Rovnica priamky na rovine.

Ako je známe, každý bod v rovine je určený dvoma súradnicami v nejakom súradnicovom systéme. Súradnicové systémy sa môžu líšiť v závislosti od výberu základu a pôvodu.

Definícia. Čiarová rovnica je vzťah y = f(x) medzi súradnicami bodov, ktoré tvoria túto čiaru.

Všimnite si, že priamková rovnica môže byť vyjadrená parametrickým spôsobom, to znamená, že každá súradnica každého bodu je vyjadrená prostredníctvom nejakého nezávislého parametra t.

Typickým príkladom je trajektória pohybujúceho sa bodu. Čas hrá v tomto prípade úlohu parametra.

Rovnica priamky na rovine.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku

Ah + Wu + C = 0,

navyše konštanty A, B sa zároveň nerovnajú nule, t.j. A 2 + B 2  0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.

V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C \u003d 0, A  0, B  0 - čiara prechádza počiatkom

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - čiara je rovnobežná s osou Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - čiara je rovnobežná s osou Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - priamka sa zhoduje s osou Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + By + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1, 2) kolmým na vektor (3, -1).

Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Aby sme našli koeficient C, dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A.

Dostaneme: 3 - 2 + C \u003d 0, teda C \u003d -1.

Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu.

V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:

ak x 1  x 2 a x \u003d x 1, ak x 1 \u003d x 2.

Zlomok
=k sa volá faktor sklonu rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky bodom a sklonom.

Ak všeobecná rovnica priamky Ax + Vy + C = 0 vedie k tvaru:

a určiť
, potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.

Rovnica priamky na bode a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať priradenie priamky cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor ( 1 ,  2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A 1 + B 2 = 0 sa nazýva smerovací vektor priamky.

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádza cez bod A(1, 2).

Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:

1A + (-1)B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0 alebo x + y + C/A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme С/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C 0, potom po delení –C dostaneme:
alebo

, kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnica priesečníka priamky s osou x a b- súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C \u003d 1,
a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ax + Wy + C = 0 delené číslom
, ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme

xcos + ysin - p = 0 –

normálna rovnica priamky.

Znamienko  normalizačného faktora treba zvoliť tak, aby С< 0.

p je dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke a  je uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Ox.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x - 5y - 65 = 0. Pre túto priamku je potrebné napísať rôzne typy rovníc.

rovnica tejto priamky v segmentoch:

rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)

normálna rovnica priamky:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu priamky, ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm2.

Rovnica priamky má tvar:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -štyri.

a = -4 nevyhovuje podmienke problému.

Celkom:
alebo x + y - 4 = 0.

Príklad. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (-2, -3) a počiatok.

Rovnica priamky má tvar:
, kde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Uhol medzi čiarami v rovine.

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

.

Dve priamky sú rovnobežné, ak k 1 = k 2 .

Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/k 2 .

Veta. Priamky Ax + Vy + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú paralelné, keď sú koeficienty A proporcionálne 1 =  A, B 1 =  B. Ak aj C 1 =  C, potom sa čiary zhodujú.

Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom

kolmo na túto čiaru.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y \u003d kx + b je reprezentovaná rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak bod M(x 0 , r 0 ), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C = 0 definovaná ako

.

Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.

Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

.

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tg =
;  = /4.

Príklad. Ukážte, že čiary 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.

Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, preto sú čiary kolmé.

Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.

Nájdeme rovnicu strany AB:
; 4x = 6r - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.

k = . Potom y =
. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu:
odkiaľ b = 17. Celkom:
.

Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.

Analytická geometria v priestore.

Čiarová rovnica v priestore.

Rovnica priamky v priestore bodom a

smerový vektor.

Vezmite ľubovoľnú čiaru a vektor (m, n, p) rovnobežne s danou čiarou. Vektor volal vodiaci vektor rovno.

Zoberme si dva ľubovoľné body M 0 (x 0, y 0, z 0) a M(x, y, z) na priamke.

z

M1

Označme vektory polomerov týchto bodov ako a , to je jasné - =
.

Pretože vektory
a sú kolineárne, potom je vzťah pravdivý
= t, kde t je nejaký parameter.

Celkovo môžeme napísať: = + t.

Pretože táto rovnica je splnená súradnicami ľubovoľného bodu na priamke, potom je výsledná rovnica parametrická rovnica priamky.

Táto vektorová rovnica môže byť reprezentovaná v súradnicovom tvare:

Transformáciou tohto systému a porovnaním hodnôt parametra t získame kanonické rovnice priamky v priestore:

.

Definícia. Smerové kosínusy priame sú smerové kosínusy vektora , ktoré možno vypočítať podľa vzorcov:

;

.

Odtiaľto dostaneme: m: n: p = cos : cos : cos.

Nazývajú sa čísla m, n, p faktory sklonu rovno. Pretože je nenulový vektor, m, n a p nemôžu byť súčasne nula, ale jedno alebo dve z týchto čísel môžu byť nula. V tomto prípade by sa v rovnici priamky mali zodpovedajúce čitateľa rovnať nule.

Rovnica priamky pri prechode priestorom

cez dva body.

Ak sú dva ľubovoľné body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2) vyznačené na priamke v priestore, potom súradnice týchto bodov musia spĺňať rovnicu priamka získaná vyššie:

.

Okrem toho pre bod M 1 môžeme napísať:

.

Spoločným riešením týchto rovníc dostaneme:

.

Toto je rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi v priestore.

Všeobecné rovnice priamky v priestore.

Rovnicu priamky možno považovať za rovnicu priesečníka dvoch rovín.

Ako je uvedené vyššie, rovina vo vektorovom tvare môže byť daná rovnicou:

+ D = 0, kde

- rovina normálna; - vektor polomeru ľubovoľného bodu roviny.

Lekcia zo série "Geometrické algoritmy"

Dobrý deň, milý čitateľ!

Dnes sa začneme učiť algoritmy súvisiace s geometriou. Faktom je, že v počítačovej vede existuje veľa olympijských problémov súvisiacich s výpočtovou geometriou a riešenie takýchto problémov často spôsobuje ťažkosti.

V niekoľkých lekciách sa budeme zaoberať niekoľkými základnými podproblémami, na ktorých je založené riešenie väčšiny problémov výpočtovej geometrie.

V tejto lekcii napíšeme program pre nájdenie rovnice priamky prechádzajúci daným dve bodky. Na riešenie geometrických problémov potrebujeme určité znalosti z výpočtovej geometrie. Časť hodiny budeme venovať ich spoznávaniu.

Informácie z výpočtovej geometrie

Výpočtová geometria je oblasť počítačovej vedy, ktorá študuje algoritmy na riešenie geometrických problémov.

Počiatočnými údajmi pre takéto problémy môže byť množina bodov v rovine, množina segmentov, mnohouholník (daný napríklad zoznamom jeho vrcholov v smere hodinových ručičiek) atď.

Výsledkom môže byť buď odpoveď na nejakú otázku (napríklad patrí bod do úsečky, či sa dva úsečky pretínajú, ...), alebo nejaký geometrický objekt (napríklad najmenší konvexný mnohouholník spájajúci dané body, plocha mnohouholník atď.).

Problémy výpočtovej geometrie budeme uvažovať iba v rovine a iba v karteziánskom súradnicovom systéme.

Vektory a súradnice

Na uplatnenie metód výpočtovej geometrie je potrebné preložiť geometrické obrázky do reči čísel. Predpokladáme, že na rovine je daný kartézsky súradnicový systém, v ktorom sa smer otáčania proti smeru hodinových ručičiek nazýva kladný.

Geometrické objekty teraz dostávajú analytický výraz. Na určenie bodu teda stačí zadať jeho súradnice: dvojicu čísel (x; y). Segment je možné určiť zadaním súradníc jeho koncov, priamku je možné určiť zadaním súradníc dvojice jeho bodov.

Ale hlavným nástrojom na riešenie problémov budú vektory. Pripomeniem vám preto niekoľko informácií o nich.

Segment čiary AB, čo má pointu ALE za začiatok (bod aplikácie) a bod AT- koniec sa nazýva vektor AB a označené buď , alebo napríklad tučným malým písmenom a .

Na označenie dĺžky vektora (teda dĺžky zodpovedajúceho segmentu) použijeme symbol modulu (napríklad ).

Ľubovoľný vektor bude mať súradnice rovné rozdielu medzi zodpovedajúcimi súradnicami jeho konca a začiatku:

,

bodky tu A a B mať súradnice resp.

Na výpočty použijeme koncept orientovaný uhol, teda uhol, ktorý zohľadňuje vzájomnú polohu vektorov.

Orientovaný uhol medzi vektormi a a b kladné, ak je rotácia preč od vektora a do vektora b sa vykonáva v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) a zápornom v druhom prípade. Pozri obr.1a, obr.1b. Hovorí sa tiež, že dvojica vektorov a a b pozitívne (negatívne) orientované.

Hodnota orientovaného uhla teda závisí od poradia enumerácie vektorov a môže nadobúdať hodnoty v intervale.

Mnoho problémov výpočtovej geometrie používa koncept vektorových (skosených alebo pseudoskalárnych) súčinov vektorov.

Vektorový súčin vektorov a a b je súčinom dĺžok týchto vektorov a sínusu uhla medzi nimi:

.

Vektorový súčin vektorov v súradniciach:

Výraz vpravo je determinant druhého rádu:

Na rozdiel od definície uvedenej v analytickej geometrii ide o skalár.

Znamienko krížového súčinu určuje vzájomnú polohu vektorov:

a a b pozitívne orientovaný.

Ak je hodnota , potom pár vektorov a a b negatívne orientované.

Krížový súčin nenulových vektorov je nula vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne ( ). To znamená, že ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach.

Uvažujme o niekoľkých jednoduchých úlohách potrebných na riešenie zložitejších.

Definujme rovnicu priamky súradnicami dvoch bodov.

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva rôzne body dané ich súradnicami.

Nech sú na priamke uvedené dva nezhodné body: so súradnicami (x1;y1) a so súradnicami (x2; y2). Podľa toho má vektor so začiatkom v bode a koncom v bode súradnice (x2-x1, y2-y1). Ak je P(x, y) ľubovoľný bod na našej priamke, súradnice vektora sú (x-x1, y - y1).

Pomocou krížového súčinu možno podmienku kolinearity vektorov zapísať takto:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Poslednú rovnicu prepíšeme takto:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Takže priamka môže byť daná rovnicou v tvare (1).

Úloha 1. Sú uvedené súradnice dvoch bodov. Nájdite jeho vyjadrenie v tvare ax + by + c = 0.

V tejto lekcii sme sa oboznámili s niektorými informáciami z výpočtovej geometrie. Vyriešili sme úlohu hľadania rovnice priamky súradnicami dvoch bodov.

V ďalšej lekcii napíšeme program na nájdenie priesečníka dvoch priamok daných našimi rovnicami.

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.

Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.

Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• priame čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok- algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku

Ah + Wu + C = 0,

a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B a OD Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť reprezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C

do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M2 (x 2, y 2, z 2), potom priamka rovnica,

prechádza cez tieto body:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Na

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky bodom a sklonom.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky na bode a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:

alebo , kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s nápravou oh, a b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom , ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,

a φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x – 5r – 65 = 0. Vyžaduje sa písanie rôznych typov rovníc

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi čiarami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

ak k 1 \u003d -1 / k 2 .

Veta.

Priamy Ah + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom je kolmá na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo

daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Kanonické rovnice priamky v priestore sú rovnice, ktoré definujú priamku prechádzajúcu daným bodom kolineárne k smerovému vektoru.

Nech je daný bod a smerový vektor. Ľubovoľný bod leží na priamke l iba ak sú vektory a kolineárne, t. j. spĺňajú podmienku:

.

Vyššie uvedené rovnice sú kanonické rovnice priamky.

čísla m , n a p sú projekcie smerového vektora na súradnicové osi. Keďže vektor je nenulový, potom všetky čísla m , n a p nemôže byť zároveň nula. Ale jeden alebo dva z nich môžu byť nula. V analytickej geometrii je napríklad povolený nasledujúci zápis:

,

čo znamená, že projekcie vektora na os Oj a Oz sa rovnajú nule. Preto vektor aj priamka daná kanonickými rovnicami sú kolmé na osi Oj a Oz, teda lietadlá yOz .

Príklad 1 Zostavte rovnice priamky v priestore kolmom na rovinu a prechádza cez priesečník tejto roviny s osou Oz .

Riešenie. Nájdite priesečník danej roviny s osou Oz. Od akéhokoľvek bodu na osi Oz, má súradnice , teda za predpokladu, že v danej rovnici roviny x=y= 0, dostaneme 4 z- 8 = 0 alebo z= 2. Teda priesečník danej roviny s osou Oz má súradnice (0; 0; 2) . Pretože je požadovaná čiara kolmá na rovinu, je rovnobežná s jej normálovým vektorom. Preto môže normálový vektor slúžiť ako smerovací vektor priamky danej rovine.

