Matematika je najpresnejší a najuniverzálnejší jazyk vedy, ale je možné vysvetliť ľudské pocity pomocou čísel? Vzorce lásky, semienka chaosu a romantické diferenciálne rovnice – T&P publikuje kapitolu z knihy „Potešenie X“ od jedného z najlepších učiteľov matematiky na svete Stevena Strogatza, ktorú vydali Mann, Ivanov a Ferber.
Na jar, napísal Tennyson, sa predstavivosť mladého muža ľahko zmení na myšlienky lásky. Žiaľ, potenciálny partner mladého muža môže mať svoje vlastné predstavy o láske a potom bude ich vzťah plný búrlivých vzostupov a pádov, vďaka ktorým je láska taká vzrušujúca a bolestivá. Niektorí trpiaci neopätovanými hľadajú vysvetlenie týchto milostných výkyvov vo víne, iní - v poézii. A budeme konzultovať s výpočtami.
Nižšie uvedená analýza bude posmešne ironická, ale dotýka sa vážnych tém. Navyše, ak nám pochopenie zákonov lásky môže uniknúť, potom sú zákony neživého sveta dobre preštudované. Majú formu diferenciálnych rovníc opisujúcich, ako sa vzájomne súvisiace premenné menia z momentu na moment v závislosti od ich aktuálnych hodnôt. Takéto rovnice možno nemajú veľa spoločného s romantikou, no aspoň môžu osvetliť, prečo slovami iného básnika „cesta pravej lásky nikdy nebola hladká“. Na ilustráciu metódy diferenciálnych rovníc predpokladajme, že Rómeo miluje Júliu, ale v našej verzii príbehu je Júlia veterná láska. Čím viac ju Romeo miluje, tým viac sa chce pred ním skrývať. Ale keď Romeo k nej vychladne, začne sa jej zdať nezvyčajne príťažlivý. Mladý milenec však má tendenciu odrážať jej city: žiari, keď ho miluje, a chladne, keď ho nenávidí.
Čo sa stane s našimi nešťastnými milencami? Ako ich láska po čase pohltí a opustí? Tu prichádza na pomoc diferenciálny počet. Vytvorením rovníc zhrňujúcich pribúdanie a ubúdanie citov Rómea a Júlie a ich následným riešením môžeme predpovedať priebeh vzťahu páru. Konečnou prognózou pre ňu bude tragicky nekonečný cyklus lásky a nenávisti. Aspoň štvrtinu tohto času budú mať vzájomnú lásku.
Aby som dospel k tomuto záveru, predpokladal som, že Romeovo správanie možno modelovať pomocou diferenciálnej rovnice,
ktorý opisuje, ako sa jeho láska ® mení v nasledujúcom okamihu (dt). Podľa tejto rovnice je počet zmien (dR) priamo úmerný (s faktorom úmernosti a) Júliinej láske (J). Tento vzťah odráža to, čo už vieme: Rómeova láska rastie, keď ho miluje Júlia, no zároveň naznačuje, že Rómeova láska rastie priamo úmerne s tým, ako veľmi ho miluje Júlia. Tento predpoklad lineárneho vzťahu je emocionálne nepravdepodobný, ale umožňuje výrazne zjednodušiť riešenie rovnice.
Naproti tomu Júliino správanie sa dá modelovať pomocou rovnice
Záporné znamienko pred konštantou b odráža, že jej láska ochladzuje, keď sa Romeova láska zintenzívňuje.
Jediné, čo zostáva určiť, sú ich počiatočné pocity (to znamená hodnoty R a J v čase t = 0). Potom sa nastavia všetky potrebné parametre. Pomocou počítača môžeme postupovať pomaly, krok za krokom, a meniť hodnoty R a J podľa vyššie opísaných diferenciálnych rovníc. V skutočnosti, pomocou základnej vety integrálneho počtu, môžeme nájsť riešenie analyticky. Pretože je tento model jednoduchý, integrálny počet vytvára niekoľko vyčerpávajúcich vzorcov, ktoré nám hovoria, ako veľmi sa budú Rómeo a Júlia milovať (alebo nenávidieť) kedykoľvek v budúcnosti.
Vyššie uvedené diferenciálne rovnice by mali byť študentom fyziky známe: Rómeo a Júlia sa správajú ako jednoduché harmonické oscilátory. Model teda predpovedá, že funkcie R (t) a J (t), popisujúce zmenu ich vzťahu v čase, budú sínusoidy, pričom každá z nich bude narastať a klesať, ale ich maximálne hodnoty sa nezhodujú.
"Hlúpy nápad opísať milostný vzťah pomocou diferenciálnych rovníc mi prišiel na myseľ, keď som bol prvýkrát zamilovaný a snažil som sa pochopiť nepochopiteľné správanie mojej priateľky."
Model je možné urobiť realistickejším mnohými spôsobmi. Napríklad Romeo môže reagovať nielen na Júliine pocity, ale aj na svoje vlastné. Čo ak je jedným z tých chlapov, ktorí sa tak boja opustenia, že schladí svoje city. Alebo odkazuje na iný typ chlapov, ktorí radi trpia - preto ju miluje.
Pridajte k týmto scenárom ďalšie dve Rómeove správanie – na Júliinu náklonnosť reaguje buď posilňovaním alebo oslabovaním vlastnej náklonnosti – a uvidíte, že v milostných vzťahoch existujú štyri rôzne spôsoby správania. Moji študenti a študenti skupiny Petra Christophera na Worcesterskom polytechnickom inštitúte navrhli pomenovať tieto typy takto: Pustovník alebo Zlý mizantrop pre Rómea, ktorý schladí svoje city a odtiahne sa od Júlie, a Narcistický blázon a Flirtujúci Fink pre toho, kto sa zahreje. jeho zápal, ale Júlia ho odmietla. (Pre všetky tieto typy si môžete vymyslieť svoje vlastné mená.)
Hoci uvedené príklady sú fantastické, typy rovníc, ktoré ich popisujú, sú veľmi informatívne. Sú to najmocnejšie nástroje, aké kedy ľudstvo vytvorilo na pochopenie materiálneho sveta. Sir Isaac Newton použil diferenciálne rovnice na objavenie tajomstiev pohybu planét. Pomocou týchto rovníc skombinoval pozemskú a nebeskú sféru, čím ukázal, že pre obe platia rovnaké zákony pohybu.
Takmer 350 rokov po Newtonovi ľudstvo pochopilo, že fyzikálne zákony sú vždy vyjadrené v jazyku diferenciálnych rovníc. Platí to pre rovnice opisujúce toky tepla, vzduchu a vody, pre zákony elektriny a magnetizmu, dokonca aj pre atóm, kde vládne kvantová mechanika.
Vo všetkých prípadoch musí teoretická fyzika nájsť správne diferenciálne rovnice a vyriešiť ich. Keď Newton objavil tento kľúč k tajomstvám vesmíru a uvedomil si jeho veľký význam, vydal ho ako latinský anagram. Vo voľnom preklade to znie takto: "Je užitočné riešiť diferenciálne rovnice."
Hlúpy nápad opísať milostné vzťahy pomocou diferenciálnych rovníc mi napadol, keď som bol prvýkrát zamilovaný a snažil som sa pochopiť nepochopiteľné správanie mojej priateľky. Bol to letný románik na konci môjho druhého ročníka na vysokej škole. Veľmi som si vtedy pripomínal prvého Rómea a ona bola prvá Júlia. Cyklický charakter nášho vzťahu ma privádzal do šialenstva, kým som si neuvedomil, že obaja konáme zotrvačnosťou, v súlade s jednoduchým pravidlom „push-ťahaj“. No ku koncu leta sa moja rovnica začala rúcať a ešte viac som bol zmätený. Ukázalo sa, že došlo k dôležitej udalosti, ktorú som nebral do úvahy: jej bývalý milenec ju chcel späť.
V matematike takýto problém nazývame problém troch telies. Je evidentne neriešiteľný, najmä v kontexte astronómie, kde prvýkrát vznikol. Keď Newton vyriešil diferenciálne rovnice pre problém dvoch telies (čo vysvetľuje, prečo sa planéty pohybujú po eliptických dráhach okolo Slnka), obrátil svoju pozornosť na problém troch telies pre Slnko, Zem a Mesiac. Ani jemu, ani iným vedcom sa to nepodarilo vyriešiť. Neskôr sa ukázalo, že problém troch tiel obsahuje zárodky chaosu, čiže z dlhodobého hľadiska je ich správanie nepredvídateľné.
Newton nevedel nič o dynamike chaosu, no podľa jeho priateľa Edmunda Halleyho sa sťažoval, že ho z problému troch telies rozbolela hlava a nedal mu spať tak často, že by na to už nemyslel.
Tu som s vami, Sir Isaac.
Túto knihu dobre dopĺňa:
Quanta
Scott Patterson
Brainiac
Ken Jennings
peňažná guľa
Michael Lewis
Flexibilná myseľ
Carol Dweck
Fyzika akciového trhu
James Weatherall
Radosť z X
Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna
Štefan Strogatz
potešenie z X
Vzrušujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete
Informácie od vydavateľa
Prvýkrát publikované v ruštine
Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.
Strogaty, P.
potešenie z X. Vzrušujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete / Stephen Strogatz; za. z angličtiny. - M.: Mann, Ivanov a Ferber, 2014.
ISBN 978-500057-008-1
Táto kniha dokáže radikálne zmeniť váš postoj k matematike. Pozostáva z krátkych kapitol, v každej objavíte niečo nové. Dozviete sa, aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo vás, pochopíte krásu geometrie, zoznámite sa s eleganciou integrálneho počtu, uvidíte dôležitosť štatistiky a dostanete sa do kontaktu s nekonečnom. Autor jednoducho a elegantne vysvetľuje základné matematické myšlienky a uvádza brilantné príklady, ktorým každý rozumie.
Všetky práva vyhradené.
Žiadna časť tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme bez písomného súhlasu držiteľov autorských práv.
Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária „Vegas-Lex“
© Steven Strogatz, 2012 Všetky práva vyhradené
© Preklad do ruštiny, vydanie v ruštine, dizajn. LLC "Mann, Ivanov a Ferber", 2014
Predslov
Mám priateľa, ktorý je napriek svojmu remeslu (je umelec) zapálený pre vedu. Vždy, keď sa stretneme, nadšene rozpráva o najnovšom vývoji v psychológii či kvantovej mechanike. No len čo sa bavíme o matematike, cíti chvenie v kolenách, čo ho veľmi rozruší. Sťažuje sa, že tieto zvláštne matematické symboly mu nielen odporujú, ale niekedy ani nevie, ako ich vysloviť.
V skutočnosti je dôvod jeho nechuti k matematike oveľa hlbší. Nikdy nepochopí, čo matematici vo všeobecnosti robia a čo tým myslia, keď hovoria, že tento dôkaz je elegantný. Niekedy si robíme srandu, že by som si mal sadnúť a začať ho učiť od úplných základov, doslova od 1 + 1 = 2, a ísť do matematiky, ako len môže.
A hoci sa táto myšlienka zdá bláznivá, pokúsim sa ju v tejto knihe zrealizovať. Prevediem vás všetkými hlavnými odvetviami vedy, od aritmetiky až po pokročilú matematiku, aby tí, ktorí chceli druhú šancu, ju konečne využili. A tentoraz si nemusíte sadnúť za stôl. Táto kniha z vás neurobí odborníka na matematiku. Ale pomôže to pochopiť, čo táto disciplína študuje a prečo je taká vzrušujúca pre tých, ktorí jej rozumejú.
Dozvieme sa, ako môžu slam dunks Michaela Jordana pomôcť vysvetliť základy kalkulu. Ukážem vám jednoduchý a úžasný spôsob, ako pochopiť základnú vetu euklidovskej geometrie – Pytagorovu vetu. Pokúsime sa prísť na koreň niektorým životným záhadám, veľkým aj malým: Zabil Jay Simpson svoju manželku? ako posunúť matrac tak, aby vydržal čo najdlhšie; koľko partnerov treba vystriedať pred odohraním svadby – a uvidíme, prečo sú niektoré nekonečná väčšie ako iné.
Matematika je všade, len sa ju treba naučiť rozoznávať. Môžete vidieť sínusoidu na chrbte zebry, môžete počuť ozveny Euklidových teorémov v Deklarácii nezávislosti; čo poviem, aj v suchých správach, ktoré predchádzali prvej svetovej vojne, sú záporné čísla. Môžete tiež vidieť, ako dnes nové oblasti matematiky ovplyvňujú náš život, napríklad keď hľadáme reštaurácie pomocou počítača alebo sa snažíme aspoň pochopiť, či ešte lepšie prežiť desivé výkyvy na akciovom trhu.
Koncom januára 2010 sa na internete objavila séria 15 článkov pod všeobecným názvom „Základy matematiky“. V reakcii na ich zverejnenie sa listy a komentáre hrnuli od čitateľov všetkých vekových kategórií, medzi ktorými bolo veľa študentov a učiteľov. Boli tiež jednoducho zvedaví ľudia, ktorí z jedného alebo druhého dôvodu „zablúdili“ v chápaní matematickej vedy; teraz majú pocit, že im niečo uniklo. o a chcel by som to skúsiť znova. Potešilo ma najmä poďakovanie od rodičov za to, že s mojou pomocou dokázali svojim deťom vysvetliť matematiku a oni sami jej začali lepšie rozumieť. Zdalo sa, že aj moji kolegovia a súdruhovia, zanietení obdivovatelia tejto vedy, radi čítali články, okrem tých chvíľ, keď medzi sebou súperili, kto ponúka všelijaké odporúčania na zlepšenie mojich potomkov.
Napriek všeobecnému presvedčeniu je v spoločnosti jasný záujem o matematiku, hoci sa tomuto fenoménu venuje malá pozornosť. O strachu z matematiky len počúvame, no mnohí by sa ho radi pokúsili lepšie pochopiť. A keď sa to stane, bude ťažké ich odtrhnúť.
Táto kniha vám predstaví najkomplexnejšie a najpokročilejšie myšlienky zo sveta matematiky. Kapitoly sú krátke, dobre sa čítajú a v podstate na sebe nezávisia. Medzi nimi sú tie, ktoré sú zahrnuté v prvej sérii článkov v New York Times. Takže akonáhle pocítite mierny matematický hlad, neváhajte a pustite sa do ďalšej kapitoly. Ak chcete problematike, ktorá vás zaujíma, porozumieť podrobnejšie, tak na konci knihy sú poznámky s ďalšími informáciami a odporúčania, čo si o nej ešte môžete prečítať.
