Ak sa v médiu šíri súčasne niekoľko vĺn, potom sa kmity častíc média ukážu ako geometrický súčet kmitov, ktoré by častice vykonali počas šírenia každej z vĺn samostatne. V dôsledku toho sa vlny jednoducho prekrývajú bez toho, aby sa navzájom rušili. Toto tvrdenie sa nazýva princíp superpozície vĺn. Princíp superpozície hovorí, že pohyb spôsobený šírením viacerých vĺn naraz je opäť určitý vlnový proces. Takýmto procesom je napríklad zvuk orchestra. Vzniká súčasným budením zvukových vibrácií vzduchu jednotlivými hudobnými nástrojmi. Je pozoruhodné, že pri superponovaní vĺn môžu vzniknúť zvláštne javy. Nazývajú sa efekty sčítania alebo, ako sa hovorí, superpozícia vĺn. Spomedzi týchto efektov sú najdôležitejšie interferencia a difrakcia.

Interferencia je fenoménom časovo trvalého prerozdeľovania energie vibrácií v priestore, v dôsledku čoho sú vibrácie na niektorých miestach zosilnené a na iných zoslabené. K tomuto javu dochádza pri pridávaní vĺn s fázovým rozdielom, ktorý pretrváva v čase, takzvané koherentné vlny. Interferencia veľkého počtu vĺn sa bežne nazýva difrakcia. Medzi interferenciou a difrakciou nie je zásadný rozdiel. Povaha týchto javov je rovnaká. Obmedzíme sa na diskusiu len o jednom veľmi dôležitom interferenčnom efekte, ktorým je tvorba stojatých vĺn.

Nevyhnutnou podmienkou pre vznik stojatých vĺn je prítomnosť hraníc, ktoré odrážajú vlny dopadajúce na ne. Stojaté vlny vznikajú v dôsledku sčítania dopadajúcich a odrazených vĺn. Javy tohto druhu sú celkom bežné. Takže každý tón zvuku akéhokoľvek hudobného nástroja je vzrušený stojatou vlnou. Táto vlna sa tvorí buď v strune (strunové nástroje) alebo v stĺpci vzduchu (dychové nástroje). Reflexnými hranicami sú v týchto prípadoch body uchytenia struny a povrchy vnútorných dutín dychových nástrojov.

Každá stojatá vlna má nasledujúce vlastnosti. Celá oblasť priestoru, v ktorej je vlna excitovaná, môže byť rozdelená na bunky tak, že na hraniciach buniek úplne chýbajú oscilácie. Body nachádzajúce sa na týchto hraniciach sa nazývajú uzly stojatej vlny. Fázy kmitov vo vnútorných bodoch každej bunky sú rovnaké. Oscilácie v susedných bunkách sa uskutočňujú voči sebe navzájom, to znamená v protifáze. V rámci jednej bunky sa amplitúda kmitov mení v priestore a na niektorom mieste dosahuje svoju maximálnu hodnotu. Body, v ktorých sa to pozoruje, sa nazývajú antinody stojatej vlny. Napokon, charakteristickou vlastnosťou stojatých vĺn je diskrétnosť ich frekvenčného spektra. V stojatej vlne môžu nastať kmity len s presne definovanými frekvenciami a prechod z jednej z nich na druhú nastáva skokom.

Uvažujme o jednoduchom príklade stojatej vlny. Predpokladajme, že reťazec obmedzenej dĺžky je natiahnutý pozdĺž osi; jeho konce sú pevne pripevnené a ľavý koniec je v počiatku súradníc. Potom súradnice pravého konca budú . Vybuďme vlnu v strune

,

šíri sa zľava doprava. Vlna sa bude odrážať od pravého konca struny. Predpokladajme, že sa to stane bez straty energie. V tomto prípade bude mať odrazená vlna rovnakú amplitúdu a rovnakú frekvenciu ako dopadajúca vlna. Preto by odrazená vlna mala mať tvar:

Jeho fáza obsahuje konštantu, ktorá určuje fázovú zmenu pri odraze. Keďže k odrazu dochádza na oboch koncoch struny a bez straty energie, budú sa v strune súčasne šíriť vlny rovnakej frekvencie. Preto by pri pridávaní malo dôjsť k rušeniu. Poďme nájsť výslednú vlnu.

Toto je rovnica stojatej vlny. Z toho vyplýva, že v každom bode struny dochádza k vibráciám s frekvenciou. V tomto prípade sa amplitúda kmitov v bode rovná

.

Keďže konce struny sú pevné, nedochádza k vibráciám. Z podmienky vyplýva, že . Takže skončíme s:

.

