Veta

Uhol medzi rovinami nezávisí od výberu roviny rezu.

Dôkaz.

Nech existujú dve roviny α a β, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky c. nakreslite rovinu γ kolmú na priamku c. Potom rovina γ pretína roviny α a β pozdĺž priamok a a b. Uhol medzi rovinami α a β sa rovná uhlu medzi priamkami a a b.
Vezmite ďalšiu rovinu rezu γ`, kolmú na c. Potom rovina γ` pretína roviny α a β pozdĺž priamok a` a b`.
Pri rovnobežnom posune sa priesečník roviny γ s priamkou c dostane do priesečníka roviny γ` s priamkou c. v tomto prípade na základe vlastnosti paralelného posunu čiara a prejde na čiaru a`, b - na čiaru b`. preto sú uhly medzi priamkami a a b, a` a b` rovnaké. Veta bola dokázaná.

Tento článok je o uhle medzi rovinami a o tom, ako ho nájsť. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedené grafické znázornenie. Potom sa analyzoval princíp zisťovania uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami súradnicovou metódou, získal sa vzorec, ktorý umožňuje vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami pomocou známych súradníc normálových vektorov týchto rovín. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických problémov.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami - definícia.

Pri prezentovaní materiálu budeme používať definície a pojmy uvedené v článkoch rovina v priestore a priamka v priestore.

Uveďme argumenty, ktoré nám umožnia postupne sa priblížiť k definícii uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Dostaňme dve pretínajúce sa roviny a . Tieto roviny sa pretínajú v priamke, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojte rovinu prechádzajúcu bodom M rovno c a kolmo na čiaru c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a . Označujeme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú a as a, ale priamka, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú a ako b. Očividne priame. a a b pretínajú v bode M.

Je ľahké ukázať, že uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b nezávisí od umiestnenia bodu M na priamke c cez ktorý rovina prechádza.

Zostrojte rovinu kolmú na priamku c a odlišné od lietadla. Rovina sa pretína rovinami a po priamkach, ktoré označujeme 1 a b 1 resp.

Zo spôsobu konštrukcie rovín vyplýva, že priamky a a b kolmo na čiaru c a priamo 1 a b 1 kolmo na čiaru c. Keďže rovno a a 1 c, potom sú paralelné. Rovnako tak rovno b a b 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c takže sú paralelné. Tak je možné vykonať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej je priamka 1 sa zhoduje s čiarou a a priamku b s rovnou čiarou b 1. Preto uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami 1 a b 1 rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b.

To dokazuje, že uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b leží v pretínajúcich sa rovinách a nezávisí od výberu bodu M cez ktorý rovina prechádza. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Teraz môžete vyjadriť definíciu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a .

Definícia.

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami c lietadlá a je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami a a b, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú s rovinou kolmou na priamku c.

Definícia uhla medzi dvoma rovinami môže byť daná trochu inak. Ak na priamke s, pozdĺž ktorého sa roviny a pretínajú, označte bod M a nakreslite cez ňu rovné čiary a a b, kolmo na čiaru c a ležiace v rovinách, respektíve, potom uhol medzi čiarami a a b je uhol medzi rovinami a . Zvyčajne sa v praxi takéto konštrukcie vykonávajú s cieľom získať uhol medzi rovinami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami nepresahuje , zo vyslovenej definície vyplýva , že miera uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je vyjadrená reálnym číslom z intervalu . V tomto prípade sa nazývajú pretínajúce sa roviny kolmý ak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežnými rovinami buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný nule.

Začiatok stránky

Nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami musíte najskôr vykonať dodatočné konštrukcie, aby ste videli pretínajúce sa čiary, ktorých uhol sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol spojiť s pôvodnými údajmi pomocou znamienka rovnosti, znaky podobnosti, kosínusová veta alebo definície sínusu, kosínusu a tangensu uhla. V kurze geometrie na strednej škole sú podobné problémy.

