Najprv si pripomeňme definíciu riešenia sústavy rovníc v dvoch premenných.
Definícia 1
Dvojica čísel sa nazýva riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými, ak sa pri ich dosadení do rovnice získa správna rovnosť.
Ďalej budeme uvažovať o sústavách dvoch rovníc s dvoma premennými.
Existovať štyri základné spôsoby riešenia sústav rovníc: substitučná metóda, metóda sčítania, grafická metóda, nová metóda riadenia premenných. Pozrime sa na tieto metódy s konkrétnymi príkladmi. Aby sme opísali princíp použitia prvých troch metód, budeme uvažovať o systéme dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:
Substitučná metóda
Substitučná metóda je nasledovná: vezme sa ktorákoľvek z týchto rovníc a $y$ sa vyjadrí ako $x$, potom sa $y$ dosadí do rovnice systému, odkiaľ sa nájde premenná $x.$. Potom môžeme jednoducho vypočítať premennú $y.$
Príklad 1
Vyjadrime z druhej rovnice $y$ v podmienkach $x$:
Dosaďte v prvej rovnici a nájdite $x$:
\ \ \
Nájsť $y$:
odpoveď: $(-2,\ 3)$
Spôsob pridávania.
Zvážte túto metódu s príkladom:
Príklad 2
\[\vľavo\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \koniec(pole) \vpravo.\]
Vynásobte druhú rovnicu 3, dostaneme:
\[\left\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \koniec(pole) \vpravo.\]
Teraz spočítajme obe rovnice:
\ \ \
Nájdite $y$ z druhej rovnice:
\[-6-y=-9\] \
odpoveď: $(-2,\ 3)$
Poznámka 1
Všimnite si, že pri tejto metóde je potrebné vynásobiť jednu alebo obe rovnice takými číslami, že pri sčítaní jedna z premenných „zmizne“.
Grafický spôsob
Grafická metóda je nasledovná: obe rovnice sústavy sa zobrazia na súradnicovej rovine a nájde sa ich priesečník.
Príklad 3
\[\vľavo\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \koniec(pole) \vpravo.\]
Vyjadrime $y$ z oboch rovníc pomocou $x$:
\[\left\( \begin(pole)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(pole) \right.\]
Nakreslíme oba grafy v rovnakej rovine:
Obrázok 1.
odpoveď: $(-2,\ 3)$
Ako zaviesť nové premenné
Túto metódu zvážime v nasledujúcom príklade:
Príklad 4
\[\left\( \begin(pole)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(pole) \right .\]
Riešenie.
Tento systém je ekvivalentný systému
\[\left\( \begin(pole)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(pole) \ správny.\]
Nech $2^x=u\ (u>0)$ a $3^y=v\ (v>0)$, dostaneme:
\[\left\( \začiatok(pole)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(pole) \vpravo.\]
Výslednú sústavu riešime sčítacou metódou. Pridajme rovnice:
\ \
Potom to dostaneme z druhej rovnice
Keď sa vrátime k nahradeniu, získame nový systém exponenciálnych rovníc:
\[\left\( \začiatok(pole)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(pole) \vpravo.\]
Dostaneme:
\[\left\( \začiatok(pole)(c) (x=0) \\ (y=1) \koniec(pole) \vpravo.\]
Spoľahlivejšia ako grafická metóda diskutovaná v predchádzajúcom odseku.
Substitučná metóda
Túto metódu sme používali v 7. ročníku pri riešení sústav lineárnych rovníc. Algoritmus, ktorý bol vyvinutý v 7. ročníku je celkom vhodný na riešenie sústav dvoch ľubovoľných rovníc (nie nutne lineárnych) s dvoma premennými x a y (samozrejme, premenné možno označovať aj inými písmenami, na čom nezáleží). V skutočnosti sme tento algoritmus použili v predchádzajúcom odseku, keď problém dvojciferného čísla viedol k matematickému modelu, ktorý je sústavou rovníc. Túto sústavu rovníc sme riešili vyššie substitučnou metódou (pozri príklad 1 z § 4).
