4.2. Algebraické a transcendentálne čísla

Reálne čísla sa niekedy delia aj na algebraické a transcendentálne.

Algebraické čísla sú čísla, ktoré sú koreňmi algebraických polynómov s celočíselnými koeficientmi, napríklad 4, . Všetky ostatné (nealgebraické) čísla sa považujú za transcendentálne. Keďže každé racionálne číslo p/q je koreňom príslušného polynómu prvého stupňa s celočíselnými koeficientmi qx -p, potom sú všetky transcendentálne čísla iracionálne.

Vyzdvihnime charakteristické črty uvažovaných (prirodzených, racionálnych, reálnych) čísel: modelujú len jednu vlastnosť – kvantitu; sú jednorozmerné a všetky sú reprezentované bodmi na jednej priamke, ktorá sa nazýva súradnicová os.

5. Komplexné čísla

5.1. Imaginárne čísla

Ešte zvláštnejšie ako tie iracionálne boli čísla novej povahy, ktoré objavil v roku 1545 taliansky vedec Cardano. Ukázal, že sústava rovníc, ktorá nemá riešenia v množine reálnych čísel, má riešenia v tvare, . Musíte len súhlasiť s tým, že budete na takéto výrazy postupovať podľa pravidiel bežnej algebry a predpokladať, že · = -.

Cardano nazval takéto množstvá „čisto negatívne“ a dokonca „sofisticky negatívne“, považoval ich za zbytočné a snažil sa ich nepoužívať.

Tieto čísla sa dlho považovali za nemožné, neexistujúce, vymyslené. Descartes ich nazval imaginárnymi, Leibniz – „čudák zo sveta ideí, entita nachádzajúca sa medzi bytím a nebytím“.

V skutočnosti pomocou takýchto čísel nie je možné vyjadriť ani výsledok merania akejkoľvek veličiny, ani zmenu akejkoľvek veličiny.

Na súradnicovej osi nebolo miesto pre imaginárne čísla. Vedci si však všimli, že ak vezmeme skutočné číslo b na kladnej časti súradnicovej osi a vynásobíme ho, dostaneme imaginárne číslo b, ktoré sa nachádza neznáme kde. Ale ak toto číslo ešte raz vynásobíme, dostaneme -b, teda pôvodné číslo, ale na zápornej časti súradnicovej osi. Takže dvoma násobeniami sme hodili číslo b z kladného na záporné a presne v strede tohto hodu bolo číslo imaginárne. Takto sme našli miesto pre imaginárne čísla v bodoch na imaginárnej súradnicovej osi kolmej na stred skutočnej súradnicovej osi. Body roviny medzi imaginárnou a reálnou osou predstavujú čísla zistené Cardanom, ktoré vo všeobecnom tvare a + b·i obsahujú reálne čísla a a imaginárne b·i v jednom komplexe (zložení), preto sa nazývajú komplexné čísla.

Toto bola 4. úroveň zovšeobecnenia čísel.

Postupne sa vyvinula technika operácií s imaginárnymi číslami. Na prelome 17. a 17. storočia bola zostrojená všeobecná teória koreňov n-tých mocnín, najprv zo záporných a potom z ľubovoľných komplexných čísel, na základe nasledujúceho vzorca anglického matematika A. Moivreho:

Pomocou tohto vzorca bolo tiež možné odvodiť vzorce pre kosínusy a sínusy viacerých oblúkov.

Leonhard Euler odvodil v roku 1748 pozoruhodný vzorec:

ktoré spájali exponenciálnu funkciu s goniometrickou. Pomocou Eulerovho vzorca bolo možné zvýšiť číslo e na akúkoľvek komplexnú mocninu. Zaujímavé je napríklad to, že... Môžete nájsť sin a cos komplexných čísel, vypočítať logaritmy takýchto čísel atď.

Aj matematici dlho považovali zložité čísla za záhadné a používali ich len na matematické manipulácie. Švajčiarsky matematik Bernoulli teda použil na riešenie integrálov komplexné čísla. O niečo neskôr sa naučili vyjadrovať riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi pomocou imaginárnych čísel. Takéto rovnice nájdeme napríklad v teórii kmitov hmotného bodu v odporovom prostredí.

