Definícia 1. prvočíslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré je deliteľné iba sebou samým a 1.

Inými slovami, číslo je prvočíslo, ak má iba dvoch odlišných prirodzených deliteľov.

Definícia 2. Volá sa akékoľvek prirodzené číslo, ktoré má okrem seba a jedného aj iných deliteľov zložené číslo.

Inými slovami, prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla. Definícia 1 znamená, že zložené číslo má viac ako dvoch prirodzených deliteľov. Číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené. má iba jedného deliteľa 1 a okrem toho mnohé vety o prvočíslach neplatia pre jednotu.

Z definícií 1 a 2 vyplýva, že každé kladné celé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo alebo zložené číslo.

Nižšie je uvedený program na zobrazenie prvočísel do 5000. Vyplňte bunky, kliknite na tlačidlo „Vytvoriť“ a počkajte niekoľko sekúnd.

Tabuľka prvočísel

Vyhlásenie 1. Ak p je prvočíslo a a akékoľvek celé číslo, potom buď a deleno p, alebo p a a relatívne prvočísla.

naozaj. Ak p prvočíslo, potom je deliteľné len samo sebou a 1, ak a nedeliteľné p, potom najväčší spoločný deliteľ a a p rovná sa 1. Potom p a a relatívne prvočísla.

Vyhlásenie 2. Ak je súčin niekoľkých čísel a 1 , a 2 , a 3 , ... je deliteľné prvočíslom p, potom aspoň jedno z čísel a 1 , a 2 , a 3 , ... je deliteľné p.

naozaj. Ak žiadne z čísel nie je deliteľné p, potom čísla a 1 , a 2 , a 3 , ... by boli relatívne prvočísla vzhľadom na p. Ale z Dôsledku 3 () vyplýva, že ich produkt a 1 , a 2 , a 3, ... je tiež coprime vzhľadom na p, čo odporuje podmienke tvrdenia. Preto je aspoň jedno z čísel deliteľné p.

Veta 1. Akékoľvek zložené číslo môže byť vždy reprezentované, a navyše jedinečným spôsobom, ako súčin konečného počtu prvočísel.

Dôkaz. Nechať byť k zložené číslo, a nech a 1 je jeden z jeho deliteľov odlišný od 1 a samého seba. Ak a 1 je zložený, potom má okrem 1 a a 1 a ďalší rozdeľovač a 2. Ak a 2 je zložené číslo, potom má okrem 1 aj a 2 a ďalší rozdeľovač a 3. Argumentovať týmto spôsobom a brať do úvahy, že čísla a 1 , a 2 , a 3 , ... pokles a tento rad obsahuje konečný počet členov, dostaneme sa k nejakému prvočíslu p jeden . Potom k môže byť reprezentovaný ako

Predpokladajme, že existujú dve rozšírenia čísla k:

Ako k=p 1 p 2 p 3 ... je deliteľné prvočíslom q 1, potom aspoň jeden z faktorov, napr p 1 je deliteľné q jeden . ale p 1 je prvočíslo a je deliteľné iba 1 a sebou samým. Preto p 1 =q 1 (pretože q 1 ≠1)

Potom z (2) môžeme vylúčiť p 1 a q 1:

Zabezpečíme teda, že každé prvočíslo, ktoré vstúpi do prvého rozšírenia ako faktor jeden alebo viackrát, vstúpi do druhého rozšírenia aspoň toľkokrát a naopak, každé prvočíslo, ktoré vstúpi do druhého rozšírenia ako faktor jeden alebo niekoľko časy tiež vstupujú do prvej expanzie minimálne toľkokrát. Preto každé prvočíslo vstupuje ako činiteľ do oboch expanzií rovnako veľakrát, a preto sú tieto dve expanzie rovnaké.■

Rozklad zloženého čísla k možno napísať v nasledujúcej forme

(3)

kde p 1 , p 2 , ... odlišné prvočísla, α, β, γ ... celé kladné čísla.

Rozklad (3) sa nazýva kanonický rozkladčísla.

Prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne. V niektorých častiach série je ich viac, v iných menej. Čím ďalej sa pohybujeme po číselnom rade, tým sú prvočísla zriedkavejšie. Otázkou je, či existuje najväčšie prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa. Tento dôkaz uvádzame nižšie.

Veta 2. Počet prvočísel je nekonečný.

Dôkaz. Predpokladajme, že existuje konečný počet prvočísel a nech je najväčšie prvočíslo p. Zoberme si všetky čísla p. Podľa predpokladu tvrdenia musia byť tieto čísla zložené a musia byť deliteľné aspoň jedným z prvočísel. Vyberme číslo, ktoré je súčinom všetkých týchto prvočísel plus 1:

číslo z viac p ako 2p už viac p. p nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, keďže pri delení každým z nich dáva zvyšok 1. Dostávame sa teda k rozporu. Preto existuje nekonečný počet prvočísel.

Táto veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej vety:

Veta 3. Nech je uvedený aritmetický postup

Potom zadajte ľubovoľné prvočíslo n, by mali byť zahrnuté aj v m, teda v n nemôže zahŕňať iné hlavné faktory, ktoré nie sú zahrnuté m a navyše tieto hlavné faktory v n sa neobjaví viackrát ako v m.

Platí to aj naopak. Ak je každý prvočíslo číslo n vyskytuje aspoň rovnaký počet krát m, potom m deleno n.

Vyhlásenie 3. Nechať byť a 1 ,a 2 ,a 3 ,... rôzne prvočísla objavujúce sa v m tak

kde i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Všimni si a i prijíma α +1 hodnoty, β j prijíma β +1 hodnoty, γ k berie γ +1 hodnoty, ... .

Rozdelenie prirodzených čísel na prvočísla a zložené sa pripisuje starogréckemu matematikovi Pytagorasovi. A ak budete postupovať podľa Pytagora, potom súbor prirodzených čísel možno rozdeliť do troch tried: (1) - súbor pozostávajúci z jedného čísla - jeden; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) je množina prvočísel; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) je množina zložených čísel.

Druhý set ukrýva veľa rôznych záhad. Najprv si však ujasnime, čo je prvočíslo. Otvárame „Matematický encyklopedický slovník“ (Ju. V. Prochorov, vydavateľstvo „Sovietska encyklopédia“, 1988) a čítame:

„Prvočíslo je kladné celé číslo väčšie ako jedno, ktoré nemá iných deliteľov okrem seba a jedničky: 2,3,5,7,11,13,

Pojem prvočísla je základom pri štúdiu deliteľnosti prirodzených čísel; menovite základná veta aritmetiky hovorí, že každé kladné celé číslo, okrem 1, možno jednoznačne rozložiť na súčin prvočísel (poradie faktorov sa neberie do úvahy). Existuje nekonečne veľa prvočísel (tento výrok, nazývaný Euklidova veta, poznali už starogrécki matematici, jeho dôkaz možno nájsť v knihe 9 Euklidových prvkov). P. Dirichlet (1837) zistil, že v aritmetickej progresii a+bx pri x=1. ,2,с so spoločnými celými číslami a a b obsahuje aj nekonečne veľa prvočísel.

