Uvažujme o slede $n$ nezávislých pokusov, v každom z nich $A$ môže nastať s pravdepodobnosťou $p$, alebo nenastane — s pravdepodobnosťou $q=1-p$. Označiť podľa P n (k) pravdepodobnosť, že udalosť $A$ nastane presne $k$ krát z $n$ možných.

V tom prípade hodnota P n(k ) možno nájsť pomocou Bernoulliho vety (pozri lekciu "Bernoulliho schéma. Príklady riešenia problémov"):

Táto veta funguje skvele, ale má chybu. Ak je $n$ dostatočne veľké, nájdite hodnotu P n (k) sa stáva nereálnym kvôli obrovskému množstvu výpočtov. V tomto prípade to funguje Miestna de Moivre-Laplaceova veta, ktorý vám umožňuje nájsť približnú hodnotu pravdepodobnosti:

Miestna de Moivre-Laplaceova veta. Ak v Bernoulliho schéme je číslo $n$ veľké a číslo $p$ sa líši od 0 a 1, potom:

Funkcia φ ( X) sa nazýva Gaussova funkcia. Jeho hodnoty sú už dlho vypočítané a zapísané do tabuľky, ktorú možno použiť aj pri testoch a skúškach.

Gaussova funkcia má dve vlastnosti, ktoré treba mať na pamäti pri práci s tabuľkou hodnôt:

1. φ (− X) = φ ( X) - Gaussova funkcia - párna;
2. Pre veľké hodnoty X máme: φ ( X) ≈ 0.

Miestna de Moivre-Laplaceova veta poskytuje vynikajúcu aproximáciu Bernoulliho vzorca, ak počet pokusov n Dostatočne veľké. Samozrejme, formulácia „počet pokusov je dostatočne veľká“ je veľmi ľubovoľná a rôzne zdroje uvádzajú rôzne čísla. Napríklad:

1. Bežnou požiadavkou je: n p q> 10. Možno toto je minimálny limit;
2. Iní naznačujú, že tento vzorec funguje iba pre $ n > 100 $ a n p q > 20.

Podla mna sa staci len pozriet na stav problemu. Ak vidíte, že štandardná Bernoulliho veta nefunguje kvôli veľkému množstvu výpočtov (napríklad nikto nebude počítať číslo 58! alebo 45!), pokojne použite Miestnu Moivre-Laplaceovu vetu.

Navyše, čím bližšie sú hodnoty pravdepodobností $q$ a $p$ k 0,5, tým je vzorec presnejší. A naopak, pre hraničné hodnoty (keď je $p$ blízko 0 alebo 1) poskytuje lokálna Moivre-Laplaceova veta veľkú chybu, ktorá sa výrazne líši od skutočnej Bernoulliho vety.

Dávajte si však pozor! Mnohí učitelia vyššej matematiky sami robia v takýchto výpočtoch chyby. Faktom je, že pomerne zložité číslo obsahujúce aritmetickú druhú odmocninu a zlomok je dosadené do Gaussovej funkcie. Toto číslo treba nájsť ešte pred dosadením do funkcie. Zvážme všetko na konkrétnych úlohách:

Úloha. Pravdepodobnosť mať chlapca je 0,512. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 100 novorodencami bude presne 51 chlapcov.

Takže celkové testy podľa Bernoulliho schémy n= 100. Okrem toho p = 0,512, q= 1 − p = 0,488.

Pretože n= 100 je dostatočne veľké číslo, budeme pracovať podľa Local de Moivre-Laplaceovej vety. Všimni si n p q= 100 0,512 0,488 ≈ 25 > 20. Máme:

Keďže sme zaokrúhlili hodnotu n p q na celé číslo, odpoveď môže byť aj zaokrúhlená: 0,07972 ≈ 0,08. Len nemá zmysel brať do úvahy zvyšok čísel.

Úloha. Telefónna ústredňa obsluhuje 200 účastníkov. Pre každého účastníka je pravdepodobnosť, že sa do jednej hodiny dovolá na stanicu, 0,02. Nájdite pravdepodobnosť, že do hodiny zavolá presne 5 účastníkov.

