Každá aritmetická operácia sa niekedy stáva príliš ťažkopádnou na zaznamenávanie a snažia sa ju zjednodušiť. Kedysi to tak bolo aj s operáciou sčítania. Bolo potrebné, aby ľudia vykonávali opakované pridávanie rovnakého typu, napríklad vypočítať náklady na sto perzských kobercov, ktorých cena je 3 zlaté mince za každý. 3+3+3+…+3 = 300. Kvôli ťažkopádnosti bolo vynájdené zredukovať zápis na 3 * 100 = 300. V skutočnosti zápis „tri krát sto“ znamená, že musíte vziať sto trojičky a sčítajte ich. Násobenie sa zakorenilo a získalo všeobecnú popularitu. Svet však nestojí a v stredoveku bolo potrebné vykonávať opakované množenie rovnakého typu. Spomínam si na starú indiánsku hádanku o múdrom mužovi, ktorý si za odmenu za vykonanú prácu pýtal pšeničné zrná v nasledujúcom množstve: za prvú bunku šachovnice pýtal jedno zrno, za druhé dve, tretie štyri. , piaty - osem a tak ďalej. Takto sa objavilo prvé násobenie mocnín, pretože počet zŕn sa rovnal dvom mocnine počtu buniek. Napríklad v poslednej bunke by bolo 2*2*2*…*2 = 2^63 zŕn, čo sa rovná číslu dlhému 18 znakov, čo je v skutočnosti význam hádanky.

Operácia povýšenia na moc sa zakorenila pomerne rýchlo a rýchlo sa stalo nutnosťou vykonávať sčítanie, odčítanie, delenie a násobenie stupňov. To posledné stojí za zváženie podrobnejšie. Vzorce na sčítanie mocnín sú jednoduché a ľahko zapamätateľné. Okrem toho je veľmi ľahké pochopiť, odkiaľ pochádzajú, ak je výkonová operácia nahradená násobením. Najprv však musíte pochopiť základnú terminológiu. Výraz a ^ b (čítaj „a na mocninu b“) znamená, že číslo a by sa malo samo násobiť b-krát a „a“ sa nazýva základ stupňa a „b“ je exponent. Ak sú základy mocnín rovnaké, potom sú vzorce odvodené celkom jednoducho. Konkrétny príklad: nájdite hodnotu výrazu 2^3 * 2^4. Aby ste vedeli, čo by sa malo stať, mali by ste pred začatím riešenia nájsť odpoveď v počítači. Zadaním tohto výrazu do ľubovoľnej online kalkulačky, vyhľadávača, zadaním „násobenia mocnín s rôznymi základmi a rovnako“ alebo matematického balíka bude výstup 128. Teraz napíšme tento výraz: 2^3 = 2*2*2, a 2^4 = 2*2*2*2. Ukazuje sa, že 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ukazuje sa, že súčin mocnín s rovnakým základom sa rovná základu umocnenému na mocninu rovnajúcu sa súčtu predchádzajúcich dvoch mocnín.

Možno si myslíte, že ide o nehodu, ale nie: každý iný príklad môže toto pravidlo len potvrdiť. Vo všeobecnosti teda vzorec vyzerá takto: a^n * a^m = a^(n+m) . Existuje tiež pravidlo, že každé číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej. Tu by sme mali pamätať na pravidlo záporných mocnín: a^(-n) = 1 / a^n. To znamená, že ak 2^3 = 8, potom 2^(-3) = 1/8. Pomocou tohto pravidla môžeme dokázať rovnosť a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) môže byť zmenšené a zostáva jedno. Z toho je odvodené pravidlo, že podiel mocnín s rovnakým základom sa rovná tejto základni v miere rovnajúcej sa podielu dividendy a deliteľa: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Príklad: Zjednodušte výraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Násobenie je komutatívna operácia, takže exponenty násobenia je potrebné najprv sčítať: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Ďalej by ste sa mali zaoberať rozdelením negatívnym stupňom. Od deliteľa je potrebné odpočítať exponent: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. ukazuje sa, že operácia delenia záporným stupňom je totožná s operáciou násobenia podobným kladným exponentom. Takže konečná odpoveď je 8.

Existujú príklady, kde dochádza k nekanonickému násobeniu právomocí. Násobenie síl s rôznymi základmi je veľmi často oveľa ťažšie a niekedy dokonca nemožné. Je potrebné uviesť niekoľko príkladov rôznych možných prístupov. Príklad: zjednodušte výraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Je zrejmé, že dochádza k násobeniu mocnín s rôznymi základmi. Treba však poznamenať, že všetky bázy sú rôzne mocniny trojky. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Pomocou pravidla (a^n) ^m = a^(n*m) by ste mali výraz prepísať do vhodnejšieho tvaru: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odpoveď: 3^11. V prípadoch, keď existujú rôzne základy, pravidlo a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funguje pre rovnaké ukazovatele. Napríklad 3^3 * 7^3 = 21^3. V opačnom prípade, keď existujú rôzne základy a ukazovatele, nie je možné vykonať úplné násobenie. Niekedy môžete čiastočne zjednodušiť alebo sa uchýliť k pomoci výpočtovej techniky.

Lekcia na tému: "Pravidlá pre násobenie a delenie mocnín s rovnakými a rôznymi exponentmi. Príklady"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 7
Manuál k učebnici Yu.N. Makarycheva Manuál k učebnici A.G. Mordkovič

Účel lekcie: naučiť sa vykonávať operácie s mocninami čísla.

Na začiatok si pripomeňme pojem „moc čísla“. Výraz ako $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ môže byť reprezentovaný ako $a^n$.

Platí to aj naopak: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Táto rovnosť sa nazýva „zaznamenanie stupňa ako produktu“. Pomôže nám to určiť spôsob násobenia a deľby moci.
Pamätajte:
a- základ stupňa.
n- exponent.
Ak n=1, čo znamená číslo a prijaté raz a v tomto poradí: $a^n= 1$.
Ak n=0, potom $a^0= 1$.

Prečo sa to deje, zistíme, keď sa zoznámime s pravidlami pre násobenie a delenie mocnín.

pravidlá násobenia

a) Ak sa mocniny s rovnakým základom násobia.
Do $a^n * a^m$ zapíšeme mocniny ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m) $.
Obrázok ukazuje, že číslo a zobral n+m krát, potom $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Túto vlastnosť je vhodné použiť na zjednodušenie práce pri zvýšení čísla na veľkú moc.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ak sa mocniny vynásobia iným základom, ale rovnakým exponentom.
Do $a^n * b^n$ zapíšeme mocniny ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m) $.
Ak zameníme faktory a spočítame výsledné dvojice, dostaneme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Takže $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

pravidlá rozdelenia

a) Základ stupňa je rovnaký, exponenty sú rôzne.
Zvážte delenie stupňa väčším exponentom delením stupňa menším exponentom.

Takže je to potrebné $\frac(a^n)(a^m)$, kde n>m.

Stupne píšeme ako zlomok:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Pre pohodlie zapisujeme delenie ako jednoduchý zlomok.

Teraz znížme zlomok.

Ukazuje sa: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
znamená, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Táto vlastnosť pomôže vysvetliť situáciu so zvýšením čísla na nulu. Predpokladajme, že n=m, potom $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Príklady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Základy stupňa sú rôzne, ukazovatele sú rovnaké.
Povedzme, že potrebujete $\frac(a^n)( b^n)$. Mocniny čísel zapíšeme ako zlomok:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Pre pohodlie si to predstavme.

Pomocou vlastnosti zlomkov rozdelíme veľký zlomok na súčin malých, dostaneme.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Podľa toho: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Príklad.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

V minulom videonávode sme sa dozvedeli, že stupeň základu je výraz, ktorý je súčinom základu a seba samého, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.

Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:

Poďme sa pozrieť na tento diel celý:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braný 5-krát. A skutočne, ak počítate, potom:

Dá sa teda bezpečne dospieť k záveru, že:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Toto pravidlo funguje úspešne pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia stupňa vyplýva z pravidla zachovania významu výrazov pri transformáciách v súčine. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a) x a (a) y rovná a (x + y). Inými slovami, pri vytváraní akýchkoľvek výrazov s rovnakým základom má konečný jednočlen celkový stupeň vytvorený pridaním stupňa prvého a druhého výrazu.

Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby základy pre všetky boli rovnaké. Napríklad:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nie je možné pridávať stupne a skutočne vykonávať akékoľvek mocenské spoločné akcie s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín pri súčine dokonale prenášajú aj do postupu delenia. Zvážte tento príklad:

Urobme transformáciu výrazu po členoch do plnej formy a zredukujme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už pri jeho riešení je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.

Na určenie stupňa kvocientu je potrebné odpočítať stupeň deliteľa od stupňa dividendy. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. V abstraktnej forme máme:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definícia pre nultý stupeň vyplýva z pravidla delenia rovnakých základov s mocninami. Je zrejmé, že nasledujúci výraz je:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Na druhej strane, ak rozdelíme viac vizuálne, dostaneme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:

Bez ohľadu na hodnotu a.

Bolo by však absurdné, keby sa 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) nejako rovná jednej, takže výraz ako (0) 0 (nula na nulový stupeň) jednoducho nedáva zmysel a vzorec (a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.

Urobme cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):

Inými slovami:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpoveď: Výraz sa rovná jednej.

Pojem diplom z matematiky sa zavádza už v 7. ročníku na hodine algebry. A v budúcnosti, počas štúdia matematiky, sa tento koncept aktívne používa vo svojich rôznych formách. Stupne sú pomerne zložitou témou, ktorá si vyžaduje zapamätanie si hodnôt a schopnosť správne a rýchlo počítať. Pre rýchlejšiu a lepšiu prácu s titulmi z matematiky prišli s vlastnosťami titulu. Pomáhajú obmedziť veľké výpočty, do určitej miery previesť obrovský príklad na jediné číslo. Vlastností nie je až tak veľa a všetky sa dajú ľahko zapamätať a aplikovať v praxi. Preto článok pojednáva o hlavných vlastnostiach stupňa, ako aj o tom, kde sa uplatňujú.

stupňa vlastnosti

Budeme uvažovať o 12 vlastnostiach stupňa vrátane vlastností mocnín s rovnakým základom a ku každej vlastnosti uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a tiež vás ušetrí od mnohých výpočtových chýb.

1. nehnuteľnosť.

Mnoho ľudí veľmi často zabúda na túto vlastnosť, robí chyby a predstavuje číslo na nulový stupeň ako nulu.

2. nehnuteľnosť.

3. nehnuteľnosť.

Treba si uvedomiť, že túto vlastnosť je možné použiť len pri násobení čísel, nepracuje so súčtom! A nesmieme zabúdať, že táto a nasledujúce vlastnosti platia len pre mocniny s rovnakým základom.

4. nehnuteľnosť.

Ak je číslo v menovateli umocnené na zápornú mocninu, potom pri odčítaní sa stupeň menovateľa berie do zátvoriek, aby sa znamienko správne nahradilo v ďalších výpočtoch.

Vlastnosť funguje len pri delení, nie pri odčítaní!

5. nehnuteľnosť.

6. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť možno použiť aj opačne. Jednotka delená číslom do určitej miery je toto číslo na zápornú mocninu.

7. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť nemožno použiť na súčet a rozdiel! Pri zvyšovaní súčtu alebo rozdielu na mocninu sa používajú skrátené vzorce násobenia, nie vlastnosti mocniny.

8. nehnuteľnosť.

9. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje pre ľubovoľný zlomkový stupeň s čitateľom rovným jednej, vzorec bude rovnaký, iba stupeň odmocniny sa bude meniť v závislosti od menovateľa stupňa.

