Plán lekcie.
1. Organizačný moment.
2. Prezentácia materiálu.
3. Domáce úlohy.
4. Zhrnutie lekcie.
Počas vyučovania
I. Organizačný moment.
II. Prezentácia materiálu.
Motivácia.
Rozšírenie množiny reálnych čísel spočíva v tom, že k reálnym číslam sa pridávajú nové čísla (imaginárne). Zavedenie týchto čísel je spojené s nemožnosťou extrahovať koreň zo záporného čísla v množine reálnych čísel.
Zavedenie pojmu komplexné číslo.
Imaginárne čísla, ktorými dopĺňame reálne čísla, sa píšu ako bi, kde i je pomyselná jednotka a i 2 = - 1.
Na základe toho získame nasledujúcu definíciu komplexného čísla.
Definícia. Komplexné číslo je vyjadrením tvaru a+bi, kde a a b sú reálne čísla. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:
a) Dve komplexné čísla a 1 + b 1 i a a 2 + b 2 i rovnať vtedy a len vtedy a 1 = a 2, b1=b2.
b) Sčítanie komplexných čísel je určené pravidlom:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Násobenie komplexných čísel je určené pravidlom:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Algebraický tvar komplexného čísla.
Zápis komplexného čísla do formulára a+bi sa nazýva algebraická forma komplexného čísla, kde a- skutočná časť bi je imaginárna časť a b je skutočné číslo.
Komplexné číslo a+bi sa považuje za rovné nule, ak sa jeho skutočná a imaginárna časť rovnajú nule: a=b=0
Komplexné číslo a+bi pri b = 0 považovaný za skutočné číslo a: a + 0i = a.
Komplexné číslo a+bi pri a = 0 sa nazýva čisto imaginárny a označuje sa bi: 0 + bi = bi.
Dve komplexné čísla z = a + bi a = a – bi, ktoré sa líšia len znakom imaginárnej časti, sa nazývajú konjugované.
Akcie na komplexných číslach v algebraickom tvare.
Nasledujúce operácie možno vykonávať s komplexnými číslami v algebraickej forme.
1) Doplnenie.
Definícia. Súčet komplexných čísel zi = ai + b1 i a z2 = a2 + b2 i nazývané komplexné číslo z, ktorej reálna časť sa rovná súčtu reálnych častí z1 a z2, a imaginárna časť je súčtom imaginárnych častí čísel z1 a z2, t.j z = (ai + a2) + (b1 + b2)i.
čísla z1 a z2 sa nazývajú termíny.
Sčítanie komplexných čísel má nasledujúce vlastnosti:
1º. Komutatívnosť: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Asociativita: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Komplexné číslo -a -bi sa nazýva opakom komplexného čísla z = a + bi. Komplexné číslo opak komplexného čísla z, označené -z. Súčet komplexných čísel z a -z rovná sa nule: z + (-z) = 0
Príklad 1: Pridať (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Odčítanie.
Definícia. Odčítať od komplexného čísla z1 komplexné číslo z2 z,čo z + z 2 = z 1.
Veta. Rozdiel komplexných čísel existuje a navyše je jedinečný.
Príklad 2: Odčítanie (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Násobenie.
Definícia. Súčin komplexných čísel zi = ai + bi i a z 2 \u003d a 2 + b 2 i nazývané komplexné číslo z, definovaný rovnosťou: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
čísla z1 a z2 sa nazývajú faktory.
Násobenie komplexných čísel má tieto vlastnosti:
1º. Komutatívnosť: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Asociativita: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 je skutočné číslo.
V praxi sa násobenie komplexných čísel uskutočňuje podľa pravidla násobenia súčtu súčtom a oddeľovania reálnej a imaginárnej časti.
V nasledujúcom príklade zvážte násobenie komplexných čísel dvoma spôsobmi: pravidlom a vynásobením súčtu súčtom.
Príklad 3: Vynásobte (2 + 3i) (5 – 7i).
1 spôsob. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
2 spôsobom. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Rozdelenie.
Definícia. Rozdeľte komplexné číslo z1 na komplexné číslo z2, znamená nájsť také komplexné číslo z, čo zz 2 = z 1.
Veta. Podiel komplexných čísel existuje a je jedinečný, ak z2 ≠ 0 + 0i.
V praxi sa podiel komplexných čísel zistí vynásobením čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa.
