Geometrická postupnosť je nový druh číselnej postupnosti, s ktorou sa musíme zoznámiť. Pre úspešné zoznámenie nezaškodí aspoň poznať a pochopiť. Potom nebude problém s geometrickým postupom.)

Čo je to geometrická progresia? Koncept geometrickej progresie.

Prehliadku začíname, ako inak, základňou. Píšem nedokončenú postupnosť čísel:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Dokážete zachytiť vzorec a povedať, ktoré čísla budú nasledovať? Paprika je jasná, čísla 100000, 1000000 a tak ďalej pôjdu ďalej. Aj bez veľkého psychického stresu je všetko jasné, však?)

OK Ďalší príklad. Píšem nasledujúcu postupnosť:

1, 2, 4, 8, 16, …

Môžete povedať, ktoré čísla budú nasledovať po čísle 16 a mene ôsmyčlen sekvencie? Ak ste prišli na to, že to bude číslo 128, tak veľmi dobre. Polovica úspechu je teda v porozumení význam a Kľúčové body geometrická postupnosť už bola vykonaná. Môžete rásť ďalej.)

A teraz sa opäť obrátime od pocitov k prísnej matematike.

Kľúčové momenty geometrickej progresie.

Kľúčový moment #1

Geometrická postupnosť je postupnosť čísel. Rovnako ako progresia. Nič zložité. Práve usporiadal túto sekvenciu inak. Preto má, samozrejme, iné meno, áno ...

Kľúčový moment #2

S druhým kľúčovým bodom bude otázka zložitejšia. Vráťme sa trochu späť a spomeňme si na kľúčovú vlastnosť aritmetickej progresie. Tu je: každý člen je iný ako predchádzajúci o rovnakú sumu.

Je možné sformulovať podobnú kľúčovú vlastnosť pre geometrickú progresiu? Zamyslite sa trochu... Pozrite sa na uvedené príklady. Uhádli ste? Áno! V geometrickej postupnosti (akejkoľvek!) sa každý jej člen líši od predchádzajúceho v rovnakom počte krát. Vždy!

V prvom príklade je toto číslo desať. Ktorýkoľvek člen sekvencie si vyberiete, je väčší ako predchádzajúci desaťkrát.

V druhom príklade je to dvojka: každý člen je väčší ako predchádzajúci. dvakrát.

Práve v tomto kľúčovom bode sa geometrická progresia líši od aritmetického. V aritmetickom postupe sa získa každý ďalší člen pridávanie rovnakej hodnoty ako predchádzajúci termín. A tu - násobenie predchádzajúce obdobie o rovnakú sumu. To je rozdiel.)

Kľúčový moment #3

Tento kľúčový bod je úplne identický s bodom aritmetického postupu. menovite: každý člen geometrickej postupnosti je na svojom mieste. Všetko je úplne rovnaké ako pri aritmetickom postupe a komentáre sú podľa mňa zbytočné. Je tu prvý termín, je tam sto prvý a tak ďalej. Preusporiadame aspoň dva členy – vzor (a s ním aj geometrická postupnosť) zmizne. Zostáva len postupnosť čísel bez akejkoľvek logiky.

To je všetko. To je celý zmysel geometrického postupu.

Termíny a označenia.

A teraz, keď sme sa zaoberali významom a kľúčovými bodmi geometrickej progresie, môžeme prejsť k teórii. Inak, čo je teória bez pochopenia významu, však?

Čo je geometrická progresia?

Ako sa všeobecne píše geometrická postupnosť? Žiaden problém! Každý člen postupu je tiež napísaný ako list. Len na aritmetický postup sa zvyčajne používa písmeno "a", pre geometrické - písm "b". Číslo člena, ako obvykle, je uvedené pravý dolný index. Samotné členy progresie sú jednoducho uvedené oddelené čiarkami alebo bodkočiarkami.

Páči sa ti to:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Stručne povedané, takýto postup je napísaný takto: (b n) .

Alebo takto pre konečný postup:

b1, b2, b3, b4, b5, b6.

b1, b2, ..., b29, b30.

Alebo v skratke:

(b n), n=30 .

To sú vlastne všetky označenia. Všetko je rovnaké, len písmeno je iné, áno.) A teraz prejdeme priamo k definícii.

Definícia geometrickej progresie.

Geometrická postupnosť je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom.

To je celá definícia. Väčšina slov a fráz je vám jasná a známa. Pokiaľ, samozrejme, nerozumiete významu geometrickej progresie "na prstoch" a vo všeobecnosti. Je tu však aj niekoľko nových fráz, na ktoré by som chcel osobitne upozorniť.

Najprv slová: „prvé obdobie ktorého odlišný od nuly".

Toto obmedzenie v prvom volebnom období nebolo zavedené náhodou. Čo si myslíte, že sa stane, ak prvý termín b 1 ukáže sa ako nula? Aký bude druhý člen, ak je každý člen väčší ako predchádzajúci rovnaký počet krát? Povedzme trikrát? Pozrime sa... Vynásobte prvý člen (t. j. 0) 3 a dostanete... nulu! A tretí člen? Tiež nula! A štvrtý termín je tiež nula! Atď…

Dostaneme len vrece rožkov so sekvenciou núl:

0, 0, 0, 0, …

Samozrejme, že takáto sekvencia má právo na život, ale nemá praktický význam. Všetko je tak jasné. Ktorýkoľvek z jej členov je nula. Súčet ľubovoľného počtu členov je tiež nula ... Aké zaujímavé veci s tým môžete robiť? nič…

Nasledujúce kľúčové slová: „vynásobené rovnakým nenulovým číslom“.

Toto isté číslo má tiež svoje špeciálne meno - menovateľ geometrickej postupnosti. Začnime spolu chodiť.)

Menovateľ geometrickej progresie.

Všetko je jednoduché.

Menovateľom geometrickej progresie je nenulové číslo (alebo hodnota). koľko krátkaždý člen progresu viac ako predchádzajúca.

Opäť, analogicky s aritmetickou progresiou, kľúčové slovo, ktorému treba venovať pozornosť v tejto definícii, je slovo "viac". Znamená to, že sa získa každý člen geometrickej progresie násobenie práve tomuto menovateľovi predchádzajúci člen.

Vysvetlím.

Na výpočet, povedzme druhýčlen vziať najprvčlenom a množiť to na menovateľa. Pre výpočet desiatyčlen vziať deviatyčlenom a množiť to na menovateľa.

Menovateľom samotnej geometrickej progresie môže byť čokoľvek. Úplne ktokoľvek! Celé číslo, zlomok, kladné, záporné, iracionálne - všetci. Okrem nuly. O tom nám hovorí slovo „nenulový“ v definícii. Prečo je toto slovo potrebné tu - viac o tom neskôr.

