Uvažujme priemety bodov do dvoch rovín, pre ktoré zoberieme dve na seba kolmé roviny (obr. 4), ktoré budeme nazývať horizontálne frontálne a roviny. Priesečník týchto rovín sa nazýva os projekcie. Jeden bod A premietneme do uvažovaných rovín pomocou plochej projekcie. Na to je potrebné spustiť kolmice Aa a A z daného bodu na uvažované roviny.

Premietanie do vodorovnej roviny sa nazýva pôdorys bodov ALE a projekcia a? na frontálnej rovine je tzv predná projekcia.

Body, ktoré sa majú premietnuť v deskriptívnej geometrii, sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami. A, B, C. Malé písmená sa používajú na označenie horizontálnych priemetov bodov. a, b, c... Čelné výčnelky sú označené malými písmenami s ťahom v hornej časti a?, b?, c?…

Používa sa aj označenie bodov rímskymi číslicami I, II, ... a pre ich projekcie - arabskými číslicami 1, 2 ... a 1?, 2? ...

Pri otočení horizontálnej roviny o 90° možno získať výkres, v ktorom sú obe roviny v rovnakej rovine (obr. 5). Tento obrázok sa volá bodová zápletka.

Cez kolmé čiary Ach a ach? nakreslite rovinu (obr. 4). Výsledná rovina je kolmá na čelnú a vodorovnú rovinu, pretože obsahuje kolmice na tieto roviny. Preto je táto rovina kolmá na priesečník rovín. Výsledná priamka pretína vodorovnú rovinu v priamke aa x a čelná rovina - v priamke čo? X. Priamo aah a čo? x sú kolmé na os priesečníka rovín. Teda Aaah? je obdĺžnik.

Pri kombinácii horizontálnej a čelnej projekčnej roviny a a a? bude ležať na jednej kolmici na os priesečníka rovín, pretože keď sa horizontálna rovina otáča, kolmosť segmentov aa x a čo? x nie je zlomený.

Dostaneme to na projekčnom diagrame a a a? nejaký bod ALE ležia vždy na tej istej kolmici na os priesečníka rovín.

Dve projekcie a a a? niektorého bodu A dokáže jednoznačne určiť svoju polohu v priestore (obr. 4). Potvrdzuje to skutočnosť, že pri konštrukcii kolmice z priemetu a na vodorovnú rovinu bude prechádzať bodom A. Podobne kolmica z priemetne a? do frontálnej roviny prejde bodom ALE, teda bod ALE leží na dvoch určitých líniách súčasne. Bod A je ich priesečník, t.j. je určitý.

Zvážte obdĺžnik Aaa X a?(obr. 5), pre ktoré platia nasledujúce tvrdenia:

1) Bodová vzdialenosť ALE od čelnej roviny sa rovná vzdialenosti jej horizontálneho priemetu a od osi priesečníka rovín, t.j.

ach? = aa X;

2) vzdialenosť bodov ALE od vodorovnej roviny priemetov sa rovná vzdialenosti jeho čelného priemetu a? od osi priesečníka rovín, t.j.

Ach = čo? X.

Inými slovami, aj bez samotného bodu na pozemku, len pomocou jeho dvoch projekcií, môžete zistiť, v akej vzdialenosti od každej z projekčných rovín sa tento bod nachádza.

Priesečník dvoch premietacích rovín rozdeľuje priestor na štyri časti, ktoré sú tzv štvrtí(obr. 6).

Os priesečníka rovín rozdeľuje horizontálnu rovinu na dve štvrtiny - prednú a zadnú a prednú rovinu - na hornú a dolnú štvrtinu. Horná časť frontálnej roviny a predná časť horizontálnej roviny sa považujú za hranice prvej štvrtiny.

Po prijatí schémy sa horizontálna rovina otočí a zhoduje sa s čelnou rovinou (obr. 7). V tomto prípade sa predná časť vodorovnej roviny zhoduje so spodnou časťou prednej roviny a zadná časť vodorovnej roviny s hornou časťou prednej roviny.

Obrázky 8-11 zobrazujú body A, B, C, D, ktoré sa nachádzajú v rôznych častiach priestoru. Bod A je v prvej štvrtine, bod B je v druhej, bod C je v tretej a bod D je vo štvrtej.

Keď sa body nachádzajú v prvej alebo štvrtej štvrtine ich horizontálne projekcie umiestnené na prednej strane vodorovnej roviny a na diagrame budú ležať pod osou priesečníka rovín. Keď sa bod nachádza v druhej alebo tretej štvrtine, jeho horizontálny priemet bude ležať na zadnej strane horizontálnej roviny a na diagrame bude nad osou priesečníka rovín.

Predné projekcie body, ktoré sa nachádzajú v prvej alebo druhej štvrtine, budú ležať v hornej časti čelnej roviny a na diagrame budú umiestnené nad osou priesečníka rovín. Keď sa bod nachádza v tretej alebo štvrtej štvrtine, jeho čelný priemet je pod osou priesečníka rovín.

Najčastejšie sa v reálnych konštrukciách postava umiestňuje do prvej štvrtiny priestoru.

V niektorých konkrétnych prípadoch bod ( E) môže ležať na vodorovnej rovine (obr. 12). V tomto prípade sa jeho horizontálny priemet e a samotný bod zhodujú. Čelný priemet takéhoto bodu bude na osi priesečníka rovín.

V prípade, že bod Komu leží na frontálnej rovine (obr. 13), jej horizontálny priemet k leží na osi priesečníka rovín a čelnej k? zobrazuje skutočnú polohu tohto bodu.

Pre takéto body je znakom toho, že leží na jednej z premietacích rovín, že jedna z jej projekcií je na osi priesečníka rovín.

Ak bod leží na priesečníkovej osi premietacích rovín, tento a oba jeho priemety sa zhodujú.

Keď bod neleží v projekčných rovinách, volá sa bod všeobecnej polohy. V nasledujúcom texte, ak neexistujú žiadne špeciálne známky, posudzovaný bod je bodom vo všeobecnej polohe.

2. Nedostatok projekčnej osi

Aby sme vysvetlili, ako na modeli získať projekcie bodu na kolmé premietacie roviny (obr. 4), je potrebné vziať si kus hrubého papiera vo forme podlhovastého obdĺžnika. Medzi projekciami je potrebné ho ohnúť. Čiara ohybu bude zobrazovať os priesečníka rovín. Ak sa potom ohnutý kus papiera opäť narovná, dostaneme diagram podobný tomu, ktorý je znázornený na obrázku.

Kombináciou dvoch projekčných rovín s rovinou kreslenia nemôžete zobraziť čiaru ohybu, t. j. nenakreslite do diagramu os priesečníka rovín.

Pri konštrukcii na diagrame by ste mali vždy umiestniť projekcie a a a? bod A na jednej zvislej priamke (obr. 14), ktorá je kolmá na os priesečníka rovín. Preto, aj keď poloha osi priesečníka rovín zostane nedefinovaná, ale jej smer je určený, os priesečníka rovín môže byť iba kolmá na priamku na diagrame. ach?.

Ak na diagrame bodov nie je žiadna projekčná os, ako na prvom obrázku 14a, môžete si predstaviť polohu tohto bodu v priestore. Ak to chcete urobiť, nakreslite ľubovoľné miesto kolmo na čiaru ach? os projekcie, ako na druhom obrázku (obr. 14) a ohnite výkres pozdĺž tejto osi. Ak obnovíme kolmice v bodoch a a a? než sa pretnú, môžete získať bod ALE. Pri zmene polohy projekčnej osi sa získajú rôzne polohy bodu voči projekčným rovinám, ale neistota polohy projekčnej osi neovplyvňuje vzájomnú polohu viacerých bodov alebo obrazcov v priestore.

3. Priemet bodu do troch premietacích rovín

Zvážte profilovú rovinu projekcií. Projekcie na dve kolmé roviny väčšinou určujú polohu postavy a umožňujú zistiť jej skutočné rozmery a tvar. Sú však chvíle, keď dve projekcie nestačia. Potom použite konštrukciu tretej projekcie.

Tretia premietacia rovina sa uskutočňuje tak, že je kolmá na obe premietacie roviny súčasne (obr. 15). Tretia rovina je tzv profilu.