Táto vlastnosť sa tiež často používa v opačnom poradí. Odmocninu ktorejkoľvek mocniny čísla možno znázorniť ako číslo k mocnine jednotky vydelené mocninou odmocniny. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď nie je extrahovaný koreň čísla.

10. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje nielen s druhou odmocninou a druhým stupňom. Ak je stupeň koreňa a stupeň, do ktorého je tento koreň vyvýšený, rovnaký, potom bude odpoveďou radikálny výraz.

11. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť musíte pri riešení včas vidieť, aby ste sa ušetrili od obrovských výpočtov.

12. nehnuteľnosť.

Každá z týchto vlastností sa vám v úlohách stretne viackrát, môže byť daná v čistej forme, alebo si môže vyžadovať nejaké transformácie a použitie iných vzorcov. Pre správne riešenie preto nestačí poznať len vlastnosti, treba si precvičiť a prepojiť ostatné matematické poznatky.

Aplikácia stupňov a ich vlastnosti

Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly z matematiky. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnice, ale aj mocniny často komplikujú rovnice a príklady súvisiace s inými úsekmi matematiky. Exponenty pomáhajú vyhnúť sa veľkým a dlhým výpočtom, je jednoduchšie zmenšiť a vypočítať exponenty. Ale na prácu s veľkými mocninami alebo s mocninami veľkých čísel potrebujete poznať nielen vlastnosti stupňa, ale aj kompetentne pracovať s bázami, vedieť ich rozložiť, aby ste si uľahčili úlohu. Pre pohodlie by ste tiež mali poznať význam čísel umocnených na mocninu. Tým sa skráti čas pri riešení, pretože odpadá potreba dlhých výpočtov.

Osobitnú úlohu v logaritmoch zohráva pojem stupňa. Pretože logaritmus je v podstate sila čísla.

Skrátené vzorce na násobenie sú ďalším príkladom použitia mocniny. Nemôžu využívať vlastnosti stupňov, rozkladajú sa podľa osobitných pravidiel, ale v každom skrátenom násobiteľskom vzorci sú vždy stupne.

Tituly sa aktívne využívajú aj vo fyzike a informatike. Všetky preklady do sústavy SI sa robia pomocou stupňov a v budúcnosti sa pri riešení úloh uplatňujú vlastnosti stupňa. V informatike sa aktívne používajú mocniny dvoch pre pohodlie počítania a zjednodušenie vnímania čísel. Ďalšie výpočty na prevody merných jednotiek alebo výpočty problémov, rovnako ako vo fyzike, sa vyskytujú pomocou vlastností stupňa.

Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde málokedy nájdete využitie vlastností stupňa, no samotné stupne sa aktívne využívajú na skrátenie záznamu rôznych veličín a vzdialeností.

Stupne sa používajú aj v každodennom živote, pri výpočte plôch, objemov, vzdialeností.

Pomocou stupňov sú v akejkoľvek oblasti vedy napísané veľmi veľké a veľmi malé hodnoty.

exponenciálne rovnice a nerovnice

Vlastnosti stupňov zaujímajú špeciálne miesto práve v exponenciálnych rovniciach a nerovniciach. Tieto úlohy sú veľmi bežné v školskom kurze aj na skúškach. Všetky sú riešené aplikáciou vlastností stupňa. Neznáma je vždy v samotnom stupni, preto, keď poznáme všetky vlastnosti, nebude ťažké vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť.

Ako znásobiť sily? Ktoré mocniny možno znásobiť a ktoré nie? Ako vynásobíte číslo mocninou?

V algebre môžete nájsť súčin mocnín v dvoch prípadoch:

1) ak tituly majú rovnaký základ;

2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.

Pri násobení mocnín s rovnakým základom musí základ zostať rovnaký a musia sa pridať exponenty:

Pri násobení stupňov s rovnakými ukazovateľmi je možné celkový ukazovateľ vyňať zo zátvoriek:

Zvážte, ako znásobiť právomoci, s konkrétnymi príkladmi.

