Vzdialenosť bodu od vodorovnej premietacej roviny sa nazýva. Konštrukcia ortogonálnych priemetov bodov

Zvážte profilovú rovinu projekcií. Projekcie na dve na seba kolmé roviny väčšinou určujú polohu postavy a umožňujú zistiť jej skutočné rozmery a tvar. Sú však chvíle, keď dve projekcie nestačia. Potom použite konštrukciu tretej projekcie.

Tretia premietacia rovina sa uskutočňuje tak, že je kolmá na obe premietacie roviny súčasne (obr. 15). Tretia rovina je tzv profilu.

V takýchto konštrukciách sa nazýva spoločná čiara horizontálnej a čelnej roviny os X , spoločná čiara vodorovnej a profilovej roviny - os pri a spoločná priamka čelnej a profilovej roviny - os z . Bodka O, ktorý patrí do všetkých troch rovín, sa nazýva východiskový bod.

Obrázok 15a znázorňuje bod ALE a tri jeho projekcie. Projekcia do roviny profilu ( a) sa volajú projekcia profilu a označujú a.

Získať diagram bodu A, ktorý pozostáva z troch projekcií a, a, je potrebné zrezať trojsten tvorený všetkými rovinami pozdĺž osi y (obr. 15b) a spojiť všetky tieto roviny s rovinou čelného priemetu. Horizontálna rovina sa musí otáčať okolo osi X a rovina profilu je blízko osi z v smere označenom šípkou na obrázku 15.

Obrázok 16 ukazuje polohu výstupkov a, a a a bodov ALE, získané ako výsledok spojenia všetkých troch rovín s rovinou výkresu.

V dôsledku rezu sa os y vyskytuje na diagrame na dvoch rôznych miestach. Na vodorovnej rovine (obr. 16) zaujme zvislú polohu (kolmú na os). X) a na rovine profilu - horizontálne (kolmé na os). z).

Obrázok 16 zobrazuje tri projekcie a, a a a body A majú presne definovanú polohu na diagrame a podliehajú jednoznačným podmienkam:

a a a musí byť vždy umiestnené na jednej zvislej priamke kolmej na os X;

a a a musí byť vždy umiestnené na rovnakej horizontálnej línii kolmej na os z;

3) pri kreslení cez vodorovnú projekciu a vodorovnú čiaru, ale cez projekciu profilu a- vertikálna priama čiara, zostrojené čiary sa nevyhnutne pretínajú na sektore uhla medzi osami premietania, pretože obr. Oa pri a 0 a n je štvorec.

Pri konštrukcii troch priemetov bodu je potrebné pre každý bod skontrolovať splnenie všetkých troch podmienok.

Súradnice bodu

Polohu bodu v priestore možno určiť pomocou troch čísel, ktoré sa nazývajú jeho súradnice. Každá súradnica zodpovedá vzdialenosti bodu od niektorej projekčnej roviny.

Bodová vzdialenosť ALE k rovine profilu je súradnica X, kde X = a˝A(obr. 15), vzdialenosť k frontálnej rovine - podľa súradníc y, a y = aa a vzdialenosť od vodorovnej roviny je súradnica z, kde z = aA.

Na obrázku 15 zaberá bod A šírku obdĺžnikového boxu a rozmery tohto boxu zodpovedajú súradniciam tohto bodu, t. j. každá zo súradníc je na obrázku 15 znázornená štyrikrát, t.j.

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Na diagrame (obr. 16) sa súradnice x a z vyskytujú trikrát:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Všetky segmenty, ktoré zodpovedajú súradniciam X(alebo z) sú navzájom paralelné. Koordinovať pri znázornené dvakrát zvislou osou:

y \u003d Oa y \u003d a x a

a dvakrát - umiestnené horizontálne:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Tento rozdiel sa objavil v dôsledku skutočnosti, že os y je na diagrame prítomná v dvoch rôznych polohách.

Je potrebné poznamenať, že poloha každej projekcie je na diagrame určená iba dvoma súradnicami, a to:

1) horizontálne - súradnice X a pri,

2) frontálne - súradnice X a z,

3) profil - súradnice pri a z.

Pomocou súradníc x, y a z, môžete vytvoriť projekcie bodu na diagrame.

Ak je bod A daný súradnicami, ich záznam je definovaný takto: A ( X; y; z).

Pri konštrukcii bodových projekcií ALE musia sa skontrolovať tieto podmienky:

1) horizontálne a čelné projekcie a a a X X;

2) čelné a profilové projekcie a a a by mala byť umiestnená na rovnakej kolmej osi z, keďže majú spoločnú súradnicu z;

3) horizontálna projekcia a tiež odstránená z osi X, ako je projekcia profilu a preč od osi z, keďže projekcie a′ a a˝ majú spoločnú súradnicu pri.

Ak bod leží v niektorej z projekčných rovín, potom sa jedna z jeho súradníc rovná nule.

Keď bod leží na projekčnej osi, jeho dve súradnice sú nulové.

Ak bod leží v počiatku, všetky jeho tri súradnice sú nulové.

Projekcia priamky

Na definovanie čiary sú potrebné dva body. Bod je definovaný dvoma priemetmi na vodorovnú a prednú rovinu, t. j. priamka sa určí pomocou priemetov jej dvoch bodov na vodorovnú a prednú rovinu.

Obrázok 17 zobrazuje projekcie ( a a a, b a b) dva body ALE a B. S ich pomocou polohu nejakej priamky AB. Pri spájaní rovnomenných projekcií týchto bodov (t.j. a a b, a a b) môžete získať projekcie ab a ab priamy AB.

