Kužeľ. Frustum
Zúžený povrch nazývaná plocha tvorená všetkými priamkami prechádzajúcimi každým bodom danej krivky a bodom mimo krivky (obr. 32).
Táto krivka sa nazýva sprievodca , priamy - generovanie , bodka - summit kužeľová plocha.
Rovný kruhový skosený povrch nazývaná plocha tvorená všetkými priamkami prechádzajúcimi každým bodom danej kružnice a bodom na priamke, ktorá je kolmá na rovinu kružnice a prechádza jej stredom. V nasledujúcom texte bude tento povrch stručne označovaný ako kužeľová plocha (obr.33).
kužeľ (rovný kruhový kužeľ ) sa nazýva geometrické teleso ohraničené kužeľovou plochou a rovinou, ktorá je rovnobežná s rovinou vodiacej kružnice (obr. 34).
 |
|||
Ryža. 32 Obr. 33 Obr. 34
Kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo osi obsahujúcej jednu z ramien trojuholníka.
Kruh, ktorý ohraničuje kužeľ, sa nazýva základ . Vrchol kužeľovej plochy je tzv summit kužeľ. Úsečka spájajúca vrchol kužeľa so stredom jeho základne sa nazýva výška kužeľ. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovú plochu, sa nazývajú generovanie kužeľ. os kužeľa je priamka prechádzajúca vrcholom kužeľa a stredom jeho základne. Axiálny rez nazývaný úsek prechádzajúci osou kužeľa. Vývoj bočného povrchu Kužeľ je sektor, ktorého polomer sa rovná dĺžke tvoriacej čiary kužeľa a dĺžka oblúka sektora sa rovná obvodu základne kužeľa.
Pre kužeľ platia nasledujúce vzorce:
kde R je polomer základne;
H- výška;
l- dĺžka tvoriacej čiary;
S hlavná- základná plocha;
S strana
S plný
V je objem kužeľa.
zrezaný kužeľ nazývaná časť kužeľa uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou kužeľa (obr. 35).
 |
Zrezaný kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého lichobežníka okolo osi obsahujúcej bočnú stranu lichobežníka, kolmej na základne.
Dva kruhy, ktoré spájajú kužeľ, sa nazývajú jeho dôvodov . Výška zrezaného kužeľa je vzdialenosť medzi jeho základňami. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovú plochu zrezaného kužeľa, sa nazývajú generovanie . Priamka prechádzajúca stredmi podstav sa nazýva os zrezaný kužeľ. Axiálny rez nazývaný úsek prechádzajúci osou zrezaného kužeľa.
Pre zrezaný kužeľ platia nasledujúce vzorce:
(8)
kde R je polomer spodnej základne;
r je polomer hornej základne;
H je výška, l je dĺžka tvoriacej čiary;
S strana je plocha bočného povrchu;
S plný je celková plocha povrchu;
V je objem zrezaného kužeľa.
Príklad 1Úsek kužeľa rovnobežný so základňou rozdeľuje výšku v pomere 1:3, počítajúc zhora. Nájdite plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa, ak je polomer základne a výška kužeľa 9 cm a 12 cm.
rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 36).
Na výpočet plochy bočného povrchu zrezaného kužeľa používame vzorec (8). Nájdite polomery základov Asi 1 A a Asi 1 V a generovanie AB.
Zvážte podobné trojuholníky SO 2 B a SO 1A, koeficient podobnosti , teda 
Odtiaľ 
Odvtedy 
Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa rovná:
odpoveď: .
Príklad2.Štvrťkruh s polomerom je zložený do kužeľovej plochy. Nájdite polomer základne a výšku kužeľa.
rozhodnutie.Štvornásobok kruhu je rozvinutím bočného povrchu kužeľa. Označiť r je polomer jeho základne, H- výška. Bočný povrch sa vypočíta podľa vzorca: . Rovná sa ploche štvrtiny kruhu: . Dostaneme rovnicu s dvoma neznámymi r a l(generátor kužeľa). V tomto prípade sa tvoriaca čiara rovná polomeru štvrtiny kruhu R, takže dostaneme nasledujúcu rovnicu: , odkiaľ Keď poznáme polomer základne a tvoriacu čiaru, zistíme výšku kužeľa:
odpoveď: 2 cm,.
Príklad 3 Obdĺžnikový lichobežník s ostrým uhlom 45 O, menšou základňou 3 cm a naklonenou stranou rovnajúcou sa , sa otáča okolo strany kolmej na základne. Nájdite objem získaného rotačného telesa.
rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 37).
V dôsledku rotácie dostaneme zrezaný kužeľ, aby sme zistili jeho objem, vypočítame polomer väčšej základne a výšku. v hrazde O 1 O 2 AB strávime AC^O 1 B. V máme: takže tento trojuholník je rovnoramenný AC=pred Kr\u003d 3 cm.
odpoveď:
Príklad 4 Trojuholník so stranami 13 cm, 37 cm a 40 cm sa otáča okolo vonkajšej osi, ktorá je rovnobežná s väčšou stranou a je od nej vzdialená 3 cm (os sa nachádza v rovine trojuholníka). Nájdite povrchovú plochu výsledného rotačného telesa.
rozhodnutie
.
Urobme si nákres (obr. 38).
Povrch výsledného rotačného telesa tvoria bočné plochy dvoch zrezaných kužeľov a bočná plocha valca. Na výpočet týchto plôch je potrebné poznať polomery podstav kužeľov a valca ( BE a OC) vytváranie kužeľov ( pred Kr a AC) a výška valca ( AB). Neznáme je len CO. 
je vzdialenosť od strany trojuholníka k osi rotácie. Poďme nájsť DC. Plocha trojuholníka ABC na jednej strane sa rovná súčinu polovice strany AB a jej výšky DC, na druhej strane, keď poznáme všetky strany trojuholníka, vypočítame jeho obsah pomocou Heronovho vzorca.
Pri štúdiu materiálu témy sa musíte naučiť:
typy telies revolúcie;
definície telies revolúcie;
definície prvkov telies revolúcie;
koncepcie vývoja valca a kužeľa;
definícia a výpočet bočného a plného povrchu valca a kužeľa;
definícia dotykovej roviny gule a jej vlastností;
pojem povrchová plocha gule;
definícia mnohostenu vpísaného do gule a opísanej okolo nej.
V procese riešenia problémov sa testujú tieto zručnosti:
zobrazujú telá revolúcie;
Vypočítajte prvky rotačných telies;
zobrazujú časti tiel;
Vypočítajte plochu bočného a celého povrchu valca a kužeľa;
Napíšte rovnicu pre guľu.