Jednotka v exponente sa nepíše, ale pri násobení stupňov sa berú do úvahy:

Pri násobení môže byť počet stupňov ľubovoľný. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemôžete napísať znak násobenia:

Vo výrazoch sa najskôr vykoná umocňovanie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo mocninou, musíte najprv vykonať umocnenie a až potom - násobenie:

www.algebraclass.ru

Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie mocniny

Sčítanie a odčítanie mocnín

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno pridávať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šance rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné a rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať tak, že ich pridáte k svojim znakom.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie moci

Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšete za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

takze mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním exponentov.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú − negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Rozdelenie právomocí

Čísla s mocninou môžeme deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením v tvare zlomku.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $\frac $ Odpoveď: $\frac $.

2. Znížte exponenty v $\frac$. Odpoveď: $\frac $ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

stupňa vlastnosti

Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme stupňa vlastnosti s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. O stupňoch s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnostiach sa bude diskutovať na hodinách pre 8. ročník.

Exponent s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré vám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch exponentov.

Nehnuteľnosť #1
Súčin síl

Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a exponenty sa sčítavajú.

a m a n \u003d a m + n, kde "a" je ľubovoľné číslo a "m", "n" sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín ovplyvňuje aj súčin troch a viacerých mocnín.

Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prezentujte ako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prezentujte ako diplom.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v naznačenej vlastnosti išlo len o násobenie mocnín s rovnakými základmi.. Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5 . To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť č. 2
Súkromné ​​tituly

Pri delení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

Napíšte podiel ako mocninu
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Vypočítajte.

11 3 – 2 4 2 – 1 = 11 4 = 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Používame vlastnosť čiastkových stupňov.
38: t = 34

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou stupňov vlastností.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upozorňujeme, že majetok 2 sa zaoberal iba rozdelením právomocí s rovnakými základmi.

Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1 . Je to pochopiteľné, ak vypočítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nehnuteľnosť č. 3
Umocňovanie

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ moci nezmenený a exponenty sa násobia.

(a n) m \u003d a n m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.

(a n b n) = (a b) n

To znamená, že ak chcete násobiť stupne s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy a ponechať exponent nezmenený.

Príklad. Vypočítajte.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Príklad. Vypočítajte.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

V zložitejších príkladoch môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať na mocninách s rôznymi základňami a rôznymi exponentmi. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.

Napríklad 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Príklad umocnenia desatinného zlomku.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Vlastnosti 5
Mocnosť kvocientu (zlomky)

Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.

(a: b) n \u003d a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.

Príklad. Vyjadrite výraz ako čiastkové mocniny.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme zvyšovania moci zlomku podrobnejšie venujeme na ďalšej strane.

Stupne a korene

Operácie s mocnosťami a koreňmi. Stupeň s negatívom ,

nulové a zlomkové indikátor. O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel.

Operácie so stupňami.

1. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich ukazovatele sčítajú:

a m · a n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom ich ukazovatele odpočítané .

3. Stupeň súčinu dvoch alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov.

4. Stupeň pomeru (zlomok) sa rovná pomeru stupňov dividendy (čitateľ) a deliteľa (menovateľ):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri zvýšení stupňa na mocninu sa ich ukazovatele násobia:

Všetky vyššie uvedené vzorce sa čítajú a vykonávajú v oboch smeroch zľava doprava a naopak.

PRÍKLAD (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operácie s koreňmi. Vo všetkých nižšie uvedených vzorcoch symbol znamená aritmetický koreň(radikálny výraz je kladný).

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Koreň pomeru sa rovná pomeru koreňov dividendy a deliteľa:

3. Pri povýšení koreňa na moc stačí povýšiť na túto moc koreňové číslo:

4. Ak zväčšíte stupeň odmocniny o m-krát a súčasne zvýšite číslo odmocniny na m -tý stupeň, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň odmocniny o m-krát a súčasne vytiahnete odmocninu m-tého stupňa z radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali o stupňoch len s prirodzeným ukazovateľom; ale operácie s mocnosťami a koreňmi môžu viesť aj k negatívne, nula a zlomkové ukazovatele. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu.