Uveďme napríklad riešenie úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na rok 2012 (podmienka je zámerne zmenená, ale to nemá vplyv na princíp riešenia). V ňom bolo len potrebné nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kde AB = 3, AD = 2, AA1 = 7 a bodka E rozdeľuje stranu AA 1 vo vzťahu 4 do 3 , počítajúc od bodu ALE ABC a POSTEĽ 1.

Najprv urobme kresbu.

Urobme dodatočné konštrukcie, aby sme "videli" uhol medzi rovinami.

Najprv definujeme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú ABC a Posteľ 1. Bodka AT je jedným z ich spoločných bodov. Nájdite druhý spoločný bod týchto rovín. Priamy DA a D 1 E ležať v rovnakej rovine PRIDAŤ 1 a nie sú rovnobežné, a preto sa pretínajú. Na druhej strane rovno DA leží v lietadle ABC a priamku D 1 E- v lietadle Posteľ 1, teda priesečník čiar DA a D 1 E bude spoločným bodom rovín ABC a Posteľ 1. Pokračujme teda rovno DA a D 1 E predtým, než sa pretnú, bod ich priesečníka označíme písmenom F. Potom bf- priamka, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú ABC a Posteľ 1.

Zostáva zostrojiť dve priamky ležiace v rovinách ABC a Posteľ 1 respektíve prechádza cez jeden bod na priamke bf a kolmo na čiaru bf, - uhol medzi týmito čiarami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi rovinami ABC a Posteľ 1. Poďme na to.

Bodka ALE je projekcia bodu E do lietadla ABC. Nakreslite čiaru, ktorá pretína čiaru v pravom uhle BF v bode M. Potom riadok AM je projekcia priamky JESŤ do lietadla ABC a podľa vety o troch kolmých.

Teda požadovaný uhol medzi rovinami ABC a Posteľ 1 rovná sa .

Sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla) môžeme určiť z pravouhlého trojuholníka AEM ak poznáme dĺžky jeho dvoch strán. Zo stavu je ľahké zistiť dĺžku AE: od bodky E rozdeľuje stranu AA 1 vo vzťahu 4 do 3 , počítajúc od bodu ALE a dĺžka strany AA 1 rovná sa 7 , potom AE = 4. Nájdeme inú dĺžku AM.

Ak to chcete urobiť, zvážte pravouhlý trojuholník ABF pravý uhol ALE, kde AM je výška. Podľa podmienok AB = 2. dĺžka strany AF môžeme zistiť z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1F a AEF:

Podľa Pytagorovej vety z trojuholníka ABF Nájsť . Dĺžka AM nájsť cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane oblasť trojuholníka ABF sa rovná na druhej strane odkiaľ .

Takže z pravouhlého trojuholníka AEM máme .

Potom požadovaný uhol medzi rovinami ABC a Posteľ 1 rovná sa (všimnite si, že ).

V niektorých prípadoch je na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami vhodné nastaviť pravouhlý súradnicový systém Oxyz a použite súradnicovú metódu. Zastavme sa pri tom.

Stanovme si úlohu: nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a . Označme požadovaný uhol ako .

Predpokladáme, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín a alebo máme možnosť ich nájsť. Dovoliť byť normálny vektor roviny , a byť normálny vektor roviny . Ukážme si, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a cez súradnice normálových vektorov týchto rovín.

Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú a as c. Cez bodku M na priamke c nakreslite rovinu kolmú na čiaru c. Rovina pretína roviny a pozdĺž priamych čiar a a b respektíve priame a a b pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b.

Odložte od pointy M v rovine sú normálové vektory a rovín a . Vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku a a vektor je na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. V rovine je teda vektor normálnym vektorom priamky a, - vektor normálnej čiary b.

V článku Hľadanie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sme získali vzorec, ktorý umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc normálových vektorov. Takže kosínus uhla medzi čiarami a a b a v dôsledku toho kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca , kde a sú normálové vektory rovín a, resp. Potom uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami sa vypočíta ako .

Vyriešme predchádzajúci príklad pomocou súradnicovej metódy.

