkokrát sa doslovný faktor (alebo: súčin doslovných faktorov) monomíálu opakuje s členom.

Človek by si na to mal zvyknúť do takej miery, že sa v predstave okamžite objaví, že napríklad v mnohočlene

3a + 4a² + 5a³

záležitosť sa redukuje na skutočnosť, že najprv sa a² opakuje 3-krát ako termín, potom sa a³ opakuje 4-krát ako termín a potom sa a 5-krát opakuje ako termín.

Tiež: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ atď.

2. Kladný zlomkový koeficient. Nech máme jednočlenný +a. Keďže kladné číslo + sa zhoduje s aritmetickým číslom, potom +a = a ∙ , čo znamená: potrebujete vziať tri štvrtiny čísla a, t.j.

Preto: zlomkový kladný koeficient ukazuje, koľkokrát a aká časť doslovného násobiteľa monomiálu sa v člene opakuje.

Polynóm by mal byť ľahko reprezentovaný ako:

atď.

3. Záporný koeficient. Keď poznáme násobenie relatívnych čísel, môžeme ľahko zistiť, že napríklad (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) alebo (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) alebo vo všeobecnosti a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); aj a ∙ (–) = (–a) ∙ (+) atď.

Preto, ak vezmeme monomiál so záporným koeficientom, napríklad –3a, potom

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a sa berie ako člen 3-krát).

Z týchto príkladov vidíme, že záporný koeficient ukazuje, koľkokrát sa písmenová časť jednočlenu alebo jeho určitý zlomok, braný so znamienkom mínus, opakuje v danom výraze.

Monomiály sú jedným z hlavných typov výrazov študovaných v rámci školského kurzu algebry. V tomto článku vám povieme, čo sú to za výrazy, definujeme ich štandardnú formu a ukážeme príklady, ako aj sa zaoberáme súvisiacimi pojmami, ako je stupeň monomiálu a jeho koeficient.

Čo je to monomial

Školské učebnice zvyčajne uvádzajú túto definíciu tohto pojmu:

Definícia 1

Monoméry zahŕňajúčísla, premenné, ako aj ich stupne s prirodzeným ukazovateľom a rôzne druhy výrobkov z nich zostavených.

Na základe tejto definície môžeme uviesť príklady takýchto výrazov. Takže všetky čísla 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 budú odkazovať na jednočleny. Všetky premenné, napríklad x, a, b, p, q, t, y, z budú tiež podľa definície jednočlenné. Patria sem aj mocniny premenných a čísel, napríklad 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 a t 15, ako aj výrazy ako 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z atď. Všimnite si, prosím, že monočlen môže obsahovať buď jedno číslo alebo premennú, alebo niekoľko a môžu byť uvedené niekoľkokrát ako súčasť jedného polynómu.

Také typy čísel, ako sú celé čísla, racionality, prirodzené čísla, patria tiež k jednočlenom. Môžete sem zahrnúť aj reálne a komplexné čísla. Takže výrazy ako 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 budú tiež jednočlenné.

Aký je štandardný tvar jednočlena a ako naň previesť výraz

Pre pohodlie práce sa všetky monomiály najskôr zredukujú na špeciálnu formu, ktorá sa nazýva štandardná. Upresnime, čo to znamená.

Definícia 2

Štandardná forma monomiálu nazývajú to takou formou, v ktorej je súčinom číselného faktora a prirodzených mocnín rôznych premenných. Číselný faktor, nazývaný aj monomiálny koeficient, sa zvyčajne zapisuje najskôr z ľavej strany.

Pre prehľadnosť vyberáme niekoľko jednočlenov štandardného tvaru: 6 (ide o jednočlen bez premenných), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . To zahŕňa aj výraz x y(tu bude koeficient rovný 1), − x 3(tu je koeficient - 1).

Teraz uvádzame príklady monomilov, ktoré je potrebné uviesť do štandardnej formy: 4 a 2 a 3(tu musíte skombinovať rovnaké premenné), 5 x (− 1) 3 r. 2(tu musíte skombinovať číselné faktory vľavo).

Zvyčajne v prípade, keď má monomiál niekoľko premenných napísaných písmenami, sú faktory písmen napísané v abecednom poradí. Napríklad preferovaný záznam 6 a b 4 c z 2, ako b 4 6 a z 2 c. Poradie sa však môže líšiť, ak si to vyžaduje účel výpočtu.

Akýkoľvek monomiál môže byť zredukovaný na štandardnú formu. Aby ste to dosiahli, musíte vykonať všetky potrebné identické transformácie.

Pojem stupňa monomiálu

Sprievodný pojem stupňa monomiálu je veľmi dôležitý. Zapíšme si definíciu tohto pojmu.

Definícia 3

Stupeň monomiálu, zapísaný v štandardnej forme, je súčtom exponentov všetkých premenných, ktoré sú zahrnuté v jeho zázname. Ak v ňom nie je jediná premenná a samotný monomiál je odlišný od 0, potom bude jeho stupeň nula.

Uveďme príklady stupňov monomiálu.

Príklad 1

Takže jednočlenné a má stupeň 1, pretože a = a 1 . Ak máme jednočlenný 7 , potom bude mať nulový stupeň, pretože nemá žiadne premenné a je odlišný od 0 . A tu je vstup 7 a 2 x y 3 a 2 bude monomiál 8. stupňa, pretože súčet exponentov všetkých stupňov premenných v ňom zahrnutých sa bude rovnať 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Štandardizovaný monomizmus a pôvodný polynóm budú mať rovnaký stupeň.

Príklad 2

Ukážme si, ako vypočítať stupeň monomiálu 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 r. V štandardnej forme sa môže písať ako − 6 x 8 rokov 4. Vypočítame stupeň: 8 + 4 = 12 . Stupeň pôvodného polynómu sa teda tiež rovná 12.

Koncept monomiálneho koeficientu

Ak máme štandardizovaný monomiál, ktorý obsahuje aspoň jednu premennú, tak o ňom hovoríme ako o súčine s jedným číselným faktorom. Tento faktor sa nazýva číselný koeficient alebo monomiálny koeficient. Zapíšme si definíciu.

Definícia 4

Koeficient jednočlena je číselný faktor jednočlena zredukovaný na štandardný tvar.

Vezmime si napríklad koeficienty rôznych monomílov.

Príklad 3

Takže vo výraze 8 a 3 koeficient bude číslo 8 a in (− 2, 3) x y z oni budú − 2 , 3 .

Osobitná pozornosť by sa mala venovať koeficientom rovným jednej a mínus jedna. Spravidla nie sú výslovne uvedené. Predpokladá sa, že v monomiáli štandardného tvaru, v ktorom nie je žiadny číselný faktor, je koeficient 1, napríklad vo výrazoch a, x z 3, a t x, pretože ich možno považovať za 1 a, x z 3 - ako 1 x z 3 atď.

Podobne v monomáciách, ktoré nemajú číselný faktor a ktoré začínajú znamienkom mínus, môžeme uvažovať o koeficiente - 1.

Príklad 4

Napríklad výrazy − x, − x 3 y z 3 budú mať takýto koeficient, pretože ich možno znázorniť ako − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 atď.

Ak monomiál vôbec nemá jediný doslovný násobiteľ, potom sa aj v tomto prípade dá hovoriť o koeficiente. Koeficienty takýchto jednočlenných čísel budú tieto čísla samotné. Takže napríklad koeficient monomiálu 9 sa bude rovnať 9.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter