Reálne čísla. Aproximácia reálnych čísel konečnými desatinnými zlomkami.

Reálne alebo reálne číslo je matematická abstrakcia, ktorá vznikla z potreby merať geometrické a fyzikálne veličiny sveta okolo nás, ako aj vykonávať také operácie, ako je extrahovanie koreňa, výpočet logaritmov a riešenie algebraických rovníc. Ak prirodzené čísla vznikli v procese počítania, racionálne čísla - z potreby pracovať s časťami celku, potom sú reálne čísla určené na meranie spojitých veličín. Rozšírenie uvažovanej zásoby čísel teda viedlo k množine reálnych čísel, ktorá okrem racionálnych čísel zahŕňa aj ďalšie prvky tzv. iracionálne čísla .

Absolútna chyba a jej limit.

Nech existuje nejaká číselná hodnota a číselná hodnota, ktorá je jej priradená, sa považuje za presnú, potom pod chyba približnej hodnoty číselnej hodnoty (omyl) pochopiť rozdiel medzi presnou a približnou hodnotou číselnej hodnoty: . Chyba môže mať kladné aj záporné hodnoty. Hodnota sa volá známa aproximácia na presnú hodnotu číselnej hodnoty - akékoľvek číslo, ktoré sa používa namiesto presnej hodnoty. Najjednoduchším kvantitatívnym meradlom chyby je absolútna chyba. Absolútna chyba približná hodnota sa nazýva hodnota, o ktorej je známe, že: Relatívna chyba a jej limit.

Kvalita aproximácie v podstate závisí od akceptovaných jednotiek merania a mierok veličín, preto je vhodné korelovať chybu veličiny a jej hodnotu, pre ktorú sa zavádza pojem relatívna chyba. Relatívna chyba Približná hodnota sa nazýva hodnota, o ktorej je známe, že: . Relatívna chyba sa často vyjadruje v percentách. Použitie relatívnych chýb je vhodné najmä preto, že nezávisia od mierok veličín a jednotiek merania.

Iracionálne rovnice

Rovnica, v ktorej je premenná obsiahnutá pod znamienkom koreňa, sa nazýva iracionálna. Pri riešení iracionálnych rovníc si získané riešenia vyžadujú overenie, pretože napríklad nesprávna rovnosť pri kvadratúre môže dať správnu rovnosť. V skutočnosti nesprávna rovnosť pri druhej mocnine dáva správnu rovnosť 1 2 = (-1) 2, 1 = 1. Niekedy je vhodnejšie riešiť iracionálne rovnice pomocou ekvivalentných prechodov.

Odmocnime obe strany tejto rovnice; Po transformáciách dospejeme ku kvadratickej rovnici; a poďme na to.

Komplexné čísla. Akcie na komplexných číslach.

Komplexné čísla - rozšírenie množiny reálnych čísel, zvyčajne sa označujú. Akékoľvek komplexné číslo môže byť reprezentované ako formálny súčet X + iy, kde X a r- reálne čísla, i- imaginárna jednotka Komplexné čísla tvoria algebraicky uzavreté pole - to znamená, že polynóm stupňa n s komplexnými koeficientmi má presne n komplexné korene, to znamená, že základná veta algebry je pravdivá. Toto je jeden z hlavných dôvodov rozšíreného používania komplexných čísel v matematickom výskume. Okrem toho použitie komplexných čísel umožňuje pohodlne a kompaktne formulovať mnohé matematické modely používané v matematickej fyzike a prírodných vedách - elektrotechnika, hydrodynamika, kartografia, kvantová mechanika, teória kmitov a mnohé ďalšie.

Porovnanie a + bi = c + di znamená to a = c a b = d(dve komplexné čísla sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sa ich reálna a imaginárna časť rovnajú).

Doplnenie ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Odčítanie ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Násobenie

Numerická funkcia. Spôsoby nastavenia funkcie

V matematike je číselná funkcia funkcia, ktorej domény a hodnoty sú podmnožinami množín čísel – vo všeobecnosti množinou reálnych čísel alebo množinou komplexných čísel.

Verbálne: Pri použití prirodzeného jazyka sa Y rovná celočíselnej časti X. Analytický: Použitie analytického vzorca f (X) = X !

Grafický Cez graf Fragment grafu funkcie.

Tabuľka: Použitie tabuľky hodnôt

Hlavné vlastnosti funkcie

1) Rozsah funkcií a rozsah funkcií . Rozsah funkcie X(premenná X), pre ktoré je funkcia y=f(x) definované.

Funkčný rozsah rže funkcia akceptuje. V elementárnej matematike sa funkcie študujú len na množine reálnych čísel.2 ) Funkcia nula) Monotónnosť funkcie . Zvyšujúca sa funkcia Funkcia klesania . Dokonca aj funkcia X f(-x) = f(x). nepárna funkcia- funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X f(-x) = -f(x. Funkcia sa volá obmedzené neobmedzené .7) Periodicita funkcie. Funkcia f(x) - periodikum funkčné obdobie

Funkčné grafy. Najjednoduchšie transformácie grafov funkciou

Graf funkcií- množina bodov, ktorých úsečky sú platné hodnoty argumentov X a ordináty sú zodpovedajúce hodnoty funkcie r .

Priamka- graf lineárnej funkcie y=ax+b. Funkcia y monotónne rastie pre a > 0 a klesá pre a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabola- graf funkcie štvorcového trinomu y \u003d os 2 + bx + c. Má vertikálnu os symetrie. Ak a > 0, má minimum, ak a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Hyperbola- funkčný graf. Keď a > O sa nachádza v štvrtiach I a III, keď a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) alebo y - x (a< 0).

Logaritmická funkcia y = log a x(a > 0)

goniometrické funkcie. Pri konštrukcii goniometrických funkcií používame radián miera uhlov. Potom funkcia r= hriech X znázornené grafom (obr. 19). Táto krivka sa nazýva sínusoida .

Graf funkcií r= cos X znázornené na obr. dvadsať; je to tiež sínusoida vyplývajúca z pohybu grafu r= hriech X pozdĺž osi X odišiel /2.

Základné vlastnosti funkcií. Monotónnosť, rovnomernosť, nepárnosť, periodicita funkcií.

Rozsah funkcií a rozsah funkcií . Rozsah funkcie je množina všetkých platných platných hodnôt argumentu X(premenná X), pre ktoré je funkcia y=f(x) definované.

Funkčný rozsah je súbor všetkých skutočných hodnôt rže funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú len na množine reálnych čísel.2 ) Funkcia nula- je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.3 ) Intervaly stálosti funkcie- tie množiny hodnôt argumentov, na ktorých sú funkčné hodnoty iba kladné alebo iba záporné.4 ) Monotónnosť funkcie .

Zvyšujúca sa funkcia(v nejakom intervale) - funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Funkcia klesania(v nejakom intervale) - funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšej hodnote funkcie.5 ) Párne (nepárne) funkcie . Dokonca aj funkcia- funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y. nepárna funkcia- funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = -f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický okolo počiatku.6 ) Obmedzené a neobmedzené funkcie. Funkcia sa volá obmedzené, ak existuje kladné číslo M také, že |f (x) | ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, potom funkcia je neobmedzené .7) Periodicita funkcie. Funkcia f(x) - periodikum, ak existuje také nenulové číslo T, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f (x+T) = f (x). Toto najmenšie číslo sa nazýva funkčné obdobie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

Periodické funkcie. Pravidlá hľadania hlavnej periódy funkcie.

Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po nejakej nenulovej perióde, t.j. nemení svoju hodnotu, keď sa do argumentu pridá pevné nenulové číslo (bodka). Všetky goniometrické funkcie sú periodické. sa mýlia výroky o súčte periodických funkcií: Súčet 2 funkcií s úmernými (aj základnými) periódami T 1 a T 2 je funkcia s periódou LCM ( T 1 ,T 2). Súčet 2 spojitých funkcií s nesúmerateľnými (aj základnými) periódami je neperiodická funkcia. Neexistujú žiadne periodické funkcie, ktoré by sa nerovnali konštante, ktorej periódy sú neporovnateľné čísla.

Vykresľovanie mocenských funkcií.

Funkcia napájania. Toto je funkcia: y = ax n, kde a,n- trvalý. O n= 1 dostaneme priama úmernosť : r =sekera; pri n = 2 - štvorcová parabola; pri n = 1 - inverzná úmernosť alebo hyperbola. Tieto funkcie sú teda špeciálnymi prípadmi výkonovej funkcie. Vieme, že nulová mocnina akéhokoľvek čísla iného ako nula sa rovná 1, teda kedy n= 0 sa výkonová funkcia stáva konštantou: r =a, t.j. jeho graf je priamka rovnobežná s osou X, s výnimkou pôvodu súradníc (vysvetlite prečo?). Všetky tieto prípady (s a= 1) sú znázornené na obr. 13 ( n 0) a Obr. 14 ( n < 0). Отрицательные значения X sa tu neberú do úvahy, pretože potom niektoré funkcie:

Inverzná funkcia

Inverzná funkcia- funkcia, ktorá obracia závislosť vyjadrenú touto funkciou. Funkcia je inverzná k funkcii, ak platia nasledujúce identity: pre všetkých pre všetkých

Limita funkcie v bode. Základné vlastnosti limity.

Koreň n-tého stupňa a jeho vlastnosti.

N-tá odmocnina čísla a je číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Definícia: Aritmetický koreň n-tého stupňa čísla a je nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Hlavné vlastnosti koreňov:

Stupeň s ľubovoľným reálnym exponentom a jeho vlastnosti.

Nech je dané kladné číslo a ľubovoľné reálne číslo. Číslo sa nazýva stupeň, číslo je základom stupňa, číslo je exponent.

Podľa definície sa predpokladá:

Ak a sú kladné čísla a sú to akékoľvek reálne čísla, potom platia nasledujúce vlastnosti:

.

.

Mocninná funkcia, jej vlastnosti a grafy

Funkcia napájania komplexná premenná f (z) = z n s celočíselným exponentom sa určuje pomocou analytického pokračovania podobnej funkcie reálneho argumentu. Na tento účel sa používa exponenciálna forma zápisu komplexných čísel. mocninná funkcia s celočíselným exponentom je analytická v celej komplexnej rovine ako súčin konečného počtu inštancií mapovania identity f (z) = z. Podľa vety o jedinečnosti tieto dve kritériá postačujú na jedinečnosť výsledného analytického pokračovania. Použitím tejto definície môžeme okamžite konštatovať, že mocninná funkcia komplexnej premennej má významné rozdiely od jej skutočného náprotivku.

Toto je funkcia formulára , . Zvažujú sa tieto prípady:

a). Ak potom . Potom, ; ak je číslo párne, potom je funkcia párna (t.j. pre všetkých ); ak je číslo nepárne, potom je funkcia nepárna (tj pre všetkých).

Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a grafy

Exponenciálna funkcia- matematická funkcia.

V reálnom prípade je základom stupňa nejaké nezáporné reálne číslo a argument funkcie je reálny exponent.

V teórii komplexných funkcií sa uvažuje o všeobecnejšom prípade, keď ľubovoľné komplexné číslo môže byť argumentom a exponentom.

Najvšeobecnejším spôsobom - u v, ktorú zaviedol Leibniz v roku 1695.

Zvlášť zdôraznený je prípad, keď číslo e pôsobí ako základ stupňa. Takáto funkcia sa nazýva exponent (reálny alebo komplexný).

Vlastnosti ; ; .

exponenciálne rovnice.

Poďme priamo k exponenciálnym rovniciam. Na vyriešenie exponenciálnej rovnice je potrebné použiť nasledujúcu vetu: Ak sú stupne rovnaké a základy sú rovnaké, kladné a odlišné od jednej, potom sú aj ich exponenty rovnaké. Dokážme túto vetu: Nech a>1 a a x =a y .

Dokážme, že v tomto prípade x=y. Predpokladajme opak toho, čo sa vyžaduje preukázať, t.j. povedzme, že x>y alebo že x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Oba tieto výsledky sú v rozpore s hypotézou vety. Preto x = y, čo bolo potrebné dokázať.

Veta je dokázaná aj pre prípad, keď 0 0 a a≠1.

exponenciálne nerovnosti

Nerovnosti formy (alebo menej) pre a(x) >0 a sú riešené na základe vlastností exponenciálnej funkcie: pre 0 < а (х) < 1 pri porovnávaní f(x) a g(x) znamienko nerovnosti sa mení a kedy a(x) > 1- je uložený. Najťažší prípad pre a(x)< 0 . Tu môžeme uviesť len všeobecný náznak: určiť pri akých hodnotách X ukazovatele f(x) a g(x) byť celé čísla a vybrať z nich tie, ktoré spĺňajú podmienku. Nakoniec, ak platí pôvodná nerovnosť a(x) = 0 alebo a(x) = 1(napr. keď nerovnosti nie sú prísne), potom treba brať do úvahy aj tieto prípady.

Logaritmy a ich vlastnosti

Logaritmus čísla b podľa rozumu a (z gréčtiny λόγος - "slovo", "vzťah" a ἀριθμός - "číslo") je definovaný ako ukazovateľ miery, do akej musí byť základ zvýšený a získať číslo b. Označenie: . Z definície vyplýva, že položky a sú rovnocenné. Príklad: pretože . Vlastnosti

Základná logaritmická identita:

Logaritmická funkcia, jej vlastnosti a grafy.

Logaritmická funkcia je funkciou formulára f (X) = log a x, definované na

doména:

Rozsah hodnoty:

Graf ľubovoľnej logaritmickej funkcie prechádza bodom (1; 0)

Derivácia logaritmickej funkcie je:

Logaritmické rovnice

Rovnica obsahujúca premennú pod znamienkom logaritmu sa nazýva logaritmická rovnica. Najjednoduchším príkladom logaritmickej rovnice je rovnica log a x \u003d b (kde a > 0 a 1). Jeho rozhodnutie x = a b .

Riešenie rovníc na základe definície logaritmu, napríklad rovnice log a x \u003d b (a\u003e 0, ale 1) má riešenie x = a b .

potenciačná metóda. Potenciáciou sa rozumie prechod od rovnosti obsahujúcej logaritmy k rovnosti, ktorá ich neobsahuje:

ak log a f (x) = log a g (x), potom f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , 1 .

Metóda redukcie logaritmickej rovnice na kvadratickú.

Metóda logaritmovania oboch častí rovnice.

Metóda redukcie logaritmov na rovnaký základ.

Logaritmické nerovnosti.

Nerovnosť obsahujúca premennú iba pod znamienkom logaritmu sa nazýva logaritmická: log a f (x) > log a g (x).

Pri riešení logaritmických nerovníc treba brať do úvahy všeobecné vlastnosti nerovníc, vlastnosť monotónnosti logaritmickej funkcie a jej definičný obor. Nerovnosť log a f (x) > log a g (x) sa rovná systému f (x) > g (x) > 0 pre a > 1 a systém 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Radiánové meranie uhlov a oblúkov. Sínus, kosínus, tangens, kotangens.

miera stupňa. Tu je merná jednotka stupeň ( označenie ) - je otočenie lúča o 1/360 jednej celej otáčky. Úplná rotácia lúča je teda 360. Jeden stupeň sa skladá zo 60 minúty ( ich označenie “); jednu minútu – respektíve zo 60 sekundy ( označené ").

miera radiánov. Ako vieme z planimetrie (pozri odstavec "Dĺžka oblúka" v časti "Miesto bodov. Kružnica a kružnica"), dĺžka oblúka l, polomer r a zodpovedajúci stredový uhol súvisia takto: = l/r.

Tento vzorec je základom definície radiánovej miery uhlov. Ak teda l = r, potom = 1 a povieme, že uhol  sa rovná 1 radiánu, čo je označené: = 1 rád. Máme teda nasledujúcu definíciu radiánovej miery:

Radián je stredový uhol, ktorých dĺžka oblúka a polomer sú rovnaké(A m B = AO, obr. 1). takže, radiánová miera uhla je pomer dĺžky oblúka nakresleného ľubovoľným polomerom a uzavretého medzi stranami tohto uhla k polomeru oblúka.

Goniometrické funkcie ostrých uhlov možno definovať ako pomer dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Sinus:

kosínus:

Tangenta:

Kotangens:

Goniometrické funkcie číselného argumentu

Definícia .

Sínus x je číslo rovné sínusu uhla v x radiánoch. Kosínus čísla x je číslo rovné kosínusu uhla v x radiánoch .

Ostatné goniometrické funkcie numerického argumentu sú definované podobne X .

Duchovné vzorce.

Sčítacie vzorce. Dvojité a pol argumentačné vzorce.

Dvojité.

( ; .

Goniometrické funkcie a ich grafy. Základné vlastnosti goniometrických funkcií.

Goniometrické funkcie- druh elementárnych funkcií. Zvyčajne sa na ne odkazuje sínus (hriech x), kosínus (cos x), dotyčnica (tg x), kotangens (ctg x), Goniometrické funkcie sú zvyčajne definované geometricky, ale môžu byť definované analyticky z hľadiska súčtov sérií alebo ako riešenia určitých diferenciálnych rovníc, čo nám umožňuje rozšíriť oblasť definície týchto funkcií na komplexné čísla.

Funkcia y sinx jej vlastnosti a graf

Vlastnosti:

2. E (y) \u003d [-1; jeden].

3. Funkcia y \u003d sinx je nepárna, pretože podľa definície je sínus trigonometrického uhla hriech (- X)= - y/R = - sinx, kde R je polomer kružnice, y je ordináta bodu (obr.).

