A tak ďalej, je logické zoznámiť sa s rovnicami iných typov. Ďalšie v poradí sú lineárne rovnice, ktorej cieľavedomé štúdium začína na hodinách algebry v 7. ročníku.

Je jasné, že najprv musíte vysvetliť, čo je lineárna rovnica, uviesť definíciu lineárnej rovnice, jej koeficienty, ukázať jej všeobecný tvar. Potom môžete zistiť, koľko riešení má lineárna rovnica v závislosti od hodnôt koeficientov a od toho, ako sa nachádzajú korene. To vám umožní prejsť k riešeniu príkladov, a tým upevniť študovanú teóriu. V tomto článku to urobíme: podrobne sa budeme zaoberať všetkými teoretickými a praktickými bodmi týkajúcimi sa lineárnych rovníc a ich riešenia.

Povedzme hneď, že tu budeme brať do úvahy iba lineárne rovnice s jednou premennou a v samostatnom článku budeme študovať princípy riešenia lineárne rovnice v dvoch premenných.

Navigácia na stránke.

Čo je lineárna rovnica?

Definícia lineárnej rovnice je daná formou jej zápisu. Navyše v rôznych učebniciach matematiky a algebry majú formulácie definícií lineárnych rovníc určité rozdiely, ktoré neovplyvňujú podstatu problému.

Napríklad v učebnici algebry pre 7. ročník od Yu. N. Makarycheva a ďalších je lineárna rovnica definovaná takto:

Definícia.

Typ rovnice ax=b, kde x je premenná, a a b sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou premennou.

Uveďme príklady lineárnych rovníc zodpovedajúcich znenej definícii. Napríklad 5 x=10 je lineárna rovnica s jednou premennou x, tu je koeficient a 5 a číslo b je 10. Ďalší príklad: −2,3 y=0 je tiež lineárna rovnica, ale s premennou y , kde a=−2,3 a b=0 . A v lineárnych rovniciach x=−2 a −x=3,33 a nie sú explicitne prítomné a sú rovné 1 a −1, zatiaľ čo v prvej rovnici b=−2 av druhej - b=3,33.

A o rok skôr sa v učebnici matematiky od N. Ya.Vilenkina za rovnice s jednou neznámou okrem rovníc tvaru a x = b považovali aj rovnice, ktoré možno do tohto tvaru zredukovať prenesením členov z jedného časť rovnice na inú s opačným znamienkom, ako aj redukciou podobných pojmov. Podľa tejto definície rovnice tvaru 5 x=2 x+6 atď. sú tiež lineárne.

Nasledujúca definícia je uvedená v učebnici algebry pre 7 tried od A. G. Mordkovicha:

Definícia.

Lineárna rovnica s jednou premennou x je rovnica v tvare a x+b=0, kde a a b sú nejaké čísla, nazývané koeficienty lineárnej rovnice.

Napríklad lineárne rovnice tohto druhu sú 2 x - 12 = 0, tu sa koeficient a rovná 2 a b sa rovná -12 a 0,2 y + 4,6 = 0 s koeficientmi a = 0,2 a b = 4,6. Zároveň však existujú príklady lineárnych rovníc, ktoré nemajú tvar a x+b=0, ale ax=b, napríklad 3 x=12.

Aby sme v budúcnosti nemali nezrovnalosti, pod lineárnou rovnicou s jednou premennou x a koeficientmi a a b budeme chápať rovnicu v tvare a x+b=0 . Zdá sa, že tento typ lineárnej rovnice je najoprávnenejší, pretože lineárne rovnice sú algebraické rovnice prvý stupeň. A všetky ostatné vyššie uvedené rovnice, ako aj rovnice, ktoré sú pomocou ekvivalentných transformácií redukované do tvaru a x+b=0, sa budú nazývať rovnice redukujúce na lineárne rovnice. S týmto prístupom je rovnica 2 x + 6 = 0 lineárna rovnica a 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12 atď. sú lineárne rovnice.

Ako riešiť lineárne rovnice?

Teraz je čas zistiť, ako sa riešia lineárne rovnice a x+b=0. Inými slovami, je čas zistiť, či lineárna rovnica má korene, a ak áno, koľko a ako ich nájsť.

Prítomnosť koreňov lineárnej rovnice závisí od hodnôt koeficientov a a b. V tomto prípade má lineárna rovnica a x+b=0

• jediný koreň na a≠0 ,
• nemá korene pre a=0 a b≠0 ,
• má nekonečne veľa koreňov pre a=0 a b=0 , v takom prípade je každé číslo koreňom lineárnej rovnice.

Vysvetlíme, ako sa tieto výsledky dosiahli.

Vieme, že na riešenie rovníc je možné prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentné rovnice, teda na rovnice s rovnakými koreňmi alebo, ako tá pôvodná, bez koreňov. Na tento účel môžete použiť nasledujúce ekvivalentné transformácie:

• prevod člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom,
• a tiež násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom.

