Uvažujme o téme transformácie výrazov pomocou mocnin, ale najprv sa zastavíme pri množstve transformácií, ktoré je možné vykonať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane mocninových. Naučíme sa otvárať zátvorky, dávať lajkovacie výrazy, pracovať so základom a exponentom, využívať vlastnosti mocnín.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Čo sú mocenské výrazy?
V školskom kurze len málo ľudí používa frázu „silové výrazy“, ale tento výraz sa neustále nachádza v zbierkach na prípravu na skúšku. Vo väčšine prípadov fráza označuje výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. To je to, čo budeme odrážať v našej definícii.
Definícia 1
Silový prejav je výraz, ktorý obsahuje mocniny.
Uvádzame niekoľko príkladov mocninných výrazov, počnúc stupňom s prirodzeným exponentom a končiac stupňom so skutočným exponentom.
Za najjednoduchšie mocniny možno považovať mocniny čísla s prirodzeným exponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Rovnako ako mocniny s nulovým exponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . A mocniny so zápornými celočíselnými mocninami: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
Trochu ťažšie je pracovať s titulom, ktorý má racionálne a iracionálne exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Indikátor môže byť premenná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 alebo logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.
Zaoberali sme sa otázkou, čo sú to mocenské výrazy. Teraz sa poďme pozrieť na ich premenu.
Hlavné typy transformácií mocenských výrazov
Najprv zvážime základné transformácie identity výrazov, ktoré možno vykonať pomocou mocenských výrazov.
Príklad 1
Vypočítajte hodnotu mocninového výrazu 2 3 (4 2 − 12).
rozhodnutie
Všetky transformácie vykonáme v súlade s poradím úkonov. V tomto prípade začneme vykonaním akcií v zátvorkách: stupeň nahradíme digitálnou hodnotou a vypočítame rozdiel medzi týmito dvoma číslami. Máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Zostáva nám nahradiť stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítajte súčin 8 4 = 32. Tu je naša odpoveď.
odpoveď: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
Príklad 2
Zjednodušte vyjadrovanie pomocou právomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
rozhodnutie
Výraz, ktorý sme dostali v podmienke problému, obsahuje podobné pojmy, ktoré môžeme priniesť: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
odpoveď: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
Príklad 3
Vyjadrite výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 ako súčin.
rozhodnutie
Predstavme si číslo 9 ako mocninu 3 2 a použite skrátený vzorec násobenia:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
odpoveď: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
A teraz prejdime k analýze identických transformácií, ktoré sa dajú konkrétne aplikovať na mocninné výrazy.
Práca so základom a exponentom
Stupeň v základe alebo exponent môže mať čísla, premenné a niektoré výrazy. Napríklad, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 a . S takýmito záznamami sa ťažko pracuje. Oveľa jednoduchšie je nahradiť výraz v základe stupňa alebo výraz v exponente identicky rovnakým výrazom.
Transformácie stupňa a ukazovateľa sa vykonávajú podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, oddelene od seba. Najdôležitejšie je, že v dôsledku transformácií sa získa výraz, ktorý je identický s pôvodným.
Účelom transformácií je zjednodušiť pôvodný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme uviedli vyššie, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 môžete vykonávať operácie na prechod na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otvorením zátvoriek môžeme uviesť podobné výrazy v základe stupňa (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) a získajte mocenské vyjadrenie jednoduchšej formy a 2 (x + 1).
Používanie vlastností napájania
Vlastnosti stupňov, zapísané ako rovnosti, sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov so stupňami. Vzhľadom na to uvádzame tie hlavné a a b sú nejaké kladné čísla a r a s- ľubovoľné reálne čísla:
Definícia 2
- a ra s = a r + s;
- a r: a s = a r − s ;
- (ab) r = a r b r;
- (a:b) r = a r: br;
- (a r) s = a r s .
V prípadoch, keď máme čo do činenia s prirodzenými, celými, kladnými exponentmi, môžu byť obmedzenia pre čísla a a b oveľa menej prísne. Ak teda vezmeme do úvahy napríklad rovnosť a m a n = a m + n, kde m a n sú prirodzené čísla, potom to bude platiť pre všetky hodnoty a, kladné aj záporné, ako aj pre a = 0.
