REÁLNE ČÍSLA II
§ 46 Sčítanie reálnych čísel
Zatiaľ vieme navzájom sčítať iba racionálne čísla. Ako vieme,
Čo však znamená súčet dvoch čísel, z ktorých aspoň jedno je iracionálne, to stále nevieme. Teraz musíme definovať, čo znamená súčet α + β dve ľubovoľné reálne čísla α a β .
Uvažujme napríklad čísla 1/3 a √2. Predstavme si ich vo forme nekonečných desatinných zlomkov
1 / 3 = 0,33333...;
√2 =1,41421... .
Najprv pridáme zodpovedajúce desatinné aproximácie týchto čísel s nevýhodou. Tieto aproximácie, ako je uvedené na konci predchádzajúcej časti, sú racionálnyčísla. A už vieme, ako pridať takéto čísla:
0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................
Potom pridáme zodpovedajúce desatinné aproximácie týchto čísel s prebytkom:
1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................
Dá sa dokázať*, že navyše existuje jedinečné reálne číslo γ , čo je väčšie ako všetky súčty desatinných aproximácií čísel 1/3 a √2 s nevýhodou, ale menšie ako všetky súčty desatinných aproximácií týchto čísel s prebytkom:
* Dôkladný dôkaz tejto skutočnosti presahuje rámec nášho programu, a preto ho tu neuvádzame.
1 < γ < 3
1,7 < γ < 1,9
1,74 < γ < 1,76
1,747 < γ < 1,749
1,7475 < γ < 1,7477
1,74754 < γ < 1,74756
Podľa definície toto číslo γ a berie sa ako súčet čísel 1/3 a √2:
γ = 1 / 3 + √2
To je zrejmé γ = 1,7475....
Súčet akýchkoľvek iných kladných reálnych čísel, z ktorých aspoň jedno je iracionálne, možno definovať podobne. Podstata veci sa nezmení, aj keď jeden z výrazov a možno aj oba budú negatívne.
takze ak čísla α a β sú racionálne, potom ich súčet zistíme pravidlom sčítania racionálnych čísel(pozri § 36).
Ak je aspoň jeden z nich iracionálny, potom súčet α + β volá sa reálne číslo, ktoré je väčšie ako všetky súčty zodpovedajúcich desatinných aproximácií týchto čísel s nevýhodou, ale menšie ako všetky súčty zodpovedajúcich desatinných aproximácií týchto čísel s prebytkom.
Takto definované pôsobenie sčítania sa riadi nasledujúcimi dvoma zákonmi:
1) komutatívny zákon:
α + β = β + α
2) zákon o združení:
(α + β ) + γ = α + (β + γ ).
Toto nepreukážeme. Študenti to môžu urobiť sami. Poznamenávame len, že pri dôkaze budeme musieť použiť nám už známu skutočnosť: sčítanie racionálnych čísel podlieha komutatívnym a asociačným zákonom (pozri § 36).
Cvičenia
327. Prezentujte tieto sumy ako desatinné zlomky s uvedením aspoň troch správnych číslic po obsadenosti:
a) √2 + √3; d) √2 + (- √3) g) 3/4 + (-√5);
b) √2 + 5/8; e) (- 1/3) + √5 h) 1/3 + √2 + √3.
c) (-√2) + √3; f) 11/9 + (- √5);
328. Nájdite prvých niekoľko desatinných aproximácií (s prebytkom a bez neho) pre reálne čísla:
a) 1 / 2 + √7 b) √3 + √7 c) √3 + (-√7)
329. Vychádzajúc z definície súčtu reálnych čísel dokážte, že pre ľubovoľné číslo α
α + (- α ) = 0.
330. Je súčet dvoch nekonečných neperiodických zlomkov vždy neperiodickým zlomkom? Vysvetlite odpoveď na príkladoch.
Definícia
Množina reálnych čísel je spojenie množín racionálnych a iracionálnych čísel. List R je zápis pre uvažovanú množinu. Veľa R je reprezentovaný intervalom tvaru (- ∞ ; + ∞).
Komentujte
Stojí za zmienku, že každé racionálne číslo môže mať vždy tvar nekonečného desatinného periodického zlomku, akékoľvek iracionálne číslo nekonečného desatinného neperiodického zlomku, na základe vyššie uvedeného vyplýva, že množina, ktorá zahŕňa konečné a nekonečné periodické a neperiodické zlomky -periodické desatinné zlomky patria do množiny R.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Geometrický model reálnych čísel
Súradnicová čiara je priamo geometrickým modelom množiny R. Preto môže byť každý bod na súradnicovej čiare vždy spojený s nejakým reálnym číslom.
Porovnanie reálnych čísel
Reálne čísla je možné porovnávať buď pomocou geometrického modelu, alebo ich možno porovnávať analyticky. Pozrime sa na obe prirovnania. Dve čísla sú náhodne umiestnené na súradnicovej čiare. Určenie, ktorý z nich je viac, je pomerne jednoduché. Väčšie číslo je vždy napravo od druhého.
Analyticky určiť, ktoré číslo je väčšie alebo menšie ako ktorékoľvek číslo, je tiež možné, na to stačí nájsť rozdiel medzi týmito číslami a potom ho porovnať s nulou. Ak bude mať výsledný rozdiel kladné znamienko, potom prvé číslo (znížené o rozdiel) bude väčšie ako druhé číslo (odpočítané o rozdiel); ak má rozdiel záporné znamienko, potom prvé číslo (znížené o rozdiel) bude menšie ako druhé číslo (odpočítané o rozdiel).
Nižšie zvážime príklady demonštrujúce obe metódy porovnania:
Príklad 1
Porovnajte čísla f r a c 185 a 4 .
Riešenie
Na porovnanie týchto čísel nájdeme rozdiel medzi týmito číslami.
f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 Po vykonaní tejto operácie vidíme, že menovateľ v tomto príklade je 5. Potom, na základe pravidla pre odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom, odčítame čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponecháme menovateľ rovnaký. Všimnite si, že rozdiel medzi danými číslami je záporný, čo znamená, že prvé číslo (redukované) je menšie ako druhé (odčítané), t.j. f r a c 185< 4 .
Príklad 2
Porovnajte čísla f r a c 185 a 4 pomocou súradnicovej čiary.
Riešenie
Na porovnanie týchto čísel by ste mali určiť umiestnenie bodov týchto čísel na súradnicovej čiare. Tie. porovnávané reálne čísla budú zodpovedať určitým súradniciam na súradnicovej línii, a to číslam f r a c 185 a 4 . Najprv preveďme nesprávny zlomok frac185 na zmiešané číslo, t.j. vyberieme celočíselnú časť, preto dostaneme 3 f r a c 35 .
Ďalej na súradnicovej čiare označte body, ktorých súradnice sa budú rovnať 3 f r a c 35 a 4 . f r a c 185 obsahuje 3 celé čísla, čo znamená, že toto číslo sa nachádza naľavo od 4. Ako už viete, menšie číslo leží naľavo, na základe toho záver naznačuje, že f r a c 185< 4 .
Možno konštatovať, že bez ohľadu na vzhľad porovnávania reálnych čísel je možné implementovať všetky aritmetické operácie, konkrétne sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Pred vykonaním operácií s reálnymi číslami však treba brať do úvahy počiatočné znamienka týchto čísel, t.j. určiť, či je každé číslo kladné alebo záporné.
Sčítanie reálnych čísel
Ak chcete pridať dve reálne čísla s rovnakým znamienkom, musíte najskôr pridať ich moduly a potom pred súčet vložiť ich spoločné znamienko. Napríklad:
(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .
Ak chcete pridať dve reálne čísla s rôznymi znamienkami, mali by ste najprv venovať pozornosť znamienku čísla, ak je znamienko jedného z čísel záporné, potom by sa toto číslo malo odpočítať od druhého, ak je kladné - pridajte k druhému. Ďalej musíte tieto čísla pridať alebo odčítať a umiestniť znamienko väčšieho modulu. Napríklad
(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .
Odčítanie reálnych čísel
Odčítanie reálnych čísel možno znázorniť ako sčítanie: a - b \u003d a + (- b), to znamená, že na odčítanie čísla b od čísla a stačí pridať číslo opačné k tomu, ktoré je odpočítané od toho, ktorý sa znižuje.
Napríklad: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 .
Násobenie reálnych čísel
Ak chcete vynásobiť (deliť) dve reálne čísla, musíte vynásobiť (rozdeliť) ich moduly. A potom dajte pred výsledok znak podľa pravidla znakov uvedeného v tabuľke nižšie.
Pri násobení a delení reálnych čísel je vhodné pamätať na príslovie: „Priateľ môjho priateľa je môj priateľ, nepriateľ môjho nepriateľa je môj priateľ, priateľ môjho nepriateľa je môj nepriateľ, nepriateľ môjho priateľa je môj nepriateľ."
Napríklad:
(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;
Vlastnosti aritmetických operácií na reálnych číslach (základné zákony algebry)
V algebre existujú takzvané základné zákony algebry. Takmer vždy sú akceptované ako pravdivé (prípady nepravdivosti týchto zákonov sa neberú do úvahy) a sú formulované ako nasledujúce vlastnosti – identity:
- a + b = b + a;
- (a + b) + c = a + (b + c);
- a + 0 = a;
- a + (- a) = 0;
- a b = b a;
- (a b) c = a (b c);
- a (b + c) = ab + ac;
- ai = a;
- a 0 = 0;
- a 1 a = 1, (a ≠ 0).
