Očakávaná hodnota. matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná X, ktorý nadobúda konečný počet hodnôt Xi s pravdepodobnosťami Ri, sa nazýva súčet:

matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X sa nazýva integrál súčinu jeho hodnôt X na hustote rozdelenia pravdepodobnosti f(X):

(6b)

Nesprávny integrál (6 b) sa považuje za absolútne konvergentné (inak hovoríme, že očakávanie M(X) neexistuje). Charakterizuje matematické očakávanie priemerný náhodná premenná X. Jeho rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej.

Vlastnosti matematického očakávania:

Disperzia. disperzia náhodná premenná Xčíslo sa volá:

Rozptyl je rozptylová charakteristika hodnoty náhodnej premennej X v pomere k jeho priemernej hodnote M(X). Rozmer rozptylu sa rovná rozmeru druhej mocniny náhodnej premennej. Na základe definícií rozptylu (8) a matematického očakávania (5) pre diskrétnu náhodnú premennú a (6) pre spojitú náhodnú premennú získame podobné výrazy pre rozptyl:

(9)

Tu m = M(X).

Disperzné vlastnosti:

štandardná odchýlka:

(11)

Keďže rozmer štandardnej odchýlky je rovnaký ako rozmer náhodnej premennej, používa sa častejšie ako rozptyl ako miera rozptylu.

distribučné momenty. Pojmy matematického očakávania a rozptylu sú špeciálnymi prípadmi všeobecnejšieho pojmu pre numerické charakteristiky náhodných premenných - distribučné momenty. Distribučné momenty náhodnej premennej sú predstavené ako matematické očakávania niektorých jednoduchých funkcií náhodnej premennej. Takže moment objednávky k vzhľadom na bod X 0 sa nazýva očakávanie M(X–X 0 )k. Momenty súvisiace s pôvodom X= 0 sa nazývajú počiatočné momenty a sú označené:

(12)

Počiatočný moment prvého rádu je distribučným centrom uvažovanej náhodnej premennej:

(13)

Momenty vo vzťahu k distribučnému centru X= m volal centrálne body a sú označené:

(14)

Z (7) vyplýva, že centrálny moment prvého rádu je vždy rovný nule:

Centrálne momenty nezávisia od pôvodu hodnôt náhodnej premennej, pretože s posunom o konštantnú hodnotu S jeho distribučný stred je posunutý o rovnakú hodnotu S a odchýlka od stredu sa nemení: X – m = (X – S) – (m – S).
Teraz je zrejmé, že disperzia- Toto centrálny moment druhého rádu:

Asymetria. Centrálny moment tretieho rádu:

(17)

slúži na vyhodnotenie distribučná šikmosť. Ak je rozdelenie symetrické okolo bodu X= m, potom sa centrálny moment tretieho rádu bude rovnať nule (rovnako ako všetky centrálne momenty nepárnych rádov). Preto, ak je centrálny moment tretieho rádu odlišný od nuly, potom rozdelenie nemôže byť symetrické. Veľkosť asymetrie sa odhaduje pomocou bezrozmerného koeficient asymetrie:

(18)

Znamienko koeficientu asymetrie (18) označuje pravostrannú alebo ľavostrannú asymetriu (obr. 2).

Ryža. 2. Typy asymetrie rozdelenia.

Prebytok. Centrálny moment štvrtého rádu:

(19)

slúži na vyhodnotenie tzv špičatosť, ktorý určuje mieru strmosti (bodovitosti) distribučnej krivky v blízkosti distribučného centra vzhľadom na normálnu distribučnú krivku. Pretože pre normálne rozdelenie je množstvo brané ako špičatosť:

(20)

Na obr. 3 ukazuje príklady distribučných kriviek s rôznymi hodnotami špičatosti. Pre normálne rozdelenie E= 0. Krivky, ktoré sú vrcholovejšie ako normálna, majú kladnú špičku a krivky s viac plochými vrcholmi majú zápornú špičku.

Ryža. 3. Distribučné krivky s rôznym stupňom strmosti (kurtóza).

Momenty vyššieho rádu v inžinierskych aplikáciách matematickej štatistiky sa zvyčajne nepoužívajú.

Móda diskrétne náhodná premenná je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Móda nepretržitý náhodná veličina je jej hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna (obr. 2). Ak má distribučná krivka jedno maximum, potom sa rozdelenie nazýva unimodálne. Ak má distribučná krivka viac ako jedno maximum, potom sa nazýva rozdelenie polymodálne. Niekedy existujú distribúcie, ktorých krivky nemajú maximum, ale minimum. Takéto distribúcie sú tzv antimodálny. Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade pre modálny, t.j. majúci modus, symetrické rozdelenie a za predpokladu, že existuje matematické očakávanie, toto druhé sa zhoduje s vidom a stredom symetrie rozdelenia.

Medián náhodná premenná X je jeho význam ja, pre ktoré platí rovnosť: t.j. je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná X bude menej alebo viac ja. Geometricky medián je úsečka bodu, v ktorom je plocha pod distribučnou krivkou rozdelená na polovicu (obr. 2). V prípade symetrického modálneho rozdelenia sú medián, modus a priemer rovnaké.

Okrem matematického očakávania a disperzie sa v teórii pravdepodobnosti používa množstvo numerických charakteristík, ktoré odrážajú určité znaky rozdelenia.

Definícia. Mód Mo(X) náhodnej premennej X je jej najpravdepodobnejšia hodnota(pre ktoré je pravdepodobnosť r r alebo hustota pravdepodobnosti

Ak pravdepodobnosť alebo hustota pravdepodobnosti dosiahne maximum nie v jednom, ale vo viacerých bodoch, nazýva sa rozdelenie polymodálne(obr. 3.13).

Móda mach), pri ktorej je pravdepodobnosť R ( alebo hustota pravdepodobnosti (p(x) dosahuje globálne maximum, sa nazýva najpravdepodobnejšia hodnota náhodná premenná (na obr. 3.13 toto Mo(X) 2).

Definícia. Medián Me(X) spojitej náhodnej premennej X je jej hodnota, pre ktoré

tie. pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobúda hodnotu menšiu ako je medián kožušina) alebo väčší ako on, rovnaký a rovný 1/2. Geometricky zvislá čiara X = Kožušina) prechádzajúci bodom s úsečkou rovnajúcou sa Kožušina), rozdeľuje plochu obrázku distribučnej krivky na dve rovnaké časti (obr. 3.14). Samozrejme, v bode X = kožušina) distribučná funkcia sa rovná 1/2, t.j. P(Ja(X))= 1/2 (obr. 3.15).

Všimnite si dôležitú vlastnosť mediánu náhodnej premennej: matematické očakávanie absolútnej hodnoty odchýlky náhodnej premennej X od konštantnej hodnoty C je vtedy minimálne, keď sa táto konštanta C rovná mediánu Me(X) = m, t.j.

(vlastnosť je podobná vlastnosti (3.10") minimalizácie strednej štvorce odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania).

O Príklad 3.15. Nájdite režim, medián a priemer náhodnej premennej X s hustota pravdepodobnosti φ(x) = 3x 2 pre xx.

rozhodnutie. Distribučná krivka je znázornená na obr. 3.16. Je zrejmé, že hustota pravdepodobnosti φ(x) je maximálna pri X= Mo(X) = 1.

medián kožušina) = b z podmienky (3.28) zistíme:

kde

Matematické očakávanie sa vypočíta podľa vzorca (3.25):

Vzájomné usporiadanie bodov M(X) > Ja (X) a mach) vo vzostupnom poradí na úsečke je znázornené na obr. 3.16. ?

Spolu s numerickými charakteristikami uvedenými vyššie sa na opis náhodnej premennej používa koncept kvantilov a percentuálnych bodov.

Definícia. Kvantil úrovne y-kvantil )

sa nazýva taká hodnota x q náhodnej premennej , pri ktorej jeho distribučná funkcia nadobúda hodnotu rovnú d, t.j.

Niektoré kvantily dostali špeciálny názov. Je zrejmé, že vyššie uvedené medián náhodná premenná je kvantil úrovne 0,5, t.j. Ja (X) \u003d x 05. Kvantily dg 0 2 5 a x 075 sú pomenované v tomto poradí nižšie a horný kvartilK

S pojmom kvantil úzko súvisí pojem percentuálny bod. Pod YuOuHo-noi bodka implikovaný kvantil x x (( , tie. taká hodnota náhodnej premennej X, pod ktorým

0 Príklad 3.16. Podľa príkladu 3.15 nájdite kvantil x 03 a 30 % náhodných premenných bodov X.

rozhodnutie. Podľa vzorca (3.23) je distribučná funkcia

Z rovnice (3.29) zistíme kvantil r 0 z, t.j. x $ 3 \u003d 0,3, odkiaľ L "oz -0,67. Nájdite 30 % bod náhodnej premennej X, alebo kvantil x 0 7, z rovnice x $ 7 = 0,7, odkiaľ x 0 7 "0,89. ?