Menovateľ geometrickej postupnosti zvyčajne sa označuje písmenom q.

Ako nájsť tento q? Žiaden problém! Musíme vziať akýkoľvek termín postupu a rozdeliť podľa predchádzajúceho obdobia. Rozdelenie je zlomok. Odtiaľ pochádza názov – „menovateľ progresie“. Menovateľ, ten väčšinou sedí v zlomku, áno...) Aj keď, logicky, hodnota q treba zavolať súkromné geometrická progresia, podobne ako rozdiel pre aritmetický postup. Ale súhlasil, že zavolá menovateľ. A nevynájdeme ani koleso.)

Definujme napríklad hodnotu q pre túto geometrickú postupnosť:

2, 6, 18, 54, …

Všetko je elementárne. Berieme akýkoľvek poradové číslo. Čo chceme, to si berieme. Okrem toho úplne prvého. Napríklad 18. A deliť podľa predchádzajúce číslo. Teda o 6.

Dostaneme:

q = 18/6 = 3

To je všetko. Toto je správna odpoveď. Pre danú geometrickú postupnosť je menovateľ tri.

Poďme nájsť menovateľa q pre ďalší geometrický postup. Napríklad takto:

1, -2, 4, -8, 16, …

Všetky rovnaké. Akékoľvek znaky majú samotní členovia, stále berieme akýkoľvek poradové číslo (napríklad 16) a vydeliť predchádzajúce číslo(t.j. -8).

Dostaneme:

d = 16/(-8) = -2

A je to.) Tentokrát sa menovateľ progresie ukázal ako negatívny. Mínus dva. To sa stáva.)

Zoberme si tento postup:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

A opäť, bez ohľadu na typ čísel v postupnosti (aj celé čísla, aj zlomkové, aj záporné, aj iracionálne), vezmeme ľubovoľné číslo (napríklad 1/9) a vydelíme predchádzajúcim číslom (1/3). Podľa pravidiel operácií so zlomkami, samozrejme.

Dostaneme:

To je všetko.) Tu sa ukázalo, že menovateľ je zlomkový: q = 1/3.

Ale taká "progresia" ako ty?

3, 3, 3, 3, 3, …

Očividne tu q = 1 . Formálne ide tiež o geometrický postup, len s rovnakých členov.) Ale takéto pokroky nie sú zaujímavé pre štúdium a praktickú aplikáciu. Rovnako ako progresie s plnými nulami. Preto ich nebudeme zvažovať.

Ako vidíte, menovateľom progresie môže byť čokoľvek – celé číslo, zlomok, kladné, záporné – čokoľvek! Nemôže to byť len nula. Neuhádli ste prečo?

No, poďme použiť nejaký konkrétny príklad, aby sme videli, čo sa stane, ak vezmeme ako menovateľa q nula.) Nech máme napr b 1 = 2 , a q = 0 . Aké bude potom druhé volebné obdobie?

My veríme:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

A tretí člen?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Typy a správanie geometrických postupností.

So všetkým bolo viac-menej jasné: ak je rozdiel v postupe d je pozitívny, progresia sa zvyšuje. Ak je rozdiel záporný, progresia klesá. Sú len dve možnosti. Tretia neexistuje.)

Ale so správaním geometrickej progresie bude všetko oveľa zaujímavejšie a rozmanitejšie!)

Len čo sa tu členovia správajú: pribúdajú a zmenšujú a donekonečna sa približujú k nule a dokonca menia znamienka, striedavo sa ponáhľajú buď do "plus" alebo "mínus"! A v celej tejto rozmanitosti musí byť človek schopný dobre rozumieť, áno ...

Rozumieme?) Začnime s najjednoduchším prípadom.

Menovateľ je kladný ( q >0)

S kladným menovateľom môžu v prvom rade vstúpiť členovia geometrickej progresie plus nekonečno(t.j. neobmedzene zvyšovať) a môže ísť do mínus nekonečno(t.j. neobmedzene klesať). Na takéto správanie progresií sme si už zvykli.

Napríklad:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Všetko je tu jednoduché. Každý člen progresu je viac ako predchádzajúce. A každý člen dostane násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2 (t.j. q = 2 ). Správanie takejto progresie je zrejmé: všetci členovia progresie rastú donekonečna a idú do vesmíru. Navyše nekonečno...

Teraz je postup:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Aj tu sa získava každý člen postupu násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2. Ale správanie takejto progresie je už priamo opačné: získa sa každý člen progresie menej ako predchádzajúce a všetky jeho členy sa donekonečna zmenšujú až do mínus nekonečna.

Teraz sa zamyslime: čo majú tieto dve progresie spoločné? Správne, menovateľ! Tu a tam q = +2 . Kladné číslo. Dvojka. A tu správanie Tieto dve progresie sú zásadne odlišné! Neuhádli ste prečo? Áno! Je to všetko o prvý člen! Je to on, ako sa hovorí, že objednáva hudbu.) Presvedčte sa sami.

V prvom prípade prvý termín progresie pozitívne(+1) a teda všetky nasledujúce výrazy získané vynásobením pozitívne menovateľ q = +2 , bude tiež pozitívne.

Ale v druhom prípade prvý termín negatívne(-jedna). Preto všetky nasledujúce členy progresie získame vynásobením pozitívne q = +2 , bude tiež získaný negatívne. Pre „mínus“ až „plus“ vždy dáva „mínus“, áno.)

Ako vidíte, na rozdiel od aritmetickej progresie sa geometrická progresia môže správať úplne inak, nielen v závislosti od menovateľaq, ale aj v závislosti od prvého člena, Áno.)

Pamätajte: správanie geometrickej progresie je jednoznačne určené jej prvým členom b 1 a menovateľq .

A teraz začneme s analýzou menej známych, ale oveľa zaujímavejších prípadov!

Zoberme si napríklad nasledujúcu postupnosť:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Táto postupnosť je tiež geometrickým postupom! Každý člen tohto postupu je tiež získaný násobenie predchádzajúci termín rovnakým číslom. Iba číslo je zlomkový: q = +1/2 . Alebo +0,5 . A (dôležité!) číslo, menší:q = 1/2<1.

Čo je zaujímavé na tomto geometrickom postupe? Kam smerujú jej členovia? Poďme sa pozrieť:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

čo je tu zaujímavé? Po prvé, pokles členov progresie je okamžite zarážajúci: každý z jej členov menšie predchádzajúce presne 2 krát. Alebo podľa definície geometrickej progresie každý pojem viac predchádzajúce 1/2 krát, pretože menovateľ progresie q = 1/2 . A od vynásobenia kladným číslom menším ako jedna sa výsledok zvyčajne znižuje, áno ...

