Harmonické kmitanie je jav periodickej zmeny nejakej veličiny, pri ktorej má závislosť od argumentu charakter funkcie sínus alebo kosínus. Napríklad množstvo, ktoré sa mení v čase takto harmonicky kolíše:

kde x je hodnota meniacej sa veličiny, t je čas, ostatné parametre sú konštantné: A je amplitúda kmitov, ω je cyklická frekvencia kmitov, je úplná fáza kmitov, je počiatočná fáza kmitov. oscilácie.

Zovšeobecnené harmonické kmitanie v diferenciálnej forme

(Akékoľvek netriviálne riešenie tejto diferenciálnej rovnice je harmonické kmitanie s cyklickou frekvenciou)

Druhy vibrácií

Voľné vibrácie vznikajú pôsobením vnútorných síl systému po vyvedení systému z rovnováhy. Aby boli voľné kmity harmonické, je potrebné, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a nemal by v ňom dochádzať k rozptylu energie (to by spôsobovalo tlmenie).

Nútené kmity sa vykonávajú pod vplyvom vonkajšej periodickej sily. Aby boli harmonické, stačí, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a samotná vonkajšia sila sa v čase mení ako harmonická oscilácia (to znamená, že časová závislosť tejto sily je sínusová) .

Harmonická vibračná rovnica

udáva závislosť kolísavej hodnoty S od času t; toto je rovnica voľných harmonických kmitov v explicitnej forme. Rovnica kmitov sa však zvyčajne chápe ako iný záznam tejto rovnice v diferenciálnom tvare. Pre definitívnosť berieme rovnicu (1) v tvare

Rozlišujte to dvakrát s ohľadom na čas:

Je možné vidieť, že platí nasledujúci vzťah:

ktorá sa nazýva rovnica voľných harmonických kmitov (v diferenciálnom tvare). Rovnica (1) je riešením diferenciálnej rovnice (2). Keďže rovnica (2) je diferenciálna rovnica druhého rádu, na získanie úplného riešenia (t. j. na určenie konštánt A a   zahrnutých v rovnici (1) sú potrebné dve počiatočné podmienky); napríklad poloha a rýchlosť oscilačného systému pri t = 0.

Matematické kyvadlo je oscilátor, čo je mechanický systém pozostávajúci z hmotného bodu umiestneného na beztiažovom neroztiahnuteľnom závite alebo na beztiažovej tyči v rovnomernom poli gravitačných síl. Perióda malých vlastných kmitov matematického kyvadla dĺžky l, nehybne zaveseného v rovnomernom gravitačnom poli s voľným pádovým zrýchlením g, sa rovná

a nezávisí od amplitúdy a hmotnosti kyvadla.

Fyzické kyvadlo je oscilátor, čo je tuhé teleso, ktoré kmitá v poli akýchkoľvek síl okolo bodu, ktorý nie je ťažiskom tohto telesa, alebo pevnej osi kolmej na smer síl a neprechádzajúceho cez ťažisko tohto telesa.

Harmonické kmity sú kmity, pri ktorých sa fyzikálna veličina v čase mení podľa harmonického (sínusového, kosínusového) zákona. Rovnicu harmonickej oscilácie možno zapísať takto:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
alebo
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - odchýlka od rovnovážnej polohy v čase t
A - amplitúda kmitania, rozmer A je rovnaký ako rozmer X
ω - cyklická frekvencia, rad/s (radiány za sekundu)
φ - počiatočná fáza, rad
t - čas, s
T - perióda oscilácie, s
f - frekvencia oscilácií, Hz (Hertz)
π - konštanta približne rovná 3,14, 2π=6,28

Perióda oscilácie, frekvencia v hertzoch a cyklická frekvencia sú spojené vzťahmi.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Aby ste si zapamätali tieto vzťahy, musíte pochopiť nasledujúce.
Každý z parametrov ω, f, T jednoznačne určuje ostatné. Na opis kmitov stačí použiť jeden z týchto parametrov.