Takže v lineárnej rovnici s jednou premennou v tvare a x + b=0 môžeme presunúť člen b z ľavej strany na pravú s opačným znamienkom. V tomto prípade bude mať rovnica tvar a x=−b.

A potom sa navrhne delenie oboch častí rovnice číslom a. Ale je tu jedna vec: číslo a sa môže rovnať nule, v takom prípade je takéto delenie nemožné. Aby sme sa vyrovnali s týmto problémom, najprv budeme predpokladať, že číslo a je iné ako nula, a prípad nuly a zvážime samostatne o niečo neskôr.

Takže, keď sa a nerovná nule, potom môžeme obe časti rovnice a x=−b vydeliť a , potom sa prevedie do tvaru x=(−b): a , tento výsledok možno zapísať pomocou a plná čiara ako .

Pre a≠0 je teda lineárna rovnica a·x+b=0 ekvivalentná rovnici , z ktorej je viditeľný jej koreň.

Je ľahké ukázať, že tento koreň je jedinečný, to znamená, že lineárna rovnica nemá žiadne iné korene. To vám umožní urobiť opačnú metódu.

Označme koreň ako x 1 . Predpokladajme, že existuje ďalší koreň lineárnej rovnice, ktorý označíme x 2, a x 2 ≠ x 1, ktorý v dôsledku definície rovnakých čísel cez rozdiel je ekvivalentná podmienke x 1 − x 2 ≠0 . Keďže x 1 a x 2 sú korene lineárnej rovnice a x+b=0, potom nastávajú číselné rovnosti a x 1 +b=0 a a x 2 +b=0. Zodpovedajúce časti týchto rovníc môžeme odčítať, čo nám vlastnosti číselných rovníc umožňujú, máme a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , odkiaľ a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 a potom a(x1−x2)=0. A táto rovnosť nie je možná, keďže a≠0 aj x 1 − x 2 ≠0. Dostali sme sa teda k rozporu, ktorý dokazuje jedinečnosť koreňa lineárnej rovnice a·x+b=0 pre a≠0 .

Vyriešili sme teda lineárnu rovnicu a x+b=0 s a≠0 . Prvý výsledok uvedený na začiatku tohto pododdielu je opodstatnený. Sú ešte dve, ktoré spĺňajú podmienku a=0 .

Pre a=0 sa lineárna rovnica a·x+b=0 zmení na 0·x+b=0. Z tejto rovnice a vlastnosti násobenia čísel nulou vyplýva, že bez ohľadu na to, aké číslo berieme ako x, keď ho dosadíme do rovnice 0 x+b=0, dostaneme číselnú rovnosť b=0. Táto rovnosť platí, keď b=0, a v ostatných prípadoch, keď b≠0 je táto rovnosť nepravdivá.

Preto s a=0 ab=0 je každé číslo koreňom lineárnej rovnice a x+b=0, keďže za týchto podmienok dosadenie ľubovoľného čísla namiesto x dáva správnu číselnú rovnosť 0=0. A pre a=0 a b≠0 lineárna rovnica a x+b=0 nemá korene, pretože za týchto podmienok dosadenie ľubovoľného čísla namiesto x vedie k nesprávnej číselnej rovnosti b=0.

Vyššie uvedené zdôvodnenia umožňujú vytvoriť postupnosť akcií, ktorá umožňuje vyriešiť akúkoľvek lineárnu rovnicu. takze Algoritmus na riešenie lineárnej rovnice je:

• Najprv napísaním lineárnej rovnice nájdeme hodnoty koeficientov a a b.
• Ak a=0 a b=0, potom táto rovnica má nekonečne veľa koreňov, konkrétne každé číslo je koreňom tejto lineárnej rovnice.
• Ak je a odlišné od nuly, potom
• koeficient b sa prenesie na pravú stranu s opačným znamienkom, pričom lineárna rovnica sa prevedie do tvaru a x=−b ,
• po ktorom sa obe časti výslednej rovnice vydelia nenulovým číslom a, čím sa získa požadovaný koreň pôvodnej lineárnej rovnice.

Napísaný algoritmus je vyčerpávajúcou odpoveďou na otázku, ako riešiť lineárne rovnice.

Na záver tohto odseku je vhodné povedať, že podobný algoritmus sa používa na riešenie rovníc v tvare a x=b. Jeho rozdiel spočíva v tom, že keď a≠0, obe časti rovnice sú okamžite delené týmto číslom, tu b je už v požadovanej časti rovnice a nie je potrebné ho prenášať.

Na riešenie rovníc tvaru a x=b sa používa nasledujúci algoritmus:

• Ak a=0 a b=0 , potom rovnica má nekonečne veľa koreňov, ktorými sú ľubovoľné čísla.
• Ak a=0 a b≠0 , potom pôvodná rovnica nemá korene.
• Ak a je nenulové, potom sa obe strany rovnice delia nenulovým číslom a, z ktorého sa nájde jediný koreň rovnice rovný b / a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc

Prejdime k praxi. Poďme analyzovať, ako sa používa algoritmus na riešenie lineárnych rovníc. Uveďme riešenia typických príkladov zodpovedajúcich rôznym hodnotám koeficientov lineárnych rovníc.

Príklad.

Riešte lineárnu rovnicu 0 x−0=0 .

rozhodnutie.

V tejto lineárnej rovnici a=0 a b=−0 , čo je rovnaké ako b=0 . Preto má táto rovnica nekonečne veľa koreňov, každé číslo je koreňom tejto rovnice.

odpoveď:

x je ľubovoľné číslo.

Príklad.

Má lineárna rovnica 0 x+2,7=0 riešenia?

rozhodnutie.

V tomto prípade sa koeficient a rovná nule a koeficient b tejto lineárnej rovnice sa rovná 2,7, to znamená, že sa líši od nuly. Preto lineárna rovnica nemá korene.

Lineárne rovnice. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice nie sú najťažšou témou školskej matematiky. Existuje však niekoľko trikov, ktoré dokážu zmiasť aj trénovaného študenta. Prídeme na to?)

Lineárna rovnica sa zvyčajne definuje ako rovnica v tvare:

sekera + b = 0 kde a a b- ľubovoľné čísla.

2x + 7 = 0. Tu a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tu a=0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tu a=12, b = 1/2

Nič zložité, však? Najmä ak si nevšimnete slová: "kde a a b sú ľubovoľné čísla"... A ak si všimnete, ale bezstarostne o tom premýšľate?) Koniec koncov, ak a=0, b = 0(sú možné nejaké čísla?), potom dostaneme vtipný výraz:

To však nie je všetko! Ak povedzme a=0, a b=5, z toho vychádza niečo celkom absurdné:

Čo namáha a podkopáva dôveru v matematiku, áno ...) Najmä na skúškach. Ale z týchto zvláštnych výrazov musíte nájsť aj X! Ktorý vôbec neexistuje. A prekvapivo je toto X veľmi ľahké nájsť. Naučíme sa, ako na to. V tejto lekcii.

Ako rozpoznať lineárnu rovnicu vo vzhľade? Záleží na vzhľade.) Trik je v tom, že lineárne rovnice sa nazývajú nielen rovnice tvaru sekera + b = 0 , ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa transformáciou a zjednodušením redukujú do tejto podoby. A ktovie, či je znížená alebo nie?)

V niektorých prípadoch možno jasne rozpoznať lineárnu rovnicu. Povedzme, že ak máme rovnicu, v ktorej sú len neznáme na prvom stupni, áno čísla. A rovnica nie zlomky delené o neznámy , to je dôležité! A rozdelenie podľa číslo, alebo číselný zlomok - to je všetko! Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Sú tu zlomky, ale nie sú x v štvorci, v kocke atď., a v menovateľoch nie sú x, t.j. nie delenie x. A tu je rovnica

nemožno nazvať lineárnym. Tu sú x všetky na prvom stupni, ale je delenie výrazom s x. Po zjednodušeniach a transformáciách môžete získať lineárnu rovnicu a kvadratickú rovnicu a čokoľvek, čo sa vám páči.

Ukazuje sa, že je nemožné nájsť lineárnu rovnicu v nejakom zložitom príklade, kým ju takmer nevyriešite. Je to znepokojujúce. Ale v zadaniach sa spravidla nepýtajú na formu rovnice, však? V úlohách sú rovnice usporiadané rozhodnúť. Toto ma robí šťastným.)

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Celé riešenie lineárnych rovníc pozostáva z identických transformácií rovníc. Mimochodom, tieto transformácie (až dve!) sú základom riešení všetky matematické rovnice. Inými slovami, rozhodnutie akýkoľvek Rovnica začína rovnakými transformáciami. V prípade lineárnych rovníc to (riešenie) na týchto transformáciách končí plnohodnotnou odpoveďou. Dáva zmysel nasledovať odkaz, však?) Okrem toho sú tam aj príklady riešenia lineárnych rovníc.

Začnime s najjednoduchším príkladom. Bez akýchkoľvek nástrah. Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu.

x - 3 = 2 - 4x

Toto je lineárna rovnica. X sú všetky na prvú mocninu, neexistuje žiadne delenie X. Ale v skutočnosti nás nezaujíma, aká je rovnica. Musíme to vyriešiť. Schéma je tu jednoduchá. Pozbierajte všetko s x na ľavej strane rovnice, všetko bez x (čísel) napravo.

Ak to chcete urobiť, musíte preniesť - 4x do lavej strany, so zmenou znamienka samozrejme, ale - 3 - doprava. Mimochodom, toto je prvá identická transformácia rovníc. Prekvapený? Takže nesledovali odkaz, ale márne ...) Dostávame:

x + 4x = 2 + 3

Dávame podobné, zvažujeme:

Čo potrebujeme, aby sme boli úplne šťastní? Áno, takže vľavo je čisté X! Päť sa postaví do cesty. Zbavte sa piatich s druhá identická transformácia rovníc. Totiž obe časti rovnice vydelíme 5. Dostaneme hotovú odpoveď:

Samozrejme elementárny príklad. Toto je na zahriatie.) Nie je celkom jasné, prečo som si tu spomenul na rovnaké premeny? OK Berieme býka za rohy.) Poďme sa rozhodnúť pre niečo pôsobivejšie.

Napríklad tu je táto rovnica:

kde začneme? S X - doľava, bez X - doprava? Môže to tak byť. Malé kroky po dlhej ceste. A môžete okamžite, univerzálnym a výkonným spôsobom. Pokiaľ, samozrejme, vo vašom arzenáli nie sú identické transformácie rovníc.

Položím vám kľúčovú otázku: Čo sa vám na tejto rovnici najviac nepáči?

95 ľudí zo 100 odpovie: zlomky ! Odpoveď je správna. Poďme sa ich teda zbaviť. Začneme teda hneď s druhá identická transformácia. Čím treba vynásobiť zlomok vľavo, aby sa menovateľ úplne zmenšil? Správne, 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje vynásobiť obe strany rovnaké číslo. Ako sa dostaneme von? Vynásobme obe strany 12! Tie. na spoločného menovateľa. Potom sa tri znížia a štyri. Nezabudnite, že každú časť musíte vynásobiť úplne. Prvý krok vyzerá takto:

Rozšírenie zátvoriek:

Poznámka! Čitateľ (x+2) Vzal som v zátvorkách! Pri násobení zlomkov sa totiž čitateľ násobí celkom, úplne! A teraz môžete znížiť zlomky a znížiť:

Otvorenie zostávajúcich zátvoriek:

Nie príklad, ale čisté potešenie!) Teraz si pripomenieme kúzlo z nižších ročníkov: s x - doľava, bez x - doprava! A použite túto transformáciu:

Tu sú niektoré ako:

A obe časti vydelíme 25, t.j. znova použite druhú transformáciu:

To je všetko. odpoveď: X=0,16

Vezmite na vedomie: aby sme dostali pôvodnú mätúcu rovnicu do príjemnej podoby, použili sme dve (iba dve!) identické premeny- preklad zľava doprava so zmenou znamienka a násobením-delenie rovnice rovnakým číslom. Toto je univerzálny spôsob! Budeme pracovať týmto spôsobom akýkoľvek rovnice! Absolútne akékoľvek. Preto tieto identické premeny neustále opakujem.)

Ako vidíte, princíp riešenia lineárnych rovníc je jednoduchý. Zoberieme rovnicu a zjednodušíme ju pomocou identických transformácií, kým nedostaneme odpoveď. Hlavné problémy sú tu vo výpočtoch, a nie v princípe riešenia.

Ale ... V procese riešenia tých najelementárnejších lineárnych rovníc sú také prekvapenia, že môžu priviesť až do silnej strnulosti ...) Našťastie, takéto prekvapenia môžu byť len dve. Nazvime ich špeciálne prípady.

Špeciálne prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Najprv prekvapenie.

Predpokladajme, že narazíte na elementárnu rovnicu, niečo ako:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Mierne znudený presunieme s X doľava, bez X - doprava ... So zmenou znamienka je všetko brada-chinar ... Dostávame:

2x-5x+3x=5-2-3

Veríme, a ... och! Dostaneme:

Táto rovnosť sama osebe nie je sporná. Nula je naozaj nula. Ale X je preč! A do odpovede musíme napísať, čomu sa x rovná. Inak sa riešenie neráta, áno...) Slepá ulička?

Pokojne! V takýchto pochybných prípadoch šetria najvšeobecnejšie pravidlá. Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu? To znamená, nájdite všetky hodnoty x, ktoré nám po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správnu rovnosť.

Ale máme správnu rovnosť už Stalo! 0=0, kde naozaj?! Zostáva zistiť, pri akom x sa to získa. Do akých hodnôt x možno dosadiť počiatočné rovnica, ak sú tieto x stále sa zmenšovať na nulu? Poď?)

Áno!!! Xs môžu byť substituované akýkoľvek!Čo chceš. Aspoň 5, aspoň 0,05, aspoň -220. Stále sa budú zmenšovať. Ak mi neveríte, môžete si to overiť.) Nahraďte ľubovoľné hodnoty x v počiatočné rovnica a výpočet. Po celý čas sa získa čistá pravda: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 atď.

Tu je vaša odpoveď: x je ľubovoľné číslo.

Odpoveď môže byť napísaná rôznymi matematickými symbolmi, podstata sa nemení. Toto je úplne správna a úplná odpoveď.

Prekvapenie druhé.

Zoberme si rovnakú elementárnu lineárnu rovnicu a zmeňme v nej iba jedno číslo. Takto sa rozhodneme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po rovnakých identických transformáciách dostaneme niečo zaujímavé:

Páči sa ti to. Vyriešil som lineárnu rovnicu, dostal zvláštnu rovnosť. Matematicky povedané, máme nesprávna rovnosť. A jednoducho povedané, nie je to pravda. Rave. Ale napriek tomu je tento nezmysel celkom dobrým dôvodom na správne riešenie rovnice.)

Opäť uvažujeme na základe všeobecných pravidiel. Čo nám dá x po dosadení do pôvodnej rovnice správne rovnosť? Áno, žiadne! Také xe neexistujú. Čokoľvek nahradíte, všetko sa zredukuje, zostanú nezmysly.)

Tu je vaša odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Toto je tiež úplne správna odpoveď. V matematike sa takéto odpovede často vyskytujú.

Páči sa ti to. Teraz vás dúfam strata x v procese riešenia akejkoľvek (nielen lineárnej) rovnice nebude vôbec trápiť. Vec je známa.)

Teraz, keď sme sa vysporiadali so všetkými nástrahami lineárnych rovníc, má zmysel ich riešiť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Ministerstvo všeobecného a odborného vzdelávania Ruskej federácie

Mestská vzdelávacia inštitúcia

Gymnázium č.12

písanie

na tému: Rovnice a spôsoby ich riešenia

Ukončené: žiak 10. triedy „A“.

Krutko Evgeny

Skontrolované: učiteľka matematiky Iskhakova Gulsum Akramovna

Ťumen 2001

Plán................................................. ................................................. ........................ jeden

Úvod ................................................. . ................................................. .. ....................... 2

Hlavná časť................................................ ................................................. .............. 3

Záver ................................................. ................................................. ................ 25

Dodatok ................................................ ................................................. ............... 26

Zoznam referencií ................................................ ................................................................... ... 29

Plán.

Úvod.

Odkaz na históriu.

Rovnice. Algebraické rovnice.

a) Základné definície.

b) Lineárna rovnica a ako ju riešiť.

c) Kvadratické rovnice a metódy ich riešenia.

d) Dvojčlenné rovnice, spôsob ich riešenia.

e) Kubické rovnice a metódy ich riešenia.

f) Bikvadratická rovnica a spôsob jej riešenia.

g) Rovnice štvrtého stupňa a metódy na ich riešenie.

g) Rovnice vysokých stupňov a metódy z riešenia.

h) Racionálna algebraická rovnica a jej metóda

i) Iracionálne rovnice a metódy ich riešenia.

j) Rovnice obsahujúce neznáme pod znamienkom.

absolútnu hodnotu a ako ju vyriešiť.

Transcendentálne rovnice.

a) Exponenciálne rovnice a ich riešenie.

b) Logaritmické rovnice a ich riešenie.

Úvod

Matematické vzdelanie získané na všeobecnovzdelávacej škole je základnou súčasťou všeobecného vzdelania a všeobecnej kultúry moderného človeka. Takmer všetko, čo obklopuje moderného človeka, je tak či onak spojené s matematikou. A najnovšie pokroky vo fyzike, inžinierstve a informačných technológiách nenechávajú nikoho na pochybách, že v budúcnosti zostane situácia rovnaká. Preto sa riešenie mnohých praktických problémov redukuje na riešenie rôznych typov rovníc, ktoré sa treba naučiť riešiť.

Táto práca je pokusom o zovšeobecnenie a systematizáciu študovaného materiálu na uvedenú tému. Materiál som usporiadal podľa stupňa jeho zložitosti, počnúc tým najjednoduchším. Zahŕňa tak typy rovníc, ktoré poznáme zo školského kurzu algebry, ako aj ďalší materiál. Zároveň som sa pokúsil ukázať typy rovníc, ktoré sa v školskom kurze neštudujú, ale znalosť ktorých môže byť potrebná pri vstupe na vysokú školu. Vo svojej práci som sa pri riešení rovníc neobmedzoval len na reálne riešenie, ale naznačil som aj komplexné, keďže sa domnievam, že inak sa rovnica jednoducho nerieši. Koniec koncov, ak rovnica nemá skutočné korene, neznamená to, že nemá žiadne riešenia. Žiaľ, pre nedostatok času som nestihol odprezentovať všetok materiál, ktorý mám, ale aj pri materiáli, ktorý je tu prezentovaný, môže vzniknúť veľa otázok. Dúfam, že moje znalosti stačia na zodpovedanie väčšiny otázok. Takže predstavím materiál.

Matematika... odhaľuje poriadok

symetria a istota,

a to sú najdôležitejšie druhy krásy.

Aristoteles.