Čo viac možno vidieť v správaní tejto progresie? Miznú jej členovia? neobmedzené, ísť do mínus nekonečna? nie! Miznú zvláštnym spôsobom. Najprv klesajú pomerne rýchlo a potom čoraz pomalšie. A po celú dobu pobytu pozitívne. Aj keď veľmi, veľmi malé. A o čo sa snažia? Neuhádli ste? Áno! Majú tendenciu k nule!) A pozor, členovia našej progresie nikdy nedosiahnu! Iba nekonečne blízko k nemu. Je to veľmi dôležité.)

Podobná situácia bude v takomto vývoji:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tu b 1 = -1 , a q = 1/2 . Všetko je po starom, len teraz sa členovia priblížia k nule z druhej strany, zdola. Zostať celý čas negatívne.)

Taký geometrický postup, ktorého členovia blížiace sa k nule na neurčito.(nezáleží na tom, na pozitívnej alebo negatívnej strane), v matematike má špeciálny názov - nekonečne klesajúca geometrická progresia. Tento vývoj je taký zaujímavý a nezvyčajný, že dokonca bude samostatná lekcia .)

Takže sme zvážili všetko možné pozitívne menovatele sú veľké aj menšie. Samotnú jednotku z vyššie uvedených dôvodov nepovažujeme za menovateľa (pamätajte na príklad s postupnosťou trojíc ...)

Zhrnúť:

pozitívnea viac než jeden (q>1), potom členovia progresie:

a) zvyšovať na neurčito (akb 1 >0);

b) znižovať na neurčito (akb 1 <0).

Ak je menovateľom geometrickej progresie pozitívne a menej ako jeden (0< q<1), то члены прогрессии:

a) nekonečne blízko nule vyššie(akb 1 >0);

b) nekonečne blízko nule zdola(akb 1 <0).

Teraz zostáva zvážiť prípad záporný menovateľ.

Menovateľ je záporný ( q <0)

Pre príklad nepôjdeme ďaleko. Prečo vlastne huňatá babička?!) Nech je napríklad prvý člen progresie b 1 = 1 a vezmite menovateľa q = -2.

Dostaneme nasledujúcu postupnosť:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

A tak ďalej.) Získa sa každý termín postupu násobenie predchádzajúci člen na záporné číslo-2. V tomto prípade budú všetci členovia na nepárnych miestach (prvý, tretí, piaty atď.). pozitívne a na párnych miestach (druhé, štvrté atď.) - negatívne. Značky sú prísne preložené. Plus-mínus-plus-mínus ... Takáto geometrická postupnosť sa nazýva - rastúce znamenie striedanie.

Kam smerujú jej členovia? A nikde.) Áno, v absolútnej hodnote (t.j. modulo) termíny našej progresie sa neobmedzene zvyšujú (odtiaľ názov „rastúce“). Ale zároveň ho každý člen progresie striedavo hádže do tepla, potom do chladu. Buď plus alebo mínus. Náš postup kolíše... Navyše rozsah kolísania každým krokom rapídne rastie, áno.) Preto ašpirácie členov postupu niekam smerovať konkrétne tu č. Ani do plus nekonečna, ani do mínus nekonečna, ani do nuly – nikde.

Zvážte teraz nejaký zlomkový menovateľ medzi nulou a mínus jedna.

Napríklad, nechajme to tak b 1 = 1 , a q = -1/2.

Potom dostaneme priebeh:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

A opäť tu máme striedanie znamení! Ale, na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, tu už existuje jasná tendencia členov približovať sa k nule.) Len tentoraz sa naše členy nepribližujú k nule striktne zhora alebo zdola, ale opäť váhanie. Striedavo brať kladné alebo záporné hodnoty. Ale zároveň oni modulov sú čoraz bližšie k drahocennej nule.)

Táto geometrická postupnosť sa nazýva nekonečne klesajúci striedavý znak.

Prečo sú tieto dva príklady zaujímavé? A skutočnosť, že v oboch prípadoch prebieha striedanie postáv! Takýto čip je typický len pre postupnosti so záporným menovateľom, áno.) Ak teda v nejakej úlohe uvidíte geometrickú progresiu so striedajúcimi sa členmi, potom už budete pevne vedieť, že jeho menovateľ je 100% záporný a nemýlite sa v znamení.)

Mimochodom, v prípade negatívneho menovateľa znamienko prvého členu vôbec neovplyvňuje správanie samotnej progresie. Nech je znak prvého člena postupu akýkoľvek, v každom prípade bude dodržaný znak striedania členov. Celá otázka je spravodlivá na akých miestach(párne alebo nepárne) budú členovia so špecifickými znakmi.

Pamätajte:

Ak je menovateľom geometrickej progresie negatívne , potom sú znaky podmienok progresie vždy striedať.

Zároveň samotní členovia:

a) zvyšovať na neurčitomodulo, akq<-1;

b) približovať sa k nule donekonečna, ak -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

To je všetko. Všetky typické prípady sú analyzované.)

V procese analýzy rôznych príkladov geometrických postupností som pravidelne používal slová: "inklinuje k nule", "sklon k plus nekonečnu", má tendenciu k mínus nekonečnu... To je v poriadku.) Tieto obraty reči (a konkrétne príklady) sú len prvotným zoznámením sa s nimi správanie rôzne číselné postupnosti. Príklad geometrického postupu.

Prečo vôbec potrebujeme poznať progresívne správanie? Aký je rozdiel v tom, kam ide? Do nuly, do plus nekonečna, do mínus nekonečna ... Čo nás na tom zaujíma?

Ide o to, že už na univerzite, v rámci vyššej matematiky, budete potrebovať schopnosť pracovať s rôznymi číselnými postupnosťami (s akýmikoľvek, nielen postupnosťami!) A schopnosť presne si predstaviť, ako sa tá alebo tá postupnosť správa. - či neobmedzene rastie, či klesá, či smeruje ku konkrétnemu číslu (a nie nevyhnutne k nule), alebo dokonca neinklinuje vôbec k ničomu... Tejto téme je venovaná celá jedna sekcia v kurze matematiky analýza - teória limitov. Trochu konkrétnejšie, koncept limit číselnej postupnosti. Veľmi zaujímavá téma! Má zmysel ísť na vysokú školu a prísť na to.)

Niektoré príklady z tejto časti (sekvencie, ktoré majú limit) a najmä nekonečne klesajúca geometrická progresia začať sa učiť v škole. Zvyknúť si.)