Algebraické maticové grupy

Algebraické uzatváracie systémy

Začnime s konceptom algebraickej operácie. Nech A je univerzálna algebra s množinou algebraických operácií U. Každá operácia U z U má určitú aritu n, nN(0). Pre ľubovoľné prirodzené číslo n je n-árna operácia u zobrazením z An do A...

Sila prvočísel

Vzájomné prvočísla sú prirodzené alebo celé čísla, ktoré sa nezdajú byť najväčšími náprotivkami väčšími ako 1, alebo sa inak nezdajú byť ich najväčšími náprotivkami väčšími ako 1. Teda 2 a 3 -- sú vzájomne jednoduché a 2 a 4 nie sú ani jedno. (delené 2)...

Grafy a ich funkcie

Uvažujme základné algebraické operácie s funkciami a ich grafmi, ako sú sčítanie a odčítanie (y = f(x) ±g(x)), násobenie (y = f(x) g(x)), delenie (y = f( x) / g(x)). Pri vytváraní tohto typu grafu by ste mali zvážiť...

Komplexné čísla: ich minulosť a súčasnosť

Matematika v stredoveku

Nevyhnutnou podmienkou pre aplikáciu metódy fan cheng na sústavy rovníc bolo zavedenie záporných čísel. Napríklad pri riešení systému dostaneme tabuľku. Ďalší krok: odčítajte prvky tretieho stĺpca sprava od prvkov prvého...

Numerológia

Pytagoras považoval čísla nielen za abstraktné náhrady skutočných vecí, ale za živé bytosti odrážajúce vlastnosti priestoru, energie alebo zvukovej vibrácie. Hlavná veda o číslach, aritmetika...

Numerológia

Legenda hovorí, že harmonické čísla, z pomeru ktorých vzniká hudba sfér, objavil Pytagoras. Flammarion túto legendu prerozpráva takto: „Hovorí sa, že keď prechádzal okolo vyhne, počul zvuk kladív...

Praktická aplikácia kvadratúrnych vzorcov s Chebyshev-Hermite závažiami

Nech je zadaná funkcia rovnomernej hmotnosti na celej osi. (1.1) Postupným derivovaním tejto funkcie zistíme (1.2) Indukciou je ľahké dokázať, že derivácia rádu n funkcie (1.1) je súčinom tejto funkcie nejakým polynómom stupňa n...

Predstavme si nové neplatné číslo, ktorého druhá mocnina je -1. Toto číslo označujeme symbolom I a nazývame ho imaginárna jednotka. Takže, (2.1) Potom. (2.2) 1. Algebraický tvar komplexného čísla Ak, potom sa číslo (2.3) nazýva komplexné číslo...

Opakovane definované číselné postupnosti

Pri riešení mnohých problémov sa často musíte zaoberať postupnosťami zadávanými opakovane, ale na rozdiel od Fibonacciho postupnosti nie je vždy možné získať jej analytickú úlohu...

Transcendentálne rovnice s parametrami a metódami ich riešenia

Transcendentálna rovnica je rovnica obsahujúca transcendentálne funkcie (iracionálne, logaritmické, exponenciálne, trigonometrické a inverzné trigonometrické) neznámej (premennej), napríklad rovnica...

Úžasné čísla

Už dávno, keď si ľudia pomáhali počítať kamienkami, dbali na správne figúrky, ktoré sa dali z kamienkov vyrobiť. Kamienky môžete jednoducho umiestniť do radu: jeden, dva, tri. Ak ich dáte do dvoch radov, aby vznikli obdĺžniky...

Úžasné čísla

Niekedy sa dokonalé čísla považujú za špeciálny prípad priateľských čísel: každé dokonalé číslo je priateľské samo k sebe. Nicomachus z Gerasu, slávny filozof a matematik, napísal: "Dokonalé čísla sú krásne. Ale je známe...