Algoritmus na použitie substitučnej metódy pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými x, y.
1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.
2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.
3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.
4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku dosaďte postupne každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.
5. Zapíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.
4) Postupne nahraďte každú z nájdených hodnôt y do vzorca x \u003d 5 - Zy. Ak potom 
5) Dvojice (2; 1) a riešenia danej sústavy rovníc.
Odpoveď: (2; 1);
Algebraická metóda sčítania
Túto metódu, podobne ako substitučnú metódu, poznáte z kurzu algebry 7. ročníka, kde sa s ňou riešili sústavy lineárnych rovníc. Pripomíname si podstatu metódy v nasledujúcom príklade.
Príklad 2 Vyriešte sústavu rovníc
Všetky členy prvej rovnice systému vynásobíme 3 a druhú rovnicu necháme nezmenenú: 
Odčítajte druhú rovnicu systému od jeho prvej rovnice:
Výsledkom algebraického sčítania dvoch rovníc pôvodnej sústavy bola rovnica, ktorá je jednoduchšia ako prvá a druhá rovnica danej sústavy. Touto jednoduchšou rovnicou máme právo nahradiť akúkoľvek rovnicu danej sústavy, napríklad tú druhú. Potom bude daný systém rovníc nahradený jednoduchším systémom:
Tento systém je možné riešiť substitučnou metódou. Z druhej rovnice zistíme Dosadením tohto výrazu namiesto y do prvej rovnice systému dostaneme
Zostáva nahradiť nájdené hodnoty x do vzorca
Ak x = 2, potom
Našli sme teda dve riešenia systému: 
Metóda zavádzania nových premenných
S metódou zavádzania novej premennej pri riešení racionálnych rovníc s jednou premennou ste sa zoznámili na kurze algebry 8. ročníka. Podstata tejto metódy riešenia sústav rovníc je rovnaká, ale z technického hľadiska existujú niektoré vlastnosti, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich príkladoch.
Príklad 3 Vyriešte sústavu rovníc
Zaveďme novú premennú Potom môžeme prvú rovnicu systému prepísať do jednoduchšej formy: Vyriešme túto rovnicu vzhľadom na premennú t:
Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálnej rovnice s premennou t. To ale znamená buď odkiaľ zistíme, že x = 2y, alebo
Metódou zavedenia novej premennej sa nám teda podarilo prvú rovnicu systému, ktorá je na pohľad pomerne zložitá, „stratifikovať“ do dvoch jednoduchších rovníc:
x = 2 y; y - 2x.
Čo bude ďalej? A potom sa každá z dvoch získaných jednoduchých rovníc musí postupne zvážiť v systéme s rovnicou x 2 - y 2 \u003d 3, ktorú sme si ešte nepamätali. Inými slovami, problém sa redukuje na riešenie dvoch systémov rovníc:
Je potrebné nájsť riešenia pre prvý systém, druhý systém a zahrnúť všetky výsledné dvojice hodnôt do odpovede. Poďme vyriešiť prvú sústavu rovníc:
Využime substitučnú metódu, najmä keď je tu na to všetko pripravené: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto x výraz 2y. Získajte
Pretože x \u003d 2y, nájdeme x 1 \u003d 2, respektíve x 2 \u003d 2. Získajú sa teda dve riešenia pre daný systém: (2; 1) a (-2; -1). Poďme vyriešiť druhú sústavu rovníc:
Opäť použijeme substitučnú metódu: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto y výraz 2x. Získajte
Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že sústava rovníc nemá riešenia. Do odpovede by teda mali byť zahrnuté len riešenia prvého systému.
Odpoveď: (2; 1); (-2;-1).
Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavedie sa jedna nová premenná a použije sa len v jednej rovnici systému. Presne to sa stalo v príklade 3. Druhá možnosť: zavedú sa dve nové premenné a použijú sa súčasne v oboch rovniciach systému. Bude to tak v príklade 4.