Na nájdenie prvočísel od 1 do x sa používa známe z 3. storočia. pred Kr e. sito Eratosthenes. Ak vezmeme do úvahy postupnosť (*) prvočísiel od 1 do x ukazuje, že ako sa x zvyšuje, stáva sa v priemere zriedkavejším. Existujú ľubovoľne dlhé segmenty radu prirodzených čísel, medzi ktorými nie je ani jedno prvočíslo (4. veta). Zároveň existujú také prvočísla, medzi ktorými je rozdiel rovný 2 (takzvané dvojičky). Doteraz (1987) nie je známe, či je množina takýchto dvojčiat konečná alebo nekonečná. Tabuľky prvočísel v rámci prvých 11 miliónov prirodzených čísel ukazujú veľmi veľké dvojčatá (napríklad 10 006 427 a 10 006 429).

Objasnenie rozdelenia prvočísel v prirodzenom rade čísel je v teórii čísel veľmi zložitý problém. Ide o štúdium asymptotického správania funkcie označujúcej počet prvočísel nepresahujúcich kladné číslo x. Z Euklidovej vety je zrejmé, že pri. L. Euler zaviedol v roku 1737 funkciu zeta.

To aj dokázal

Kde sa sčítanie vykonáva cez všetky prirodzené čísla a súčin je prevzatý cez všetky prvočísla. Táto identita a jej zovšeobecnenia zohrávajú zásadnú úlohu v teórii distribúcie prvočísel. Vychádzajúc z toho L. Euler dokázal, že séria a produkt v prime p sa rozchádzajú. Navyše L. Euler zistil, že existuje „veľa“ prvočísel, pretože

A zároveň sú takmer všetky prirodzené čísla zložené, keďže v.

a pre akékoľvek (t. j. čo rastie ako funkcia). Chronologicky je ďalším významným výsledkom, ktorý spresňuje Čebyševovu vetu, tzv. asymptotický zákon rozdelenia prvočísel (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), ktorý spočíval v tom, že limita pomeru k sa rovná 1. Následne výrazné úsilie matematikov smerovalo k objasnenie asymptotického zákona o rozdelení prvočísel. Otázky distribúcie prvočísel sú študované elementárnymi metódami aj metódami matematickej analýzy.

Tu má zmysel dokázať niektoré z teorémov uvedených v článku.

Lema 1. Ak gcd(a, b)=1, potom existujú celé čísla x, y také, že.

Dôkaz. Nech a a b sú relatívne prvočísla. Uvažujme množinu J všetkých prirodzených čísel z reprezentovateľných v tvare a vyberte z nej najmenšie číslo d.

Dokážme, že a je deliteľné d. Rozdeľte a d so zvyškom: a nechajte. Keďže má formu,

To vidíme.

Keďže sme predpokladali, že d je najmenšie číslo v J, máme protirečenie. Takže a je deliteľné d.

Rovnakým spôsobom dokážeme, že b je deliteľné d. Takže d = 1. Lema je dokázaná.

Veta 1. Ak sú čísla a a b prvočíslo a súčin bx deliteľný a, potom x je deliteľné a.

Dôkaz 1. Musíme dokázať, že ax je deliteľné b a gcd(a,b)=1, potom x je deliteľné b.

Podľa Lemy 1 existuje x, y takých, že. Potom je, samozrejme, deliteľné b.

Dôkaz 2. Uvažujme množinu J všetkých prirodzených čísel z takú, že zc je deliteľné b. Nech d je najmenšie číslo v J. Je ľahké to vidieť. Podobne ako pri dôkaze lemmy 1 dokážeme, že a je deliteľné d a b je deliteľné d

Lema 2. Ak sú čísla q,p1,p2,pn prvočísla a súčin je deliteľný q, potom sa jedno z čísel pi rovná q.

Dôkaz. Najprv si všimnite, že ak je prvočíslo p deliteľné q, potom p=q. To okamžite implikuje tvrdenie lemy pre n=1. Pre n=2 vyplýva priamo z vety 1: ak p1p2 je deliteľné prvočíslom q u, potom p2 je deliteľné q (tj).

Lemu pre n=3 dokážeme nasledovne. Nech p1 p2 p3 je deliteľné q. Ak p3 = q, potom je všetko dokázané. Ak je potom podľa vety 1 p1 p2 deliteľné q. Tým pádom sme prípad n=3 zredukovali na už uvažovaný prípad n=2.

Podobne z n=3 môžeme prejsť na n=4, potom na n=5 a vo všeobecnosti za predpokladu, že n=k je tvrdenie lemy dokázané, môžeme ho ľahko dokázať pre n=k+1. To nás presvedčí, že lemma platí pre všetky n.

Základná veta aritmetiky. Každé prirodzené číslo sa dá rozložiť na prvočísla jedinečným spôsobom.

Dôkaz. Predpokladajme, že existujú dve rozklady čísla a na prvočísla:

Keďže pravá strana je deliteľná q1, ľavá strana rovnosti musí byť tiež deliteľná q1. Podľa Lemy 2 sa jedno z čísel rovná q1. Zrušme obe strany rovnosti o q1.

Urobme rovnaké úvahy pre q2, potom pre q3, pre qi. Nakoniec sa všetky faktory na pravej strane znížia a zostane 1. Naľavo samozrejme nezostane nič okrem jedného. Preto sme dospeli k záveru, že tieto dve rozšírenia sa môžu líšiť iba v poradí faktorov. Veta bola dokázaná.

Euklidova veta. Počet prvočísel je nekonečný.

Dôkaz. Predpokladajme, že rad prvočísel je konečný a posledné prvočíslo označte písmenom N. Zložte súčin

Pridajme k tomu 1. Dostaneme:

Toto číslo ako celé číslo musí obsahovať aspoň jeden prvočíslo, to znamená, že musí byť deliteľné aspoň jedným prvočíslom. Ale všetky prvočísla podľa predpokladu nepresahujú N, pričom číslo M + 1 nie je bezo zvyšku deliteľné žiadnym z prvočísel menším alebo rovným N - zakaždým, keď je zvyšok 1. Veta je dokázaná.

Veta 4. Úseky zložených čísel medzi prvočíslami môžu mať ľubovoľnú dĺžku. Teraz dokážeme, že rad pozostáva z n po sebe idúcich zložených čísel.

Tieto čísla idú v prirodzenom rade priamo za sebou, pretože každé ďalšie je o 1 viac ako predchádzajúce. Zostáva dokázať, že sú všetky zložené.

Prvé číslo

Párne, keďže oba jeho členy obsahujú faktor 2. A každé párne číslo väčšie ako 2 je zložené.

Druhé číslo sa skladá z dvoch členov, z ktorých každý je násobkom 3. Preto je toto číslo zložené.

Podobne zistíme, že ďalšie číslo je násobkom 4 atď. Inými slovami, každé číslo v našom rade obsahuje faktor, ktorý je odlišný od jedného a samotného; je teda zložený. Veta bola dokázaná.