Pre pohodlie čitateľov, ktorí preferujú postupný prístup, som materiál rozdelil do šiestich častí v súlade s tradičným poradím tém.
Časť I „Čísla“ začína našu púť s počtami v škôlke a na základnej škole. Ukazuje, aké užitočné môžu byť čísla a ako magicky efektívne opisujú svet okolo nás.
Časť II „Pomery“ presúva pozornosť od samotných čísel na vzťahy medzi nimi. Tieto myšlienky sú jadrom algebry a sú prvými nástrojmi na opis toho, ako jedna ovplyvňuje druhú, ukazujúc príčinný vzťah rôznych vecí: ponuky a dopytu, stimulov a reakcií – skrátka všetkých druhov vzťahov, ktoré tvoria svet. také rozmanité a bohaté..
Časť III „Obrázky“ nie je o číslach a symboloch, ale o postavách a priestore – doméne geometrie a trigonometrie. Tieto témy spolu s popisom všetkých pozorovateľných objektov prostredníctvom foriem, prostredníctvom logického uvažovania a dôkazov posúvajú matematiku na novú úroveň presnosti.
V časti IV „Čas zmeny“ sa pozrieme na počet - najpôsobivejšiu a najrozmanitejšiu oblasť matematiky. Kalkulácia umožňuje predpovedať trajektóriu planét, cykly prílivu a odlivu a umožňuje pochopiť a opísať všetky periodicky sa meniace procesy a javy vo Vesmíre a v nás. Dôležité miesto v tejto časti je venované štúdiu nekonečna, ktorého upokojenie bolo prelomom, ktorý umožnil fungovanie výpočtov. Výpočtová technika pomohla vyriešiť mnohé problémy, ktoré vznikli v starovekom svete, a to nakoniec viedlo k revolúcii vo vede a modernom svete.
Časť V „Mnoho tvárí údajov“ sa zaoberá pravdepodobnosťou, štatistikou, sieťami a spracovaním údajov – sú to ešte relatívne mladé oblasti, ktoré generujú nie vždy usporiadané aspekty nášho života, ako sú príležitosť a šťastie, neistota, riziko, nestálosť, náhodnosť. , vzájomná závislosť. Pomocou správnych matematických nástrojov a správnych dátových typov sa naučíme rozpoznať vzory v prúde náhodnosti.
Na konci našej cesty v časti VI „Hranice možného“ sa priblížime k hraniciam matematického poznania, k hraničnej oblasti medzi tým, čo je už známe a tým, čo je ešte neuchopiteľné a nepoznané. Opäť si prejdeme témy v už známom poradí: čísla, pomery, tvary, zmeny a nekonečno – no zároveň sa nad každou z nich budeme hlbšie zaoberať, v jej modernej inkarnácii.
Radosť z X
Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna
Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.
© Steven Strogatz, 2012 Všetky práva vyhradené
© Preklad do ruštiny, vydanie v ruštine, dizajn. LLC "Mann, Ivanov a Ferber", 2014
Všetky práva vyhradené. Žiadna časť elektronickej verzie tejto knihy sa nesmie reprodukovať v žiadnej forme alebo akýmikoľvek prostriedkami, vrátane zverejňovania na internete a v podnikových sieťach, na súkromné a verejné použitie bez písomného súhlasu vlastníka autorských práv.
Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária „Vegas-Lex“
* * *
Túto knihu dobre dopĺňa:
Quanta
Scott Patterson
Brainiac
Ken Jennings
peňažná guľa
Michael Lewis
Flexibilná myseľ
Carol Dweck
Fyzika akciového trhu
James Weatherall
Predslov
Mám priateľa, ktorý je napriek svojmu remeslu (je umelec) zapálený pre vedu. Vždy, keď sa stretneme, nadšene rozpráva o najnovšom vývoji v psychológii či kvantovej mechanike. No len čo sa bavíme o matematike, cíti chvenie v kolenách, čo ho veľmi rozruší. Sťažuje sa, že tieto zvláštne matematické symboly mu nielen odporujú, ale niekedy ani nevie, ako ich vysloviť.
V skutočnosti je dôvod jeho nechuti k matematike oveľa hlbší. Nikdy nepochopí, čo matematici vo všeobecnosti robia a čo tým myslia, keď hovoria, že tento dôkaz je elegantný. Niekedy si robíme srandu, že by som si mal sadnúť a začať ho učiť od úplných základov, doslova od 1 + 1 = 2, a ísť do matematiky, ako len môže.
A hoci sa táto myšlienka zdá bláznivá, pokúsim sa ju v tejto knihe zrealizovať. Prevediem vás všetkými hlavnými odvetviami vedy, od aritmetiky až po pokročilú matematiku, aby tí, ktorí chceli druhú šancu, ju konečne využili. A tentoraz si nemusíte sadnúť za stôl. Táto kniha z vás neurobí odborníka na matematiku. Ale pomôže to pochopiť, čo táto disciplína študuje a prečo je taká vzrušujúca pre tých, ktorí jej rozumejú.