Vlastnosti 1 a 5 vyjadrujú komutatívny zákon (komutatívnosť) sčítania a násobenia;
Vlastnosti 2 a 6 vyjadrovať asociačný zákon (asociatívnosť);
Nehnuteľnosť 7 - distributívny zákon (distributívnosť) násobenia vzhľadom na sčítanie;
Vlastnosti 3 a 8 označujú prítomnosť neutrálneho prvku pre sčítanie a násobenie;
Vlastnosti 4 a 10 - na prítomnosť neutralizačného prvku, resp.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Ak číslo α nemožno reprezentovať ako neredukovateľný zlomok $$\frac(p)(q)$$, potom sa nazýva iracionálne.
Iracionálne číslo sa zapíše ako nekonečný neperiodický desatinný zlomok.
Fakt existencie iracionálnych čísel bude demonštrovaný na príklade.
Príklad 1.4.1. Dokážte, že neexistuje žiadne racionálne číslo, ktorého druhá mocnina je 2.
Riešenie. Predpokladajme, že existuje neredukovateľný zlomok $$\frac(p)(q)$$ taký, že $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
alebo $$p^(2)=2q^(2)$$. Z toho vyplýva, že $$p^(2)$$ je násobkom 2, a teda p je násobkom 2. V opačnom prípade, ak p nie je deliteľné 2, t.j. $$p=2k-1$$, potom $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ nie je deliteľné 2. Preto $ $ p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Šípka doprava$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Keďže $$q^(2)$$ je násobkom 2, potom q je tiež násobkom 2, t.j. $$q=2m $$.
Čísla p a q majú teda spoločný činiteľ - číslo 2, čo znamená, že zlomok $$\frac(p)(q)$$ je zmenšený.
Tento rozpor znamená, že daný predpoklad je nepravdivý, teda tvrdenie je dokázané.
Množina racionálnych a iracionálnych čísel sa nazýva množina reálnych čísel.
V množine reálnych čísel sa axiomaticky zavedú operácie sčítania a násobenia: ktorýmkoľvek dvom reálnym číslam a a b je priradené číslo $$a+b$$ a súčin $$a\cdot b$$.
Okrem toho sú v tomto súbore zavedené vzťahy „väčšie ako“, „menšie ako“ a rovnosť:
$$a>b$$ vtedy a len vtedy, ak a - b je kladné číslo;
$$a
Uveďme si hlavné vlastnosti číselných nerovností.
1. Ak $$a>b$$ a $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Ak $$a>b$$ a $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Ak $$a>b$$ a $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. Ak a, b, c, d sú kladné čísla, napríklad $$a>b$$ a $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Dôsledok. Ak a a b sú kladné čísla a $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Ak $$a>b$$ a $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Ak $$a>0$$, $$b>0$$ a $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
Geometrická interpretácia reálnych čísel.
Zoberme si priamku l, pozri obr. 1.4.1 a pripevnite naň bod O - počiatok.
Bod O rozdeľuje čiaru na dve časti - lúče. Lúč smerujúci doprava sa nazýva pozitívny lúč a lúč smerujúci doľava sa nazýva negatívny. Na priamke označíme úsečku branú ako jednotku dĺžky, t.j. zadajte mierku.
Ryža. 1.4.1. Geometrická interpretácia reálnych čísel.
Priamka s vybraným počiatkom, kladným smerom a mierkou sa nazýva číselná os.
Každý bod číselnej osi môže byť spojený s reálnym číslom podľa nasledujúceho pravidla:
- bodu O bude pridelená nula;
– každému bodu N kladného lúča je priradené kladné číslo a, kde a je dĺžka segmentu ON ;
– každému bodu M na zápornom lúči je priradené záporné číslo b, kde $$b=-\left | OM \right |$$ (dĺžka segmentu OM, braná so znamienkom mínus).
Tak sa vytvorí korešpondencia jedna k jednej medzi množinou všetkých bodov reálnej číselnej osi a množinou reálnych čísel, t.j. :
1) každému bodu na číselnej osi je priradené jedno a len jedno reálne číslo;
2) rôznym bodom sú priradené rôzne čísla;
3) neexistuje jediné reálne číslo, ktoré by nezodpovedalo žiadnemu bodu na číselnej osi.
Príklad 1.4.2. Na číselnej osi označte body zodpovedajúce číslam:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Riešenie. 1) Aby ste označili zlomkové číslo $$\frac(12)(7)$$, musíte zostrojiť bod zodpovedajúci $$\frac(12)(7)$$.
Aby ste to dosiahli, musíte rozdeliť segment dĺžky 1 na 7 rovnakých častí. Tento problém riešime týmto spôsobom.
Nakreslíme ľubovoľný lúč z t.O a vyčleníme na tento lúč 7 rovnakých segmentov. Získajte
segment OA a z bodu A nakreslíme priamku k priesečníku s 1.
Ryža. 1.4.2. Rozdelenie jedného segmentu na 7 rovnakých častí.
Priamky vedené rovnobežne s priamkou A1 cez konce odložených segmentov rozdeľujú segment jednotkovej dĺžky na 7 rovnakých častí (obr. 1.4.2). To umožňuje zostrojiť bod reprezentujúci číslo $$1\frac(5)(7)$$ (obr.1.4.3).
Ryža. 1.4.3. Bod na číselnej osi zodpovedajúci číslu $$1\frac(5)(7)$$.
2) Číslo $$\sqrt(2)$$ možno získať takto. Zostrojíme pravouhlý trojuholník s jednotkovými nohami. Potom je dĺžka prepony $$\sqrt(2)$$; tento segment je na číselnej osi vyčlenený z O (obr. 1.4.4).
3) Na zostrojenie bodu vzdialeného od PO vo vzdialenosti $$\sqrt(3)$$ (vpravo) je potrebné zostrojiť pravouhlý trojuholník s nohami dĺžky 1 a $$\sqrt(2) $$. Potom má jeho prepona dĺžku $$\sqrt(2)$$, čo vám umožňuje určiť požadovaný bod na skutočnej osi.
Pre reálne čísla je definovaný pojem modulu (alebo absolútnej hodnoty).
Ryža. 1.4.4. Bod na číselnej osi zodpovedajúci číslu $$\sqrt(2)$$.
Modul reálneho čísla a sa nazýva:
je samotné číslo, ak a je kladné číslo;
- nula, ak a- nula;
– -a, ak a- záporné číslo.
Absolútna hodnota čísla a označené $$\left | a \vpravo |$$.
Definíciu modulu (alebo absolútnu hodnotu) je možné zapísať ako
| $$\left | a \vpravo |=\vľavo\(\začiatok(matica)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
Geometricky modul čísla a znamená vzdialenosť na číselnej osi od začiatku O k bodu zodpovedajúcemu číslu a.
Všimli sme si niektoré vlastnosti modulu.
1. Pre ľubovoľné číslo a rovnosť $$\left | a \vpravo |=\vľavo | -a \vpravo |$$.
2. Pre ľubovoľné čísla a a b rovnosť je pravdivá
$$\left | ab \vpravo |=\doľava | a \right |\cdot \left | b \vpravo |$$; $$\left | \frac(a)(b) \vpravo |=\frac(\vľavo | a \vpravo |)(\vľavo | b \vpravo |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\left | a \right |^(2)=a^(2)$$.
3. Pre ľubovoľné číslo a nerovnosť $$\left | a \right |\geq 0$$.
4. Pre ľubovoľné číslo a nerovnosť $$-\left | a\vpravo |\leq a\leq \ľavo | a \vpravo |$$.
5. Pre ľubovoľné čísla a a b nerovnosť
$$\left | a+b \vpravo |\leq \vľavo | a \vpravo |+\vľavo | b \vpravo |$$
Zvážte nasledujúce číselné množiny.
Ak $$a
2) interval (a; b) je množina všetkých reálnych čísel α
, pre každú z nich platí: $$a<\alpha
Podobne môžete zadať polovičný interval.
V niektorých prípadoch sa hovorí o „medzerách“, čo znamená buď lúč, alebo segment, alebo interval, alebo polovičný interval.
Veľa R všetky reálne čísla sú označené nasledovne: $$(-\infty; \infty)$$.
Pre akékoľvek reálne číslo a zavedieme pojem stupňa s prirodzeným exponentom n, menovite
$$a^(n)=\pod zátvorkou (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ a $$a^(1)=a$$.
Nechaj a je akékoľvek nenulové číslo, potom podľa definície $$a^(0)=1$$.
Nulová mocnina nuly nie je definovaná.
Nechaj a- akékoľvek nenulové číslo, m je akékoľvek celé číslo. Potom je číslo $$a^(m)$$ určené pravidlom:
$$a^(m)=\vľavo\(\začiatok(matica)a, m=1;\\\pod zátvorkou (a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\v N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matica)\vpravo.$$
kde a m sa nazýva stupeň s celočíselným exponentom.
Pred definovaním pojmu titul s racionálnym exponentom zavedieme pojem aritmetického koreňa.