Po preštudovaní dôkazov teorémov pokračujeme v úvahe o článku. V jej texte bolo Eratosthenovo sito spomenuté ako spôsob, ako nájsť prvočísla. Prečítajte si o tejto metóde z rovnakého slovníka:

„Eratosthenovo sito je metóda vyvinutá Eratosthenesom, ktorá vám umožňuje preosiať zložené čísla z prirodzeného radu. Podstata sita Eratosthenes je nasledovná. Jednotka je prečiarknutá. Číslo dva je jednoduché. Prečiarknu sa všetky prirodzené čísla deliteľné 2. Číslo 3 - prvé neškrtnuté číslo bude prvočíslo. Ďalej sa prečiarknu všetky prirodzené čísla, ktoré sú deliteľné číslom 3. Číslo 5 - ďalšie neškrtnuté číslo - bude prvočíslo. Pri pokračovaní podobných výpočtov je možné nájsť ľubovoľne dlhý segment postupnosti prvočísel. Eratosthenovo sito ako teoretickú metódu na štúdium teórie čísel vyvinul W. Brun (1919).

Tu je najväčšie číslo, o ktorom je v súčasnosti známe, že je prvočíslo:

Toto číslo má asi sedemsto desatinných miest. Výpočty, pri ktorých sa zistilo, že toto číslo je prvočíslo, boli vykonané na moderných počítačoch.

„Riemannova zeta funkcia, -funkcia, je analytická funkcia komplexnej premennej, pre σ>1, určená absolútne a rovnomerne konvergentným Dirichletovým radom:

Pre σ>1 platí zobrazenie vo forme Eulerovho súčinu:

(2) kde p prechádza všetkými prvočíslami.

Identita radu (1) a produktu (2) je jednou z hlavných vlastností zeta funkcie. Umožňuje získať rôzne vzťahy, ktoré spájajú funkciu zeta s najdôležitejšími teoretickými funkciami. Preto funkcia zeta hrá veľkú úlohu v teórii čísel.

Funkciu zeta zaviedol ako funkciu reálnej premennej L. Euler (1737, publ. 1744), ktorý označil jej umiestnenie v súčine (2). Potom o funkcii zeta uvažoval P. Dirichlet a obzvlášť úspešne P. L. Čebyšev v súvislosti so štúdiom zákona o rozdelení prvočísel. Najhlbšie vlastnosti funkcie zeta však boli objavené až po prácach B. Riemanna, ktorý v roku 1859 prvýkrát považoval funkciu zeta za funkciu komplexnej premennej, zaviedol aj názov „funkcia zeta“ a tzv. označenie """.

Vynára sa však otázka: aké praktické uplatnenie má celá táto práca na prvočíslach? Vskutku, nie je pre ne takmer žiadne využitie, no existuje jedna oblasť, kde sa prvočísla a ich vlastnosti uplatňujú dodnes. Toto je kryptografia. Tu sa prvočísla používajú v šifrovacích systémoch bez prenosu kľúčov.

Bohužiaľ, to je všetko, čo je známe o prvočíslach. Zostáva ešte veľa záhad. Napríklad nie je známe, či množina prvočísel reprezentovateľných ako dva štvorce je nekonečná.

„NEJEDNODUCHO PRVÉ ČÍSLA“.

Rozhodol som sa urobiť malý prieskum, aby som našiel odpovede na niektoré otázky o prvočíslach. V prvom rade som zostavil program, ktorý vypíše všetky po sebe idúce prvočísla menšie ako 1 000 000 000. Okrem toho som zostavil program, ktorý určí, či je zadané číslo prvočíslo. Na štúdium problematiky prvočísel som zostrojil graf, ktorý označuje závislosť hodnoty prvočísla od poradového čísla. Ako ďalší výskumný zámer som sa rozhodol použiť článok I. S. Zeltsera a B. A. Kordemského „Zábavné kŕdle základné čísla." Autori identifikovali nasledujúce cesty výskumu:

1. 168 miest prvej tisícky prirodzených čísel je obsadených prvočíslami. Z toho 16 čísel je palindromických - každé sa rovná obrátenému: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Existuje len 1061 štvorciferných prvočísel a žiadne z nich nie je palindromické.

Existuje veľa päťciferných jednoduchých palindromických čísel. Patria k nim také krásky: 13331, 15551, 16661, 19991. Nepochybne existujú kŕdle tohto typu: ,. Ale koľko kópií je v každom takomto kŕdli?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x = 3 (6+x)

Je vidieť, že súčet číslic a čísel je deliteľný 3, preto sú aj tieto čísla deliteľné 3.

Čo sa týka čísel formulára, medzi nimi sú čísla 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 prvočísla.

2. V prvej tisícke čísel je päť „kvartet“ pozostávajúcich z po sebe idúcich prvočísel, ktorých posledné číslice tvoria postupnosť 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Koľko takýchto kvartet je medzi n-cifernými prvočíslami pre n>3?

Pomocou programu, ktorý som napísal, som našiel autormi vynechané kvarteto: (479, 467, 463, 461) a kvarteto pre n = 4, 5, 6. Pre n = 4 je 11 kvartet

3. Kŕdeľ deviatich prvočísel: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - je atraktívny nielen preto, že ide o aritmetickú postupnosť s rozdielom 210, ale aj preto, že sa zmestí do deviatich bunky tak, aby sa vytvoril magický štvorec s konštantou rovnajúcou sa rozdielu dvoch prvočísel: 3119 - 2:

Ďalší, desiaty člen uvažovaného postupu, 2089, je tiež prvočíslo. Ak z kŕdľa odstránite číslo 199, ale zahrniete 2089, potom v tomto zložení môže kŕdeľ tvoriť magický štvorec - tému na vyhľadávanie.

Treba poznamenať, že existujú aj ďalšie magické štvorce pozostávajúce z prvočísel:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Navrhované námestie je kuriózne, pretože

1. Je to magický štvorec 7x7;

2. Obsahuje magický štvorec 5x5;

3. Magický štvorec 5x5 obsahuje magický štvorec 3x3;

4. Všetky tieto štvorce majú jedno spoločné centrálne číslo - 3407;

5. Všetkých 49 čísel zahrnutých do štvorca 7x7 končí číslom 7;

6. Všetkých 49 čísel zahrnutých do štvorca 7x7 sú prvočísla;

7. Každé zo 49 čísel zahrnutých do štvorca 7x7 môže byť reprezentované ako 30n + 17.

Použité programy som napísal v programovacom jazyku Dev-C++ a ich texty uvádzam v prílohe (pozri súbory s príponou .cpp). Okrem všetkého vyššie uvedeného som napísal program, ktorý rozkladá po sebe idúce prirodzené čísla na prvočiniteľa (pozri Deliteľ 1. cpp) a program, ktorý na prvočíslo rozloží len zadané číslo (pozri Deliteľ 2. cpp). Keďže tieto programy v kompilovanej forme zaberajú príliš veľa miesta, uvádzajú sa len ich texty. Môže ich však zostaviť každý, ak má správny program.