Vzhľadom k tomu, obdĺžnikový rovnobežnosten ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kde AB = 3, AD = 2, AA1 = 7 a bodka E rozdeľuje stranu AA 1 vo vzťahu 4 do 3 , počítajúc od bodu ALE. Nájdite uhol medzi rovinami ABC a POSTEĽ 1.

Pretože strany pravouhlého rovnobežnostena v jednom vrchole sú kolmé na páry, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz takto: začnite kombinovať s vrchom S a súradnicové osi Vôl, Oj a Oz poslať okolo CD, CB a CC 1 resp.

Uhol medzi rovinami ABC a Posteľ 1 možno nájsť pomocou súradníc normálových vektorov týchto rovín podľa vzorca , kde a sú normálové vektory rovín ABC a Posteľ 1 resp. Určme súradnice normálových vektorov.

Od lietadla ABC sa zhoduje so súradnicovou rovinou Oxy, potom je jeho normálnym vektorom súradnicový vektor , teda .

Ako normálny rovinný vektor Posteľ 1 môžeme vziať krížový súčin vektorov a následne súradnice vektorov a možno ich nájsť prostredníctvom súradníc bodov AT, E a D1(čo je v článku napísané súradnice vektora cez súradnice bodov jeho začiatku a konca), a súradnice bodov AT, E a D1 v zavedenom súradnicovom systéme určíme zo stavu problému.

Samozrejme, . Od , potom nájdeme podľa súradníc bodov (ak je to potrebné, pozri článok rozdelenie segmentu v danom pomere). Potom a Oxyz sú rovnice a .

Keď sme študovali všeobecnú rovnicu priamky, zistili sme, že koeficienty ALE, AT a S sú zodpovedajúce súradnice normálového vektora roviny. Teda a sú normálové vektory rovín a, resp.

Do vzorca na výpočet uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami dosadíme súradnice normálových vektorov rovín:

Potom . Keďže uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami nie je tupý, potom pomocou základnej trigonometrickej identity nájdeme sínus uhla:.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Bank of FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Tento článok je o uhle medzi rovinami a o tom, ako ho nájsť. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedené grafické znázornenie. Potom sa analyzoval princíp zisťovania uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami súradnicovou metódou, získal sa vzorec, ktorý umožňuje vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami pomocou známych súradníc normálových vektorov týchto rovín. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických problémov.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami - definícia.

Uveďme argumenty, ktoré nám umožnia postupne sa priblížiť k definícii uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Dostaňme dve pretínajúce sa roviny a . Tieto roviny sa pretínajú v priamke, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojme rovinu prechádzajúcu bodom M priamky c a kolmú na priamku c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a . Označte priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú a ako a, a priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, a ako b. Je zrejmé, že priamky a a b sa pretínajú v bode M.

Je ľahké to ukázať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b nezávisí od polohy bodu M na priamke c, ktorou rovina prechádza.

Zostrojme rovinu kolmú na priamku c a odlišnú od roviny . Rovina je pretínaná rovinami a pozdĺž priamok, ktoré označujeme a 1 a b 1, resp.

Zo spôsobu zostrojovania rovín a vyplýva, že priamky a a b sú kolmé na priamku c a priamky a 1 a b 1 sú kolmé na priamku c. Keďže priamky a a a 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, sú rovnobežné. Podobne priamky b a b 1 ležia v tej istej rovine a sú kolmé na priamku c, preto sú rovnobežné. Tak je možné vykonať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej sa priamka a 1 zhoduje s priamkou a a priamka b s priamkou b1. Preto sa uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami ai a b1 rovná uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

To dokazuje, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b ležiacimi v pretínajúcich sa rovinách nezávisí od výberu bodu M, ktorým rovina prechádza. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Teraz môžete vyjadriť definíciu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a .

Definícia.

Uhol medzi dvoma rovinami pretínajúcimi sa v priamke a je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b, pozdĺž ktorých sa roviny a pretínajú s rovinou kolmou na priamku c.

Definícia uhla medzi dvoma rovinami môže byť daná trochu inak. Ak na priamke c, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, označte bod M a nakreslite ním čiary a a b, kolmé na priamku c a ležiace v rovinách a, potom uhol medzi priamkami a a b je uhol medzi rovinami a. Zvyčajne sa v praxi takéto konštrukcie vykonávajú s cieľom získať uhol medzi rovinami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami nepresahuje , zo vyslovenej definície vyplýva , že miera uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je vyjadrená reálnym číslom z intervalu . V tomto prípade sa nazývajú pretínajúce sa roviny kolmý ak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežnými rovinami buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný nule.

Nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami musíte najskôr vykonať dodatočné konštrukcie, aby ste videli pretínajúce sa čiary, ktorých uhol sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol spojiť s pôvodnými údajmi pomocou znamienka rovnosti, znaky podobnosti, kosínusová veta alebo definície sínusu, kosínusu a tangensu uhla. V kurze geometrie na strednej škole sú podobné problémy.

Uveďme napríklad riešenie úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na rok 2012 (podmienka je zámerne zmenená, ale to nemá vplyv na princíp riešenia). V ňom bolo len potrebné nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Príklad.

rozhodnutie.

Najprv urobme kresbu.

Urobme dodatočné konštrukcie, aby sme "videli" uhol medzi rovinami.

Najprv definujme priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1. Bod B je jedným z ich spoločných bodov. Nájdite druhý spoločný bod týchto rovín. Priamky DA a D 1 E ležia v rovnakej rovine ADD 1 a nie sú rovnobežné, a preto sa pretínajú. Na druhej strane priamka DA leží v rovine ABC a priamka D 1 E leží v rovine BED 1, preto priesečník priamok DA a D 1 E bude spoločným bodom rovín ABC a POSTEĽ 1. Pokračujeme teda v priamkach DA a D 1 E, až kým sa nepretnú, bod ich priesečníka označíme písmenom F. Potom BF je priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1.

Zostáva zostrojiť dve priamky ležiace v rovinách ABC a BED 1, ktoré prechádzajú jedným bodom na priamke BF a kolmé na priamku BF - uhol medzi týmito priamkami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi lietadlá ABC a BED 1 . Poďme na to.

Bodka A je priemet bodu E do roviny ABC. Nakreslite priamku, ktorá v pravom uhle pretína priamku BF v bode M. Potom je priamka AM priemetom priamky EM do roviny ABC a pomocou vety o troch kolmiciach.

Požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED1 je teda .

Sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla) môžeme určiť z pravouhlého trojuholníka AEM, ak poznáme dĺžky jeho dvoch strán. Z podmienky je ľahké nájsť dĺžku AE: keďže bod E rozdeľuje stranu AA 1 vo vzťahu k 4 až 3, počítajúc od bodu A, a dĺžka strany AA 1 je 7, potom AE \u003d 4. Poďme zistiť dĺžku AM.

Za týmto účelom uvažujme pravouhlý trojuholník ABF s pravým uhlom A, kde AM je výška. Podľa podmienky AB=2. Dĺžku strany AF môžeme zistiť z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1 F a AEF :

Podľa Pytagorovej vety z trojuholníka ABF nájdeme . Dĺžku AM nájdeme cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane sa plocha trojuholníka ABF rovná , na druhej strane , kde .

Z pravého trojuholníka teda máme AEM .

Potom je požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 (všimnite si, že ).

odpoveď:

V niektorých prípadoch je na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami vhodné zadať Oxyz a použiť metódu súradníc. Zastavme sa pri tom.

Stanovme si úlohu: nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a . Označme požadovaný uhol ako .

Predpokladáme, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín a alebo je možné ich nájsť. Nechať byť - rovinný normálový vektor, a je normálový vektor roviny . Ukážme si, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a cez súradnice normálových vektorov týchto rovín.

Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú a ako c . Cez bod M na priamke c nakreslíme rovinu kolmú na priamku c. Rovina pretína roviny a pozdĺž priamok a a b sa priamky a a b pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

Odložme od bodu M v rovine normálové vektory a rovín a . V tomto prípade vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku a, a vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. Takže v rovinnom vektore - normálny vektor rovný a , je normálový vektor priamky b .

V článku nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami získali sme vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc normálových vektorov. Teda kosínus uhla medzi priamkami a a b, a teda a kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca , kde a sú normálové vektory rovín a, resp. Potom sa vypočíta ako .

Vyriešme predchádzajúci príklad pomocou súradnicovej metódy.

Príklad.

Je uvedený pravouhlý rovnobežnosten ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 a bod E rozdeľuje stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A . Nájdite uhol medzi rovinami ABC a BED 1.

rozhodnutie.

Pretože strany pravouhlého rovnobežnostena sú v jednom vrchole kolmé, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz nasledovne: začiatok je zarovnaný s vrcholom C a súradnicové osi Ox, Oy a Oz sú nasmerované pozdĺž strán. CD, CB a CC 1, v tomto poradí.

Uhol medzi rovinami ABC a BED 1 možno nájsť pomocou súradníc normálových vektorov týchto rovín pomocou vzorca , kde a sú normálové vektory rovín ABC a BED 1, v tomto poradí. Určme súradnice normálových vektorov.

\(\blacktriangleright\) Dihedrálny uhol je uhol, ktorý zvierajú dve polroviny a priamka \(a\) , ktorá je ich spoločnou hranicou.

\(\blacktriangleright\) Ak chcete nájsť uhol medzi rovinami \(\xi\) a \(\pi\) , musíte nájsť lineárny uhol pikantné alebo rovno) dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú roviny \(\xi\) a \(\pi\) :

Krok 1: nechajme \(\xi\cap\pi=a\) (priesečník rovín). V rovine \(\xi\) označíme ľubovoľný bod \(F\) a nakreslíme \(FA\perp a\) ;

Krok 2: nakreslite \(FG\perp \pi\) ;

Krok 3: podľa TTP (\(FG\) - kolmá, \(FA\) - šikmá, \(AG\) - projekcia) máme: \(AG\perp a\) ;

Krok 4: Uhol \(\uhol FAG\) sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria roviny \(\xi\) a \(\pi\) .

Všimnite si, že trojuholník \(AG\) je pravouhlý trojuholník.
Všimnite si tiež, že rovina \(AFG\) skonštruovaná týmto spôsobom je kolmá na roviny \(\xi\) aj \(\pi\) . Preto sa to dá povedať aj inak: uhol medzi rovinami\(\xi\) a \(\pi\) je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami \(c\in \xi\) a \(b\in\pi\) , ktoré tvoria rovinu kolmú na \(\xi\ ) a \(\pi\) .

Úloha 1 #2875

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

Daná štvoruholníková pyramída, ktorej všetky hrany sú rovnaké, a základňa je štvorec. Nájdite \(6\cos \alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi jeho priľahlými bočnými plochami.

Nech \(SABCD\) je daná pyramída (\(S\) je vrchol), ktorého hrany sa rovnajú \(a\) . Preto sú všetky bočné strany rovnaké rovnostranné trojuholníky. Nájdite uhol medzi plochami \(SAD\) a \(SCD\) .

Nakreslíme \(CH\perp SD\) . Ako \(\triangle SAD=\trojuholník SCD\), potom \(AH\) bude mať tiež výšku \(\trojuholník SAD\) . Preto, podľa definície, \(\uhol AHC=\alpha\) je lineárny dihedrálny uhol medzi stenami \(SAD\) a \(SCD\) .
Keďže základom je štvorec, potom \(AC=a\sqrt2\) . Všimnite si tiež, že \(CH=AH\) je výška rovnostranného trojuholníka so stranou \(a\) , teda \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Potom pomocou kosínusovej vety z \(\trojuholník AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

odpoveď: -2

Úloha 2 #2876

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

Roviny \(\pi_1\) a \(\pi_2\) sa pretínajú pod uhlom, ktorého kosínus sa rovná \(0,2\) . Roviny \(\pi_2\) a \(\pi_3\) sa pretínajú v pravom uhle a priesečník rovín \(\pi_1\) a \(\pi_2\) je rovnobežný s priesečníkom roviny \(\pi_2\) a \(\ pi_3\) . Nájdite sínus uhla medzi rovinami \(\pi_1\) a \(\pi_3\) .

Priesečník \(\pi_1\) a \(\pi_2\) nech je priamka \(a\) , priesečník \(\pi_2\) a \(\pi_3\) nech je priamka \ (b\) a priesečník \(\pi_3\) a \(\pi_1\) sú priamkou \(c\) . Pretože \(a\paralelné b\) , potom \(c\paralelné a\paralelné b\) (podľa vety z časti teoretického odkazu „Geometria v priestore“ \(\rightarrow\) „Úvod do stereometrie, paralelizmus“).

Označte body \(A\v a, B\v b\) tak, že \(AB\perp a, AB\perp b\) (je to možné, pretože \(a\paralelné b\) ). Všimnite si \(C\in c\) tak, že \(BC\perp c\) , teda \(BC\perp b\) . Potom \(AC\perp c\) a \(AC\perp a\) .
Pretože \(AB\perp b, BC\perp b\) , potom \(b\) je kolmé na rovinu \(ABC\) . Pretože \(c\rovnobežka a\rovnobežka b\) , potom sú priamky \(a\) a \(c\) tiež kolmé na rovinu \(ABC\) , a teda každá priamka z tejto roviny, najmä, riadok \ (AC\) .

Z toho teda vyplýva \(\uhol BAC=\uhol (\pi_1, \pi_2)\), \(\uhol ABC=\uhol (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\uhol BCA=\uhol (\pi_3, \pi_1)\). Ukazuje sa, že \(\trojuholník ABC\) je obdĺžnikový, čo znamená \[\sin \angle BCA=\cos \uhol BAC=0,2.\]

Odpoveď: 0,2

Úloha 3 #2877

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

Dané priamky \(a, b, c\) pretínajúce sa v jednom bode a uhol medzi akýmikoľvek dvoma z nich je rovný \(60^\circ\) . Nájdite \(\cos^(-1)\alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi rovinou tvorenou priamkami \(a\) a \(c\) a rovinou tvorenou priamkami \(b\) a \(c\) . Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Nech sa priamky pretínajú v bode \(O\) . Pretože uhol medzi ľubovoľnými dvoma z nich je rovný \(60^\circ\) , potom všetky tri čiary nemôžu ležať v rovnakej rovine. Označme bod \(A\) na priamke \(a\) a nakreslite \(AB\perp b\) a \(AC\perp c\) . Potom \(\trojuholník AOB=\trojuholník AOC\) ako pravouhlé v prepone a ostrom uhle. Preto \(OB=OC\) a \(AB=AC\) .
Urobme \(AH\perp (BOC)\) . Potom pomocou vety o troch kolmičkách \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Od \(AB=AC\) , teda \(\trojuholník AHB=\trojuholník AHC\) ako pravouhlé pozdĺž prepony a nohy. Preto \(HB=HC\) . \(OH\) ​​je teda os uhla \(BOC\) (keďže bod \(H\) je rovnako vzdialený od strán uhla).

Všimnite si, že týmto spôsobom sme zostrojili aj lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria roviny tvorené priamkami \(a\) a \(c\) a rovina tvorená priamkami \(b\) a \( c\). Toto je uhol \(ACH\) .

Poďme nájsť tento roh. Keďže sme si bod \(A\) vybrali ľubovoľne, potom ho zvoľme tak, že \(OA=2\) . Potom v obdĺžnikovom \(\trojuholník AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Keďže \(OH\) ​​​​je os, potom \(\uhol HOC=30^\circ\) , teda v obdĺžnikovom \(\trojuholník HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Potom z obdĺžnikového \(\trojuholník ACH\) : \[\cos\uhol \alpha=\cos\uhol ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

odpoveď: 3

Úloha 4 #2910

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

Roviny \(\pi_1\) a \(\pi_2\) sa pretínajú pozdĺž priamky \(l\) , ktorá obsahuje body \(M\) a \(N\) . Segmenty \(MA\) a \(MB\) sú kolmé na čiaru \(l\) a ležia v rovinách \(\pi_1\) a \(\pi_2\) a \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Nájdite \(3\cos\alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi rovinami \(\pi_1\) a \(\pi_2\) .