Aritmetický koreňový stupeň n (n ∈ N, n > 2) nezáporné číslo a volané nezáporné číslo b také že b n = a. číslo b označené ako $$b\sqrt[n](a)$$.
Vlastnosti aritmetických koreňov ( a > 0, b > 0, n, m, k- celé čísla.)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\left | a \vpravo |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\vľavo | a \vpravo |$$ |
Nechaj a< 0
, a n je prirodzené číslo väčšie ako 1. Ak n je párne číslo, potom rovnosť b n = a neplatí pre žiadnu skutočnú hodnotu b. To znamená, že v obore reálnych čísel nie je možné určiť koreň párneho stupňa zo záporného čísla. Ak n je nepárne číslo, potom je len jedno reálne číslo b také že b n = a. Toto číslo sa označuje √n a a nazýva sa nepárna odmocnina záporného čísla.
Použitím definície umocnenia na celé číslo a definície aritmetického koreňa dávame definíciu stupňa s racionálnym exponentom.
Nechaj a je kladné číslo a $$r=\frac(p)(q)$$ je racionálne číslo a q- prirodzené číslo.
kladné číslo
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
sa nazýva mocnina a s exponentom r a označuje sa ako
$$b=a^(r)$$ alebo $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, tu $$q\in N $$, $$q\geq2$$.
Zvážte základné vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom.
Nechaj a a b sú ľubovoľné kladné čísla, r 1 a r 2 sú ľubovoľné racionálne čísla. Potom sú pravdivé nasledujúce vlastnosti:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. Ak $$a>1$$ a $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. Ak $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Šípka doprava 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. Ak $$a>1$$ a $$r_(1)>r_(2)\Šípka doprava a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. Ak je 0 USD< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Šípka doprava a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
Pojem stupňa kladného čísla je zovšeobecnený pre akýkoľvek reálny exponent α
.
Určenie stupňa kladného čísla a s reálnymi exponentmi α
.
1. Ak $$\alpha > 0$$ a
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Šípka doprava a^(\alpha)=\vľavo\(\začiatok (matica)a, m=1\\\underbace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matica)\right.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, kde p a q- prirodzené čísla $$\Šípka doprava a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α je teda iracionálne číslo
a) ak a > 1, potom a α- číslo väčšie ako a r i a menšie ako a r k, kde RI α
s nevýhodou rk- akékoľvek racionálne priblíženie čísla α
v prebytku;
b) ak 0< a< 1, то a α- číslo väčšie ako a r k a menej ako a r i;
c) ak a= 1, potom a α = 1.
2. Ak $$\alpha=0$$, potom a α = 1.
3. Ak $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
číslo a α sa nazýva stupeň, číslo a je základom stupňa, čísla α
- exponent.
Mocnina kladného čísla s reálnym exponentom má rovnaké vlastnosti ako mocnina s racionálnym exponentom.
Príklad 1.4.3. Vypočítajte $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.
Riešenie. Použime vlastnosť root:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
Odpoveď. 6.
Príklad 1.4.4. Vypočítať $$6,25^(1,5)-2,25^(1,5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
1. Pojem iracionálneho čísla. Nekonečné desatinné neperiodické zlomky. Množina reálnych čísel.
2. Aritmetické operácie s reálnymi číslami. Zákony sčítania a násobenia.
3. Rozšírenie reálnych kladných čísel na množinu reálnych čísel. Vlastnosti množiny reálnych čísel.
4. Približné čísla Pravidlá zaokrúhľovania reálnych čísel a akcií s približnými číslami. Výpočty pomocou mikrokalkulačky.
5. Kľúčové zistenia
Reálne čísla
Jedným zo zdrojov výskytu desatinných zlomkov je delenie prirodzených čísel, druhým je meranie veličín. Dozvieme sa napríklad, ako možno získať desatinné zlomky pri meraní dĺžky úsečky.
Nechaj X- segment, ktorého dĺžka sa má merať, e- jednoduchý rez. Dĺžka rezu X označovať písmenom X a dĺžku segmentu e- list E. Nechajte segment X zahŕňa n segmenty rovné e₁ a nakrájajte X₁, ktorý je kratší ako segment e(obr. 130), t.j. n ∙E < X < (n + 1) ∙E. čísla n a n+ 1 sú približné hodnoty dĺžky segmentu X pri jednotkovej dĺžke E s nedostatkom a s nadbytkom do 1.
Ak chcete získať odpoveď s väčšou presnosťou, vyberte segment e₁ je desatina segmentu e a dáme ho do segmentu X₁. V tomto prípade sú možné dva prípady.