Obrázok 18 zobrazuje priemety oboch bodov a obrázok 19 zobrazuje priemety priamky prechádzajúcej cez ne.

Ak sú priemety priamky určené priemetmi jej dvoch bodov, potom sú označené dvoma susednými latinskými písmenami zodpovedajúcimi označeniam priemetov bodov na priamke: s ťahmi označujúcimi predný priemet priamka alebo bez ťahov - pre horizontálnu projekciu.

Ak neberieme do úvahy jednotlivé body priamky, ale jej projekcie ako celok, potom sú tieto projekcie označené číslami.

Ak nejaký bod S leží na priamke AB, jeho priemetne с a с´ sú na priemetoch tej istej priamky ab a ab. Obrázok 19 znázorňuje túto situáciu.

Rovné stopy

sledovať rovno- to je bod jeho priesečníka s nejakou rovinou alebo plochou (obr. 20).

Vodorovná trať rovná nejaký bod sa volá H kde sa priamka stretáva s horizontálnou rovinou a čelný- bodka V, v ktorej sa táto priamka stretáva s frontálnou rovinou (obr. 20).

Obrázok 21a zobrazuje horizontálnu stopu priamky a jej čelnú stopu na obrázku 21b.

Niekedy sa zvažuje aj profilová stopa priamky, W- priesečník priamky s rovinou profilu.

Horizontálna stopa je v horizontálnej rovine, teda jej horizontálny priemet h sa zhoduje s touto stopou a čelnou h leží na osi x. Frontálna stopa leží vo frontálnej rovine, takže jej čelný priemet ν s ňou súhlasí a vodorovná v leží na osi x.

takze H = h a V= v. Preto na označenie stôp po priamke možno použiť písmená h a v.

Rôzne polohy linky

Priamka je tzv priama všeobecná pozícia, ak nie je ani rovnobežná, ani kolmá na žiadnu z premietacích rovín. Priemetne čiary vo všeobecnej polohe tiež nie sú ani rovnobežné, ani kolmé na osi premietania.

Priame čiary, ktoré sú rovnobežné s jednou z projekčných rovín (kolmé na jednu z osí). Obrázok 22 zobrazuje priamku, ktorá je rovnobežná s horizontálnou rovinou (kolmá na os z), je horizontálnou priamkou; obrázok 23 zobrazuje priamku, ktorá je rovnobežná s čelnou rovinou (kolmá na os pri), je čelná priamka; obrázok 24 zobrazuje priamku, ktorá je rovnobežná s rovinou profilu (kolmá na os X), je profilová priamka. Napriek tomu, že každá z týchto čiar zviera s jednou z osí pravý uhol, nepretínajú ju, ale iba sa s ňou pretínajú.

Vzhľadom na to, že vodorovná línia (obr. 22) je rovnobežná s vodorovnou rovinou, jej nárysný a profilový priemet bude rovnobežný s osami, ktoré vymedzujú vodorovnú rovinu, t.j. X a pri. Preto projekcie ab|| X a a˝b˝|| pri z. Horizontálna projekcia ab môže zaujať akúkoľvek polohu na diagrame.

Pri frontálnej línii (obr. 23) projekcia ab|| x a a˝b˝ || z, t.j. sú kolmé na os pri, a teda v tomto prípade čelná projekcia abčiara môže zaujať akúkoľvek polohu.

Na línii profilu (obr. 24) ab|| y, ab|| z a obe sú kolmé na os x. Projekcia a˝b˝ je možné umiestniť na diagram akýmkoľvek spôsobom.

Pri zvažovaní roviny, ktorá premieta vodorovnú čiaru do čelnej roviny (obr. 22), môžete vidieť, že túto čiaru premieta aj do roviny profilu, teda je to rovina, ktorá premieta priamku do dvoch premietacích rovín naraz - predná a profilová. Z tohto dôvodu je tzv dvojito premietaná rovina. Rovnakým spôsobom pre čelnú líniu (obr. 23) dvojito vyčnievajúca rovina premieta do roviny horizontálnych a profilových priemetov a pre profil (obr. 23) - do roviny horizontálnych a čelných priemetov. .

Dve projekcie nemôžu definovať priamku. Dve projekcie 1 a jeden profilová čiara (obr. 25) bez určenia priemetov dvoch bodov tejto čiary na ne neurčí polohu tejto čiary v priestore.

V rovine, ktorá je kolmá na dve dané roviny symetrie, môže byť nekonečný počet čiar, pre ktoré sú údaje na diagrame 1 a jeden sú ich projekcie.

Ak je bod na priamke, potom jeho priemety vo všetkých prípadoch ležia na rovnomenných priemetoch na tejto priamke. Opačná situácia nie vždy platí pre profilovú líniu. Na jej priemetoch môžete ľubovoľne naznačovať priemety určitého bodu a nemať istotu, že tento bod leží na danej priamke.

Vo všetkých troch špeciálnych prípadoch (obr. 22, 23 a 24) je poloha priamky vzhľadom na rovinu priemetov jej ľubovoľným segmentom. AB, braný na každej z priamych čiar, sa premietne do jednej z projekčných rovín bez skreslenia, to znamená do roviny, s ktorou je rovnobežný. Segment čiary AB horizontálna priamka (obr. 22) poskytuje projekciu v životnej veľkosti na vodorovnú rovinu ( ab = AB); úsečka AB frontálna priamka (obr. 23) - v plnej veľkosti na rovine frontálnej roviny V ( ab = AB) a segment AB profilová priamka (obr. 24) - v plnej veľkosti na rovine profilu W (a˝b˝\u003d AB), t.j. je možné zmerať skutočnú veľkosť segmentu na výkrese.