Trojuholník \(AMN\) je pravouhlý, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), odkiaľ \ Trojuholník \(BMN\) je pravouhlý, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), odkiaľ \ Napíšeme kosínusovú vetu pre trojuholník \(AMB\): \ Potom \ Keďže uhol \(\alpha\) medzi rovinami je ostrý a \(\uhol AMB\) sa ukázal byť tupý, potom \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Potom \

Odpoveď: 1.25

Úloha 5 #2911

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) je rovnobežnosten, \(ABCD\) je štvorec so stranou \(a\) , bod \(M\) je základňou kolmice spadnutej z bodu \(A_1\) do roviny \ ((ABCD)\) , navyše \(M\) je priesečníkom uhlopriečok štvorca \(ABCD\) . To je známe \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Nájdite uhol medzi rovinami \((ABCD)\) a \((AA_1B_1B)\) . Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Zostrojíme \(MN\) kolmo na \(AB\), ako je znázornené na obrázku.

Pretože \(ABCD\) je štvorec so stranou \(a\) a \(MN\perp AB\) a \(BC\perp AB\) , potom \(MN\rovnobežka BC\) . Keďže \(M\) je priesečníkom uhlopriečok štvorca, potom \(M\) je stredom \(AC\) , preto \(MN\) je stredová čiara a \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) je projekcia \(A_1N\) do roviny \((ABCD)\) a \(MN\) je kolmá na \(AB\) , potom pomocou vety o troch kolmičkách \( A_1N\) je kolmá na \(AB \) a uhol medzi rovinami \((ABCD)\) a \((AA_1B_1B)\) je \(\uhol A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \uhol A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\uhol A_1NM = 60^(\circ)\]

odpoveď: 60

Úloha 6 #1854

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

V štvorci \(ABCD\) : \(O\) je priesečník uhlopriečok; \(S\) nie je v rovine štvorca, \(SO \perp ABC\) . Nájdite uhol medzi rovinami \(ASD\) a \(ABC\), ak \(SO = 5\) a \(AB = 10\) .

Pravé trojuholníky \(\trojuholník SAO\) a \(\trojuholník SDO\) sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi (\(SO \perp ABC\) \(\Pravá šípka\) \(\uhol SOA = \uhol SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\), pretože \(O\) je priesečník uhlopriečok štvorca, \(SO\) je spoločná strana) \(\Šípka doprava\) \(AS = SD\) \(\Šípka doprava\) \(\trojuholník ASD\) je rovnoramenný. Bod \(K\) je stredom \(AD\) , potom \(SK\) je výška v trojuholníku \(\trojuholník ASD\) a \(OK\) je výška v trojuholníku \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOK\) je kolmá na roviny \(ASD\) a \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\uhol SKO\) je lineárny uhol rovný do požadovaného dihedrálneho uhla.

V \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\trojuholník SOK\) je rovnoramenný pravouhlý trojuholník \(\Rightarrow\) \(\uhol SKO = 45^\circ\) .

odpoveď: 45

Úloha 7 #1855

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

V štvorci \(ABCD\) : \(O\) je priesečník uhlopriečok; \(S\) nie je v rovine štvorca, \(SO \perp ABC\) . Nájdite uhol medzi rovinami \(ASD\) a \(BSC\), ak \(SO = 5\) a \(AB = 10\) .

Pravouhlé trojuholníky \(\trojuholník SAO\) , \(\trojuholník SDO\) , \(\trojuholník SOB\) a \(\trojuholník SOC\) sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi (\(SO \perp ABC \) \(\šípka doprava\) \(\uhol SOA = \uhol SOD = \uhol SOB = \uhol SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , pretože \(O\) je priesečník uhlopriečok štvorca, \(SO\) je spoločná strana) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) a \(\triangle BSC\) sú rovnoramenné. Bod \(K\) je stredom \(AD\) , potom \(SK\) je výška v trojuholníku \(\trojuholník ASD\) a \(OK\) je výška v trojuholníku \ (AOD\) \(\ Šípka doprava\) rovina \(SOK\) je kolmá na rovinu \(ASD\) . Bod \(L\) je stredom \(BC\) , potom \(SL\) je výška v trojuholníku \(\triangle BSC\) a \(OL\) je výška v trojuholníku \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOL\) (aka rovina \(SOK\) ) je kolmá na rovinu \(BSC\) . Dostaneme teda, že \(\uhol KSL\) je lineárny uhol rovný požadovanému dihedrálnemu uhlu.