Obdobie T je čas jednej fluktuácie, je vhodné ju použiť na vykreslenie fluktuačných grafov.
Cyklická frekvencia ω - používa sa na písanie rovníc kmitov, umožňuje vykonávať matematické výpočty.
Frekvencia f - počet kmitov za jednotku času, sa používa všade. V hertzoch meriame frekvenciu, na ktorú sú naladené rádiá, ako aj dosah mobilných telefónov. Frekvencia vibrácií strún sa pri ladení hudobných nástrojov meria v hertzoch.

Výraz (ωt+φ) sa nazýva fáza kmitania a hodnota φ sa nazýva počiatočná fáza, pretože sa rovná fáze kmitania v čase t=0.

Funkcie sínus a kosínus opisujú pomery strán v pravouhlom trojuholníku. Preto mnohí nechápu, ako tieto funkcie súvisia s harmonickými osciláciami. Tento vzťah je demonštrovaný rovnomerne rotujúcim vektorom. Projekcia rovnomerne rotujúceho vektora vytvára harmonické kmity.
Na obrázku nižšie je príklad troch harmonických kmitov. Rovnaké vo frekvencii, ale odlišné vo fáze a amplitúde.

výkyvy nazývané pohyby alebo procesy, ktoré sa vyznačujú určitým opakovaním v čase. Oscilačné procesy sú v prírode a technike rozšírené, napríklad hojdanie hodinového kyvadla, striedavý elektrický prúd atď. Pri kmitaní kyvadla sa mení súradnica jeho ťažiska, v prípade striedavého prúdu napätie a prúd v okruhu kolísať. Fyzikálna podstata kmitov môže byť rôzna, preto sa rozlišujú kmity mechanické, elektromagnetické atď.. Rôzne oscilačné procesy sú však opísané rovnakými charakteristikami a rovnakými rovnicami. Z toho vyplýva realizovateľnosť jednotný prístup k štúdiu vibrácií odlišná fyzická povaha.

Výkyvy sú tzv zadarmo, ak sa zhotovujú len pod vplyvom vnútorných síl pôsobiacich medzi prvkami sústavy, po vyvedení sústavy z rovnováhy vonkajšími silami a ponechaní na seba. Vždy voľné vibrácie tlmené oscilácie pretože energetické straty sú v reálnych systémoch nevyhnutné. V idealizovanom prípade systému bez straty energie sa nazývajú voľné oscilácie (pokračujúce tak dlho, ako je to žiaduce). vlastné.

Najjednoduchším typom voľných netlmených kmitov sú harmonické kmity - kolísanie, pri ktorom sa kolísajúca hodnota mení s časom podľa sínusového (kosínusového) zákona. Oscilácie vyskytujúce sa v prírode a technike majú často charakter blízky harmonickému.

Harmonické vibrácie sú opísané rovnicou nazývanou rovnica harmonických vibrácií:

kde ALE- amplitúda kolísania, maximálna hodnota kolísavej hodnoty X; - kruhová (cyklická) frekvencia vlastných kmitov; - počiatočná fáza kmitania v časovom okamihu t= 0; - fáza kmitania v čase t. Fáza kmitania určuje hodnotu kmitajúcej veličiny v danom čase. Pretože sa kosínus mení od +1 do -1 X môže nadobúdať hodnoty od + A predtým - ALE.

čas T, pre ktorý systém dokončí jeden úplný kmit, sa nazýva perióda oscilácie. Počas T fáza oscilácie sa zvýši o 2 π , t.j.

Kde . (14.2)

Prevrátená hodnota periódy oscilácie

t.j. počet úplných kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia kmitov. Porovnaním (14.2) a (14.3) dostaneme

Jednotkou frekvencie je hertz (Hz): 1 Hz je frekvencia, pri ktorej prebehne jedna úplná oscilácia za 1 s.

Systémy, v ktorých sa môžu vyskytnúť voľné vibrácie, sa nazývajú oscilátory . Aké vlastnosti musí mať sústava, aby v nej dochádzalo k voľným osciláciám? Mechanický systém musí mať poloha stabilnej rovnováhy, po opustení sa objaví obnovenie sily smerom k rovnováhe. Táto poloha zodpovedá, ako je známe, minimu potenciálnej energie systému. Uvažujme niekoľko oscilačných systémov, ktoré spĺňajú uvedené vlastnosti.