BIOGRAFIE VEDCOV, KTORÉ SA ZAPOJIŤUJÚ DO PROBLÉMU PRVOČÍSEL

EUCLIDES

(asi 330 pred Kristom - asi 272 pred Kristom)

O živote najslávnejšieho matematika staroveku sa zachovalo veľmi málo spoľahlivých informácií. Predpokladá sa, že študoval v Aténach, čo vysvetľuje jeho vynikajúce ovládanie geometrie vyvinutej v Platónovej škole. Zjavne však nepoznal spisy Aristotela. Učil v Alexandrii, kde si za svoju učiteľskú činnosť za vlády Ptolemaia I. Sotera vyslúžil veľkú pochvalu. Existuje legenda, že tento kráľ žiadal, aby mu prezradil spôsob, ako dosiahnuť rýchly úspech v matematike, na čo Euklides odpovedal, že v geometrii neexistujú kráľovské cesty (podobný príbeh sa však hovorí aj o Menchemovi, ktorého sa údajne pýtali približne rovnako od Alexandra Veľkého). Tradícia zachovala spomienku na Euklida ako na dobrotivého a skromného človeka. Euklides je autorom traktátov na rôzne témy, no jeho meno sa spája najmä s jedným z traktátov s názvom „Začiatky“. Ide o súbor prác matematikov, ktorí pôsobili pred ním (najznámejší z nich bol Hippokrates z Kosu), ktorých výsledky doviedol k dokonalosti vďaka svojej schopnosti zovšeobecňovať a pracovitosti.

EULER (EULER) LEONARD

(Bazilej, Švajčiarsko 1707 - Petrohrad, 1783)

Matematik, mechanik a fyzik. Narodil sa v rodine chudobného pastora Paula Eulera. Vzdelanie získal najskôr u svojho otca a v rokoch 1720–24 na univerzite v Bazileji, kde navštevoval prednášky z matematiky I. Bernoulliho.

Koncom roku 1726 bol Euler pozvaný do Petrohradskej akadémie vied a v máji 1727 dorazil do Petrohradu. V novoorganizovanej akadémii našiel Euler priaznivé podmienky pre vedeckú činnosť, čo mu umožnilo okamžite začať študovať matematiku a mechaniku. Za 14 rokov prvého petrohradského obdobia svojho života pripravil Euler na vydanie okolo 80 diel a vydal ich viac ako 50. V Petrohrade študoval ruštinu.

Euler sa podieľal na mnohých aktivitách Petrohradskej akadémie vied. Prednášal študentom akademickej univerzity, zúčastňoval sa rôznych technických skúšok, pracoval na zostavovaní máp Ruska a napísal verejne dostupný „Sprievodca aritmetikou“ (1738 – 40). Na základe špeciálnych pokynov akadémie pripravil Euler na publikáciu Námorná veda (1749), základnú prácu o teórii stavby lodí a navigácie.

V roku 1741 prijal Euler ponuku pruského kráľa Fridricha II., aby sa presťahoval do Berlína, kde sa mala uskutočniť reorganizácia Akadémie vied. V Berlínskej akadémii vied Euler zaujal post riaditeľa matematickej triedy a člena správnej rady a po smrti jej prvého prezidenta P. Maupertuisa niekoľko rokov (od roku 1759) akadémiu skutočne riadil. Za 25 rokov svojho života v Berlíne pripravil okolo 300 diel, medzi nimi aj množstvo veľkých monografií.

Počas pobytu v Berlíne neprestal Euler intenzívne pracovať pre Akadémiu vied v Petrohrade, pričom si zachoval titul jej čestného člena. Viedol rozsiahlu vedeckú a vedecko-organizačnú korešpondenciu, najmä si dopisoval s M. Lomonosovom, ktorého si veľmi vážil. Euler redigoval matematické oddelenie ruského akademického vedeckého orgánu, kde počas tejto doby publikoval takmer toľko článkov ako v „Memoároch“ Berlínskej akadémie vied. Aktívne sa podieľal na školení ruských matematikov; budúci akademici S. Kotelnikov, S. Rumovsky a M. Sofronov boli vyslaní na štúdiá do Berlína pod jeho vedením. Euler poskytoval veľkú pomoc Petrohradskej akadémii vied, získaval pre ňu vedeckú literatúru a vybavenie, vyjednával s kandidátmi na miesta v akadémii atď.

17. (28. júla) 1766 sa Euler a jeho rodina vrátili do Petrohradu. Napriek vysokému veku a takmer úplnej slepote, ktorá ho postihla, až do konca života produktívne pracoval. Počas 17 rokov svojho druhého pobytu v Petrohrade pripravil okolo 400 diel, medzi nimi aj niekoľko veľkých kníh. Euler sa naďalej podieľal na organizačnej práci akadémie. V roku 1776 bol jedným z expertov na projekte jednooblúkového mosta cez Nevu, ktorý navrhol I. Kulibin, a z celej zákazky ako jediný dal tomuto projektu širokú podporu.

Eulerove zásluhy ako významného vedca a organizátora vedeckého výskumu boli počas jeho života vysoko oceňované. Okrem petrohradskej a berlínskej akadémie bol členom najväčších vedeckých inštitúcií: Parížskej akadémie vied, Kráľovskej spoločnosti v Londýne a ďalších.

Jedným z charakteristických znakov Eulerovej práce je jeho výnimočná produktivita. Len za jeho života vyšlo okolo 550 jeho kníh a článkov (zoznam Eulerových diel obsahuje okolo 850 titulov). V roku 1909 začala Švajčiarska spoločnosť pre prírodné vedy vydávať kompletné Eulerove diela, ktoré boli dokončené v roku 1975; pozostáva zo 72 zväzkov. Veľkou zaujímavosťou je Eulerova kolosálna vedecká korešpondencia (asi 3000 listov), ​​ktorá bola doteraz publikovaná len čiastočne.

Eulerov okruh štúdií bol nezvyčajne široký, pokrýval všetky odbory súčasnej matematiky a mechaniky, teóriu pružnosti, matematickú fyziku, optiku, hudobnú teóriu, teóriu strojov, balistiku, námornú vedu, poisťovníctvo atď. Asi 3/5 Eulerových prác patrí matematike, zvyšné 2/5 najmä jej aplikáciám. Vedec systematizoval svoje výsledky a výsledky získané inými v množstve klasických monografií napísaných s úžasnou jasnosťou a vybavených cennými príkladmi. Sú to napríklad „Mechanika alebo veda o pohybe, uvedená analyticky“ (1736), „Úvod do analýzy“ (1748), „Diferenciálny počet“ (1755), „Teória pohybu tuhého telesa“ ( 1765), „Univerzálna aritmetika“ (1768-69), ktorá prešla asi 30 vydaniami v 6 jazykoch, „Integrálny počet“ (1768-94) atď. V XVIII. a čiastočne v 19. storočí. Obrovskú obľubu si získali verejne dostupné Listy o rôznych fyzikálnych a filozofických záležitostiach, ktoré boli napísané istej nemeckej princeznej. (1768 – 1774), ktorý prešiel viac ako 40 vydaniami v 10 jazykoch. Väčšina obsahu Eulerových monografií sa potom dostala do učebníc pre vyššie a čiastočne aj stredné školy. Nie je možné vymenovať všetky doteraz používané Eulerove vety, metódy a vzorce, z ktorých sa pod jeho menom v literatúre vyskytuje len niekoľko [napríklad Eulerova metóda prerušovaných čiar, Eulerove substitúcie, Eulerova konštanta, Eulerove rovnice, Eulerove vzorce, Eulerova funkcia, Eulerove čísla, Eulerov vzorec - Maclaurin, Euler-Fourierove vzorce, Eulerova charakteristika, Eulerove integrály, Eulerove uhly].