Podľa Bernoulliho schémy n= 200, p = 0,02, q= 1 - p = 0,98. Všimni si n= 200 nie je slabé číslo, preto použijeme Local De Moivre-Laplaceovu vetu. Najprv nájdime n p q\u003d 200 0,02 0,98 ≈ 4. Samozrejme, 4 je príliš malé, takže výsledky budú nepresné. Máme však:

Zaokrúhlime odpoveď na druhé desatinné miesto: 0,17605 ≈ 0,18. Viac znakov aj tak nemá zmysel brať do úvahy, keďže sme zaokrúhľovali n p q= 3,92 ≈ 4 (až po presný štvorec).

Úloha. Obchod dostal 1000 fliaš vodky. Pravdepodobnosť, že sa fľaša pri preprave rozbije, je 0,003. Nájdite pravdepodobnosť, že obchod dostane presne dve rozbité fľaše.

Podľa Bernoulliho schémy máme: n= 1 000, p = 0,003, q= 0,997. Odtiaľ n p q= 2,991 ≈ 1,73 2 (vyberte najbližší presný štvorec). Od čísla n= 1000 je dostatočne veľké, dosadíme všetky čísla do vzorca Lokálnej Moivre-Laplaceovej vety:

Zámerne nechávame len jedno desatinné miesto (v skutočnosti to bude 0,1949 ...), keďže sme spočiatku používali skôr hrubé odhady. Konkrétne: 2,991 ≈ 1,73 2 . Trojka v čitateli vnútri Gaussovej funkcie vznikla z výrazu n p = 1 000 0,003 = 3.

Ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti v každom teste je konštantná a spĺňa dvojitú nerovnosť
a počet nezávislých pokusov dostatočne veľká, potom pravdepodobnosť
možno vypočítať pomocou nasledujúceho približného vzorca

(14) ,

kde hranice integrálu sú definované rovnosťami

Vzorec (14) je tým presnejší, čím väčší je počet testov v tomto experimente.

Na základe rovnosti (13) možno vzorec (14) prepísať ako

(15)
.

(16)
(N.F.L)

Zaznamenávame najjednoduchšie vlastnosti funkcie
:

Posledná vlastnosť súvisí s vlastnosťami Gaussovej funkcie
.

Funkcia
zvláštny. Skutočne, po zmene premenných

=


;

Na kontrolu druhej vlastnosti stačí urobiť kresbu. Analyticky súvisí s takzvaným nesprávnym Poissonovým integrálom.

Z toho priamo vyplýva, že pre všetky čísla
dá sa predpokladať, že
preto sa všetky hodnoty tejto funkcie nachádzajú v segmente [-0,5; 0,5], pričom najmenší je
potom funkcia pomaly rastie a zaniká, t.j.
a potom sa zvýši na
Preto je na celej reálnej línii striktne rastúca funkcia, t.j. ak
potom

Je potrebné poznamenať, že závery vlastnosti 2 pre funkciu
je opodstatnené na základe nevlastného Poissonovho integrálu.

Komentujte. Pri riešení problémov, ktoré vyžadujú aplikáciu Moivre-Laplaceovej integrálnej vety, sa používajú špeciálne tabuľky. Tabuľka udáva hodnoty pre kladné argumenty a pre
; pre hodnoty
mali by ste použiť rovnakú tabuľku, berúc do úvahy rovnosť

Ďalej, aby ste mohli použiť tabuľku funkcií
, transformujeme rovnosť (15) takto:

A na základe vlastnosti 2 (nepárne
), berúc do úvahy paritu integrandu, získame

=
.

Teda pravdepodobnosť, že udalosť sa objaví v aspoň nezávislé testy raz a nie viac krát sa vypočíta podľa vzorca:

(17)

;

Príklad 12. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,75. Nájdite pravdepodobnosť, že pri 300 výstreloch bude cieľ zasiahnutý aspoň 150 a maximálne 250-krát.

Riešenie: Tu
,
,
,
,
. Vypočítajte

,
,

,
.

Dosadením do Laplaceovho integrálneho vzorca dostaneme

V praxi sa spolu s rovnosťou (16) často používa ďalší vzorec nazývaný " pravdepodobnostný integrál» alebo Laplaceova funkcia (podrobnejšie v kapitole 2., oddiel 9., T.9.).

(I.V. alebo F.L.)

Pre túto funkciu platia rovnosti:

Preto súvisí s tabuľkovou funkciou
a preto je tu aj tabuľka približných hodnôt (pozri prílohu na konci knihy).