Príklad 4 Vyriešte sústavu rovníc
Predstavme si dve nové premenné:
Potom sa to naučíme
To nám umožní prepísať daný systém v oveľa jednoduchšej forme, ale s ohľadom na nové premenné a a b:
Pretože a \u003d 1, potom z rovnice a + 6 \u003d 2 nájdeme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Pre premenné a a b teda máme jedno riešenie:
Ak sa vrátime k premenným x a y, dostaneme sústavu rovníc
Na vyriešenie tohto systému použijeme metódu algebraického sčítania:
Odvtedy z rovnice 2x + y = 3 zistíme:
Pre premenné x a y teda máme jedno riešenie:
Túto časť ukončíme krátkou, ale dosť serióznou teoretickou diskusiou. Už ste získali nejaké skúsenosti s riešením rôznych rovníc: lineárnych, štvorcových, racionálnych, iracionálnych. Viete, že hlavnou myšlienkou riešenia rovnice je postupný prechod z jednej rovnice na druhú, jednoduchšiu, ale ekvivalentnú danej rovnici. V predchádzajúcej časti sme zaviedli pojem ekvivalencie pre rovnice s dvoma premennými. Tento koncept sa používa aj pre sústavy rovníc.
Definícia.
Dve sústavy rovníc s premennými x a y sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnaké riešenia alebo ak obe sústavy nemajú žiadne riešenia.
Všetky tri metódy (substitúcia, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných), o ktorých sme hovorili v tejto časti, sú z hľadiska ekvivalencie absolútne správne. Inými slovami, pomocou týchto metód nahrádzame jednu sústavu rovníc inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou pôvodnej sústave.
Grafická metóda riešenia sústav rovníc
Už sme sa naučili, ako riešiť sústavy rovníc takými bežnými a spoľahlivými spôsobmi, ako je metóda substitúcie, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných. A teraz si spomeňme na metódu, ktorú ste už študovali v predchádzajúcej lekcii. To znamená, zopakujme si, čo viete o metóde grafického riešenia.
Metóda grafického riešenia sústav rovníc je konštrukcia grafu pre každú z konkrétnych rovníc, ktoré sú zahrnuté v tomto systéme a sú v rovnakej súradnicovej rovine, a tiež tam, kde je potrebné nájsť priesečník bodov týchto grafov. . Na vyriešenie tohto systému rovníc sú súradnice tohto bodu (x; y).
Malo by sa pamätať na to, že je bežné, že grafický systém rovníc má buď jedno správne riešenie, alebo nekonečný počet riešení, alebo nemá riešenia vôbec.
Teraz sa pozrime bližšie na každé z týchto riešení. A tak systém rovníc môže mať jedinečné riešenie, ak sa priamky, ktoré sú grafmi rovníc systému, pretínajú. Ak sú tieto čiary rovnobežné, potom takýto systém rovníc nemá absolútne žiadne riešenia. V prípade zhody priamych grafov rovníc systému potom takýto systém umožňuje nájsť veľa riešení.
Teraz sa pozrime na algoritmus riešenia sústavy dvoch rovníc s 2 neznámymi pomocou grafickej metódy:
Najprv zostavíme graf 1. rovnice;
Druhým krokom bude nakreslenie grafu, ktorý sa týka druhej rovnice;
Po tretie, musíme nájsť priesečníky grafov.
A ako výsledok dostaneme súradnice každého priesečníka, ktorý bude riešením systému rovníc.
Pozrime sa na túto metódu podrobnejšie s príkladom. Dostali sme systém rovníc, ktoré treba vyriešiť:
Riešenie rovníc
1. Najprv zostavíme graf tejto rovnice: x2+y2=9.
Treba však poznamenať, že tento graf rovníc bude kruh so stredom v počiatku a jeho polomer bude rovný trom.
2. Naším ďalším krokom bude zostrojenie rovnice ako: y = x - 3.
V tomto prípade musíme postaviť priamku a nájsť body (0;−3) a (3;0).
3. Pozrime sa, čo máme. Vidíme, že priamka pretína kružnicu v dvoch jej bodoch A a B.
Teraz hľadáme súradnice týchto bodov. Vidíme, že súradnice (3;0) zodpovedajú bodu A a súradnice (0;−3) zodpovedajú bodu B.
A čo získame ako výsledok?
Čísla (3;0) a (0;−3) získané na priesečníku priamky s kružnicou sú presne riešeniami oboch rovníc sústavy. A z toho vyplýva, že tieto čísla sú tiež riešeniami tejto sústavy rovníc.
To znamená, že odpoveďou tohto riešenia sú čísla: (3;0) a (0;−3).
Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli
- zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
- študovať teóriu zvolenej metódy,
- vyriešte svoj systém lineárnych rovníc po podrobnom zvážení riešení typických príkladov a problémov.
Stručný popis materiálu článku.
Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme nejaký zápis.
Ďalej uvažujeme o metódach riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Najprv sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.
Potom prejdeme k riešeniu systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Formulujeme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.
Nezabudnite sa pozastaviť nad štruktúrou všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.
Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sú redukované na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.
Navigácia na stránke.
Definície, pojmy, označenia.
Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n ) tvaru
Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).
Táto forma SLAE sa nazýva koordinovať.
AT matricový formulár tento systém rovníc má tvar,
kde 
- hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.
Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj. 
Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý mení všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.
Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.
Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nezlučiteľné.
Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.
Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule 
, potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.
Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.
Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom budeme takéto SLAE nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.
Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.
Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.
Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.
Potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc 
v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .
Nech je determinant hlavnej matice systému a 
sú determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov: 
Pri takomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as 
. Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.
Príklad.
Cramerova metóda 
.
Riešenie.
Hlavná matica systému má tvar 
. Vypočítajte jej determinant (ak je to potrebné, pozrite si článok): 
Keďže determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.
Zostavte a vypočítajte potrebné determinanty 
(determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ): 
Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov 
:
odpoveď:
Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc systému viac ako tri.
Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).
Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc uvedená v maticovom tvare , kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.
Keďže , potom je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica . Ak obe časti rovnosti vynásobíme vľavo, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.
Príklad.
Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.
Riešenie.
Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru: 
Pretože
potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako 
.
Zostavme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok): 
Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice 
na maticovom stĺpci voľných členov (v prípade potreby pozri článok): 
odpoveď:
alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.
Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.
Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými 
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.
Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnom vylúčení neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc počnúc treťou atď., až kým nebude známa iba neznáma premenná x n zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa vypočíta x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.
Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.
Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar 
kde 
.
K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.
Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku 
Ak to chcete urobiť, pridajte druhú rovnicu vynásobenú k tretej rovnici systému, pridajte druhú vynásobenú k štvrtej rovnici atď., Pridajte druhú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar 
kde 
. Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.
Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr. 
Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu 
Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z rovnice. prvá rovnica.
Príklad.
Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.
Riešenie.
Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom častiam druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené, resp. 
Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej časti pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené: 
Týmto je dopredný kurz Gaussovej metódy dokončený, začíname opačný kurz.
Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3: 
Z druhej rovnice dostaneme .
Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.
odpoveď:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.
Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:
Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a degenerovaná.
Kronecker-Capelliho veta.
Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
pre konzistentnosť sústavy p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n ) je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda Rank( A) = Poradie (T) .
Uvažujme ako príklad aplikáciu Kronecker-Cappelliho vety na určenie kompatibility sústavy lineárnych rovníc.
Príklad.
Zistite, či má sústava lineárnych rovníc 
riešenia.
Riešenie.
. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu 
odlišný od nuly. Poďme na neplnoletých tretieho rádu, ktorí to obklopujú: 
Keďže všetky hraničiace maloleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.
Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice 
sa rovná trom, keďže moll tretieho rádu 
odlišný od nuly.
Touto cestou, Rang(A) , teda podľa Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.
odpoveď:
Neexistuje systém riešenia.
Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.
Ako však nájsť riešenie SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?
Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.
Volá sa vedľajší najvyšší rád matice A okrem nuly základné.
Z definície základu minor vyplýva, že jeho poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných minorov, vždy je jeden základný minor.
Zoberme si napríklad maticu 
.
Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.
