>> Extrémy

Funkčný extrém

Definícia extrému

Funkcia volá sa y = f(x). zvyšujúci sa (ubúdanie) v nejakom intervale, ak pre x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ak sa diferencovateľná funkcia y \u003d f (x) na segmente zvyšuje (klesá), potom jej derivácia na tomto segmente f " (X )> 0

(f"(X)< 0).

Bodka X o volal miestny maximálny bod (minimálne) funkcie f (x ), ak existuje okolie bodu x o, pre všetky body, ktorých nerovnosť f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazýva extrémne body a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.

extrémne body

Nevyhnutné podmienky pre extrém . Ak bod X o je extrémnym bodom funkcie f (x), potom buď f " (x o) = 0 alebo f(x o ) neexistuje. Takéto body sa nazývajú kritický, kde samotná funkcia je definovaná v kritickom bode. Medzi jej kritickými bodmi treba hľadať extrémy funkcie.

Prvá postačujúca podmienka. Nechaj X o - kritický bod. Ak f" (x ) pri prechode bodom X o zmení znamienko plus na mínus a potom na bod x o funkcia má maximum, inak má minimum. Ak derivácia nemení znamienko pri prechode cez kritický bod, tak v bode X o neexistuje žiadny extrém.

Druhá postačujúca podmienka. Nech má funkcia f(x).
f" (x ) v blízkosti bodu X o a druhá derivácia v samom bode x o. Ak f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o je bod lokálneho minima (maxima) funkcie f(x). Ak je =0, potom musíte použiť prvú dostatočnú podmienku alebo použiť vyššie.

Na segmente môže funkcia y \u003d f (x) dosiahnuť najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu buď v kritických bodoch, alebo na koncoch segmentu.

Príklad 3.22.

Riešenie. Pretože f " (

Úlohy na nájdenie extrému funkcie

Príklad 3.23. a

Riešenie. X a r r
0 ≤ X≤
> 0, zatiaľ čo x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcie sq. Jednotky).

Príklad 3.24. p ≈

Riešenie. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Príklad 3.22.Nájdite extrémy funkcie f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riešenie. Pretože f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), potom kritické body funkcie x 1 \u003d 2 a x 2 \u003d 3. Extrémne body môžu byť iba v týchto bodov. Pretože pri prechode bodom x 1 \u003d 2 sa derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom má funkcia v tomto bode maximum. Pri prechode bodom x 2 \u003d 3 sa derivácia zmení znamienko z mínus na plus, preto má funkcia v bode x 2 \u003d 3 minimum. Výpočet hodnôt funkcie v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f (2) = 14 a minimum f (3) = 13.

Príklad 3.23.Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikový priestor tak, aby bol z troch strán oplotený drôteným pletivom a zo štvrtej strany priliehal k múru. Pre toto existuje a lineárne metre siete. Pri akom pomere strán bude mať stránka najväčšiu plochu?

Riešenie.Označte strany stránky cez X a r. Plocha lokality sa rovná S = xy. Nechaj r je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí platiť rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x (a - 2x), kde
0 ≤ X≤ a /2 (dĺžka a šírka podložky nemôže byť záporná). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pre x = a/4, odkiaľ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Pretože x = a /4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre x a /4 S "> 0, zatiaľ čo x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcie S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (sq. Jednotky). Keďže S je nepretržite zapnuté a jeho hodnoty na koncoch S(0) a S(a /2) sú rovné nule, nájdená hodnota bude najväčšou hodnotou funkcie. Najpriaznivejší pomer strán lokality za daných podmienok úlohy je teda y = 2x.

Príklad 3.24.Je potrebné vyrobiť uzavretú valcovú nádrž s objemom V=16 p ≈ 50 m3. Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie.Celková plocha valca je S = 2 p R(R+H). Poznáme objem valca V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Takže S(R) = 2 p (R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S"(R) \u003d 2 p (2R-16 / R2) \u003d 4 p (R-8 / R2). S" (R) = 0 pre R3 = 8, preto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Extrémny bod funkcie je bod v doméne funkcie, kde hodnota funkcie nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Hodnoty funkcie v týchto bodoch sa nazývajú extrémy (minimum a maximum) funkcie.

Definícia. Bodka X1 rozsah funkcie f(X) sa nazýva maximálny bod funkcie , ak je hodnota funkcie v tomto bode väčšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch, ktoré sa nachádzajú napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maximálne.