Spomedzi číselných charakteristík náhodnej premennej majú mimoriadny význam momenty - počiatočný a centrálny.

Definícia. Počiatočný momentk-tý rád náhodnej premennej X je matematické očakávanie k-tej mocniny tejto premennej :

Definícia. Centrálny momentk-tý rád náhodnej premennej X je matematické očakávanie k-tého stupňa odchýlky náhodnej premennej X od jej matematického očakávania.:

Vzorce na výpočet momentov pre diskrétne náhodné premenné (preberanie hodnôt x 1 s pravdepodobnosťami p,) a spojité (s hustotou pravdepodobnosti cp(x)) sú uvedené v tabuľke. 3.1.

Tabuľka 3.1

Je ľahké vidieť, že kedy k = 1 prvý počiatočný moment náhodnej premennej X je jeho matematické očakávanie, t.j. h x \u003d M [X) \u003d a, pri do= 2 druhým centrálnym momentom je disperzia, t.j. p 2 = T)(X).

Centrálne momenty p A možno vyjadriť pomocou počiatočných momentov pomocou vzorcov:

atď.

Napríklad c 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (pri odvodzovaní sme brali do úvahy, že a = M(X)= V, - nenáhodná hodnota). ?

Ako je uvedené vyššie, matematické očakávania M(X), alebo prvý počiatočný moment, charakterizuje priemernú hodnotu alebo polohu, stred distribúcie náhodnej premennej X na číselnom rade; disperzia och), alebo druhý centrálny moment p 2 , - s t s - distribučný rozptyl X pomerne M(X). Momenty vyššieho rádu slúžia na podrobnejší popis rozloženia.

Tretí ústredný moment p 3 slúži na charakterizáciu asymetrie rozloženia (skosenie). Má rozmer kocky náhodnej premennej. Ak chcete získať bezrozmernú hodnotu, vydelte ju asi 3, kde a je štandardná odchýlka náhodnej premennej X. Prijatá hodnota ALE volal koeficient asymetrie náhodnej veličiny.

Ak je rozdelenie symetrické vzhľadom na matematické očakávanie, potom je koeficient šikmosti A = 0.

Na obr. 3.17 sú znázornené dve distribučné krivky: I a II. Krivka I má pozitívnu (pravostrannú) asymetriu (L > 0) a krivka II zápornú (ľavostrannú) (L

Štvrtý ústredný moment p 4 slúži na charakterizáciu strmosti (vrchol vrcholu alebo plochého vrcholu - stĺpika) rozvodu.

móda () spojitá náhodná veličina je jej hodnota, ktorá zodpovedá maximálnej hodnote jej hustoty pravdepodobnosti.

medián () Spojitá náhodná premenná je jej hodnota, ktorá je určená rovnosťou:

B15. Zákon binomického rozdelenia a jeho číselné charakteristiky. Binomické rozdelenie opisuje opakované nezávislé skúsenosti. Tento zákon určuje čas výskytu udalosti v nezávislých pokusoch, ak sa pravdepodobnosť výskytu udalosti v každom z týchto experimentov nemení od skúsenosti k skúsenosti. Pravdepodobnosť:

,

kde: je známa pravdepodobnosť výskytu udalosti v experimente, ktorá sa nemení zo skúsenosti na skúsenosť;

je pravdepodobnosť, že sa udalosť neobjaví v experimente;

je určený počet výskytov udalosti v experimentoch;

je počet kombinácií prvkov podľa .

B15. Zákon rovnomerného rozdelenia, grafy distribučnej funkcie a hustoty, číselné charakteristiky. Uvažuje sa o spojitej náhodnej premennej rovnomerne rozložené, ak má hustota pravdepodobnosti tvar:

Očakávaná hodnota náhodná premenná s rovnomerným rozdelením:

Disperzia možno vypočítať takto:

Smerodajná odchýlka bude vyzerať takto:

.

B17. Exponenciálny zákon rozdelenia, grafy funkcie a hustoty rozdelenia, číselné charakteristiky. exponenciálne rozdelenie Spojitá náhodná premenná je rozdelenie, ktoré je opísané nasledujúcim výrazom pre hustotu pravdepodobnosti:

,

kde je konštantná kladná hodnota.