Príklad 13 Pravdepodobnosť, že diel neprešiel kontrolou oddelenia kontroly kvality je 0,2. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 400 náhodne vybranými časťami neoverených častí bude 70 až 100 častí.

Riešenie. Podľa zadania
,
,
.
,
. Použime Moivre-Laplaceovu integrálnu vetu:

,

Vypočítajme spodnú a hornú hranicu integrácie:

Preto berúc do úvahy tabuľkové hodnoty funkcie
;

dostaneme požadovanú pravdepodobnosť

.

Teraz máme možnosť, ako aplikáciu uvažovaných limitných viet, dokázať známu vetu « zákon veľkých čísel v Bernoulliho forme »

Zákon veľkých čísel (LLN v Bernoulliho forme)

Prvým historicky najjednoduchším zákonom veľkých čísel je veta

I. Bernoulli. Bernoulliho veta vyjadruje najjednoduchšiu formu prejavu zákona veľkých čísel. Zdôvodňuje teoretickú možnosť približného výpočtu pravdepodobnosti udalosti pomocou jej relatívnej frekvencie, t.j. dokladá vlastnosť stability relatívnej frekvencie.

Nech sa drží nezávislé pokusy, v každom z nich pravdepodobnosť výskytu udalosti rovná sa
a relatívna frekvencia v každej sérii testov je

Zvážte problém:v testovacích podmienkach podľa Bernoulliho schémy a s dostatočne veľkým počtom nezávislých testovnájdite pravdepodobnosť odchýlky relatívnej frekvencie
z konštantnej pravdepodobnosti výskyt udalosti v absolútnej hodnote nepresahuje daný počet
Inými slovami, nájdite pravdepodobnosť:

s dostatočne veľkým počtom nezávislých testov.

Veta (ZBCh J. Bernoulli 1713)Za vyššie uvedených podmienok pre akékoľvek akokoľvek málo
, máme limitnú rovnosť

(19)
.

Dôkaz. Dokážme toto dôležité tvrdenie na základe integrálnej vety Moivre – Laplace. Podľa definície je relatívna frekvencia

ALE
pravdepodobnosť výskytu udalosti v jednom teste. Najprv stanovme nasledujúcu rovnosť pre všetkých
a dostatočne veľký :

(20)

.

Skutočne, v súlade s podmienkou
Je ľahké vidieť, že existuje dvojitá nerovnosť. Označiť

(21)
.

Potom budeme mať nerovnosti

Preto pre požadovanú pravdepodobnosť . Teraz k prípadom
používame rovnosť

;

a s prihliadnutím na zvláštnosti
dostaneme

== 2
.

Získa sa rovnosť (20).

Priamo zo vzorca (20) vyplýva, že pri
(vziať do úvahy
kde), získame limitnú rovnosť (20).

Príklad 14
. Nájdite pravdepodobnosť, že spomedzi náhodne vybraných 400 častí sa relatívna frekvencia výskytu neštandardných častí odchyľuje
v absolútnej hodnote nie viac ako 0,03.

Riešenie. Podľa podmienok problému je potrebné nájsť

Podľa vzorca (3) máme

=2
.

S prihliadnutím na tabuľkovú hodnotu funkcie
dostaneme

.

Význam získaného výsledku je nasledovný: ak odoberieme dostatočne veľký počet vzoriek

detaily, potom v každej vzorke je približne odchýlka relatívnej „frekvencie“ o

95,44 % a hodnotu
tieto vzorky z pravdepodobnosti
, modulo nepresahujúce 0,03.

Zvážte ďalší príklad, kde chcete nájsť číslo
.

Príklad 15 Pravdepodobnosť, že časť je neštandardná, je
. Koľko dielov treba vybrať, aby sa s pravdepodobnosťou 0,9999 dalo tvrdiť, že relatívna frekvencia neštandardných dielov (medzi vybranými) sa líši od modulo nie viac ako 0,03. Nájdite toto množstvo

Riešenie. Tu podľa stavu
.

Vyžaduje sa definovanie
. Podľa vzorca (13) máme

.

Pretože,

Podľa tabuľky zistíme, že táto hodnota zodpovedá argumentu
. Odtiaľ,
. Význam tohto výsledku je, že sa uzavrie relatívna frekvencia

medzi číslami. Počet neštandardných častí v 99,99 % vzoriek bude teda medzi 101,72 (7 % z počtu 1444) a 187,72 (13 % z počtu 1444).

Ak vezmeme iba jednu vzorku z 1444 dielov, potom môžeme s veľkou istotou očakávať, že počet neštandardných dielov nebude nižší ako 101 a nie vyšší ako 188, pričom je zároveň nepravdepodobné, že ich bude menej. ako 101 alebo viac ako 188.

Treba poznamenať, že Bernoulliho veta tiež hovorí: s neobmedzeným nárastom počtu pokusov, frekvenciou náhodnej udalosti konverguje v pravdepodobnosti k skutočnej pravdepodobnosti tej istej udalosti, t.j. platí odhad zdola

(22)
;
,

za predpokladu, že pravdepodobnosť udalosti od testu k testu zostáva nezmenený a rovnaký
kde
.

Nerovnosť (22) je priamym dôsledkom známej Čebyševovej nerovnosti (pozri nižšie tému „Limitné vety teórie pravdepodobnosti“ „Čebyševova veta“). K tomuto ZBC sa vrátime neskôr. Je vhodné získať odhady pravdepodobností zdola a obojstranný odhad pre požadovaný počet výskytov udalosti tak, aby pravdepodobnosť z modulu rozdielu medzi relatívnou frekvenciou a skutočnou pravdepodobnosťou spĺňala dané obmedzenie posudzovaná udalosť.

Príklad 16 Mincou sa hodí 1000-krát. Odhadnite zdola pravdepodobnosť odchýlky frekvencie výskytu „erbu“ od pravdepodobnosti jeho výskytu o menej ako 0,1.

Riešenie. Podľa podmienok tu

Na základe nerovnosti (4) získame

Preto tá nerovnosť
je ekvivalentná dvojitej nerovnosti

Preto môžeme konštatovať, že pravdepodobnosť počtu zásahov „erbu“ v intervale (400; 600) je väčšia ako

Príklad 17. Urna obsahuje 1000 bielych a 2000 čiernych loptičiek. Vyťažených (s návratom) 300 loptičiek. Odhadnite zdola pravdepodobnosť, že počet vyžrebovaných loptičiek m(a musia byť biele) spĺňa dvojitú nerovnosť 80< m <120.

Riešenie. Dvojitá nerovnosť pre veľkosť m prepíšte do tvaru:

Preto je potrebné odhadnúť pravdepodobnosť splnenia nerovnosti

v dôsledku toho

.

Laplaceova integrálna veta

Veta. Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od nuly a jednej, potom pravdepodobnosť, že počet m výskytu udalosti A v n nezávislých pokusoch leží v medziach od a do b (vrátane) , pri dostatočne veľkom počte pokusov n sa približne rovná

Laplaceov integrálny vzorec, ako aj lokálny Moivre-Laplaceov vzorec, čím presnejšie, tým viac n a čím bližšie k 0,5 hodnoty p a q. Výpočet podľa tohto vzorca dáva pri splnení podmienky zanedbateľnú chybu npq≥ 20, hoci podmienka npq > 10.

Funkcia F( X) je uvedený v tabuľke (pozri prílohu 2). Ak chcete použiť túto tabuľku, musíte poznať vlastnosti funkcie Ф( X):

1. Funkcia Ф( X) je nepárne, t.j. F(- X) = – F( X).

2. Funkcia Ф( X) monotónne rastie a ako x → +∞ Ф( X) → 0,5 (v praxi môžeme predpokladať, že už pri X≥ 5 F( X) ≈ 0,5).

Príklad 3.4. Pomocou podmienok príkladu 3.3 vypočítajte pravdepodobnosť, že 300 až 360 študentov (vrátane) úspešne zloží skúšku na prvý pokus.

Riešenie. Aplikujeme Laplaceovu integrálnu vetu ( npq≥ 20). Vypočítame:

= –2,5; = 5,0;

P 400 (300 ≤ m≤ 360) = F(5,0) – F(–2,5).

Berúc do úvahy vlastnosti funkcie Ф( X) a pomocou tabuľky jeho hodnôt zistíme: Ф(5.0) = 0.5; F(–2,5) = – F(2,5) = – 0,4938.

Dostaneme P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Zapíšme si dôsledky Laplaceovej integrálnej vety.

Dôsledok 1. Ak je pravdepodobnosť p výskytu javu A v každom pokuse konštantná a odlišná od nuly a jednotky, potom pre dostatočne veľký počet n nezávislých pokusov je pravdepodobnosť, že počet m výskytu javu A sa líši od súčinu np. nie viac ako ε > 0

.

(3.8)

Príklad 3.5. Pomocou podmienok príkladu 3.3 nájdite pravdepodobnosť, že skúšku z teórie pravdepodobnosti na prvý pokus úspešne zloží 280 až 360 študentov.

Riešenie. Vypočítajte pravdepodobnosť R 400 (280 ≤ m≤ 360) môže byť podobný predchádzajúcemu príkladu s použitím hlavného Laplaceovho integrálneho vzorca. Je to však jednoduchšie, ak si všimnete, že hranice intervalu 280 a 360 sú symetrické vzhľadom na hodnotu np= 320. Potom na základe Dôsledku 1 získame

= = ≈

≈ = 2Ф(5,0) ≈ 2 0,5 ≈ 1,

tie. je takmer isté, že na prvý pokus prejde skúškou 280 až 360 študentov. ◄

Dôsledok 2. Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od nuly a jednej, potom pre dostatočne veľký počet n nezávislých pokusov je pravdepodobnosť, že frekvencia javu A m/n leží v rozmedzí od α do β (vrátane) sa rovná

,

(3.9)

kde

, .

(3.10)

Príklad 3.6. Podľa štatistík sa v priemere 87 % novorodencov dožíva 50 rokov. Nájdite pravdepodobnosť, že z 1000 novorodencov bude podiel (frekvencia) tých, ktorí prežili do 50 rokov, v rozmedzí od 0,9 do 0,95.

Riešenie. Pravdepodobnosť, že sa novorodenec dožije 50 rokov, je R= 0,87. Pretože n= 1000 je veľké (t.j. podmienka npq= 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 je splnené), potom použijeme dôsledok 2 Laplaceovej integrálnej vety. Nájdeme:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Dôsledok 3. Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od nuly a jednej, potom pre dostatočne veľký počet n nezávislých pokusov sa pravdepodobnosť, že frekvencia javu A m/n líši od jeho pravdepodobnosti p o nie viac akoΔ > 0 (v absolútnej hodnote) sa rovná

.

(3.11)

Príklad 3.7. V podmienkach predchádzajúcej úlohy nájdite pravdepodobnosť, že z 1000 novorodencov sa podiel (frekvencia) tých, ktorí prežili 50 rokov, bude líšiť od pravdepodobnosti tejto udalosti najviac o 0,04 (v absolútnej hodnote).

Riešenie. Pomocou 3. dôsledku Laplaceovej integrálnej vety zistíme:

= 2F(3,76) = 2 0,4999 = 0,9998.

Keďže nerovnosť sa rovná nerovnosti, výsledok znamená, že je prakticky isté, že 83 až 91 % novorodencov z 1000 sa dožije 50 rokov. ◄

Predtým sme zistili, že pre nezávislé pokusy pravdepodobnosť čísla m výskyty udalostí ALE v n test sa zistí podľa Bernoulliho vzorca. Ak n je veľký, potom sa použije asymptotický Laplaceov vzorec. Tento vzorec však nie je vhodný, ak je pravdepodobnosť udalosti malá ( R≤ 0,1). V tomto prípade ( n skvelé, R malý) aplikujte Poissonovu vetu

Poissonov vzorec

Veta. Ak má pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse tendenciu k nule (p → 0) s neobmedzeným nárastom počtu n pokusov (n → ∞) a súčin np má tendenciu ku konštantnému číslu λ (np → λ), potom pravdepodobnosť P n (m), že sa udalosť A objaví m-krát v n nezávislých pokusov spĺňa limitnú rovnosť

Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch, z ktorých v každom je pravdepodobnosť výskytu udalosti rovná p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Tabuľka hodnôt funkcie φ(x); pre záporné hodnoty x sa používa rovnaká tabuľka (funkcia φ (x) je párna: φ (-x) = φ (x)).