Otázky teoretického testu
možnosť 1
1. Pojem valcová plocha a jej prvky. Formulujte definíciu valca a jeho prvkov.
2. Odvoďte vzorec na výpočet plochy povrchu gule.
3. Nájdite pomer bočného povrchu a axiálneho rezu kužeľa.
Možnosť 2
1. Pojem kužeľovej plochy. Formulujte definíciu kužeľa a jeho prvkov.
2. Určte polohu stredu gule opísanej okolo pravidelného štvorbokého ihlanu. Dokážte svoje tvrdenie.
3. Nájdite pomer plochy bočnej plochy a axiálneho prierezu valca.
Možnosť 3
1. Formulujte definíciu zrezaného kužeľa a jeho prvkov.
2. Určte polohu stredu gule vpísanej do pravidelného trojuholníkového ihlanu. Dokážte svoje tvrdenie.
3. Dokážte, že celkový povrch rovnostranného kužeľa sa rovná povrchu gule s priemerom výšky kužeľa.
Možnosť 4
1. Formulujte definície gule a lopty. Napíšte rovnice gule s polomerom R so stredom v bode O(0; 0; 0) av bode A(x0; y0; z0).
2. Odvoďte vzorec na výpočet bočnej plochy kužeľa.
3. Dokážte, že plocha celého povrchu valca sa rovná ploche bočného povrchu iného valca s rovnakým polomerom, ktorého výška sa rovná súčtu polomeru a výšky tohto valca .
Samostatná práca 17
možnosť 1
1. Plocha axiálneho rezu valca je 16. Nájdite plochu rezu tohto valca, ktorá je rovnobežná s osou a nachádza sa vo vzdialenosti rovnajúcej sa polovici polomeru základne valec.
2. Polkruh je zložený do kužeľovej plochy. Nájdite uhol medzi tvoriacou čiarou a výškou kužeľa.
3. Polomery dvoch guličiek sú 16 a 20 dm, vzdialenosť ich stredov je 25 dm. Nájdite obvod kruhu, kde sa ich povrchy pretínajú.
Možnosť 2
1. Polomer podstavy valca je 26 cm, tvorí 4,8 dm. V akej vzdialenosti od osi valca treba nakresliť rez, ktorý je rovnobežný s osou a má tvar štvorca?
2. Polomer sektora je 3 m, jeho uhol je 120°. Sektor je zložený do kužeľovej plochy. Nájdite polomer základne kužeľa.
3. Uhlopriečky kosoštvorca sú 30 a 40 cm.Guľová plocha sa dotýka všetkých strán kosoštvorca. Nájdite vzdialenosť od stredu gule k rovine kosoštvorca, ak je polomer gule 13 cm.
Možnosť 3
1. Polomer podstavy valca je 12 cm Nájdite vzdialenosť medzi osovým rezom a rezom s polovičnou plochou.
2. Uhol rozvinutia bočnej plochy kužeľa je 120°. Tvoriaca čiara kužeľa je 15 cm Vypočítajte priemer základne kužeľa.
3. Na guľôčku s polomerom 10 cm je položený kosoštvorec tak, aby sa každá jeho strana rovná 12,5 cm dotýkala gule. Rovina kosoštvorca je vzdialená 8 cm od stredu lopty. Nájdite oblasť kosoštvorca.
Možnosť 4
1. Cez tvoriacu čiaru valca sú nakreslené dva na seba kolmé rezy, ktorých plochy sa rovnajú 60 a 80 dm. Nájdite oblasť axiálneho rezu.
2. Polomer základne kužeľa je 12 cm, tvorí 40 cm Vypočítajte uhol sklonu tohto kužeľa.
3. Strany trojuholníka sú 10 dm, 10 dm a 12 dm. Nájdite vzdialenosť od roviny trojuholníka k stredu gule dotýkajúcej sa strán trojuholníka. Polomer loptičky je 5 dm.
Samostatná práca 18
možnosť 1
1. Uhlopriečka axiálneho rezu valca je o 25 % väčšia ako priemer jeho základne. Nájdite celkovú plochu valca, ak je vzdialenosť medzi jeho stredmi 15 cm.
2. Rozvinutie bočnej plochy valca - štvorca so stranou 4 dm. Nájdite objem valca.
3. Uhlopriečky osového rezu zrezaného kužeľa sú navzájom kolmé, výška kužeľa je H, tvoriace l. Nájdite bočný povrch kužeľa.
4. Polomer základne kužeľa je 12 cm, tvorí 40 cm Nájdite uhol rozvinutia bočnej plochy kužeľa.
5. Generátor zrezaného kužeľa 10 cm, rozdiel základne 6 cm, plocha osového rezu 112 cm2. Nájdite bočný povrch kužeľa.
6. Rovnobežník, ktorého strany sú 21 cm a 89 cm a ktorého uhlopriečka je 100 cm, sa otáča okolo menšej strany. Nájdite objem rotačného telesa.
7. Okolo prepony sa otáča pravouhlý trojuholník s nohami 16 a 12 cm. Nájdite objem a oblasť rotácie.
Možnosť 2
1. Bočná plocha valca je polovica jeho celkovej plochy. Nájdite celkový povrch valca, ak je uhlopriečka osovej časti 10 palcov.
2. Celková plocha valca je 500 p cm2, priemer jeho podstavy je 20 cm Nájdite objem valca.
3. Tvoriaca čiara zrezaného kužeľa sa vzťahuje na jeho výšku 41:40. Polomery základne sú 24 a 6 cm Nájdite bočnú plochu kužeľa.
4. Uhol rozvinutia bočnej plochy kužeľa je 120°. Tvoriaca čiara kužeľa je 15 cm Nájdite celkovú plochu kužeľa.
5. Nájdite výšku zrezaného kužeľa, ak sa jeho bočná plocha rovná súčtu plôch podstav a polomery podstav sú R a r.
6. Rovnoramenný lichobežník so základňami 12 a 18 cm a ostrým uhlom 60 ° sa otáča okolo menšej základne. Nájdite povrch a objem rotačného telesa.
7. Trojuholník s dvoma stranami rovnými 5 cm a 8 cm, zviera uhol 60 °, sa otáča okolo najväčšej strany. Nájdite povrch a objem rotačného telesa.
Samostatná práca 19
možnosť 1
1. Okolo prepony sa točí pravouhlý trojuholník s nohami 16 a 12 cm. Nájdite povrch rotačného telesa.
2. Polomery základov guľového remeňa sú 63 a 39 cm, jeho výška je 36 cm Nájdite povrch guľového remeňa.
3. Výška pravidelného trojuholníkového ihlanu h. Bočné rebrá sú navzájom kolmé. Nájdite polomer opísanej gule.
4. V pravidelnom trojuholníkovom zrezanom ihlane je výška 17 cm, polomery kružníc opísaných okolo podstav sú 5 a 12 cm Nájdite polomer opísanej gule.
5. Štvorec so stranou rovnajúcou sa a sa otáča okolo kolmice na uhlopriečku, pretiahnutú cez jeho koniec. Nájdite povrch výsledného telesa.