Aby sme si ujasnili, čo mám na mysli pod pojmom život čísiel a ich správanie, ktoré nevieme ovplyvniť, vráťme sa do hotela Furry Paws. Predpokladajme, že Humphrey sa práve chystal doručiť objednávku, no potom mu nečakane zavolali tučniaky z inej miestnosti a tiež požiadali o rovnaké množstvo rýb. Koľkokrát musí Humphrey kričať slovo „ryba“ po prijatí dvoch objednávok? Ak by nevedel nič o číslach, musel by kričať toľkokrát, koľko je totálnych tučniakov v oboch izbách. Alebo pomocou čísel mohol kuchárovi vysvetliť, že na jedno číslo potrebuje šesť rýb a na druhé šesť. Čo však skutočne potrebuje, je nový koncept: pridanie. Keď to zvládne, hrdo povie, že potrebuje šesť plus šesť (alebo, ak je pozér, dvanásť) rýb.
Ide o rovnaký kreatívny proces, ako keď sme práve vymýšľali čísla. Rovnako ako čísla uľahčujú počítanie, ako ich uvádzať po jednom, sčítanie uľahčuje výpočet akejkoľvek sumy. Zároveň sa ten, kto robí výpočet, rozvíja ako matematik. Vedecky možno túto myšlienku formulovať nasledovne: používanie správnych abstrakcií vedie k hlbšiemu nahliadnutiu do podstaty problému a väčšej sile pri jeho riešení.
Čoskoro si možno aj Humphrey uvedomí, že teraz môže vždy počítať.
Avšak aj napriek takejto nekonečnej perspektíve má naša kreativita vždy nejaké obmedzenia. Môžeme sa rozhodnúť, čo myslíme 6 a +, ale akonáhle to urobíme, výsledky výrazov ako 6 + 6 sú mimo našu kontrolu. Logika nám tu nedáva na výber. V tomto zmysle matematika vždy zahŕňa vynález, tak objav: my vymýšľanie pojmy, ale OTVORENÉ ich dôsledky. Ako sa ukáže v nasledujúcich kapitolách, naša sloboda v matematike spočíva v schopnosti klásť otázky a vytrvalo na ne hľadať odpovede, no bez toho, aby sme si ich sami vymýšľali.
2. Kamenná aritmetika
Ako každý jav v živote, aj aritmetika má dve stránky: formálnu a zábavnú (alebo hravú).
Formálnu časť sme študovali v škole. Vysvetlili nám prácu so stĺpcami čísel, ich sčítanie a odčítanie, ako s nimi lopatou pri výpočtoch v tabuľkových procesoroch pri vypĺňaní daňových priznaní a príprave výročných správ. Táto stránka aritmetiky sa mnohým zdá z praktického hľadiska dôležitá, no úplne bezútešná.
So zábavnou stránkou aritmetiky sa môžete zoznámiť až v procese štúdia vyššej matematiky. {3}. Je však prirodzená ako detská zvedavosť. {4}.
V eseji "The Matematician's Lament" Paul Lockhart navrhuje študovať čísla s konkrétnejšími príkladmi ako zvyčajne: žiada nás, aby sme ich reprezentovali vo forme niekoľkých kameňov. Napríklad číslo 6 zodpovedá nasledujúcej skupine kamienkov:
Sotva tu uvidíte niečo neobvyklé. Ako to je. Kým nezačneme manipulovať s číslami, vyzerajú takmer rovnako. Hra začína, keď dostaneme úlohu.
Pozrime sa napríklad na sady, ktoré majú 1 až 10 kameňov a skúsme z nich poskladať štvorce. Dá sa to urobiť iba s dvoma sadami 4 a 9 kameňov, pretože 4 = 2 × 2 a 9 = 3 × 3. Tieto čísla získame umocnením nejakého iného čísla (t. j. umocnenie kvadrátu kameňov).
Tu je problém, ktorý má väčší počet riešení: musíte zistiť, ktoré sady vytvoria obdĺžnik, ak usporiadate kamene do dvoch radov s rovnakým počtom prvkov. Tu sú vhodné sady 2, 4, 6, 8 alebo 10 kameňov; číslo musí byť párne. Ak sa pokúsime poukladať zvyšné sady s nepárnym počtom kameňov do dvoch radov, tak nám vždy zostane kameň navyše.
Ale pre tieto nepríjemné čísla nie je všetko stratené! Ak vezmeme dve takéto množiny, extra prvky si nájdu pár pre seba a súčet bude párny: nepárne číslo + nepárne číslo = párne číslo.
Ak tieto pravidlá rozšírime na čísla po 10 a uvážime, že počet riadkov v obdĺžniku môže byť viac ako dva, potom niektoré nepárne čísla umožnia pridanie takýchto obdĺžnikov. Napríklad číslo 15 vytvorí obdĺžnik 3×5.
Preto, aj keď je 15 nepochybne nepárne číslo, je to zložené číslo a možno ho znázorniť ako tri rady po piatich kameňoch. Podobne každý záznam v násobilke vytvorí svoju vlastnú obdĺžnikovú skupinu kamienkov.
Ale niektoré čísla, ako napríklad 2, 3, 5 a 7, sú úplne beznádejné. Nedá sa z nich nič vyskladať, okrem ich usporiadania vo forme jednoduchej čiary (jeden riadok). Títo zvláštni tvrdohlaví ľudia sú slávnymi prvočíslami.
Vidíme teda, že čísla môžu mať bizarné štruktúry, ktoré im dávajú určitý charakter. Aby sme si však predstavili celú škálu ich správania, musíme ustúpiť od jednotlivých čísel a sledovať, čo sa deje počas ich interakcie.
Napríklad namiesto sčítania iba dvoch nepárnych čísel spočítajme všetky možné postupnosti nepárnych čísel počnúc od 1:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Prekvapivo sa tieto sumy vždy ukážu ako dokonalé štvorce. (Už sme hovorili o tom, ako možno 4 a 9 znázorniť ako štvorce, a to platí aj pre 16 = 4 × 4 a 25 = 5 × 5.) Rýchly výpočet ukazuje, že toto pravidlo platí aj pre väčšie nepárne čísla a zrejme má tendenciu do nekonečna. Aká je však súvislosť medzi nepárnymi číslami s ich kameňmi „navyše“ a klasicky symetrickými číslami, ktoré tvoria štvorce? Správnym umiestnením kameňov to môžeme dať najavo, čo je znakom elegantného dôkazu. {5}
Kľúčom k tomu bude pozorovanie, že nepárne čísla môžu byť reprezentované ako rovnostranné rohy, ktorých postupné ukladanie na seba vytvára štvorec!
Podobný spôsob uvažovania predstavuje ďalšia nedávno vydaná kniha. Pôvabný román Yoko Ogawa The Housekeeper and the Professor sleduje bystrú, no nevzdelanú mladú ženu a jej desaťročného syna. Žena bola najatá, aby sa starala o staršieho matematika, ktorý si v dôsledku úrazu hlavy uchováva v krátkodobej pamäti iba informácie o posledných 80 minútach svojho života. Stratený v prítomnosti, sám vo svojej špinavej chalúpke len s číslami, sa profesor pokúša komunikovať s gazdinou jediným spôsobom, ktorý vie: pýtať sa jej na veľkosť topánok alebo dátum narodenia a porozprávať sa s ňou o jej výdavkoch. . Profesor má mimoriadne rád aj syna gazdinej, ktorého volá Ruth (koreň - koreň), pretože chlapec má navrchu plochú hlavu, čo mu pripomína zápis v matematike pre druhú odmocninu √.
Jedného dňa zadá profesor chlapcovi jednoduchú úlohu – nájsť súčet všetkých čísel od 1 do 10. Potom, čo Ruth opatrne spočíta všetky čísla a vráti sa s odpoveďou (55), profesor ho požiada, aby hľadal jednoduchší spôsob. Dokáže nájsť odpoveď bez jednoduché sčítanie čísel? Ruth kopne do stoličky a kričí: "To nie je fér!"
Do sveta čísel je kúsok po kúsku vtiahnutá aj domáca a potajomky sa snaží tento problém vyriešiť sama. „Nechápem, prečo som sa nechala tak uniesť detskou skladačkou, ktorá nemá praktické využitie,“ hovorí. „Najprv som chcel potešiť profesora, no postupne sa táto aktivita zmenila na boj medzi mnou a číslami. Keď som sa ráno zobudil, už na mňa čakala rovnica:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,
Potešenie z X. Vzrušujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na sveteŠtefan Strogatz
(zatiaľ žiadne hodnotenia)
Názov: The Pleasure of X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete
O rozkoši X. Vzrušujúca cesta matematikou od jedného z najlepších učiteľov na svete od Stevena Strogatza
Táto kniha dokáže radikálne zmeniť váš postoj k matematike. Pozostáva z krátkych kapitol, v každej objavíte niečo nové. Dozviete sa, aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo vás, pochopíte krásu geometrie, zoznámite sa s eleganciou integrálneho počtu, uvidíte dôležitosť štatistiky a dostanete sa do kontaktu s nekonečnom. Autor jednoducho a elegantne vysvetľuje základné matematické myšlienky a uvádza brilantné príklady, ktorým každý rozumie.
Prvýkrát publikované v ruštine.