Inými slovami, pomocou diagramov je možné určiť prirodzené rozmery uhlov, ktoré uvažovaná čiara zviera s projekčnými rovinami.

Uhol, ktorý zviera priamka s vodorovnou rovinou H, je zvykom označovať písmeno α, čelnou rovinou - písmenom β, profilovou rovinou - písmenom γ.

Žiadna z uvažovaných priamok nemá žiadnu stopu v rovine rovnobežnej s ňou, t. j. vodorovná priamka nemá žiadnu vodorovnú stopu (obr. 22), čelná priamka nemá žiadnu čelnú stopu (obr. 23) a profil priamka nemá žiadnu profilovú stopu (obr. 24).

Uvažujme priemety bodov do dvoch rovín, pre ktoré zoberieme dve na seba kolmé roviny (obr. 4), ktoré budeme nazývať horizontálne frontálne a roviny. Priesečník týchto rovín sa nazýva os projekcie. Jeden bod A premietneme na uvažované roviny pomocou plochej projekcie. Na to je potrebné spustiť kolmice Aa a A z daného bodu na uvažované roviny.

Premietanie do vodorovnej roviny sa nazýva pôdorys bodov ALE a projekcia a? na frontálnej rovine je tzv predná projekcia.

Body, ktoré sa majú premietnuť v deskriptívnej geometrii, sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami. A, B, C. Malé písmená sa používajú na označenie horizontálnych priemetov bodov. a, b, c... Čelné výčnelky sú označené malými písmenami s ťahom v hornej časti a?, b?, c?…

Používa sa aj označenie bodov rímskymi číslicami I, II, ... a pre ich projekcie - arabskými číslicami 1, 2 ... a 1?, 2? ...

Pri otočení horizontálnej roviny o 90° možno získať výkres, v ktorom sú obe roviny v rovnakej rovine (obr. 5). Tento obrázok sa volá bodová zápletka.

Cez kolmé čiary Aha a ach? nakreslite rovinu (obr. 4). Výsledná rovina je kolmá na čelnú a vodorovnú rovinu, pretože obsahuje kolmice na tieto roviny. Preto je táto rovina kolmá na priesečník rovín. Výsledná priamka pretína vodorovnú rovinu v priamke aa x, a čelná rovina - v priamke čo? X. Priamo aah a čo? x sú kolmé na os priesečníka rovín. T.j Aaah? je obdĺžnik.

Pri kombinácii horizontálnej a čelnej projekčnej roviny a a a? bude ležať na jednej kolmici na os priesečníka rovín, pretože keď sa horizontálna rovina otáča, kolmosť segmentov aa x a čo? x nie je zlomený.

Dostaneme to na projekčnom diagrame a a a? nejaký bod ALE ležia vždy na tej istej kolmici na os priesečníka rovín.

Dve projekcie a a a? niektorého bodu A dokáže jednoznačne určiť svoju polohu v priestore (obr. 4). Potvrdzuje to skutočnosť, že pri konštrukcii kolmice z priemetu a na vodorovnú rovinu bude prechádzať bodom A. Podobne aj kolmica z priemetne a? do frontálnej roviny prejde bodom ALE, teda bod ALE leží na dvoch určitých líniách súčasne. Bod A je ich priesečník, t.j. je určitý.

Zvážte obdĺžnik Aaa X a?(obr. 5), pre ktoré platia nasledujúce tvrdenia:

1) Bodová vzdialenosť ALE od čelnej roviny sa rovná vzdialenosti jej vodorovného priemetu a od osi priesečníka rovín, t.j.

ach? = aa X;

2) vzdialenosť bodov ALE od vodorovnej roviny priemetov sa rovná vzdialenosti jeho čelného priemetu a? od osi priesečníka rovín, t.j.

Aha = čo? X.

Inými slovami, aj bez samotného bodu na pozemku, len pomocou jeho dvoch projekcií, môžete zistiť, v akej vzdialenosti od každej z projekčných rovín sa tento bod nachádza.

Priesečník dvoch premietacích rovín rozdeľuje priestor na štyri časti, ktoré sú tzv štvrtí(obr. 6).

Os priesečníka rovín rozdeľuje horizontálnu rovinu na dve štvrtiny - prednú a zadnú a prednú rovinu - na hornú a dolnú štvrtinu. Horná časť frontálnej roviny a predná časť horizontálnej roviny sa považujú za hranice prvej štvrtiny.

Po prijatí schémy sa horizontálna rovina otočí a zhoduje sa s čelnou rovinou (obr. 7). V tomto prípade sa predná časť vodorovnej roviny zhoduje so spodnou časťou prednej roviny a zadná časť vodorovnej roviny s hornou časťou prednej roviny.

Obrázky 8-11 zobrazujú body A, B, C, D, ktoré sa nachádzajú v rôznych častiach priestoru. Bod A je v prvej štvrtine, bod B je v druhej, bod C je v tretej a bod D je vo štvrtej.

Keď sa body nachádzajú v prvej alebo štvrtej štvrtine ich horizontálne projekcie umiestnené na prednej strane vodorovnej roviny a na diagrame budú ležať pod osou priesečníka rovín. Keď sa bod nachádza v druhej alebo tretej štvrtine, jeho horizontálny priemet bude ležať na zadnej strane horizontálnej roviny a na pozemku bude nad osou priesečníka rovín.