Teraz je jasné, že v bodoch, kde nie sú žiadne oscilácie. Tieto body sú uzlami stojatej vlny. Na tom istom mieste, kde je amplitúda kmitov maximálna, sa rovná dvojnásobku hodnoty amplitúdy pridaných kmitov. Tieto body sú antinodami stojatej vlny. Vzhľad antinodov a uzlov je práve interferencia: na niektorých miestach sú oscilácie zosilnené, zatiaľ čo na iných miznú. Vzdialenosť medzi susedným uzlom a antinodou sa zistí zo zjavnej podmienky: . Pretože teda. Preto je vzdialenosť medzi susednými uzlami .

Z rovnice stojatej vlny je vidieť, že faktor pri prechode nulou mení znamienko. V súlade s tým sa fáza kmitov na rôznych stranách uzla líši o . To znamená, že body ležiace na opačných stranách uzla oscilujú v protifáze. Všetky body uzavreté medzi dvoma susednými uzlami oscilujú v rovnakej fáze.

Takže pri sčítaní dopadajúcich a odrazených vĺn je skutočne možné získať vzor pohybu vĺn, ktorý bol charakterizovaný skôr. V tomto prípade sú bunky, o ktorých sa hovorilo v jednorozmernom prípade, segmenty uzavreté medzi susednými uzlami a majúce dĺžku .

Nakoniec sa presvedčte, že vlna, ktorú sme uvažovali, môže existovať iba pri presne definovaných frekvenciách kmitov. Využime fakt, že na pravom konci struny nedochádza k vibráciám, teda . Preto sa ukazuje, že. Táto rovnosť je možná, ak , kde je ľubovoľné kladné celé číslo.

6.1 Stojaté vlny v elastickom prostredí

Podľa princípu superpozície, keď sa niekoľko vĺn súčasne šíri v pružnom prostredí, dochádza k ich superpozícii a vlny sa navzájom nerušia: kmity častíc média sú vektorovým súčtom kmitov, ktoré by častice urobili. pri šírení každej z vĺn zvlášť .

Vlny, ktoré vytvárajú oscilácie prostredia, medzi ktorými sú fázové rozdiely konštantné v každom bode priestoru, sa nazývajú koherentný.

Pri pridávaní koherentných vĺn vzniká jav rušenie, ktorá spočíva v tom, že v niektorých bodoch priestoru sa vlny navzájom posilňujú a v iných bodoch oslabujú. Dôležitý prípad interferencie je pozorovaný, keď sú superponované dve protiľahlé rovinné vlny s rovnakou frekvenciou a amplitúdou. Výsledné kmity sa nazývajú stojatá vlna. Najčastejšie stojaté vlny vznikajú pri odraze postupnej vlny od prekážky. V tomto prípade dopadajúca vlna a vlna odrazená smerom k nej, keď sa spočítajú, dávajú stojatú vlnu.

Dostaneme rovnicu stojatej vlny. Zoberme si dve rovinné harmonické vlny šíriace sa k sebe pozdĺž osi X a majú rovnakú frekvenciu a amplitúdu:

kde - fáza kmitov bodov média pri prechode prvej vlny;

- fáza kmitov bodov média pri prechode druhej vlny.

Fázový rozdiel v každom bode na osi X sieť nebude závislá od času, t.j. bude konštantná:

Preto budú obe vlny koherentné.

Oscilácia častíc média vyplývajúca z pridania uvažovaných vĺn bude nasledovná:

Transformujeme súčet kosínusov uhlov podľa pravidla (4.4) a dostaneme:

Preskupením faktorov dostaneme:

Pre zjednodušenie výrazu volíme počiatok tak, aby fázový rozdiel a pôvod času, takže súčet fáz sa rovná nule: .

Potom rovnica pre súčet vĺn bude mať tvar:

Volá sa rovnica (6.6). rovnica stojatej vlny. Z toho je zrejmé, že frekvencia stojatej vlny sa rovná frekvencii postupujúcej vlny a amplitúda, na rozdiel od postupujúcej vlny, závisí od vzdialenosti od začiatku:

. (6.7)

Berúc do úvahy (6.7), rovnica stojatej vlny má tvar:

. (6.8)

Body média teda oscilujú s frekvenciou zhodujúcou sa s frekvenciou postupujúcej vlny a s amplitúdou a, v závislosti od polohy bodu na osi X. Podľa toho sa amplitúda mení podľa kosínusového zákona a má svoje maximá a minimá (obr. 6.1).

Aby sme si znázornili umiestnenie miním a maxím amplitúdy, nahradíme podľa (5.29) vlnové číslo jeho hodnotou:

Potom výraz (6.7) pre amplitúdu nadobúda tvar

(6.10)

Z toho je zrejmé, že amplitúda posunu je maximálna pri , t.j. v bodoch, ktorých súradnice spĺňa podmienku:

, (6.11)

kde

Odtiaľ získame súradnice bodov, kde je amplitúda posunutia maximálna:

; (6.12)

Nazývajú sa body, kde je amplitúda kmitov média maximálna vlnové antinody.

Amplitúda vlny je nulová v bodoch, kde . Súradnice takýchto bodov, tzv vlnové uzly, spĺňa podmienku:

, (6.13)

kde

Z (6.13) je vidieť, že súradnice uzlov majú hodnoty:

, (6.14)

Na obr. 6.2 je približný pohľad na stojaté vlnenie, je vyznačené umiestnenie uzlov a antinodov. Je vidieť, že susedné uzly a antinody posunu sú od seba vzdialené rovnakou vzdialenosťou.

Nájdite vzdialenosť medzi susednými antinodami a uzlami. Z (6.12) získame vzdialenosť medzi antinodami:

(6.15)

Vzdialenosť medzi uzlami sa získa z (6.14):

(6.16)

Zo získaných vzťahov (6.15) a (6.16) je vidieť, že vzdialenosť medzi susednými uzlami, ako aj medzi susednými protiuzlami, je konštantná a rovná; uzly a antinody sú voči sebe posunuté o (obr. 6.3).

Z definície vlnovej dĺžky môžeme napísať výraz pre dĺžku stojatej vlny: rovná sa polovici dĺžky postupujúcej vlny:

Napíšme, berúc do úvahy (6.17), výrazy pre súradnice uzlov a antinodov:

, (6.18)

, (6.19)

Násobič , ktorý určuje amplitúdu stojatej vlny, pri prechode cez nulovú hodnotu mení svoje znamienko, v dôsledku čoho sa fáza kmitov na opačných stranách uzla líši o . V dôsledku toho všetky body ležiace na rôznych stranách uzla oscilujú v protifáze. Všetky body medzi susednými uzlami oscilujú vo fáze.

Uzly podmienečne rozdeľujú médium na autonómne oblasti, v ktorých sa harmonické oscilácie vyskytujú nezávisle. Medzi oblasťami nedochádza k prenosu pohybu, a preto medzi oblasťami nedochádza k toku energie. To znamená, že nedochádza k prenosu porúch pozdĺž osi. Preto sa vlna nazýva stojaca.

Stojatá vlna je teda vytvorená z dvoch opačne smerujúcich postupujúcich vĺn s rovnakými frekvenciami a amplitúdami. Umovove vektory každej z týchto vĺn sú rovnaké v module a v opačnom smere a po sčítaní dávajú nulu. Stojatá vlna teda neprenáša energiu.

6.2 Príklady stojatého vlnenia

6.2.1 Stojatá vlna v strune

Zvážte reťazec dĺžky L, upevnený na oboch koncoch (obr. 6.4).

Osu umiestnime pozdĺž šnúrky X tak, že ľavý koniec reťazca má súradnicu x=0, a právo x=L. V reťazci dochádza k vibráciám opísaným rovnicou:

Zapíšme si okrajové podmienky pre uvažovaný reťazec. Keďže jeho konce sú pevné, potom v bodoch so súradnicami x=0 a x=L bez váhania:

(6.22)

Nájdite rovnicu vibrácií strún na základe zapísaných okrajových podmienok. Napíšeme rovnicu (6.20) pre ľavý koniec reťazca, berúc do úvahy (6.21):

Vzťah (6.23) platí kedykoľvek t v dvoch prípadoch:

1. . To je možné, ak v strune nie sú žiadne vibrácie (). Tento prípad nás nezaujíma a nebudeme sa ním zaoberať.

2. Tu je fáza. Tento prípad nám umožní získať rovnicu pre vibrácie strún.

Dosaďte získanú fázovú hodnotu do okrajovej podmienky (6.22) pre pravý koniec reťazca:

. (6.25)

Vzhľadom na to

, (6.26)

z (6.25) dostaneme:

Opäť vznikajú dva prípady, v ktorých je vzťah (6.27) splnený. Prípad, keď v reťazci nie sú žiadne vibrácie (), nebudeme brať do úvahy.

V druhom prípade musí platiť rovnosť:

a to je možné len vtedy, keď je sínusový argument násobkom celého čísla:

Hodnotu zahodíme, pretože v tomto prípade by to znamenalo buď nulovú dĺžku reťazca ( L = 0) alebo nové číslo vlny k=0. Vzhľadom na súvislosť (6.9) medzi vlnovým číslom a vlnovou dĺžkou je zrejmé, že aby sa vlnové číslo rovnalo nule, musela by byť vlnová dĺžka nekonečná, čo by znamenalo absenciu kmitov.

Z (6.28) je zrejmé, že vlnové číslo počas vibrácií struny upevnenej na oboch koncoch môže nadobúdať iba určité diskrétne hodnoty:

Berúc do úvahy (6.9), píšeme (6.30) ako:

odkiaľ odvodíme výraz pre možné vlnové dĺžky v reťazci:

Inými slovami, po celej dĺžke reťazca L musí byť celé číslo n polovičná vlna:

Zodpovedajúce frekvencie kmitov možno určiť z (5.7):

Tu je fázová rýchlosť vlny, ktorá podľa (5.102) závisí od lineárnej hustoty struny a sily napätia struny:

Dosadením (6.34) do (6.33) dostaneme výraz popisujúci možné frekvencie vibrácií struny:

, (6.36)

Frekvencie sú tzv prirodzené frekvencie struny. frekvencia (kedy n = 1):

(6.37)

volal základná frekvencia(alebo hlavný tón) struny. Frekvencie stanovené pri n>1 volal podtóny alebo harmonické. Harmonické číslo je n-1. Napríklad frekvencia:

zodpovedá prvej harmonickej a frekvencii:

zodpovedá druhej harmonickej atď. Keďže strunu možno reprezentovať ako diskrétny systém s nekonečným počtom stupňov voľnosti, každá harmonická je móda vibrácie strún. Vo všeobecnom prípade sú vibrácie strún superpozíciou režimov.

Každá harmonická má svoju vlnovú dĺžku. Pre hlavný tón (s n= 1) vlnová dĺžka:

pre prvú a druhú harmonickú (at n= 2 a n= 3) vlnové dĺžky budú:

Obrázok 6.5 ukazuje pohľad na niekoľko vibračných režimov vykonávaných strunou.

Struna s pevnými koncami teda realizuje v rámci klasickej fyziky výnimočný prípad - diskrétne spektrum frekvencie kmitov (alebo vlnových dĺžok). Pružná tyč s jedným alebo oboma zovretými koncami sa správa rovnako, ako aj kolísanie vzduchového stĺpca v potrubí, o ktorom bude reč v nasledujúcich častiach.

6.2.2 Vplyv počiatočných podmienok na pohyb

súvislý reťazec. Fourierova analýza

Vibrácie struny s upnutými koncami majú okrem diskrétneho spektra frekvencií vibrácií ešte jednu dôležitú vlastnosť: konkrétna forma vibrácií struny závisí od spôsobu budenia vibrácií, t.j. z počiatočných podmienok. Uvažujme podrobnejšie.

Rovnica (6.20), ktorá popisuje jeden režim stojatého vlnenia v reťazci, je konkrétnym riešením diferenciálnej vlnovej rovnice (5.61). Keďže vibrácia struny pozostáva zo všetkých možných režimov (pre strunu - nekonečné číslo), potom všeobecné riešenie vlnovej rovnice (5.61) pozostáva z nekonečného počtu konkrétnych riešení:

, (6.43)

kde i je číslo režimu oscilácie. Výraz (6.43) je napísaný s ohľadom na to, že konce reťazca sú pevné:

a tiež s prihliadnutím na frekvenčné spojenie i režim a jeho vlnové číslo:

(6.46)

Tu – vlnové číslo i móda;

je vlnové číslo 1. módu;

Nájdite hodnotu počiatočnej fázy pre každý oscilačný režim. Pre toto, v tej dobe t = 0 dajme reťazcu tvar opísaný funkciou f 0 (X), výraz, pre ktorý získame z (6.43):

. (6.47)

Na obr. 6.6 je uvedený príklad tvaru reťazca opísaného mojou funkciou f 0 (X).

V danom čase t = 0 struna je stále v kľude, t.j. rýchlosť všetkých jeho bodov je rovná nule. Z (6.43) nájdeme výraz pre rýchlosť reťazcov:

a dosadením do nej t = 0, získame výraz pre rýchlosť bodov reťazca v počiatočnom časovom okamihu:

. (6.49)

Keďže v počiatočnom okamihu je rýchlosť rovná nule, potom výraz (6.49) bude rovný nule pre všetky body reťazca, ak . Z toho vyplýva, že počiatočná fáza pre všetky režimy je tiež nulová (). S ohľadom na to má výraz (6.43), ktorý popisuje pohyb struny, tvar:

, (6.50)

a výraz (6.47), ktorý popisuje počiatočný tvar reťazca, vyzerá takto:

. (6.51)

Stojatá vlna v reťazci je opísaná funkciou, ktorá je periodická na intervale , kde sa rovná dvom dĺžkam reťazca (obr. 6.7):

Je to vidieť zo skutočnosti, že periodicita na intervale znamená:

teda

čím sa dostávame k vyjadreniu (6.52).

Z matematickej analýzy je známe, že akúkoľvek periodickú funkciu možno s vysokou presnosťou rozšíriť do Fourierovho radu:

, (6.57)

kde , , sú Fourierove koeficienty.

Uvažujme výsledok interferencie dvoch sínusových rovinných vĺn rovnakej amplitúdy a frekvencie šíriacich sa v opačných smeroch. Pre jednoduchosť uvažovania predpokladáme, že rovnice týchto vĺn majú tvar:

To znamená, že na začiatku obe vlny spôsobujú oscilácie v rovnakej fáze. V bode A so súradnicou x je celková hodnota kmitajúcej veličiny podľa princípu superpozície (pozri § 19)

Táto rovnica ukazuje, že v dôsledku interferencie dopredných a spätných vĺn v každom bode média (s pevnou súradnicou) dochádza k harmonickej oscilácii s rovnakou frekvenciou, ale s amplitúdou

v závislosti od hodnoty x-ovej súradnice. V bodoch v médiu, kde nie sú vôbec žiadne vibrácie: tieto body sa nazývajú uzly vibrácií.

V bodoch, kde má amplitúda kmitov najväčšiu hodnotu, sa tieto body nazývajú antinody kmitov. Je ľahké ukázať, že vzdialenosť medzi susednými uzlami alebo susednými antinodami sa rovná vzdialenosti medzi antinodou a najbližším uzlom sa rovná Keď sa x vo vzorci (5.16) zmení o kosínus, obráti sa znamienko (jeho argument sa zmení na napr. ak sa v rámci jednej polvlny - z jedného uzla do druhého - častice média odchýlia jedným smerom, potom v rámci susednej polvlny budú častice média vychýlené opačným smerom.

Vlnový proces v prostredí opísaný vzorcom (5.16) sa nazýva stojaté vlnenie. Graficky môže byť stojatá vlna znázornená, ako je znázornené na obr. 1.61. Predpokladajme, že y má posunutie bodov prostredia z rovnovážneho stavu; potom vzorec (5.16) opisuje "stojatú vlnu posunu". V určitom čase, keď všetky body média majú maximálne posuny, ktorých smer v závislosti od hodnoty súradnice x určuje znamienko.Tieto posuny sú znázornené na obr. 1,61 s plnými šípkami. Po štvrtine obdobia, keď sa posuny všetkých bodov média rovnajú nule; častice média prechádzajú cez vedenie rôznymi rýchlosťami. Po ďalšej štvrtine obdobia, keď častice média budú mať opäť maximálne posuny, ale v opačnom smere; tieto posuny sú zobrazené v

ryža. 1,61 prerušované šípky. Body sú antinody stojatej posunovej vlny; bodové uzly tejto vlny.

Charakteristické znaky stojatej vlny, na rozdiel od konvenčnej šíriacej sa alebo postupujúcej vlny, sú nasledovné (čo znamená rovinné vlny bez útlmu):

1) v stojatej vlne sú amplitúdy kmitov v rôznych častiach systému rôzne; systém má uzly a antinody kmitov. V "cestovnej" vlne sú tieto amplitúdy všade rovnaké;

2) v oblasti systému od jedného uzla k susednému, všetky body média oscilujú v rovnakej fáze; pri prechode do susedného úseku sú fázy kmitov obrátené. V postupujúcej vlne závisia fázy kmitov podľa vzorca (5.2) od súradníc bodov;

3) pri stojatej vlne nedochádza k jednosmernému prenosu energie, ako je to pri postupnej vlne.

Pri popise oscilačných procesov v elastických systémoch možno hodnotu kmitania y brať nielen ako posun alebo rýchlosť častíc systému, ale aj ako hodnotu relatívnej deformácie alebo hodnotu napätia v tlaku, ťahu, príp. šmyk a pod.. Zároveň sa v stojatej vlne v miestach, kde vznikajú antinody rýchlostí častíc, nachádzajú deformačné uzly a naopak, rýchlostné uzly sa zhodujú s deformačnými antinódami. Transformácia energie z kinetickej na potenciálnu a naopak nastáva v rámci úseku systému od antinody k susednému uzlu. Môžeme predpokladať, že každá takáto sekcia si nevymieňa energiu so susednými sekciami. Všimnite si, že k premene kinetickej energie pohybujúcich sa častíc na potenciálnu energiu deformovaných úsekov prostredia dochádza dvakrát v jednej perióde.

Vyššie, vzhľadom na interferenciu priamych a spätných vĺn (pozri výrazy (5.16)), nás pôvod týchto vĺn nezaujímal. Predpokladajme teraz, že médium, v ktorom sa vibrácie šíria, má obmedzené rozmery, napríklad vibrácie sú spôsobené v nejakom pevnom telese - v tyči alebo strune, v stĺpci kvapaliny alebo plynu atď. Vlna šíriaca sa v takomto prostredí ( teleso) , sa odráža od hraníc, preto v rámci objemu tohto telesa neustále dochádza k interferencii vĺn spôsobených vonkajším zdrojom a odrazených od hraníc.