Zmeny v čase podľa sínusového zákona:

kde X- hodnota kolísajúcej veličiny v čase t, ALE- amplitúda, ω - kruhová frekvencia, φ je počiatočná fáza oscilácií, ( φt + φ ) je celková fáza kmitov . Zároveň aj hodnoty ALE, ω a φ - trvalý.

Pre mechanické vibrácie s oscilačnou hodnotou X sú najmä posuv a rýchlosť, pri elektrických kmitoch sila napätia a prúdu.

Harmonické vibrácie zaujímajú osobitné miesto medzi všetkými druhmi vibrácií, keďže ide o jediný druh vibrácií, ktorých tvar sa pri prechode cez akékoľvek homogénne médium neskresľuje, t.j. harmonické budú aj vlny šíriace sa zo zdroja harmonických vibrácií. Akákoľvek neharmonická vibrácia môže byť reprezentovaná ako súčet (integrál) rôznych harmonických vibrácií (vo forme spektra harmonických vibrácií).

Premeny energie pri harmonických vibráciách.

V procese oscilácií dochádza k prechodu potenciálnej energie Wp do kinetiky Wk a naopak. V polohe maximálnej odchýlky od rovnovážnej polohy je potenciálna energia maximálna, kinetická nulová. Pri návrate do rovnovážnej polohy sa rýchlosť kmitajúceho telesa zvyšuje a s ňou rastie aj kinetická energia, ktorá v rovnovážnej polohe dosahuje maximum. Potenciálna energia potom klesne na nulu. Ďalší pohyb krku nastáva s poklesom rýchlosti, ktorá klesne na nulu, keď výchylka dosiahne svoje druhé maximum. Potenciálna energia sa tu zvyšuje na svoju počiatočnú (maximálnu) hodnotu (pri absencii trenia). Kmity kinetickej a potenciálnej energie sa teda vyskytujú s dvojnásobnou (v porovnaní s kmitmi samotného kyvadla) frekvenciou a sú v protifáze (t.j. medzi nimi je fázový posun rovný π ). Celková energia vibrácií W zostáva nezmenený. Pre teleso kmitajúce pôsobením elastickej sily sa rovná:

kde v m- maximálna rýchlosť telesa (v rovnovážnej polohe), x m = ALE- amplitúda.

V dôsledku trenia a odporu média sa voľné oscilácie tlmia: ich energia a amplitúda sa časom znižujú. Preto sa v praxi častejšie používajú nie voľné, ale nútené kmity.

výkyvy nazývané také procesy, pri ktorých sústava opakovane prechádza cez rovnovážnu polohu s väčšou alebo menšou frekvenciou.

Klasifikácia oscilácií:

a) od prírody (mechanické, elektromagnetické, kolísanie koncentrácie, teploty atď.);

b) informovať (jednoduché = harmonické; komplexné, ktoré sú súčtom jednoduchých harmonických vibrácií);

v) podľa stupňa periodicity = periodický (charakteristiky systému sa opakujú po presne stanovenom časovom úseku (období)) a aperiodický;

G) vo vzťahu k času (netlmené = konštantná amplitúda; tlmené = klesajúca amplitúda);

G) energie – voľný (jediný vstup energie do systému zvonku = jediná vonkajšia činnosť); nútený (viacnásobný (periodický) prísun energie do systému zvonku = periodický vonkajší vplyv); vlastné oscilácie (netlmené oscilácie vznikajúce v dôsledku schopnosti systému regulovať tok energie z konštantného zdroja).

Podmienky pre vznik kmitov.

a) Prítomnosť oscilačného systému (kyvadlo na závese, pružinové kyvadlo, oscilačný obvod atď.);

b) Prítomnosť externého zdroja energie, ktorý je schopný aspoň raz vyviesť systém z rovnováhy;

c) Vznik kvázi elastickej vratnej sily v systéme (t.j. sila úmerná posunutiu);

d) Prítomnosť zotrvačnosti (zotrvačný prvok) v systéme.