V knihe „Mechanika“ Euler prvýkrát vysvetlil dynamiku bodu pomocou matematickej analýzy: voľný pohyb bodu pôsobením rôznych síl vo vákuu aj v prostredí s odporom; pohyb bodu pozdĺž danej čiary alebo pozdĺž daného povrchu; pohyb pod vplyvom centrálnych síl. V roku 1744 prvýkrát správne sformuloval mechanický princíp najmenšieho účinku a ukázal jeho prvé aplikácie. V Teórii pohybu tuhého telesa Euler rozvinul kinematiku a dynamiku tuhého telesa a dal rovnice pre jeho rotáciu okolo pevného bodu, čím položil základ pre teóriu gyroskopov. Euler vo svojej teórii lode cenným spôsobom prispel k teórii stability. Významné sú Eulerove objavy v nebeskej mechanike (napríklad v teórii pohybu Mesiaca), v mechanike kontinua (základné pohybové rovnice ideálnej tekutiny v tvare Eulera a v tzv. Lagrangeových premenných, plynoch). oscilácie v potrubí atď.). V optike dal Euler (1747) vzorec pre bikonvexnú šošovku a navrhol metódu na výpočet indexu lomu média. Euler sa držal vlnovej teórie svetla. Veril, že rôzne farby zodpovedajú rôznym vlnovým dĺžkam svetla. Euler navrhol spôsoby eliminácie chromatických aberácií šošoviek a poskytol metódy na výpočet optických uzlov mikroskopu. Euler venoval rozsiahlu sériu prác, ktoré začali v roku 1748, matematickej fyzike: problémom vibrácií struny, dosky, membrány atď. Všetky tieto štúdie podnietili rozvoj teórie diferenciálnych rovníc, približných metód analýzy a špeciálnych . funkcie, diferenciálna geometria atď. Mnohé Eulerove matematické objavy sú obsiahnuté práve v týchto prácach.

Eulerovou hlavnou prácou ako matematika bol vývoj matematickej analýzy. Položil základy niekoľkých matematických disciplín, ktoré boli len v plienkach alebo úplne chýbali v infinitezimálnom počte I. Newtona, G. Leibniza a bratov Bernoulliovcov. Euler bol teda prvý, kto zaviedol funkcie komplexného argumentu a študoval vlastnosti základných elementárnych funkcií komplexnej premennej (exponenciálne, logaritmické a goniometrické funkcie); odvodil najmä vzorce vzťahujúce sa na goniometrické funkcie k exponenciáliám. Eulerova práca v tomto smere znamenala začiatok teórie funkcií komplexnej premennej.

Euler bol tvorcom variačného počtu, opísaného v práci „Metóda hľadania zakrivených čiar s maximálnymi alebo minimálnymi vlastnosťami. » (1744). Metóda, ktorou Euler v roku 1744 odvodil nevyhnutnú podmienku pre extrém funkcionálu, Eulerovu rovnicu, bola prototypom priamych metód variačného počtu 20. storočia. Euler vytvoril teóriu obyčajných diferenciálnych rovníc ako samostatnú disciplínu a položil základy teórie parciálnych diferenciálnych rovníc. Tu vlastní obrovské množstvo objavov: klasickú metódu riešenia lineárnych rovníc s konštantnými koeficientmi, metódu variácie ľubovoľných konštánt, objasnenie základných vlastností Riccatiho rovnice, integráciu lineárnych rovníc s premenlivými koeficientmi pomocou nekonečných radov, metódu variácie ľubovoľných konštánt, objasnenie základných vlastností Riccatiho rovnice. kritériá pre špeciálne riešenia, doktrína integračného faktora, rôzne približné metódy a množstvo techník na riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc. Euler skompiloval významnú časť týchto výsledkov vo svojom „Integrálnom počte“.

Euler obohatil aj diferenciálny a integrálny počet v užšom zmysle slova (napríklad teóriu zmeny premenných, vetu o homogénnych funkciách, koncept dvojitého integrálu a výpočet mnohých špeciálnych integrálov). V Diferenciálnom počte Euler vyjadril a príkladmi podporil svoje presvedčenie o vhodnosti použitia divergentných radov a navrhol metódy na zovšeobecnené sčítanie radov, anticipujúc myšlienky modernej rigoróznej teórie divergentných radov, vytvorenej na prelome 19. 19. a 20. storočia. Okrem toho Euler získal mnoho konkrétnych výsledkov v teórii sérií. Otvoril tzv. Eulerov-Maclaurinov sumačný vzorec, navrhol transformáciu radov, ktoré nesú jeho meno, určil súčty obrovského počtu radov a zaviedol do matematiky nové dôležité typy radov (napríklad trigonometrické rady). Sem susedia Eulerove štúdie o teórii spojitých zlomkov a iných nekonečných procesoch.

Euler je zakladateľom teórie špeciálnych funkcií. Najprv začal považovať sínus a kosínus za funkcie a nie za segmenty v kruhu. Získal takmer všetky klasické rozšírenia elementárnych funkcií do nekonečných radov a súčinov. V jeho prácach vznikla teória γ-funkcie. Skúmal vlastnosti eliptických integrálov, hyperbolické a cylindrické funkcie, ζ-funkciu, niektoré θ-funkcie, integrálny logaritmus a dôležité triedy špeciálnych polynómov.

Podľa P. Čebyševa položil Euler základ pre všetky výskumy, ktoré tvoria všeobecnú časť teórie čísel. Euler tak dokázal množstvo tvrdení P. Fermata (napríklad Fermatov malý teorém), rozvinul základy teórie mocninných zvyškov a teóriu kvadratických foriem, objavil (ale nepreukázal) kvadratický zákon reciprocity, a študoval množstvo problémov v diofantínovej analýze. V prácach o rozdelení čísel na pojmy ao teórii prvočísel Euler ako prvý použil metódy analýzy, čím sa stal tvorcom analytickej teórie čísel. Predovšetkým zaviedol ζ-funkciu a dokázal tzv. Eulerova identita spájajúca prvočísla so všetkými prirodzenými číslami.