Vlastnosti stupňov môžete použiť bez obmedzení v prípadoch, keď sú základy stupňov kladné alebo obsahujú premenné, ktorých rozsah prijateľných hodnôt je taký, že základy na nich nadobúdajú iba kladné hodnoty. Úlohou žiaka je totiž v rámci školského učiva z matematiky vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať.
Pri príprave na prijatie na vysoké školy sa môžu vyskytnúť úlohy, pri ktorých nepresná aplikácia vlastností povedie k zúženiu ODZ a iným ťažkostiam s riešením. V tejto časti zvážime iba dva takéto prípady. Viac informácií k téme nájdete v téme "Transformovanie výrazov pomocou vlastností exponentov".
Príklad 4
Reprezentovať výraz a2, 5 (a2) - 3: a - 5, 5 ako titul so základom a.
rozhodnutie
Na začiatok použijeme vlastnosť umocňovania a pomocou nej transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Potom použijeme vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakým základom:
a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .
odpoveď: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
Transformáciu mocninných výrazov podľa vlastnosti stupňov je možné robiť tak zľava doprava, ako aj v opačnom smere.
Príklad 5
Nájdite hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
rozhodnutie
Ak uplatníme rovnosť (a b) r = a r b r, sprava doľava, potom dostaneme súčin v tvare 3 7 1 3 21 2 3 a potom 21 1 3 21 2 3 . Pri násobení mocnín s rovnakými základmi spočítajme exponenty: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
Existuje ďalší spôsob, ako vykonať transformáciu:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
odpoveď: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Príklad 6
Daný mocenský výraz a 1, 5 - a 0, 5 - 6, zadajte novú premennú t = a 0, 5.
rozhodnutie
Predstavte si titul a 1, 5 ako a 0, 5 3. Použitie vlastnosti stupňa v stupni (a r) s = a r s sprava doľava a získajte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Vo výslednom výraze môžete jednoducho zaviesť novú premennú t = a 0, 5: dostať t 3 − t − 6.
odpoveď: t 3 − t − 6 .
Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny
Bežne sa zaoberáme dvoma variantmi mocninných výrazov so zlomkami: výraz je zlomok so stupňom alebo takýto zlomok obsahuje. Všetky transformácie základných zlomkov sú pre takéto výrazy použiteľné bez obmedzení. Možno ich zmenšiť, preniesť na nového menovateľa, pracovať oddelene s čitateľom a menovateľom. Ilustrujme si to na príkladoch.
Príklad 7
Zjednodušte vyjadrenie sily 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
rozhodnutie
Máme čo do činenia so zlomkom, preto vykonáme transformácie v čitateli aj v menovateli:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Ak chcete zmeniť znamienko menovateľa, vložte pred zlomok mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
odpoveď: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Zlomky obsahujúce mocniny sa redukujú na nového menovateľa rovnakým spôsobom ako racionálne zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší faktor a vynásobiť ním čitateľa a menovateľa zlomku. Dodatočný faktor je potrebné vybrať tak, aby pre žiadne hodnoty premenných nezanikol z premenných ODZ pre pôvodný výraz.
Príklad 8
Preneste zlomky do nového menovateľa: a) a + 1 a 0, 7 do menovateľa a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 do menovateľa x + 8 y 1 2 .
rozhodnutie
a) Vyberieme faktor, ktorý nám umožní zredukovať na nového menovateľa. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , preto berieme ako dodatočný faktor a 0, 3. Rozsah prípustných hodnôt premennej a zahŕňa množinu všetkých kladných reálnych čísel. V tejto oblasti je stupeň a 0, 3 nejde na nulu.
Vynásobme čitateľa a menovateľa zlomku číslom a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Venujte pozornosť menovateľovi:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Vynásobte tento výraz x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme súčet kociek x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.
Našli sme teda ďalší faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . V rozsahu prijateľných hodnôt premenných X a r výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
odpoveď: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .
Príklad 9
Zmenšenie zlomku: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
rozhodnutie
a) Použite najväčšieho spoločného menovateľa (GCD), o ktorý možno čitateľa a menovateľa zmenšiť. Pre čísla 30 a 45 je to 15 . Môžeme aj znížiť x 0, 5 + 1 a na x + 2 x 113-53.
Dostaneme:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Prítomnosť rovnakých faktorov tu nie je zrejmá. Budete musieť vykonať nejaké transformácie, aby ste získali rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Aby sme to dosiahli, rozšírime menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
odpoveď: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Medzi hlavné operácie so zlomkami patrí redukcia na nový menovateľ a redukcia zlomkov. Obe akcie sa vykonávajú v súlade s množstvom pravidiel. Pri sčítaní a odčítaní zlomkov sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa, potom sa vykonajú akcie (sčítanie alebo odčítanie) s čitateľmi. Menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom nášho konania je nový zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov.
Príklad 10
Vykonajte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
rozhodnutie
Začnime odčítaním zlomkov, ktoré sú v zátvorkách. Priveďme ich k spoločnému menovateľovi:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Odčítajme čitateľov:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Teraz vynásobíme zlomky:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Znížime o stupeň x 1 2 dostaneme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
Okrem toho môžete zjednodušiť vyjadrenie mocniny v menovateli pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín: štvorce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Príklad 11
Zjednodušte vyjadrenie sily x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
rozhodnutie
Zlomok môžeme znížiť o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomok x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Pokračujme v transformáciách x mocnín x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz môžete použiť vlastnosť delenia mocniny s rovnakými základmi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.
Od posledného produktu prejdeme na zlomok x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
odpoveď: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Vo väčšine prípadov je vhodnejšie preniesť násobiče so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa a naopak zmenou znamienka exponentu. Toto opatrenie zjednodušuje ďalšie rozhodovanie. Uveďme príklad: mocninný výraz (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 môžeme nahradiť x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami
V úlohách sú mocninné výrazy, ktoré obsahujú nielen stupne so zlomkovými exponentmi, ale aj odmocniny. Je žiaduce zredukovať takéto výrazy len na odmocniny alebo len na mocniny. Prechod na stupne je vhodnejší, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Takýto prechod je výhodný najmä vtedy, keď vám DPV premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez toho, aby ste museli pristupovať k modulu alebo rozdeliť DPV do niekoľkých intervalov.
Príklad 12
Vyjadrite výraz x 1 9 x x 3 6 ako mocninu.
rozhodnutie
Platný rozsah premennej X je určená dvoma nerovnosťami x ≥ 0 a x · x 3 ≥ 0, ktoré definujú množinu [ 0 , + ∞) .
V tomto súbore máme právo prejsť od koreňov k mocnostiam:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Pomocou vlastností stupňov zjednodušíme výsledné mocninné vyjadrenie.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
odpoveď: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Prevod mocnin s premennými v exponente
Tieto transformácie sú pomerne jednoduché, ak správne používate vlastnosti stupňa. Napríklad, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Môžeme nahradiť súčin stupňa, v zmysle ktorého sa nájde súčet nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to možno urobiť s prvým a posledným výrazom na ľavej strane výrazu:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
Teraz vydeľme obe strany rovnice 7 2 x. Tento výraz na ODZ premennej x nadobúda iba kladné hodnoty:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Zmenšme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Nakoniec je pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradený mocninami pomerov, čo vedie k rovnici 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , čo je ekvivalentné 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.
Zaveďme novú premennú t = 5 7 x , ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .
Prevod výrazov s mocninami a logaritmami
V problémoch sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce mocniny a logaritmy. Príklady takýchto výrazov sú: 1 4 1 - 5 log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformácia takýchto výrazov sa vykonáva pomocou vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne analyzovali v téme "Transformácia logaritmických výrazov".
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
ja Práca n faktory, z ktorých každý sa rovná a volal n-tá mocnina čísla a a označené an.
Príklady. Napíšte produkt ako titul.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccm; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
rozhodnutie.
1) mmmm=m4, pretože podľa definície stupňa je súčin štyroch faktorov, z ktorých každý sa rovná m, bude štvrtá mocnina m.
2) aaabb=a3b2; 3) 5 5 5 5 ccc = 5 4 c 3; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .
II. Operácia, pri ktorej sa nájde súčin niekoľkých rovnakých faktorov, sa nazýva umocňovanie. Číslo, ktoré sa zvýši na mocninu, sa nazýva základ moci. Číslo, ktoré udáva, na akú mocninu je základňa umocnená, sa nazýva exponent. takze an- titul, a- základ stupňa n- exponent. Napríklad:
2 3 — je to titul. číslo 2 - základ stupňa, exponent sa rovná 3 . Hodnota stupňa 2 3 rovná sa 8, ako 2 3 = 2 2 2 = 8.
Príklady. Nasledujúce výrazy napíšte bez exponentu.
5) 43; 6) a3b2c3; 7) a3-b3; 8) 2a4+3b2.
rozhodnutie.
5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7)a3-b3= aaa-bbb; 8) 2a 4 + 3b 2 = 2aaaa+3bb.
III. a 0 = 1 Akékoľvek číslo (okrem nuly) s nulovou mocninou sa rovná jednej. Napríklad 25 0 = 1.
IV. a 1 = aAkékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe.
v. a m∙ a n= a m + n Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostáva základ rovnaký a exponenty sčítať.
Príklady. Zjednodušiť:
9) aa 3 a 7; 10) b°+b2b3; 11) c 2 c 0 c c 4 .
rozhodnutie.
9) od 3 do 7=a1+3+7 =a11; 10) b°+b2b3= 1+b2+3 = 1+b5;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .
VI. a m: a n= a m - nPri delení mocnín s rovnakým základom sa základ ponechá rovnaký a exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu deliteľa.
Príklady. Zjednodušiť:
12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8: a 3=a8-3 =a5; 13) m11:m4= m11-4 = m7; štrnásť ) 5 6:5 4 = 5 2 = 5 5 = 25.
VII. (a m) n= amn Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ rovnaký a exponenty sa násobia.
Príklady. Zjednodušiť:
15) (a 3) 4; 16) (s 5) 2.
15) (a 3) 4=a34=a12; 16) (c 5) 2=c52=c10.
Poznámka, ktorý, keďže sa súčin nemení permutáciou faktorov, potom:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .
Vja II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Pri zvýšení výkonu produktu sa každý z faktorov zvýši na túto silu.
Príklady. Zjednodušiť:
17) (2a 2) 5; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .
rozhodnutie.
17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 5 6=(0,25)6=16=1;
19) 0,25 2 40 2\u003d (0,25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.
IX. Pri umocnení zlomku na mocninu sa čitateľ aj menovateľ zlomku zvýši na túto mocninu.
Príklady. Zjednodušiť:
rozhodnutie.
Strana 1 z 1 1
Jednou z hlavných charakteristík algebry a vlastne celej matematiky je titul. Samozrejme, v 21. storočí je možné všetky výpočty vykonávať na online kalkulačke, ale pre rozvoj mozgu je lepšie sa naučiť, ako to urobiť sami.
V tomto článku zvážime najdôležitejšie otázky týkajúce sa tejto definície. Konkrétne pochopíme, čo to je vo všeobecnosti a aké sú jeho hlavné funkcie, aké vlastnosti existujú v matematike.
Pozrime sa na príklady, ako vyzerá výpočet, aké sú základné vzorce. Budeme analyzovať hlavné typy veličín a ako sa líšia od iných funkcií.
Pochopíme, ako pomocou tejto hodnoty vyriešiť rôzne problémy. Na príkladoch si ukážeme, ako zvýšiť na nulový stupeň, iracionálne, negatívne atď.
Online kalkulačka umocňovania
Aký je stupeň čísla
Čo znamená výraz „umocniť číslo“?
Stupeň n čísla a je súčinom faktorov veľkosti a n-krát za sebou.
Matematicky to vyzerá takto:
a n = a * a * a * …a n .
Napríklad:
- 2 3 = 2 v treťom kroku. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 v kroku. dva = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 v kroku. štyri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 v 5 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 \u003d 10 v 4 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Nižšie je tabuľka štvorcov a kociek od 1 do 10.