Nechať byť zi = ai + b1 i, z2 = a2 + b2 i, potom
.
V nasledujúcom príklade vykonáme delenie vzorcom a pravidlo násobenia konjugátom menovateľa.
Príklad 4. Nájdite kvocient 
.
5) Zvýšenie na kladné celé číslo.
a) Sily pomyselnej jednoty.
Využívanie výhod rovnosti i 2 \u003d -1, je ľahké definovať akúkoľvek kladnú mocninu celého čísla imaginárnej jednotky. Máme:
i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,
i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,
i 5 \u003d i 4 i \u003d i,
i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,
i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 atď.
To ukazuje, že hodnoty stupňov ja n, kde n- kladné celé číslo, ktoré sa periodicky opakuje, keď sa indikátor zvýši o 4 .
Preto na zvýšenie počtu i na kladné celé číslo, vydeľte exponent o 4 a vzpriamený i na moc, ktorej exponentom je zvyšok delenia.
Príklad 5 Vypočítajte: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.
b) Umocnenie komplexného čísla na kladné celé číslo sa vykonáva podľa pravidla o umocnení dvojčlenu na zodpovedajúcu mocninu, pretože ide o špeciálny prípad násobenia rovnakých komplexných faktorov.
Príklad 6 Vypočítajte: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Strana 2 z 3
Algebraický tvar komplexného čísla.
Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie komplexných čísel.
S algebraickou formou komplexného čísla sme sa už stretli – ide o algebraickú formu komplexného čísla. Prečo hovoríme o forme? Faktom je, že existujú aj trigonometrické a exponenciálne formy komplexných čísel, o ktorých sa bude diskutovať v nasledujúcom odseku.
Operácie s komplexnými číslami nie sú obzvlášť ťažké a len málo sa líšia od bežnej algebry.
Sčítanie komplexných čísel
Príklad 1
Pridajte dve komplexné čísla,
Ak chcete pridať dve komplexné čísla, pridajte ich skutočnú a imaginárnu časť:
Jednoduché, však? Akcia je taká samozrejmá, že nepotrebuje ďalšie komentáre.
Takýmto jednoduchým spôsobom môžete nájsť súčet ľubovoľného počtu členov: spočítajte skutočné časti a spočítajte imaginárne časti.
Pre komplexné čísla platí pravidlo prvej triedy: 
- z preskupenia pojmov sa súčet nemení.
Odčítanie komplexných čísel
Príklad 2
Nájdite rozdiely komplexných čísel a ak ,
Akcia je podobná ako pri pridávaní, jedinou vlastnosťou je, že subtrahend musí byť uvedený v zátvorkách a potom, ako štandard, tieto zátvorky otvorte so zmenou znamienka:
Výsledok by nemal zmiasť, výsledné číslo má dve, nie tri časti. Len skutočná časť je komponent: . Pre prehľadnosť možno odpoveď prepísať takto: .
Vypočítajme druhý rozdiel:
Tu je skutočná časť tiež komponentom:
Aby som predišiel akémukoľvek podceňovaniu, uvediem krátky príklad so „zlou“ imaginárnou časťou: . Tu sa bez zátvoriek nezaobídete.
Násobenie komplexných čísel
Nastal čas predstaviť vám slávnu rovnosť:
Príklad 3
Nájdite súčin komplexných čísel,
Je zrejmé, že práca by mala byť napísaná takto:
Čo sa pýta? Navrhuje sa otvárať zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov. Tak sa to má robiť! Všetky algebraické operácie sú vám známe, hlavná vec, ktorú si treba zapamätať, je to a buďte opatrní.
Zopakujme si, omg, školské pravidlo pre násobenie polynómov: Ak chcete násobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu.
Napíšem podrobne:
Dúfam, že to bolo každému jasné
Pozor a ešte raz pozor, chyba sa najčastejšie robí v znameniach.
Rovnako ako súčet, súčin komplexných čísel je permutabilný, to znamená, že rovnosť platí: .
Vo vzdelávacej literatúre a na webe je ľahké nájsť špeciálny vzorec na výpočet súčinu komplexných čísel. Ak chcete, použite to, ale zdá sa mi, že prístup s násobením polynómov je univerzálnejší a prehľadnejší. Vzorec nedám, myslím si, že v tomto prípade ide o zanášanie hlavy pilinami.
Delenie komplexných čísel
Príklad 4
Dané komplexné čísla, . Nájsť súkromné.