Zvážte najjednoduchší príklad; predpokladajme, že v bode (obr. 1.62) tyče alebo struny je pomocou vonkajšieho sínusového zdroja vybudený kmitavý pohyb s frekvenciou; počiatok časovej referencie volíme tak, že v tomto bode je posun vyjadrený vzorcom

kde amplitúda oscilácie v bode Vlna indukovaná v tyči sa odrazí od druhého konca tyče 0% a pôjde v opačnom smere

smer. Nájdite výsledok interferencie priamych a odrazených vĺn v určitom bode tyče so súradnicou x. Pre jednoduchosť uvažovania predpokladáme, že v tyči nedochádza k absorpcii vibračnej energie, a preto sú amplitúdy priamych a odrazených vĺn rovnaké.

V určitom časovom bode, keď sa posun oscilujúcich častíc v jednom bode rovná y, v inom bode na tyči sa posun spôsobený priamou vlnou bude podľa vlnového vzorca rovnať

Odrazená vlna tiež prechádza rovnakým bodom A. Na nájdenie posunutia spôsobeného v bode A odrazenou vlnou (súčasne je potrebné vypočítať čas, za ktorý bude vlna putovať z bodu a späť do bodu, keďže posun spôsobený v bode odrazenou vlnou bude rovná

V tomto prípade sa predpokladá, že na odrazovom konci tyče v procese odrazu nedochádza k náhlej zmene fázy kmitania; v niektorých prípadoch sa takáto zmena fázy (nazývaná strata fázy) vyskytuje a musí sa vziať do úvahy.

Pridanie vibrácií spôsobených v rôznych bodoch tyče priamymi a odrazenými vlnami dáva stojaté vlnenie; naozaj,

kde je nejaká konštantná fáza nezávislá od súradnice x a množstva

je amplitúda kmitania v bode; závisí od súradnice x, t.j. je na rôznych miestach tyče rozdielna.

Nájdite súradnice tých bodov tyče, v ktorých sa tvoria uzly a antinody stojatej vlny. Kosínus sa zmení na nulu alebo sa jedna objaví pri hodnotách argumentov, ktoré sú násobkami

kde je celé číslo. Pre nepárnu hodnotu tohto čísla kosínus zmizne a vzorec (5.19) udáva súradnice uzlov stojatej vlny; lebo aj my dostaneme súradnice antinodov.

Vyššie boli pridané iba dve vlny: priama prichádzajúca z a odrazená, ktorá sa z nej šíri. Treba však vziať do úvahy, že odrazená vlna na hranici tyče sa opäť odrazí a pôjde v smere priamej vlny. Takéto odrazy

z koncov tyče bude veľa, a preto je potrebné nájsť výsledok interferencie nie dvoch, ale všetkých vĺn súčasne existujúcich v tyči.

Predpokladajme, že vonkajší zdroj vibrácií spôsobil na nejaký čas v tyči vlny, po ktorých sa tok vibračnej energie zvonku zastavil. Počas tejto doby dochádzalo k odrazom v tyči, čo je čas, počas ktorého vlna prechádzala z jedného konca tyče na druhý. V dôsledku toho budú v tyči súčasne existovať vlny pohybujúce sa v doprednom smere a vlny pohybujúce sa v opačnom smere.

Predpokladajme, že v dôsledku interferencie jedného páru vĺn (priamych a odrazených) sa posun v bode A ukázal ako rovný y. Nájdite podmienku, za ktorej všetky posuny y spôsobené každou dvojicou vĺn majú rovnaký smer v bode A tyče, a preto sa sčítajú. Na tento účel sa fázy kmitov spôsobených každým párom vĺn v určitom bode musia líšiť od fázy kmitov spôsobených nasledujúcim párom vĺn. Ale každá vlna sa opäť vráti do bodu A s rovnakým smerom šírenia až po čase, t.j. zaostáva vo fáze vyrovnaním tohto oneskorenia, kde je celé číslo, dostaneme

t.j. po dĺžke tyče sa musí zmestiť celé číslo polvln. Všimnite si, že za tejto podmienky sa fázy všetkých vĺn postupujúcich z dopredného smeru navzájom líšia o kde je celé číslo; presne rovnakým spôsobom sa fázy všetkých vĺn, ktoré idú z opačného smeru, navzájom líšia o . zvýši sa iba amplitúda kmitov. Ak je maximálna amplitúda kmitov pri interferencii dvoch vĺn podľa vzorca (5.18) rovnaká, potom pri interferencii mnohých vĺn bude väčšia. Označme to tak, že rozdelenie amplitúdy kmitania pozdĺž tyče namiesto výrazu (5.18) bude určené vzorcom

Výrazy (5.19) a (5.20) určujú body, v ktorých má kosínus hodnoty alebo 1:

kde je celé číslo Súradnice uzlov stojatej vlny sa získajú z tohto vzorca pre nepárne hodnoty potom v závislosti od dĺžky tyče, t.j. hodnoty

súradnice antiuzlov sa získajú s párnymi hodnotami

Na obr. 1.63 schematicky znázorňuje stojatú vlnu v tyči, ktorej dĺžka; body sú antinody, body sú uzly tejto stojatej vlny.