Nasledujúce neplnoleté osoby druhého rádu sú základné, pretože sú nenulové 
maloletí 
nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.
Veta o poradí matice.
Ak je poradie matice rádu p x n r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené pomocou zodpovedajúcich prvkov riadkov (a stĺpcov). ), ktoré tvoria základ minor.
Čo nám dáva veta o poradí matice?
Ak sme Kroneckerovou-Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú vedľajšiu hlavnú maticu systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré tvoria zvolenú základnú moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).
Výsledkom je, že po vyradení nadmerných rovníc systému sú možné dva prípady.
Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie môže nájsť Cramerova metóda, maticová metóda alebo Gaussova metóda.
Príklad.
.
Riešenie.
Hodnosť hlavnej matice systému 
sa rovná dvom, keďže moll druhého rádu 
odlišný od nuly. Rozšírená matica hodnosť 
sa tiež rovná dvom, pretože jediný druh z tretieho rádu sa rovná nule 
a minor druhého rádu uvažovaného vyššie je iný ako nula. Na základe Kronecker-Capelliho vety je možné tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2 .
Ako základ minor berieme . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice: 
Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe bázy moll, preto ju zo systému na základe vety o poradí matice vylúčime: 
Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou: 
odpoveď:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom v ľavých častiach rovníc ponecháme členy tvoriace základnú mollovú skupinu a zvyšné členy prenesieme do pravých častí rovníc. systém s opačným znamienkom.
Neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú hlavné.
Volajú sa neznáme premenné (je ich n - r), ktoré skončili na pravej strane zadarmo.
Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo r hlavných neznámych premenných bude vyjadrené pomocou voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.
Vezmime si príklad.
Príklad.
Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc 
.
Riešenie.
Nájdite poradie hlavnej matice systému 
metódou hraničiacich maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulový vedľajší prvok prvého poriadku. Začnime hľadať nenulového neplnoletého druhoradého okolo tohto maloletého: 
Našli sme teda nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu: 
Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Poradie rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.
Ako základný sa bude brať nájdený nenulový vedľajší stupeň tretieho rádu.
Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll: 
Pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, ponecháme na ľavej strane rovníc systému a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu: 
Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 dávame ľubovoľné hodnoty, teda berieme 
, kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade má SLAE formu 
Získanú elementárnu sústavu lineárnych algebraických rovníc riešime Cramerovou metódou: 
V dôsledku toho, .
V odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.
odpoveď:
Kde sú ľubovoľné čísla.
Zhrnúť.
Na vyriešenie systému lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jeho kompatibilitu pomocou Kroneckerovej-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekonzistentný.
Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.
Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.
Ak je poradie základnej menšej ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane rovníc systému ponecháme členy s hlavnými neznámymi premennými, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a priradíme ľubovoľné hodnoty na voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.
Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.
Pomocou Gaussovej metódy je možné riešiť sústavy lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez ich predbežného skúmania kompatibility. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekonzistencii SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.
Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.
Jej podrobný popis a analyzované príklady nájdete v článku Gaussova metóda riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.
Záznam všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základného systému riešení.
V tejto časti sa zameriame na spojené homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.
Poďme sa najskôr zaoberať homogénnymi systémami.
Základný rozhodovací systém Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množinou (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád malej bázy hlavnej matice sústavy.
Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpce matíc rozmeru n o 1 ), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1 , С 2 , …, С (n-r), teda .
Čo znamená všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?
Význam je jednoduchý: vzorec definuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , podľa vzorca my získa jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.
Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme všetky riešenia tohto homogénneho SLAE nastaviť ako .
Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení pre homogénny SLAE.
Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a na pravú stranu rovníc systému prenesieme s opačnými znamienkami všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,…,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. Tak dostaneme X (1) - prvé riešenie fundamentálnej sústavy. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak dáme voľným neznámym premenným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie je možné zapísať do tvaru .
Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované ako
Pozrime sa na príklady.
Príklad.
Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc 
.
Riešenie.
Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime hodnosť hlavnej matice metódou fringing minors. Ako nenulový minor prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú moll druhého rádu: 
Nájde sa minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky: 
Všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice dve. Vezmime si základnú mollovú. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria: 
Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť: 
Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:
Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Aby sme našli X (1), dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc 
.
Systémy rovníc sú široko používané v hospodárskom priemysle pri matematickom modelovaní rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických ciest (problém dopravy) alebo rozmiestnenia zariadení.
Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.
Sústava lineárnych rovníc je označenie pre dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.
Lineárna rovnica
Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.
Typy sústav lineárnych rovníc
Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.
F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.
Vyriešte sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pre ktoré sa systém stáva skutočnou rovnosťou, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty x a y.
Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.
Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.
Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.
Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.
Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.
Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc
Neexistuje žiadny všeobecný analytický spôsob riešenia takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.
Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.
Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. ročníka všeobecnovzdelávacieho školského programu je pomerne jednoduché a je veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussovej a Cramerovej sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.
Riešenie systémov substitučnou metódou
Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice a potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme
Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:
Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.
Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.
Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:
Riešenie pomocou algebraického sčítania
Pri hľadaní riešenia systémov sčítacou metódou sa vykonáva sčítanie po členoch a násobenie rovníc rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica s jednou premennou.
Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.
Algoritmus akcie riešenia:
- Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie sa jeden z koeficientov premennej musí rovnať 1.
- Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
- Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.
Metóda riešenia zavedením novej premennej
Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.
Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.
Z príkladu je vidieť, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú štvorcovú trojčlenku. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.
Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.
Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.
Vizuálna metóda riešenia systémov
Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda spočíva vo vynesení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovú os. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.
Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.
Ako je zrejmé z príkladu, pre každý riadok boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.
Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.
V nasledujúcom príklade je potrebné nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.
Ako vidno z príkladu, sústava nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.
Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.
Matrix a jeho odrody
Matice slúžia na stručný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.
Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je jednostĺpcová matica s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a iných nulových prvkov sa nazýva identita.
Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.
Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu
Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.
Riadok matice sa nazýva nenulový, ak sa aspoň jeden prvok v riadku nerovná nule. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.
Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.
Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.
Možnosti hľadania inverznej matice
Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.
Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.
Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou
Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje znížiť ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.
V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.
Riešenie sústav Gaussovou metódou
Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na nájdenie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.
Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. Algebraickými transformáciami a substitúciami sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.
Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.
V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad gaussovského riešenia opísaný takto:
Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.
Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.
Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je jedným z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať vynaliezavosť detí študujúcich v nadstavbovom študijnom programe na hodinách matematiky a fyziky.
Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:
Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.
Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje vo vykonávaní potrebných algebraických operácií, kým sa nedosiahne výsledok.
V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.
Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať vymenovaním množstva neznámych.
Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.
Materiál tohto článku je určený na prvé zoznámenie sa so sústavami rovníc. Tu uvádzame definíciu sústavy rovníc a jej riešenia a tiež uvažujeme o najbežnejších typoch sústav rovníc. Ako obvykle uvedieme vysvetľujúce príklady.
Navigácia na stránke.
Čo je to sústava rovníc?
Postupne sa priblížime k definícii sústavy rovníc. Po prvé, povedzme, že je vhodné ho uviesť, pričom poukážeme na dva body: po prvé, typ záznamu a po druhé, význam vložený do tohto záznamu. Zastavme sa pri nich postupne a potom zovšeobecnime úvahy na definíciu sústav rovníc.
Nech máme niektoré z nich pred sebou. Vezmime si napríklad dve rovnice 2 x+y=−3 a x=5 . Napíšeme ich jednu pod druhú a spojíme zloženou zátvorkou vľavo:
Záznamy tohto druhu, ktorými je niekoľko rovníc usporiadaných do stĺpca a spojených vľavo zloženými zátvorkami, sú záznamy sústav rovníc.
Čo znamenajú takéto záznamy? Definujú množinu všetkých takých riešení rovníc sústavy, ktoré sú riešením každej rovnice.