Teraz napíšeme požadované rovnice priamky prechádzajúcej bodom A= (0; 0; 2) v smere vektora:

Rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body

Priamka môže byť definovaná dvoma bodmi, ktoré na nej ležia a V tomto prípade môže byť smerovým vektorom priamky vektor . Potom nadobudnú tvar kanonické rovnice priamky

.

Vyššie uvedené rovnice definujú priamku prechádzajúcu cez dva dané body.

Príklad 2 Napíšte rovnicu priamky v priestore prechádzajúcej bodmi a .

Riešenie. Požadované rovnice priamky zapíšeme vo forme uvedenej vyššie v teoretickom odkaze:

.

Od , potom je požadovaná čiara kolmá na os Oj .

Priama ako priesečník rovín

Priamku v priestore možno definovať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín, t.j. ako množinu bodov, ktoré spĺňajú systém dvoch lineárnych rovníc.

Rovnice sústavy sa nazývajú aj všeobecné rovnice priamky v priestore.

Príklad 3 Skladať kanonické rovnice priamky v priestore danom všeobecnými rovnicami

Riešenie. Ak chcete napísať kanonické rovnice priamky alebo, čo je to isté, rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body, musíte nájsť súradnice ľubovoľných dvoch bodov na priamke. Môžu to byť napríklad priesečníky priamky s akýmikoľvek dvomi súradnicovými rovinami yOz a xOz .

Priesečník priamky s rovinou yOz má abscisu X= 0. Preto za predpokladu, že v tomto systéme rovníc X= 0, dostaneme systém s dvoma premennými:

Jej rozhodnutie r = 2 , z= 6 spolu s X= 0 definuje bod A(0; 2; 6) požadovaného riadku. Za predpokladu, že potom v danej sústave rovníc r= 0, dostaneme systém

Jej rozhodnutie X = -2 , z= 0 spolu s r= 0 definuje bod B(-2; 0; 0) priesečník priamky s rovinou xOz .

Teraz napíšeme rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :

,

alebo po vydelení menovateľov -2:

,

Tento článok pokračuje v téme rovnice priamky v rovine: zvážte taký typ rovnice ako všeobecnú rovnicu priamky. Definujme vetu a dajme jej dôkaz; Poďme zistiť, čo je neúplná všeobecná rovnica priamky a ako urobiť prechody zo všeobecnej rovnice na iné typy rovníc priamky. Celú teóriu si upevníme ilustráciami a riešením praktických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém O x y.

Veta 1

Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má tvar A x + B y + C \u003d 0, kde A, B, C sú nejaké reálne čísla (A a B sa súčasne nerovnajú nule), definuje priamku v pravouhlý súradnicový systém v rovine. Na druhej strane je každá čiara v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine určená rovnicou, ktorá má tvar A x + B y + C = 0 pre určitú množinu hodnôt A, B, C.

Dôkaz

Táto veta pozostáva z dvoch bodov, každý z nich dokážeme.

1. Dokážme, že rovnica A x + B y + C = 0 definuje priamku v rovine.

Nech existuje nejaký bod M 0 (x 0 , y 0), ktorého súradnice zodpovedajú rovnici A x + B y + C = 0 . Teda: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítaním od ľavej a pravej strany rovníc A x + B y + C \u003d 0 ľavú a pravú stranu rovnice A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 dostaneme novú rovnicu, ktorá vyzerá ako A (x - x 0) + B (y - y0) = 0. Je ekvivalentné A x + B y + C = 0.

Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre kolmosť vektorov n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x). 0, y - y 0 ). Množina bodov M (x, y) teda definuje v pravouhlom súradnicovom systéme priamku kolmú na smer vektora n → = (A, B) . Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom by vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) neboli kolmé a rovnosť A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 by nebolo pravdivé.

Preto rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definuje určitú čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, a preto ekvivalentnú rovnicu A x + B y + C \u003d 0 definuje rovnakú čiaru. Tým sme dokázali prvú časť vety.

1. Dokážme, že ľubovoľnú priamku v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine možno dať rovnicou prvého stupňa A x + B y + C = 0 .

Postavme priamku a v pravouhlom súradnicovom systéme na rovinu; bod M 0 (x 0, y 0), ktorým táto priamka prechádza, ako aj normálový vektor tejto priamky n → = (A , B) .