V takýchto konštrukciách sa nazýva spoločná čiara horizontálnej a čelnej roviny os X , spoločná čiara vodorovnej a profilovej roviny - os pri a spoločná priamka čelnej a profilovej roviny - os z . Bodka O, ktorý patrí do všetkých troch rovín, sa nazýva východiskový bod.

Obrázok 15a znázorňuje bod ALE a tri jeho projekcie. Projekcia na rovinu profilu ( a??) sa volajú projekcia profilu a označujú a??.

Získať diagram bodu A, ktorý pozostáva z troch projekcií a, a, je potrebné zrezať trojsten tvorený všetkými rovinami pozdĺž osi y (obr. 15b) a všetky tieto roviny spojiť s rovinou čelného priemetu. Horizontálna rovina sa musí otáčať okolo osi X a rovina profilu je blízko osi z v smere označenom šípkou na obrázku 15.

Obrázok 16 ukazuje polohu výstupkov aha, čo? a a?? bodov ALE, získané ako výsledok spojenia všetkých troch rovín s rovinou výkresu.

V dôsledku rezu sa os y vyskytuje na diagrame na dvoch rôznych miestach. Na vodorovnej rovine (obr. 16) zaujme zvislú polohu (kolmo na os). X), a na rovine profilu - horizontálne (kolmo na os). z).

Obrázok 16 zobrazuje tri projekcie aha, čo? a a?? body A majú presne definovanú polohu na diagrame a podliehajú jednoznačným podmienkam:

a a a? musí byť vždy umiestnené na jednej zvislej priamke kolmej na os X;

a? a a?? musia byť vždy umiestnené na rovnakej horizontálnej línii kolmej na os z;

3) pri kreslení cez vodorovnú projekciu a vodorovnú čiaru, ale cez projekciu profilu a??- vertikálna priama čiara, zostrojené čiary sa nevyhnutne pretínajú na sektore uhla medzi osami premietania, pretože obr. Oa pri a 0 a n je štvorec.

Pri konštrukcii troch priemetov bodu je potrebné pre každý bod skontrolovať splnenie všetkých troch podmienok.

4. Súradnice bodu

Polohu bodu v priestore možno určiť pomocou troch čísel, ktoré sa nazývajú jeho súradnice. Každá súradnica zodpovedá vzdialenosti bodu od niektorej projekčnej roviny.

Bodová vzdialenosť ALE k rovine profilu je súradnica X, kde X = čo?(obr. 15), vzdialenosť k frontálnej rovine - podľa súradníc y, a y = čo? a vzdialenosť od vodorovnej roviny je súradnica z, kde z = aA.

Na obrázku 15 zaberá bod A šírku obdĺžnikového boxu a rozmery tohto boxu zodpovedajú súradniciam tohto bodu, t.j. každá zo súradníc je na obrázku 15 znázornená štyrikrát, t.j.:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Na diagrame (obr. 16) sa súradnice x a z vyskytujú trikrát:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Všetky segmenty, ktoré zodpovedajú súradniciam X(alebo z) sú navzájom paralelné. Koordinovať pri znázornené dvakrát zvislou osou:

y \u003d Oa y \u003d a x a

a dvakrát - umiestnené horizontálne:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Tento rozdiel sa objavil v dôsledku skutočnosti, že os y je na diagrame prítomná v dvoch rôznych polohách.

Je potrebné poznamenať, že poloha každej projekcie je na diagrame určená iba dvoma súradnicami, a to:

1) horizontálne - súradnice X a pri,

2) frontálne - súradnice X a z,

3) profil - súradnice pri a z.

Pomocou súradníc x, y a z, môžete vytvoriť projekcie bodu na diagrame.

Ak je bod A daný súradnicami, ich záznam je definovaný takto: A ( X; y; z).

Pri konštrukcii bodových projekcií ALE musia sa skontrolovať tieto podmienky:

1) horizontálne a čelné projekcie a a a? X X;

2) čelné a profilové projekcie a? a a? by mala byť umiestnená na rovnakej kolmej osi z, keďže majú spoločnú súradnicu z;

3) horizontálna projekcia a tiež odstránená z osi X, ako je projekcia profilu a preč od osi z, od projekcie ah? a čo? majú spoločnú súradnicu pri.

Ak bod leží v niektorej z projekčných rovín, potom sa jedna z jeho súradníc rovná nule.

Keď bod leží na projekčnej osi, jeho dve súradnice sú nulové.

Ak bod leží v počiatku, všetky jeho tri súradnice sú nulové.

BODOVÉ PROJEKCIE.

ORTOGONÁLNY SYSTÉM DVOCH ROVÍN PROJEKCIE.

Podstata metódy kolmého premietania spočíva v tom, že predmet sa premieta do dvoch vzájomne kolmých rovín lúčmi kolmými (kolmými) na tieto roviny.

Jedna z projekčných rovín H je umiestnená horizontálne a druhá V je umiestnená vertikálne. Rovina H sa nazýva horizontálna rovina projekcií, V - čelná. Roviny H a V sú nekonečné a nepriehľadné. Priesečník premietacích rovín sa nazýva súradnicová os a označuje sa VÔL. Projekčné roviny rozdeľujú priestor na štyri dihedrálne uhly - štvrtiny.

Vzhľadom na ortogonálne projekcie sa predpokladá, že pozorovateľ je v prvej štvrtine v nekonečne veľkej vzdialenosti od projekčných rovín. Keďže tieto roviny sú nepriehľadné, pozorovateľ bude vidieť len tie body, čiary a obrazce, ktoré sa nachádzajú v tej istej prvej štvrtine.

Pri konštrukcii projekcií je potrebné pamätať na to bodová ortogonálna projekciana rovine sa nazýva základňa kolmice spadnutej z daného bodudo tejto roviny.

Na obrázku je znázornená bodka ALE a jeho ortogonálne projekcie 1 a a 2.

bod 1 volal pôdorys bodov ALE, bod a 2- jej predná projekcia. Každá z nich je základňou kolmice spadnutej z bodu ALE respektíve v lietadle H a V.

Dá sa to dokázať bodová projekciavždy umiestnené na rovných čiarach, kolmékulárnej osiOH a prekročenie tejto osiv rovnakom bode. Naozaj, premietanie lúčov ALE1 a ALEa 2 definovať rovinu kolmú na roviny priemetov a priamky ich priesečníkov - osí OH. Táto rovina sa pretína H a V v priamych líniách a 1aX a a 1aX, ktoré tvoria s osou VÔL a navzájom pravé uhly s vrcholom v bode aX.

Platí to aj naopak, t.j. ak sú body dané na projekčných rovinácha 1 a a 2 , umiestnené na pretínajúcich sa priamkach os VÔLv tomto bode v pravom uhle,potom sú to projekcie niektorýchbody A. Tento bod je určený priesečníkom kolmíc zostrojených z bodov a 1 a a 2 do lietadiel H a V.

Všimnite si, že poloha projekčných rovín v priestore môže byť odlišná. Napríklad obe roviny, ktoré sú navzájom kolmé, môžu byť vertikálne, ale v tomto prípade zostáva v platnosti vyššie uvedený predpoklad o orientácii protiľahlých priemetov bodov vzhľadom na os.

Ak chcete získať plochý výkres pozostávajúci z vyššie uvedených projekcií, rovina H zarovnané otáčaním okolo osi VÔL s lietadlom V ako je znázornené šípkami na obrázku. V dôsledku toho predná polorovina H budú zarovnané so spodnou polrovinou V, a zadná polrovina H- s hornou polrovinou V.

Projekčný výkres, v ktorom sú projekčné roviny so všetkým, čo je na nich znázornené, určitým spôsobom navzájom kombinované, sa nazýva diagram(z francúzskeho epure - kresba). Na obrázku je znázornený diagram bodu ALE.

S touto metódou kombinovania rovín H a V projekcie a 1 a a 2 budú umiestnené na rovnakej kolmej osi VÔL. Zároveň aj vzdialenosť a 1 a x — z horizontálneho priemetu bodu do osi VÔL ALE až po lietadlo V, a vzdialenosť a 2 a x — od čelného priemetu bodu do osi VÔL rovná vzdialenosti od bodu ALE až po lietadlo H.

Rovné čiary spájajúce opačné projekcie bodu na diagrame, súhlasíme s volaním projekčné komunikačné linky.

Poloha priemetov bodov na diagrame závisí od štvrte, v ktorej sa daný bod nachádza. Ak teda bod AT sa nachádza v druhej štvrtine, potom po vyrovnaní rovín budú oba výbežky ležať nad osou VÔL.

