Úvod

V matematike a jej aplikáciách v prírodných vedách a technike sú exponenciálne funkcie široko používané. Vysvetľuje to najmä skutočnosť, že mnohé javy študované v prírodných vedách patria medzi takzvané procesy organického rastu, v ktorých sú miery zmeny funkcií, ktoré sa na nich podieľajú, úmerné hodnotám funkcií. sami.

Ak je označený funkciou a argumentom, potom diferenciálny zákon procesu organického rastu možno zapísať v tvare, kde je nejaký konštantný koeficient úmernosti.

Integrácia tejto rovnice vedie k všeobecnému riešeniu vo forme exponenciálnej funkcie

Ak nastavíte počiatočnú podmienku na, môžete určiť ľubovoľnú konštantu, a tak nájsť konkrétne riešenie, ktoré je neoddeliteľnou súčasťou posudzovaného procesu.

Procesy organického rastu zahŕňajú, pri niektorých zjednodušujúcich predpokladoch, také javy, ako je napríklad zmena atmosférického tlaku v závislosti od výšky nad povrchom Zeme, rádioaktívny rozpad, ochladzovanie alebo zahrievanie telesa v prostredí s konštantnou teplotou, atď. unimolekulárna chemická reakcia (napríklad rozpustenie látky vo vode), pri ktorej dochádza k zákonu pôsobenia hmoty (rýchlosť reakcie je úmerná množstvu prítomného reaktantu), rozmnožovanie mikroorganizmov a mnohé iné.

Rast množstva peňazí v dôsledku pripisovania zloženého úroku z nich (úrok z úroku) je tiež procesom organického rastu.

V týchto príkladoch by sa dalo pokračovať.

Spolu s jednotlivými exponenciálnymi funkciami nachádzajú uplatnenie v matematike a jej aplikáciách aj rôzne kombinácie exponenciálnych funkcií, z ktorých majú osobitný význam určité lineárne a zlomkovo-lineárne kombinácie funkcií a takzvané hyperbolické funkcie. Týchto funkcií je šesť, boli pre ne zavedené tieto špeciálne názvy a označenia:

(hyperbolický sínus),

(hyperbolický kosínus),

(hyperbolická dotyčnica),

(hyperbolický kotangens),

(hyperbolický sekant),

(hyperbolický sekant).

Vyvstáva otázka, prečo sa uvádzajú práve takéto názvy a tu je hyperbola a názvy funkcií známych z trigonometrie: sínus, kosínus atď.? Ukazuje sa, že vzťahy spájajúce goniometrické funkcie so súradnicami bodov kružnice jednotkového polomeru sú podobné vzťahom spájajúcim hyperbolické funkcie so súradnicami bodov rovnostrannej hyperboly s jednotkovou poloosou. To odôvodňuje názov hyperbolických funkcií.

Hyperbolické funkcie

Funkcie dané vzorcami sa nazývajú hyperbolický kosínus a hyperbolický sínus.

Tieto funkcie sú definované a nepretržite zapnuté a ide o párnu funkciu a nepárnu funkciu.

Obrázok 1.1 - Grafy funkcií

Z definície hyperbolických funkcií vyplýva, že:

Analogicky s goniometrickými funkciami sú hyperbolický tangens a kotangens definované vzorcami

Funkcia je definovaná a spojitá a funkcia je definovaná a spojitá na množine s prepichnutým bodom; obe funkcie sú nepárne, ich grafy sú znázornené na obrázkoch nižšie.

Obrázok 1.2 - Graf funkcie

Obrázok 1.3 - Graf funkcie

Dá sa ukázať, že funkcie a sa striktne zvyšujú, zatiaľ čo funkcia striktne klesá. Preto sú tieto funkcie reverzibilné. Označte funkcie k nim inverzné, resp.

Uvažujme funkciu inverznú k funkcii, t.j. funkciu. Vyjadrujeme to v pojmoch elementárnych. Vyriešením rovnice vzhľadom na, dostaneme Odkiaľ, teda odkiaľ

Nahradením za a za nájdeme vzorec pre inverznú funkciu pre hyperbolický sínus.

Spolu so spojením medzi goniometrickými a exponenciálnymi funkciami, ktoré sme objavili v komplexnej oblasti (Eulerove vzorce)

v komplexnej oblasti existuje veľmi jednoduché spojenie medzi goniometrickými a hyperbolickými funkciami.

Pripomeňme, že podľa definície:

Ak v identite (3) nahradíme s potom na pravej strane dostaneme rovnaký výraz, ktorý je na pravej strane identity, z čoho vyplýva rovnosť ľavých strán. To isté platí pre identity (4) a (2).