V kap. ukázalo sa, že pri absencii periodických vonkajších vplyvov je charakter kódovacích pohybov v systéme a predovšetkým hlavná veličina - frekvencia kmitov - určená rozmermi a fyzikálnymi vlastnosťami systému. Každý oscilačný systém má svoj vlastný, inherentný oscilačný pohyb; toto kolísanie možno pozorovať, ak sa systém vyvedie z rovnováhy a potom sa eliminujú vonkajšie vplyvy.

V kap. 4 hodiny som uvažoval prevažne o oscilačných sústavách so sústredenými parametrami, v ktorých niektoré telesá (bod) mali zotrvačnú hmotnosť a iné telesá (pružiny) elastické vlastnosti. Naproti tomu oscilačné systémy, v ktorých je hmotnosť a elasticita vlastné každému elementárnemu objemu, sa nazývajú systémy s distribuovanými parametrami. Patria sem vyššie diskutované tyče, struny, ako aj stĺpce kvapaliny alebo plynu (v dychových hudobných nástrojoch) atď. Pre takéto systémy sú stojaté vlny prirodzenými vibráciami; hlavná charakteristika týchto vĺn - vlnová dĺžka alebo rozloženie uzlov a antinód, ako aj frekvencia kmitov - je určená iba veľkosťou a vlastnosťami systému. Stojaté vlny môžu existovať aj pri absencii externého (periodického) pôsobenia na systém; táto činnosť je potrebná len na vyvolanie alebo udržanie stojatého vlnenia v systéme alebo na zmenu amplitúdy kmitov. Najmä, ak vonkajšie pôsobenie na systém s rozloženými parametrami nastáva s frekvenciou rovnajúcou sa frekvencii jeho vlastných kmitov, t.j. frekvencii stojatého vlnenia, potom nastáva jav rezonancie, ktorý bol uvažovaný v kap. 5. pre rôzne frekvencie je rovnaký.

V systémoch s rozloženými parametrami sa teda prirodzené kmitanie – stojaté vlnenie – vyznačuje celým spektrom frekvencií, ktoré sú navzájom násobkami. Najmenšia z týchto frekvencií zodpovedajúca najdlhšej vlnovej dĺžke sa nazýva základná frekvencia; zvyšok) sú podtóny alebo harmonické.

Každý systém sa vyznačuje nielen prítomnosťou takéhoto spektra kmitov, ale aj určitým rozložením energie medzi kmity rôznych frekvencií. Pri hudobných nástrojoch dáva toto rozloženie zvuku zvláštnu vlastnosť, takzvaný zvukový timbre, ktorý je pre rôzne nástroje odlišný.

Vyššie uvedené výpočty sa týkajú voľne oscilujúcej "tyče dĺžky. Zvyčajne však máme tyče pripevnené na jednom alebo oboch koncoch (napríklad vibrujúce struny), alebo je pozdĺž tyče jeden alebo viac bodov. pohyby sú uzly núteného posunu. Napríklad,

ak je potrebné získať stojaté vlny v tyči v jednom, dvoch, troch upevňovacích bodoch atď., potom tieto body nemožno zvoliť ľubovoľne, ale musia byť umiestnené pozdĺž tyče tak, aby boli v uzloch vytvorenej stojatej vlny . To je znázornené napríklad na obr. 1,64. Na tom istom obrázku bodkovaná čiara znázorňuje posuny hrotov tyče počas vibrácií; na voľných koncoch sú vždy vytvorené vytesňovacie antinody a na pevných koncoch vytesňovacie uzly. Pre oscilujúce vzduchové stĺpy v potrubiach sa uzly posunu (a rýchlosti) získajú na reflexných pevných stenách; na otvorených koncoch rúrok sú vytvorené antinody posunov a rýchlostí.

Ak sa v médiu šíri súčasne niekoľko vĺn, potom sa kmity častíc média ukážu ako geometrický súčet kmitov, ktoré by častice vykonali pri šírení každej z vĺn samostatne. V dôsledku toho sa vlny jednoducho prekrývajú bez toho, aby sa navzájom rušili. Toto tvrdenie sa nazýva princíp superpozície (superpozície) vĺn.