Ak bod OD je v tretej štvrtine, potom bude jeho horizontálna projekcia po vyrovnaní rovín nad osou a čelná projekcia bude pod osou VÔL. Nakoniec, ak bod D nachádza v štvrtom štvrťroku, potom obe jeho projekcie budú pod osou VÔL. Na obrázku sú uvedené body M a N ležiace na projekčných rovinách. V tejto polohe sa bod zhoduje s jedným z jeho výbežkov, zatiaľ čo jeho druhý výčnelok leží na osi VÔL. Táto vlastnosť sa odráža aj v označení: v blízkosti projekcie, s ktorou sa samotný bod zhoduje, sa píše veľké písmeno bez indexu.

Treba tiež poznamenať, že prípad, keď sa obe projekcie bodu zhodujú. To sa stane, ak je bod v druhej alebo štvrtej štvrtine v rovnakej vzdialenosti od projekčných rovín. Obidve projekcie sú kombinované so samotným bodom, ak je tento umiestnený na osi VÔL.

ORTOGONÁLNY SYSTÉM TROCH ROVÍN PROJEKCIÍ.

Vyššie bolo ukázané, že dve projekcie bodu určujú jeho polohu v priestore. Keďže každá postava alebo teleso je súborom bodov, možno tvrdiť, že dve ortogonálne projekcie objektu (v prítomnosti písmenových označení) úplne určujú jeho tvar.

V praxi zobrazovania stavebných konštrukcií, strojov a rôznych inžinierskych stavieb je však potrebné vytvárať ďalšie projekcie. Robia to s jediným cieľom, aby bol projekčný výkres jasnejší a čitateľnejší.

Model troch premietacích rovín je znázornený na obrázku. Tretia rovina, kolmá a H a V, označený písmenom W a volal profilu.

Projekcie bodov na tejto rovine sa budú nazývať aj profily a označujú sa veľkými písmenami alebo číslicami s indexom 3 (ah,bh,ch,...1 h, 2 h, 3 3 ...).

Projekčné roviny, ktoré sa pretínajú v pároch, definujú tri osi: OX, OY a OZ, ktorý možno považovať za systém pravouhlých karteziánskych súradníc v priestore s počiatkom v bode O. Systém znakov naznačený na obrázku zodpovedá „správnemu systému“ súradníc.

Tri projekčné roviny rozdeľujú priestor na osem trojstenných uhlov – ide o tzv oktanty. Číslovanie oktantov je uvedené na obrázku.

Získať nákres lietadla H a W otáčajte tak, ako je znázornené na obrázku, kým nebude zarovnané s rovinou V. V dôsledku rotácie predná polrovina H sa ukáže byť zarovnaný so spodnou polrovinou V, a zadná polrovina H- s hornou polrovinou V. Pri otočení o 90° okolo osi OZ predná polrovina W sa zhoduje s pravou polrovinou V, a zadná polrovina W- s ľavou polrovinou V.

Konečný pohľad na všetky kombinované projekčné roviny je uvedený na obrázku. Na tomto výkrese sú os OX a OZ, ležiace v pevnej rovine V, sú zobrazené iba raz a os OY zobrazené dvakrát. Vysvetľuje to skutočnosť, že sa otáča s rovinou H, os OY na diagrame je zarovnaný s osou OZ, pri otáčaní s lietadlom W, rovnaká os je zarovnaná s osou OX.

V budúcnosti, pri označovaní osí na diagrame, záporné poloosi (- OX, — OY, — OZ) nebudú uvedené.

TRI SÚRADNICE A TRI PROJEKCIE BODU A JEHO POLOMEROVEKTORA.

Súradnice sú čísla, ktorédať do korešpondencie s bodom na určenieniya svojej polohy v priestore alebo napovrchy.

V trojrozmernom priestore sa poloha bodu nastavuje pomocou pravouhlých karteziánskych súradníc x, y a z.

Koordinovať X volal úsečka, pri— ordinát a z — nášivka. Abscisa X definuje vzdialenosť od daného bodu k rovine W, súradnica y - až po lietadlo V a nášivka z - až po lietadlo H. Po prijatí systému znázorneného na obrázku na počítanie súradníc bodu zostavíme tabuľku znakov súradníc vo všetkých ôsmich oktantoch. Akýkoľvek bod vo vesmíre ALE, daný súradnicami, bude označený takto: A(x, y,z).

Ak x = 5, y = 4 a z = 6, zápis bude mať nasledujúci tvar ALE(5, 4, 6). Tento bod ALE, ktorého všetky súradnice sú kladné, je v prvom oktante

Súradnice bodu ALE sú zároveň súradnice jeho polomerového vektora

OA vzhľadom na pôvod súradníc. Ak i, j, k sú jednotkové vektory nasmerované jednotlivo pozdĺž súradnicových osí x, y,z(obrázok), teda

OA =OA x i+OArj + OAzk , kde OA X, OA U, OA g - vektorové súradnice OA

Odporúča sa vytvoriť obraz samotného bodu a jeho priemetov na priestorovom modeli (obrázku) pomocou súradnicového pravouhlého rovnobežnostena. V prvom rade na súradnicových osiach z bodu O odložiť segmenty, respektíve rovnaké 5, 4 a 6 jednotky dĺžky. Na týchto segmentoch (Oa x , Oa y , Oa z ), ako na okrajoch postavte pravouhlý rovnobežnosten. Jeho vrchol oproti počiatku určí daný bod ALE. Je ľahké to vidieť na určenie bodu ALE stačí zostrojiť napríklad len tri hrany rovnobežnostena Oa x , a x a 1 a a 1 ALE alebo Oa y , a y a 1 a a 1 A Tieto hrany tvoria súradnicovú lomenú čiaru, ktorej dĺžka každého spojenia je určená zodpovedajúcou súradnicou bodu.

Konštrukcia rovnobežnostena nám však umožňuje určiť nielen bod ALE, ale aj všetky jeho tri ortogonálne projekcie.

Lúče premietajúce bod do roviny H, V, W sú tri hrany rovnobežnostena, ktoré sa v bode pretínajú ALE.

Každý z ortogonálnych priemetov bodu ALE, sa nachádza v rovine, je určená iba dvoma súradnicami.

Áno, horizontálna projekcia a 1 určené súradnicami X a y, predná projekcia a 2 - súradnice x az, projekcia profilu a 3 — súradnice pri a z. Akékoľvek dve projekcie sú však určené tromi súradnicami. Preto zadanie bodu s dvoma projekciami je ekvivalentné zadanie bodu s tromi súradnicami.

Na diagrame (obrázku), kde sú kombinované všetky projekčné roviny, sú projekcie a 1 a a 2 bude na rovnakej kolmej osi OX, a projekcie a 2 a a 3 — jeden kolmý na os oz.

Čo sa týka projekcií a 1 a a 3 , potom sú spojené rovnými čiarami a 1 a y a a 3 a y , kolmo na os OY. Ale keďže táto os zaberá dve pozície na diagrame, segment a 1 a y nemôže byť pokračovaním segmentu a 3 a y .

Konštrukcia bodových projekcií A (5, 4, 6) na diagrame na daných súradniciach sa vykonávajú v nasledujúcom poradí: najprv sa na osi x od začiatku položí segment Oa x = x(v našom prípade x =5), potom cez bodku a x kresliť kolmo na os OX, na ktorých s prihliadnutím na znamenia odkladáme segmenty a x a 1 = y(dostaneme a 1 ) a a x a 2 = z(dostaneme a 2 ). Zostáva zostrojiť profilový priemet bodu a 3 . Pretože profil a čelné projekcie bodu musia byť umiestnené v rovnakej kolmej polohe na os oz , potom cez a 3 priamy a 2 a z ^ oz.

Nakoniec vyvstáva posledná otázka: v akej vzdialenosti od osi OZ mala by byť 3?

Vzhľadom na súradnicový rámček (pozri obrázok), ktorého okraje a z a 3 = O a y = a x a 1 = r dospejeme k záveru, že požadovaná vzdialenosť a z a 3 rovná sa r.Úsečka a z a 3 vyčleniť napravo od osi OZ, ak y>0, a doľava, ak y

Pozrime sa, aké zmeny nastanú na diagrame, keď bod začne meniť svoju polohu v priestore.

Povedzme napríklad bod A (5, 4, 6) sa bude pohybovať po priamke kolmo na rovinu V. Pri takomto pohybe sa zmení iba jedna súradnica y, zobrazujúci vzdialenosť od bodu k rovine V. Súradnice zostanú konštantné. x az , a priemet bodu definovaného týmito súradnicami, t.j. a 2 nezmení svoju pozíciu.

Čo sa týka projekcií a 1 a a 3 , potom sa prvý začne približovať k osi OX, druhá - na os OZ. Na obrázkoch nová poloha bodu zodpovedá označeniam a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). Keď je bod v rovine V(y = 0), dve z troch projekcií ( a 1 2 a a 3 2 ) bude ležať na osiach.

Po presťahovaní sa z ja oktant v II, bod sa začne vzďaľovať od roviny V, koordinovať pri negatívne, jeho absolútna hodnota sa zvýši. Horizontálny priemet tohto bodu, ktorý sa nachádza v zadnej polrovine H, na pozemku bude nad os OX, a projekcia profilu, ktorá je v zadnej polrovine W, na diagrame bude naľavo od osi OZ. Ako vždy, strih a za 3 3 = y.

V nasledujúcich diagramoch nebudeme písmenami označovať priesečníky súradnicových osí s čiarami premietacieho spojenia. Tým sa kresba do určitej miery zjednoduší.

V budúcnosti budú existovať diagramy bez súradnicových osí. To sa v praxi robí pri zobrazovaní predmetov, kedy podstatný je len samotný obrazobjektu, nie jeho relatívnej poloheprojekčné roviny.

Premietacie roviny sú v tomto prípade určené s presnosťou len do rovnobežného posunu (obrázok). Zvyčajne sa pohybujú rovnobežne so sebou takým spôsobom, že všetky body objektu sú nad rovinou. H a pred lietadlom V. Keďže poloha osi X 12 sa ukazuje ako neurčitá, vytvorenie diagramu v tomto prípade nemusí byť spojené s rotáciou rovín okolo súradnicovej osi. Pri prechode na rovinný pozemok H a V sú kombinované tak, že protiľahlé priemety bodov sú umiestnené na zvislých čiarach.

Bezosový graf bodov A a B(obrázok) nieurčuje ich polohu v priestore,ale umožňuje nám posúdiť ich relatívnu orientáciu. Takže segment △x charakterizuje posunutie bodu ALE vo vzťahu k bodu AT v smere rovnobežnom s rovinami H a V. Inými slovami, △x označuje, do akej miery je bod ALE umiestnený naľavo od bodu AT. Relatívne odsadenie bodu v smere kolmom na rovinu V je určené úsečkou △y, t.j. A v v našom príklade bližšie k pozorovateľovi ako k bodu AT, vzdialenosť rovnajúcu sa △y.

Nakoniec segment △z ukazuje presah bodu ALE nad bodkou AT.

Zástancovia bezosového štúdia kurzu deskriptívnej geometrie správne upozorňujú, že pri riešení mnohých problémov sa možno zaobísť bez súradnicových osí. Ich úplné odmietnutie však nemožno považovať za účelné. Deskriptívna geometria je navrhnutá tak, aby pripravila budúceho inžiniera nielen na kompetentné vykonávanie výkresov, ale aj na riešenie rôznych technických problémov, medzi ktorými problémy priestorovej statiky a mechaniky nie sú na poslednom mieste. A na to je potrebné kultivovať schopnosť orientovať tento alebo ten objekt vzhľadom na karteziánske súradnicové osi. Tieto zručnosti budú potrebné aj pri štúdiu takých častí deskriptívnej geometrie, ako je perspektíva a axonometria. Preto na mnohých diagramoch v tejto knihe ukladáme obrázky súradnicových osí. Takéto výkresy určujú nielen tvar objektu, ale aj jeho umiestnenie vzhľadom na projekčné roviny.

Na zostrojenie obrazov množstva detailov je potrebné vedieť nájsť priemety jednotlivých bodov. Napríklad je ťažké nakresliť pohľad zhora na časť znázornenú na obr. 139 bez vybudovania vodorovných priemetov bodov A, B, C, D, E, F atď.

Problém hľadania priemetov bodov jedným daným na povrchu objektu je vyriešený nasledovne. Najprv sa nájdu projekcie plochy, na ktorej sa bod nachádza. Potom nakreslením spojovacej čiary k priemetu, kde je povrch znázornený čiarou, sa nájde druhý priemet bodu. Tretia projekcia leží na priesečníku komunikačných liniek.

Zvážte príklad.

Sú uvedené tri projekcie časti (obr. 140, a). Je daný horizontálny priemet a bodu A ležiaceho na viditeľnej ploche. Musíme nájsť ďalšie projekcie tohto bodu.

Najprv musíte nakresliť pomocnú čiaru. Ak sú uvedené dva pohľady, potom sa miesto pomocnej čiary na výkrese volí ľubovoľne, vpravo od pôdorysu tak, aby pohľad vľavo bol v požadovanej vzdialenosti od hlavného pohľadu (obr. 141).

Ak už boli postavené tri pohľady (obr. 142, a), potom miesto pomocnej čiary nemožno ľubovoľne zvoliť; musíte nájsť bod, cez ktorý to prejde. Na to stačí pokračovať až do vzájomného priesečníka vodorovného a profilového priemetu osi súmernosti a cez výsledný bod k (obr. 142, b) nakresliť úsečku pod uhlom 45 °, ktorá bude pomocná priamka.

Ak neexistujú žiadne osi symetrie, potom pokračujte až do priesečníka v bode k 1 horizontálne a profilové projekcie ľubovoľnej tváre premietnuté vo forme priamych segmentov (obr. 142, b).

Po nakreslení pomocnej priamky začnú vytvárať projekcie bodu (pozri obr. 140, b).

Čelné priemety a" a profil a" bodu A musia byť umiestnené na zodpovedajúcich priemetoch plochy, ku ktorej patrí bod A. Tieto priemety sa nájdu. Na obr. 140, b sú farebne zvýraznené. Nakreslite komunikačné linky podľa šípok. Na priesečníkoch komunikačných línií s priemetmi povrchu sa nachádzajú požadované projekcie a" a a".

Konštrukcia priemetov bodov B, C, D je znázornená na obr. 140, v komunikačných líniách so šípkami. Dané projekcie bodov sú farebné. Komunikačné čiary sú nakreslené na projekciu, na ktorej je povrch znázornený ako čiara, a nie ako postava. Preto sa najprv zistí čelný priemet z bodu C. Priemet profilu z bodu C je určený priesečníkom komunikačných čiar.

Ak povrch nie je na žiadnom priemete znázornený čiarou, potom sa na zostrojenie priemetov bodov musí použiť pomocná rovina. Napríklad je daný čelný priemet d bodu A, ktorý leží na povrchu kužeľa (obr. 143, a). Cez bod rovnobežný so základňou sa nakreslí pomocná rovina, ktorá bude pretínať kužeľ v kruhu; jeho čelný priemet je úsečka priamky a vodorovný priemet je kruh s priemerom rovným dĺžke tohto segmentu (obr. 143, b). Nakreslením komunikačnej čiary k tomuto kruhu z bodu a sa získa horizontálny priemet bodu A.

Priemet profilu a" bodu A sa nachádza obvyklým spôsobom na priesečníku komunikačných liniek.

Rovnakým spôsobom možno nájsť projekcie bodu ležiaceho napríklad na povrchu pyramídy alebo gule. Keď pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou a prechádzajúca daným bodom, vznikne obrazec podobný základni. Priemetne daného bodu ležia na priemetoch tohto obrazca.

Odpovedz na otázku

1. Pod akým uhlom sa kreslí pomocná čiara?

2. Kde je nakreslená pomocná čiara, ak sú uvedené čelné a horné pohľady, ale potrebujete vytvoriť pohľad zľava?

3. Ako určiť miesto pomocnej čiary v prítomnosti troch typov?

4. Akým spôsobom sa zostrojujú priemetne bodu podľa jedného daného, ​​ak je jedna z plôch predmetu znázornená priamkou?

5. Pre aké geometrické telesá a v akých prípadoch sa pomocou pomocnej roviny zisťujú priemety bodu dané na ich povrch?

Pridelenia k § 20

Cvičenie 68

Zapíšte si do zošita, ktoré projekcie bodov označených číslami na pohľadoch zodpovedajú bodom označeným písmenami na vizuálnom obrázku v príklade, ktorý vám naznačil učiteľ (obr. 144, a-d).

Cvičenie 69

Na obr. 145, písmená a-b označujú iba jeden priemet niektorého z vrcholov. V príklade, ktorý vám dal učiteľ, nájdite zostávajúce priemety týchto vrcholov a označte ich písmenami. Zostrojte v jednom z príkladov chýbajúce priemety bodov uvedené na okrajoch objektu (obr. 145, d a e). Farebne zvýraznite priemety okrajov, na ktorých sa body nachádzajú Úlohu dokončite na priehľadnom papieri, preložte ho na stranu učebnice Obr.145 netreba prekresľovať.

Cvičenie 70

Nájdite chýbajúce priemety bodov dané jedným priemetom na viditeľné plochy objektu (obr. 146). Označte ich písmenami. Farbou zvýraznite dané priemetne bodov. Vizuálny obrázok vám pomôže vyriešiť problém. Úlohu je možné dokončiť v pracovnom zošite aj na priehľadnom papieri, ktorý prekryje stranu učebnice. V druhom prípade prekreslite Obr. 146 nie je potrebné.

Cvičenie 71

V príklade, ktorý vám dal učiteľ, nakreslite tri druhy (obr. 147). Zostrojte chýbajúce priemety bodov uvedených na viditeľných plochách objektu. Farbou zvýraznite dané priemetne bodov. Označte všetky bodové projekcie. Na vytvorenie projekcií bodov použite pomocnú priamku. Urobte si technický výkres a vyznačte na ňom dané body.

Krátky kurz deskriptívnej geometrie

Prednášky sú určené pre študentov inžinierskych a technických odborov

Mongeova metóda

Ak sa informácia o vzdialenosti bodu od roviny premietania neuvádza pomocou číselnej značky, ale pomocou druhého priemetu bodu, postaveného na druhej premietacej rovine, potom sa výkres nazýva dvoj- obrázok alebo komplex. Základné princípy konštrukcie takýchto výkresov uvádza G. Monge.
Metóda uvedená Mongeom - metóda ortogonálnej projekcie a dve projekcie sa snímajú na dve vzájomne kolmé projekčné roviny - poskytujúce výraznosť, presnosť a čitateľnosť obrazov predmetov v rovine, bola a zostáva hlavnou metódou na kreslenie technických výkresov.

Obrázok 1.1 Bod v sústave troch premietacích rovín

Model troch premietacích rovín je znázornený na obrázku 1.1. Tretia rovina, kolmá na P1 a P2, je označená písmenom P3 a nazýva sa profilová rovina. Priemetne bodov na tejto rovine sa označujú veľkými písmenami alebo číslicami s indexom 3. Projekčné roviny, pretínajúce sa v pároch, vymedzujú tri osi 0x, 0y a 0z, ktoré možno považovať za systém karteziánskych súradníc v priestore s počiatkom. v bode 0. Tri premietacie roviny rozdeľujú priestor na osem trojstenných uhlov - oktantov. Rovnako ako predtým budeme predpokladať, že divák, ktorý si prezerá objekt, je v prvom oktante. Na získanie diagramu sa body v systéme troch projekčných rovín rovin P1 a P3 otáčajú, kým sa nezhodujú s rovinou P2. Pri označovaní osí na diagrame sa zvyčajne neuvádzajú záporné poloosi. Ak je významný iba obraz samotného objektu a nie jeho poloha vzhľadom na projekčné roviny, osi na diagrame nie sú zobrazené. Súradnice sú čísla, ktoré zodpovedajú bodu na určenie jeho polohy v priestore alebo na povrchu. V trojrozmernom priestore sa poloha bodu nastavuje pomocou pravouhlých karteziánskych súradníc x, y a z (úsečka, ordináta a aplikácia).

Na určenie polohy priamky v priestore existujú nasledujúce metódy: 1. Dva body (A a B). Uvažujme dva body v priestore A a B (obr. 2.1). Cez tieto body môžeme nakresliť priamku, dostaneme úsečku. Aby sme našli priemety tohto segmentu na premietaciu rovinu, je potrebné nájsť priemety bodov A a B a spojiť ich priamkou. Každá z projekcií segmentu na projekčnej rovine je menšia ako samotný segment:<; <; <.

Obrázok 2.1 Určenie polohy priamky z dvoch bodov

2. Dve roviny (a; b). Tento spôsob nastavenia je daný tým, že dve nerovnobežné roviny sa v priestore pretínajú v priamke (tento spôsob je podrobne diskutovaný v rámci elementárnej geometrie).

3. Bod a uhly sklonu k projekčným rovinám. Keď poznáte súradnice bodu prislúchajúceho k priamke a jej uhol sklonu k projekčným rovinám, môžete nájsť polohu priamky v priestore.

V závislosti od polohy priamky vo vzťahu k projekčným rovinám môže zaberať všeobecné aj osobitné polohy. 1. Priamka, ktorá nie je rovnobežná so žiadnou premietacou rovinou, sa vo všeobecnej polohe nazýva priamka (obr. 3.1).

2. Priame čiary rovnobežné s projekčnými rovinami zaujímajú určitú polohu v priestore a nazývajú sa úrovňové čiary. V závislosti od toho, s ktorou rovinou premietania je daná čiara rovnobežná, existujú:

2.1. Priame priemetne rovnobežné s horizontálnou rovinou sa nazývajú horizontálne alebo vrstevnicové čiary (obr. 3.2).

Obrázok 3.2 Vodorovná priamka

2.2. Priame projekcie rovnobežné s frontálnou rovinou sa nazývajú frontálne alebo frontálne (obr. 3.3).

Obrázok 3.3 Čelný rovný

2.3. Priame priemety rovnobežné s rovinou profilu sa nazývajú priemetne profilu (obr. 3.4).

Obrázok 3.4 Profil rovný

3. Priame čiary kolmé na premietacie roviny sa nazývajú premietanie. Čiara kolmá na jednu rovinu premietania je rovnobežná s ostatnými dvoma. V závislosti od toho, na ktorú rovinu premietania je skúmaná čiara kolmá, existujú:

3.1. Frontálne vyčnievajúca priamka - AB (obr. 3.5).

Obrázok 3.5 Čiara prednej projekcie

3.2. Profil vyčnievajúci priamka - AB (obr. 3.6).

Obrázok 3.6 Linka premietania profilu

3.3. Vodorovne vyčnievajúca priamka - AB (obr. 3.7).

Obrázok 3.7 Vodorovne vyčnievajúca čiara

Rovina je jedným zo základných pojmov geometrie. V systematickom výklade geometrie sa pojem rovina zvyčajne berie ako jeden z počiatočných pojmov, ktorý je len nepriamo určený axiómami geometrie. Niektoré charakteristické vlastnosti roviny: 1. Rovina je plocha, ktorá úplne obsahuje každú priamku spájajúcu ktorýkoľvek z jej bodov; 2. Rovina je množina bodov rovnako vzdialených od dvoch daných bodov.

Spôsoby grafickej definície rovín Polohu roviny v priestore možno určiť:

1. Tri body, ktoré neležia na jednej priamke (obr. 4.1).

Obrázok 4.1 Rovina definovaná tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke

2. Priamka a bod, ktorý do tejto priamky nepatrí (obr. 4.2).

Obrázok 4.2 Rovina definovaná priamkou a bodom nepatriacim do tejto priamky

3. Dve pretínajúce sa priamky (obr. 4.3).

Obrázok 4.3 Rovina definovaná dvomi pretínajúcimi sa priamkami

4. Dve rovnobežné čiary (obr. 4.4).

Obrázok 4.4 Rovina definovaná dvoma rovnobežnými priamkami

Odlišná poloha roviny vzhľadom na projekčné roviny

V závislosti od polohy roviny vo vzťahu k projekčným rovinám môže zaberať všeobecné aj osobitné polohy.

1. Rovina, ktorá nie je kolmá na žiadnu premietaciu rovinu, sa nazýva rovina vo všeobecnej polohe. Takáto rovina pretína všetky premietacie roviny (má tri stopy: - vodorovnú S 1; - čelnú S 2; - profil S 3). Stopy generickej roviny sa po dvojiciach pretínajú na osiach v bodoch ax,ay,az. Tieto body sa nazývajú úbežníky, možno ich považovať za vrcholy trojstenných uhlov, ktoré zviera daná rovina s dvomi z troch premietacích rovín. Každá zo stôp roviny sa zhoduje s jej rovnomenným priemetom a ďalšie dva priemetne opačných mien ležia na osiach (obr. 5.1).