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti má v tomto prípade tvar:

Matematické očakávanie náhodnej premennej s exponenciálnym rozdelením sa získa na základe všeobecného vzorca, berúc do úvahy skutočnosť, že keď:

.

Integrovaním tohto výrazu po častiach nájdeme: .

Rozptyl pre exponenciálne rozdelenie možno získať pomocou výrazu:

.

Nahradením výrazu za hustotu pravdepodobnosti zistíme:

Výpočtom integrálu po častiach dostaneme: .

B16. Zákon normálneho rozdelenia, grafy funkcie a hustoty rozdelenia. Štandardné normálne rozdelenie. Odrazená funkcia normálneho rozdelenia. normálne také rozdelenie náhodnej premennej sa nazýva, ktorej hustota pravdepodobnosti je opísaná Gaussovou funkciou:

kde je štandardná odchýlka;

je matematické očakávanie náhodnej premennej.

Graf normálnej distribúcie hustoty sa nazýva normálna Gaussova krivka.

B18. Markovova nerovnosť. Zovšeobecnená Čebyševova nerovnosť. Ak pre náhodnú premennú X existuje, potom pre akékoľvek Markovova nerovnosť .

Vychádza z zovšeobecnená Čebyševova nerovnosť: Nech je funkcia monotónne rastúca a nezáporná na . Ak pre náhodnú premennú X existuje, potom pre akúkoľvek nerovnosť .

B19. Zákon veľkých čísel vo forme Čebyševa. Jeho význam. Dôsledok zákona veľkých čísel v podobe Čebyševa. Zákon veľkých čísel v Bernoulliho forme. Pod zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti sa chápe množstvo teorémov, z ktorých každá je založená na skutočnosti asymptotickej aproximácie priemernej hodnoty veľkého počtu experimentálnych údajov k matematickému očakávaniu náhodnej premennej. Dôkazy týchto teorémov sú založené na Čebyševovej nerovnosti. Túto nerovnosť možno získať zvážením diskrétnej náhodnej premennej s možnými hodnotami.

Veta. Nech existuje konečná postupnosť nezávislé náhodné premenné s rovnakým matematickým očakávaním a rozptylmi obmedzenými rovnakou konštantou:

Potom, bez ohľadu na číslo, pravdepodobnosť udalosti

inklinuje k jednote pri .

Chebyshevova veta vytvára spojenie medzi teóriou pravdepodobnosti, ktorá berie do úvahy priemerné charakteristiky celého súboru hodnôt náhodnej premennej, a matematickou štatistikou, ktorá funguje na obmedzenom súbore hodnôt tejto premennej. Ukazuje, že pre dostatočne veľký počet meraní určitej náhodnej premennej sa aritmetický priemer hodnôt týchto meraní približuje matematickému očakávaniu.

V 20. Predmet a úlohy matematickej štatistiky. Všeobecné a vzorové populácie. Spôsob výberu. Matematické štatistiky- náuka o matematických metódach systematizácie a využívania štatistických údajov na vedecké a praktické závery, vychádzajúca z teórie pravdepodobnosti.

Predmetom štúdia matematickej štatistiky sú náhodné udalosti, veličiny a funkcie, ktoré charakterizujú uvažovaný náhodný jav. Nasledujúce udalosti sú náhodné: výhra jedného tiketu peňažnej lotérie, súlad kontrolovaného produktu so stanovenými požiadavkami, bezproblémová prevádzka vozidla počas prvého mesiaca jeho prevádzky, plnenie denného harmonogramu prác dodávateľom.

odberová súprava je zbierka náhodne vybraných predmetov.

Všeobecná populácia pomenovať množinu predmetov, z ktorých je vzorka vyrobená.

O 21. Spôsoby výberu.

Spôsoby výberu: 1 Výber, ktorý si nevyžaduje rozdelenie bežnej populácie na časti. Patria sem a) jednoduchý náhodný neopakujúci sa výber ab) jednoduchý náhodný reselekcia. 2) Selekcia, v ktorej je všeobecná populácia rozdelená na časti. Patria sem a) výber typu, b) mechanický výber ac) sériový výber.

Jednoduchá náhoda nazývaný výber, pri ktorom sú objekty jeden po druhom extrahované z bežnej populácie.