Rozdelením oboch častí identity (6) na zodpovedajúce časti identity (5) a naopak (5) pomocou (6) dostaneme:

Podobné nahradenie v identitách (1) a (2) a porovnanie s identitami (3) a (4) dáva:

Nakoniec z identít (9) a (10) nájdeme:

Ak dosadíme identity (5) - (12), kde x je reálne číslo, t. j. argument považujeme za čisto imaginárny, dostaneme ďalších osem identít medzi goniometrickými funkciami čisto imaginárneho argumentu a zodpovedajúcimi hyperbolickými funkciami reálneho argumentu. argument, ako aj medzi hyperbolickými funkciami čisto imaginárneho argumentu a zodpovedajúcimi trigonometrickými funkciami skutočného argumentu:

Získané vzťahy umožňujú prejsť od goniometrických funkcií k hyperbolickým a od

hyperbolické funkcie na trigonometrické s nahradením imaginárneho argumentu skutočným. Môžu byť formulované podľa nasledujúceho pravidla:

Ak chcete prejsť od goniometrických funkcií imaginárneho argumentu k hyperbolickým alebo naopak, od hyperbolických funkcií imaginárneho argumentu k goniometrickým, je potrebné vyňať imaginárnu jednotku zo znamienka funkcie pre sínus a tangens a úplne ju zahodiť. pre kosínus.

Vzniknuté spojenie je pozoruhodné najmä v tom, že umožňuje získať všetky vzťahy medzi hyperbolickými funkciami zo známych vzťahov medzi goniometrickými funkciami tak, že sa trigonometrické funkcie nahradia hyperbolickými funkciami.

Poďme si ukázať, ako to je. sa robí.

Vezmime si napríklad základnú trigonometrickú identitu

a vložte tam, kde x je reálne číslo; dostaneme:

Ak v tejto identite nahradíme sínus a kosínus hyperbolickým sínusom a kosínusom podľa vzorcov, dostaneme alebo a to je základná identita medzi predtým odvodenými iným spôsobom.

Podobne môžete odvodiť všetky ostatné vzorce, vrátane vzorcov pre hyperbolické funkcie súčtu a rozdielu argumentov, dvojitých a polovičných argumentov atď., takže z bežnej trigonometrie dostanete „hyperbolickú trigonometriu“.

HYPERBOLICKÉ FUNKCIE- Hyperbolický sínus (sh x) a kosínus (ch x) sú definované nasledujúcimi rovnosťami:

Hyperbolický tangent a kotangens sú definované analogicky s trigonometrickým tangentom a kotangensom:

Hyperbolický sekans a kosekans sú definované podobne:

Existujú vzorce:

Vlastnosti hyperbolických funkcií sú v mnohých ohľadoch podobné vlastnostiam (pozri). Rovnice x=cos t, y=sin t určujú kružnicu x²+y² = 1; rovnice x=сh t, y=sh t definujú hyperbolu x² - y²=1. Ako goniometrické funkcie sú určené z kruhu s jednotkovým polomerom, tak aj hyperbolické funkcie sú určené z rovnoramennej hyperboly x² - y² = 1. Argument t je dvojitá plocha tieňovaného krivočiareho trojuholníka OME (obr. 48), podobne ako pre kruhové (trigonometrické) funkcie je argument t číselne rovný dvojnásobku plochy krivočiareho trojuholníka OKE ( Obr. 49):

pre kruh

pre hyperbolu

Sčítacie vety pre hyperbolické funkcie sú podobné ako sčítacie vety pre goniometrické funkcie:

Tieto analógie sú ľahko viditeľné, ak sa ako argument x vezme komplexná premenná r. Hyperbolické funkcie súvisia s goniometrickými funkciami podľa nasledujúcich vzorcov: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, kde i je jedným z hodnoty koreňa √-1. Hyperbolické funkcie sh x, ako aj ch x: môžu nadobúdať akékoľvek veľké hodnoty (teda samozrejme veľké jednotky) na rozdiel od goniometrických funkcií sin x, cos x, ktoré pre reálne hodnoty nemôžu byť väčšia ako jedna v absolútnej hodnote.
Hyperbolické funkcie zohrávajú úlohu v Lobačevského geometrii (pozri), používajú sa pri štúdiu odolnosti materiálov, v elektrotechnike a iných oblastiach poznania. V literatúre sú aj označenia hyperbolických funkcií ako sinh x; cosh x; tghx.