Fraktálne vlastnosti sociálnych procesov

Geometrické fraktály sú statické obrazce. Tento prístup je celkom prijateľný, pokiaľ nie je potrebné brať do úvahy také prírodné javy ako padajúce prúdy vody, rozbúrené víry dymu...

Transcendentálne číslo

číslo (reálne alebo imaginárne), ktoré nevyhovuje žiadnej algebraickej rovnici (Pozri Algebraická rovnica) s celočíselnými koeficientmi. Číselné čísla sú teda v kontraste s algebraickými číslami (pozri Algebraické číslo). Prvýkrát existenciu T. ch., založil J. Liouville (1844). Východiskom pre Liouville bola jeho veta, podľa ktorej poradie aproximácie racionálneho zlomku s daným menovateľom k danému iracionálnemu algebraickému číslu nemôže byť ľubovoľne vysoké. Totiž, ak algebraické číslo A spĺňa neredukovateľnú algebraickú rovnicu stupňa n s celočíselnými koeficientmi, potom pre akékoľvek racionálne číslo c závisí len od α ). Ak teda pre dané iracionálne číslo α môžeme špecifikovať nekonečnú množinu racionálnych aproximácií, ktoré nespĺňajú danú nerovnosť pre žiadnu s A n(rovnaké pre všetky aproximácie), teda α je T. h. Príkladom takéhoto čísla je:

Ďalší dôkaz existencie čísel podal G. Cantor (1874), pričom poznamenal, že množina všetkých algebraických čísel je spočítateľná (to znamená, že všetky algebraické čísla možno prečíslovať; pozri Teória množín), zatiaľ čo množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľný. Z toho vyplýva, že množina čísel je nespočítateľná a ďalej, že čísla tvoria väčšinu množiny všetkých čísel.

Najdôležitejšou úlohou teórie absolútnych čísel je určiť, či hodnoty analytických funkcií, ktoré majú určité aritmetické a analytické vlastnosti pre algebraické hodnoty argumentu, sú skutočné čísla. Problémy tohto druhu patria medzi najťažšie problémy modernej matematiky. V roku 1873 C. Hermite dokázal, že Nepero číslo

V roku 1882 nemecký matematik F. Lindemann získal všeobecnejší výsledok: ak α je algebraické číslo, potom e Výsledok α - T. h. Lipdemanna výrazne zovšeobecnil nemecký matematik K. Siegel (1930), ktorý dokázal napríklad prekročenie hodnoty širokej triedy cylindrických funkcií pre algebraické hodnoty argumentu. V roku 1900 na matematickom kongrese v Paríži D. Hilbert medzi 23 nevyriešenými problémami z matematiky poukázal na nasledovné: je transcendentálne číslo α β , Kde α A β - algebraické čísla a β - iracionálne číslo, a najmä číslo e π transcendentálne (problém transcendencie čísel v tvare α β prvýkrát v súkromnej forme inscenoval L. Euler, 1744). Úplné riešenie tohto problému (v kladnom zmysle) získal až v roku 1934 A. O. Gelfond u. Najmä z Gelfondovho objavu vyplýva, že všetky desiatkové logaritmy prirodzených čísel (teda „tabuľkové logaritmy“) sú celočíselné. Metódy teórie čísel sú aplikované na množstvo problémov, ktoré riešia rovnice v celých číslach.

Lit.: Gelfond A. O., Transcendentálne a algebraické čísla, M., 1952.

Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Pozrite sa, čo je „Transcendentálne číslo“ v iných slovníkoch:

Číslo, ktoré nespĺňa žiadnu algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi. Transcendentálne čísla sú: číslo??3,14159...; desiatkový logaritmus akéhokoľvek celého čísla, ktoré nie je reprezentované jednotkami, za ktorými nasledujú nuly; číslo e=2,71828... a iné... Veľký encyklopedický slovník

- (z latinského transcendere prejsť, prekročiť) je reálne alebo komplexné číslo, ktoré nie je algebraické, inými slovami, číslo, ktoré nemôže byť koreňom polynómu s celočíselnými koeficientmi. Obsah 1 Vlastnosti 2 ... ... Wikipedia