V prípade, že oscilácie spôsobené jednotlivými vlnami v každom z bodov média majú konštantný fázový rozdiel, nazývame vlny koherentné. (Prísnejšia definícia koherencie bude uvedená v § 120.) Pri sčítaní koherentných vĺn vzniká jav interferencie, ktorý spočíva v tom, že kmity v niektorých bodoch zosilňujú, inokedy sa navzájom oslabujú.

Veľmi dôležitý prípad interferencie je pozorovaný, keď sú superponované dve protišíriace sa rovinné vlny s rovnakou amplitúdou. Výsledný oscilačný proces sa nazýva stojaté vlnenie. Prakticky stojaté vlny vznikajú pri odraze vĺn od prekážok. Vlna dopadajúca na bariéru a odrazená vlna smerujúca k nej, navrstvené na seba, vytvárajú stojaté vlnenie.

Napíšme rovnice dvoch rovinných vĺn šíriacich sa pozdĺž osi x v opačných smeroch:

Zložením týchto rovníc a transformáciou výsledku pomocou vzorca pre súčet kosínusov dostaneme

Rovnica (99.1) je rovnica stojatej vlny. Aby sme to zjednodušili, zvolíme počiatok tak, aby sa rozdiel , rovnal nule a počiatok - aby bol súčet nulový. Okrem toho nahradíme vlnové číslo k jeho hodnotou

Potom rovnica (99.1) nadobudne tvar

Z (99.2) je vidieť, že v každom bode stojatej vlny sa vyskytujú oscilácie rovnakej frekvencie ako v protivlnách a amplitúda závisí od x:

amplitúda kmitania dosiahne svoju maximálnu hodnotu. Tieto body sa nazývajú antinody stojatej vlny. Z (99.3) sa získajú hodnoty súradníc antiuzlov:

Treba mať na pamäti, že antinoda nie je jeden bod, ale rovina, ktorej body majú hodnoty súradníc x určené vzorcom (99.4).

V bodoch, ktorých súradnice spĺňajú podmienku

amplitúda kmitov zmizne. Tieto body sa nazývajú uzly stojatej vlny. Body média umiestnené v uzloch nekmitajú. Dôležité sú súradnice uzla

Uzol, podobne ako antinoda, nie je jeden bod, ale rovina, ktorej body majú hodnoty súradníc x určené podľa vzorca (99.5).

Zo vzorcov (99.4) a (99.5) vyplýva, že vzdialenosť medzi susednými protiuzlami, ako aj vzdialenosť medzi susednými uzlami sa rovná . Antinody a uzly sú voči sebe posunuté o štvrtinu vlnovej dĺžky.

Vráťme sa opäť k rovnici (99.2). Násobiteľ zmení znamienko pri prechode cez nulu. V súlade s tým sa fáza kmitov na opačných stranách uzla líši o To znamená, že body ležiace na opačných stranách uzla kmitajú v protifáze. Všetky body uzavreté medzi dvoma susednými uzlami oscilujú vo fáze (t. j. v rovnakej fáze). Na obr. 99.1 je uvedený rad "snímok" odchýlok bodov od rovnovážnej polohy.

Prvá „fotka“ zodpovedá momentu, kedy odchýlky dosiahnu najväčšiu absolútnu hodnotu. Následné „fotky“ sa robili v štvrťperiodických intervaloch. Šípky ukazujú rýchlosti častíc.

Diferenciáciou rovnice (99.2) raz vzhľadom na t a inokedy vzhľadom na x nájdeme výrazy pre rýchlosť častice a pre deformáciu prostredia:

Rovnica (99.6) opisuje stojatú vlnu rýchlosti a (99.7) - stojatú vlnu deformácie.

Na obr. Porovnávajú sa 99,2 "snímky" posunutia, rýchlosti a deformácie pre časové momenty 0 a Z grafov je vidieť, že uzly a protiuzly rýchlosti sa zhodujú s uzlami a protiuzlami posunu; uzly a antinody deformácie sa zhodujú s antinodami a uzlami posunu. Pri dosiahnutí maximálnych hodnôt zaniká a naopak.

V súlade s tým sa energia stojatej vlny dvakrát za periódu premení buď úplne na potenciál, sústredený hlavne v blízkosti uzlov vlny (kde sa nachádzajú antinody deformácie), potom úplne na kinetickú, sústredenú hlavne v blízkosti antinodov vlny. vlna (kde sa nachádzajú antinody rýchlosti). V dôsledku toho dochádza k prenosu energie z každého uzla na antinody priľahlé k nemu a naopak. Časovo spriemerovaný tok energie v ktorejkoľvek časti vlny sa rovná nule.