Eulerove zásluhy sú veľké aj v iných oblastiach matematiky. V algebre vlastní práce o riešení rovníc vyšších stupňov v radikáloch a o rovniciach o dvoch neznámych, ako aj tzv. Eulerova štvorhranná identita. Euler urobil významný pokrok v analytickej geometrii, najmä v teórii povrchov druhého rádu. V diferenciálnej geometrii podrobne študoval vlastnosti geodetických čiar, prvýkrát aplikoval prirodzené rovnice kriviek a hlavne položil základy teórie plôch. Zaviedol pojem hlavných smerov v bode na povrchu, dokázal ich ortogonalitu, odvodil vzorec pre zakrivenie ľubovoľného normálneho rezu, začal študovať rozvinuteľné povrchy atď.; v jednom posmrtne publikovanom diele (1862) čiastočne anticipoval výskum K. Gaussa o vnútornej geometrii plôch. Euler sa zaoberal aj jednotlivými otázkami topológie a dokázal napríklad dôležitú vetu o konvexných mnohostenoch. Matematik Euler je často popisovaný ako skvelý „kalkulátor“. Bol skutočne neprekonateľným majstrom formálnych výpočtov a transformácií, v jeho dielach mnohé matematické vzorce a symboly dostali moderný vzhľad (vlastní napríklad označenia pre e a π). Euler však do vedy vniesol aj množstvo hlbokých myšlienok, ktoré sú dnes prísne podložené a slúžia ako vzor hĺbky prieniku do predmetu skúmania.

Podľa P. Laplacea bol Euler učiteľom matematiky v druhej polovici 18. storočia.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, teraz Nemecko, 1805 - Göttingen, tamže, 1859)

Študoval v Paríži, udržiaval priateľské vzťahy s vynikajúcimi matematikmi, najmä s Fourierom. Po získaní diplomu bol profesorom na univerzitách v Breslau (1826 - 1828), Berlíne (1828 - 1855) a Göttingene, kde sa po smrti vedca Carla Friedricha Gaussa stal vedúcim katedry matematiky. Jeho najvýraznejší príspevok k vede sa týka teórie čísel, predovšetkým štúdia radov. To mu umožnilo vyvinúť teóriu sérií navrhnutú Fourierom. Vytvoril vlastnú verziu dôkazu Fermatovej vety, použil analytické funkcie na riešenie aritmetických problémov a zaviedol konvergenčné kritériá pre rady. V oblasti matematickej analýzy zdokonalil definíciu a pojem funkcie, v oblasti teoretickej mechaniky sa zameral na štúdium stability systémov a na newtonovskú koncepciu potenciálu.

ČEBYŠEV PAFNUTIY LVOVYCH

Ruský matematik, zakladateľ petrohradskej vedeckej školy, akademik Petrohradskej akadémie vied (1856). Čebyševove diela položili základ pre rozvoj mnohých nových odvetví matematiky.

Čebyševove najpočetnejšie práce sú z oblasti matematickej analýzy. Bol najmä predmetom dizertačnej práce o práve prednášať, v ktorej Čebyšev skúmal integrovateľnosť určitých iracionálnych výrazov v algebraických funkciách a logaritmoch. Čebyšev venoval integrácii algebraických funkcií aj množstvo ďalších prác. V jednej z nich (1853) bola získaná známa veta o podmienkach integrovateľnosti v elementárnych funkciách diferenciálneho binomu. Dôležitou oblasťou výskumu v matematickej analýze je jeho práca na konštrukcii všeobecnej teórie ortogonálnych polynómov. Dôvodom jej vzniku bola parabolická interpolácia metódou najmenších štvorcov. Čebyševove výskumy o probléme momentov a o kvadratúrnych vzorcoch susedia s rovnakým okruhom myšlienok. S ohľadom na redukciu výpočtov Chebyshev navrhol (1873) zvážiť kvadratúrne vzorce s rovnakými koeficientmi (približná integrácia). Výskum kvadratúrnych vzorcov a teórie interpolácie úzko súvisel s úlohami, ktoré boli pre Čebyševa stanovené v delostreleckom oddelení vojenského vedeckého výboru.

Čebyševovi sa v teórii pravdepodobnosti pripisuje systematický úvod do úvahy o náhodných premenných a vytvorenie novej techniky na dokazovanie limitných viet teórie pravdepodobnosti – tzv. metóda momentov (1845, 1846, 1867, 1887). Dokázal zákon veľkých čísel vo veľmi všeobecnej forme; Zároveň je jeho dôkaz nápadný svojou jednoduchosťou a elementárnosťou. Čebyšev nedokončil štúdium podmienok konvergencie distribučných funkcií súčtov nezávislých náhodných veličín k normálnemu zákonu. A. A. Markovovi sa to však podarilo s určitým doplnením Čebyševových metód. Čebyšev bez rigoróznych odvodení načrtol aj možnosť spresnenia tejto limitnej vety vo forme asymptotických expanzií distribučnej funkcie súčtu nezávislých členov v mocninách n21/2, kde n je počet členov. Čebyševova práca o teórii pravdepodobnosti predstavuje dôležitú etapu v jej vývoji; okrem toho boli základom, na ktorom vyrástla ruská škola teórie pravdepodobnosti, ktorú spočiatku tvorili priami študenti Čebyševa.

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Dolné Sasko, 1826 - Selaska, blízko Intra, Taliansko 66)

Nemecký matematik. V roku 1846 vstúpil na univerzitu v Göttingene: počúval prednášky K. Gaussa, z ktorých mnohé myšlienky neskôr rozvinul. V rokoch 1847–49 navštevoval prednášky na univerzite v Berlíne; v roku 1849 sa vrátil do Göttingenu, kde sa spriatelil s Gaussovým spolupracovníkom, fyzikom W. Weberom, ktorý v ňom vzbudil hlboký záujem o otázky matematických prírodných vied.

V roku 1851 obhájil doktorandskú prácu „Základy všeobecnej teórie funkcií jednej komplexnej premennej“. Od roku 1854 Privatdozent, od roku 1857 profesor na univerzite v Göttingene.

Riemannova práca mala veľký vplyv na rozvoj matematiky v druhej polovici 19. storočia. a v 20. storočí. Riemann vo svojej dizertačnej práci položil základy geometrického smeru teórie analytických funkcií; zaviedol takzvané Riemannove plochy, ktoré sú dôležité pri štúdiu viachodnotových funkcií, rozvinul teóriu konformných zobrazení a v súvislosti s tým dal základné myšlienky topológie, študoval podmienky existencie analytických funkcií vo vnútri regiónov. rôznych typov (tzv. Dirichletov princíp) a pod. Riemannove metódy boli široko používané v jeho ďalších prácach o teórii algebraických funkcií a integrálov, o analytickej teórii diferenciálnych rovníc (najmä rovníc definujúcich hypergeometrické funkcie) , o analytickej teórii čísel (napr. Riemann naznačil súvislosť medzi rozdelením prvočísel a vlastnosťami ζ-funkcie, najmä s rozdelením jej núl v komplexnej oblasti - tzv. Riemannova hypotéza, tzv. platnosť ktorých zatiaľ nebola preukázaná) atď.