Odkaz na históriu

V tých vzdialených časoch, keď mudrci prvýkrát začali uvažovať o rovnosti, ktorá obsahovala neznáme množstvá, pravdepodobne ešte neexistovali mince ani peňaženky. Ale na druhej strane boli haldy, ale aj hrnce, košíky, ktoré sa dokonale hodili na úlohu kešiek-obchodov obsahujúcich neznámy počet predmetov. "Hľadáme haldu, ktorá spolu s dvoma tretinami, polovicou a jednou sedminou, je 37 ...", učil egyptský pisár Ahmes v 2. tisícročí pred Kristom. V starovekých matematických úlohách Mezopotámie, Indie, Číny, Grécka neznáme veličiny vyjadrovali počet pávov v záhrade, počet býkov v stáde, súhrn vecí, ktoré sa brali do úvahy pri delení majetku. Pisári, úradníci a kňazi zasvätení do tajných vedomostí, dobre vyškolení v počítaní, sa s takýmito úlohami celkom úspešne vyrovnali.

Zdroje, ktoré sa k nám dostali, naznačujú, že starovekí vedci vlastnili niektoré všeobecné metódy na riešenie problémov s neznámymi množstvami. Avšak ani jeden papyrus, ani jedna hlinená tabuľka neposkytuje popis týchto techník. Autori len občas doplnili svoje numerické výpočty zlými komentármi ako: "Pozri!", "Urob to!", "Našli ste to správne." V tomto zmysle je výnimkou "Aritmetika" gréckeho matematika Diophantusa z Alexandrie (III. storočie) - zbierka úloh na zostavovanie rovníc so systematickou prezentáciou ich riešení.

Dielo bagdadského učenca z 9. storočia sa však stalo prvým manuálom na riešenie problémov, ktorý sa stal všeobecne známym. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Slovo "al-jabr" z arabského názvu tohto pojednania - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Kniha reštaurovania a kontrastu") - sa časom zmenilo na slovo "algebra", ktoré je dobre známe každému, a samotná práca al-Khwarizmiho slúžila ako východiskový bod vo vývoji vedy o riešení rovníc.

rovnice. Algebraické rovnice

Základné definície

V algebre sa berú do úvahy dva typy rovnosti – identity a rovnice.

identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky (prípustné) hodnoty písmen). Napísať identitu spolu so znakom

používa sa aj znak.

Rovnica- toto je rovnosť, ktorá je splnená iba pre niektoré hodnoty písmen, ktoré sú v nej zahrnuté. Písmená zahrnuté v rovnici môžu byť podľa stavu problému nerovnaké: niektoré môžu mať všetky svoje prípustné hodnoty (nazývajú sa parametre alebo koeficienty rovnice a sú zvyčajne označené prvými písmenami latinskej abecedy:

, , ... – alebo rovnaké písmená, opatrené indexmi: , , ... alebo , , ...); iní, ktorých hodnoty treba nájsť, sa nazývajú neznámy(zvyčajne sa označujú poslednými písmenami latinskej abecedy: , , , ... - alebo rovnakými písmenami, opatrené indexmi: , , ... alebo , , ...).

Vo všeobecnosti možno rovnicu zapísať takto:

(, , ..., ).

V závislosti od počtu neznámych sa rovnica nazýva rovnica s jednou, dvoma atď.

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele lekcie:

Návody:

• Zovšeobecniť poznatky o všetkých typoch rovníc, zdôrazniť dôležitosť všetkých metód používaných pri riešení rovníc.
• Aktivizácia práce žiakov prostredníctvom rôznych techník v triede.
• Otestujte si teoretické a praktické zručnosti pri riešení rovníc.
• Poukázať na to, že jedna rovnica sa dá vyriešiť niekoľkými spôsobmi

vyvíja sa:

• Zvýšiť záujem študentov o predmet prostredníctvom využívania IKT.
• Oboznámenie žiakov s historickým materiálom k danej téme.
• Rozvoj duševnej činnosti pri určovaní typu rovnice a spôsobov jej riešenia.

Vzdelávacie:

• Kultivujte disciplínu v triede.
• Rozvoj schopnosti vnímať to krásne, v sebe, v inom človeku a vo svete okolo.

Typ lekcie:

• Lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí.

Typ lekcie:

• Kombinované.

Materiálno-technické vybavenie:

• Počítač
• Obrazovka
• Projektor
• Disk s prezentáciou témy

Metódy a techniky:

• Pomocou prezentácie
• Frontálny rozhovor
• ústna práca
• Herné momenty
• Pracovať v pároch
• Práca s tabuľou
• Práca v zošitoch

Plán lekcie:

1. Organizačný moment (1 minúta)
2. Rozlúštenie témy lekcie (3 minúty)
3. Prezentácia témy a účelu lekcie (1 minúta)
4. Teoretická rozcvička (3 minúty)
5. Historická exkurzia (3 minúty)
6. Hra „Odstráňte prebytok“ (2 minúty)
7. Kreatívna práca (2 minúty)
8. Úloha „Nájdi chybu“ (2 minúty)
9. Riešenie jednej rovnice niekoľkými spôsobmi (na sklíčku) (3 minúty)
10. Riešenie jednej rovnice niekoľkými spôsobmi (na tabuli) (24 minút)
11. Samostatná práca vo dvojiciach s ďalším vysvetlením (5 minút)
12. Individuálna domáca úloha (1 minúta)
13. Výsledok hodiny reflexie (1 minúta)