Nezaškodí to opísať inými slovami. Predpokladajme, že niektoré riešenia prvej rovnice sú riešeniami všetkých ostatných rovníc systému. Záznam systému ich teda len označuje.
Teraz sme pripravení primerane prijať definíciu sústavy rovníc.
Definícia.
Sústavy rovníc sa nazývajú záznamy, čo sú rovnice umiestnené pod sebou, spojené vľavo zloženou zátvorkou, ktorá označuje množinu všetkých riešení rovníc, ktoré sú súčasne riešením každej rovnice systému.
Podobná definícia je uvedená v učebnici, ale tam nie je uvedená pre všeobecný prípad, ale pre dve racionálne rovnice s dvoma premennými.
Hlavné typy
Je jasné, že existuje nekonečne veľa rôznych rovníc. Prirodzene, existuje tiež nekonečne veľa systémov rovníc zostavených pomocou nich. Preto pre pohodlie pri štúdiu a práci so systémami rovníc má zmysel rozdeliť ich do skupín podľa podobných charakteristík a potom pristúpiť k zvažovaniu systémov rovníc jednotlivých typov.
Prvé delenie sa naznačuje počtom rovníc zahrnutých v systéme. Ak existujú dve rovnice, potom môžeme povedať, že máme systém dvoch rovníc, ak sú tri, potom systém troch rovníc atď. Je jasné, že nemá zmysel hovoriť o systéme jednej rovnice, pretože v tomto prípade máme do činenia so samotnou rovnicou a nie so systémom.
Ďalšie delenie je založené na počte premenných podieľajúcich sa na písaní rovníc systému. Ak existuje jedna premenná, potom máme do činenia so sústavou rovníc s jednou premennou (hovoria aj s jednou neznámou), ak sú dve, potom so sústavou rovníc s dvoma premennými (s dvoma neznámymi) atď. Napríklad, 
je sústava rovníc s dvoma premennými x a y .
To sa týka počtu všetkých rôznych premenných zahrnutých v zázname. V zázname každej rovnice nemusia byť zahrnuté všetky naraz, stačí ich mať aspoň v jednej rovnici. Napríklad, 
je sústava rovníc s tromi premennými x, y a z. V prvej rovnici je premenná x prítomná explicitne, zatiaľ čo y a z sú implicitné (môžeme predpokladať, že tieto premenné majú nulu), a v druhej rovnici sú x a z prítomné a premenná y nie je explicitne znázornená. Inými slovami, prvú rovnicu možno považovať za 
a druhý ako x+0 y−3 z=0.
Tretím bodom, v ktorom sa systémy rovníc líšia, je forma samotných rovníc.
V škole sa začína štúdium sústav rovníc sústavy dvoch lineárnych rovníc v dvoch premenných. To znamená, že takéto systémy tvoria dve lineárne rovnice. Tu je niekoľko príkladov: 
a 
. Na nich sa učia základy práce so sústavami rovníc.
Pri riešení zložitejších úloh sa možno stretnúť aj so sústavami troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.
Ďalej v 9. ročníku sa k sústavám dvoch rovníc s dvoma premennými pridávajú nelineárne rovnice, väčšinou celé rovnice druhého stupňa, menej často - vyšších stupňov. Tieto sústavy sa nazývajú sústavy nelineárnych rovníc, v prípade potreby sa uvádza počet rovníc a neznámych. Ukážme príklady takýchto systémov nelineárnych rovníc: 
a .
A potom v systémoch sú aj napr. Zvyčajne sa nazývajú jednoducho sústavy rovníc bez špecifikácie, ktoré rovnice. Tu stojí za zmienku, že najčastejšie jednoducho hovoria „systém rovníc“ o systéme rovníc a spresnenia sa pridávajú iba v prípade potreby.
Na strednej škole, keď sa látka študuje, iracionálne, trigonometrické, logaritmické a exponenciálne rovnice prenikajú do systémov: 
, 
, 
.