\(KL = KO + OL = 2\cbodka OL = AB = 10\)\(\Šípka doprava\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - výšky v rovnakých rovnoramenných trojuholníkoch, ktoré možno nájsť pomocou Pytagorovej vety: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Je to vidieť \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) pre trojuholník \(\trojuholník KSL\) platí inverzná Pytagorova veta \(\Rightarrow\) \(\trojuholník KSL\) je pravouhlý trojuholník \(\Rightarrow\) \(\uhol KSL = 90^\ kruh\) .

odpoveď: 90

Príprava študentov na skúšku z matematiky spravidla začína opakovaním základných vzorcov vrátane tých, ktoré vám umožňujú určiť uhol medzi rovinami. Napriek tomu, že táto časť geometrie je dostatočne podrobne spracovaná v rámci školského vzdelávacieho programu, mnohí absolventi si potrebujú základnú látku zopakovať. Študenti stredných škôl, ktorí pochopia, ako nájsť uhol medzi rovinami, budú môcť pri riešení úlohy rýchlo vypočítať správnu odpoveď a počítať so slušným skóre na základe jednotnej štátnej skúšky.

Hlavné nuansy

Aby otázka, ako nájsť dihedrálny uhol, nespôsobovala ťažkosti, odporúčame vám postupovať podľa algoritmu riešenia, ktorý vám pomôže zvládnuť úlohy skúšky.

Najprv musíte určiť čiaru, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú.

Potom na tejto čiare musíte vybrať bod a nakresliť k nemu dve kolmice.

Ďalším krokom je nájdenie trigonometrickej funkcie dihedrálneho uhla, ktorý tvoria kolmice. Najpohodlnejšie je to urobiť pomocou výsledného trojuholníka, ktorého súčasťou je roh.

Odpoveďou bude hodnota uhla alebo jeho goniometrická funkcia.

Príprava na test spolu so Shkolkovo je kľúčom k vášmu úspechu

V procese štúdia v predvečer zloženia skúšky sa mnohí študenti stretávajú s problémom hľadania definícií a vzorcov, ktoré vám umožňujú vypočítať uhol medzi 2 rovinami. Školská učebnica nie je vždy po ruke presne vtedy, keď ju treba. A aby ste našli potrebné vzorce a príklady ich správneho použitia, vrátane hľadania uhla medzi rovinami na internete online, niekedy musíte stráviť veľa času.

Matematický portál "Shkolkovo" ponúka nový prístup k príprave na štátnu skúšku. Triedy na našej webovej stránke pomôžu študentom identifikovať pre seba najťažšie úseky a vyplniť medzery vo vedomostiach.

Všetok potrebný materiál sme pripravili a prehľadne odprezentovali. Základné definície a vzorce sú uvedené v časti "Teoretická príručka".

Pre lepšie osvojenie učiva odporúčame precvičiť si aj zodpovedajúce cvičenia. Veľký výber úloh rôzneho stupňa zložitosti, napríklad na, je uvedený v sekcii Katalóg. Všetky úlohy obsahujú podrobný algoritmus na nájdenie správnej odpovede. Zoznam cvičení na stránke je neustále dopĺňaný a aktualizovaný.

Pri precvičovaní riešenia úloh, v ktorých je potrebné nájsť uhol medzi dvoma rovinami, majú študenti možnosť uložiť si ľubovoľnú úlohu online do „Obľúbených“. Vďaka tomu sa k nemu budú môcť toľkokrát vracať a diskutovať o postupe jeho riešenia s učiteľom školy alebo tútorom.