2. Roviny kolmé na roviny premietania – zaujímajú určitú polohu v priestore a nazývajú sa premietanie. V závislosti od toho, na ktorú premietaciu rovinu je daná rovina kolmá, existujú:

2.1. Rovina kolmá na horizontálnu premietaciu rovinu (S ^ П1) sa nazýva horizontálne premietaná rovina. Horizontálnym priemetom takejto roviny je priamka, ktorá je zároveň jej horizontálnou dráhou. Horizontálne priemety všetkých bodov ľubovoľných obrazcov v tejto rovine sa zhodujú s horizontálnou stopou (obr. 5.2).

Obrázok 5.2 Horizontálna premietacia rovina

2.2. Rovina kolmá na prednú rovinu projekcií (S ^ P2) je predná rovina. Čelný priemet roviny S je priamka zhodná so stopou S 2 (obr. 5.3).

Obrázok 5.3 Predná projekčná rovina

2.3. Rovina kolmá na rovinu profilu (S ^ П3) je rovina premietania profilu. Špeciálnym prípadom takejto roviny je rovina osy (obr. 5.4).

Obrázok 5.4 Projekčná rovina profilu

3. Roviny rovnobežné s rovinami projekcií - zaujímajú konkrétnu polohu v priestore a nazývajú sa rovinné roviny. V závislosti od roviny, s ktorou je skúmaná rovina rovnobežná, existujú:

3.1. Horizontálna rovina - rovina rovnobežná s horizontálnou projekčnou rovinou (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Akýkoľvek obrazec v tejto rovine sa premietne na rovinu P1 bez skreslenia a na rovinu P2 a P3 do priamych čiar - stôp roviny S 2 a S 3 (obr. 5.5).

Obrázok 5.5 Vodorovná rovina

3.2. Frontálna rovina - rovina rovnobežná s rovinou čelnej projekcie (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Akýkoľvek obrazec v tejto rovine sa premietne na rovinu P2 bez skreslenia a na rovinu P1 a P3 do priamych čiar - stôp roviny S 1 a S 3 (obr. 5.6).

Obrázok 5.6 Čelná rovina

3.3. Profilová rovina - rovina rovnobežná s profilovou rovinou výstupkov (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Akýkoľvek obrazec v tejto rovine sa premietne na rovinu P3 bez skreslenia a na rovinu P1 a P2 do priamych čiar - stôp roviny S 1 a S 2 (obr. 5.7).

Obrázok 5.7 Rovina profilu

Stopy lietadla

Stopa roviny je priesečník roviny s premietacími rovinami. Podľa toho, ktorú z premietacích rovín daná pretína, rozlišujú: vodorovné, čelné a profilové stopy roviny.

Každá stopa roviny je priamka, na zostrojenie ktorej je potrebné poznať dva body, prípadne jeden bod a smer priamky (ako pri zostrojení ktorejkoľvek priamky). Obrázok 5.8 ukazuje hľadanie stôp roviny S (ABC). Čelná stopa roviny S 2 je konštruovaná ako čiara spájajúca dva body 12 a 22, ktoré sú čelnými stopami zodpovedajúcich čiar patriacich rovine S . Vodorovná stopa S 1 je priamka prechádzajúca vodorovnou stopou priamky AB a S x. Profilová stopa S 3 - priamka spájajúca body (S y a S z) priesečníka vodorovných a čelných stôp s osami.

Obrázok 5.8 Konštrukcia rovinných stôp

Určenie vzájomnej polohy priamky a roviny je polohový problém, na riešenie ktorého sa používa metóda pomocných rezných rovín. Podstata metódy je nasledovná: nakreslite cez priamku pomocnú sečnú rovinu Q a nastavte vzájomnú polohu dvoch priamok a a b, z ktorých posledná je priesečník pomocnej sečnej roviny Q a tejto roviny T ( Obr. 6.1).

Obrázok 6.1 Metóda pomocnej roviny rezu

Každému z troch možných prípadov vzájomnej polohy týchto priamok zodpovedá podobný prípad vzájomnej polohy priamky a roviny. Ak sa teda obe čiary zhodujú, potom čiara a leží v rovine T, rovnobežnosť čiar označuje rovnobežnosť čiary a roviny a nakoniec priesečník čiar zodpovedá prípadu, keď sa čiara a pretína. rovina T. Existujú teda tri prípady vzájomnej polohy priamky a roviny: patrí do roviny; Čiara je rovnobežná s rovinou; Priamka pretína rovinu, špeciálny prípad - priamka je kolmá na rovinu. Zvážme každý prípad.

Rovná čiara patriaca rovine

Axióma 1. Priamka patrí do roviny, ak dva jej body patria do tej istej roviny (obr.6.2).

Úloha. Je daná rovina (n,k) a jeden priemet priamky m2. Chýbajúce priemety priamky m je potrebné nájsť, ak je známe, že patrí do roviny danej pretínajúcimi sa priamkami n a k. Priemet priamky m2 pretína priamky n a k v bodoch B2 a C2, na nájdenie chýbajúcich priemetov priamky je potrebné nájsť chýbajúce priemety bodov B a C ako body ležiace na priamkach n a k. , resp. Body B a C teda patria do roviny danej pretínajúcimi sa priamkami n a k a týmito bodmi prechádza priamka m, čo znamená, že podľa axiómy patrí priamka do tejto roviny.

Axióma 2. Priamka patrí do roviny, ak má s rovinou jeden spoločný bod a je rovnobežná s ľubovoľnou priamkou umiestnenou v tejto rovine (obr. 6.3).

Úloha. Bodom B nakreslite priamku m, ak je známe, že patrí do roviny danej pretínajúcimi sa priamkami n a k. Nech B patrí priamke n ležiacej v rovine danej pretínajúcimi sa priamkami n a k. Cez priemet B2 nakreslíme priemet priamky m2 rovnobežne s priamkou k2, na nájdenie chýbajúcich priemetov priamky je potrebné zostrojiť priemet bodu B1 ako bod ležiaci na priemete priamky n1 a nakreslite cez ňu priemet priamky m1 rovnobežne s priemetňou k1. Body B teda patria do roviny danej pretínajúcimi sa priamkami n a k a týmto bodom prechádza priamka m a je rovnobežná s priamkou k, čo znamená, že podľa axiómy patrí priamka do tejto roviny.

Obrázok 6.3 Priamka má jeden spoločný bod s rovinou a je rovnobežná s priamkou umiestnenou v tejto rovine

Hlavné čiary v rovine

Medzi priamkami patriacimi do roviny zaujímajú osobitné miesto priame čiary, ktoré zaujímajú konkrétnu polohu v priestore:

1. Horizontály h - priamky ležiace v danej rovine a rovnobežné s horizontálnou rovinou projekcií (h / / P1) (obr. 6.4).

Obrázok 6.4 Horizontálne

2. Frontals f - priamky umiestnené v rovine a rovnobežné s čelnou rovinou projekcií (f / / P2) (obr. 6.5).

Obrázok 6.5 Predná časť

3. Profilové priamky p - priamky, ktoré sú v danej rovine a rovnobežné s profilovou rovinou výstupkov (p / / P3) (obr. 6.6). Treba poznamenať, že k hlavným líniám možno pripísať aj stopy lietadla. Vodorovná stopa je horizontála roviny, predná je predná a profil je profilová čiara roviny.

Obrázok 6.6 Profil rovný

4. Priamka najväčšieho sklonu a jej vodorovný priemet zviera lineárny uhol j, ktorý meria uhol vzpriamenia tvorený touto rovinou a vodorovnou rovinou priemetov (obr. 6.7). Je zrejmé, že ak priamka nemá dva spoločné body s rovinou, potom je buď rovnobežná s rovinou, alebo ju pretína.

Obrázok 6.7 Čiara najväčšieho sklonu

Vzájomná poloha bodu a roviny

Sú dve možnosti vzájomného usporiadania bodu a roviny: buď bod do roviny patrí, alebo nepatrí. Ak bod patrí do roviny, potom je možné ľubovoľne nastaviť iba jeden z troch priemetov, ktoré určujú polohu bodu v priestore. Uvažujme príklad (obr.6.8): Konštrukcia priemetu bodu A patriaceho do roviny všeobecnej polohy danej dvoma rovnobežnými priamkami a(a//b).