Ak sa pozriete ešte ďalej do programu prvých kurzov univerzít, tak hlavný dôraz je kladený na štúdium a riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE), teda rovníc, v ktorých ľavých častiach sú polynómy tzv. prvý stupeň a vpravo - nejaké čísla. Ale tam, na rozdiel od školy, sa už neberú dve lineárne rovnice s dvoma premennými, ale ľubovoľný počet rovníc s ľubovoľným počtom premenných, ktoré sa často nezhodujú s počtom rovníc.
Aké je riešenie sústavy rovníc?
Pojem „riešenie sústavy rovníc“ priamo odkazuje na sústavy rovníc. Škola dáva definíciu riešenia sústavy rovníc s dvoma premennými :
Definícia.
Riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými nazýva sa dvojica hodnôt týchto premenných, ktorá mení každú rovnicu systému na správnu, inými slovami, ktorá je riešením každej rovnice systému.
Napríklad dvojica premenných hodnôt x=5, y=2 (môže byť napísaná ako (5, 2) ) je podľa definície riešením systému rovníc, pretože rovnice systému, keď x= 5 sa do nich dosadí y=2, premenia sa na skutočné číselné rovnosti 5+2=7 a 5−2=3. Dvojica hodnôt x=3, y=0 však nie je riešením tohto systému, pretože pri dosadení týchto hodnôt do rovníc sa prvá z nich zmení na nesprávnu rovnosť 3+0=7.
Podobné definície možno formulovať pre systémy s jednou premennou, ako aj pre systémy s tromi, štyrmi atď. premenné.
Definícia.
Riešenie sústavy rovníc s jednou premennou bude existovať premenná hodnota, ktorá je koreňom všetkých rovníc systému, to znamená, že zmení všetky rovnice na skutočné číselné rovnosti.
Vezmime si príklad. Uvažujme sústavu rovníc s jednou premennou t tvaru 
. Číslo −2 je jeho riešením, keďže obe (−2) 2 =4 a 5·(−2+2)=0 sú skutočné číselné rovnosti. A t=1 nie je riešením systému, pretože nahradenie tejto hodnoty poskytne dve nesprávne rovnosti 1 2 =4 a 5·(1+2)=0 .
Definícia.
Riešenie systému s tromi, štyrmi atď. premenné nazývaný trojitý, štvornásobný atď. hodnoty premenných, ktoré premieňajú všetky rovnice systému na skutočné rovnosti.
Takže, podľa definície, trojica hodnôt premenných x=1, y=2, z=0 je riešením systému 
, keďže 2 1=2 , 5 2=10 a 1+2+0=3 sú správne číselné rovnosti. A (1, 0, 5) nie je riešením tohto systému, pretože keď sa tieto hodnoty premenných dosadia do rovníc systému, druhá z nich sa zmení na nesprávnu rovnosť 5 0 = 10 a tretia jedna je tiež 1+0+5=3 .
Všimnite si, že sústavy rovníc nemusia mať riešenia, môžu mať konečný počet riešení, napríklad jedno, dve, ..., alebo môžu mať nekonečne veľa riešení. Uvidíte to, keď sa ponoríte hlbšie do témy.
Ak vezmeme do úvahy definície sústavy rovníc a ich riešenia, môžeme dospieť k záveru, že riešenie sústavy rovníc je priesečníkom množín riešení všetkých jej rovníc.
Na záver uvádzame niekoľko súvisiacich definícií:
Definícia.
nezlučiteľné ak nemá žiadne riešenia, inak sa volá systém kĺb.
Definícia.
Sústava rovníc je tzv neistý ak má nekonečne veľa riešení a istý, ak má konečný počet riešení, alebo nemá žiadne.
Tieto pojmy sú zavedené napríklad v učebnici, ale v škole sa používajú zriedka, častejšie ich možno počuť na vysokých školách.
Bibliografia.
- algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Algebra a začiatok rozboru: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- A. G. Kurosh. Kurz vyššej algebry.
- Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometria: Učebnica: Pre vysoké školy. – 5. vyd. – M.: Veda. Fizmatlit, 1999. - 224 s. – (Kurz vyššej matematiky a matematickej fyziky). – ISBN 5-02-015234 – X (vydanie 3)