Riemann vo viacerých prácach skúmal rozšírenie funkcií do goniometrických radov a v súvislosti s tým určil potrebné a postačujúce podmienky pre integrovateľnosť v zmysle Riemanna, ktorá bola dôležitá pre teóriu množín a funkcií reálnej premennej. . Riemann tiež navrhol metódy integrácie parciálnych diferenciálnych rovníc (napríklad pomocou tzv. Riemannových invariantov a Riemannovej funkcie).

Riemann vo svojej slávnej prednáške z roku 1854 „O hypotézach základnej geometrie“ (1867) podal všeobecnú predstavu o matematickom priestore (podľa jeho slov „rozmanitosti“), vrátane funkčných a topologických priestorov. Tu považoval geometriu v širšom zmysle za náuku o spojitých n-rozmerných varietách, t. j. súboroch akýchkoľvek homogénnych objektov, a zovšeobecnením Gaussových výsledkov na vnútornú geometriu povrchu dal všeobecný koncept lineárneho prvku. (diferenciál vzdialenosti medzi bodmi množiny), čím definuje to, čo sa nazýva Finslerove priestory. Riemann podrobnejšie uvažoval o takzvaných Riemannových priestoroch, zovšeobecňoval priestory geometrií Euklida, Lobačevského a Riemannovej eliptickej geometrie, charakterizovaných špeciálnym typom lineárneho prvku, a rozvinul teóriu ich zakrivenia. Pri diskusii o aplikácii svojich myšlienok na fyzický priestor Riemann nastolil otázku „príčin jeho metrických vlastností“, akoby predvídal, čo sa urobilo vo všeobecnej teórii relativity.

Riemannove myšlienky a metódy otvorili nové cesty vo vývoji matematiky a našli uplatnenie v mechanike a všeobecnej teórii relativity. Vedec zomrel v roku 1866 na tuberkulózu.

Čísla sú rôzne: prirodzené, prirodzené, racionálne, celé a zlomkové, kladné a záporné, zložité a prvočísla, nepárne a párne, skutočné atď. Z tohto článku sa dozviete, čo sú prvočísla.

Aké čísla sa nazývajú anglické slovo „simple“?

Školáci veľmi často nevedia odpovedať na jednu zo zdanlivo najjednoduchších otázok v matematike, čo je prvočíslo. Často si zamieňajú prvočísla s prirodzenými číslami (to znamená číslami, ktoré ľudia používajú pri počítaní predmetov, zatiaľ čo v niektorých zdrojoch začínajú od nuly av iných - od jednotky). Ale to sú dva úplne odlišné pojmy. Prvočísla sú prirodzené čísla, teda celé a kladné čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú iba 2 prirodzených deliteľov. V tomto prípade je jeden z týchto deliteľov dané číslo a druhý je jednotka. Napríklad trojka je prvočíslo, pretože nie je rovnomerne deliteľné žiadnym iným číslom, než je samo sebou a jedna.

Zložené čísla

Opakom prvočísel sú zložené čísla. Sú tiež prirodzené, tiež väčšie ako jedna, ale nemajú dvoch, ale viac deliteľov. Čiže napríklad čísla 4, 6, 8, 9 atď. sú prirodzené, zložené, ale nie prvočísla. Ako vidíte, ide väčšinou o párne čísla, ale nie o všetky. Ale „dvojka“ je párne číslo a „prvé číslo“ v rade prvočísel.

Následná sekvencia

Na zostavenie série prvočísel je potrebné urobiť výber zo všetkých prirodzených čísel, berúc do úvahy ich definíciu, to znamená, že musíte konať protirečivo. Je potrebné zvážiť každé z prirodzených kladných čísel na tému, či má viac ako dvoch deliteľov. Skúsme zostaviť rad (sekvenciu), ktorý pozostáva z prvočísel. Zoznam začína dvomi, potom príde tromi, keďže je deliteľný iba sám sebou a jedným. Zvážte číslo štyri. Má iné delitele ako štyri a jedna? Áno, to číslo je 2. Štyri teda nie je prvočíslo. Päťka je tiež prvočíslo (okrem 1 a 5 nie je deliteľné žiadnym iným číslom), ale šesť je deliteľné. A vo všeobecnosti, ak budete sledovať všetky párne čísla, všimnete si, že okrem „dvojky“ žiadne z nich nie je prvočíslo. Z toho usudzujeme, že párne čísla, okrem dvoch, nie sú prvočísla. Ďalší objav: všetky čísla, ktoré sú deliteľné tromi, okrem samotnej trojky, či už párnej alebo nepárnej, tiež nie sú prvočísla (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 atď.). To isté platí pre čísla, ktoré sú deliteľné piatimi a siedmimi. Celá ich zostava tiež nie je jednoduchá. Poďme si to zhrnúť. Takže všetky nepárne čísla, okrem jednotky a deviatky, patria k jednoduchým jednociferným číslam a iba „dvojke“ k párnym. Samotné desiatky (10, 20,... 40 atď.) nie sú prvočíslo. Dvojciferné, trojciferné atď. prvočísla možno definovať na základe vyššie uvedených zásad: ak nemajú iných deliteľov okrem seba a jedného.

Teórie o vlastnostiach prvočísel

Existuje veda, ktorá študuje vlastnosti celých čísel, vrátane prvočísel. Toto je odvetvie matematiky, ktoré sa nazýva vyššie. Okrem vlastností celých čísel sa zaoberá aj algebraickými, transcendentálnymi číslami, ako aj funkciami rôzneho pôvodu súvisiacimi s aritmetikou týchto čísel. V týchto štúdiách sa okrem elementárnych a algebraických metód využívajú aj analytické a geometrické metódy. Konkrétne sa štúdium prvočísel zaoberá „Teóriou čísel“.

Prvočísla sú „stavebnými kameňmi“ prirodzených čísel

V aritmetike existuje veta nazývaná hlavná veta. Podľa nej možno akékoľvek prirodzené číslo, okrem jednoty, znázorniť ako súčin, ktorého činiteľmi sú prvočísla a poradie činiteľov je jedinečné, čo znamená, že spôsob zobrazenia je jedinečný. Hovorí sa tomu rozklad prirodzeného čísla na prvočiniteľa. Tento proces má aj iný názov - rozklad čísel. Na základe toho možno prvočísla nazvať „stavebným materiálom“, „blokmi“ na vytváranie prirodzených čísel.

Hľadajte prvočísla. Testy jednoduchosti

Mnoho vedcov rôznych čias sa snažilo nájsť nejaké princípy (systémy) na nájdenie zoznamu prvočísel. Veda pozná systémy nazývané Atkinovo sito, Sundartamovo sito, Eratosthenovo sito. Nedávajú však žiadne významné výsledky a na nájdenie prvočísel sa používa jednoduchý test. Algoritmy vytvorili aj matematici. Nazývajú sa testy primality. Existuje napríklad test, ktorý vyvinuli Rabin a Miller. Používajú ho kryptografi. Existuje aj test Kayala-Agrawala-Saskena. Napriek dostatočnej presnosti je však veľmi náročný na výpočet, čo znižuje jeho praktickú hodnotu.