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň určitého čísla so záporným (celočíselným) exponentom je definovaný ako stupeň vydelený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote záporného exponentu:

Teraz vzorec a m : a n = a m-n možno použiť nielen na m, viac ako n, ale aj pri m, menej ako n .

PRÍKLAD a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ak chceme vzorec a m : a n = a m — n bol spravodlivý m = n, potrebujeme definíciu nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Stupeň akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je 1.

PRÍKLADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Aby ste zvýšili skutočné číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovať koreň n-tého stupňa z m-tej mocniny tohto čísla a:

O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel. Existuje niekoľko takýchto výrazov.

kde a ≠ 0 , neexistuje.

Pravdaže, ak to predpokladáme X je určité číslo, potom v súlade s definíciou operácie delenia máme: a = 0· X, t.j. a= 0, čo je v rozpore s podmienkou: a ≠ 0

— ľubovoľné číslo.

V skutočnosti, ak predpokladáme, že tento výraz sa rovná nejakému číslu X, potom podľa definície operácie delenia máme: 0 = 0 X. Ale táto rovnosť platí ľubovoľné číslo x, čo sa malo preukázať.

0 0 — ľubovoľné číslo.

Riešenie. Zvážte tri hlavné prípady:

1) X = 0 – táto hodnota nespĺňa túto rovnicu

2) kedy X> 0 dostaneme: x / x= 1, t.j. 1 = 1, odkiaľ nasleduje,

čo X- ľubovoľné číslo; ale s prihliadnutím na to

náš prípad X> 0, odpoveď je X > 0 ;

Pravidlá pre násobenie právomocí s rôznymi základmi

STUPEŇ S RACIONÁLNYM UKAZOVATEĽOM,

FUNKCIA NAPÁJANIA IV

§ 69. Násobenie a delenie právomocí s rovnakými základmi

Veta 1. Na vynásobenie mocnín s rovnakým základom stačí spočítať exponenty a základ nechať rovnaký, tzn.

Dôkaz. Podľa definície stupňa

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Uvažovali sme o súčine dvoch mocností. V skutočnosti dokázaná vlastnosť platí pre ľubovoľný počet mocnín s rovnakými základmi.

Veta 2. Na rozdelenie mocnín s rovnakými základňami, keď je ukazovateľ dividendy väčší ako ukazovateľ deliteľa, stačí odpočítať ukazovateľ deliteľa od ukazovateľa dividendy a základ nechať rovnaký, tj. pri t > n

(a =/= 0)

Dôkaz. Pripomeňme, že podiel delenia jedného čísla druhým je číslo, ktoré po vynásobení deliteľom dáva dividendu. Preto dokážte vzorec , kde a =/= 0, je to ako dokazovanie vzorca

Ak t > n , potom číslo t - p bude prirodzené; preto podľa vety 1

Veta 2 je dokázaná.

Všimnite si, že vzorec

nami dokázané len za predpokladu, že t > n . Preto z dokázaného zatiaľ nie je možné vyvodiť napríklad tieto závery:

Okrem toho sme ešte neuvažovali o stupňoch so zápornými exponentmi a ešte nevieme, aký význam môže mať výraz 3 - 2 .

Veta 3. Na zvýšenie mocniny na mocninu stačí vynásobiť exponenty, pričom základ exponentu zostane rovnaký, t.j

Dôkaz. Použitím definície stupňa a vety 1 tejto časti dostaneme:

Q.E.D.

Napríklad (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Ústne.) Určite X z rovníc:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Upravené) Zjednodušte:

520. (Upravené) Zjednodušiť:

521. Prezentujte tieto výrazy ako stupne s rovnakým základom:

1) 32 a 64; 3) 85 a 163; 5) 4 100 a 32 50;

2) -1000 a 100; 4) -27 a -243; 6) 81 75 8 200 a 3 600 4 150.