1) Segment e₁ zapadá do segmentu X₁ presne n raz. Potom dĺžka n segment X vyjadrené ako posledné desatinné miesto: X = (n+n₁\10) ∙E = n, n₁∙E. Napríklad, X= 3,4∙E.
2) Vystrihnúť X₁ sa skladá z n segmenty rovné e₁ a segment X₂, ktorý je kratší ako segment e₁. Potom n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, kde n,n₁ a n,n₁n₁′ - približné hodnoty dĺžky segmentu X s nedostatkom a s prebytkom s presnosťou 0,1.
Je zrejmé, že v druhom prípade ide o proces merania dĺžky segmentu X môžete pokračovať prebratím nového segmentu jednotky e₂ - stotina segmentu e.
V praxi sa tento proces merania dĺžky segmentu v určitej fáze skončí. A potom výsledkom merania dĺžky segmentu bude buď prirodzené číslo, alebo konečný desatinný zlomok. Ak si tento proces merania dĺžky segmentu predstavíme ideálne (ako to robia v matematike), potom sú možné dva výsledky:
1) V k-tom kroku sa proces merania ukončí. Potom bude dĺžka segmentov vyjadrená ako konečný desatinný zlomok formulára n,n₁… n k.
2) Opísaný proces merania dĺžky segmentu X pokračuje donekonečna. Potom môže byť správa o nej reprezentovaná symbolom n,n₁… n k..., ktorá sa nazýva nekonečná desatinná čiarka.
Ako si byť istý možnosťou druhého výsledku? Na to stačí zmerať dĺžku takého segmentu, o ktorom je známe, že jeho dĺžka je vyjadrená napríklad racionálnym číslom 5. Ak by sa ukázalo, že v dôsledku merania dĺžky takéhoto segmentu sa získa konečný desatinný zlomok, potom by to znamenalo, že číslo 5 môže byť reprezentované ako konečný desatinný zlomok, čo je nemožné: 5 \u003d 5,666 . ...
Takže pri meraní dĺžok segmentov je možné získať nekonečné desatinné zlomky. Sú však tieto zlomky vždy periodické? Odpoveď na túto otázku je záporná: existujú segmenty, ktorých dĺžky nemožno vyjadriť nekonečným periodickým zlomkom (t. j. kladným racionálnym číslom) so zvolenou jednotkou dĺžky. Toto bol najdôležitejší objav v matematike, z ktorého vyplynulo, že racionálne čísla nestačia na meranie dĺžok úsečiek.
Veta. Ak je jednotkou dĺžky dĺžka strany štvorca, potom dĺžku uhlopriečky tohto štvorca nemožno vyjadriť kladným racionálnym číslom.
Dôkaz. Nech je dĺžka strany štvorca vyjadrená číslom 1. Predpokladajme opak toho, čo je potrebné dokázať, t. j., že dĺžka uhlopriečky AC štvorca ABCB je vyjadrená ako nezredukovateľný zlomok. Potom by podľa Pytagorovej vety platila rovnosť
1²+ 1² = . Z toho vyplýva, že m² = 2n². Takže m² je párne číslo, potom číslo m je párne (druhá mocnina nepárneho čísla nemôže byť párne). Takže m = 2p. Nahradením čísla m číslom 2p v rovnici m² = 2n² dostaneme, že 4p² = 2n², t.j. 2p² = n². Z toho vyplýva, že n² je párne, teda n je párne číslo. Čísla m a n sú teda párne, čo znamená, že zlomok možno zmenšiť o 2, čo je v rozpore s predpokladom, že je nezredukovateľný. Zistený rozpor dokazuje, že ak je jednotkou dĺžky dĺžka strany štvorca, tak dĺžku uhlopriečky tohto štvorca nemožno vyjadriť racionálnym číslom.
Z dokázanej vety vyplýva, že existujú úseky, ktorých dĺžky nemožno vyjadriť kladným číslom (so zvolenou jednotkou dĺžky), alebo inak povedané, nemožno ich zapísať ako nekonečný periodický zlomok. To znamená, že nekonečné desatinné zlomky získané meraním dĺžok segmentov môžu byť neperiodické.
Verí sa, že nekonečné neperiodické desatinné zlomky sú záznamom nových čísel - pozitívne iracionálnečísla. Keďže pojmy čísla a jeho zápis sú často identifikované, hovoria, že nekonečné neperiodické desatinné zlomky sú kladné iracionálne čísla.
Procesom merania dĺžok segmentov sme dospeli ku konceptu kladného iracionálneho čísla. Ale iracionálne čísla možno získať aj extrahovaním koreňov z niektorých racionálnych čísel. Takže √2, √7, √24 sú iracionálne čísla. Iracionálne sú aj lg 5, sin 31, čísla π = 3,14..., e= 2,7828... a ďalšie.
Množinu kladných iracionálnych čísel označujeme symbolom J+.
Spojenie dvoch množín čísel: pozitívnej racionálnej a pozitívnej iracionálnej sa nazýva množina kladných reálnych čísel a označuje sa symbolom R+. Teda Q+ ∪ J + = R+. Pomocou Eulerových kruhov sú tieto množiny znázornené na obrázku 131.
Každé kladné reálne číslo môže byť reprezentované nekonečným desatinným zlomkom - periodickým (ak je racionálne) alebo neperiodickým (ak je iracionálne).
Akcie na kladných reálnych číslach sú redukované na akcie na kladných racionálnych číslach.
Sčítanie a násobenie kladných reálnych čísel má vlastnosti komutativity a asociatívnosti a násobenia sú distributívne vzhľadom na sčítanie a odčítanie.
Pomocou kladných reálnych čísel môžete vyjadriť výsledok merania akejkoľvek skalárnej veličiny: dĺžky, plochy, hmotnosti atď. Ale v praxi je často potrebné vyjadriť číslom nie výsledok merania veličiny, ale jej zmeny. Navyše, jeho zmena môže nastať rôznymi spôsobmi - môže sa zvýšiť, znížiť alebo zostať nezmenená. Preto na vyjadrenie zmeny veľkosti sú okrem kladných reálnych čísel potrebné aj ďalšie čísla, a preto je potrebné množinu R + rozšíriť pridaním čísla 0 (nula) a záporných čísel.
Spojenie množiny kladných reálnych čísel s množinou záporných reálnych čísel a nuly je množina R všetkých reálnych čísel.
Porovnávanie reálnych čísel a operácie s nimi sa vykonávajú podľa pravidiel, ktoré sú nám známe zo školského kurzu matematiky.
Cvičenia
1. Opíšte proces merania dĺžky segmentu, ak je správa o ňom prezentovaná ako zlomok:
a) 3,46; b) 3, (7); c) 3.2(6).
2. Siedma časť jedného segmentu zapadá do segmentu a 13-krát. Bude dĺžka tohto segmentu reprezentovaná konečným alebo nekonečným zlomkom? Periodické alebo neperiodické?
3. Je daná množina: (7; 8; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136).
Dá sa rozdeliť do dvoch tried: racionálna a iracionálna?
4. Je známe, že ľubovoľné číslo môže byť znázornené bodom na súradnicovej čiare. Vyčerpajú body s racionálnymi súradnicami celú súradnicovú čiaru? A čo body so skutočnými súradnicami?
99. Hlavné závery § 19
Pri štúdiu materiálu tohto odseku sme objasnili mnohé pojmy známe zo školského kurzu matematiky a spojili sme ich s meraním dĺžky segmentu. Ide o pojmy ako:
zlomok (správny a nesprávny);
rovnaké zlomky;
neredukovateľná frakcia;
kladné racionálne číslo;
rovnosť kladných racionálnych čísel;
zmiešaná frakcia;
nekonečné periodické desatinné číslo;
nekonečné neperiodické desatinné číslo;
iracionálne číslo;
Reálne číslo.
Zistili sme, že relácia rovnosti zlomkov je relácia ekvivalencie a využili sme to pri definovaní pojmu kladné racionálne číslo. Zistili sme tiež, ako súvisí sčítanie a násobenie kladných racionálnych čísel s meraním dĺžok úsečiek a získali sme vzorce na zistenie ich súčtu a súčinu.
Definícia vzťahu „menej ako“ na množine Q+ umožnila pomenovať jej hlavné vlastnosti: je usporiadaná, hustá, neobsahuje najmenšie a najväčšie číslo.
Dokázali sme, že množina Q+ kladných racionálnych čísel spĺňa všetky podmienky, ktoré ju umožňujú považovať za rozšírenie množiny N prirodzených čísel.
Zavedením desatinných zlomkov sme dokázali, že každé kladné racionálne číslo môže byť reprezentované nekonečným periodickým desatinným zlomkom.
Nekonečné neperiodické zlomky sa považujú za záznamy iracionálnych čísel.
Ak spojíme množiny kladných racionálnych a iracionálnych čísel, dostaneme množinu kladných reálnych čísel: Q+ ∪ J + = R+.
Ak sa k kladným reálnym číslam pripočítajú záporné reálne čísla a nula, dostaneme množinu R všetkých reálnych čísel.
Opakovanie strednej školy
Integrálne
Derivát
Objemy tiel
Pevné látky revolúcie
Metóda súradníc v priestore
Pravouhlý súradnicový systém. Vzťah medzi vektorovými súradnicami a bodovými súradnicami. Najjednoduchšie problémy v súradniciach. Skalárny súčin vektorov.
Koncept valca. Povrch valca. Koncept kužeľa.
Povrchová plocha kužeľa. Guľa a lopta. Oblasť gule. Vzájomné usporiadanie gule a roviny.
Pojem objemu. Objem pravouhlého rovnobežnostena. Objem rovného hranolu, valca. Objem pyramídy a kužeľa. Objem lopty.
Oddiel III. Začiatky matematickej analýzy
Derivát. Derivácia mocninovej funkcie. Pravidlá diferenciácie. Deriváty niektorých elementárnych funkcií. Geometrický význam derivátu.
Aplikácia derivácie na štúdium funkcií Zvyšovanie a znižovanie funkcie. Extrémy funkcie. Aplikácia derivácie na vykresľovanie grafov. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.
Primitívne. Pravidlá hľadania primitívov. Oblasť krivočiareho lichobežníka a integrálu. Výpočet integrálov. Výpočet plôch pomocou integrálov.
Tréningové úlohy na skúšky
Časť I. Algebra
Číslo je abstrakcia používaná na kvantifikáciu objektov. Čísla vznikli v primitívnej spoločnosti v súvislosti s potrebou ľudí počítať predmety. Postupom času, s rozvojom vedy, sa číslo stalo najdôležitejším matematickým pojmom.
Na riešenie problémov a dokazovanie rôznych teorémov je mimoriadne dôležité pochopiť, aké typy čísel sú. Medzi hlavné typy čísel patria: prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla.
Prirodzené čísla - ϶ᴛᴏ čísla získané prirodzeným počítaním predmetov, alebo skôr ich číslovaním ("prvý", "druhý", "tretí" ...). Množinu prirodzených čísel označujeme latinským písmenom N (môžete si zapamätať, vychádzajúc z anglického slova natural). Môžeme povedať, že N = (1,2,3,....)
Doplnením prirodzených čísel nulou a zápornými číslami (ᴛ.ᴇ. čísla oproti prirodzeným číslam) sa množina prirodzených čísel rozšíri na množinu celých čísel.
Celé čísla - ϶ᴛᴏ čísla z množiny (0, 1, -1, 2, -2, ....). Táto množina sa skladá z troch častí – prirodzených čísel, záporných celých čísel (opak prirodzených čísel) a čísla 0 (nula). Celé čísla sa označujú latinským písmenom Z. Dá sa povedať, že Z=(1,2,3,....). Racionálne čísla sú ϶ᴛᴏ čísla reprezentované zlomkom, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo.
Existujú racionálne čísla, ktoré sa nedajú zapísať napríklad ako konečný desatinný zlomok. Ak sa napríklad pokúsite napísať číslo v tvare desatinného zlomku pomocou známeho algoritmu na delenie rohu, dostanete nekonečný desatinný zlomok. Nekonečné desatinné číslo sa nazýva periodikum, opakujúce sa číslo 3 - jej obdobie. Periodický zlomok sa stručne zapíše takto: 0, (3); znie: "Nula celé čísla a tri v období."
Vo všeobecnosti je periodický zlomok ϶ᴛᴏ nekonečný desatinný zlomok, v ktorom sa od určitého desatinného miesta opakuje rovnaká číslica alebo niekoľko číslic - perióda zlomku.
Napríklad desatinný zlomok je periodický s periódou 56; znie "23 celých čísel, 14 stotín a 56 v období."
Takže každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako nekonečný periodický desatinný zlomok.
Platí aj opačné tvrdenie: každý nekonečný periodický desatinný zlomok je racionálne číslo, pretože ho možno znázorniť ako zlomok, kde je celé číslo prirodzené číslo.
Reálne (reálne) čísla - ϶ᴛᴏ čísla, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ sa používajú na meranie spojitých veličín. Množinu reálnych čísel označujeme latinským písmenom R. Reálne čísla zahŕňajú racionálne čísla a iracionálne čísla. Iracionálne čísla - ϶ᴛᴏ čísla, ktoré sa získajú v dôsledku vykonávania rôznych operácií s racionálnymi číslami (napríklad extrakcia koreňa, výpočet logaritmov), ale nie sú racionálne. Príklady iracionálnych čísel sú ϶ᴛᴏ.
Na číselnej osi môže byť zobrazené akékoľvek reálne číslo:
Pre vyššie uvedené množiny čísel platí nasledovné tvrdenie: množina prirodzených čísel je zahrnutá v množine celých čísel, množina celých čísel je zahrnutá v množine racionálnych čísel a množina racionálnych čísel je zahrnutá v množine čísel. súbor reálnych čísel. Toto tvrdenie možno ilustrovať pomocou Eulerových kruhov.
Cvičenia na samoriešenie