Udalosť môže prísť raz. Pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti je . Nájdite pravdepodobnosť, že udalosť:
príde raz;
menej raz;
najmenej raz;
viac raz;
nikdy viac raz;
najmenej a nič viac raz;
prísť aspoň raz.
Výstup na správu:
Najpravdepodobnejšie číslo;
Pravdepodobnosť, že sa relatívna frekvencia výskytu udalosti odchyľuje od jej pravdepodobnosti v absolútnej hodnote najviac o .

Príklad č. 1. V každom zo 700 nezávislých pokusov sa udalosť A vyskytuje s konštantnou pravdepodobnosťou 0,35. Nájdite pravdepodobnosť, že udalosť A nastane: a) presne 270-krát; b) menej ako 270 a viac ako 230 krát; c) viac ako 270-krát.
Riešenie. Keďže počet experimentov n = 700 je dosť veľký, použijeme Laplaceove vzorce.
a) Dané: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Nájdite P 700 (270). Používame miestnu Laplaceovu vetu.
Nájdeme:

Hodnotu funkcie φ(x) nájdeme z tabuľky:

b) Dané: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Nájdite P 700 (230< k < 270).
Používame Laplaceovu integrálnu vetu (23), (24). Nájdeme:

Hodnotu funkcie Ф (x) nájdeme z tabuľky:

c) Dané: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Nájdite P 700 (k > 270).
Máme:

Príklad č. 2. V ustálenom procese v tkáčovni dochádza k 10 pretrhnutiam nite na 100 vretien za hodinu. Určte: a) pravdepodobnosť, že za hodinu dôjde k 7 pretrhnutiam závitu na 80 vretenách; b) najpravdepodobnejší počet pretrhnutí závitu na 80 vretenách za hodinu.
Riešenie.Štatistická pravdepodobnosť pretrhnutia vlákna za hodinu je p = 10/100 = 0,1, a teda q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Keďže n je veľké, použije sa lokálna Laplaceova veta (23). Vypočítame:

Použime vlastnosť φ(-x) = φ(x), nájdime φ(0,37) ≈ 0,3726 a potom vypočítame požadovanú pravdepodobnosť:

Pravdepodobnosť, že na 80 vretenách za hodinu dôjde k 7 pretrhnutiam závitu, je teda približne 0,139.
Najpravdepodobnejší počet k 0 výskytu udalosti pri opakovaných testoch je určený vzorcom (14). Nález: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Príklad č. 3. Pravdepodobnosť, že časť prvého ročníka je 0,4. Vyrobených 150 dielov. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi je 68 častí prvého ročníka.

Príklad č. 4. Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v každom z nezávislých pokusov je p.
Nájdite pravdepodobnosť, že udalosť nastane n-krát, ak sa vykoná m pokusov.
Svoju odpoveď uveďte na najbližšie tri platné číslice.
p = 0,75, n = 87, m = 120

Moivre-Laplaceova integrálna veta . Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od 0 a 1, potom pravdepodobnosť, že počet m výskytu udalosti A v n nezávislých pokusoch leží v medziach od a do b (vrátane) , s dostatočne veľkým číslom n, sa približne rovná

Kde
- Laplaceova funkcia (alebo integrál pravdepodobností);

,
.

Vzorec sa nazýva Moivre-Laplaceov integrálny vzorec. Čím je n väčšie, tým je tento vzorec presnejší. Za podmienky npq ≥ 20, integrálny vzorec
, ako aj miestne, dáva spravidla chybu vo výpočte pravdepodobností, ktorá je pre prax vyhovujúca.

Funkcia Ф(х) je tabuľková (pozri tabuľku). Ak chcete použiť túto tabuľku, musíte vedieť funkčné vlastnosti :

Funkcia Ф(х) je nepárna, t.j. F(-x) = -F(x).

Funkcia Ф(х) je monotónne rastúca, navyše ako x → +∞ Ф(х) → 1 (v praxi môžeme predpokladať, že už pre x > 4 Ф(х) ≈ 1).

Príklad . V niektorých oblastiach má 80 z každých 100 rodín chladničky. Vypočítajte pravdepodobnosť, že 300 až 360 (vrátane) rodín zo 400 má chladničky.

Riešenie. Aplikujeme integrálnu vetu Moivre-Laplaceovej (npq = 64 ≥ 20). Najprv definujme:

,

.

Teraz podľa vzorca
, berúc do úvahy vlastnosti Ф(х), získame

(podľa tabuľky F(2,50) = 0,9876, F(5,0) ≈ 1)

1. Dôsledky z Moivre-Laplaceovej integrálnej vety (s odvodením). Príklady.

Uvažujme o dôsledku integrálnej vety Moivre-Laplaceovej.

Dôsledok. Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od 0 a 1, potom pri dostatočne veľkom počte n nezávislých pokusov pravdepodobnosť, že:

a) počet m výskytov javu A sa líši od súčinu np najviac o ε >
;

b) frekvencia udalosť A leží v rozmedzí od α do β (vrátane), t.j.
, Kde
,
.

c) frekvencia udalosť A sa líši od svojej pravdepodobnosti p najviac o Δ > 0 (v absolútnej hodnote), t.j.
.

□ 1) Nerovnosť
je ekvivalentná dvojitej nerovnosti pr - E ~ m ~ pr + E. Preto pomocou integrálneho vzorca
:

.

2) Nerovnosť
je ekvivalentná nerovnosti a ≤ m ≤ b pre a = nα a b = nβ. Nahrádzanie vo vzorcoch
a
,
hodnoty a a b získanými výrazmi získame vzorce, ktoré sa majú dokázať
a
,
.

3) Nerovnosť
je ekvivalentná nerovnosti
. Výmena vo vzorci

, dostaneme vzorec, ktorý sa má dokázať
.

Príklad . Podľa štatistík sa v priemere 87 % novorodencov dožíva 50 rokov. Nájdite pravdepodobnosť, že z 1000 novorodencov bude podiel (frekvencia) tých, ktorí prežili 50 rokov: a) v rozmedzí od 0,9 do 0,95; b) sa bude líšiť od pravdepodobnosti tejto udalosti najviac o 0,04 (v absolútnej hodnote)?

Riešenie. a) Pravdepodobnosť p, že sa novorodenec dožije 50 rokov, je 0,87. Pretože n = 1000 je veľké (podmienka npq = 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 je splnená), potom použijeme dôsledok Moivre-Laplaceovej integrálnej vety. Najprv definujme:

,
. Teraz podľa vzorca
:

B) Podľa vzorca
:

Pretože nerovnosť
je ekvivalentná nerovnosti
, získaný výsledok znamená, že je takmer isté, že 0,83 až 0,91 z počtu novorodencov z 1000 sa dožije 50 rokov.

Pojem „náhodná premenná“ a jej popis. Diskrétne náhodná premenná a jej distribučný zákon (rad). Nezávislý náhodné premenné. Príklady.

Pod náhodná premenná sa chápe ako premenná, ktorá vo výsledku testov v závislosti od prípadu naberá jednu z možných množín svojich hodnôt (ktorá nie je vopred známa).

Príklady náhodných premenných : 1) počet detí narodených počas dňa v Moskve; 2) počet chybných výrobkov v danej dávke; 3) počet výstrelov pred prvým zásahom; 4) dosah letu delostreleckého projektilu; 5) spotreba elektriny za pr-tion za mesiac.

Náhodná premenná sa nazýva diskrétny (nespojitý) , ak je množina jeho hodnôt konečná alebo nekonečná, ale spočítateľná.

Pod spojitá náhodná premenná budeme rozumieť veličine, ktorej nekonečná nespočetná množina hodnôt je určitý interval (konečný alebo nekonečný) číselnej osi.

Takže vo vyššie uvedených príkladoch 1-3 máme diskrétne náhodné premenné (v príkladoch 1 a 2 - s konečnou množinou hodnôt; v príklade 3 - s nekonečnou, ale spočítateľnou množinou hodnôt); a v príkladoch 4 a 5 - spojité náhodné premenné.

Pre diskrétna náhodná premenná veľa možné hodnoty náhodnej premennej, t.j. funkcie
, konečne alebo spočítateľne, pre nepretržitý- nekonečný a nespočetný.

Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy X, Y, Z, ... a ich hodnotami - zodpovedajúcimi malými písmenami x, y, z, ....

O náhodnej premennej sa hovorí, že je „distribuovaná“ podľa daného distribučného zákona alebo „podriadená“ tomuto distribučnému zákonu.

Pre diskrétnu náhodnú premennú distribučný zákon m.b. uvedené vo forme tabuľky, analyticky (vo forme vzorca) a graficky.

Najjednoduchšou formou špecifikácie distribučného zákona diskrétnej náhodnej premennej X je tabuľka (matica), ktorá uvádza vzostupne všetky možné hodnoty náhodnej premennej a im zodpovedajúce pravdepodobnosti, t.j.

Alebo
.

Takáto tabuľka je tzv blízko distribúcie diskrétnej náhodnej premennej .

Udalosti X=x 1 , X=x 2 ,…,X=x n , spočívajúce v tom, že v dôsledku testu náhodná premenná X nadobudne hodnoty x 1, x 2, ... , respektíve x n sú nekompatibilné a jediné možné (pretože v tabuľke sú uvedené všetky možné hodnoty náhodnej premennej), t.j. vytvoriť kompletnú skupinu. Preto sa súčet ich pravdepodobností rovná 1. Teda pre akúkoľvek diskrétnu náhodnú premennú
.

Distribučná séria môže byť je znázornené graficky, ak sú hodnoty náhodnej premennej vynesené pozdĺž osi x a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti pozdĺž osi y. Spojenie získaných bodov tvorí prerušovanú čiaru, tzv polygón alebo mnohouholník rozdelenia pravdepodobnosti .

Volajú sa dve náhodné premenné nezávislý , ak sa distribučný zákon jedného z nich nemení v závislosti od možných hodnôt, ktoré nadobudla druhá hodnota. Ak teda diskrétna náhodná premenná X môže nadobudnúť hodnoty x i (i = 1, 2, ..., n) a náhodná premenná Y môže nadobudnúť hodnoty y j (j = 1, 2, ..., m), potom nezávislosť hodnôt diskrétnych náhodných premenných X a Y znamená nezávislosť udalostí X = x i a Y = y pre ľubovoľné i = 1, 2, ... , n a j = 1 , 2, ..., m. V opačnom prípade sa nazývajú náhodné premenné závislý .

Napríklad , ak existujú tikety na dve rôzne peňažné lotérie, potom náhodné premenné X a Y vyjadrujúce výhru za každý tiket (v peňažných jednotkách), resp. nezávislý, pretože pre akúkoľvek výhru na tikete jednej lotérie (napríklad keď X = x i) sa zákon o rozdelení výhry na inom tikete (Y) nezmení.

Ak náhodné premenné X a Y vyjadrujú výhru na tiketoch tej istej peňažnej lotérie, potom sú v tomto prípade X a Y závislé, pretože akákoľvek výhra na jednom tikete (X = x i) vedie k zmene pravdepodobnosti výhry na iný lístok (Y), t.j. k zmene distribučného zákona W.

Matematické operácie s diskrétnymi náhodnými premennými masky a príklady konštrukcie distribučných zákonov pre KH, X" 1 , X + K, XV podľa daného rozdelenia nezávislých prípadov hodnoty X a U.

Poďme definovať matematické operácie nad diskrétnymi náhodnými premennými.

Nech sú dané dve náhodné premenné:

Súčin kX náhodnej veličiny X konštantnou hodnotou k je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty kx i s rovnakými pravdepodobnosťami p i (i = 1,2,...,n).

m mocnina náhodnej premennej X, t.j.
, sa nazýva náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty s rovnakými pravdepodobnosťami p i (i = 1,2,...,n).

Súčet (rozdiel alebo súčin) náhodných premenných X a Y sa nazýva náhodná premenná, ktorá nadobúda všetky možné hodnoty v tvare хi+уj (хj-уj alebo хj yj), kde i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, s pravdepodobnosťou pij, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu xi a y hodnotu yj:

Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, t.j. všetky udalosti X=хi, Y=yj sú nezávislé, potom podľa vety o násobení pravdepodobností pre nezávislé udalosti

3poznámka . Vyššie uvedené definície operácií s diskrétnymi náhodnými premennými je potrebné objasniť: keďže v mnohých prípadoch sú rovnaké hodnoty ,
,
možno získať rôznymi spôsobmi pre rôzne xi, yj s pravdepodobnosťami pi, pij, potom sa pravdepodobnosti takýchto opakovaných hodnôt zistia sčítaním získaných pravdepodobností pi alebo pij.

Typ operácie	Hodnota výrazu S/V	Hodnota exv
		nemeň
		nemeň