Definícia. Bodka X2 rozsah funkcie f(X) sa nazýva minimálny bod funkcie, ak je hodnota funkcie v tomto bode menšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch, ktoré sa nachádzajú napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). V tomto prípade sa hovorí, že funkcia má v bode X2 minimálne.

Povedzme pointu X1 - maximálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X1 funkcia sa zvyšuje, takže derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X) > 0 ) a v intervale po X1 funkcia sa znižuje, takže derivácia funkcie menej ako nula ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Predpokladajme tiež, že bod X2 - minimálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X2 funkcia je klesajúca a derivácia funkcie je menšia ako nula ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funkcia je rastúca a derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X) > 0). V tomto prípade aj v bode X2 derivácia funkcie je nulová alebo neexistuje.

Fermatova veta (nevyhnutné kritérium pre existenciu extrému funkcie). Ak bod X0 - extrémny bod funkcie f(X), potom sa v tomto bode derivácia funkcie rovná nule ( f "(X) = 0 ) alebo neexistuje.

Definícia. Volajú sa body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje kritických bodov .

Príklad 1 Uvažujme o funkcii.

Na mieste X= 0 derivácia funkcie sa rovná nule, teda bod X= 0 je kritický bod. Ako však vidno na grafe funkcie, zväčšuje sa v celej oblasti definície, teda bod X= 0 nie je extrémnym bodom tejto funkcie.

Teda podmienky, že derivácia funkcie v bode sa rovná nule alebo neexistuje, sú nevyhnutné podmienky pre extrém, ale nie postačujúce, keďže možno uviesť aj iné príklady funkcií, pre ktoré sú tieto podmienky splnené, ale funkcia nemá v príslušnom bode extrém. Preto musí mať dostatočné indikácie, ktoré umožňujú posúdiť, či existuje extrém v určitom kritickom bode a ktorý z nich - maximum alebo minimum.

Veta (prvé dostatočné kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 f(X), ak derivácia funkcie pri prechode týmto bodom zmení znamienko a ak sa znamienko zmení z „plus“ na „mínus“, potom maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod .

Ak je blízko bodu X0 , naľavo a napravo od neho si derivácia zachováva svoje znamienko, to znamená, že funkcia buď iba klesá, alebo rastie len v niektorom okolí bodu X0 . V tomto prípade v bode X0 neexistuje žiadny extrém.

takže, na určenie extrémnych bodov funkcie musíte urobiť nasledovné :

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Prirovnajte deriváciu k nule a určte kritické body.
3. Mentálne alebo na papieri vyznačte kritické body na číselnej osi a určte znamienka derivácie funkcie vo výsledných intervaloch. Ak sa znamienko derivácie zmení z „plus“ na „mínus“, potom kritický bod je maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom je kritický bod minimálny bod.
4. Vypočítajte hodnotu funkcie v extrémnych bodoch.

Príklad 2 Nájdite extrémy funkcie .

Riešenie. Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule, aby ste našli kritické body:

.

Pretože pre žiadne hodnoty "x" sa menovateľ nerovná nule, potom čitateľa prirovnáme k nule:

Mám jeden kritický bod X= 3. Znamienko derivácie určíme v intervaloch ohraničených týmto bodom:

v rozsahu od mínus nekonečna do 3 - znamienko mínus, to znamená, že funkcia klesá,

v rozsahu od 3 do plus nekonečno - znamienko plus, to znamená, že funkcia sa zvyšuje.

Teda bod X= 3 je minimálny bod.

Nájdite hodnotu funkcie v minimálnom bode:

Nájdeme teda extrémny bod funkcie: (3; 0) a je to minimálny bod.

Veta (druhé postačujúce kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 je extrémnym bodom funkcie f(X), ak sa druhá derivácia funkcie v tomto bode nerovná nule ( f ""(X) ≠ 0 ), navyše, ak je druhá derivácia väčšia ako nula ( f ""(X) > 0 ), potom maximálny bod a ak je druhá derivácia menšia ako nula ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Poznámka 1. Ak v bode X0 prvý aj druhý derivát zaniknú, potom v tomto bode nie je možné posúdiť prítomnosť extrému na základe druhého postačujúceho znaku. V tomto prípade musíte použiť prvé dostatočné kritérium pre extrém funkcie.

Poznámka 2. Druhé postačujúce kritérium pre extrém funkcie je tiež neaplikovateľné, keď prvá derivácia neexistuje v stacionárnom bode (vtedy neexistuje ani druhá derivácia). V tomto prípade je tiež potrebné použiť prvé dostatočné kritérium pre extrém funkcie.