Navyše, schopnosť dobre študovať správanie sekvencií v budúcnosti bude hrať do karát a bude veľmi užitočná funkčný výskum. Najrozmanitejšie. Ale schopnosť kompetentne pracovať s funkciami (vypočítať derivácie, preskúmať ich v plnom rozsahu, zostaviť ich grafy) už dramaticky zvyšuje vašu matematickú úroveň! pochybnosti? Netreba. Pamätajte tiež na moje slová.)

Pozrime sa na geometrický postup v živote?

V živote okolo nás sa veľmi, veľmi často stretávame s exponenciálnou progresiou. Bez toho, aby si to vedel.)

Napríklad rôzne mikroorganizmy, ktoré nás všade obklopujú v obrovských množstvách a ktoré bez mikroskopu ani nevidíme, sa množia presne geometrickým postupom.

Povedzme, že jedna baktéria sa rozmnožuje tak, že sa rozdelí na polovicu, pričom potomkom vzniknú 2 baktérie. Na druhej strane sa každý z nich, množiac, tiež rozdelí na polovicu, čo dáva spoločné potomstvo 4 baktérií. Ďalšia generácia dá 8 baktérií, potom 16 baktérií, 32, 64 atď. S každou ďalšou generáciou sa počet baktérií zdvojnásobí. Typický príklad geometrickej progresie.)

Tiež niektorý hmyz - vošky, muchy - sa množia exponenciálne. A králiky niekedy, mimochodom, tiež.)

Ďalším príkladom geometrickej progresie, bližšej každodennému životu, je tzv zložené úročenie. Takýto zaujímavý jav sa často nachádza v bankových vkladoch a je tzv úroková kapitalizácia.Čo to je?

Vy sám ste, samozrejme, ešte mladý. Študuješ na škole, do bánk sa nehlásiš. Ale vaši rodičia sú dospelí a nezávislí ľudia. Chodia do práce, zarábajú peniaze na svoj každodenný chlieb a časť peňazí vkladajú do banky, čím ušetria.)

Povedzme, že váš otec si chce našetriť určitú sumu peňazí na rodinnú dovolenku v Turecku a vloží 50 000 rubľov do banky s 10 % ročne na obdobie troch rokov. s ročnou úrokovou kapitalizáciou. Navyše počas celého tohto obdobia sa s vkladom nedá nič robiť. Nemôžete ani doplniť vklad, ani vybrať peniaze z účtu. Aký zisk dosiahne za tieto tri roky?

Najprv musíte zistiť, čo je 10% ročne. Znamená to, že v roku K počiatočnej výške vkladu banka pripočíta 10 %. Z čoho? Samozrejme, od výška počiatočného vkladu.

Vypočítajte výšku účtu za rok. Ak bola počiatočná výška vkladu 50 000 rubľov (t. j. 100 %), koľko úrokov bude na účte o rok? Presne tak, 110%! Od 50 000 rubľov.

Takže uvažujeme 110% z 50 000 rubľov:

50 000 1,1 \u003d 55 000 rubľov.

Dúfam, že chápete, že nájdenie 110% hodnoty znamená vynásobenie tejto hodnoty číslom 1,1? Ak nerozumiete, prečo je to tak, spomeňte si na piaty a šiesty ročník. Totiž - vzťah percent so zlomkami a časťami.)

To znamená, že nárast za prvý rok bude 5 000 rubľov.

Koľko peňazí bude na účte po dvoch rokoch? 60 000 rubľov? Bohužiaľ (alebo skôr našťastie) to nie je také jednoduché. Celý trik kapitalizácie úrokov je v tom, že s každým novým prírastkom úrokov sa tieto rovnaké úroky už zohľadnia z novej sumy! Od toho, kto už je na účte Práve teraz. A úrok naakumulovaný za predchádzajúce obdobie sa pripočíta k počiatočnej výške vkladu, a teda sa sami podieľajú na výpočte nového úroku! To znamená, že sa stanú plnohodnotnou súčasťou celkového účtu. alebo všeobecný kapitál. Odtiaľ názov - úroková kapitalizácia.

Je to v ekonomike. A v matematike sa takýmto percentám hovorí zložené úročenie. Alebo percent percent.) Ich trik je v tom, že pri sekvenčnom výpočte sa percentá počítajú zakaždým z novej hodnoty. Nie z originálu...

Preto, aby bolo možné vypočítať súčet cez dva roky, potrebujeme vypočítať 110% sumy, ktorá bude na účte v roku. To znamená, že už od 55 000 rubľov.

Zvažujeme 110% z 55 000 rubľov:

55 000 1,1 \u003d 60 500 rubľov.

To znamená, že percentuálny nárast za druhý rok bude už 5 500 rubľov a na dva roky - 10 500 rubľov.

Teraz už môžete hádať, že o tri roky bude suma na účte 110% zo 60 500 rubľov. To je zase 110% z predchádzajúceho (minulého roku) sumy.

Tu uvažujeme:

60500 1,1 \u003d 66550 rubľov.

A teraz zostavujeme naše peňažné sumy postupne podľa rokov:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1

Tak ako? Prečo nie geometrický postup? Prvý člen b 1 = 50000 a menovateľ q = 1,1 . Každý výraz je striktne 1,1-krát väčší ako predchádzajúci. Všetko je v prísnom súlade s definíciou.)

A koľko dodatočných percentuálnych bonusov „prihodí“ váš otec, kým jeho 50 000 rubľov bolo na bankovom účte tri roky?

My veríme:

66550 - 50000 = 16550 rubľov

Je to zlé, samozrejme. Ale to v prípade, ak je počiatočná výška príspevku malá. Čo ak je toho viac? Povedzme, že nie 50, ale 200 tisíc rubľov? Potom bude zvýšenie na tri roky už 66 200 rubľov (ak počítate). Čo je už veľmi dobré.) A ak je príspevok ešte väčší? Tak to je...

Záver: čím vyšší je počiatočný vklad, tým je úroková kapitalizácia výnosnejšia. Preto vklady s úrokovou kapitalizáciou poskytujú banky na dlhé obdobia. Povedzme päť rokov.

Tiež všetky druhy zlých chorôb ako chrípka, osýpky a ešte hroznejšie choroby (rovnaký SARS na začiatku 21. storočia alebo mor v stredoveku) sa radi šíria exponenciálne. Preto rozsah epidémií, áno ...) A to všetko kvôli skutočnosti, že geometrický postup s celý kladný menovateľ (q>1) - vec, ktorá rastie veľmi rýchlo! Pamätajte na reprodukciu baktérií: z jednej baktérie sa získajú dve, z dvoch - štyri, zo štyroch - osem atď. ... Pri šírení akejkoľvek infekcie je všetko rovnaké.)

