Veta o súčte vnútorných uhlov trojuholníka
Súčet uhlov trojuholníka je 180°.
dôkaz:
- Je daný trojuholník ABC.
- Nakreslite čiaru DK cez vrchol B rovnobežnú so základňou AC.
- \uhol CBK= \uhol C ako vnútorný priečne ležiaci s rovnobežkami DK a AC a sečnou BC.
- \angle DBA = \angle Vnútorná priečna ležiaca v DK \paralelná AC a sečna AB. Uhol DBK je rovný a rovný
- \uhol DBK = \uhol DBA + \uhol B + \uhol CBK
- Pretože priamy uhol je 180 ^\circ , a \uhol CBK = \uhol C a \uhol DBA = \uhol A , dostaneme 180 ^\circ = \uholník A + \uholník B + \uholník C.
Veta dokázaná
Dôsledky z vety o súčte uhlov trojuholníka:
- Súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je 90°.
- V rovnoramennom pravouhlom trojuholníku je každý ostrý uhol 45°.
- V rovnostrannom trojuholníku je každý uhol 60°.
- V akomkoľvek trojuholníku sú buď všetky uhly ostré, alebo dva uhly sú ostré a tretí je tupý alebo pravý.
- Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.
Veta o vonkajšom uhle trojuholníka
Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch zostávajúcich uhlov trojuholníka, ktoré nesusedia s týmto vonkajším uhlom.
dôkaz:
- Udáva sa trojuholník ABC, kde BCD je vonkajší uhol.
- \uhol BAC + \uhol ABC +\uhol BCA = 180^0
- Z rovnosti, uhla \uhol BCD + \uhol BCA = 180^0
- Dostaneme \uhol BCD = \uhol BAC+\uhol ABC.
>>Geometria: Súčet uhlov trojuholníka. Kompletné lekcie
TÉMA LEKCIE: Súčet uhlov trojuholníka.
Ciele lekcie:
- Upevnenie a preverenie vedomostí žiakov na tému: "Súčet uhlov trojuholníka";
- Dôkaz vlastností uhlov trojuholníka;
- Využitie tejto vlastnosti pri riešení najjednoduchších problémov;
- Využitie historického materiálu na rozvoj kognitívnej činnosti žiakov;
- Vštepovanie zručnosti presnosti pri konštrukcii výkresov.
Ciele lekcie:
- Skontrolujte schopnosť študentov riešiť problémy.
Plán lekcie:
- Trojuholník;
- Veta o súčte uhlov trojuholníka;
- Príklad úlohy.
Trojuholník.
Súbor:O.gif Trojuholník- najjednoduchší mnohouholník, ktorý má 3 vrcholy (rohy) a 3 strany; časť roviny ohraničená tromi bodmi a tromi úsečkami spájajúcimi tieto body v pároch.
Tri body v priestore, ktoré neležia na jednej priamke, zodpovedajú len jednej rovine.
Akýkoľvek mnohouholník možno rozdeliť na trojuholníky - tento proces sa nazýva triangulácia.
Existuje časť matematiky venovaná výlučne štúdiu vzorov trojuholníkov - Trigonometria.
Veta o súčte uhlov trojuholníka.
Súbor:T.gif Veta o súčte uhlov trojuholníka je klasická veta v euklidovskej geometrii, ktorá hovorí, že súčet uhlov trojuholníka je 180°. 
dôkaz" :
Nech je dané Δ ABC. Vedieme cez vrchol B priamku rovnobežnú s (AC) a označme na nej bod D tak, aby body A a D ležali na opačných stranách priamky BC. Potom sú uhol (DBC) a uhol (ACB) rovnaké ako vnútorné kríže ležiace na rovnobežných čiarach BD a AC a sečne (BC). Potom sa súčet uhlov trojuholníka vo vrcholoch B a C rovná uhlu (ABD). Ale uhol (ABD) a uhol (BAC) vo vrchole A trojuholníka ABC sú vnútorné jednostranné s rovnobežkami BD a AC a sečnicou (AB) a ich súčet je 180°. Preto je súčet uhlov trojuholníka 180°. Veta bola dokázaná.
Dôsledky.
Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia.
dôkaz:
Nech je dané Δ ABC. Bod D leží na priamke AC tak, že A leží medzi C a D. Potom BAD je vonkajší voči uhlu trojuholníka pri vrchole A a A + BAD = 180°. Ale A + B + C = 180°, a teda B + C = 180° – A. Preto ZLE = B + C. Dôsledok je dokázaný.
Dôsledky.
Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako ktorýkoľvek uhol trojuholníka, ktorý s ním nesusedí.
Úloha.
Vonkajší uhol trojuholníka je uhol susediaci s ktorýmkoľvek uhlom tohto trojuholníka. Dokážte, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré k nemu nepriliehajú. 
(Obr.1)
rozhodnutie:
Nech je v Δ ABC ∠DAC externý (obr.1). Potom ∠DAC=180°-∠BAC (podľa vlastnosti susedných uhlov), podľa vety o súčte uhlov trojuholníka ∠B+∠C =180°-∠BAC. Z týchto rovníc dostaneme ∠DAC=∠B+∠C
Zaujímavý fakt:
Súčet uhlov trojuholníka :
V Lobačevského geometrii je súčet uhlov trojuholníka vždy menší ako 180. V Euklidovej geometrii je vždy rovný 180. V Riemannovej geometrii je súčet uhlov trojuholníka vždy väčší ako 180.
Z histórie matematiky:
Euclid (III. storočie pred naším letopočtom) v diele „Začiatky“ uvádza nasledujúcu definíciu: „Paralelné sú priame čiary, ktoré sú v rovnakej rovine a sú predĺžené na neurčito v oboch smeroch a nestretávajú sa na žiadnej strane“ .
Posidonius (1. storočie pred Kristom) „Dve rovné čiary ležiace v rovnakej rovine, rovnako vzdialené od seba“
Staroveký grécky vedec Pappus (III. storočie pred Kristom) zaviedol symbol rovnobežných línií - znak =. Následne anglický ekonóm Ricardo (1720-1823) použil tento symbol ako znak rovnosti.
Až v 18. storočí začali používať symbol rovnobežných čiar – znak ||.
Živé spojenie medzi generáciami sa ani na chvíľu nepreruší, každý deň sa dozvedáme skúsenosti, ktoré nazbierali naši predkovia. Starí Gréci na základe pozorovaní a praktických skúseností vyvodzovali závery, vyslovovali hypotézy a následne sa na stretnutiach vedcov – sympóziách (doslova „hostina“) snažili tieto hypotézy podložiť a dokázať. Vtedy vznikol výrok: „Pravda sa rodí v spore“.
otázky:
- čo je trojuholník?
- Čo hovorí veta o súčte trojuholníka?
- Aký je vonkajší uhol trojuholníka?
Veta. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.
Vezmite trojuholník ABC (obr. 208). Označme jej vnútorné uhly 1, 2 a 3. Dokážme to
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Nakreslite cez nejaký vrchol trojuholníka, napríklad B, priamku MN rovnobežnú s AC.
Vo vrchole B sme dostali tri uhly: ∠4, ∠2 a ∠5. Ich súčet je priamy uhol, preto sa rovná 180 °:
∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
Ale ∠4 \u003d ∠1 sú vnútorné priečne ležiace uhly s rovnobežnými čiarami MN a AC a sečnicou AB.
∠5 = ∠3 sú vnútorné priečne ležiace uhly s rovnobežkami MN a AC a sečnou BC.
Preto ∠4 a ∠5 možno nahradiť ich rovnými ∠1 a ∠3.
Preto ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Veta bola dokázaná.
2. Vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka.
Veta. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.
V trojuholníku ABC (obr. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ale aj ∠BCD, je vonkajší uhol tohto trojuholníka, ktorý nesusedí s ∠1 a ∠2, tiež rovný 180° - ∠3.
takto:
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;
∠BCD = 180° - ∠3.
Preto ∠1 + ∠2= ∠BCD.
Odvodená vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka spresňuje obsah predtým dokázanej vety o vonkajšom uhle trojuholníka, v ktorej bolo uvedené len to, že vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako každý vnútorný uhol trojuholníka, ktorý je nesusedí s ním; teraz sa zistilo, že vonkajší uhol sa rovná súčtu oboch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.
3. Vlastnosť pravouhlého trojuholníka s uhlom 30°.
Veta. Rameno pravouhlého trojuholníka oproti uhlu 30° sa rovná polovici prepony.Nech je uhol B rovný 30° v pravouhlom trojuholníku ACB (obr. 210). Potom bude jeho ďalší ostrý uhol 60°.
Dokážme, že noha AC sa rovná polovici prepony AB. Pokračujeme v nohe AC za vrchol pravého uhla C a dáme bokom úsek CM, ktorý sa rovná úseku AC. Bod M spojíme s bodom B. Výsledný trojuholník BCM sa rovná trojuholníku DIA. Vidíme, že každý uhol trojuholníka AVM sa rovná 60°, preto je tento trojuholník rovnostranný.
Úsek AC sa rovná polovici AM a keďže úsek AM sa rovná AB, úsek AC sa bude rovnať polovici prepony AB.
. (Snímka 1)
Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.
Ciele lekcie:
- Vzdelávacie:
- zvážte vetu o súčte uhlov trojuholníka,
- ukázať aplikáciu vety pri riešení problémov.
- Vzdelávacie:
- rozvíjať pozitívny vzťah študentov k vedomostiam,
- vzbudiť u študentov dôveru prostredníctvom vyučovacej hodiny.
- Vzdelávacie:
- rozvoj analytického myslenia,
- rozvoj „zručností učiť sa“: využívať vedomosti, zručnosti a schopnosti vo výchovno-vzdelávacom procese,
- rozvoj logického myslenia, schopnosť jasne formulovať svoje myšlienky.
Vybavenie: interaktívna tabuľa, prezentácia, karty.
POČAS VYUČOVANIA
I. Organizačný moment
- Dnes si v lekcii spomenieme na definície pravouhlého, rovnoramenného, rovnostranného trojuholníka. Zopakujme si vlastnosti uhlov trojuholníkov. Pomocou vlastností vnútorných jednostranných a vnútorných priečne ležiacich uhlov dokážeme vetu o súčte uhlov trojuholníka a naučíme sa ju aplikovať pri riešení úloh.
II. Orálne(Snímka 2)
1) Nájdite na obrázkoch pravouhlé, rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky.
2) Definujte tieto trojuholníky.
3) Formulujte vlastnosti uhlov rovnostranného a rovnoramenného trojuholníka.
4) Na obrázku KE II NH. (snímka 3)
– Pre tieto čiary zadajte sečny
– Nájdite vnútorné jednostranné uhly, vnútorné priečne ležiace uhly, pomenujte ich vlastnosti
III. Vysvetlenie nového materiálu
Veta. Súčet uhlov trojuholníka je 180 o
Podľa formulácie vety chlapi postavia kresbu, zapíšu podmienku, záver. Odpovedaním na otázky nezávisle dokážte vetu.
 |
Vzhľadom na to: dokázať: |
dôkaz:
1. Nakreslite čiaru BD II AC cez vrchol B trojuholníka.
2. Špecifikujte sečny pre rovnobežné čiary.
3. Čo možno povedať o uhloch CBD a ACB? (urobiť záznam)
4. Čo vieme o uhloch CAB a ABD? (urobiť záznam)
5. Vymeňte uholník CBD za uholník ACB
6. Urobte záver.
IV. Dokončite ponuku.(Snímka 4)
1. Súčet uhlov trojuholníka je ...
2. V trojuholníku sa jeden z uhlov rovná, druhý, tretí uhol trojuholníka sa rovná ...
3. Súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je ...
4. Uhly rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa rovnajú ...
5. Uhly rovnostranného trojuholníka sú rovnaké ...
6. Ak je uhol medzi stranami rovnoramenného trojuholníka 1000, potom uhly na základni sú ...
V. Trochu histórie.(Snímky 5-7)
| Dôkaz vety o súčte uhlov trojuholníka „Súčet vnútra uhly trojuholníka sa rovnajú dvom pravým uhlom“ pripisovaný Pytagorasovi (580-500 pred Kristom) |
|
| Staroveký grécky učenec Proclus (410-485 n.l.), |