Tabuľka stupňov od 1 do 10
Nižšie sú uvedené výsledky zvyšovania prirodzených čísel na kladné mocniny - "od 1 do 100".
| Ch-lo | 2. stupeň | 3. trieda |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Vlastnosti stupňa
Čo je charakteristické pre takúto matematickú funkciu? Pozrime sa na základné vlastnosti.
Vedci zistili nasledovné znaky charakteristické pre všetky stupne:
- an* am = (a) (n+m);
- an: am = (a) (n-m);
- (a b) m = (a) (b*m).
Pozrime sa na príklady:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Na druhej strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Podobne: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inak 2 3-2 = 2 1 = 2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Čo ak je to inak? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Ako vidíte, pravidlá fungujú.
Ale ako byť so sčítaním a odčítaním? Všetko je jednoduché. Najprv sa vykoná umocnenie a až potom sčítanie a odčítanie.
Pozrime sa na príklady:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16
V tomto prípade však musíte najskôr vypočítať sčítanie, pretože v zátvorkách sú akcie: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Ako vyrábať výpočty v zložitejších prípadoch? Poradie je rovnaké:
- ak existujú zátvorky, musíte začať s nimi;
- potom umocnenie;
- potom vykonávať operácie násobenia, delenia;
- po sčítaní, odčítaní.
Existujú špecifické vlastnosti, ktoré nie sú charakteristické pre všetky stupne:
- Koreň n-tého stupňa z čísla a do stupňa m sa zapíše ako: a m / n .
- Pri zvyšovaní zlomku na mocninu: Čitateľ aj jeho menovateľ podliehajú tomuto postupu.
- Pri zvýšení súčinu rôznych čísel na mocninu bude výraz zodpovedať súčinu týchto čísel na danú mocninu. To znamená: (a * b) n = a n * b n .
- Keď zvyšujete číslo na zápornú mocninu, musíte deliť 1 číslom v rovnakom kroku, ale so znamienkom „+“.
- Ak je menovateľ zlomku v zápornej mocnine, potom sa tento výraz bude rovnať súčinu čitateľa a menovateľa v kladnej mocnine.
- Ľubovoľné číslo na mocninu 0 = 1 a na krok. 1 = pre seba.
Tieto pravidlá sú dôležité v jednotlivých prípadoch, podrobnejšie sa nimi budeme zaoberať nižšie.
Stupeň so záporným exponentom
Čo robiť s negatívnym stupňom, to znamená, keď je ukazovateľ negatívny?
Na základe vlastností 4 a 5(pozri bod vyššie) ukázalo sa:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
A naopak:
1 / A (- n) \u003d An, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Čo ak je to zlomok?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Stupeň s prirodzeným indikátorom
Chápe sa ako stupeň s exponentmi rovnými celým číslam.
Dôležité informácie:
Ao = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… atď.
Ai = A,11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3… atď.
Taktiež, ak (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...výsledok bude so znamienkom „+“. Ak sa záporné číslo zvýši na nepárnu mocninu, potom je to naopak.
Charakteristické sú pre ne aj všeobecné vlastnosti a všetky vyššie popísané špecifické črty.
Zlomkový stupeň
Tento pohľad možno napísať ako schému: A m / n. Číta sa ako: odmocnina n-tého stupňa čísla A k mocnine m.
Pomocou zlomkového ukazovateľa môžete robiť čokoľvek: zmenšiť, rozložiť na časti, zvýšiť na iný stupeň atď.
Stupeň s iracionálnym exponentom
Nech α je iracionálne číslo a А ˃ 0.
Aby sme pochopili podstatu stupňa s takýmto ukazovateľom, Pozrime sa na rôzne možné prípady:
- A \u003d 1. Výsledok sa bude rovnať 1. Pretože existuje axióma - 1 sa rovná jednej vo všetkých mocninách;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 sú racionálne čísla;
- 0˂А˂1.
V tomto prípade naopak: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 za rovnakých podmienok ako v druhom odseku.
Napríklad exponent je číslo π. Je to racionálne.
r 1 - v tomto prípade sa rovná 3;
r 2 - sa bude rovnať 4.
Potom pre A = 1, 1 π = 1.