Najjednoduchšie úlohy v geometrickom postupe.

Začnime ako vždy jednoduchým problémom. Čisto na pochopenie významu.

1. Je známe, že druhý člen geometrickej postupnosti je 6 a menovateľ je -0,5. Nájdite prvý, tretí a štvrtý výraz.

Takže je nám dané nekonečné geometrická progresia, dobre známa druhý člen tento postup:

b2 = 6

Okrem toho tiež vieme menovateľ progresie:

q = -0,5

A musíte nájsť prvý, tretí a štvrtýčlenov tohto postupu.

Tu konáme. Postupnosť zapíšeme podľa stavu problému. Priamo vo všeobecnosti, kde druhým členom je šesť:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Teraz začnime hľadať. Začíname ako vždy tým najjednoduchším. Môžete vypočítať napríklad tretí termín b 3? Môcť! Už vieme (priamo v zmysle geometrickej progresie), že tretí člen (b 3) viac ako sekundu (b 2 ) v "q" raz!

Takže píšeme:

b 3 =b 2 · q

Namiesto toho do tohto výrazu dosadíme šesť b 2 a -0,5 namiesto toho q a myslíme si. A mínus sa samozrejme tiež neignoruje ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Páči sa ti to. Tretí termín dopadol negatívne. Niet divu: náš menovateľ q- negatívny. A plus vynásobené mínusom bude, samozrejme, mínus.)

Teraz zvážime ďalší, štvrtý termín postupu:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Štvrtý termín je opäť s plusom. Piaty termín bude opäť s mínusom, šiesty s plusom atď. Známky - striedajte!

Takže sa našiel tretí a štvrtý člen. Výsledkom je nasledujúca postupnosť:

b1; 6; -3; 1,5; …

Teraz zostáva nájsť prvý termín b 1 podľa známeho druhého. Aby sme to urobili, vykročíme iným smerom, doľava. To znamená, že v tomto prípade nepotrebujeme násobiť druhý člen progresie menovateľom, ale zdieľam.

Rozdelíme a dostaneme:

To je všetko.) Odpoveď na problém bude nasledovná:

-12; 6; -3; 1,5; …

Ako vidíte, princíp riešenia je rovnaký ako v . Vieme akýkoľvekčlenom a menovateľ geometrická postupnosť – môžeme nájsť akýkoľvek iný výraz. Čo chceme, také si nájdeme.) Rozdiel je len v tom, že sčítanie / odčítanie je nahradené násobením / delením.

Zapamätajte si: ak poznáme aspoň jeden člen a menovateľ geometrickej postupnosti, vždy môžeme nájsť ľubovoľného iného člena tejto postupnosti.

Nasledujúca úloha je podľa tradície zo skutočnej verzie OGE:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Tak ako? Tentoraz neexistuje žiadny prvý termín, žiadny menovateľ q, je daná len postupnosť čísel ... Už niečo známe, však? Áno! Podobný problém sa už riešil v aritmetickej postupnosti!

Tu sa nebojíme. Všetky rovnaké. Otočte hlavu a zapamätajte si základný význam geometrického postupu. Pozorne sa pozrieme na našu postupnosť a zistíme, ktoré parametre geometrickej postupnosti troch hlavných (prvý člen, menovateľ, číslo člena) sú v nej skryté.

Členské čísla? Nie sú tam žiadne členské čísla, áno... Ale sú štyria postupnéčísla. Čo toto slovo znamená, nevidím v tejto fáze zmysel vo vysvetľovaní.) Sú tam dva susedné známe čísla? Existuje! Toto je 6 a 1,2. Takže môžeme nájsť menovateľ progresie. Takže vezmeme číslo 1,2 a rozdelíme na predchádzajúce číslo. Za šesť.

Dostaneme:

Dostaneme:

X= 150 0,2 = 30

odpoveď: X = 30 .

Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché. Hlavná ťažkosť spočíva iba vo výpočtoch. Obzvlášť ťažké je to v prípade záporných a zlomkových menovateľov. Takže tí, ktorí majú problémy, opakujte aritmetiku! Ako pracovať so zlomkami, ako pracovať so zápornými číslami a podobne... Inak tu nemilosrdne spomalíte.

Teraz trochu zmeníme problém. Teraz to bude zaujímavé! Odstránime v ňom posledné číslo 1,2. Poďme teraz vyriešiť tento problém:

3. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti:

…; 150; X; 6; …

Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.

Všetko je rovnaké, len dva susedia slávny už nemáme členov progresie. Toto je hlavný problém. Pretože veľkosť q cez dva susediace termíny už vieme ľahko určiť nemôžeme. Máme šancu splniť výzvu? Určite!

Napíšme neznámy výraz " X„Priamo v zmysle geometrického postupu! Vo všeobecnosti.

Áno áno! Priamo s neznámym menovateľom!

Na jednej strane pre x môžeme napísať nasledujúci pomer:

X= 150q

Na druhej strane máme plné právo premaľovať rovnaké X Ďalšiečlen, cez šesť! Vydeľte šesť menovateľom.

Páči sa ti to:

X = 6/ q

Je zrejmé, že teraz môžeme dať oba tieto pomery rovnítkom. Keďže sa vyjadrujeme rovnaký hodnotu (x), ale dve rôzne cesty.

Dostaneme rovnicu:

Vynásobením všetkého q, zjednodušením, zmenšením, dostaneme rovnicu:

q 2 \u003d 1/25

Riešime a dostaneme:

q = ±1/5 = ±0,2

Ojoj! Menovateľ je dvojitý! +0,2 a -0,2. A ktorý si vybrať? Slepá ulica?

Pokojne! Áno, problém naozaj je dve riešenia! Nie je na tom nič zlé. Stáva sa.) Nečudujete sa, keď napríklad vyriešením obyčajného získate dva korene? Tu je ten istý príbeh.)

Pre q = +0,2 dostaneme:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

A pre q = -0,2 bude:

X = 150 (-0,2) = -30

Dostávame dvojitú odpoveď: X = 30; X = -30.

Čo znamená tento zaujímavý fakt? A čo existuje dve progresie, splnenie podmienky problému!

Ako tieto:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Oboje je vhodné.) Aký je podľa vás dôvod rozdvojenia odpovedí? Len z dôvodu vyradenia konkrétneho člena postupu (1,2), prichádzajúceho po šestke. A keďže poznáme iba predchádzajúci (n-1)-tý a nasledujúci (n+1)-tý člen geometrickej postupnosti, nemôžeme už jednoznačne povedať nič o tom, že medzi nimi stojí n-tý člen. Sú dve možnosti – plus a mínus.