Nech existuje aj nejaký bod M (x , y) - plávajúca bodka priamky. V tomto prípade sú vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) navzájom kolmé a ich skalárny súčin je nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepíšme rovnicu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definujme C: C = - A x 0 - B y 0 a nakoniec získame rovnicu A x + B y + C = 0 .

Takže sme dokázali druhú časť vety a dokázali sme celú vetu ako celok.

Definícia 1

Rovnica, ktorá vyzerá Ax + By + C = 0 - toto je všeobecná rovnica priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systémeO x y .

Na základe dokázanej vety môžeme konštatovať, že priamka vedená v rovine v pevnom pravouhlom súradnicovom systéme a jej všeobecná rovnica sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, pôvodný riadok zodpovedá jeho všeobecnej rovnici; všeobecná rovnica priamky zodpovedá danej priamke.

Z dôkazu vety tiež vyplýva, že koeficienty A a B pre premenné x a y sú súradnice normálového vektora priamky, ktorý je daný všeobecnou rovnicou priamky A x + B y + C = 0.

Zvážte konkrétny príklad všeobecnej rovnice priamky.

Nech je daná rovnica 2 x + 3 y - 2 = 0, ktorá zodpovedá priamke v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Normálny vektor tejto čiary je vektor n → = (2, 3) Nakreslite na výkres danú priamku.

Tvrdiť možno aj toto: priamka, ktorú vidíme na výkrese, je určená všeobecnou rovnicou 2 x + 3 y - 2 = 0, keďže tejto rovnici zodpovedajú súradnice všetkých bodov danej priamky.

Rovnicu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dostaneme vynásobením oboch strán všeobecnej rovnice priamky nenulovým číslom λ. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, preto bude opisovať rovnakú priamku v rovine.

Definícia 2

Kompletná všeobecná rovnica priamky- taká všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, v ktorej sú čísla A, B, C nenulové. Inak platí rovnica neúplné.

Analyzujme všetky variácie neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

1. Keď A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica sa zmení na By + C \u003d 0. Takáto neúplná všeobecná rovnica definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme O x y, ktorá je rovnobežná s osou O x, pretože pre akúkoľvek reálnu hodnotu x nadobudne premenná y hodnotu - C B . Inými slovami, všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, keď A \u003d 0, B ≠ 0, definuje polohu bodov (x, y), ktorých súradnice sa rovnajú rovnakému číslu. - C B .
2. Ak A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, všeobecná rovnica bude y \u003d 0. Takáto neúplná rovnica definuje os x Ox.
3. Keď A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnú všeobecnú rovnicu A x + C \u003d 0, ktorá definuje priamku rovnobežnú s osou y.
4. Nech A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, potom neúplná všeobecná rovnica bude mať tvar x \u003d 0 a toto je rovnica súradnicovej čiary Oy.
5. Nakoniec, keď A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, neúplná všeobecná rovnica má tvar A x + B y \u003d 0. A táto rovnica opisuje priamku, ktorá prechádza počiatkom. Dvojica čísel (0 , 0) totiž zodpovedá rovnosti A x + B y = 0 , keďže A · 0 + B · 0 = 0 .

Poďme si graficky znázorniť všetky vyššie uvedené typy neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

Príklad 1

Je známe, že daná priamka je rovnobežná s osou y a prechádza bodom 2 7 , - 11 . Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu danej priamky.

Riešenie

Priamka rovnobežná s osou y je daná rovnicou tvaru A x + C \u003d 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienka určuje aj súradnice bodu, ktorým úsečka prechádza a súradnice tohto bodu zodpovedajú podmienkam neúplnej všeobecnej rovnice A x + C = 0, t.j. rovnosť je správna:

A27 + C = 0

Z nej je možné určiť C tak, že A dáme nejakú nenulovú hodnotu, napríklad A = 7 . V tomto prípade dostaneme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Poznáme oba koeficienty A a C, dosadíme ich do rovnice A x + C = 0 a dostaneme požadovanú rovnicu priamky: 7 x - 2 = 0

odpoveď: 7 x - 2 = 0

Príklad 2

Na výkrese je znázornená priamka, je potrebné zapísať jej rovnicu.

Riešenie

Daný výkres nám umožňuje jednoducho zobrať počiatočné údaje na riešenie problému. Na výkrese vidíme, že daná čiara je rovnobežná s osou O x a prechádza bodom (0, 3).