Predné projekcie body, ktoré sa nachádzajú v prvej alebo druhej štvrtine, budú ležať v hornej časti čelnej roviny a na diagrame budú umiestnené nad osou priesečníka rovín. Keď sa bod nachádza v tretej alebo štvrtej štvrtine, jeho čelný priemet je pod osou priesečníka rovín.

Najčastejšie sa v reálnych konštrukciách postava umiestňuje do prvej štvrtiny priestoru.

V niektorých konkrétnych prípadoch bod ( E) môže ležať na vodorovnej rovine (obr. 12). V tomto prípade sa jeho horizontálny priemet e a samotný bod budú zhodovať. Čelný priemet takéhoto bodu bude na osi priesečníka rovín.

V prípade, že bod Komu leží na frontálnej rovine (obr. 13), jej horizontálny priemet k leží na osi priesečníka rovín a čelnej k? ukazuje skutočnú polohu tohto bodu.

Pre takéto body je znakom toho, že leží na jednej z premietacích rovín, že jedna z jej projekcií je na osi priesečníka rovín.

Ak bod leží na priesečníkovej osi premietacích rovín, tento a oba jeho priemety sa zhodujú.

Keď bod neleží v projekčných rovinách, volá sa bod všeobecnej polohy. V nasledujúcom texte, ak neexistujú žiadne špeciálne známky, posudzovaný bod je bodom vo všeobecnej polohe.

2. Nedostatok projekčnej osi

Aby sme vysvetlili, ako na modeli získať projekcie bodu na kolmé premietacie roviny (obr. 4), je potrebné vziať si kus hrubého papiera vo forme podlhovastého obdĺžnika. Medzi projekciami je potrebné ho ohnúť. Čiara ohybu bude zobrazovať os priesečníka rovín. Ak sa potom ohnutý kus papiera opäť narovná, dostaneme diagram podobný tomu, ktorý je znázornený na obrázku.

Kombináciou dvoch projekčných rovín s rovinou kreslenia nemôžete zobraziť čiaru ohybu, t. j. nenakreslite do diagramu os priesečníka rovín.

Pri konštrukcii na diagrame by ste mali vždy umiestniť projekcie a a a? bod A na jednej zvislej priamke (obr. 14), ktorá je kolmá na os priesečníka rovín. Preto, aj keď poloha osi priesečníka rovín zostane nedefinovaná, ale jej smer je určený, os priesečníka rovín môže byť iba kolmá na priamku na diagrame. ach?.

Ak na bodovom diagrame nie je žiadna projekčná os, ako na prvom obrázku 14a, môžete si predstaviť polohu tohto bodu v priestore. Ak to chcete urobiť, nakreslite ľubovoľné miesto kolmo na čiaru ach? os projekcie, ako na druhom obrázku (obr. 14) a ohnite výkres pozdĺž tejto osi. Ak obnovíme kolmice v bodoch a a a? než sa pretnú, môžete získať bod ALE. Pri zmene polohy projekčnej osi sa získajú rôzne polohy bodu vzhľadom na projekčné roviny, ale neistota polohy projekčnej osi neovplyvňuje vzájomnú polohu viacerých bodov alebo obrazcov v priestore.

3. Priemet bodu do troch premietacích rovín

Tretia premietacia rovina sa uskutočňuje tak, že je kolmá na obe premietacie roviny súčasne (obr. 15). Tretia rovina je tzv profilu.

Obrázok 15a znázorňuje bod ALE a tri jeho projekcie. Projekcia do roviny profilu ( a??) sa volajú projekcia profilu a označujú a??.

Obrázok 16 ukazuje polohu výstupkov aha, čo? a a?? bodov ALE, získané ako výsledok spojenia všetkých troch rovín s rovinou výkresu.

Obrázok 16 zobrazuje tri projekcie aha, čo? a a?? body A majú presne definovanú polohu na diagrame a podliehajú jednoznačným podmienkam:

a a a? musí byť vždy umiestnené na jednej zvislej priamke kolmej na os X;

a? a a?? musí byť vždy umiestnené na rovnakej horizontálnej línii kolmej na os z;

3) pri kreslení cez vodorovnú projekciu a vodorovnú čiaru, ale cez projekciu profilu a??- vertikálna priama čiara, zostrojené čiary sa nevyhnutne pretínajú na sektore uhla medzi osami premietania, pretože obr. Oa pri a 0 a n je štvorec.

Pri konštrukcii troch priemetov bodu je potrebné pre každý bod skontrolovať splnenie všetkých troch podmienok.

4. Súradnice bodu

Polohu bodu v priestore možno určiť pomocou troch čísel, ktoré sa nazývajú jeho súradnice. Každá súradnica zodpovedá vzdialenosti bodu od niektorej projekčnej roviny.

Bodová vzdialenosť ALE k rovine profilu je súradnica X, kde X = čo?(obr. 15), vzdialenosť k frontálnej rovine - podľa súradníc y, a y = čo? a vzdialenosť od vodorovnej roviny je súradnica z, kde z = aA.

Na obrázku 15 zaberá bod A šírku obdĺžnikového boxu a rozmery tohto boxu zodpovedajú súradniciam tohto bodu, t. j. každá zo súradníc je na obrázku 15 znázornená štyrikrát, t.j.