Urobme si kvocient:
Rozdelenie čísel sa vykonáva vynásobením menovateľa a čitateľa konjugovaným vyjadrením menovateľa.
Pripomíname si fúzatý vzorec a pozeráme sa na nášho menovateľa: . Menovateľ už má , takže konjugovaný výraz v tomto prípade je , tj
Podľa pravidla musí byť menovateľ vynásobený a aby sa nič nezmenilo, vynásobte čitateľa rovnakým číslom:
Napíšem podrobne:
Vybral som „dobrý“ príklad, ak vezmete dve čísla „z buldozéra“, potom v dôsledku delenia takmer vždy dostanete zlomky, niečo ako.
V niektorých prípadoch sa pred delením odporúča zjednodušiť zlomok, napríklad zvážiť kvocient čísel:. Pred delením sa zbavíme zbytočných mínusov: v čitateli a v menovateli vyjmeme mínusy zo zátvoriek a tieto mínusy zredukujeme: 
. Pre tých, ktorí radi riešia, dám správnu odpoveď:
Zriedka, ale existuje taká úloha:
Príklad 5
Dostanete komplexné číslo. Dané číslo napíšte v algebraickom tvare (t. j. v tvare).
Recepcia je rovnaká - menovateľa a čitateľa vynásobíme výrazom konjugovaný do menovateľa. Pozrime sa znova na vzorec. Menovateľ už má , takže menovateľ a čitateľ musia byť vynásobené konjugovaným výrazom, teda:
V praxi môžu ľahko ponúknuť efektný príklad, keď potrebujete vykonať veľa operácií s komplexnými číslami. Žiadna panika: buď opatrný, postupujte podľa pravidiel algebry, zvyčajného algebraického poradia operácií, a pamätajte, že .
Trigonometrický a exponenciálny tvar komplexného čísla
V tejto časti sa zameriame viac na goniometrický tvar komplexného čísla. Exponenciálna forma v praktických úlohách je oveľa menej bežná. Odporúčam stiahnuť a podľa možnosti vytlačiť trigonometrické tabuľky, metodický materiál nájdete na stránke Matematické vzorce a tabuľky. Bez stolov sa ďaleko nedostanete.
Akékoľvek komplexné číslo (okrem nuly) možno zapísať v trigonometrickom tvare: 
, kde to je modul komplexného čísla, a - argument komplexného čísla. Neutekaj, je to jednoduchšie, ako si myslíš.
Nakreslite číslo v komplexnej rovine. Pre jednoznačnosť a jednoduchosť vysvetlení ho zaradíme do prvej súradnicovej štvrtiny, t.j. myslíme si, že:
Modul komplexného čísla je vzdialenosť od začiatku súradníc k príslušnému bodu komplexnej roviny. Jednoducho povedané, modul je dĺžka rádiusový vektor, ktorý je na výkrese vyznačený červenou farbou.
Modul komplexného čísla sa zvyčajne označuje: alebo
Pomocou Pytagorovej vety je ľahké odvodiť vzorec na nájdenie modulu komplexného čísla: . Tento vzorec je platný pre akékoľvek významy „a“ a „byť“.
Poznámka: modul komplexného čísla je zovšeobecnením pojmu modul reálneho čísla, ako vzdialenosť od bodu k počiatku.
Argument komplexného čísla volal injekciou medzi kladná os reálna os a vektor polomeru nakreslený z počiatku do zodpovedajúceho bodu. Argument nie je definovaný pre jednotné číslo: .
Uvažovaný princíp je v skutočnosti podobný polárne súradnice, kde polárny polomer a polárny uhol jednoznačne definujú bod.
Argument komplexného čísla sa zvyčajne označuje: alebo
Z geometrických úvah sa získa nasledujúci vzorec na nájdenie argumentu:
. Pozor! Tento vzorec funguje len v pravej polrovine! Ak sa komplexné číslo nenachádza v 1. alebo 4. súradnicovom kvadrante, potom sa vzorec bude mierne líšiť. Budeme brať do úvahy aj tieto prípady.
Najprv však zvážte najjednoduchšie príklady, keď sú komplexné čísla umiestnené na súradnicových osiach.
Príklad 7
Vykonajte kreslenie:
V skutočnosti je úloha ústna. Pre prehľadnosť prepíšem trigonometrickú formu komplexného čísla: 
Pamätajme si pozorne, modul - dĺžka(ktorý je vždy nezáporný), argument je injekciou.
1) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument. Je zrejmé, že. Formálny výpočet podľa vzorca: .
Je zrejmé, že (číslo leží priamo na skutočnej kladnej poloosi). Takže číslo v trigonometrickom tvare je: 
.
Jasné ako deň, spätná kontrola:
2) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument. Je zrejmé, že. Formálny výpočet podľa vzorca: .
Samozrejme (alebo 90 stupňov). Na výkrese je roh označený červenou farbou. Takže číslo v trigonometrickom tvare je: 
.
Pomocou tabuľky hodnôt goniometrických funkcií je ľahké získať späť algebraický tvar čísla (súčasne kontrolou):
3) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument. Je zrejmé, že. Formálny výpočet podľa vzorca: .
Samozrejme (alebo 180 stupňov). Na výkrese je uhol označený modrou farbou. Takže číslo v trigonometrickom tvare je: 
.
Vyšetrenie:
4) A štvrtý zaujímavý prípad. Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument. Je zrejmé, že. Formálny výpočet podľa vzorca: .
Argument možno zapísať dvoma spôsobmi: Prvým spôsobom: (270 stupňov) a podľa toho: 
. Vyšetrenie:
Nasledujúce pravidlo je však štandardnejšie: Ak je uhol väčší ako 180 stupňov, potom sa píše so znamienkom mínus a opačnou orientáciou („rolovanie“) uhla: (mínus 90 stupňov), na výkrese je uhol označený zelenou farbou. Je ľahké to vidieť a majú rovnaký uhol.
Záznam sa teda stáva: 
Pozor! V žiadnom prípade by ste nemali používať rovnomernosť kosínusu, nepárnosť sínusu a vykonávať ďalšie „zjednodušenie“ záznamu:
Mimochodom, je užitočné pripomenúť si vzhľad a vlastnosti goniometrických a inverzných goniometrických funkcií, referenčné materiály sú v posledných odsekoch stránky Grafy a vlastnosti základných elementárnych funkcií. A komplexné čísla sa učia oveľa ľahšie!
Pri návrhu najjednoduchších príkladov by to malo byť napísané takto: „je zrejmé, že modul je ... je zrejmé, že argument je ...“. To je naozaj zrejmé a ľahko ústne riešiteľné.
Prejdime k bežnejším prípadom. Ako som už poznamenal, s modulom nie sú žiadne problémy, vždy by ste mali použiť vzorec. Ale vzorce na nájdenie argumentu budú rôzne, záleží na tom, v ktorej súradnicovej štvrtine číslo leží. V tomto prípade sú možné tri možnosti (je užitočné prepísať si ich do poznámkového bloku):
1) Ak (1. a 4. súradnicové štvrtiny, alebo pravá polrovina), potom treba argument nájsť pomocou vzorca.
2) Ak (2. súradnicová štvrtina), potom argument treba nájsť podľa vzorca 
.
3) Ak (3. súradnicová štvrtina), potom treba argument nájsť podľa vzorca 
.
Príklad 8
Vyjadrite komplexné čísla v goniometrickom tvare: , , , .
Akonáhle existujú hotové vzorce, kresba nie je potrebná. Ale je tu jeden bod: keď budete požiadaní, aby ste predložili číslo v trigonometrickej forme, potom kresliť je aj tak lepšie. Faktom je, že učitelia často odmietajú riešenie bez kresby, absencia kresby je vážny dôvod na mínus a neúspech.
Ej, sto rokov som nič nekreslil ručne, počkaj:
Ako vždy, neporiadok dopadol =)
Uvediem čísla a v komplexnej forme, prvé a tretie číslo bude na nezávislé rozhodnutie.
Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument.