Ako názorný príklad si predstavte pohyb matematického kyvadla. Matematické kyvadlo nazývané malé teleso zavesené na tenkej neroztiahnuteľnej niti, ktorého hmotnosť je v porovnaní s hmotnosťou telesa zanedbateľná. V rovnovážnej polohe, keď kyvadlo visí na olovnici, je gravitačná sila vyvážená silou napätia nite.
. Keď sa kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy o určitý uhol α existuje tangenciálna zložka gravitácie F=- mg sinα. Znamienko mínus v tomto vzorci znamená, že tangenciálna zložka je nasmerovaná v smere opačnom k ​​vychýleniu kyvadla. Je to obnovujúca sila. Pri malých uhloch α (rádovo 15-20 o) je táto sila úmerná posunutiu kyvadla, t.j. je kvázi elastický a kmity kyvadla sú harmonické.

Pri vychýlení kyvadla stúpa do určitej výšky, t.j. dostane určité množstvo potenciálnej energie ( E potiť sa = mgh). Pri pohybe kyvadla do rovnovážnej polohy dochádza k prechodu potenciálnej energie na kinetickú. V momente, keď kyvadlo prejde rovnovážnou polohou, potenciálna energia sa rovná nule a kinetická energia je maximálna. Vzhľadom na prítomnosť hmoty m(hmotnosť je fyzikálna veličina, ktorá určuje zotrvačné a gravitačné vlastnosti hmoty) kyvadlo prejde rovnovážnou polohou a vychýli sa opačným smerom. Pri absencii trenia v systéme bude kyvadlo oscilovať donekonečna.

Rovnica harmonickej oscilácie má tvar:

x(t) = x m cos (ω 0 t +φ 0 ),

kde X- posunutie telesa z rovnovážnej polohy;

X m (ALE) je amplitúda oscilácie, to znamená maximálny modul posunutia,

ω 0 - cyklická (alebo kruhová) frekvencia kmitov,

t- čas.

Hodnota pod znamienkom kosínus φ = ω 0 t + φ 0 volal fáza harmonické vibrácie. Fáza určuje posun v danom čase t. Fáza je vyjadrená v uhlových jednotkách (radiánoch).

o t= 0 φ = φ 0 , Preto φ 0 volal počiatočná fáza.

Časový úsek, po ktorom sa určité stavy oscilačného systému opakujú, sa nazýva perióda oscilácie T.

Fyzikálna veličina recipročná k perióde kmitania sa nazýva oscilačná frekvencia:
. Oscilačná frekvencia ν ukazuje, koľko kmitov sa vykoná za jednotku času. Jednotka frekvencie - hertz (Hz) - jednokolka za sekundu.

Oscilačná frekvencia ν súvisí s cyklickou frekvenciou ω a perióda oscilácie T pomery:
.

To znamená, že kruhová frekvencia je počet úplných oscilácií, ktoré sa vyskytujú za 2π jednotky času.

Graficky možno harmonické kmity znázorniť ako závislosť X od t a metóda vektorových diagramov.

Metóda vektorových diagramov umožňuje vizualizovať všetky parametre zahrnuté v rovnici harmonických kmitov. Ak je totiž amplitúdový vektor ALE umiestnené pod uhlom φ do osi X, potom jeho priemet na os X sa bude rovnať: x = Acos(φ ) . Injekcia φ a je tu počiatočná fáza. Ak je vektor ALE uvedieme do rotácie s uhlovou rýchlosťou ω 0 rovnajúcou sa kruhovej frekvencii kmitov, potom sa priemet konca vektora bude pohybovať pozdĺž osi X a preberať hodnoty od -A predtým +A, pričom súradnice tejto projekcie sa budú časom meniť podľa zákona: X(t) = ALEcos(ω 0 t+ φ) . Čas potrebný na to, aby vektor amplitúdy vykonal jednu úplnú otáčku, sa rovná perióde T harmonické vibrácie. Počet otáčok vektora za sekundu sa rovná frekvencii oscilácií ν .