Priamka, ktorá je rovnobežná s úsečkou, je určená neúplnou všeobecnou rovnicou B y + С = 0. Nájdite hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), keďže ním prechádza daná priamka, budú spĺňať rovnicu priamky B y + С = 0, potom platí rovnosť: В · 3 + С = 0. Nastavme B na inú hodnotu ako nulu. Povedzme B \u003d 1, v tomto prípade z rovnosti B · 3 + C \u003d 0 nájdeme C: C \u003d - 3. Pomocou známych hodnôt B a C získame požadovanú rovnicu priamky: y - 3 = 0.

odpoveď: y-3 = 0.

Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom roviny

Danú priamku necháme prechádzať bodom M 0 (x 0, y 0), potom jej súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici priamky, t.j. platí rovnosť: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítajte ľavú a pravú stranu tejto rovnice od ľavej a pravej strany všeobecnej úplnej rovnice priamky. Dostaneme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, prechádza bodom M 0 (x 0, y 0) a má normálny vektor n → \u003d (A, B) .

Výsledok, ktorý sme získali, umožňuje napísať všeobecnú rovnicu priamky so známymi súradnicami normálového vektora priamky a súradnicami určitého bodu tejto priamky.

Príklad 3

Daný je bod M 0 (- 3, 4), cez ktorý priamka prechádza, a normálový vektor tejto priamky n → = (1, - 2) . Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje na zostavenie rovnice: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. potom:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problém sa dal vyriešiť inak. Všeobecná rovnica priamky má tvar A x + B y + C = 0 . Daný normálny vektor vám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B, potom:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Teraz nájdime hodnotu C pomocou bodu M 0 (- 3, 4) daného podmienkou úlohy, ktorým čiara prechádza. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 · y + C = 0, t.j. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Preto C = 11. Požadovaná priamka rovnica má tvar: x - 2 · y + 11 = 0 .

odpoveď: x - 2 y + 11 = 0.

Príklad 4

Je daná priamka 2 3 x - y - 1 2 = 0 a bod M 0 ležiaci na tejto priamke. Známa je iba úsečka tohto bodu a rovná sa - 3. Je potrebné určiť ordinátu daného bodu.

Riešenie

Označme súradnice bodu M 0 ako x 0 a y 0 . Počiatočné údaje naznačujú, že x 0 \u003d - 3. Keďže bod patrí k danej priamke, potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici tejto priamky. Potom bude platiť nasledujúca rovnosť:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definujte y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odpoveď: - 5 2

Prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovníc priamky a naopak

Ako vieme, existuje niekoľko typov rovnice tej istej priamky v rovine. Voľba typu rovnice závisí od podmienok problému; je možné si vybrať ten, ktorý je pre jeho riešenie pohodlnejší. Tu je veľmi užitočná zručnosť previesť rovnicu jedného druhu na rovnicu iného druhu.

Najprv zvážte prechod od všeobecnej rovnice tvaru A x + B y + C = 0 ku kanonickej rovnici x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ak A ≠ 0, potom člen B y prenesieme na pravú stranu všeobecnej rovnice. Na ľavej strane vyberieme A zo zátvoriek. V dôsledku toho dostaneme: A x + C A = - B y .

Túto rovnosť môžeme zapísať ako podiel: x + C A - B = y A .

Ak B ≠ 0, ponecháme iba člen A x na ľavej strane všeobecnej rovnice, ostatné prenesieme na pravú stranu, dostaneme: A x \u003d - B y - C. Vyberieme - B zo zátvoriek, potom: A x \u003d - B y + C B.

Prepíšme rovnosť ako podiel: x - B = y + C B A .

Samozrejme, výsledné vzorce sa netreba učiť naspamäť. Stačí poznať algoritmus akcií pri prechode zo všeobecnej rovnice na kanonickú.

Príklad 5

Je daná všeobecná rovnica priamky 3 y - 4 = 0. Je potrebné ho previesť na kanonickú rovnicu.

Riešenie

Pôvodnú rovnicu zapíšeme ako 3 y - 4 = 0 . Ďalej konáme podľa algoritmu: člen 0 x zostáva na ľavej strane; a na pravej strane vyberieme - 3 zo zátvoriek; dostaneme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Výslednú rovnosť zapíšme ako podiel: x - 3 = y - 4 3 0 . Takto sme dostali rovnicu kanonického tvaru.