Epigraf lekcie:

"Učenie môže byť len zábava, ak chcete stráviť vedomosti, musíte ich absorbovať s chuťou."
A. Francúzsko

Zhrnutie lekcie

Organizačná časť

Kontrolujem pripravenosť žiakov na hodinu, známkujem neprítomných na hodine. Chlapci, francúzsky spisovateľ 19. storočia A. France raz poznamenal: „Učenie môže byť len zábava, ak chcete stráviť vedomosti, musíte ich absorbovať s chuťou.“ Držme sa teda rád spisovateľa v našej lekcii a trávme poznatky s veľkou chuťou, pretože sa nám budú hodiť v živote.

Rozlúštenie témy lekcie

Aby sme prešli k náročnejšej úlohe, ponaťahujme si mozog jednoduchými úlohami. Téma našej hodiny je zašifrovaná, riešením ústnych úloh a hľadaním odpovede na ne s vedomím, že každá odpoveď má svoje písmeno, odhalíme tému hodiny. Prezentačná snímka 3

Správa o téme a účele lekcie

Sami ste dnes pomenovali tému hodiny

„Druhy rovníc a spôsoby ich riešenia“. Prezentačná snímka 4

Účel: Zapamätať si a zovšeobecniť všetky typy rovníc a spôsoby ich riešenia. Vyriešte jednu rovnicu všetkými spôsobmi. Prezentačná snímka 5 Prečítajte si Einsteinov výrok Prezentačná snímka 5

Teoretická rozcvička

Otázky Prezentačná snímka 7

Odpovede

1. Rovnosť obsahujúca premennú označenú nejakým písmenom.
2. To znamená nájsť všetky jeho korene, alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú.
3. Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou rovnosťou.
4. Po tejto definícii si prečítajte báseň o rovnici Prezentačná snímka 12,13,14

Odpovede na posledné 2 otázky Prezentačná snímka 9,10,11

Historická odbočka

Historická poznámka o „Kto a kedy vynašiel rovnicu“ Prezentačná snímka 15

Predstavte si, že primitívna matka menom ... ale pravdepodobne ani nemala meno, vybrala zo stromu 12 jabĺk, aby ich dala každému zo svojich 4 detí. Asi nevedela počítať nielen do 12, ale ani do štyroch a určite nevedela deliť 12 4. A jabĺčka rozdelila asi takto: najprv dala každému dieťaťu jablko, potom ďalšie jablko, potom ďalšie samo a potom som videla, že už nie sú žiadne jablká a deti boli šťastné. Ak tieto akcie napíšeme moderným matematickým jazykom, dostaneme x4 = 12, to znamená, že mama vyriešila problém zostavenia rovnice. Zdá sa nemožné odpovedať na vyššie uvedenú otázku. Problémy, ktoré vedú k riešeniu rovníc, riešia ľudia na základe zdravého rozumu už od čias, keď sa stali ľuďmi. Už 3-4 tisíc rokov pred naším letopočtom dokázali Egypťania a Babylončania vyriešiť najjednoduchšie rovnice, ktorých forma a metódy riešenia neboli podobné tým moderným. Gréci zdedili vedomosti Egypťanov a išli ďalej. Najväčší úspech vo vývoji doktríny rovníc dosiahol grécky vedec Diophantus (III. storočie), o ktorom písali:

Vyriešil veľa problémov.
A predpovedané pachy a sprchy.
Skutočne, jeho vedomosti sú úžasné.

Veľký prínos k riešeniu rovníc mal stredoázijský matematik Muhammad al Khorezmi (9. storočie). Jeho slávna kniha al-Khwarizmi je venovaná riešeniu rovníc. Nazýva sa to „Kitab al-jabr wal-muqabala“, t.j. „Kniha dopĺňania a kontrastu“. Táto kniha sa stala známou Európanom a zo slova „al-jabr“ z jej názvu vzniklo slovo „algebra“ – názov jednej z hlavných častí matematiky. V budúcnosti sa veľa matematikov zaoberalo problémami rovníc. Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované do tvaru x2+in=0 sformuloval nemecký matematik Stiefel, ktorý žil v 15. storočí. Po prácach holandského matematika Girarda (XVI. storočie), ako aj Descartesa a Newtona, metóda riešenia získala moderný vzhľad. Vzorce vyjadrujúce závislosť koreňov rovnice od jej koeficientov zaviedol Vieta. François Viet žil v 16. storočí. Veľkou mierou prispel k štúdiu rôznych problémov v matematike a astronómii; najmä zaviedol písmenové označenia koeficientov rovnice. A teraz sa zoznámime so zaujímavou epizódou z jeho života. Viet získal veľkú slávu za kráľa Henricha III., počas francúzsko-španielskej vojny. Španielski inkvizítori vymysleli veľmi zložité tajné písmo, vďaka ktorému si Španieli dopisovali s nepriateľmi Henricha III. aj v samotnom Francúzsku.