Na našej stránke o knihách lifeinbooks.net si môžete bezplatne stiahnuť bez registrácie alebo prečítať online knihu „The Pleasure of X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete“ od Stephena Strogatza v epub, formáty fb2, txt, rtf, pdf pre iPad, iPhone, Android a Kindle. Kniha vám poskytne veľa príjemných chvíľ a skutočný pôžitok z čítania. Plnú verziu si môžete zakúpiť u nášho partnera. Tiež tu nájdete najnovšie správy z literárneho sveta, dozviete sa biografiu svojich obľúbených autorov. Pre začínajúcich spisovateľov je tu samostatná sekcia s užitočnými tipmi a trikmi, zaujímavými článkami, vďaka ktorým si môžete vyskúšať písanie.
Túto knihu dobre dopĺňa:
Quanta
Scott Patterson
Brainiac
Ken Jennings
peňažná guľa
Michael Lewis
Flexibilná myseľ
Carol Dweck
Fyzika akciového trhu
James Weatherall
Radosť X
Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna
Štefan Strogatz
Vzrušujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete
Informácie od vydavateľa
Prvýkrát publikované v ruštine
Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.
Strogaty, P.
Pleasure from X. Vzrušujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete / Steven Strogatz; za. z angličtiny. - M.: Mann, Ivanov a Ferber, 2014.
ISBN 978-500057-008-1
Táto kniha dokáže radikálne zmeniť váš postoj k matematike. Pozostáva z krátkych kapitol, v každej objavíte niečo nové. Dozviete sa, aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo vás, pochopíte krásu geometrie, zoznámite sa s eleganciou integrálneho počtu, uvidíte dôležitosť štatistiky a dostanete sa do kontaktu s nekonečnom. Autor jednoducho a elegantne vysvetľuje základné matematické myšlienky a uvádza brilantné príklady, ktorým každý rozumie.
Všetky práva vyhradené.
Žiadna časť tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme bez písomného súhlasu držiteľov autorských práv.
Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária „Vegas-Lex“
© Steven Strogatz, 2012 Všetky práva vyhradené
© Preklad do ruštiny, vydanie v ruštine, dizajn. LLC "Mann, Ivanov a Ferber", 2014
Predslov
Mám priateľa, ktorý je napriek svojmu remeslu (je umelec) zapálený pre vedu. Vždy, keď sa stretneme, nadšene rozpráva o najnovšom vývoji v psychológii či kvantovej mechanike. No len čo sa bavíme o matematike, cíti chvenie v kolenách, čo ho veľmi rozruší. Sťažuje sa, že tieto zvláštne matematické symboly mu nielen odporujú, ale niekedy ani nevie, ako ich vysloviť.
V skutočnosti je dôvod jeho nechuti k matematike oveľa hlbší. Nikdy nepochopí, čo matematici vo všeobecnosti robia a čo tým myslia, keď hovoria, že tento dôkaz je elegantný. Niekedy si robíme srandu, že by som si mal sadnúť a začať ho učiť od úplných základov, doslova od 1 + 1 = 2, a ísť do matematiky, ako len môže.
A hoci sa táto myšlienka zdá bláznivá, pokúsim sa ju v tejto knihe zrealizovať. Prevediem vás všetkými hlavnými odvetviami vedy, od aritmetiky až po pokročilú matematiku, aby tí, ktorí chceli druhú šancu, ju konečne využili. A tentoraz si nemusíte sadnúť za stôl. Táto kniha z vás neurobí odborníka na matematiku. Ale pomôže to pochopiť, čo táto disciplína študuje a prečo je taká vzrušujúca pre tých, ktorí jej rozumejú.
Dozvieme sa, ako môžu slam dunks Michaela Jordana pomôcť vysvetliť základy kalkulu. Ukážem vám jednoduchý a úžasný spôsob, ako pochopiť základnú vetu euklidovskej geometrie – Pytagorovu vetu. Pokúsime sa prísť na koreň niektorým životným záhadám, veľkým aj malým: Zabil Jay Simpson svoju manželku? ako posunúť matrac tak, aby vydržal čo najdlhšie; koľko partnerov treba vystriedať pred odohraním svadby – a uvidíme, prečo sú niektoré nekonečná väčšie ako iné.
Matematika je všade, len sa ju treba naučiť rozoznávať. Môžete vidieť sínusoidu na chrbte zebry, môžete počuť ozveny Euklidových teorémov v Deklarácii nezávislosti; čo poviem, aj v suchých správach, ktoré predchádzali prvej svetovej vojne, sú záporné čísla. Môžete tiež vidieť, ako dnes nové oblasti matematiky ovplyvňujú náš život, napríklad keď hľadáme reštaurácie pomocou počítača alebo sa snažíme aspoň pochopiť, či ešte lepšie prežiť desivé výkyvy na akciovom trhu.