Typické nazývaný výber, pri ktorom sa objekty nevyberajú z celej všeobecnej populácie, ale z každej jej „typickej“ časti.

Mechanický nazývaná selekcia, pri ktorej je všeobecná populácia mechanicky rozdelená do toľkých skupín, koľko objektov má byť zahrnutých do vzorky, a z každej skupiny je vybraný jeden objekt.

sériový nazývaný výber, pri ktorom sa z bežnej populácie vyberajú objekty nie jeden po druhom, ale „série“, ktoré sú podrobované priebežnému prieskumu.

B22. Štatistické a variačné rady. Empirická distribučná funkcia a jej vlastnosti. Variačné rady pre diskrétne a spojité náhodné premenné. Nech sa odoberie vzorka z bežnej populácie a hodnota sledovaného parametra sa pozoruje raz, raz atď. Avšak veľkosť vzorky Pozorované hodnoty sú tzv možnosti a sekvencia je variant napísaný vo vzostupnom poradí - variačný rad. Počet pozorovaní je tzv frekvencie, a ich vzťah k veľkosti vzorky - relatívnych frekvencií.Variačné série môže byť reprezentovaná ako tabuľka:

X			…..
n			….

Štatistické rozdelenie vzorky vyvolajte zoznam opcií a ich príslušné relatívne frekvencie. Štatistické rozdelenie možno znázorniť takto:

X			…..
w			….

kde sú relatívne frekvencie .

Empirická distribučná funkcia zavolajte funkciu, ktorá pre každú hodnotu x určí relatívnu frekvenciu udalosti X

Účel lekcie: vytvoriť u študentov pochopenie mediánu množiny čísel a schopnosť vypočítať ho pre jednoduché numerické množiny, upevniť koncept aritmetického priemeru množiny čísel.

Typ lekcie: vysvetlenie nového materiálu.

Vybavenie: tabuľa, učebnica, vyd. Yu.N Tyurina „Teória pravdepodobnosti a štatistika“, počítač s projektorom.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Informujte o téme hodiny a formulujte jej ciele.

2. Aktualizácia doterajších poznatkov.

Otázky pre študentov:

• Aký je aritmetický priemer množiny čísel?
• Kde sa nachádza aritmetický priemer v rámci množiny čísel?
• Čo charakterizuje aritmetický priemer množiny čísel?
• Kde sa často používa aritmetický priemer množiny čísel?

Ústne úlohy:

Nájdite aritmetický priemer množiny čísel:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Kontrola domácich úloh pomocou projektora ( Dodatok 1):

Učebnica:: č. 12 (b, d), č. 18 (c, d)

3. Učenie sa nového materiálu.

V predchádzajúcej lekcii sme sa zoznámili s takou štatistickou charakteristikou, akou je aritmetický priemer množiny čísel. Dnes budeme venovať lekciu ďalšej štatistickej charakteristike - mediánu.

Nielen aritmetický priemer ukazuje, kde na číselnej osi sa nachádzajú čísla ktorejkoľvek množiny a kde je ich stred. Ďalším ukazovateľom je medián.

Medián množiny čísel je číslo, ktoré rozdeľuje množinu na dve rovnaké časti. Namiesto „medián“ by sa dalo povedať „stredný“.

Najprv pomocou príkladov analyzujeme, ako nájsť medián, a potom dáme prísnu definíciu.

Zvážte nasledujúci ústny príklad s použitím projektora ( príloha 2)

Normu v behu na 100 metrov absolvovalo na konci školského roka 11 žiakov 7. ročníka. Boli zaznamenané tieto výsledky:

Keď chlapci prebehli vzdialenosť, Petya pristúpila k učiteľovi a spýtala sa, aký bol jeho výsledok.

"Najpriemernejší: 16,9 sekundy," odpovedal učiteľ

"Prečo?" Peťa bola prekvapená. - Koniec koncov, aritmetický priemer všetkých výsledkov je asi 18,3 sekundy a ja som bežal o sekundu alebo viac lepšie. A vo všeobecnosti je Katyin výsledok (18,4) oveľa bližšie k priemeru ako môj.“

„Váš výsledok je priemerný, pretože päť ľudí bežalo lepšie ako vy a päť horšie. Takže ste presne uprostred,“ povedal učiteľ. [2]

Napíšte algoritmus na nájdenie mediánu množiny čísel:

1. Objednajte číselnú sadu (zostavte zoradenú sériu).
2. Zároveň prečiarkneme „najväčšie“ a „najmenšie“ čísla z tejto množiny čísel, kým nezostane jedno alebo dve čísla.
3. Ak existuje len jedno číslo, potom je to medián.
4. Ak zostanú dve čísla, potom medián bude aritmetický priemer dvoch zostávajúcich čísel.