Francúzi sa márne pokúšali nájsť kľúč k šifre a potom sa kráľ obrátil na Vietu. Hovorí sa, že Viet našiel kľúč k šifre za dva týždne nepretržitej práce, po ktorej, nečakane pre Španielsko, Francúzsko začalo vyhrávať jednu bitku za druhou. Španieli, ktorí si boli istí, že šifru nie je možné rozlúštiť, obvinili Vietu zo spojenia s diablom a odsúdili ho na upálenie na hranici. Našťastie ho nevydali inkvizícii a do dejín sa zapísal ako skvelý matematik.

Hra „Odstráňte prebytok“

Účel hry orientácia vo forme rovníc.

Máme tri stĺpce rovníc, v každom z nich sú rovnice určené nejakým znakom, ale jeden z nich je nadbytočný, vašou úlohou je nájsť a charakterizovať ho. Prezentačná snímka 16

tvorivá práca

Účel tejto úlohy: Počúvanie s porozumením matematickej reči orientovať deti vo forme rovníc.

Na obrazovke vidíte 9 rovníc. Každá rovnica má svoje číslo, pomenujem typ tejto rovnice a vy musíte nájsť rovnicu tohto typu a zadať iba číslo, pod ktorým stojí, výsledkom je 9-miestne číslo Prezentačná snímka 17

1. Redukovaná kvadratická rovnica.
2. Zlomková racionálna rovnica
3. kubická rovnica
4. logaritmická rovnica
5. Lineárna rovnica
6. Neúplná kvadratická rovnica
7. exponenciálna rovnica
8. iracionálna rovnica
9. goniometrická rovnica

Úloha „Nájdi chybu“

Jeden žiak riešil rovnice, no celá trieda sa smiala, v každej rovnici urobil chybu, vašou úlohou je nájsť ju a opraviť. Prezentačná snímka 18

Riešenie jednej rovnice niekoľkými spôsobmi

A teraz budeme riešiť jednu rovnicu všetkými možnými spôsobmi, aby sme ušetrili čas na hodine, jednu rovnicu na obrazovke. Teraz pomenujete typ tejto rovnice a vysvetlíte, ktorá metóda sa používa na vyriešenie tejto rovnice Prezentačné snímky 19-27

Riešenie jednej rovnice niekoľkými spôsobmi (na tabuli)

Pozreli sme sa na príklad, teraz vyriešme rovnicu pri tabuli všetkými možnými spôsobmi.

X-2 - iracionálna rovnica

Odmocnime obe strany rovnice.

X2 +2x+4x-1-4=0

Túto rovnicu riešime pri tabuli 9 spôsobmi.

Samostatná práca vo dvojiciach, po ktorej nasleduje výklad pri tabuli

A teraz budete pracovať vo dvojiciach, dávam na stôl rovnicu, vašou úlohou je určiť typ rovnice, vymenovať všetky spôsoby riešenia tejto rovnice, vyriešiť 1-2 pre vás najracionálnejšími spôsobmi. (2 minúty)

Úlohy pre prácu vo dvojiciach

Vyriešte rovnicu

Po samostatnej práci vo dvojiciach jeden zástupca ide k tabuli, prezentuje svoju rovnicu, rieši ju jedným spôsobom

Individuálna domáca úloha(rozlíšiteľné)

Vyriešte rovnicu

(určte typ rovnice, vyriešte všetkými prostriedkami na samostatnom hárku)

Zhrnutie lekcie reflexie.

Zhrniem lekciu, upozorním na to, že jedna rovnica sa dá vyriešiť mnohými spôsobmi, dám známky, usúdim, kto bol aktívny a kto by mal byť aktívnejší. Prečítal som si Kalininov výrok Prezentačná snímka 28

Pozorne si pozrite ciele, ktoré sme si stanovili pre dnešnú lekciu:

• Čo si myslíte, že sme dokázali?
• Čo nedopadlo dobre?
• Čo sa vám obzvlášť páčilo a čo ste si zapamätali?
• Dnes som sa dozvedel niečo nové...
• Lekcia mi pomohla...
• Bolo to pre mňa ťažké...
• Užila som si lekciu...

Literatúra.

1. Dorofeev G.V. „Zbierka úloh na vykonanie písomnej skúšky z matematiky pre stredoškolský kurz“ - M .: Drofa, 2006.
2. Garner Martin. Matematické hádanky a zábava.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktické materiály z algebry a začiatky rozboru pre 10. ročník, 11. ročník. M.: Osveta. 2002.