Úloha. Dané: rovina T(a,b) a priemet bodu A2. Priemet A1 je potrebné zostrojiť, ak je známe, že bod A leží v rovine c,a. Cez bod A2 nakreslíme priemet priamky m2, ktorá pretína priemety priamok a2 a b2 v bodoch C2 a B2. Po zostrojení priemetov bodov C1 a B1, ktoré určujú polohu m1, nájdeme vodorovný priemet bodu A.

Obrázok 6.8. Bod patriaci rovine

Dve roviny v priestore môžu byť buď navzájom rovnobežné, v konkrétnom prípade sa navzájom zhodujú, alebo sa môžu pretínať. Vzájomne kolmé roviny sú špeciálnym prípadom pretínajúcich sa rovín.

1. Paralelné roviny. Roviny sú rovnobežné, ak sú dve priesečníky jednej roviny rovnobežné s dvomi priesečníkmi inej roviny. Túto definíciu dobre ilustruje úloha cez bod B nakresliť rovinu rovnobežnú s rovinou danou dvoma pretínajúcimi sa priamkami ab (obr. 7.1). Úloha. Daná: rovina vo všeobecnej polohe daná dvomi pretínajúcimi sa priamkami ab a bodom B. Je potrebné nakresliť rovinu cez bod B rovnobežnú s rovinou ab a definovať ju dvomi pretínajúcimi sa priamkami c a d. Podľa definície, ak sú dve priesečníky jednej roviny rovnobežné s dvomi priesečníkmi inej roviny, potom sú tieto roviny navzájom rovnobežné. Aby bolo možné na diagrame nakresliť rovnobežné priamky, je potrebné využiť vlastnosť rovnobežného premietania - priemety rovnobežných priamok sú navzájom rovnobežné d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Obrázok 7.1. Paralelné roviny

2. Pretínajúce sa roviny, špeciálny prípad - vzájomne kolmé roviny. Priesečník dvoch rovín je priamka, na ktorej zostrojenie stačí určiť jej dva body spoločné pre obe roviny, prípadne jeden bod a smer priesečnice rovín. Uvažujme konštrukciu priesečníka dvoch rovín, keď jedna z nich vyčnieva (obr. 7.2).

Úloha. Dané: rovina vo všeobecnej polohe je daná trojuholníkom ABC a druhá rovina je vodorovne premietané T. Je potrebné zostrojiť priesečník rovín. Riešením úlohy je nájsť dva spoločné body pre tieto roviny, cez ktoré možno nakresliť priamku. Rovina definovaná trojuholníkom ABC môže byť reprezentovaná ako priamky (AB), (AC), (BC). Priesečník priamky (AB) s rovinou T - bod D, priamka (AC) -F. Úsečka definuje priesečník rovín. Keďže T je horizontálne premietaná rovina, premietanie D1F1 sa zhoduje so stopou roviny T1, takže zostáva len zostrojiť chýbajúce projekcie na P2 a P3.

Obrázok 7.2. Priesečník generickej roviny s horizontálne premietanou rovinou

Prejdime k všeobecnému prípadu. Nech sú v priestore dané dve generické roviny a(m,n) a b (ABC) (obr. 7.3).

Obrázok 7.3. Priesečník rovín vo všeobecnej polohe

Zvážte postupnosť konštrukcie priesečníka rovín a(m//n) a b(ABC). Analogicky s predchádzajúcim problémom, aby sme našli priesečník týchto rovín, nakreslíme pomocné sečné roviny g a d. Nájdite priesečníky týchto rovín s uvažovanými rovinami. Rovina g pretína rovinu a pozdĺž priamky (12) a rovinu b - pozdĺž priamky (34). Bod K - priesečník týchto priamok patrí súčasne do troch rovín a, b a g, je teda bodom patriacim do priesečnice rovín a a b. Rovina d pretína roviny a a b pozdĺž priamok (56) a (7C), pričom ich priesečník M leží súčasne v troch rovinách a, b, d a patrí do priamky priesečníka rovín a a b. Zistili sa teda dva body patriace do priesečníka rovín a a b - priamka (KM).

Určité zjednodušenie pri konštrukcii priesečníka rovín možno dosiahnuť, ak sa pomocné sečné roviny nakreslia cez priame čiary, ktoré definujú rovinu.

Vzájomne kolmé roviny. Zo stereometrie je známe, že dve roviny sú navzájom kolmé, ak jedna z nich prechádza kolmicou na druhú. Cez bod A môžete nakresliť množinu rovín kolmých na danú rovinu a (f, h). Tieto roviny tvoria v priestore zväzok rovín, ktorých osou je kolmica spadnutá z bodu A na rovinu a. Na nakreslenie roviny kolmej na rovinu danej dvoma pretínajúcimi sa priamkami hf z bodu A je potrebné nakresliť z bodu A priamku n kolmú na rovinu hf (vodorovný priemet n je kolmý na vodorovný priemet vodorovná h, čelový priemet n je kolmý na čelový priemet čelového f). Akákoľvek rovina prechádzajúca priamkou n bude kolmá na rovinu hf, preto na nastavenie roviny cez body A nakreslíme ľubovoľnú priamku m. Rovina daná dvoma pretínajúcimi sa priamkami mn bude kolmá na vf rovinu (obr. 7.4).

Obrázok 7.4. Vzájomne kolmé roviny

Planparalelna metóda pohybu

Zmena vzájomnej polohy premietaného objektu a premietacích rovín metódou planparalelného pohybu sa uskutočňuje zmenou polohy geometrického objektu tak, aby trajektória jeho bodov bola v rovnobežných rovinách. Nosné roviny trajektórií pohybujúcich sa bodov sú rovnobežné s ľubovoľnou premietacou rovinou (obr. 8.1). Trajektória je ľubovoľná čiara. Pri paralelnom prenose geometrického objektu vzhľadom k projekčným rovinám projekcia obrazca, hoci mení svoju polohu, zostáva zhodná s priemetom obrazca v jeho pôvodnej polohe.

Obrázok 8.1 Určenie prirodzenej veľkosti segmentu metódou planparalelného pohybu

Vlastnosti planparalelneho pohybu:

1. Pri akomkoľvek pohybe bodov v rovine rovnobežnej s rovinou P1 sa jej čelný priemet pohybuje po priamke rovnobežnej s osou x.

2. V prípade ľubovoľného pohybu bodu v rovine rovnobežnej s P2 sa jeho horizontálny priemet pohybuje po priamke rovnobežnej s osou x.

Spôsob otáčania okolo osi kolmej na premietaciu rovinu

Nosné roviny trajektórií pohybu bodov sú rovnobežné s rovinou premietania. Trajektória - oblúk kruhu, ktorého stred je umiestnený na osi kolmej na rovinu projekcie. Na určenie prirodzenej veľkosti úsečky vo všeobecnej polohe AB (obr. 8.2) zvolíme os rotácie (i) kolmú na vodorovnú priemetnu a prechádzajúcu cez B1. Otočme segment tak, aby bol rovnobežný s rovinou čelnej projekcie (horizontálny priemet segmentu je rovnobežný s osou x). V tomto prípade sa bod A1 posunie do bodu A "1 a bod B nezmení svoju polohu. Poloha bodu A" 2 je v priesečníku čelného priemetu trajektórie pohybu bodu A (priamka rovnobežná na os x) a komunikačná čiara nakreslená z A "1. Výsledná projekcia B2 A "2 určuje skutočnú veľkosť samotného segmentu.

Obrázok 8.2 Určenie prirodzenej veľkosti segmentu otáčaním okolo osi kolmej na horizontálnu rovinu priemetov

Spôsob otáčania okolo osi rovnobežnej s rovinou premietania

Zvážte túto metódu pomocou príkladu určenia uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami (obr. 8.3). Uvažujme dva priemety pretínajúcich sa priamok a a v ktorých sa pretínajú v bode K. Aby sme mohli určiť prirodzenú hodnotu uhla medzi týmito priamkami, je potrebné transformovať ortogonálne priemety tak, aby sa priamky stali rovnobežnými s rovinou premietania. Využime metódu otáčania okolo nivelačnej čiary – horizontálne. Nakreslíme ľubovoľný čelný priemet vodorovnej h2 rovnobežnej s osou Ox, ktorá pretína priamky v bodoch 12 a 22. Po definovaní priemetov 11 a 11 zostrojíme horizontálny priemet horizontály h1. Trajektória pohybu všetkých bodov pri rotácii okolo horizontály je kružnica, ktorá sa premieta do roviny P1 vo forme priamky kolmej na horizontálny priemet horizontály.

Obrázok 8.3 Určenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami, rotácia okolo osi rovnobežnej s horizontálnou projekčnou rovinou

Trajektóriu bodu K1 teda určuje priamka K1O1, bod O je stred kružnice - trajektórie bodu K. Na zistenie polomeru tejto kružnice nájdeme prirodzenú hodnotu úsečky KO. trojuholníkovou metódou. Bod K "1 zodpovedá bodu K, keď priamky a a b ležia v rovine rovnobežnej s P1 a vedú cez horizontálu - os rotácie. S týmto vedomím nakreslíme priame čiary cez bod K "1 a body 11 a 21, ktoré teraz ležia v rovine rovnobežnej s P1, a preto je uhol phi prirodzenou hodnotou uhla medzi priamkami a a b.

Spôsob nahradenia projekčných rovín

Zmena vzájomnej polohy premietaného obrazca a projekčných rovín zmenou projekčných rovín sa dosiahne nahradením rovín P1 a P2 novými rovinami P4 (obr. 8.4). Nové roviny sa vyberajú kolmo na staré. Niektoré transformácie projekcie vyžadujú dvojitú náhradu projekčných rovín (obrázok 8.5). Postupný prechod z jedného systému projekčných rovín do druhého sa musí vykonať podľa nasledujúceho pravidla: vzdialenosť od priemetu nového bodu k novej osi sa musí rovnať vzdialenosti od priemetu nahradeného bodu k nahradenej osi.

Úloha 1: Určte skutočnú veľkosť úsečky AB priamky vo všeobecnej polohe (obr. 8.4). Z vlastnosti rovnobežného premietania je známe, že úsečka sa premieta na rovinu v plnej veľkosti, ak je s touto rovinou rovnobežná. Zvolíme novú premietaciu rovinu P4, rovnobežnú s úsečkou AB a kolmú na rovinu P1. Zavedením novej roviny prejdeme zo sústavy rovín P1P2 do sústavy P1P4 a v novej sústave rovín bude priemet úsečky A4B4 prirodzenou hodnotou úsečky AB.

Obrázok 8.4. Určenie prirodzenej veľkosti priameho segmentu nahradením premietacích rovín

Úloha 2: Určte vzdialenosť od bodu C k priamke vo všeobecnej polohe danej úsečkou AB (obr. 8.5).

Obrázok 8.5. Určenie prirodzenej veľkosti priameho segmentu nahradením premietacích rovín

Poloha bodu v priestore môže byť určená jeho dvoma kolmými projekciami, napríklad horizontálnym a čelným, čelným a profilovým. Kombinácia dvoch ľubovoľných ortogonálnych projekcií umožňuje zistiť hodnotu všetkých súradníc bodu, postaviť tretiu projekciu, určiť oktant, v ktorom sa nachádza. Uvažujme o niektorých typických úlohách z kurzu deskriptívnej geometrie.

Podľa daného komplexného výkresu bodov A a B je potrebné:

Najprv určme súradnice bodu A, ktoré môžeme zapísať v tvare A (x, y, z). Vodorovný priemet bodu A je bod A ", ktorý má súradnice x, y. Nakreslite z bodu A" kolmice na osi x, y a nájdite A x, A y. X-ová súradnica pre bod A sa rovná dĺžke úsečky A x O so znamienkom plus, pretože A x leží v oblasti kladných hodnôt osi x. Ak vezmeme do úvahy mierku výkresu, nájdeme x \u003d 10. Súradnica y sa rovná dĺžke segmentu A y O so znamienkom mínus, pretože t. A y leží v oblasti záporných hodnôt osi y . Vzhľadom na mierku výkresu je y = -30. Čelný priemet bodu A - bod A"" má súradnice x a z. Pustime kolmicu z A"" na os z a nájdeme A z . Z-súradnica bodu A sa rovná dĺžke segmentu Az O so znamienkom mínus, pretože Az leží v oblasti záporných hodnôt osi z. Vzhľadom na mierku výkresu je z = -10. Súradnice bodu A sú teda (10, -30, -10).

Súradnice bodu B môžeme zapísať ako B (x, y, z). Zvážte vodorovný priemet bodu B - bod B. "Keďže leží na osi x, potom B x \u003d B" a súradnica B y \u003d 0. Os x bodu B sa rovná dĺžke segmentu B x O so znamienkom plus. Ak vezmeme do úvahy mierku výkresu, x = 30. Čelný priemet bodu B - bod B˝ má súradnice x, z. Nakreslite kolmicu z B"" na os z, čím zistíte B z . Aplikácia z bodu B sa rovná dĺžke segmentu B z O so znamienkom mínus, pretože B z leží v oblasti záporných hodnôt osi z. S prihliadnutím na mierku výkresu určíme hodnotu z = -20. Súradnice B sú teda (30, 0, -20). Všetky potrebné konštrukcie sú znázornené na obrázku nižšie.

Konštrukcia projekcií bodov

Body A a B v rovine P 3 majú tieto súradnice: A""" (y, z); B""" (y, z). V tomto prípade A"" a A""" ležia na rovnakej kolmici na os z, pretože majú spoločnú súradnicu z. Rovnakým spôsobom ležia B"" a B""" na spoločnej kolmici k osi z. Aby sme našli projekciu profilu t.A, vyčleníme pozdĺž osi y hodnotu zodpovedajúcej súradnice zistenej skôr. Na obrázku sa to robí pomocou oblúka kružnice s polomerom A y O. Potom nakreslíme kolmicu z A y na priesečník s kolmicou obnovenou z bodu A "" na os z. Priesečník týchto dvoch kolmíc určuje polohu A""".

Bod B""" leží na osi z, pretože súradnica y tohto bodu je nula. Ak chcete nájsť profilový priemet bodu B v tejto úlohe, stačí nakresliť kolmicu z B"" na z Priesečník tejto kolmice s osou z je B """.

Určenie polohy bodov v priestore

Pri vizuálnej predstave priestorového usporiadania zloženého z projekčných rovín P 1, P 2 a P 3, umiestnenia oktantov, ako aj poradia transformácie usporiadania do diagramov, môžete priamo určiť, že t. A sa nachádza v oktante III, a t.B leží v rovine P2.

Ďalšou možnosťou riešenia tohto problému je metóda výnimiek. Napríklad súradnice bodu A sú (10, -30, -10). Kladná úsečka x umožňuje usúdiť, že bod sa nachádza v prvých štyroch oktantoch. Záporná súradnica y znamená, že bod je v druhom alebo treťom oktante. Nakoniec záporná aplikácia z označuje, že bod A je v treťom oktante. Uvedenú úvahu názorne ilustruje nasledujúca tabuľka.

Oktanty	Súradnicové znaky
	X	r	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Súradnice bodu B (30, 0, -20). Keďže ordináta t.B sa rovná nule, tento bod leží v rovine premietania П 2 . Kladná úsečka a záporná úsečka bodu B označujú, že sa nachádza na hranici tretieho a štvrtého oktantu.

Zostrojenie vizuálneho obrazu bodov v sústave rovín P 1, P 2, P 3

Pomocou čelnej izometrickej projekcie sme vytvorili priestorové usporiadanie tretieho oktantu. Je to obdĺžnikový trojsten, ktorého plochy sú roviny P 1, P 2, P 3 a uhol (-y0x) je 45 °. V tomto systéme budú segmenty pozdĺž osí x, y, z vykreslené v plnej veľkosti bez skreslenia.

Konštrukcia vizuálneho obrazu bodu A (10, -30, -10) začne jeho horizontálnou projekciou A". Po vyhradení príslušných súradníc pozdĺž osi x a y súradníc nájdeme body A x a A y. priesečník kolmíc obnovených z A x a A y na osi x a y určuje polohu bodu A“. Položením z A" rovnobežne s osou z smerom k jej záporným hodnotám segment AA", ktorého dĺžka sa rovná 10, nájdeme polohu bodu A.

Vizuálny obraz bodu B (30, 0, -20) sa zostrojí podobným spôsobom - v rovine P 2 je potrebné vyniesť zodpovedajúce súradnice pozdĺž osí x a z. Priesečník kolmíc zrekonštruovaný z B x a B z určí polohu bodu B.