Ale to je jedno. V úlohách pre geometrický postup sú spravidla ďalšie informácie, ktoré dávajú jednoznačnú odpoveď. Povedzme slová: "striedavá progresia znamienka" alebo "progresia s pozitívnym menovateľom" a tak ďalej... Práve tieto slová by mali slúžiť ako vodítko, aké znamienko plus mínus zvoliť pri konečnej odpovedi. Ak takéto informácie neexistujú, potom - áno, úloha bude mať dve riešenia.)

A teraz sa rozhodneme sami.

4. Určte, či číslo 20 bude členom geometrickej postupnosti:

4 ; 6; 9; …

5. Je daná striedavá geometrická postupnosť:

…; 5; X ; 45; …

Nájdite termín progresie označený písmenom X .

6. Nájdite štvrtý kladný člen geometrickej postupnosti:

625; -250; 100; …

7. Druhý člen geometrickej postupnosti je -360 a jej piaty člen je 23.04. Nájdite prvý termín tohto postupu.

Odpovede (v neporiadku): -15; 900; nie; 2.56.

Gratulujeme, ak všetko klapne!

Niečo nesedí? Existuje niekde dvojitá odpoveď? Pozorne sme si prečítali podmienky zadania!

Posledná hádanka nefunguje? Nie je tam nič zložité.) Pracujeme priamo podľa významu geometrickej postupnosti. No, môžeš si nakresliť obrázok. Pomáha to.)

Ako vidíte, všetko je elementárne. Ak je progresia krátka. Čo ak je to dlhé? Alebo je počet požadovaného člena veľmi veľký? Chcel by som, analogicky s aritmetickým postupom, nejakým spôsobom získať vhodný vzorec, ktorý uľahčí nájdenie akýkoľvekčlen akejkoľvek geometrickej postupnosti podľa jeho čísla. Bez násobenia mnohokrát q. A existuje taký vzorec!) Podrobnosti - v ďalšej lekcii.

ČÍSELNÉ POSTUPNOSTI VI

§ l48. Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie

Doteraz sme pri súčtoch vždy predpokladali, že počet členov v týchto súčtoch je konečný (napríklad 2, 15, 1000 atď.). Ale pri riešení niektorých úloh (najmä vyššej matematiky) sa človek musí vysporiadať so súčtom nekonečného množstva pojmov

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Aké sú tieto sumy? A-priorstvo súčet nekonečného počtu členov a 1 , a 2 , ..., a n , ... sa nazýva hranica sumy S n najprv P čísla kedy P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) samozrejme môže alebo nemusí existovať. Podľa toho sa o sume (1) hovorí, že existuje alebo neexistuje.

Ako zistiť, či v každom konkrétnom prípade existuje súčet (1)? Všeobecné riešenie tejto otázky ďaleko presahuje rámec nášho programu. Je tu však jeden dôležitý špeciálny prípad, ktorý teraz musíme zvážiť. Budeme hovoriť o sčítaní členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti.

Nechať byť a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť. To znamená, že | q |< 1. Сумма первых P členov tejto progresie sa rovná

Zo základných viet o limitách premenných (pozri § 136) dostaneme:

Ale 1 = 1, a q n = 0. Preto

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie sa teda rovná prvému členu tohto postupu vydelenému jednou mínus menovateľ tohto postupu.

1) Súčet geometrickej postupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je

a súčet geometrickej postupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... sa rovná

2) Jednoduchý periodický zlomok 0,454545 ... sa zmení na obyčajný.

Aby sme tento problém vyriešili, predstavujeme tento zlomok ako nekonečný súčet:

Pravá strana tejto rovnosti je súčtom nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen je 45/100 a menovateľ je 1/100. Takže

Opísaným spôsobom možno získať aj všeobecné pravidlo premeny jednoduchých periodických zlomkov na obyčajné zlomky (pozri kapitolu II § 38):

Ak chcete previesť jednoduchý periodický zlomok na obyčajný, musíte postupovať nasledovne: do čitateľa vložte obdobie desatinného zlomku a do menovateľa - číslo pozostávajúce z deviatich, koľkokrát je číslic v tomto období. desatinného zlomku.

3) Zmiešaný periodický zlomok 0,58333 .... premeniť na obyčajný zlomok.

Predstavme si tento zlomok ako nekonečný súčet:

Na pravej strane tejto rovnosti tvoria všetky členy počnúc 3/1000 nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť, ktorej prvý člen je 3/1000 a menovateľ je 1/10. Takže

Opísaným spôsobom možno získať aj všeobecné pravidlo premeny zmiešaných periodických frakcií na bežné frakcie (pozri kapitolu II, § 38). Zámerne ho sem nezaraďujeme. Toto ťažkopádne pravidlo sa netreba učiť naspamäť. Je oveľa užitočnejšie vedieť, že akýkoľvek zmiešaný periodický zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie a nejakého čísla. A vzorec

na súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie si treba, samozrejme, pamätať.

Ako cvičenie vás pozývame, aby ste sa okrem nižšie uvedených problémov č.995-1000 ešte raz obrátili na problém č.301 § 38.

Cvičenia

995. Ako sa nazýva súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie?

996. Nájdite súčty nekonečne klesajúcich geometrických postupností:

997. Za aké hodnoty X progresie

nekonečne klesá? Nájdite súčet takejto progresie.

998. V rovnostrannom trojuholníku so stranou a nový trojuholník je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto trojuholníka sa rovnakým spôsobom vpíše nový trojuholník a tak ďalej do nekonečna.

a) súčet obvodov všetkých týchto trojuholníkov;

b) súčet ich plôch.

999. Vo štvorci so stranou a nový štvorec je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto štvorca sa rovnakým spôsobom vpíše štvorec a tak ďalej do nekonečna. Nájdite súčet obvodov všetkých týchto štvorcov a súčet ich plôch.

1000. Urobte nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť tak, aby sa jej súčet rovnal 25/4 a súčet druhých mocnín jej členov sa rovnal 625/24.

napríklad, sekvencia \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… je geometrický postup, pretože každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o faktor dva (inými slovami, možno ho získať od predchádzajúceho vynásobením dvoma):

Ako každá postupnosť, aj geometrická postupnosť je označená malým latinským písmenom. Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky). Označujú sa rovnakým písmenom ako geometrická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

napríklad, geometrická postupnosť \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) pozostáva z prvkov \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) a tak ďalej. Inými slovami:

Ak porozumiete vyššie uvedeným informáciám, budete už schopní vyriešiť väčšinu problémov na túto tému.