Odpoveď: x - 3 = y - 4 3 0.

Na transformáciu všeobecnej rovnice priamky na parametrické sa najskôr vykoná prechod na kanonickú formu a potom prechod z kanonickej rovnice priamky na parametrické rovnice.

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou 2 x - 5 y - 1 = 0 . Zapíšte si parametrické rovnice tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:

2 x - 5 rokov - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 r + 1 ⇔ 2 x = 5 r + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Teraz zoberme obe časti výslednej kanonickej rovnice rovné λ, potom:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odpoveď:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Všeobecnú rovnicu možno previesť na rovnicu priamky so sklonom y \u003d k x + b, ale iba vtedy, keď B ≠ 0. Pre prechod na ľavej strane necháme výraz B y , zvyšok sa prenesie na pravú. Dostaneme: B y = - A x - C . Vydeľme obe časti výslednej rovnosti B , ktorá je odlišná od nuly: y = - A B x - C B .

Príklad 7

Všeobecná rovnica priamky je daná: 2 x + 7 y = 0 . Túto rovnicu musíte previesť na rovnicu sklonu.

Riešenie

Vykonajte potrebné akcie podľa algoritmu:

2 x + 7 rokov = 0 ⇔ 7 rokov - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odpoveď: y = -27 x.

Zo všeobecnej rovnice priamky stačí jednoducho získať rovnicu v segmentoch tvaru x a + y b \u003d 1. Aby sme urobili takýto prechod, prenesieme číslo C na pravú stranu rovnosti, obe časti výslednej rovnosti vydelíme - С a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Príklad 8

Je potrebné previesť všeobecnú rovnicu priamky x - 7 y + 1 2 = 0 na rovnicu priamky v segmentoch.

Riešenie

Presuňme 1 2 na pravú stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Vydeľte -1/2 obe strany rovnice: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odpoveď: x-12 + y114 = 1.

Vo všeobecnosti je spätný prechod tiež jednoduchý: od iných typov rovníc k všeobecnému.

Rovnicu priamky v segmentoch a rovnicu so sklonom možno ľahko previesť na všeobecnú jednoduchým zhromaždením všetkých výrazov na ľavej strane rovnice:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonická rovnica sa prevedie na všeobecnú podľa nasledujúcej schémy:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ak chcete prejsť z parametrického, najprv sa vykoná prechod na kanonický a potom na všeobecný:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Príklad 9

Sú uvedené parametrické rovnice priamky x = - 1 + 2 · λ y = 4. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod z parametrických rovníc na kanonické:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Prejdime od kanonického k všeobecnému:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odpoveď: y-4 = 0

Príklad 10

Je uvedená rovnica priamky v segmentoch x 3 + y 1 2 = 1. Je potrebné vykonať prechod na všeobecnú formu rovnice.

Riešenie:

Prepíšme rovnicu do požadovaného tvaru:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odpoveď: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Zostavenie všeobecnej rovnice priamky

Vyššie sme si povedali, že všeobecnú rovnicu možno napísať so známymi súradnicami normálového vektora a súradnicami bodu, ktorým priamka prechádza. Takáto priamka je definovaná rovnicou A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Na tom istom mieste sme analyzovali zodpovedajúci príklad.

Teraz sa pozrime na zložitejšie príklady, v ktorých je najprv potrebné určiť súradnice normálového vektora.

Príklad 11

Daná je priamka rovnobežná s priamkou 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Známy je aj bod M 0 (4 , 1), ktorým daná priamka prechádza. Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám hovoria, že priamky sú rovnobežné, potom ako normálový vektor priamky, ktorej rovnicu treba napísať, vezmeme smerovací vektor priamky n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Teraz poznáme všetky potrebné údaje na zostavenie všeobecnej rovnice priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Príklad 12

Daná priamka prechádza počiatkom kolmo na priamku x - 2 3 = y + 4 5 . Je potrebné napísať všeobecnú rovnicu danej priamky.

Riešenie

Normálový vektor danej priamky bude smerovací vektor priamky x - 2 3 = y + 4 5 .

Potom n → = (3 , 5) . Priamka prechádza počiatkom, t.j. cez bod O (0, 0) . Zostavme všeobecnú rovnicu danej priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpoveď: 3 x + 5 y = 0 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter