Najčastejšie otázky
Je možné urobiť pečať na doklad podľa poskytnutého vzoru? Odpoveď Áno, je to možné. Pošlite naskenovanú kópiu alebo fotografiu na našu e-mailovú adresu dobrá kvalita a vyrobíme potrebný duplikát.
Aké typy platieb akceptujete?
Odpoveď Za dokument môžete zaplatiť pri prevzatí kuriérom, po kontrole správnosti vyplnenia a kvality diplomu. Dá sa tak urobiť aj na pobočkách poštových spoločností, ktoré ponúkajú služby na dobierku.
Všetky podmienky dodania a platby dokladov sú popísané v časti „Platba a dodanie“. Sme pripravení vypočuť si aj vaše návrhy týkajúce sa podmienok dodania a platby za dokument.
Môžem si byť istý, že po zadaní objednávky nezmiznete s mojimi peniazmi? Odpoveď V oblasti tvorby diplomov máme pomerne dlhoročné skúsenosti. Máme niekoľko stránok, ktoré sú neustále aktualizované. Naši špecialisti pracujú v rôznych častiach krajiny a vyrobia viac ako 10 dokumentov denne. V priebehu rokov naše dokumenty pomohli mnohým ľuďom vyriešiť problémy so zamestnaním alebo prejsť na lepšie platené miesta. Medzi zákazníkmi sme si získali dôveru a uznanie, takže nie je absolútne žiadny dôvod, aby sme to robili. Navyše je to jednoducho nemožné urobiť fyzicky: za objednávku zaplatíte v čase prijatia do vašich rúk, neplatíte žiadnu platbu vopred.
Môžem si objednať diplom z ktorejkoľvek univerzity? Odpoveď Vo všeobecnosti áno. V tejto oblasti pôsobíme už takmer 12 rokov. Za tento čas sa vytvorila takmer kompletná databáza dokumentov vydaných takmer všetkými univerzitami v krajine a pre rôzne roky vydania. Všetko, čo potrebujete, je vybrať si univerzitu, odbor, dokument a vyplniť objednávkový formulár.
Čo mám robiť, ak v dokumente nájdem preklepy a chyby?
Odpoveď Pri preberaní dokladu od našej kuriérskej alebo poštovej spoločnosti odporúčame dôkladne si skontrolovať všetky údaje. V prípade zistenia preklepu, chyby alebo nepresnosti máte právo diplom neprevziať a zistené nedostatky musíte oznámiť osobne kuriérovi alebo písomne zaslaním e-mailu.
V čo najkratšom čase dokument opravíme a znova odošleme na uvedenú adresu. Poštovné samozrejme hradí naša spoločnosť.
Aby sa predišlo takýmto nedorozumeniam, pred vyplnením originálneho formulára pošleme zákazníkovi na poštu rozloženie budúceho dokumentu na overenie a schválenie finálnej verzie. Pred odoslaním dokumentu kuriérom alebo poštou urobíme aj dodatočnú fotografiu a video (aj v ultrafialovom svetle), aby ste mali vizuálnu predstavu o tom, čo nakoniec dostanete.
Čo musíte urobiť, aby ste si objednali diplom vo vašej spoločnosti?
Odpoveď Pre objednanie dokumentu (certifikát, diplom, akademické vysvedčenie a pod.) je potrebné vyplniť online objednávkový formulár na našej webovej stránke alebo uviesť svoj e-mail, aby sme vám zaslali dotazník, ktorý je potrebné vyplniť a odoslať späť k nám.
Ak neviete, čo uviesť v niektorom poli objednávkového formulára/dotazníka, nechajte ho prázdne. Všetky chýbajúce informácie si preto vyjasníme telefonicky.
Najnovšie recenzie
Alexej:
Potreboval som získať diplom, aby som sa zamestnal ako manažér. A čo je najdôležitejšie, mám skúsenosti aj zručnosti, ale bez dokladu nemôžem, prácu si nájdem kdekoľvek. Keď som sa dostal na vašu stránku, stále som sa rozhodol kúpiť si diplom. Diplom bol hotový za 2 dni! Teraz mám prácu, o ktorej sa mi predtým ani nesnívalo!! Ďakujem!
Pomery medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens - sú uvedené trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami je pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.
V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.
Navigácia na stránke.
Základné goniometrické identity
Základné goniometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.
Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.
Odlievané vzorce
Odlievané vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.
Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich použitia si môžete prečítať v článku.
Vzorce na sčítanie
Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj vzorce s viacerými uhlami) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.
Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol .
Vzorce polovičného uhla
Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov s dvojitým uhlom.
Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.
Redukčné vzorce
Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií k sínusovým a kosínusovým v prvom stupni, ale viacerých uhloch. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.
Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.
Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu
Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.
Autorské práva šikovných študentov
Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť www.site, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.
Nebudem vás presviedčať, aby ste nepísali cheaty. Napíšte! Vrátane cheatov na trigonometriu. Neskôr plánujem vysvetliť, prečo sú cheaty potrebné a ako sú cheaty užitočné. A tu - informácie o tom, ako sa neučiť, ale zapamätať si niektoré trigonometrické vzorce. Takže - trigonometria bez cheat sheet! Používame asociácie na zapamätanie.
1. Vzorce na sčítanie:
kosínusy vždy "chodia v pároch": kosínus-kosínus, sínus-sínus.
A ešte jedna vec: kosínusy sú „neadekvátne“. Oni „všetko nie je v poriadku“, a tak menia znamienka: „-“ na „+“ a naopak.
Sínusy - "mix": sínus-kosínus, kosínus-sínus.
2. Vzorce súčtu a rozdielu:
kosínusy vždy „chodia vo dvojici“. Po pridaní dvoch kosínusov - "buchty", dostaneme pár kosínusov - "kolobok". A keď odpočítame, určite nedostaneme koloboky. Dostaneme pár sínusov. Stále s mínusom dopredu.
Sínusy - "mix" :
3. Vzorce na prepočet súčinu na súčet a rozdiel.
Kedy dostaneme pár kosínusov? Pri pridávaní kosínusov. Preto
Kedy dostaneme pár sínusov? Pri odčítaní kosínusov. Odtiaľ:
"Zmiešanie" sa dosiahne pridaním a odčítaním sínusov. Čo je zábavnejšie: pridávať alebo uberať? Správne, zložiť. A pre vzorec pridajte:
V prvom a treťom vzorci v zátvorkách - suma. Od preskupenia miest pojmov sa súčet nemení. Poradie je dôležité len pre druhý vzorec. Aby sme sa však nemýlili, pre ľahšie zapamätanie vo všetkých troch vzorcoch v prvých zátvorkách berieme rozdiel
a po druhé, súčet
Postieľky vo vrecku dávajú pokoj: ak zabudnete vzorec, môžete si ho odpísať. A dávajú dôveru: ak sa vám nepodarí použiť cheat sheet, vzorce sa dajú ľahko zapamätať.
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov pre dva uhly α a β umožňujú prejsť od súčtu uvedených uhlov k súčinu uhlov α + β 2 a α - β 2 . Hneď si všimneme, že by ste si nemali zamieňať vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov so vzorcami pre sínusy a kosínusy súčtu a rozdielu. Nižšie uvádzame zoznam týchto vzorcov, uvádzame ich odvodenie a ukazujeme príklady použitia na konkrétne problémy.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Napíšme si, ako vyzerajú súčtové a rozdielové vzorce pre sínusy a kosínusy
Vzorce súčtu a rozdielu pre sínusy
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Vzorce súčtu a rozdielu pre kosínusy
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2
Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β. Uhly α + β 2 a α - β 2 sa nazývajú polovičný súčet a polovičný rozdiel uhlov alfa a beta. Pre každý vzorec uvádzame formuláciu.
Definície súčtových a rozdielových vzorcov pre sínusy a kosínusy
Súčet sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu týchto uhlov a kosínusu polovičného rozdielu.
Rozdiel sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného rozdielu týchto uhlov a kosínusu polovičného súčtu.
Súčet kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu kosínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov.
Rozdiel kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov, brané so záporným znamienkom.
Odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Na odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusu a kosínusu dvoch uhlov sa používajú sčítacie vzorce. Uvádzame ich nižšie
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Samotné uhly reprezentujeme aj ako súčet polovičných súčtov a polovičných rozdielov.
α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + α 2 + 2 - α
Pristúpime priamo k odvodeniu súčtových a rozdielových vzorcov pre sin a cos.
Odvodenie vzorca pre súčet sínusov
V súčte sin α + sin β nahradíme α a β výrazmi pre tieto uhly uvedené vyššie. Získajte
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Teraz použijeme sčítací vzorec na prvý výraz a sínusový vzorec rozdielov uhlov na druhý (pozri vzorce vyššie)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Kroky na odvodenie zvyšných vzorcov sú podobné.
Odvodenie vzorca pre rozdiel sínusov
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = hriech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Odvodenie vzorca pre súčet kosínusov
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Odvodenie kosínusového rozdielového vzorca
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Príklady riešenia praktických problémov
Na začiatok skontrolujeme jeden zo vzorcov tak, že do neho nahradíme konkrétne hodnoty uhla. Nech α = π 2, β = π 6 . Vypočítajme hodnotu súčtu sínusov týchto uhlov. Najprv použijeme tabuľku základných hodnôt goniometrických funkcií a potom použijeme vzorec pre súčet sínusov.