Algebraická forma zápisu komplexného čísla ................................................. ...................... | |||
Rovina komplexných čísel ................................................................. ...................................................................... ................... ... | |||
Komplexné konjugované čísla ................................................ ................................................................. ............... | |||
Operácie s komplexnými číslami v algebraickom tvare ...................................................... ................... .... | |||
Sčítanie komplexných čísel ................................................................ ...................................................................... ................... | |||
Odčítanie komplexných čísel ...................................................... ............................................................ ........... | |||
Násobenie komplexných čísel ............................................................. ............................................................ ......... | |||
Delenie komplexných čísel ................................................................. ................................................................. ............... | |||
Trigonometrický tvar komplexného čísla ................................................ ........................... | |||
Operácie s komplexnými číslami v goniometrickom tvare ................................................... ............ | |||
Násobenie komplexných čísel v goniometrickom tvare................................................ ........................ | |||
Delenie komplexných čísel v goniometrickom tvare .................................................. ................... ... | |||
Zvýšenie komplexného čísla na kladnú mocninu celého čísla | |||
Extrahovanie odmocniny kladného celého čísla z komplexného čísla | |||
Zvýšenie komplexného čísla na racionálnu mocninu ................................................. ...................................... | |||
Komplexné série ................................................................ ................................................................. ................................................. | |||
Komplexný číselný rad ................................................................ ................................................................. ............... | |||
Mocninné rady v komplexnej rovine ................................................ ...................................................................... | |||
Obojstranný mocninový rad v komplexnej rovine ................................................ ...................................... | |||
Funkcie komplexnej premennej ...................................................... ...................................................................... ................... | |||
Základné elementárne funkcie ...................................................... ................................................................... ........... | |||
Eulerove vzorce ...................................................... .................................................. ...................... | |||
Exponenciálny tvar reprezentácie komplexného čísla ................................................... ....... | |||
Vzťah medzi goniometrickými a hyperbolickými funkciami ...................................... | |||
Logaritmická funkcia ................................................... ................................................................. ................... | |||
Všeobecné exponenciálne a všeobecné mocninové funkcie ................................................ ...................................................... | |||
Diferenciácia funkcií komplexnej premennej ................................................ ................................... | |||
Cauchyho-Riemannove podmienky .................................................. ............................................................. ........................ | |||
Vzorce na výpočet derivácie ...................................................... ............................................................. | |||
Vlastnosti operácie diferenciácie ...................................................... ............................................................. | |||
Vlastnosti reálnej a imaginárnej časti analytickej funkcie ...................................... ........ | |||
Zotavenie funkcie komplexnej premennej z jej skutočnej alebo imaginárnej |
|||
Metóda číslo 1. Použitie krivočiareho integrálu ................................................. ........... | |||
Metóda číslo 2. Priama aplikácia Cauchyho-Riemannových podmienok...................................... | |||
Metóda číslo 3. Prostredníctvom derivácie požadovanej funkcie ................................................... ........................ | |||
Integrácia funkcií komplexnej premennej................................................................ ............................................. | |||
Cauchyho integrálny vzorec ................................................. ................................................. .. | |||
Rozšírenie funkcií v Taylorovom a Laurentovom rade ...................................... .................................... | |||
Nuly a singulárne body funkcie komplexnej premennej ...................................... ........ | |||
Nuly funkcie komplexnej premennej ...................................................... ...................................... | |||
Izolované singulárne body funkcie komplexnej premennej ...................................... ...... | |||
14.3 Bod v nekonečne ako singulárny bod funkcie komplexnej premennej
Výbery ................................................. ................................................. ................................................... | |||
Odpočet na konci ................................................. ............................................................. ............... | |||
Zvyšok funkcie v bode v nekonečne ................................................ ...................................................... | |||
Výpočet integrálov pomocou zvyškov ................................................. ............................................................. | |||
Otázky na samovyšetrenie ...................................................... ................................................................. ........................... | |||
Literatúra................................................................. ................................................. ................................. | |||
Predmetový register ................................................................ ................................................. ............... | |||
Predslov
Je pomerne ťažké správne rozdeliť čas a úsilie na prípravu na teoretickú a praktickú časť skúšky alebo certifikácie modulu, najmä preto, že počas stretnutia nie je vždy dostatok času. A ako ukazuje prax, nie každý sa s tým dokáže vyrovnať. Výsledkom je, že niektorí študenti počas skúšky správne riešia problémy, ale ťažko odpovedajú na najjednoduchšie teoretické otázky, zatiaľ čo iní vedia formulovať vetu, ale nevedia ju použiť.
Tieto metodické odporúčania pre prípravu na skúšku z predmetu Teória funkcií komplexnej premennej (TFV) sú pokusom vyriešiť tento rozpor a zabezpečiť súčasné opakovanie teoretickej a praktickej látky predmetu. Riadené zásadou „Teória bez praxe je mŕtva, prax bez teórie je slepá“ obsahujú jednak teoretické pozície kurzu na úrovni definícií a formulácií, ako aj príklady ilustrujúce aplikáciu každej danej teoretickej pozície, a teda uľahčenie jeho zapamätania a pochopenia.
Účelom navrhovaných metodických odporúčaní je pomôcť študentovi pripraviť sa na skúšku na základnej úrovni. Inými slovami, bola zostavená rozšírená pracovná príručka, ktorá obsahuje hlavné body používané na hodinách kurzu TFKT a potrebné pri robení domácich úloh a príprave na kontrolnú činnosť. Okrem samostatnej práce žiakov je možné túto elektronickú vzdelávaciu publikáciu využiť pri vedení vyučovania interaktívnou formou pomocou elektronickej tabule alebo pri zaraďovaní do systému dištančného vzdelávania.
Upozorňujeme, že táto práca nenahrádza učebnice ani poznámky z prednášok. Pre hĺbkové štúdium materiálu sa odporúča odkázať na príslušné časti publikácie vydanej na Moskovskej štátnej technickej univerzite. N.E. Bauman základná učebnica.
Na konci príručky je zoznam odporúčanej literatúry a vecný register, ktorý zahŕňa všetky zvýraznené v texte. tučná kurzíva podmienky. Index pozostáva z hypertextových odkazov na sekcie, kde sú tieto pojmy presne definované alebo opísané a kde sú uvedené príklady na ilustráciu ich použitia.
Príručka je určená pre študentov 2. ročníka všetkých fakúlt MSTU. N.E. Bauman.
1. Algebraická forma zápisu komplexného čísla
Záznam tvaru z \u003d x + iy, kde x, y sú reálne čísla, i je imaginárna jednotka (t. j. i 2 = − 1)
sa nazýva algebraická forma komplexného čísla z. V tomto prípade sa x nazýva reálna časť komplexného čísla a označuje sa Re z (x = Re z ), y sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla a označuje sa Im z (y = Im z ).
Príklad. Komplexné číslo z = 4− 3i má reálnu časť Rez = 4 a imaginárnu časť Imz = − 3 .
2. Rovina komplexných čísel
AT zvažujú teórie funkcií komplexnej premennejkomplexná číselná rovina, ktorý sa označuje buď, alebo sa používajú písmená označujúce komplexné čísla z, w atď.
Vodorovná os komplexnej roviny sa nazýva reálna os, sú na ňom umiestnené reálne čísla z \u003d x + 0i \u003d x.
Vertikálna os komplexnej roviny sa nazýva imaginárna os, má
3. Komplexne konjugované čísla
Nazývajú sa čísla z = x + iy az = x − iy komplexný konjugát. V komplexnej rovine zodpovedajú bodom, ktoré sú symetrické okolo skutočnej osi.
4. Operácie s komplexnými číslami v algebraickom tvare
4.1 Sčítanie komplexných čísel
Súčet dvoch komplexných čísel | z 1= x 1+ iy 1 | a z 2 = x 2 + iy 2 sa nazýva komplexné číslo |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y1+ y2). | prevádzka | prílohy |
||||||||||
komplexné čísla je podobná operácii sčítania algebraických binómov. | |||||||||||||
Príklad. Súčet dvoch komplexných čísel z 1 = 3 + 7i a z 2 | = -1 +2 i | bude komplexné číslo |
|||||||||||
z1+z2 =(3+7i) +(−1+2i) =(3−1) +(7+2)i=2 +9 i. | |||||||||||||
samozrejme, | súčet v komplexe | konjugovaný | je | platné | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x= 2 Rez. | |||||||||||||
4.2 Odčítanie komplexných čísel | |||||||||||||
Rozdiel dvoch komplexných čísel z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | volal | obsiahly |
||||||||||
číslo z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Príklad. Rozdiel medzi dvoma komplexnými číslami | zi = 3 -4 i | a z2 | = -1 +2 i | bude komplexný |
|||||||||
číslo z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
rozdiel | komplexný konjugát | je | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x − iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Násobenie komplexných čísel | |||||||||||||
Súčin dvoch komplexných čísel | z 1= x 1+ iy 1 | a z2= x2+ iy2 | sa nazýva komplexný |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
Operácia násobenia komplexných čísel je teda podobná operácii násobenia algebraických binómov, berúc do úvahy skutočnosť, že i 2 = − 1.