4. T \u003d 2n - najmenšie kladné obdobie. naozaj,

sin(x+p) = sinx.

s osou Ox: sinx= 0; x = pn, nОZ;

s osou y: ak x = 0, potom y = 0,6. Intervaly stálosti:

sinx > 0, ak xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , ak xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Sínusové znaky v štvrtinách

y > 0 pre uhly a prvej a druhej štvrtiny.

pri< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Intervaly monotónnosti:

y= sinx zvyšuje sa na každom z intervalov [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz a klesá na každom z intervalov , nнz.

8. Krajné body a krajné body funkcie:

xmax= p/2 + 2pn, nnz; r max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nnz; ymin = - 1.

Vlastnosti funkcie y= cosx a jej rozvrh:

Vlastnosti:

2. E (y) \u003d [-1; jeden].

3. Funkcia y= cosx- párne, pretože podľa definície kosínusu trigonometrického uhla cos (-a) = x/R = cosa na trigonometrickom kruhu (ryža)

4. T \u003d 2p - najmenšie kladné obdobie. naozaj,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Priesečníky so súradnicovými osami:

s osou Ox: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

s osou y: ak x = 0, potom y = 1.

6. Intervaly stálosti znamienka:

cos > 0, ak xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , ak xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Dokazuje sa to na trigonometrickom kruhu (obr.). Kosínusové znaky v štvrtinách:

x > 0 pre uhly a prvého a štvrtého kvadrantu.

X< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Intervaly monotónnosti:

y= cosx zvyšuje sa na každom z intervalov [-p + 2pn; 2pn],

nнz a klesá na každom z intervalov , nнz.

Vlastnosti funkcie y= tgx a jeho dej: vlastnosti -

1. D (y) = (x0R, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. Funkcia y = tgx - nepárne

tgx > 0

tgx< 0 pre xn (-p/2 + pn; pn), nnZ.

Pozrite si obrázok pre znaky dotyčnice v štvrtinách.

6. Intervaly monotónnosti:

y= tgx zvyšuje v každom intervale

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Krajné body a krajné body funkcie:

8. x = p/2 + pn, nнz - vertikálne asymptoty

Vlastnosti funkcie y= ctgx a jej rozvrh:

Vlastnosti:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Funkcia y= ctgx- zvláštny.

4. T \u003d p - najmenšie kladné obdobie.

5. Intervaly stálosti znamienka:

ctgx > 0 pre xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 pre xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Kotangens pre štvrtiny, pozri obrázok.

6. Funkcia pri= ctgx sa zvyšuje na každom z intervalov (pn; p + pn), nОZ.

7. Extrémne body a extrémy funkcie y= ctgxč.

8. Graf funkcií y= ctgx je tangentoida, získané posunom grafu y=tgx pozdĺž osi Ox doľava p/2 a vynásobením (-1) (obr.

Inverzné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy

Inverzné goniometrické funkcie (kruhové funkcie , oblúkové funkcie) sú matematické funkcie, ktoré sú inverzné k goniometrickým funkciám. Inverzné goniometrické funkcie zvyčajne zahŕňajú šesť funkcií: arkzín , oblúkový kosínus , oblúková dotyčnica ,arccotanges. Názov inverznej goniometrickej funkcie je vytvorený z názvu zodpovedajúcej goniometrickej funkcie pridaním predpony „ark-“ (z lat. oblúk- oblúk). Je to spôsobené tým, že geometricky môže byť hodnota inverznej goniometrickej funkcie spojená s dĺžkou oblúka jednotkovej kružnice (alebo uhlom, ktorý tento oblúk zviera) zodpovedajúcemu jednému alebo druhému segmentu. Občas v zahraničnej literatúre používajú označenia ako sin −1 pre arcsínus atď.; nepovažuje sa to za úplne správne, pretože je možná zámena s umocnením funkcie na -1. Základný pomer

Funkcia y=arcsinX, jej vlastnosti a grafy.

arkzínčísla m tento uhol sa nazýva X pre ktorúFunkciu r= hriech X r= arcsin X sa prísne zvyšuje. (funkcia je nepárna).

Funkcia y=arccosX, jej vlastnosti a grafy.

Oblúkový kosínusčísla m tento uhol sa nazýva X, pre ktoré

Funkcia r= cos X súvislý a ohraničený pozdĺž celej svojej číselnej osi. Funkcia r= arccos X prísne klesá. cos (arccos X) = X pri arccos (cos r) = r pri D(arccos X) = [− 1; 1], (doména), E(arccos X) = . (rozsah hodnôt). Vlastnosti funkcie arccos (funkcia je centrálne symetrická vzhľadom na bod

Funkcia y=arctgX, jej vlastnosti a grafy.

Arktangensčísla m Uhol α sa nazýva taký, že funkcia je spojitá a ohraničená celou svojou reálnou čiarou. Funkcia sa prísne zvyšuje.

pri

vlastnosti funkcie arctg

,

.

Funkcia y=arcctg, jej vlastnosti a grafy.

Oblúková dotyčnicačísla m tento uhol sa nazýva X, pre ktoré

Funkcia je spojitá a ohraničená celou svojou reálnou čiarou.

Funkcia sa striktne znižuje. o 0< r < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки pre akékoľvek X .

.

Najjednoduchšie goniometrické rovnice.

Definícia. wada rovnice hriech x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, kde X

Špeciálne prípady goniometrických rovníc

Definícia. wada rovnice hriech x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, kde X- premenné, aR, sa nazývajú jednoduché goniometrické rovnice.

Goniometrické rovnice

Axiómy stereometrie a dôsledky z nich

Základné obrazce v priestore: body, čiary a roviny. Hlavné vlastnosti bodov, priamok a rovín, týkajúce sa ich vzájomného usporiadania, sú vyjadrené v axiómach.

A1. Cez ľubovoľné tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke, prechádza rovina a navyše iba jedna. A2. Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.

Komentujte. Ak majú priamka a rovina iba jeden spoločný bod, hovorí sa, že sa pretínajú.

A3. Ak majú dve roviny spoločný bod, potom majú spoločnú priamku, na ktorej ležia všetky spoločné body týchto rovín.