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Na diagrame (obr. 16) sa súradnice x a z vyskytujú trikrát:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Všetky segmenty, ktoré zodpovedajú súradniciam X(alebo z) sú navzájom paralelné. Koordinovať pri znázornené dvakrát zvislou osou:

y \u003d Oa y \u003d a x a

a dvakrát - umiestnené horizontálne:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Tento rozdiel sa objavil v dôsledku skutočnosti, že os y je na diagrame prítomná v dvoch rôznych polohách.

Je potrebné poznamenať, že poloha každej projekcie je na diagrame určená iba dvoma súradnicami, a to:

1) horizontálne - súradnice X a pri,

2) frontálne - súradnice X a z,

3) profil - súradnice pri a z.

Pomocou súradníc x, y a z, môžete vytvoriť projekcie bodu na diagrame.

Ak je bod A daný súradnicami, ich záznam je definovaný takto: A ( X; y; z).

Pri konštrukcii bodových projekcií ALE musia sa skontrolovať tieto podmienky:

1) horizontálne a čelné projekcie a a a? X X;

2) čelné a profilové projekcie a? a a? by mala byť umiestnená na rovnakej kolmej osi z, keďže majú spoločnú súradnicu z;

3) horizontálna projekcia a tiež odstránená z osi X, ako je projekcia profilu a preč od osi z, od projekcie ah? a čo? majú spoločné súradnice pri.

Ak bod leží v niektorej z projekčných rovín, potom sa jedna z jeho súradníc rovná nule.

Keď bod leží na projekčnej osi, jeho dve súradnice sú nulové.

Ak bod leží v počiatku, všetky jeho tri súradnice sú nulové.

Poloha bodu v priestore môže byť určená jeho dvoma kolmými projekciami, napríklad horizontálnym a čelným, čelným a profilovým. Kombinácia dvoch ľubovoľných ortogonálnych projekcií umožňuje zistiť hodnotu všetkých súradníc bodu, postaviť tretiu projekciu, určiť oktant, v ktorom sa nachádza. Uvažujme o niektorých typických úlohách z kurzu deskriptívnej geometrie.

Podľa daného komplexného výkresu bodov A a B je potrebné:

Najprv určme súradnice bodu A, ktoré môžeme zapísať v tvare A (x, y, z). Horizontálny priemet bodu A je bod A ", ktorý má súradnice x, y. Nakreslite z bodu A" kolmice na osi x, y a nájdite A x, A y. X-ová súradnica pre bod A sa rovná dĺžke úsečky A x O so znamienkom plus, pretože A x leží v oblasti kladných hodnôt osi x. Ak vezmeme do úvahy mierku výkresu, nájdeme x \u003d 10. Súradnica y sa rovná dĺžke segmentu A y O so znamienkom mínus, pretože t. A y leží v oblasti záporných hodnôt osi y . Vzhľadom na mierku výkresu je y = -30. Čelný priemet bodu A - bod A"" má súradnice x a z. Pustime kolmicu z A"" na os z a nájdeme A z . Z-súradnica bodu A sa rovná dĺžke segmentu Az O so znamienkom mínus, pretože Az leží v oblasti záporných hodnôt osi z. Vzhľadom na mierku výkresu je z = -10. Súradnice bodu A sú teda (10, -30, -10).

Súradnice bodu B môžeme zapísať ako B (x, y, z). Zvážte horizontálny priemet bodu B - bod B. "Keďže leží na osi x, potom B x \u003d B" a súradnica B y \u003d 0. Os x bodu B sa rovná dĺžke segmentu B x O so znamienkom plus. Ak vezmeme do úvahy mierku výkresu, x = 30. Čelný priemet bodu B - bod B˝ má súradnice x, z. Nakreslite kolmicu z B"" na os z, čím zistíte B z . Aplikácia z bodu B sa rovná dĺžke segmentu B z O so znamienkom mínus, pretože B z leží v oblasti záporných hodnôt osi z. S prihliadnutím na mierku výkresu určíme hodnotu z = -20. Súradnice B sú teda (30, 0, -20). Všetky potrebné konštrukcie sú znázornené na obrázku nižšie.

Konštrukcia projekcií bodov

Body A a B v rovine P 3 majú tieto súradnice: A""" (y, z); B""" (y, z). V tomto prípade A"" a A""" ležia na tej istej kolmici k osi z, pretože majú spoločnú súradnicu z. Rovnakým spôsobom ležia B"" a B""" na spoločnej kolmici k osi z. Aby sme našli projekciu profilu t.A, vyčleníme pozdĺž osi y hodnotu zodpovedajúcej súradnice zistenej skôr. Na obrázku sa to robí pomocou oblúka kružnice s polomerom A y O. Potom nakreslíme kolmicu z A y na priesečník s kolmicou obnovenou z bodu A "" na os z. Priesečník týchto dvoch kolmíc určuje polohu A""".

Bod B""" leží na osi z, pretože y-ová súradnica tohto bodu je nula. Ak chcete nájsť profilový priemet bodu B v tejto úlohe, stačí nakresliť kolmicu z B"" na z -os. Priesečník tejto kolmice s osou z je B """.

Určenie polohy bodov v priestore

Pri vizuálnej predstave priestorového usporiadania zloženého z projekčných rovín P 1, P 2 a P 3, umiestnenia oktantov, ako aj poradia transformácie usporiadania do diagramov, môžete priamo určiť, že t. A sa nachádza v oktante III, a t.B leží v rovine P2.