Lokálny charakter extrémov funkcie

Z uvedených definícií vyplýva, že extrém funkcie má lokálny charakter – ide o najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami.

Predpokladajme, že zvážite svoje zárobky v časovom rozpätí jedného roka. Ak ste v máji zarobili 45 000 rubľov a v apríli 42 000 rubľov a v júni 39 000 rubľov, potom sú májové zárobky maximom zárobkovej funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami. Ale v októbri ste zarobili 71 000 rubľov, v septembri 75 000 rubľov a v novembri 74 000 rubľov, takže októbrové zárobky sú minimom zárobkovej funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami. A môžete ľahko vidieť, že maximum medzi hodnotami apríl-máj-jún je menšie ako minimum september-október-november.

Všeobecne povedané, funkcia môže mať niekoľko extrémov na intervale a môže sa ukázať, že akékoľvek minimum funkcie je väčšie ako akékoľvek maximum. Takže pre funkciu znázornenú na obrázku vyššie, .

To znamená, že by sme si nemali myslieť, že maximum a minimum funkcie sú jej maximálne a minimálne hodnoty v celom uvažovanom segmente. V maximálnom bode má funkcia najväčšiu hodnotu len v porovnaní s tými hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k maximálnemu bodu a v minimálnom bode najmenšiu hodnotu len v porovnaní s tými hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k minimálnemu bodu.

Preto môžeme spresniť koncept extrémnych bodov funkcie uvedenej vyššie a nazvať minimálne body lokálne minimálne body a maximálne body - lokálne maximálne body.

Spoločne hľadáme extrémy funkcie

Príklad 3

Riešenie Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi. Jeho derivát existuje aj na celom číselnom rade. Preto v tomto prípade iba tie, na ktorých , t.j. slúžia ako kritické body. , odkiaľ a . Kritické body a rozdeľte celý definičný obor funkcie na tri intervaly monotónnosti: . V každom z nich vyberieme jeden kontrolný bod a v tomto bode nájdeme znamienko derivácie.

Pre interval môže byť referenčný bod : nájdeme . Ak vezmeme bod v intervale, dostaneme , a vezmeme bod v intervale, dostaneme . Takže v intervaloch a , av intervale . Podľa prvého dostatočného znamienka extrému v bode neexistuje extrém (keďže derivácia si zachováva znamienko v intervale ) a funkcia má v bode minimum (keďže derivácia pri prechode mení znamienko z mínusu na plus cez tento bod). Nájdite zodpovedajúce hodnoty funkcie: , a . V intervale funkcia klesá, pretože v tomto intervale , a v intervale sa zvyšuje, pretože v tomto intervale.

Na objasnenie konštrukcie grafu nájdeme jeho priesečníky so súradnicovými osami. Keď dostaneme rovnicu, ktorej korene a , t.j. nájdeme dva body (0; 0) a (4; 0) grafu funkcie. Pomocou všetkých prijatých informácií zostavíme graf (pozri na začiatku príkladu).

Príklad 4 Nájdite extrémy funkcie a zostavte jej graf.

Definičným oborom funkcie je celý číselný rad okrem bodu, t.j. .

Na skrátenie štúdia môžeme využiť fakt, že táto funkcia je párna, od r . Preto je jeho graf symetrický okolo osi Oj a štúdia môže byť vykonaná len pre interval .

Nájdenie derivátu a kritické body funkcie:

1) ;

2) ,

ale funkcia sa v tomto bode preruší, takže nemôže ísť o extrémny bod.

Daná funkcia má teda dva kritické body: a . Berúc do úvahy paritu funkcie, kontrolujeme iba bod druhým dostatočným znamienkom extrému. Aby sme to dosiahli, nájdeme druhú deriváciu a určiť jeho znamienko na : dostaneme . Pretože a , potom je minimálny bod funkcie, zatiaľ čo .

Aby sme získali úplnejší obraz o grafe funkcie, zistime jej správanie na hraniciach oblasti definície:

(tu symbol označuje túžbu X na nulu vpravo a X zostáva pozitívny; podobne znamená ašpiráciu X na nulu vľavo a X zostáva negatívny). Teda ak , tak . Ďalej nájdeme

,

tie. Ak potom .

Graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osami. Obrázok je na začiatku príkladu.

Pokračujeme spolu v hľadaní extrémov funkcie

Príklad 8 Nájdite extrémy funkcie.