Príklad (OGE):
rozhodnutie:

Odpoveď : \(-686\).

Príklad (OGE): Vzhľadom na prvé tri podmienky postupu \(324\); \(-108\); \(36\)…. Nájsť \(b_5\).
rozhodnutie:

	Aby sme mohli pokračovať v postupnosti, musíme poznať menovateľa. Zistime to z dvoch susediacich prvkov: čím treba vynásobiť \(324\), aby sme dostali \(-108\)?
\(324 q=-108\)	Odtiaľ môžeme ľahko vypočítať menovateľa.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Teraz môžeme ľahko nájsť prvok, ktorý potrebujeme.
	Odpoveď pripravená.

Odpoveď : \(4\).

Príklad: Progresia je daná podmienkou \(b_n=0,8 5^n\). Ktoré číslo je členom tohto postupu:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

rozhodnutie: Zo znenia úlohy je zrejmé, že jedno z týchto čísel je určite v našom postupe. Preto môžeme jednoducho počítať jeho členy jeden po druhom, kým nenájdeme hodnotu, ktorú potrebujeme. Keďže náš postup je daný vzorcom , vypočítame hodnoty prvkov dosadením rôznych \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8 5^1=0,8 5=4\) – v zozname takéto číslo nie je. Pokračujeme ďalej.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) - a ani toto tam nie je.
\(n=3\); \(b_3=0,8 5^3=0,8 125=100\) – a tu je náš šampión!

odpoveď: \(100\).

Príklad (OGE): Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti …\(8\); \(X\); \(päťdesiat\); \(-125\)…. Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).

rozhodnutie:

odpoveď: \(-20\).

Príklad (OGE): Postupnosť je daná podmienkami \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Nájdite súčet prvých \(4\) členov tejto postupnosti.

rozhodnutie:

odpoveď: \(105\).

Príklad (OGE): Je známe, že exponenciálne \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Nájdite menovateľa \(q\).

rozhodnutie:

	Z diagramu vľavo je vidieť, že aby sme sa „dostali“ z \ (b_6 \) do \ (b_9 \) - urobíme tri „kroky“, to znamená, že \ (b_6 \) vynásobíme trikrát menovateľ progresie. Inými slovami, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Nahraďte hodnoty, ktoré poznáme.
\(704=(-11)q^3\)	„Otočte“ rovnicu a vydeľte ju \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Aké číslo v kocke dáva \(-64\)? Samozrejme, \(-4\)!
	Odpoveď sa našla. Dá sa to skontrolovať obnovením reťazca čísel od \(-11\) do \(704\).
	Všetci súhlasili - odpoveď je správna.

odpoveď: \(-4\).

Najdôležitejšie vzorce

Ako vidíte, väčšina problémov s geometrickým postupom sa dá vyriešiť čistou logikou, jednoducho pochopením podstaty (to je vo všeobecnosti charakteristické pre matematiku). No niekedy znalosť určitých vzorcov a vzorcov riešenie urýchli a výrazne uľahčí. Budeme študovať dva takéto vzorce.

Vzorec pre \(n\)-tý člen je: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), kde \(b_1\) je prvý člen postupnosti; \(n\) – číslo požadovaného prvku; \(q\) je menovateľom progresie; \(b_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).

Pomocou tohto vzorca môžete napríklad v jednom kroku vyriešiť problém z prvého príkladu.

Príklad (OGE): Geometrická postupnosť je daná podmienkami \(b_1=-2\); \(q=7\). Nájsť \(b_4\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(-686\).

Tento príklad bol jednoduchý, takže vzorec nám výpočty príliš neuľahčil. Pozrime sa na problém trochu zložitejšie.

Príklad: Geometrická postupnosť je daná podmienkami \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Nájdite \(b_(12)\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(10\).

Samozrejme, zvýšiť \(\frac(1)(2)\) na \(11\)-nú mocninu nie je veľmi radostné, ale stále jednoduchšie ako \(11\) rozdeliť \(20480\) na dve.

Súčet \(n\) prvých členov: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\), kde \(b_1\) je prvý člen progresie; \(n\) – počet sčítaných prvkov; \(q\) je menovateľom progresie; \(S_n\) je súčet \(n\) prvých členov postupu.

Príklad (OGE): Daná je geometrická postupnosť \(b_n\), ktorej menovateľ je \(5\), a prvý člen \(b_1=\frac(2)(5)\). Nájdite súčet prvých šiestich členov tohto postupu.
rozhodnutie:

odpoveď: \(1562,4\).

A opäť by sme mohli vyriešiť problém „na čele“ - nájsť postupne všetkých šesť prvkov a potom pridať výsledky. Počet výpočtov, a teda aj možnosť náhodnej chyby, by sa však dramaticky zvýšil.

Pre geometrický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme tu neuvažovali pre ich nízke praktické využitie. Tieto vzorce nájdete.

Zvyšovanie a znižovanie geometrickej progresie

Postupnosť \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) uvažovaná na samom začiatku článku má menovateľ \(q\) väčší ako jedna, a preto je každý ďalší člen väčší ako ten predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

Ak je \(q\) menšie ako jedna, ale je kladné (to znamená, že leží medzi nulou a jednotkou), potom každý ďalší prvok bude menší ako predchádzajúci. Napríklad v postupnosti \(4\); \(2\); \(jeden\); \(0,5\); \(0,25\)… menovateľ \(q\) je \(\frac(1)(2)\).

Tieto progresie sa nazývajú klesajúci. Všimnite si, že žiadny z prvkov tohto postupu nebude negatívny, len sa každým krokom zmenšujú a zmenšujú. To znamená, že sa postupne priblížime k nule, no nikdy ju nedosiahneme a neprekročíme ju. Matematici v takýchto prípadoch hovoria „inklinovať k nule“.

Všimnite si, že so záporným menovateľom prvky geometrickej progresie nevyhnutne zmenia znamienko. napríklad, priebeh \(5\); \(-pätnásť\); \(45\); \(-135\); \(675\)... menovateľ \(q\) je \(-3\), a preto znamienka prvkov "blikajú".

Uvažujme o sérii.

7 28 112 448 1792...

Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. Takže táto séria je pokroková.

Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel, ktorej hlavnou črtou je, že ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením určitým konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.

a z +1 =a z q, kde z je číslo vybraného prvku.

Preto z ∈ N.

Obdobie, keď sa v škole študuje geometrický postup, je 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:

Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.

Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.

Ak chcete určiť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.

Odrody

V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:

• Ak sú a 1 aj q väčšie ako jedna, potom je takáto postupnosť geometrickou postupnosťou, ktorá sa zvyšuje s každým ďalším prvkom. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.

Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:

3 6 12 24 48 ...

• Ak |q| menej ako jedna, teda násobenie ňou je ekvivalentné deleniu, potom je progresia s podobnými podmienkami klesajúca geometrická progresia. Príklad takéhoto je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.

Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:

6 2 2/3 ... - ktorýkoľvek prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.

• Znamenková premenná. Ak q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Príklad: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.

Potom môže byť postupnosť napísaná takto:

3, 6, -12, 24,...

Vzorce

Pre pohodlné používanie geometrických postupností existuje veľa vzorcov:

• Vzorec z-tého člena. Umožňuje vypočítať prvok pod konkrétnym číslom bez výpočtu predchádzajúcich čísel.

Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné vypočítať štvrtý prvok progresie.

rozhodnutie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Súčet prvých prvkov, ktorých číslo je z. Umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov sekvencie až doa zvrátane.

Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, teda q sa nerovná 1.

Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola radom nekonečne sa opakujúcich čísel.

Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S 5 .

rozhodnutie:S 5 = 22 - výpočet podľa vzorca.

• Suma, ak |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite množstvo.

rozhodnutie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Niektoré vlastnosti:

• charakteristickú vlastnosť. Ak je splnená nasledujúca podmienka vykonávané pre akékoľvekz, potom je daný číselný rad geometrickou postupnosťou:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Druhá mocnina ľubovoľného čísla geometrickej postupnosti sa tiež nájde sčítaním druhých mocnín akýchkoľvek ďalších dvoch čísel v danom rade, ak sú od tohto prvku rovnako vzdialené.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kdetje vzdialenosť medzi týmito číslami.

• Prvkysa líšia v qraz.
• Logaritmy prvkov postupu tiež tvoria postup, ale už aritmetický, to znamená, že každý z nich je o určité číslo väčší ako predchádzajúci.

Príklady niektorých klasických problémov

Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešením pre 9. ročník.

• Podmienky:a 1 = 3, a 3 = 48. Nájdiq.

Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť prostredníctvom iných pomocou menovateľa.

tedaa 3 = q 2 · a 1

Pri striedaníq= 4

• Podmienky:a 2 = 6, a 3 = 12. Vypočítajte S6.

rozhodnutie:Na to stačí nájsť q, prvý prvok a dosadiť ho do vzorca.

a 3 = q· a 2 , teda,q= 2

a 2 = q a 1,Preto a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Nájdite štvrtý prvok postupu.

Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Príklad aplikácie:

• Klient banky vložil zálohu vo výške 10 000 rubľov, za podmienok ktorej klient každý rok pridá 6% z nej k sume istiny. Koľko peňazí bude na účte po 4 rokoch?

Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. Takže rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

To znamená, že každý rok sa táto suma zvyšuje 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc, a menovateľom rovným 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625

Príklady úloh na výpočet súčtu:

V rôznych úlohách sa používa geometrická postupnosť. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:

a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS5.

Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Vypočítajte súčet prvých šiestich prvkov.

rozhodnutie:

Geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu musíte prvok poznaťa 1 a menovateľq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobne musíme nájsťa 1 , vediaca 2 aq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Zvážte teraz otázku sčítania nekonečnej geometrickej progresie. Čiastočný súčet danej nekonečnej postupnosti nazvime súčtom jej prvých členov. Čiastočný súčet označte symbolom

Za každý nekonečný postup

z jeho čiastkových súčtov možno poskladať (aj nekonečnú) postupnosť

Nech sekvencia s neobmedzeným nárastom má limit

V tomto prípade sa číslo S, teda hranica čiastkových súčtov progresie, nazýva súčet nekonečnej progresie. Ukážeme, že nekonečná klesajúca geometrická postupnosť má vždy súčet a odvodíme vzorec pre tento súčet (môžeme tiež ukázať, že pre nekonečnú postupnosť nemá súčet, neexistuje).

Výraz pre čiastkový súčet zapíšeme ako súčet členov postupnosti podľa vzorca (91.1) a limitu čiastkového súčtu uvažujeme pri

Z vety bodu 89 je známe, že pre klesajúcu progresiu ; aplikovaním diferenčnej limitnej vety teda nájdeme

(aj tu sa používa pravidlo: konštantný faktor je vyňatý zo znamienka limity). Existencia je dokázaná a zároveň je získaný vzorec pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie:

Rovnosť (92.1) možno písať aj ako

Tu sa môže zdať paradoxné, že dobre definovaná konečná hodnota je priradená k súčtu nekonečnej množiny členov.

Na vysvetlenie tejto situácie možno uviesť jasný príklad. Uvažujme štvorec so stranou rovnajúcou sa jednej (obr. 72). Tento štvorec rozdelíme vodorovnou čiarou na dve rovnaké časti a vrchnú časť priložíme na spodnú tak, aby vznikol obdĺžnik so stranami 2 a . Potom pravú polovicu tohto obdĺžnika opäť rozdelíme na polovicu vodorovnou čiarou a hornú časť priložíme k spodnej (ako je znázornené na obr. 72). V tomto procese neustále premieňame pôvodný štvorec s plochou rovnajúcou sa 1 na rovnako veľké figúrky (v podobe schodiska so stenčovacími stupňami).

Nekonečným pokračovaním tohto procesu sa celá plocha štvorca rozkladá na nekonečný počet členov - plochy obdĺžnikov so základňami rovnými 1 a výškami. Plochy obdĺžnikov tvoria nekonečnú klesajúcu postupnosť, jeho súčet

t.j. podľa očakávania sa rovná ploche námestia.

Príklad. Nájdite súčty nasledujúcich nekonečných postupností:

Riešenie, a) Poznamenávame, že tento priebeh Preto podľa vzorca (92.2) nájdeme

b) Tu to znamená, že podľa rovnakého vzorca (92.2) máme

c) Zistili sme, že táto progresia Preto táto progresia nemá žiadny súčet.

V časti 5 bola ukázaná aplikácia vzorca pre súčet členov nekonečne klesajúcej progresie na prevod periodického desatinného zlomku na obyčajný zlomok.

Cvičenia

1. Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti je 3/5 a súčet jej prvých štyroch členov je 13/27. Nájdite prvý termín a menovateľ progresie.

2. Nájdite štyri čísla, ktoré tvoria striedavú geometrickú postupnosť, v ktorej je druhý člen menší ako prvý o 35 a tretí je väčší ako štvrtý o 560.

3. Ukážte postupnosť čo keby

tvorí nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť, potom postupnosť

pre akúkoľvek formu nekonečne klesajúca geometrická progresia. Platí toto tvrdenie

Odvoďte vzorec pre súčin členov geometrickej postupnosti.