Vyzvite študentov, aby samostatne sformulovali definíciu mediánu množiny čísel, potom si prečítali dve definície mediánu v učebnici (s. 50), potom analyzovali príklady 4 a 5 z učebnice (s. 50-52)

komentár:

Upozornite študentov na dôležitú okolnosť: medián je prakticky necitlivý na výrazné odchýlky jednotlivých extrémnych hodnôt množín čísel. V štatistike sa táto vlastnosť nazýva stabilita. Stabilita štatistického ukazovateľa je veľmi dôležitá vlastnosť, poisťuje nás proti náhodným chybám a individuálnym nespoľahlivým údajom.

4. Konsolidácia študovaného materiálu.

Rozhodnutie čísel z učebnice k bodu 11 „Medián“.

Sada čísel: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Sada čísel: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Súbor čísel: 3,4,11,17,21

b) Súbor čísel: 17,18,19,25,28

c) Sada čísel: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Záver: medián množiny čísel pozostávajúcej z nepárneho počtu členov sa rovná číslu v strede.

a) Sada čísel: 2, 4, 8 , 9.

Me = (4+8):2=12:2=6

b) Sada čísel: 1,3, 5,7 ,8,9.

Me = (5+7):2=12:2=6

Medián množiny čísel obsahujúcich párny počet členov je polovicou súčtu dvoch čísel v strede.

Študent počas štvrťroka dostal z algebry tieto známky:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Nájdite priemerné skóre a medián tohto súboru. [3]

Zoraďme sadu čísel: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Len 10 čísel, aby ste našli medián, musíte vziať dve stredné čísla a nájsť ich polovičný súčet.

Me = (5+5):2 = 5

Otázka pre žiakov: Ak by ste boli učiteľom, akú známku by ste dali tomuto žiakovi za štvrťrok? Odpoveď zdôvodnite.

Prezident spoločnosti dostáva plat 300 000 rubľov. traja jeho zástupcovia dostávajú po 150 000 rubľov, štyridsať zamestnancov - každý po 50 000 rubľov. a plat upratovačky je 10 000 rubľov. Nájdite aritmetický priemer a medián platov v spoločnosti. Ktorú z týchto vlastností je pre prezidenta výhodnejšie použiť na reklamné účely?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (rubľov)

Úloha 3. (Vyzvite žiakov, aby riešili samostatne, premietnite úlohu pomocou projektora)

V tabuľke je uvedený približný objem vody v najväčších jazerách a nádržiach v Rusku v metroch kubických. km. (Dodatok 3) [ 4 ]

A) Nájdite priemerný objem vody v týchto nádržiach (aritmetický priemer);

B) Nájdite objem vody v priemernej veľkosti nádrže (medián údajov);

C) Ktorá z týchto charakteristík – aritmetický priemer alebo medián – podľa vás najlepšie vystihuje objem typickej veľkej ruskej nádrže? Vysvetlite odpoveď.

a) 2459 cu. km

b) 60 cu. km

c) Medián, pretože údaje obsahujú hodnoty, ktoré sa veľmi líšia od všetkých ostatných.

Úloha 4. Ústne.

A) Koľko čísel je v množine, ak jej mediánom je jej deviaty člen?

B) Koľko čísel je v množine, ak jej medián je aritmetickým priemerom 7. a 8. člena?

C) V súbore siedmich čísel sa najväčšie číslo zvýšilo o 14. Zmení sa tým aritmetický priemer aj medián?

D) Každé z čísel v súbore bolo zvýšené o 3. Čo sa stane s aritmetickým priemerom a mediánom?

Sladkosti v obchode sa predávajú na váhu. Aby zistila, koľko sladkostí obsahuje jeden kilogram, Masha sa rozhodla zistiť hmotnosť jedného cukríka. Odvážila niekoľko cukríkov a získala tieto výsledky:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Obe charakteristiky sú vhodné na odhad hmotnosti jedného cukríka, keďže sa navzájom veľmi nelíšia.