Príklad 1. Kontrola vzorca pre súčet sínusov dvoch uhlov
α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π π 2 + π π π 2 + 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Uvažujme teraz o prípade, keď sa hodnoty uhlov líšia od základných hodnôt uvedených v tabuľke. Nech α = 165°, β = 75°. Vypočítajme hodnotu rozdielu medzi sínusmi týchto uhlov.
Príklad 2. Použitie vzorca sínusového rozdielu
α = 165 ° , β = 75 ° hriech α - hriech β = hriech 165 ° - hriech 75 ° hriech 165 - hriech 75 = 2 hriech 165 ° - hriech 75 ° 2 čos 165 ° + hriech 75 ° 2 = 2 hriech ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Pomocou vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov môžete prejsť od súčtu alebo rozdielu k súčinu goniometrických funkcií. Často sa tieto vzorce nazývajú vzorce na prechod od súčtu k súčinu. Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov sa široko používajú pri riešení goniometrických rovníc a pri prevode goniometrických výrazov.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery vyvinuli astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientovali sa podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhla plochého trojuholníka.
Trigonometria je odvetvie matematiky zaoberajúce sa vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahom medzi stranami a uhlami trojuholníkov.
V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou mužov arabského kalifátu. Najmä turkménsky vedec al-Marazvi zaviedol také funkcie ako tangens a kotangens, zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojem sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Veľká pozornosť je venovaná trigonometrii v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.
Základné veličiny trigonometrie
Základné goniometrické funkcie numerického argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Školákom je lepšie známy vo formulácii: „Pytagorove nohavice, rovnaké vo všetkých smeroch“, pretože dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.
Sínus, kosínus a iné závislosti vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uvádzame vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a sledujeme vzťah goniometrických funkcií:
Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak reprezentujeme rameno a ako súčin sínu A a prepony c a rameno b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:
trigonometrický kruh
Graficky možno pomer spomínaných veličín znázorniť takto:
Kruh v tomto prípade predstavuje všetky možné hodnoty uhla α - od 0° do 360°. Ako je možné vidieť z obrázku, každá funkcia nadobúda zápornú alebo kladnú hodnotu v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude so znamienkom „+“, ak α patrí do I a II štvrtín kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.
Pokúsme sa zostaviť trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistiť význam veličín.
Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° atď. sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.
Tieto uhly neboli zvolené náhodou. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka kruhového oblúka zodpovedá jeho polomeru. Táto hodnota bola zavedená za účelom vytvorenia univerzálneho vzťahu, pri výpočte v radiánoch nezáleží na skutočnej dĺžke polomeru v cm.
Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:
Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je celý kruh alebo 360°.
Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus
Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.
Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínusovú a kosínusovú vlnu:
| sínusoida | kosínusová vlna |
|---|---|
| y = hriech x | y = cos x |
| ODZ [-1; jeden] | ODZ [-1; jeden] |
| sin x = 0, pre x = πk, kde k ϵ Z | cos x = 0, pre x = π/2 + πk, kde k ϵ Z |
| sin x = 1, pre x = π/2 + 2πk, kde k ϵ Z | cos x = 1, pre x = 2πk, kde k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kde k ϵ Z | cos x = - 1, pre x = π + 2πk, kde k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, teda nepárna funkcia | cos (-x) = cos x, t.j. funkcia je párna |
| funkcia je periodická, najmenšia perióda je 2π | |
| sin x › 0, pričom x patrí štvrtine I a II alebo od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pričom x patrí štvrtine I a IV alebo od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pričom x patrí štvrtine III a IV alebo od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pričom x patrí štvrtine II a III alebo od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| rastie na intervale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | rastie na intervale [-π + 2πk, 2πk] |
| klesá na intervaloch [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | klesá v intervaloch |
| derivát (sin x)' = cos x | derivát (cos x)’ = - sin x |
Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sú znamienka rovnaké, funkcia je párna, v opačnom prípade je nepárna.
Zavedenie radiánov a vymenovanie hlavných vlastností sínusovej a kosínusovej vlny nám umožňuje priniesť nasledujúci vzorec:
Overenie správnosti vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 sa sínus rovná 1, rovnako ako kosínus x = 0. Overenie možno vykonať prezeraním tabuliek alebo sledovaním funkčných kriviek pre dané hodnoty.
Vlastnosti tangentoidu a kotangentoidu
Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od sínusoidy a kosínusovej vlny. Hodnoty tg a ctg sú navzájom inverzné.
- Y = tgx.
- Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
- Najmenšia kladná perióda tangentoidu je π.
- Tg (- x) \u003d - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
- Tg x = 0, pre x = πk.
- Funkcia sa zvyšuje.
- Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivát (tg x)' = 1/cos 2x.
Zvážte grafické znázornenie kotangentoidu nižšie v texte.
Hlavné vlastnosti kotangentoidu:
- Y = ctgx.
- Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
- Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
- Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
- Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
- Funkcia sa znižuje.
- Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivát (ctg x)' = - 1/sin 2 x Fix