	A a pretínajú sa pozdĺž čiary a.

Dôsledok 1. Cez priamku a bod, ktorý na nej neleží, prechádza rovina a navyše iba jedna. Dôsledok 2. Rovina prechádza dvoma pretínajúcimi sa priamkami a navyše iba jednou.

Vzájomné usporiadanie dvoch línií v priestore

Dve priame čiary dané rovnicami

pretínajú v bode.

Rovnobežnosť priamky a roviny.

Definícia 2.3Čiara a rovina sa nazývajú rovnobežné, ak nemajú spoločné body. Ak je priamka a rovnobežná s rovinou α, napíšte a || a. Veta 2.4 Znak rovnobežnosti priamky a roviny. Ak je priamka mimo roviny rovnobežná s priamkou v rovine, potom je táto priamka rovnobežná aj so samotnou rovinou. Dôkaz Nech b α, a || b a a α (výkres 2.2.1). Dokážeme protirečením. Nech a nie je rovnobežné s α, potom priamka a pretína rovinu α v nejakom bode A. Navyše A b, keďže a || b. Podľa kritéria šikmých čiar sú priamky a a b šikmé. Dostali sme sa do rozporu. Veta 2.5 Ak rovina β prechádza priamkou a rovnobežnou s rovinou α a pretína túto rovinu pozdĺž priamky b, potom b || a. Dôkaz Skutočne, priamky a a b nie sú zošikmené, keďže ležia v rovine β. Navyše tieto čiary nemajú žiadne spoločné body, pretože || a. Definícia 2.4 Priamka b sa niekedy nazýva stopa roviny β na rovine α.

Prekračovanie rovných čiar. Znak pretínajúcich sa čiar

Priamky sa nazývajú pretínajúce sa, ak je splnená nasledujúca podmienka: Ak si predstavíme, že jedna z priamok patrí do ľubovoľnej roviny, potom druhá priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý nepatrí do prvej priamky. Inými slovami, dve čiary v trojrozmernom euklidovskom priestore sa pretínajú, ak neexistuje žiadna rovina, ktorá by ich obsahovala. Jednoducho povedané, dve čiary v priestore, ktoré nemajú spoločné body, ale nie sú rovnobežné.

Veta (1): Ak jedna z dvoch priamok leží v určitej rovine a druhá priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý neleží na prvej priamke, potom sú tieto priamky zošikmené.

Veta (2): Každou z dvoch pretínajúcich sa priamok prechádza rovina rovnobežná s druhou priamkou a navyše len jedna.

Veta (3): Ak sú strany dvoch uhlov vzájomne orientované, potom sú tieto uhly rovnaké.

Paralelnosť čiar. Vlastnosti rovnobežných rovín.

Paralelné (niekedy - rovnoramenné) priame čiary nazývané priame čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a buď sa zhodujú, alebo sa nepretínajú. V niektorých školských definíciách sa zhodné čiary nepovažujú za paralelné; takáto definícia sa tu neuvažuje. Vlastnosti Rovnobežnosť je vzťah binárnej ekvivalencie, preto rozdeľuje celú množinu čiar do tried navzájom rovnobežných čiar. Cez ktorýkoľvek daný bod môže prechádzať práve jedna priamka rovnobežná s daným bodom. Ide o výraznú vlastnosť euklidovskej geometrie, v iných geometriách je číslo 1 nahradené inými (v Lobačevského geometrii sú aspoň dve takéto priamky) 2 rovnobežné priamky v priestore ležia v rovnakej rovine. b Na priesečníku 2 rovnobežných čiar treťou, tzv sekanta: Sečna nevyhnutne pretína obe čiary. Pri krížení sa vytvorí 8 rohov, z ktorých niektoré charakteristické páry majú špeciálne názvy a vlastnosti: Krížové klamstvo uhly sú rovnaké. Príslušný uhly sú rovnaké. Jednostranné súčet uhlov je 180°.

Kolmosť priamky a roviny.

Čiara, ktorá pretína rovinu, sa nazýva kolmý túto rovinu, ak je kolmá na každú priamku, ktorá leží v danej rovine a prechádza priesečníkom.

ZNAK KODLICE ČIARY A ROVINY.

Ak je priamka pretínajúca rovinu kolmá na dve priamky v tejto rovine prechádzajúce priesečníkom danej priamky a roviny, potom je kolmá na rovinu.

1. VLASTNOSŤ KODLICOVÝCH ČIAR A ROVÍN .

Ak je rovina kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.

2. VLASTNOSŤ KODLICOVÝCH ČIAR A ROVÍN .

Dve priamky kolmé na tú istú rovinu sú rovnobežné.

Veta troch kolmíc

Nechaj AB- kolmá na rovinu α, AC- šikmé a c- priamka v rovine α prechádzajúca bodom C a kolmá projekcia BC. Nakreslíme rovnú čiaru CK rovnobežne s priamkou AB. Rovno CK kolmá na rovinu α (pretože je rovnobežná s AB), a teda akákoľvek čiara tejto roviny, CK kolmo na čiaru c AB a CK rovina β (rovnobežné čiary definujú rovinu, a to iba jednu). Rovno c je kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine β, toto BC podľa stavu a CK konštrukciou, čo znamená, že je kolmá na akúkoľvek priamku patriacu do tejto roviny, čo znamená, že je tiež kolmá na priamku AC .

Obráťte vetu o troch kolmých

Ak je priamka vedená v rovine cez základňu naklonenej čiary kolmá na naklonenú čiaru, potom je kolmá aj na jej priemet.