Na charakterizáciu štatistických informácií sa teda používa aritmetický priemer a medián. V mnohých prípadoch niektoré charakteristiky nemusia mať žiadny zmysluplný význam (napríklad ak máme informácie o čase dopravných nehôd, sotva má zmysel hovoriť o aritmetickom priemere týchto údajov).

1. Domáca úloha: odsek 11, č.3,4,9,11.
2. Výsledky lekcie. Reflexia.

Literatúra:

1. Yu.N. Tyurin a kol., „Teória pravdepodobnosti a štatistika“, Vydavateľstvo MCNMO, JSC „Moskvaské učebnice“, Moskva 2008.
2. E.A. Bunimovič, V.A. Bulychev „Základy štatistiky a pravdepodobnosti“, DROFA, Moskva 2004.
3. Noviny „Matematika“ č. 23, 2007.
4. Demo verzia testu z teórie pravdepodobnosti a štatistiky pre ročník 7, 2007/2008 účet. rok.

Móda- hodnota v súbore pozorovaní, ktorá sa vyskytuje najčastejšie

Po \u003d X Po + h Po * (f Po - f Po-1) : ((f Po - f Po-1) + (f Po - f Po + 1)),

tu X Mo je ľavá hranica modálneho intervalu, h Mo je dĺžka modálneho intervalu, f Mo-1 je frekvencia premodálneho intervalu, f Mo je frekvencia modálneho intervalu, f Mo+1 je frekvencia postmodálneho intervalu.

Režim absolútne spojitého rozdelenia je ľubovoľný bod lokálneho maxima hustoty rozdelenia. Pre diskrétne rozdelenia je mód akákoľvek hodnota ai, ktorej pravdepodobnosť p i je väčšia ako pravdepodobnosti susedných hodnôt

medián spojitá náhodná premenná X jej hodnota Me sa nazýva taká, pri ktorej je rovnako pravdepodobné, či náhodná veličina dopadne menej alebo viac ja, t.j.

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Ja) = P(X > ja)

Rovnomerne rozložené NOVINKA

Rovnomerné rozdelenie. Spojitá náhodná premenná sa nazýva rovnomerne rozložená na segmente (), ak jej funkcia hustoty rozdelenia (obr. 1.6, a) vyzerá ako:

Označenie: - SW je rozmiestnený rovnomerne na .

Podľa toho distribučná funkcia na segmente (obr. 1.6, b):

Ryža. 1.6. Funkcie náhodnej premennej rovnomerne rozložené na [ a,b]: a– hustoty pravdepodobnosti f(X); b– distribúcie F(X)

Matematické očakávanie a rozptyl tohto RV sú určené výrazmi:

Vďaka symetrii funkcie hustoty sa zhoduje s mediánom. Móda nemá rovnomerné rozdelenie

Príklad 4 Čakacia doba na odpoveď na telefonický hovor je náhodná veličina, ktorá sa riadi zákonom o rovnomernom rozdelení v rozsahu od 0 do 2 minút. Nájdite integrálne a diferenciálne distribučné funkcie tejto náhodnej premennej.

27. Normálny zákon rozdelenia pravdepodobnosti

Spojitá náhodná premenná x má normálne rozdelenie s parametrami: m,s > 0, ak hustota rozdelenia pravdepodobnosti má tvar:

kde: m je matematické očakávanie, s je štandardná odchýlka.

Normálne rozdelenie sa nazýva aj Gaussovo podľa nemeckého matematika Gaussa. Skutočnosť, že náhodná premenná má normálne rozdelenie s parametrami: m, , označujeme nasledovne: N (m, s), kde: m=a=M[X];

Pomerne často sa vo vzorcoch matematické očakávanie označuje ako a . Ak je náhodná premenná rozdelená podľa zákona N(0,1), potom sa nazýva normalizovaná alebo štandardizovaná normálna premenná. Distribučná funkcia pre ňu má tvar:

Graf hustoty normálneho rozdelenia, ktorý sa nazýva normálna krivka alebo Gaussova krivka, je znázornený na obr. 5.4.

Ryža. 5.4. Normálna hustota distribúcie

vlastnosti náhodná premenná so zákonom normálneho rozdelenia.

1. Ak , potom na zistenie pravdepodobnosti, že táto hodnota spadá do daného intervalu ( x 1; x 2) používa sa vzorec:

2. Pravdepodobnosť, že odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne hodnotu (v absolútnej hodnote), sa rovná.