Riešenie. Nájdite doménu funkcie. Keďže nerovnosť musí platiť, získame z .

Poďme nájsť prvú deriváciu funkcie:

Poďme nájsť kritické body funkcie.

Pre funkciu f(x) mnohých premenných je bod x vektor, f'(x) je vektor prvých derivácií (gradientu) funkcie f(x), f ′ ′(x) je symetrická matica druhých parciálnych derivácií (Hesseho matica − Hessova) funkcií f(x).
Pre funkciu niekoľkých premenných sú podmienky optimality formulované nasledovne.
Nevyhnutná podmienka pre lokálnu optimalitu. Nech f(x) je diferencovateľné v bode x * R n . Ak x * je lokálny extrémny bod, potom f'(x *) = 0.
Rovnako ako predtým, body, ktoré sú riešením systému rovníc, sa nazývajú stacionárne. Povaha stacionárneho bodu x * súvisí so znamienkovou určitosťou Hessovej matice f′ ′(x).
Znamenková určitosť matice A závisí od znamienok kvadratickej formy Q(α)=< α A, α >pre všetky nenulové α∈R n .
Tu a ďalej označujeme skalárny súčin vektorov x a y. Podľa definície,

Matica A je pozitívne (nezáporne) definitívna, ak Q(α)>0 (Q(α)≥0) pre všetky nenulové α∈R n ; negatívne (nepozitívne) určité, ak Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 pre nejaké nenulové α∈R n a Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Postačujúca podmienka pre lokálnu optimalitu. Nech f(x) je dvakrát diferencovateľné v bode x * R n a f’(x *)=0, t.j. x * − stacionárny bod. Potom, ak je matica f (x *) kladne (záporne) definitívna, potom x * je bod lokálneho minima (maxima); ak je matica f′′(x *) neurčitá, potom x * je sedlový bod.
Ak je matica f′′(x *) nezáporná (nepozitívne) definitívna, potom na určenie povahy stacionárneho bodu x * je potrebné štúdium derivácií vyššieho rádu.
Na kontrolu znamienkovej určitosti matice sa spravidla používa Sylvesterovo kritérium. Podľa tohto kritéria je symetrická matica A pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky jej uhlové minority kladné. V tomto prípade je uhlová minor matice A determinantom matice zostavenej z prvkov matice A, stojacej na priesečníku riadkov a stĺpcov s rovnakými (a prvými) číslami. Ak chcete skontrolovať symetrickú maticu A na negatívnu definitívnosť, musíte skontrolovať maticu (−A) na pozitívnu definitívnosť.
Algoritmus na určenie bodov lokálnych extrémov funkcie mnohých premenných je teda nasledujúci.
1. Nájdite f′(x).
2. Systém je vyriešený

V dôsledku toho sa vypočítajú stacionárne body x i.
3. Nájdite f′′(x), nastavte i=1.
4. Nájdite f′′(x i)
5. Vypočítajú sa uhlové minority matice f′′(x i). Ak nie sú všetky uhlové minority nenulové, potom na určenie povahy stacionárneho bodu x i je potrebné štúdium derivátov vyššieho rádu. V tomto prípade sa vykoná prechod na bod 8.
V opačnom prípade prejdite na krok 6.
6. Analyzujú sa znaky uhlových minorov f′′(x i). Ak je f′′(x i) pozitívne definitné, potom x i je bod lokálneho minima. V tomto prípade sa vykoná prechod na bod 8.
V opačnom prípade prejdite na položku 7.
7. Vypočítajú sa uhlové minority matice -f′′(x i) a analyzujú sa ich znamienka.
Ak je -f′′(x i) − kladne definitné, potom f′′(x i) je záporne definitné a x i je lokálny maximálny bod.
V opačnom prípade je f′′(x i) neurčité a x i je sedlový bod.
8. Kontroluje sa podmienka určenia charakteru všetkých stacionárnych bodov i=N.
Ak je splnená, výpočty sú dokončené.
Ak podmienka nie je splnená, potom sa predpokladá i=i+1 a vykoná sa prechod na krok 4.

Príklad č. 1. Určte body lokálnych extrémov funkcie f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









Keďže všetky rohové maloletosti sú nenulové, charakter x 2 je určený f′′(x).
Keďže matica f′′(x 2) je kladne definitná, x 2 je bod lokálneho minima.
Odpoveď: funkcia f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 má lokálne minimum v bode x = (5/3; 8/3).

Funkcia sa zvyšuje na prírastok argumentu, ktorý má tendenciu k nule. Ak ho chcete nájsť, použite tabuľku derivátov. Napríklad derivácia funkcie y = x3 sa bude rovnať y’ = x2.

Prirovnajte túto deriváciu k nule (v tomto prípade x2=0).

Nájdite hodnotu danej premennej. Toto budú hodnoty, keď sa táto derivácia bude rovnať 0. Ak to chcete urobiť, nahraďte vo výraze namiesto x ľubovoľné čísla, pri ktorých sa celý výraz stane nulou. Napríklad:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Aplikujte získané hodnoty na súradnicovú čiaru a vypočítajte znamienko derivácie pre každú zo získaných hodnôt. Na súradnicovej čiare sú označené body, ktoré sa berú ako počiatok. Ak chcete vypočítať hodnotu v intervaloch, nahraďte ľubovoľné hodnoty, ktoré zodpovedajú kritériám. Napríklad pre predchádzajúcu funkciu do intervalu -1 môžete zvoliť hodnotu -2. Pre -1 až 1 môžete zvoliť 0 a pre hodnoty väčšie ako 1 zvoliť 2. Dosaďte tieto čísla do derivácie a zistite znamienko derivácie. V tomto prípade bude derivácia s x = -2 rovná -0,24, t.j. záporné a na tomto intervale bude znamienko mínus. Ak x=0, potom sa hodnota bude rovnať 2 a na tento interval sa umiestni znamienko. Ak x = 1, potom sa derivácia bude rovnať -0,24 a dá sa mínus.

Ak pri prechode bodom na súradnicovej čiare derivácia zmení svoje znamienko z mínus na plus, potom je to minimálny bod a ak z plus na mínus, potom je to maximálny bod.

Podobné videá

Užitočné rady

Na nájdenie derivátu existujú online služby, ktoré vypočítajú požadované hodnoty a zobrazia výsledok. Na takýchto stránkach môžete nájsť derivát až 5 objednávok.

Zdroje:

• Jedna zo služieb na výpočet derivátov
• maximálny bod funkcie

Maximálne body funkcie spolu s minimálnymi bodmi sa nazývajú extrémne body. V týchto bodoch funkcia mení svoje správanie. Extrémy sa určujú v obmedzených číselných intervaloch a sú vždy lokálne.

Inštrukcia

Proces hľadania lokálnych extrémov sa nazýva funkcia a vykonáva sa analýzou prvej a druhej derivácie funkcie. Pred začatím prieskumu sa uistite, že zadaný rozsah hodnôt argumentov patrí medzi povolené hodnoty. Napríklad pre funkciu F=1/x je hodnota argumentu x=0 neplatná. Alebo pre funkciu Y=tg(x) nemôže mať argument hodnotu x=90°.

Uistite sa, že funkcia Y je diferencovateľná počas celého daného intervalu. Nájdite prvú deriváciu Y". Je zrejmé, že pred dosiahnutím bodu lokálneho maxima funkcia rastie a pri prechode maximom funkcia klesá. Prvá derivácia vo svojom fyzikálnom význame charakterizuje rýchlosť zmeny funkcia. Kým funkcia rastie, rýchlosť tohto procesu je kladná hodnota. Pri prechode cez lokálne maximum funkcia začína klesať a rýchlosť procesu zmeny funkcie sa stáva zápornou.Prechod rýchlosti zmena funkcie cez nulu nastáva v bode lokálneho maxima.

Napríklad funkcia Y \u003d -x² + x + 1 na segmente od -1 do 1 má spojitú deriváciu Y "\u003d -2x + 1. Pri x \u003d 1/2 je derivácia nula a keď prechádzajúc týmto bodom, derivácia zmení znamienko z " +" na "-". Druhá derivácia funkcie Y "=-2. Zostavte bod po bode graf funkcie Y=-x²+x+1 a skontrolujte, či bod s x=1/2 je lokálnym maximom na danom segmente číselnej osi.

Definícia: Bod x0 sa nazýva bod lokálneho maxima (alebo minima) funkcie, ak v niektorom okolí bodu x0 funkcia nadobudne najväčšiu (alebo najmenšiu) hodnotu, t.j. pre všetky х z nejakého okolia bodu x0 je splnená podmienka f(x) f(x0) (alebo f(x) f(x0)).

Body lokálneho maxima alebo minima sú spojené spoločným názvom - body lokálneho extrému funkcie.