Ďalšou možnosťou riešenia tohto problému je metóda výnimiek. Napríklad súradnice bodu A sú (10, -30, -10). Kladná úsečka x umožňuje posúdiť, že bod sa nachádza v prvých štyroch oktantoch. Záporná súradnica y znamená, že bodka je v druhom alebo treťom oktante. Nakoniec záporná aplikácia z označuje, že bod A je v treťom oktante. Uvedenú úvahu názorne ilustruje nasledujúca tabuľka.

Oktanty	Súradnicové znaky
Oktanty	X	r	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Súradnice bodu B (30, 0, -20). Keďže ordináta t.B je rovná nule, tento bod leží v rovine premietania П 2 . Kladná úsečka a záporná úsečka bodu B označujú, že sa nachádza na hranici tretieho a štvrtého oktantu.

Zostrojenie vizuálneho obrazu bodov v sústave rovín P 1, P 2, P 3

Pomocou čelnej izometrickej projekcie sme vytvorili priestorové usporiadanie tretieho oktantu. Je to pravouhlý trojsten, ktorého steny sú roviny P 1, P 2, P 3 a uhol (-y0x) je 45 °. V tomto systéme budú segmenty pozdĺž osí x, y, z vykreslené v plnej veľkosti bez skreslenia.

Konštrukcia vizuálneho obrazu bodu A (10, -30, -10) začne jeho horizontálnou projekciou A". Po odložení zodpovedajúcich súradníc pozdĺž osi x a y súradníc nájdeme body A x a A y. priesečník kolmíc obnovených z A x a A y na osi x a y určuje polohu bodu A“. Položením z A" rovnobežne s osou z smerom k jej záporným hodnotám segment AA", ktorého dĺžka sa rovná 10, nájdeme polohu bodu A.

Vizuálny obraz bodu B (30, 0, -20) sa zostrojí podobným spôsobom - v rovine P 2 je potrebné vyniesť zodpovedajúce súradnice pozdĺž osí x a z. Priesečník kolmíc zrekonštruovaný z B x a B z určí polohu bodu B.

Pomocná linka multiťahu

Na výkrese znázornenom na obr. 4,7, a, projekčné osi sú nakreslené a obrazy sú prepojené komunikačnými linkami. Horizontálne a profilové projekcie sú spojené komunikačnými líniami pomocou oblúkov so stredom v bode O priesečníky osí. V praxi sa však používa aj iná implementácia integrovaného výkresu.

Na bezosových výkresoch sú obrázky tiež umiestnené v projekčnom vzťahu. Tretia projekcia však môže byť umiestnená bližšie alebo ďalej. Napríklad profilový výstupok môže byť umiestnený vpravo (obr. 4.7, b, II) alebo doľava (obr. 4.7, b, I). To je dôležité pre úsporu miesta a jednoduchosť dimenzovania.

Ryža. 4.7.

Ak je na výkrese vyhotovenom podľa bezosového systému potrebné nakresliť komunikačné čiary medzi pohľadom zhora a pohľadom vľavo, použije sa pomocná priamka zložitého výkresu. Za týmto účelom sa približne v úrovni horného pohľadu a mierne napravo od neho nakreslí priamka pod uhlom 45 ° k rámu kresby (obr. 4.8, a). Nazýva sa pomocná čiara komplexného výkresu. Postup konštrukcie výkresu pomocou tejto priamky je znázornený na obr. 4,8, b, c.

Ak sú už vybudované tri pohľady (obr. 4.8, d), tak polohu pomocnej čiary nie je možné zvoliť ľubovoľne. Najprv musíte nájsť bod, cez ktorý bude prechádzať. K tomu stačí pokračovať až do vzájomného priesečníka osi symetrie vodorovného a profilového priemetu a cez výsledný bod k nakreslite priamku pod uhlom 45° (obr. 4.8, d). Ak neexistujú žiadne osi symetrie, pokračujte až do priesečníka v bode k 1 horizontálne a profilové priemety ľubovoľnej plochy premietnuté ako priamka (obr. 4.8, d).

Ryža. 4.8.

Potreba nakresliť komunikačné čiary a následne pomocnú priamku vzniká pri konštrukcii chýbajúcich projekcií a pri vykonávaní výkresov, na ktorých je potrebné určiť priemety bodov, aby sa objasnili projekcie jednotlivých prvkov dielu.

Príklady použitia pomocnej čiary sú uvedené v nasledujúcom odseku.

Projekcie bodu ležiaceho na povrchu objektu

Pre správne zostavenie projekcií jednotlivých prvkov dielca pri vytváraní výkresov je potrebné vedieť nájsť projekcie jednotlivých bodov na všetkých výkresových obrázkoch. Napríklad je ťažké nakresliť horizontálny priemet časti znázornenej na obr. 4.9 bez použitia projekcií jednotlivých bodov ( A B C D E atď.). Schopnosť nájsť všetky projekcie bodov, hrán, plôch je tiež potrebná na to, aby sa vo fantázii vytvoril tvar objektu podľa jeho plochých obrázkov na výkrese, ako aj na kontrolu správnosti dokončeného výkresu.

Ryža. 4.9.

Uvažujme spôsoby, ako nájsť druhý a tretí priemet bodu daného na povrchu objektu.

Ak je na výkrese objektu uvedený jeden priemet bodu, potom je najprv potrebné nájsť priemet plochy, na ktorej sa tento bod nachádza. Potom vyberte jednu z dvoch metód popísaných nižšie na vyriešenie problému.

Prvý spôsob

Táto metóda sa používa vtedy, keď aspoň jedna z projekcií zobrazuje daný povrch ako čiaru.