Koncom januára 2010 sa na internete objavila séria 15 článkov pod všeobecným názvom „Základy matematiky“. V reakcii na ich zverejnenie sa listy a komentáre hrnuli od čitateľov všetkých vekových kategórií, medzi ktorými bolo veľa študentov a učiteľov. Boli tiež jednoducho zvedaví ľudia, ktorí z jedného alebo druhého dôvodu „zablúdili“ v chápaní matematickej vedy; teraz majú pocit, že im niečo uniklo a chceli by to skúsiť znova. Potešilo ma najmä poďakovanie od rodičov za to, že s mojou pomocou dokázali svojim deťom vysvetliť matematiku a oni sami jej začali lepšie rozumieť. Zdalo sa, že aj moji kolegovia a súdruhovia, zanietení obdivovatelia tejto vedy, radi čítali články, okrem tých chvíľ, keď medzi sebou súperili, kto ponúka všelijaké odporúčania na zlepšenie mojich potomkov.
Napriek všeobecnému presvedčeniu je v spoločnosti jasný záujem o matematiku, hoci sa tomuto fenoménu venuje malá pozornosť. O strachu z matematiky len počúvame, no mnohí by sa ho radi pokúsili lepšie pochopiť. A keď sa to stane, bude ťažké ich odtrhnúť.
Táto kniha vám predstaví najkomplexnejšie a najpokročilejšie myšlienky zo sveta matematiky. Kapitoly sú krátke, dobre sa čítajú a v podstate na sebe nezávisia. Medzi nimi sú tie, ktoré sú zahrnuté v prvej sérii článkov v New York Times. Takže akonáhle pocítite mierny matematický hlad, neváhajte a pustite sa do ďalšej kapitoly. Ak chcete problematike, ktorá vás zaujíma, porozumieť podrobnejšie, tak na konci knihy sú poznámky s ďalšími informáciami a odporúčania, čo si o nej ešte môžete prečítať.
Pre pohodlie čitateľov, ktorí preferujú postupný prístup, som materiál rozdelil do šiestich častí v súlade s tradičným poradím tém.
Časť I „Čísla“ začína našu púť s počtami v škôlke a na základnej škole. Ukazuje, aké užitočné môžu byť čísla a ako magicky efektívne opisujú svet okolo nás.
Časť II „Pomery“ presúva pozornosť od samotných čísel na vzťahy medzi nimi. Tieto myšlienky sú jadrom algebry a sú prvými nástrojmi na opis toho, ako jedna ovplyvňuje druhú, ukazujúc príčinný vzťah rôznych vecí: ponuky a dopytu, stimulov a reakcií – skrátka všetkých druhov vzťahov, ktoré tvoria svet. také rozmanité a bohaté..
Časť III „Obrázky“ nie je o číslach a symboloch, ale o postavách a priestore – doméne geometrie a trigonometrie. Tieto témy spolu s popisom všetkých pozorovateľných objektov prostredníctvom foriem, prostredníctvom logického uvažovania a dôkazov posúvajú matematiku na novú úroveň presnosti.
V časti IV „Čas zmeny“ sa pozrieme na počet - najpôsobivejšiu a najrozmanitejšiu oblasť matematiky. Kalkulácia umožňuje predpovedať trajektóriu planét, cykly prílivu a odlivu a umožňuje pochopiť a opísať všetky periodicky sa meniace procesy a javy vo Vesmíre a v nás. Dôležité miesto v tejto časti je venované štúdiu nekonečna, ktorého upokojenie bolo prelomom, ktorý umožnil fungovanie výpočtov. Výpočtová technika pomohla vyriešiť mnohé problémy, ktoré vznikli v starovekom svete, a to nakoniec viedlo k revolúcii vo vede a modernom svete.
Časť V „Mnoho tvárí údajov“ sa zaoberá pravdepodobnosťou, štatistikou, sieťami a spracovaním údajov – sú to ešte relatívne mladé oblasti, ktoré generujú nie vždy usporiadané aspekty nášho života, ako sú príležitosť a šťastie, neistota, riziko, nestálosť, náhodnosť. , vzájomná závislosť. Pomocou správnych matematických nástrojov a správnych dátových typov sa naučíme rozpoznať vzory v prúde náhodnosti.
Na konci našej cesty v časti VI „Hranice možného“ sa priblížime k hraniciam matematického poznania, k hraničnej oblasti medzi tým, čo je už známe a tým, čo je ešte neuchopiteľné a nepoznané. Opäť si prejdeme témy v už známom poradí: čísla, pomery, tvary, zmeny a nekonečno – no zároveň sa nad každou z nich budeme hlbšie zaoberať, v jej modernej inkarnácii.
Dúfam, že všetky myšlienky v tejto knihe sú pre vás vzrušujúce a prinútia vás povedať: „No, dobre!“ viackrát. Vždy však treba niekde začať, takže začnime jednoduchou, no fascinujúcou činnosťou, akou je počítanie.
1. Základy čísel: Pridávanie rýb
Najlepšiu ukážku konceptu čísel, akú som kedy videl (najjasnejšie a najzábavnejšie vysvetlenie toho, čo sú čísla a prečo ich potrebujeme), som videl v jednej epizóde obľúbenej detskej relácie Sezamová ulica s názvom 123: Counting Together » (123 Počítajte so mnou). X...