Má množina prvočísel limit?

To, že množina prvočísel je nekonečno, napísal v knihe „Začiatky“ staroveký grécky vedec Euklides. Povedal toto: „Predstavme si na chvíľu, že prvočísla majú limit. Potom ich medzi sebou vynásobme a jednu pridajme k produktu. Číslo získané ako výsledok týchto jednoduchých operácií nemôže byť deliteľné žiadnym z radu prvočísel, pretože zvyšok bude vždy jedna. A to znamená, že existuje nejaké ďalšie číslo, ktoré ešte nie je zahrnuté v zozname prvočísel. Náš predpoklad preto nie je pravdivý a táto množina nemôže mať limit. Okrem Euklidovho dôkazu existuje aj modernejší vzorec, ktorý dal švajčiarsky matematik z 18. storočia Leonhard Euler. Podľa neho súčet, prevrátená hodnota súčtu prvých n čísel, rastie donekonečna s rastom čísla n. A tu je vzorec vety o rozdelení prvočísel: (n) rastie ako n / ln (n).

Aké je najväčšie prvočíslo?

Napriek tomu Leonard Euler dokázal nájsť najväčšie prvočíslo svojej doby. To je 2 31 - 1 = 2147483647. Do roku 2013 však bolo vypočítané ďalšie najpresnejšie najväčšie v zozname prvočísel - 2 57885161 - 1. Nazýva sa Mersennovo číslo. Obsahuje asi 17 miliónov desatinných číslic. Ako vidíte, číslo nájdené vedcom z osemnásteho storočia je niekoľkonásobne menšie ako toto. Malo to tak byť, pretože Euler tento výpočet robil ručne, kým nášmu súčasníkovi zrejme pomáhal počítač. Navyše, toto číslo bolo získané na Katedre matematiky na jednom z amerických oddelení. Čísla pomenované po tomto vedcovi prechádzajú Luc-Lehmerovým testom primálnosti. Veda sa však pri tom nechce zastaviť. Electronic Frontier Foundation, ktorá bola založená v roku 1990 v Spojených štátoch amerických (EFF), ponúkla peňažnú odmenu za nájdenie veľkých prvočísel. A ak do roku 2013 bola cena udeľovaná tým vedcom, ktorí ich nájdu medzi 1 a 10 miliónmi desatinných čísel, dnes toto číslo dosahuje od 100 miliónov do 1 miliardy. Ceny sa pohybujú od 150 do 250 tisíc amerických dolárov.

Názvy špeciálnych prvočísel

Čísla, ktoré boli nájdené vďaka algoritmom vytvoreným určitými vedcami a prešli testom jednoduchosti, sa nazývajú špeciálne. Tu sú niektoré z nich:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills a kol.

Jednoduchosť týchto čísel, pomenovaných podľa vyššie uvedených vedcov, je stanovená pomocou nasledujúcich testov:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Rizeľ.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge a ďalší.

Moderná veda sa tým nekončí a svet pravdepodobne v blízkej budúcnosti spozná mená tých, ktorí mohli získať cenu 250 000 dolárov nájdením najväčšieho prvočísla.

Zoznam deliteľov. Podľa definície číslo n je prvočíslo iba vtedy, ak nie je rovnomerne deliteľné 2 a akýmikoľvek celými číslami okrem 1 a sebou samým. Vyššie uvedený vzorec odstraňuje zbytočné kroky a šetrí čas: napríklad po kontrole, či je číslo deliteľné 3, nie je potrebné kontrolovať, či je deliteľné 9.

• Funkcia floor(x) zaokrúhli x na najbližšie celé číslo menšie alebo rovné x.

Získajte informácie o modulárnej aritmetike. Operácia "x mod y" (mod je skratka pre latinské slovo "modulo", čo znamená "modul") znamená "rozdeliť x y a nájsť zvyšok". Inými slovami, v modulárnej aritmetike, pri dosiahnutí určitej hodnoty, ktorá je tzv modul, čísla sa "otočia" späť na nulu. Napríklad hodiny merajú čas v module 12: ukazujú 10, 11 a 12 hodín a potom sa vrátia na 1.

• Mnoho kalkulačiek má mod kľúč. Koniec tejto časti ukazuje, ako manuálne vypočítať túto funkciu pre veľké čísla.

Prečítajte si o úskaliach Fermatovej Malej vety. Všetky čísla, pre ktoré nie sú splnené podmienky testu, sú zložené, ale zostávajúce čísla sú len pravdepodobne sa považujú za jednoduché. Ak sa chcete vyhnúť nesprávnym výsledkom, hľadajte n v zozname „Carmichaelových čísel“ (zložené čísla, ktoré vyhovujú tomuto testu) a „pseudoprvočísla Fermat“ (tieto čísla spĺňajú podmienky testu len pre niektoré hodnoty a).

Ak je to vhodné, použite Miller-Rabinov test. Hoci je táto metóda dosť ťažkopádna na manuálne výpočty, často sa používa v počítačových programoch. Poskytuje prijateľnú rýchlosť a poskytuje menej chýb ako Fermatova metóda. Zložené číslo sa nebude považovať za prvočíslo, ak sa výpočty robia pre viac ako ¼ hodnôt a. Ak náhodne vyberiete rôzne hodnoty a a u všetkých z nich test poskytne pozitívny výsledok, môžeme s pomerne vysokou mierou istoty predpokladať, že n je prvočíslo.

Pre veľké čísla použite modulárnu aritmetiku. Ak nemáte po ruke modovú kalkulačku alebo ak kalkulačka nie je navrhnutá tak, aby zvládla také veľké čísla, použite vlastnosti napájania a modulárnu aritmetiku na uľahčenie výpočtov. Nižšie je uvedený príklad pre 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

• Prepíšte výraz do vhodnejšej podoby: mod 50. Pri manuálnom výpočte môžu byť potrebné ďalšie zjednodušenia.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Tu sme brali do úvahy vlastnosť modulárneho násobenia.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je deliteľné iba samo sebou a jednotkou.

Zvyšné čísla sa nazývajú zložené.

Jednoduché prirodzené čísla

Ale nie všetky prirodzené čísla sú prvočísla.

Jednoduché prirodzené čísla sú len tie, ktoré sú deliteľné len sebou samým a jedným.

Príklady prvočísel:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Jednoduché celé čísla

Z toho vyplýva, že prvočísla sú len prirodzené čísla.

To znamená, že prvočísla sú nevyhnutne prirodzené.

Ale všetky prirodzené čísla sú tiež celé čísla.

Všetky prvočísla sú teda celé čísla.

Príklady prvočísel:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Dokonca prvočísla

Existuje len jedno párne prvočíslo, a to dve.

Všetky ostatné prvočísla sú nepárne.

Prečo párne číslo väčšie ako dva nemôže byť prvočíslo?

Ale pretože každé párne číslo väčšie ako dva bude deliteľné samo o sebe, nie jedným, ale dvoma, teda také číslo bude mať vždy troch deliteľov a možno aj viac.