A = 2, potom 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, potom (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Takéto stupne sú charakterizované všetkými matematickými operáciami a špecifickými vlastnosťami opísanými vyššie.
Záver
Poďme si to zhrnúť – na čo sú tieto hodnoty, aké sú výhody takýchto funkcií? Samozrejme, v prvom rade zjednodušujú život matematikom a programátorom pri riešení príkladov, keďže umožňujú minimalizáciu výpočtov, redukciu algoritmov, systematizáciu údajov a mnoho ďalšieho.
Kde inde môžu byť tieto znalosti užitočné? V akejkoľvek pracovnej špecializácii: medicína, farmakológia, stomatológia, stavebníctvo, technológia, strojárstvo, dizajn atď.
Lekcia na tému: "Pravidlá násobenia a delenia mocnín s rovnakými a rôznymi exponentmi. Príklady"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 7
Manuál k učebnici Yu.N. Makarycheva Manuál k učebnici A.G. Mordkovič
Účel lekcie: naučiť sa vykonávať operácie s mocninami čísla.
Na začiatok si pripomeňme pojem „moc čísla“. Výraz ako $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ môže byť reprezentovaný ako $a^n$.
Platí to aj naopak: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Táto rovnosť sa nazýva „zaznamenanie stupňa ako produktu“. Pomôže nám to určiť spôsob násobenia a deľby moci.
Pamätajte:
a- základ stupňa.
n- exponent.
Ak n=1, čo znamená číslo a prijaté raz a v tomto poradí: $a^n= 1$.
Ak n=0, potom $a^0= 1$.
Prečo sa to deje, zistíme, keď sa zoznámime s pravidlami pre násobenie a delenie mocnín.
pravidlá násobenia
a) Ak sa mocniny s rovnakým základom násobia.Do $a^n * a^m$ zapíšeme mocniny ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m) $.
Obrázok ukazuje, že číslo a zobral n+m krát, potom $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Túto vlastnosť je vhodné použiť na zjednodušenie práce pri zvýšení čísla na veľkú moc.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Ak sa mocniny vynásobia iným základom, ale rovnakým exponentom.
Do $a^n * b^n$ zapíšeme mocniny ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m) $.
Ak zameníme faktory a spočítame výsledné dvojice, dostaneme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Takže $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
pravidlá rozdelenia
a) Základ stupňa je rovnaký, exponenty sú rôzne.Zvážte delenie stupňa väčším exponentom delením stupňa menším exponentom.
Takže je to potrebné $\frac(a^n)(a^m)$, kde n>m.
Stupne píšeme ako zlomok:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Pre pohodlie zapisujeme delenie ako jednoduchý zlomok.Teraz znížme zlomok.
Ukazuje sa: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
znamená, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Táto vlastnosť pomôže vysvetliť situáciu so zvýšením čísla na nulu. Predpokladajme, že n=m, potom $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Príklady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Základy stupňa sú rôzne, ukazovatele sú rovnaké.
Povedzme, že potrebujete $\frac(a^n)( b^n)$. Mocniny čísel zapíšeme ako zlomok:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Pre pohodlie si to predstavme.
Pomocou vlastnosti zlomkov rozdelíme veľký zlomok na súčin malých, dostaneme.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Podľa toho: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Príklad.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Je zrejmé, že čísla s mocninami možno pridávať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.
Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.
Šance rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.
Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.
Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.
Ale stupne rôzne premenné a rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať tak, že ich pridáte k svojim znakom.
Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .
Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.
Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odčítanie právomocí sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.
alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Násobenie moci
Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšeme za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.
Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.
alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.
Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .
Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou súčet stupne pojmov.
Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.
Takže a n .a m = a m+n .
Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;
A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;
takze mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním exponentov.
Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú - negatívne.
1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn
Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.
Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.
Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.
Delenie stupňov
Mocninné čísla možno deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením do zlomkovej formy.
Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .
alebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.
Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..
Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.
A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, že $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac(1)(aaaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.
Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami
1. Znížte exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpoveď: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Znížte exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpoveď: $\frac(2x)(1)$ alebo 2x.
3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.
4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.
5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).
7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.
8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.
9. Delenie (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.