Nechaj AB- kolmý na rovinu a , AC- šikmé a s- priamka v rovine a prechádzajúcej základňou svahu OD. Nakreslíme rovnú čiaru SC, rovnobežne s čiarou AB. Rovno SC kolmo na rovinu a(podľa tejto vety, keďže je paralelná AB), a teda akákoľvek čiara tejto roviny, SC kolmo na čiaru s. Nakreslite rovnobežné čiary AB a SC lietadlo b(rovnobežné čiary definujú rovinu a iba jednu). Rovno s kolmé na dve priamky ležiace v rovine b, toto je AC podľa stavu a SC konštrukciou to znamená, že je kolmá na akúkoľvek priamku patriacu do tejto roviny, čo znamená, že je tiež kolmá na priamku slnko. Inými slovami, projekcia slnko kolmo na čiaru s ležať v lietadle a .

Kolmé a šikmé.

Kolmý, spustený z daného bodu do danej roviny, sa nazýva úsečka spájajúca daný bod s bodom v rovine a ležiaca na priamke kolmej na rovinu. Koniec tohto segmentu, ležiaci v rovine, sa nazýva základňa kolmice .

šikmé, ťahaný z daného bodu do danej roviny, je akýkoľvek segment spájajúci daný bod s bodom v rovine, ktorý nie je kolmý na rovinu. Koniec segmentu, ktorý leží v rovine, sa nazýva základňa nakloneného. Segment spájajúci základne kolmice naklonenej čiary, nakreslený z toho istého bodu, sa nazýva šikmá projekcia .

Definícia 1. Kolmica na danú priamku je úsečka kolmá na danú priamku, ktorá má jeden zo svojich koncov v ich priesečníku. Koniec úsečky, ktorá leží na danej priamke, sa nazýva základňa kolmice.

Definícia 2. Šikmá čiara vedená z daného bodu k danej priamke je úsečka spájajúca daný bod s ľubovoľným bodom na priamke, ktorá nie je základňou kolmice spadnutej z rovnakého bodu na danú priamku. AB - kolmá na rovinu α.

AC - šikmé, CB - projekcia.

C - základňa nakloneného, ​​B - základňa kolmice.

Uhol medzi čiarou a rovinou.

Uhol medzi čiarou a rovinou Akýkoľvek uhol medzi priamkou a jej priemetom do tejto roviny sa nazýva.

Dihedrálny uhol.

Dihedrálny uhol- priestorový geometrický útvar tvorený dvoma polrovinami vychádzajúcimi z jednej priamky, ako aj časť priestoru ohraničená týmito polrovinami. Polovičné roviny sú tzv tváre dihedrálny uhol a ich spoločná priamka - hrana. Dihedrálne uhly sa merajú lineárnym uhlom, to znamená uhlom vytvoreným priesečníkom dihedrálneho uhla s rovinou kolmou na jeho okraj. Každý mnohosten, pravidelný alebo nepravidelný, konvexný alebo konkávny, má na každom okraji uhol vzpriamenia.

Kolmosť dvoch rovín.

ZNAK KOLMOSTI ROVINY.

Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

Dátum publikácie: 2016-03-23

Stručný opis: ...

PRÍKLADY RIEŠENIA ROVNICE POMOCOU NIEKTORÝCH PÔVODNÝCH TECHNIK.

1
. Riešenie iracionálnych rovníc.

1. Substitučná metóda.

1.1.1 Riešte rovnicu .

Všimnite si, že znamienka x pod radikálom sú rôzne. Zavádzame notáciu

, .

potom

Vykonajte sčítanie po členoch oboch častí rovnice.

A máme systém rovníc

Pretože a + b = 4, potom

Z znie: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Odpoveď: x \u003d 1.

1.1.2. Vyriešte rovnicu .

Zavádzame označenie: , ; , .

znamená:

Pridaním členov po členoch na ľavú a pravú stranu rovníc máme .

A máme systém rovníc

a + b = 2, , , ,

Vráťme sa k sústave rovníc:

, .

Po vyriešení rovnice pre (ab) máme ab = 9, ab = -1 (-1 cudzí koreň, pretože , .).

Tento systém nemá žiadne riešenia, čo znamená, že ani pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenia.

1. 1. Vyriešte rovnicu: .

Zavádzame notáciu , kde . Potom, .

, ,

Zvážte tri prípady:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ jeden ; 2). a = 2.

Riešenie: [ 1 ; 2].

Ak , potom , , .

odpoveď: .

1.2. Metóda hodnotenia ľavej a pravej časti (majorantská metóda).

Majorantová metóda je metóda na zistenie ohraničenosti funkcie.

Majorizácia - hľadanie bodov obmedzenia funkcie. M je majorant.

Ak máme f(x) = g(x) a ODZ je známa, a ak

, , potom

1. 1. Vyriešte rovnicu: .

ODZ: .

Zvážte pravú stranu rovnice.

Predstavme si funkciu. Graf je parabola s vrcholom A(3 ; 2).

Najmenšia hodnota funkcie y(3) = 2, t.j.

Zvážte ľavú stranu rovnice.

Predstavme si funkciu. Pomocou derivácie je ľahké nájsť maximum funkcie, ktorá je diferencovateľná na x  (2 ; 4).

O ,

X = 3.

G' + -

2 3 4

g(3) = 2.

Máme .

V dôsledku toho, potom

Zostavme sústavu rovníc na základe vyššie uvedených podmienok:

Pri riešení prvej rovnice sústavy máme x = 3. Dosadením tejto hodnoty do druhej rovnice sa uistíme, že x = 3 je riešením sústavy.

Odpoveď: x = 3.

1.3. Aplikácia monotónnosti funkcie.

1.3.1. Vyriešte rovnicu:

O DZ: , pretože  .

Je známe, že súčet rastúcich funkcií je rastúca funkcia.

Ľavá strana je zvyšujúcou sa funkciou. Pravá strana je lineárna funkcia (k=0). Grafická interpretácia naznačuje, že koreň je jedinečný. Nájdeme to výberom, máme x = 1.

dôkaz:

Predpokladajme, že existuje koreň x 1 väčší ako 1

Pretože x 1 > 1,

.Skonštatujeme, že neexistujú väčšie korene ako jedna.

Podobne sa dá dokázať, že neexistujú korene menšie ako jeden.

Takže x=1 je jediný koreň.

Odpoveď: x = 1.

1.3.2. Vyriešte rovnicu:

O DZ: [ 0,5 ; +), pretože tie. .

Transformujme rovnicu,

Ľavá strana je rastúca funkcia (súčin rastúcich funkcií), pravá strana je lineárna funkcia (k = 0). Geometrický výklad ukazuje, že pôvodná rovnica musí mať jeden koreň, ktorý sa dá nájsť fitovaním, x = 7.

Vyšetrenie:

Dá sa dokázať, že neexistujú žiadne iné korene (pozri príklad vyššie).

Odpoveď: x = 7.

2. Logaritmické rovnice.

1. Metóda odhadu ľavej a pravej časti.

2.1.1. Riešte rovnicu: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Odhadnime ľavú stranu rovnice.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Potom zapíšte 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Odhadnime pravú stranu rovnice.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Pôvodná rovnica môže mať riešenie len vtedy, ak sa obe strany rovnajú štyrom.

Prostriedky

Odpoveď: x = 1.

Na samostatnú prácu.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Odpoveď: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Odpoveď: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Odpoveď: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Odpoveď: x \u003d 3.

2.2. Pomocou monotónnosti funkcie, výber koreňov.

2.2.1. Riešte rovnicu: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Urobme zmenu 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Potom x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, potom

log 2 t = 20 - t .

Funkcia y = log 2 t je rastúca a funkcia y = 20 - t klesajúca. Geometrický výklad nám umožňuje pochopiť, že pôvodná rovnica má jeden koreň, ktorý nie je ťažké nájsť výberom t = 16.

Vyriešením rovnice 2x - x 2 + 15 = 16 zistíme, že x = 1.

Skontrolujte, či je zvolená hodnota správna.

Odpoveď: x = 1.

2.3. Niektoré „zaujímavé“ logaritmické rovnice.

2.3.1. Vyriešte rovnicu .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Prejdime k rovnici

, , ,

Prejdime k ekvivalentnej rovnici

(x – 15) (cos 2 x – 1) = 0,

x - 15 = 0 alebo cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 alebo cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Skontrolujeme nájdené hodnoty ich dosadením do ODZ.

1) ak x = 15 , potom (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 je nesprávne.

x = 15 - nie je koreňom rovnice.

2) ak x = 2  k, k Z, potom (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, všimnite si, že 15  5 . Máme

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, ….

3) ak x =  + 2 l, l Z, potom ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  l< 15,

2 l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Máme: l< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Odpoveď: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, -2, ...).

3. Goniometrické rovnice.

3.1. Metóda odhadu ľavej a pravej časti rovnice.

4.1.1. Vyriešte rovnicu cos3x cos2x = -1.

Prvý spôsob..

0,5 (cos X+ pretože 5 X) = -1, cos X+ pretože 5 X = -2.

Pretože čos X - 1 , čos 5 X - 1, dospejeme k záveru, že cos X+ pretože 5 X> -2, teda

sleduje sústavu rovníc

c os X = -1,

pretože 5 X = - 1.

Riešenie rovnice cos X= -1, dostaneme X=  + 2 k, kde k Z.

Tieto hodnoty X sú tiež riešeniami rovnice cos 5 X= -1, pretože

pretože 5 X= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Touto cestou, X=  + 2 k, kde k Z , sú všetky riešenia systému, a teda pôvodná rovnica.

odpoveď: X=  (2k + 1), k Z.

Druhý spôsob.

Dá sa ukázať, že množina sústav vyplýva z pôvodnej rovnice

pretože 2 X = - 1,

pretože 3 X = 1.

pretože 2 X = 1,

pretože 3 X = - 1.

Pri riešení každého systému rovníc nájdeme spojenie koreňov.

Odpoveď: x = (2  až + 1), k Z.

Na samostatnú prácu.

Riešte rovnice:

3.1.2. 2 čo 3X + 4 sin x/2 = 7. Odpoveď: žiadne riešenia.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Odpoveď: žiadne riešenia.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Odpoveď: x = 2 do, k Z.

3.1.5. hriech x hriech 3 x = -1. Odpoveď: x = /2 +  do, k Z.

3.1.6. cos 8 x + hriech 7 x = 1. Odpoveď: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

1.1 Iracionálne rovnice

S iracionálnymi rovnicami sa často stretávame na prijímacích skúškach z matematiky, pretože s ich pomocou sa ľahko diagnostikujú také pojmy, ako sú ekvivalentné transformácie, doména definície a iné. Metódy riešenia iracionálnych rovníc sú spravidla založené na možnosti nahradiť (pomocou niektorých transformácií) iracionálnu rovnicu racionálnou rovnicou, ktorá je buď ekvivalentná pôvodnej iracionálnej rovnici, alebo je jej dôsledkom. Najčastejšie sú obe strany rovnice umocnené na rovnakú moc. Ekvivalencia nie je narušená, keď sú obe časti umocnené na nepárnu mocninu. V opačnom prípade je potrebné skontrolovať nájdené riešenia alebo odhadnúť znamienko oboch častí rovnice. Existujú však aj iné triky, ktoré môžu byť efektívnejšie pri riešení iracionálnych rovníc. Napríklad trigonometrická substitučná metóda.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu

Odvtedy . Preto možno dať . Rovnica bude mať tvar

Tak dajme kde

.

.

odpoveď: .

Algebraické riešenie

Odvtedy . znamená, , takže modul môžete rozšíriť

.

odpoveď: .

Riešenie rovnice algebraickým spôsobom si vyžaduje dobrú zručnosť pri vykonávaní identických transformácií a kompetentné zaobchádzanie s ekvivalentnými prechodmi. Vo všeobecnosti sú však oba prístupy rovnocenné.

Príklad 2: Vyriešte rovnicu

.

Riešenie pomocou trigonometrickej substitúcie

Oblasť rovnice je daná nerovnicou, ktorá je ekvivalentná podmienke, teda . Preto môžeme dať . Rovnica bude mať tvar

Odvtedy . Otvorme interný modul

Položme , potom

.

Podmienka je splnená dvomi hodnotami a .

.

.

odpoveď: .

Algebraické riešenie

.

Dostaneme druhú mocninu rovnice prvej množiny sústavy

Nechajte teda. Rovnica sa prepíše do tvaru

Kontrolou zistíme, že ide o koreň, potom delením polynómu binomom získame rozklad pravej strany rovnice na faktory

Prejdime od premennej k premennej, dostaneme

.

stave spĺňať dve hodnoty

.

Nahradením týchto hodnôt do pôvodnej rovnice dostaneme, že ide o koreň.

Vyriešením rovnice druhej sústavy pôvodnej populácie podobným spôsobom zistíme, že ide tiež o koreň.

odpoveď: .

Ak v predchádzajúcom príklade boli algebraické riešenie a riešenie pomocou trigonometrickej substitúcie ekvivalentné, potom je v tomto prípade substitučné riešenie výhodnejšie. Pri riešení rovnice pomocou algebry je potrebné vyriešiť množinu dvoch rovníc, teda dvakrát na druhú. Po tejto neekvivalentnej transformácii sa získajú dve rovnice štvrtého stupňa s iracionálnymi koeficientmi, ktorých sa náhrada pomáha zbaviť. Ďalšou ťažkosťou je overenie nájdených riešení dosadením do pôvodnej rovnice.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu

.

Riešenie pomocou trigonometrickej substitúcie

Odvtedy . Všimnite si, že záporná hodnota neznámeho nemôže byť riešením problému. Pôvodnú rovnicu totiž transformujeme do tvaru

.

Faktor v zátvorkách na ľavej strane rovnice je kladný, pravá strana rovnice je tiež kladná, takže faktor na ľavej strane rovnice nemôže byť záporný. To je dôvod, prečo, potom, preto môžete dať Pôvodná rovnica sa prepíše do formulára

Odvtedy , potom a . Rovnica bude mať tvar

Nechajte . Prejdime od rovnice k ekvivalentnej sústave

.

Čísla a sú koreňmi kvadratickej rovnice

.

Algebraické riešenie Odmocnime obe strany rovnice

Predstavujeme náhradu , potom sa rovnica zapíše do tvaru

Druhý koreň je nadbytočný, preto zvážte rovnicu

.

Odvtedy .

V tomto prípade je algebraické riešenie technicky jednoduchšie, ale je potrebné uvažovať s vyššie uvedeným riešením pomocou trigonometrickej substitúcie. Je to spôsobené po prvé neštandardným charakterom samotnej substitúcie, ktorá narúša stereotyp, že použitie trigonometrickej substitúcie je možné len vtedy, keď . Ukazuje sa, že ak nájde uplatnenie aj trigonometrická substitúcia. Po druhé, existuje určitá ťažkosť pri riešení goniometrickej rovnice , ktorý je redukovaný zavedením zmeny do sústavy rovníc. V určitom zmysle možno túto náhradu považovať aj za neštandardnú a oboznámenie sa s ňou vám umožňuje obohatiť arzenál trikov a metód na riešenie goniometrických rovníc.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu

.

Riešenie pomocou trigonometrickej substitúcie

Keďže premenná môže nadobudnúť akúkoľvek skutočnú hodnotu, kladieme . Potom

,

Pretože .

Pôvodná rovnica, berúc do úvahy uskutočnené transformácie, bude mať tvar

Keďže obe strany rovnice delíme , dostaneme

Nechaj , potom . Rovnica bude mať tvar

.

Vzhľadom na nahradenie dostaneme sústavu dvoch rovníc

.

Riešime každú nastavenú rovnicu samostatne.

.

Nemôže to byť sínusová hodnota, ako pre všetky hodnoty argumentu.

.

Pretože a pravá strana pôvodnej rovnice je kladná, potom . Z čoho vyplýva, že .

Táto rovnica nemá korene, pretože .

Pôvodná rovnica má teda jeden koreň

.

Algebraické riešenie

Táto rovnica sa dá jednoducho „premeniť“ na racionálnu rovnicu ôsmeho stupňa pomocou druhej mocniny oboch častí pôvodnej rovnice. Hľadanie koreňov výslednej racionálnej rovnice je náročné a na zvládnutie úlohy je potrebná vysoká miera vynaliezavosti. Preto je vhodné poznať iný spôsob riešenia, menej tradičný. Napríklad náhrada navrhnutá I. F. Sharyginom.

Položme , potom

Transformujme pravú stranu rovnice :

Berúc do úvahy transformácie, rovnicu bude mať formu

.

Potom predstavíme náhradu

.

Druhý koreň je preto nadbytočný a .

Ak myšlienka riešenia rovnice nie je vopred známa , potom riešenie štandardným spôsobom kvadratúrou oboch častí rovnice je problematické, keďže výsledkom je rovnica ôsmeho stupňa, ktorej korene sa hľadajú mimoriadne ťažko. Riešenie pomocou trigonometrickej substitúcie vyzerá ťažkopádne. Môže byť ťažké nájsť korene rovnice, ak si nevšimnete, že sa opakuje. Riešenie tejto rovnice prebieha pomocou aparátu algebry, takže môžeme povedať, že navrhované riešenie je kombinované. V ňom informácie z algebry a trigonometrie spolupracujú na jednom cieli – získať riešenie. Riešenie tejto rovnice si tiež vyžaduje starostlivé zváženie dvoch prípadov. Substitučné riešenie je technicky jednoduchšie a krajšie ako použitie trigonometrickej substitúcie. Je žiaduce, aby žiaci túto substitučnú metódu poznali a aplikovali ju pri riešení úloh.

Zdôrazňujeme, že používanie trigonometrickej substitúcie pri riešení problémov by malo byť vedomé a opodstatnené. Substitúciu je vhodné použiť v prípadoch, keď je riešenie iným spôsobom ťažšie alebo dokonca nemožné. Uveďme ešte jeden príklad, ktorý je na rozdiel od predchádzajúceho jednoduchšie a rýchlejšie riešiteľný štandardným spôsobom.