Všimnite si, že v bodoch lokálneho extrému funkcia dosahuje svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu len v niektorom lokálnom regióne. Sú prípady, kedy podľa hodnoty уmaxуmin .

Nevyhnutné kritérium pre existenciu lokálneho extrému funkcie

Veta . Ak má spojitá funkcia y = f(x) lokálny extrém v bode x0, tak v tomto bode je prvá derivácia buď nulová, alebo neexistuje, t.j. lokálny extrém sa odohráva v kritických bodoch prvého druhu.

V bodoch lokálnych extrémov je buď dotyčnica rovnobežná s osou 0x, alebo existujú dve dotyčnice (pozri obrázok). Všimnite si, že kritické body sú nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou pre lokálny extrém. Lokálny extrém prebieha iba v kritických bodoch prvého druhu, ale nie všetky kritické body majú lokálny extrém.

Napríklad: kubická parabola y = x3, má kritický bod x0 = 0, v ktorom je derivácia y/(0)=0, ale kritický bod x0=0 nie je extrémnym bodom, ale je v ňom inflexný bod (pozri nižšie).

Dostatočné kritérium pre existenciu lokálneho extrému funkcie

Veta . Ak, keď argument prechádza cez kritický bod prvého druhu, zľava doprava, prvá derivácia y / (x)

zmení znamienko z „+“ na „-“, potom má spojitá funkcia y(x) lokálne maximum v tomto kritickom bode;

zmení znamienko z „-“ na „+“, potom má spojitá funkcia y(x) v tomto kritickom bode lokálne minimum

nezmení znamienko, potom v tomto kritickom bode nie je lokálny extrém, je tam inflexný bod.

Pre lokálne maximum je oblasť rastúcej funkcie (y/0) nahradená oblasťou klesajúcej funkcie (y/0). Pre lokálne minimum je oblasť klesajúcej funkcie (y/0) nahradená oblasťou rastúcej funkcie (y/0).

Príklad: Preskúmajte funkciu y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 pre monotónnosť, extrém a vytvorte graf funkcie.

Kritické body prvého druhu nájdeme tak, že zadefinujeme deriváciu (y/) a prirovnáme ju k nule: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Štvorcový trojčlen riešime pomocou diskriminantu:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Rozdeľme číselnú os kritickými bodmi na 3 oblasti a určme v nich znamienka derivácie (y/). Na základe týchto znakov nájdeme oblasti monotónnosti (zvýšenie a zníženie) funkcií a zmenou znakov určíme body lokálneho extrému (maximum a minimum).

Výsledky štúdie sú prezentované vo forme tabuľky, z ktorej možno vyvodiť tieto závery:

• 1. Na intervale y /(-10) 0 funkcia monotónne rastie (znamienko derivácie y bolo odhadnuté z kontrolného bodu x = -10 zobratého v tomto intervale);
• 2. Na intervale (-5; -1) y /(-2) 0 funkcia monotónne klesá (znamienko derivácie y bolo odhadnuté z kontrolného bodu x = -2 zobratého v tomto intervale);
• 3. Na intervale y /(0) 0 funkcia monotónne narastá (znamienko derivácie y bolo odhadnuté z kontrolného bodu x = 0 prijatého v tomto intervale);
• 4. Pri prechode cez kritický bod x1k \u003d -5 derivácia zmení znamienko z „+“ na „-“, preto je tento bod lokálnym maximálnym bodom
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 = 16);
• 5. Pri prechode cez kritický bod x2k \u003d -1 derivácia zmení znamienko z "-" na "+", preto je tento bod lokálnym minimálnym bodom
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x-5 (-5; -1)-1

3) Na základe výsledkov štúdie vytvoríme graf so zapojením dodatočných výpočtov hodnôt funkcie v kontrolných bodoch:

postavíme pravouhlý súradnicový systém Oxy;

zobraziť súradnice maximálneho (-5; 16) a minimálneho (-1; -16) bodov;

na spresnenie grafu vypočítame hodnotu funkcie v kontrolných bodoch, pričom ich vyberieme vľavo a vpravo od maximálnych a minimálnych bodov a vo vnútri stredného intervalu, napríklad: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) a (0;-9) - vypočítané kontrolné body, ktoré sa vynesú do grafu;

zobrazujeme graf vo forme krivky s vydutím nahor v maximálnom bode a vydutím nadol v minimálnom bode a prechádzajúc cez vypočítané kontrolné body.