Možnosť 2
1. Trojuholník, ktorého dve strany sú 5 a 8 cm, zvierajú uhol 60 °, sa otáča okolo najväčšej strany. Nájdite povrch rotačného telesa.
2. Celková plocha guľového segmentu sa rovná S. Určte výšku segmentu, ak je polomer gule R.
3. Základňa pyramídy je pravidelný trojuholník, ktorého strana je 3 dm. Jedna z bočných hrán je 2 dm a je kolmá na základňu. Nájdite polomer opísanej gule.
4. Strany podstav pravidelného štvorbokého zrezaného ihlana sú 7 a 1 dm. Bočná hrana je naklonená k základni pod uhlom 45° Nájdite polomer opísanej gule.
5. Pravidelný šesťuholník so stranou a sa otáča okolo vonkajšej osi, ktorá je rovnobežná so stranou a je od nej vzdialená o dĺžku apotému. Nájdite povrch výsledného telesa.
Samostatná práca 20
možnosť 1
1. Bočná hrana pravidelného trojuholníkového ihlanu sa rovná b a zviera so základnou rovinou uhol a. Do pyramídy je vpísaný rovnostranný valec tak, že rovina podstavy leží v rovine podstavy pyramídy. Nájdite objem valca.
2. Základňa pyramídy je pravidelný trojuholník. Jedna bočná hrana je kolmá na základnú rovinu a rovná sa l a ďalšie dve zvierajú so základnou rovinou uhol a. V pyramíde je vpísaný rovný hranol, ktorého tri vrcholy ležia na bočných hranách pyramídy a ďalšie tri ležia na podstave pyramídy, uhlopriečka bočnej strany hranola je s rovinou podstavy. Ð b. Nájdite výšku hranola.
3. V pravidelnom štvorhrannom hranole sa plocha bočnej plochy rovná q. Nájdite oblasť diagonálnej časti.
4. Rovina kolmá na priemer gule ju delí na časti 3 a 9 cm Na aké časti sa delí objem gule?
Možnosť 2
1. Uhol v hornej časti axiálneho rezu kužeľa je 2b. Obvod základne je cca. Určite plochu bočného povrchu kužeľa.
2. Uhlopriečky osového rezu zrezaného kužeľa sú rozdelené priesečníkom v pomere 2:1, počítané od veľkej základne. Uhol medzi uhlopriečkami smerujúcimi k základni je a. Uhlopriečka je l. Nájdite objem kužeľa.
3. Bočný okraj pravého kvádra je 5 cm, strany podstavy sú 6 a 8 cm, jedna z uhlopriečok podstavy je 12 cm Nájdite uhlopriečky kvádra.
4. Aká časť objemu gule je objemom guľového segmentu s výškou 0,1 priemeru gule?
Možnosť 3
1. Tvoriaca čiara kužeľa sa rovná l a je sklonená k rovine podstavy pod uhlom a. Určte celkový povrch vpísanej kocky.
2. Do základne kužeľa je vpísaný štvorec, ktorého strana je a. Rovina prechádzajúca jednou zo strán tohto štvorca a vrcholom kužeľa, keď sa pretína s povrchom kužeľa, tvorí rovnoramenný trojuholník s uhlom pri vrchole rovným a. Nájdite objem kužeľa.
3. Strana podstavy pravidelného štvorbokého hranola je 15 cm a výška je 20 cm Nájdite najkratšiu vzdialenosť od strany podstavy k uhlopriečke hranola, ktorá ho nepretína.
4. Dve rovnaké gule sú usporiadané tak, že stred jednej leží na povrchu druhej. Ako súvisí objem celkovej časti guľôčok s objemom celej gule?
Možnosť 4
1. Pravý trojuholníkový hranol s rovnakými rebrami je vpísaný do kužeľa, ktorého tvoriaca čiara je sklonená k rovine podstavy pod uhlom a. Nájdite objem hranola, ak je polomer základne kužeľa R.
2. Objem kužeľa je V. Do kužeľa je vpísaná pyramída, na základni ktorej leží rovnoramenný trojuholník s uhlom a medzi stranami. Nájdite objem pyramídy.
3. V pravom rovnobežnostene je bočná hrana 1 m, strany základne sú 23 dm a 11 dm, uhlopriečky základne sú 2: 3. Nájdite plochy uhlopriečok.
4. Na strane podstavy a a bočnej hrany b nájdite celú plochu pravidelného šesťhranného hranolu.
. Kužeľ. Základné pojmy.
Definícia. kužeľ nazývaný geometrický útvar získaný otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. Noha, voči ktorej dochádza k rotácii - os kužeľ, číselne rovný jeho výške; druhá noha - polomer dôvody; prepona - generatrix (tvorí bočnú plochu kužeľa počas rotácie).
|
M- vrchná časť kužeľa O- základný stred MO- os kužeľa, MO = H je výška kužeľa, OA = OV =…= R je polomer základne, AM= BM =…= l je tvoriaca čiara kužeľa. Axiálny rez kužeľa rovnoramenný trojuholník (napr AMB). Rez kužeľa rovinou rovnobežnou so základňou je kruh podobný základni. |
|
Vývoj povrchu kužeľa pozostáva z kruhu a sektora kruhu. |
. Frustum.
|
Definícia. zrezaný kužeľ nazývaný geometrický útvar získaný otáčaním pravouhlého lichobežníka okolo jeho menšej strany. Inými slovami: zrezaný kužeľ je časť kužeľa uzavretá medzi základňou a časťou kužeľa rovnobežnou so základňou. Axiálny rez rovnoramenný lichobežník (napr. ABB 1 ALE 1 ) . |
B 1
A 1
|
. Objem a povrch kužeľa.
|
skrátené |
|
|
|
|
Tu R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H- výška, l- generovanie.
|
Otázky a úlohy |
Taška je zložená z papiera, má tvar kužeľa s polomerom základne 5 cm a výškou 10 cm. Určte povrch tašky.
Tvoriaca čiara kužeľa je 2 cm a polomer základne je 1 cm. Vysvetlite, či je plocha jeho celkového povrchu väčšia alebo menšia ako 6 cm 2.
Nájdite celkový povrch kužeľa, ak:
a) polomer jeho základne je 2 a tvoriaca čiara je 4;
b) polomer základne je 3 a výška je 4;
c) polomer základne je 4 a uhol sklonu tvoriacej priamky k základni je 30°.
Nájdite objem kužeľa, ak:
a) jeho základný polomer je 2 a jeho výška je 3;
b) polomer jeho základne je 3 a tvoriaca čiara je 5;
c) polomer základne sa rovná 2 a tvoriaca čiara je naklonená k rovine základne pod uhlom 30°;
d) polomer základne je 3 a plocha axiálneho rezu je 12.
a a b (a < b) sa otáča najskôr okolo jedného z nich a potom okolo druhého. Porovnaj:
a) plocha bočných plôch získaných kužeľov;
b) plochy celkových povrchov výsledných kužeľov.
Okolo prepony sa otáča rovnoramenný pravouhlý trojuholník s nohami dĺžky 2. Nájdite plochu výsledného povrchu.
Okolo prepony sa otáča pravouhlý trojuholník s nohami 3 a 4. Nájdite plochu výsledného povrchu.
Okolo menšej nohy sa otáča pravouhlý trojuholník s nohami 6 cm a 8 cm. Vypočítajte plochy bočných a úplných plôch kužeľa vytvoreného počas tejto rotácie.
Pravý trojuholník s nohami a a b sa točia okolo prepony. Nájdite objem výsledného rotačného telesa.
Rovnobežník so stranami 6 cm a 8 cm a uhlom 60° sa otáča okolo priamky obsahujúcej väčšiu stranu rovnobežníka. Nájdite plochu výsledného povrchu.
Uhol medzi tvoriacou čiarou a osou kužeľa je 45°, tvoriaca čiara je 6,5 cm. Nájdite plochu bočnej plochy kužeľa.
Plocha osovej časti kužeľa je 0,6 cm². Výška kužeľa je 1,2 cm. Vypočítajte celkový povrch kužeľa.
Nájdite objem kužeľa, ak jeho základná plocha je Q a jeho bočná plocha je P.
Výška kužeľa sa rovná priemeru jeho základne. Nájdite objem kužeľa, ak je jeho výška H.
Nájdite objem kužeľa, ak jeho tvoriaca čiara je 13 cm a plocha axiálneho rezu je 60 cm².
Polomery základne zrezaného kužeľa sú 3 ma 6 m a tvoriaca čiara je 5 m. Nájdite objem zrezaného kužeľa.
Uvažuje sa kužeľ s polomerom základne 5 cm a tvoriacou čiarou 3 cm. Bodom tvoriacej čiary umiestnenej vo vzdialenosti 1 cm od vrcholu je nakreslený rez rovnobežný so základňou kužeľa. Vykonajte nasledujúce úlohy v poradí:
a) nájdite oblasť tejto sekcie;
b) nájdite plochu bočného povrchu tohto kužeľa;
c) nájdite plochu bočného povrchu kužeľa odrezanú nakreslenou rovinou;
d) nájdite plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa odrezaného nakreslenou rovinou;
e) nájdite celkovú plochu tohto zrezaného kužeľa.
Nájdite tvoriacu čiaru zrezaného kužeľa, ak polomery podstav sú 3 cm a 6 cm a výška je 4 cm.
Plocha základne kužeľa je 12 cm², jeho výška je 6 cm. Nájdite plochu jeho rezu, rovnobežnú so základňou a nakreslenú:
a) cez strednú výšku;
b) vo vzdialenosti 2 cm od vrcholu kužeľa;
c) vo vzdialenosti 4 cm od vrcholu kužeľa.
Nájdite objemy kužeľov, ktorých základňami sú uvažované rezy a ktorých vrchol je vrcholom daného kužeľa.
Plocha základne kužeľa je 25 cm² a výška je 5 cm. Vo vzdialenosti 1 cm od vrcholu je nakreslený rez rovnobežný so základňou. Nájdite objem zrezaného kužeľa odrezaného nakreslenou časťou.
Výška kužeľa je 5 cm.Vo vzdialenosti 2 cm od vrcholu ho pretína rovina rovnobežná so základňou. Nájdite objem pôvodného kužeľa, ak objem menšieho kužeľa odrezaného od pôvodného je 24 cm³.
V zrezanom kuželi je výška známa h, tvoriaci l a plochu S bočný povrch. Nájdite oblasť axiálneho rezu a objem zrezaného kužeľa.
Ako je známe; keď sa bod otáča okolo osi, pohybuje sa v rovine kolmej na os otáčania a opisuje kružnicu. Aby sme použili metódu otáčania na transformáciu výkresu, všimneme si nasledujúce štyri prvky (obr. 5.8):
os otáčania (MN);
rovina rotácie bodu(pl. S je kolmá (MN));
stred otáčania;
polomer otáčania (R; R= |OA|).
Ako os otáčania sa zvyčajne používajú priame čiary, kolmé alebo rovnobežné s rovinami premietania. Zvážte rotáciu okolo osí kolmých na projekčné roviny.
Otočenie bodu A na výkrese okolo osi MN, kolmo na rovinu H, znázornené na obrázku 5.9. Rovina rotácie S je rovnobežná s rovinou H a je znázornená na čelnej projekcii nasledovne S v. Horizontálna projekcia o stred otáčania o sa zhoduje s projekciou tp osi a horizontálna projekcia oa polomer otáčania OA je jeho prirodzená hodnota. bodové otáčanie ALE na obrázku 5.9 je urobený uhlom φ proti smeru hodinových ručičiek, takže v novej polohe bodu s výčnelkami a1", a1 polomer otáčania bol rovnobežný s rovinouV Keď sa bod otáča okolo zvislej osi, jeho horizontálna projekcia sa pohybuje po kružnici a predná projekcia sa pohybuje rovnobežne s osou x a kolmo na os otáčania.
Ak sa bod otáča okolo osi kolmej na rovinu V, potom sa jeho čelná projekcia bude pohybovať po kruhu a vodorovná projekcia sa bude pohybovať rovnobežne s osou x.
Otáčanie bodu okolo premietacej priamky sa používa pri riešení niektorých problémov, napríklad pri určovaní prirodzenej veľkosti úsečky. Na to (obr. 5.10) postačuje os otáčania s výstupkami t "p", tp vyberte tak, aby prechádzal jedným z krajných bodov segmentu, napríklad bodom s výbežkami b", nar. Potom pri otáčaní bodu ALE uhol φ do polohy A1 (OA1 || štvorec V, oa, || os x) segment AB presunie sa do polohy A1B, rovnobežne s rovinou V a preto sa naň premieta v plnej veľkosti. Súčasne sa premietne uhol a sklonu segmentu v plnej veľkosti AB do lietadla H.
Rotácia (rotácia) bodu s priemetmi b", nar vzhľadom na os s výčnelkami t"p", tp, kolmo na rovinu V, znázornené na obrázku 5.11. Pri otáčaní bodu AT pohyboval v rovine rotácie T (Th) do polohy s výstupkami b1", b1 tak, aby polomer otáčania OV stať sa rovnobežnými s rovinou H (o "b" || os x).
Aplikácia metódy otáčania bez vyznačenia osí otáčania kolmých na premietacie roviny na výkrese.Ak otočíte geometrický obrazec okolo osi kolmej na projekčnú rovinu, potom sa projekcia na túto rovinu nemení ani vo vzhľade, ani vo veľkosti (zmení sa iba poloha projekcie vzhľadom k osi premietania). Projekcie bodov geometrického útvaru na rovinu rovnobežnú s osou rotácie sa pohybujú po priamych líniách rovnobežných s osou premietania (s výnimkou projekcií bodov nachádzajúcich sa na osi rotácie) a projekcia ako celok sa mení v tvar a veľkosť. Preto je možné použiť metódu rotácie bez špecifikácie znázornenia osi rotácie. V tom
prípade, bez toho, aby ste zmenili veľkosť a tvar jedného z projekcií geometrického obrazu, presuňte tento výstupok do požadovanej polohy a potom vytvorte ďalšiu projekciu, ako je uvedené vyššie.
Obrázok 5.12 ukazuje použitie metódy otáčania bez špecifikácie osí na určenie skutočnej veľkosti trojuholníka abc, dané projekciami a"b"c", abc. Na tento účel sa vykonajú dve rotácie roviny vo všeobecnej polohe, v ktorej je trojuholník umiestnený, takže po prvom otočení sa táto rovina stane kolmou na rovinu. V, a po druhej - rovnobežnej s rovinou H. Prvá rotácia okolo osi kolmej na rovinu H, bez určenia jej polohy, bola vykonaná pomocou horizontály s projekciami s"1", s-1 v rovine trojuholníka. V tomto prípade horizontálna projekcia aс otočený tak, aby zodpovedal smeru projekcie. Horizontálny priemet trojuholníka si zachováva svoj tvar a veľkosť, mení sa len jeho poloha. bodov A, B a C pri takejto rotácii sa pohybujú v rovinách rovnobežných s rovinou H. Priemetne a1", c1, b1" a"a1", b"b1" a c"c1". Čelná projekcia trojuholníka v novej polohe je segment a1"b1"c1".
Druhá rotácia, ktorá privedie trojuholník do polohy rovnobežnej s rovinou H, sa vykoná okolo osi rotácie kolmej na rovinu H (poloha osi tiež nie je označená). Predná projekcia pri druhom otočení si zachováva vzhľad a veľkosť získanú po prvom otočení. bodov A1, D1 a C1 pohybovať sa v rovinách rovnobežných s rovinou V Projekcie a 2 , b 2 , c 2 sú na vodorovných komunikačných líniách a, a 2, blb2, c1c2. Projekcia a2b2c 2 je skutočná veľkosť daného trojuholníka.
Pri vykonávaní uvažovaných rotácií okolo osí kolmých na projekčné roviny nie sú tieto osi naznačené, ale možno ich ľahko nájsť. Napríklad, ak kreslíte segmenty aa1, b1b2 a nakreslite kolmice cez ich stredy, potom bude výsledný priesečník týchto kolmíc horizontálnym priemetom osi rotácie kolmej na rovinu H.
Použitie metódy otáčania bez špecifikácie osí trochu zjednodušuje konštrukciu, nedochádza k prekrývaniu jednej
časť na inom, ale kresba zaberá veľkú plochu. (Uvažovaný prípad rotácie bez znázornenia osí rotácie je špeciálnym prípadom metódy planparalelného pohybu.)
Metóda otáčania okolo priamych línií rovnobežných s projekčnými rovinami.Prirodzenú veľkosť plochého obrazca možno určiť otáčaním okolo osi rovnobežnej s rovinou premietania, čím sa obrazec jedným otočením dostane do polohy rovnobežnej s rovinou premietania.
Na obrázku 5.13 je znázornená definícia veľkosti trojuholníka s priemetmi a"b"c", abc rotácia okolo horizontály.V tomto prípade všetky body trojuholníka(s výnimkou tých, ktoré ležia na osi otáčania)otáčať sa okolo osi v kruhoch v rovinách kolmých na os.Ak trojuholník zaujme polohu rovnobežnú s rovinou premietania, polomery otáčania jeho bodov budú rovnobežné s touto rovinou, to znamená, že sa premietnu do roviny. H skutočná veľkosť.
Ako os rotácie bola braná horizontála s výstupkami s"1", s-1.
Bod C na osi otáčania zostáva pevný. Pre zobrazenie horizontálneho priemetu trojuholníka po otočení je potrebné nájsť polohu priemetov jeho ďalších dvoch vrcholov. Vrcholy s projekciami a", a a b", b výtlakový trojuholník -
sú v lietadlách P a Q pohyb týchto bodov. Horizontálna projekcia o stred otáčania vrcholu ALE je priesečník vodorovnej projekcie s-1 osi otáčania s horizontálnym premietaním Ph.h. Je na ňom vyznačený jeho čelný priemet. o Segmenty oa - horizontálne, o "a" - čelný priemet polomeru otáčania hrotu ALE. životnej veľkosti oA polomer otáčania bodu ALE definované spôsobom uvedeným v 2.3 (pozri obr. 2.9), t.j. zostrojením pravouhlého trojuholníka. Na nohách oa a aA \u003d o "2" je postavený trojuholník oaa, jeho prepona sa rovná polomeru rotácie bodu ALE.
Z projekcie o otočný bod ALE v smere stopy Ph roviny jeho pohybu vyčleníme prirodzenú hodnotu polomeru otáčania. Označenie horizontálneho premietania a, body A, otočený do polohy trojuholníka rovnobežného s rovinou N. Horizontálna projekcia bt bod AT v pootočenej polohe nájdeme ako priesečník vodorovného premietania 1-аt so stopou Q h . Horizontálna projekcia a1cb1 vyjadruje prírodnú hodnotu A ABC, keďže po otočení je rovina trojuholníka rovnobežná s rovinou N. Čelná projekcia otočeného trojuholníka sa zhoduje s čelnou projekciou horizontály 1 "s", je to úsečka s priamkou.
Ak chcete otočiť plochý geometrický obrázok do polohy rovnobežnej s rovinou V, potom sa za os otáčania zvolí frontálna.
Otáčajte rovinu okolo jej stopy, kým sa nezhoduje s príslušnou projekčnou rovinou(tento prípad sa nazýva aj kombinovaná metóda). Ak sa rovina otáča okolo svojej stopy, kým sa nezhoduje s rovinou projekcie, v ktorej sa táto stopa nachádza, potom sa geometrické obrazy nachádzajúce sa v rovine zobrazia bez skreslenia. Táto metóda je špeciálnym prípadom rotácie okolo horizontály alebo frontálnej roviny, pretože horizontálnu stopu roviny možno považovať za „nulovú“ horizontálu horizontálnej roviny a frontálnu stopu za „nulovú“ frontálnu.
Obrázok 5.14 znázorňuje vizuálne znázornenie rotácie roviny všeobecnej polohy R okolo vodorovnej dráhy P h v smere od roviny V k divákovi, kým nebude zarovnaný s rovinou N. V rovinnej polohe vyrovnania R s rovinou
H priamka P Uq je stopa R a, zarovnané s rovinou N. Trace Ph ako os otáčania nemení svoju polohu. Bodka Rx priesečník stôp tiež nemení svoju polohu. Na vybudovanie kombinovanej polohy PL, stopa P v stačí nájsť ešte jeden bod, napríklad bod N, táto stopa (okrem bodu R x) v polohe zarovnanej s rovinou N.
Bod N opisuje oblúk v rovine Q, kolmo na os otáčania. centrum O tento oblúk je priesečníkom roviny Q so stopou Ph. Bod N0 na rovine H je priesečník oblúka polomeru ON v rovine Q so stopou Q h . Ak nakreslíme priamku cez P x a N 0, dostaneme P U0 . Segment P X N nemení svoju dĺžku, keď sa rovina otáča; tak bod N0 možno získať krížením Qh s oblúkom opísaným v rovine H, z bodu Р x s polomerom P X N.
Vykonať uvažované konštrukcie na výkrese (obr. 5.15) na stope R a zvolený ľubovoľný bod N (zhoduje sa s jej projekciou P"). Prostredníctvom svojej horizontálnej projekcie P priamy na, kolmo na os otáčania - stopa Ph.h. Na tomto riadku sa nachádza bod N0, teda bod N po vyrovnaní s rovinou N. Našli ju v diaľke P X N 0 \u003d P x n "z bodu P x alebo na diaľku na 0 z bodu o, rovný polomeru otáčania bodu N. Dĺžka polomeru oN 0 = oN definovaná napríklad ako prepona pravouhlého trojuholníka s nohami on a nN (nN=nn"). Priama čiara P U0, prechádzanie cez body P x a N 0, - kombinovaná poloha stopy RI.
Kombinovaná poloha bodu C0 je konštruovaná podobne C. Polomer otáčania oC nájdený ako prepona obdĺžnika
trojuholník s jednou nohou oc, druhá noha cc = s "1. Druhá verzia konštrukcie je vyrobená pomocou horizontálnej roviny P s výstupkami c"2", c -2. Použitie polomeru oblúka R x 2" nájdená zhodná pozícia 2o bodov 2 na čiare Pv0, a v kombinovanej polohe 20 С0 vodorovná čiara prechádzajúca bodom 2 0 paralelne so stopou Ph.
Ak je potrebné spojiť rovinu s čelnou rovinou projekcií, potom by sa rovina mala otáčať okolo jej čelnej stopy.
Kreslíme
6.1. Buď poriadny hranol. Prenos je daný vektorom: a) 0,5AB; b) AO, kde O je stred spodnej základne. Pri tomto preklade nakreslite obraz hranola. Nakreslite spojenie a priesečník pôvodných a výsledných hranolov.
6.2. Daný pravidelný štvorsten. Nakreslite štvorsten, ktorý z daného získame ako výsledok: a) stredovej súmernosti približne v strede výšky; b) zrkadlová symetria vzhľadom na rovinu prechádzajúcu stredom výšky, ktorá je na ňu kolmá; c) otočenie o 60° okolo svojej výšky; d) otočenie o 90" okolo čiary spájajúcej stredy jej protiľahlých hrán. Nakreslite spojenie a priesečník pôvodného a výsledného štvorstenu.
6.3. Daná kocka. Nakreslite kocku, ktorá z danej získame ako výsledok: a) prenosu na vektor smerujúci po jej uhlopriečke s dĺžkou polovice tejto uhlopriečky; b) stredová súmernosť okolo bodu umiestneného na jeho uhlopriečke a deliaca ho v pomere 2:1; c) zrkadlová symetria vzhľadom na rovinu, ktorá ju pretína pozdĺž pravidelného šesťuholníka; d) otočte sa o 90" okolo priamky prechádzajúcej stredmi dvoch rovnobežných hrán, ktoré neležia na rovnakej ploche. Nakreslite spojenie a priesečník pôvodnej a výslednej kocky.
6.4. Nakreslite telesá, ktoré možno získať otáčaním kruhu
6.5. Nakreslite telesá, ktoré získate otáčaním: a) kocky okolo hrany; b) kocka okolo uhlopriečky; c) pravidelný štvorsten okolo okraja; d) kužeľ okolo priamky rovnobežnej s osou a prechádzajúcej mimo nej.
Plánujete
6.6. Ako nájsť objem a povrch obrázkov - odborov a priesečníkov - z úloh 6.1, 6.2?
6.7. Ako nájsť objem a povrch obrázkov z problému 6.5?
Predstavujeme sa
6.8. Môže k nemu nepatriť stred symetrie telesa?
6.9. Dva rovnaké segmenty: a) rovnobežné; b) majú práve jeden spoločný bod; c) krížiť sa. Aký pohyb môže jeden z nich zobraziť na druhom?
6.10. Dva segmenty sú navzájom symetrické vzhľadom na dve roviny. Aký bude obrazec, ak budú ich konce spojené sériovo segmentmi?
6.11. Všetky možné roviny sú nakreslené cez priamku. Tento bod sa odráža od všetkých týchto rovín. Aký tvar tvoria všetky získané body?
6.12. Je pravda, že: a) šikmý hranol, ktorého dve strany sú kolmé na základňu, má rovinu symetrie; b) medzi plochami rovnobežnostenu, ktorý má rovinu symetrie, sú obdĺžniky; c) je rovnobežnosten s dvoma rovinami symetrie pravouhlý?
6.13. Ako rozrezať kocku na tri rovnaké pyramídy?
Ohodnotiť
6.14. Okolo jednej nohy sa otáča pravouhlý trojuholník s preponou d. Za akých podmienok bude objem rotačného telesa najväčší?
6.15. Obvod rovnoramenného trojuholníka je P. Tento trojuholník sa otáča okolo základne. Ktorý z týchto trojuholníkov dáva najväčší objem rotačného telesa?
My si myslíme
6.16. Stred kocky sa odráža v rovine každej z jej stien. Dokážte, že získané body sú vrcholy osemstenu. Je možné týmto spôsobom získať ďalšie pravidelné mnohosteny?
6.17. Táto lopta obsahuje:
a) pravidelný štvorsten;
b) kocka. Plochy tohto mnohostenu boli predĺžené až po priesečník s guľou. Na aké tvary je guľa rozdelená? Na aký tvar je lopta rozdelená? Koľko z nich je rovných?
Skúmanie
6.18. Je pohyb priestoru taká transformácia, ktorá dáva bod so súradnicami do súradnice s bodom so súradnicami:
6.19. Mnohosten má stred symetrie, stred vpísanej gule, stred vpísanej gule a ťažisko. Koľko z týchto bodov sa môže zhodovať?
Vchádzame do univerzity
6.20. Z konca priemeru gule sa vytiahne tetiva tak, že povrch vytvorený jeho otáčaním okolo tohto priemeru rozdeľuje objem gule na dve rovnaké časti. Určte uhol medzi tetivou a priemerom.
6.21. Rovnostranný trojuholník so stranou a sa otáča okolo vonkajšej osi rovnobežnej so stranou trojuholníka a je od nej vzdialený vo vzdialenosti rovnajúcej sa polovici výšky trojuholníka. Nájdite objem rotačného telesa.
6.22. Trojuholník sa otáča okolo osi AD. Dokážte, že plochy plôch opísaných stranami AB a AC súvisia ako objemy získané otáčaním častí ABD a
6.23. Rovnoramenný trojuholník, ktorého základňa je a, a uhol v základni a, sa otáča okolo priamky prechádzajúcej jedným z koncov základne, ktorá je na ňu kolmá. Nájdite povrchovú plochu výsledného rotačného telesa.
6.24. Časť štvorca ABCD, ktorá zostane po štvrtine kruhu s centom vo vrchole D a polomermi rovnými strane štvorca, sa z neho vyreže, otáča sa okolo osi prechádzajúcej cez D rovnobežnú s uhlopriečkou AC. . Nájdite objem výsledného rotačného telesa, ak strana štvorca je a.
6.25. Plocha pravouhlého lichobežníka ABCD sa rovná , dĺžka výšky AB sa rovná h, hodnota ostrého uhla ADC lichobežníka
rovná sa a. Bod E sa vezme na stranu CD tak, že . Nájdite objem telesa získaný rotáciou štvoruholníka ABED okolo priamky AB.
6.26. Nájdite objem telesa získaného otáčaním pravidelného šesťuholníka okolo jeho strany rovnajúcej sa a
6.27. Body A a B sú dané na kružnici polkruhu s polomerom R. Ak N je jeden z koncov priemeru a O je stred kruhu, potom určite celkový povrch telesa tvoreného rotácia kruhového sektora AOB okolo priemeru.
6.28. Daný pravidelný štvorsten ABCD. Každý z jeho vrcholov sa symetricky odráža vzhľadom na rovinu protiľahlej plochy, v dôsledku čoho sa získajú body KLMN, resp. Nájdite pomer objemov pôvodného a výsledného štvorstenu.
6.29. V štvorstene sú nakreslené segmenty spájajúce jeho vrcholy s priesečníkmi mediánov protiľahlých plôch. Všetky sa pretínajú v bode O. Druhý štvorsten je symetrický s prvým vzhľadom k bodu O. Objem pôvodného štvorstenu je V. Nájdite objem spoločnej časti oboch štvorstenov.
Odpoveď: 0,5V.
6.30. Strana podstavy pravidelného hranola má dĺžku a a bočná hrana má dĺžku 1,125a Bod E je stredom hrany AB a bod M leží na úsečke EC a EM EC. Druhý hranol je symetrický s hranolom vzhľadom na priamku Nájdite objem spoločnej časti týchto hranolov.
6.31. Je daný pravidelný štvorsten s objemom V. Druhý štvorsten sa získa z prvého jeho otáčaním o uhol
a okolo priamky spájajúcej stredy krížiacich sa hrán štvorstenu. Nájdite objem spoločnej časti týchto dvoch štvorstenov.
6.32. Kocka s hranou a je otočená o 90" okolo priamky spájajúcej stredy dvoch rovnobežných hrán, ktoré neležia na tej istej ploche. Nájdite objem spoločnej časti pôvodnej kocky a otočenej.
6.33. Pravidelný trojuholníkový ihlan so základnou stranou a je otočený okolo osi súmernosti o uhol 60. Určte objem spoločnej časti pôvodných a otočených ihlanov, ak sú bočné steny pravouhlé trojuholníky.
6.34. Pravidelný štvorsten je vpísaný do gule s polomerom R. Otočením pod uhlom - okolo výšky sa získa nový štvorsten, vpísaný do gule. Nájdite objem časti gule mimo oboch štvorstenov.
6.35. Rotačný kužeľ okolo osi - priamka kolmá na jeho výšku a prechádzajúca vrcholom. Nájdite plochu prierezu výsledného rotačného telesa rovinou prechádzajúcou osou otáčania, ak je tvoriaca čiara kužeľa 5 a výška 4.
ÚLOHY K § 26
Doplnenie teórie
6.36. Dokážte, že rovina prechádza do roviny rovnobežnej s ňou (ak nie do seba) v dôsledku:
a) prevod; b) stredová súmernosť.
Plánujete
6.37. V kocke je bod O stredom plochy ABCD. Ako vypočítať uhol medzi čiarou B, O a:
a) priama priama rovina
d) lietadlo
6.38. Nech PABCD je pyramída, ktorej základňou je kosoštvorec ABCD. RVCAVS). Plocha plochy RVS sa rovná S. Cez bod K - stred okraja AD - je nakreslený rez rovnobežný s rovinou PAB. Ako nájsť jeho oblasť?
6.39. Každá bočná plocha pravidelného štvorstenu sa otočila okolo okrajov základne o rovnaký uhol smerom von. Výsledkom bol mnohosten so šiestimi vrcholmi a rovnakými hranami. Pod akým uhlom sa okraje otočili?
Predstavujeme sa
6.40. Môžu mať dva nerovnaké kužele dva rovnaké kruhové rezy s rovnakou rovinou, ak stoja v rovnakej rovine na jednej jej strane?
6.41. Tieto dva kruhy sú centrálne symetrické a neležia v rovnakej rovine. Je pravda, že ležia na povrchu: a) jednej gule; b) jeden valec? Čo ak sú tieto kruhy zrkadlovo symetrické?
6.42. V takom prípade sú dve rovnaké:
a) loptu b) valec; c) sú kužele centrálne symetrické? Zrkadlovo symetrické?
6.43. Akými rotáciami možno loptičku na seba namapovať?
6.44. Akou zákrutou je jeden z týchto útvarov namapovaný na druhý, ak tieto útvary sú: a) dve priame čiary; b) dve roviny; c) dve rovnaké lopty? Existuje rotácia, ktorá mapuje druhú postavu na prvú?
6.45. Dostaneme vždy konvexné teleso otáčaním konvexného útvaru?
My si myslíme
6.46. Pomocou translačných vlastností dokážte, že: a) dve kolmice k jednej rovine sú rovnobežné; b) dve roviny kolmé na jednu priamku sú rovnobežné; c) ak je priamka rovnobežná s priamkou kolmou na rovinu, potom je kolmá na rovinu; d) lineárne uhly dihedrálneho uhla sú navzájom rovnaké.
6.47. Dokážte, že spojenie dvoch rovín je obrazec: a) stredovo symetrický; b) zrkadlovo symetrické.
6.48. Priamku b získame z priamky a odrazom v rovine a. Tieto riadky majú spoločný bod. Dokážte, že tento bod leží v rovine a.
6.49. V guli s polomerom R sú stredom nakreslené dve roviny, ktoré medzi sebou zvierajú uhol. Ako zistiť, v akom pomere zlomili objem lopty?
6,50. Cez osnicu uhla je nakreslená rovina. Dokážte, že strany uhla s ním zvierajú rovnaké uhly.
Skúmanie
6.51. Je možné vyplniť celý priestor rovnakými rovnobežnostenami? Môžu to urobiť iné rovnaké mnohosteny?
6.52. Bude rez stredovo symetrickým telesom prechádzajúci stredom symetrie stredovo symetrický?
6.53. Telo je centrálne symetrické. Bude jeho ortogonálny priemet stredovo symetrický? Bol by opak pravdou?
6.54. Každé z dvoch telies je centrálne symetrické. Budú centrálne symetrické: a) zjednotenie; b) križovatka?
6.55. Stredovo symetrické teleso je rozdelené rovinou. Jedna jeho časť sa ukázala ako centrálne symetrická. Bude z toho ďalšia časť?
6.56. Existuje mnohosten, ktorý má vopred priradený počet rovín symetrie?
ÚLOHY K § 27
Doplnenie teórie
6.57. Dokážte, že zloženie dvoch odrazov v pretínajúcich sa rovinách je rotácia a v dvoch rovnobežných rovinách je posun.
6.58. Nakreslite postavu, ktorá prechádza do seba v dôsledku: a) skrutky; b) otočenie zrkadla; c) kĺzavý odraz.
6.59. Nechajte kocku V dôsledku nejakého pohybu prechádza do inej kocky. Nakreslite túto inú kocku, ak ide o pohyb: a) skrutku s osou otáčania prechádzajúcou stredmi plôch
vektor a, uhol otočenia sa rovná otočeniu zrkadla na s osou otáčania a odraz v rovine kolmej na priamku a prechádzajúcej stredom kocky; c) kĺzavý odraz, kde odraz nastáva v rovine kolmej na uhlopriečku kocky a prechádzajúcej stredom kocky a vektor je rovný AC.
6,60. Nech je RABC pravidelný štvorsten. V dôsledku pohybu prechádza do iného štvorstenu. Nakreslite tento ďalší štvorsten, ak je pohyb takýto:
a) skrutka s osou otáčania stredu základne), uhol natočenia 60 "a vektor
b) rotácia zrkadla s osou rotácie PQ, uhlom rotácie 60° a rovinou odrazu kolmou na PQ a prechádzajúcou strednou výškou
c) odraz od pastvy s odrazovou rovinou prechádzajúcou cez PB a K - stred AC a vektor 0,5 KV.
Predstavujeme sa
6.61. Zachová orientácia základu: a) preklad; b) stredová symetria; c) zrkadlová symetria; d) otočiť; e) skrutka; e) otáčanie zrkadla; g) kĺzavý odraz?
6.62. Má pohyb pevné body, ak tento pohyb: a) prenáša; b) stredová symetria; c) zrkadlová symetria; d) otočiť; e) skrutka; e) otáčanie zrkadla; g) kĺzavý odraz?
6.63. Sú dané dva rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Aké pohyby môžu byť kombinované, ak majú spoločné: a) vrchol rovnakých strán; b) strana základne; c) bočná strana; d) medián k základni; e) stredná čiara strán?
c) jedna z jej výšok do druhej;
d) segment spájajúci stredy protiľahlých hrán s iným takýmto segmentom;
e) rez jednou rovinou súmernosti k druhej je rovnaký;
f) časť, ktorá je štvorcom inej časti, ktorá je rovnaká? Bude pri takomto pohybe druhá postava namapovaná na prvú?
6.66. V dôsledku toho, aké pohyby sa na sebe zobrazujú:
rez b) priamka; c) kruh; d) štvorcový; e) pravidelný mnohouholník; e) kosoštvorec; g) rovina; h) dihedrálny uhol?
6.67. V dôsledku akých pohybov sa na sebe zobrazuje štvorsten RABC, v ktorom: a) ; b)
6.68. Telo je spojenie dvoch guľôčok, ale nie gule. Aké pohyby sa na sebe zobrazujú?
6.69. Štvorhranná pyramída má: a) všetky bočné hrany rovnaké a protiľahlé ploché uhly na vrchu sú rovnaké;
b) všetky ploché uhly vo vrchole sú rovnaké a protiľahlé bočné hrany sú rovnaké. S akými pohybmi sa dá samostatne kombinovať?
6,70. Aké pohyby odrážajú antiprizma na sebe?
6.71. Ako rozdeliť kocku na: a) 8 rovnakých kociek; b) 6 rovnakých pyramíd; c) 3 rovnaké pyramídy; d) 4 rovnaké trojuholníkové hranoly?
6.72. Ako rozdeliť pravý trojuholníkový hranol na 3 rovnaké štvorsteny? Sú si niektorí rovní?
6.73. Ako rozdeliť hranol na: a) 6 rovnako veľkých pyramíd; b) tri rovnaké pyramídy? Sú si niektorí rovní?
6,74. V guli s polomerom 1 boli zakreslené tri polomery OA, OB, OS, z ktorých každé dva sú kolmé. Aká časť objemu lopty je ohraničená štvrtinami veľkých kruhov lopty OAB, OAC, OBC a povrchom? Aká časť povrchu?
My si myslíme
6,75. Dve pravidelné štvoruholníkové pyramídy a majú spoločnú základňu ABCD. Bod K je stred okraja, bod L je stred okraja, bod M je priesečník stredníc v priečelí, bod N je priesečník stredníc v priečelí. Dokáž, že:
e) vzdialenosť bodu K k rovine sa rovná vzdialenosti bodu L k rovine RHVS.
Skúmanie
6.76. Vezmite si zloženie akýchkoľvek dvoch pohybov, ktoré poznáte, a zistite: a) mení to orientáciu roviny; b) má pevné body?
6.77. Koľko pevných bodov môže mať každý pohyb, ktorý poznáte? Ako sa nachádzajú? A koľko pevných liniek môže mať? Lietadlá?
6,78. Priamka b sa získa z priamky a nejakým pohybom. Stanovte umiestnenie týchto čiar medzi sebou, ak je tento pohyb: a) skrutka; b) otočenie zrkadla; c) zrkadlový odraz.
Prepínanie
6,79. Drôt je navinutý na valec s polomerom R a výškou H. Ako poznáte jeho dĺžku?
6,80. Musíte navrhnúť točité schodisko. ako budete konať?
6.81. Môžete vysvetliť, ako funguje rohový reflektor? Skladá sa z troch párových kolmých zrkadiel.