Na obr. 4.10, a je znázornený valec, na ktorého čelnom priemete je nastavený priemet a" bodov ALE, ležiace na viditeľnej časti jeho povrchu (dané výčnelky sú označené dvojfarebnými kruhmi). Na nájdenie horizontálneho priemetu bodu ALE, argumentujú takto: bod leží na povrchu valca, ktorého vodorovný priemet je kruh. To znamená, že priemet bodu ležiaceho na tejto ploche bude tiež ležať na kružnici. Nakreslite komunikačnú líniu a označte požadovaný bod v jej priesečníku s kružnicou a. tretia projekcia a"

Ryža. 4.10.

Ak bod AT, ležiace na hornej základni valca, dané jeho horizontálnym priemetom b, potom sú komunikačné čiary nakreslené na priesečník s priamymi úsečkami zobrazujúcimi čelné a profilové projekcie hornej základne valca.

Na obr. 4.10, b znázorňuje detail - zvýraznenie. Zostrojiť projekcie bodu ALE, daný jeho horizontálnym priemetom a, nájdite dva ďalšie výbežky hornej strany (na ktorej leží hrot ALE) a nakreslením spojovacích čiar k priesečníku s čiarami znázorňujúcimi túto tvár určte požadované projekcie - body a" a a". Bodka AT leží na ľavej bočnej zvislej ploche, čo znamená, že jej výbežky budú tiež ležať na výbežkoch tejto plochy. Takže z daného bodu b" nakreslite komunikačné čiary (označené šípkami), kým sa nestretnú s čiarovými segmentmi zobrazujúcimi túto tvár. čelná projekcia s" bodov S, ležiace na naklonenej (v priestore) tvári sa nachádzajú na čiare zobrazujúcej túto tvár a profil s"- na priesečníku spojovacej čiary, pretože profilový priemet tejto plochy nie je čiara, ale postava. Konštrukcia bodových projekcií D znázornené šípkami.

Druhý spôsob

Táto metóda sa používa, keď nemožno použiť prvú metódu. Potom by ste mali urobiť toto:

nakresliť cez daný priemet bodu priemet pomocnej čiary umiestnenej na danej ploche;
nájdite druhú projekciu tejto čiary;
do nájdeného priemetu priamky prenesieme daný priemet bodu (tým určíme druhý priemet bodu);
nájdite tretiu projekciu (ak je to potrebné) na križovatke komunikačných liniek.

Na obr. 4.10 je daná čelná projekcia a" bodov ALE, ležiace na viditeľnej časti povrchu kužeľa. Na nájdenie horizontálnej projekcie cez bod a" vykonať čelný priemet pomocnej priamky prechádzajúcej bodom ALE a vrchná časť kužeľa. Získajte bod V je priemet bodu stretnutia nakreslenej čiary so základňou kužeľa. Pri čelných projekciách bodov ležiacich na priamke je možné nájsť ich horizontálne projekcie. Horizontálna projekcia s vrchol kužeľa je známy. Bodka b leží na obvode základne. Cez tieto body sa nakreslí úsečka a do nej sa prenesie bod (ako ukazuje šípka). a", získať bod a. Tretia projekcia a" bodov ALE nachádza sa na križovatke.

Ten istý problém je možné riešiť rôzne (obr. 4.10, G).

Ako pomocná čiara prechádzajúca bodom ALE, neberú priamku, ako v prvom prípade, ale kruh. Tento kruh sa vytvorí, ak v bode ALE pretínajú kužeľ s rovinou rovnobežnou so základňou, ako je znázornené na vizuálnom zobrazení. Čelná projekcia tohto kruhu bude znázornená ako priamka, pretože rovina kruhu je kolmá na rovinu čelnej projekcie. Horizontálny priemet kruhu má priemer rovný dĺžke tohto segmentu. Opis kružnice zadaného priemeru nakreslite z bodu a" spojnica do priesečníka s pomocnou kružnicou, od vodorovného premietania a bodov ALE leží na pomocnej čiare, t.j. na vybudovanom kruhu. tretia projekcia ako" bodov ALE nachádza na križovatke komunikačných liniek.

Rovnakým spôsobom môžete nájsť projekcie bodu ležiaceho na povrchu, napríklad na pyramíde. Rozdiel bude v tom, že keď ju pretne vodorovná rovina, nevznikne kruh, ale obrazec podobný základni.

Pri pravouhlom premietaní tvoria sústavu premietacích rovín dve vzájomne kolmé premietacie roviny (obr. 2.1). Jeden súhlasil s umiestnením horizontálne a druhý vertikálne.

Rovina projekcií, umiestnená horizontálne, sa nazýva horizontálna projekčná rovina a označujú sch, a rovinu na ňu kolmú rovina čelnej projekciel 2. Označuje sa samotný systém projekčných rovín p / p 2. Zvyčajne používajte skrátené výrazy: rovina L[, lietadlo n 2. Priesečník rovín sch a do 2 volal os projekcieOH. Rozdeľuje každú projekčnú rovinu na dve časti - podlahy. Horizontálna rovina projekcií má predné a zadné poschodie, zatiaľ čo predná rovina má horné a spodné poschodie.

lietadlá sch a p 2 rozdeliť priestor na štyri časti tzv štvrtí a označujú sa rímskymi číslicami I, II, III a IV (pozri obr. 2.1). Prvá štvrtina sa nazýva časť priestoru ohraničená hornou dutou čelnou a prednou dutou horizontálnou projekčnou rovinou. Pre zvyšné štvrtiny priestoru sú definície podobné predchádzajúcej.

Všetky technické výkresy sú obrázky postavené na rovnakej rovine. Na obr. 2.1 systém projekčných rovín je priestorový. Aby sme sa presunuli na obrázky v rovnakej rovine, dohodli sme sa, že skombinujeme projekčné roviny. Zvyčajne lietadlo p 2 zostal nehybný a lietadlo P otočte okolo osi v smere šípok (pozri obr. 2.1). OH pod uhlom 90 °, kým nebude zarovnaný s rovinou n 2. Pri takomto otočení predná podlaha vodorovnej roviny klesá a zadná stúpa. Po zarovnaní majú roviny znázornený tvar

samica na obr. 2.2. Predpokladá sa, že projekčné roviny sú nepriehľadné a pozorovateľ je vždy v prvej štvrtine. Na obr. 2.2, označenie rovín neviditeľných po zarovnaní je uvedené v zátvorkách, ako je obvyklé pri zvýraznení neviditeľných obrazcov na výkresoch.

Premietnutý bod môže byť v ktorejkoľvek štvrtine priestoru alebo v akejkoľvek projekčnej rovine. Vo všetkých prípadoch, aby sa skonštruovali projekcie, sú cez ňu nakreslené premietacie čiary a ich body stretnutia sa nachádzajú s rovinami 711 a 712, čo sú projekcie.

Zvážte projekciu bodu v prvom štvrťroku. Sústava premietacích rovín 711/712 a bod ALE(obr. 2.3). Prechádzajú ním dve priame ČIARY, kolmé na ROVINY 71) A 71 2. Jeden z nich bude pretínať rovinu 711 v bode ALE ", volal horizontálny priemet bodu A, a druhá je rovina 712 v bode ALE ", volal čelný priemet bodu A.

Vyčnievajúce čiary AA" a AA" určiť rovinu premietania a. Je kolmá na roviny Kip 2, pretože prechádza kolmicami k nim a pretína premietacie roviny pozdĺž priamych čiar A "Ah a A" A x. Os projekcie OH kolmá na rovinu oc ako priesečník dvoch rovín 71| a 71 2 kolmá na tretiu rovinu (a), a teda na akúkoľvek priamku ležiacu v nej. najmä 0X1A "A x a 0X1A "A x.

Pri kombinovaní rovin, segment A "Ach, plochý do 2, zostáva nehybný a segment A "A x spolu s rovinou 71) sa budú otáčať okolo osi OH kým nebude zarovnaný s rovinou 71 2 . Pohľad na kombinované premietacie roviny spolu s priemetmi bodu ALE znázornené na obr. 2,4, a. Po zarovnaní bodu A", A x a A" budú umiestnené na jednej priamke kolmej na os OH. To znamená, že dve projekcie toho istého bodu

ležať na spoločnej kolmici na os projekcie. Táto kolmica spájajúca dva priemety toho istého bodu sa nazýva projekčná čiara.

Výkres na obr. 2,4, a možno značne zjednodušiť. Označenia kombinovaných premietacích rovín na výkresoch nie sú vyznačené a nie sú zobrazené obdĺžniky podmienečne ohraničujúce projekčné roviny, pretože roviny sú neobmedzené. Zjednodušené bodové kreslenie ALE(obr. 2.4, b) tiež nazývaný diagram(Z francúzskeho ?pure - drawing).

Znázornené na obr. 2,3 štvoruholník AE4 "A X A" je obdĺžnik a jeho protiľahlé strany sú rovnaké a rovnobežné. Preto vzdialenosť od bodu ALE až do lietadla P, merané segmentom AA“, na výkrese je určený segmentom A "Ah. Segment A "A x = AA" umožňuje posúdiť vzdialenosť od bodu ALE až do lietadla do 2. Nakreslenie bodu teda poskytuje úplný obraz o jeho umiestnení vo vzťahu k projekčným rovinám. Napríklad podľa výkresu (pozri obr. 2.4, b) možno tvrdiť, že bod ALE umiestnené v prvom štvrťroku a odstránené z lietadla p 2 na kratšiu vzdialenosť ako od roviny ts b od r A "A x A "Ah.

Prejdime k premietnutiu bodu do druhej, tretej a štvrtej štvrtiny priestoru.

Pri premietaní bodu AT, nachádza v druhej štvrtine (obr. 2.5), po spojení rovín budú oba jej výbežky nad os. OH.

Horizontálny priemet bodu C, uvedený v tretej štvrtine (obr. 2.6), sa nachádza nad os. och, a predná časť je nižšia.

Bod D znázornený na obr. 2.7 sa nachádza vo štvrtom štvrťroku. Po spojení projekčných rovín budú obe jeho projekcie pod osou OH.

Porovnaním nákresov bodov umiestnených v rôznych štvrtiach priestoru (pozri obr. 2.4-2.7) môžete vidieť, že každý je charakterizovaný vlastným umiestnením projekcií vzhľadom na os projekcií. OH.

V určitých prípadoch môže premietaný bod ležať na rovine premietania. Potom sa jedna z jej projekcií zhoduje so samotným bodom a druhá bude umiestnená na osi projekcie. Napríklad za bod E, ležať v lietadle sch(obr. 2.8), horizontálna projekcia sa zhoduje so samotným bodom a čelná projekcia je na osi OH. V bode E, nachádza v lietadle do 2(obr. 2.9), horizontálna projekcia na os och, a predná časť sa zhoduje so samotným bodom.

Portál pre študenta. Samotréning