Číslo, ktoré nespĺňa žiadnu algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi. Transcendentálne čísla sú: číslo π = 3,14159...; desiatkový logaritmus akéhokoľvek celého čísla, ktoré nie je reprezentované jednotkami, za ktorými nasledujú nuly; číslo e = 2,71828... atď... encyklopedický slovník

Číslo, ktoré nespĺňa žiadnu algebru. rovnica s celočíselnými koeficientmi. Vrátane: čísla PI = 3,14159...; desiatkový logaritmus akéhokoľvek celého čísla, ktoré nie je reprezentované jednotkami, za ktorými nasledujú nuly; číslo e = 2,71828... atď... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Číslo, ktoré nie je koreňom žiadneho polynómu s celočíselnými koeficientmi. Oblasťou definície takýchto čísel sú nuly reálnych, komplexných a raditických čísel. Existenciu a explicitné konštrukcie skutočných častí podložil J. Liouville... ... Matematická encyklopédia

Rovnica, ktorá nie je algebraická. Typicky sú to rovnice obsahujúce exponenciálne, logaritmické, goniometrické, inverzné goniometrické funkcie, napríklad: Prísnejšia definícia je: Transcendentálna rovnica je rovnica ... Wikipedia

Číslo približne rovné 2,718, ktoré sa často vyskytuje v matematike a vede. Napríklad, keď sa rádioaktívna látka rozpadne po čase t, z pôvodného množstva látky zostane zlomok rovnajúci sa ekt, kde k je číslo,... ... Collierova encyklopédia

E je matematická konštanta, základ prirodzeného logaritmu, iracionálne a transcendentálne číslo. Niekedy sa číslo e nazýva Eulerovo číslo (nemýliť si s takzvanými Eulerovými číslami prvého druhu) alebo Napierovo číslo. Označuje sa malým latinským písmenom „e“.... ... Wikipedia

E je matematická konštanta, základ prirodzeného logaritmu, iracionálne a transcendentálne číslo. Niekedy sa číslo e nazýva Eulerovo číslo (nemýliť si s takzvanými Eulerovými číslami prvého druhu) alebo Napierovo číslo. Označuje sa malým latinským písmenom „e“.... ... Wikipedia

Na reálnej čiare je okrem algebraických čísel ešte jedna množina, ktorej mocnosť sa zhoduje s mocnosťou celej čiary - ide o množinu transcendentálnych čísel.

Definícia 6 : Volá sa číslo, ktoré nie je algebraické transcendentálny, teda transcendentálne číslo (lat. transcendere - prejsť, prekročiť) je reálne alebo komplexné číslo, ktoré nemôže byť koreňom polynómu (nie je identicky rovné nule) s racionálnymi koeficientmi.

Vlastnosti transcendentálnych čísel:

· Množina transcendentálnych čísel je súvislá.

· Každé transcendentálne reálne číslo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Napríklad číslo je iracionálne, ale nie transcendentálne: je koreňom polynómu (a teda algebraického).

· Poradie na množine reálnych transcendentálnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.

· Mierou iracionality takmer každého transcendentálneho čísla je 2.

Existenciu transcendentálnych čísel prvýkrát dokázal Liouville. Lauvilleov dôkaz existencie transcendentálnych čísel je účinný; Na základe nasledujúcej vety, ktorá je priamym dôsledkom vety 5, sú zostrojené konkrétne príklady transcendentálnych čísel.

Veta 6 [3, str. 54].: Nechaj - Reálne číslo. Ak pre nejaké prírodné n 1 a akékoľvek skutočné c>0 existuje aspoň jeden racionálny zlomok taký, že (11), potom - transcendentálne číslo.

dôkaz: Ak bol algebraický, potom by bolo (Veta 5) kladné celé číslo n a skutočný c>0 tak, že pre akýkoľvek zlomok by to bolo, a to je v rozpore s pravdou (11). Predpoklad je taký algebraické číslo, t.j. transcendentálne číslo. Veta bola dokázaná.

Čísla, pre ktoré, pre ľubovoľné n 1 a c>0 nerovnosť (11) má riešenie v celých číslach a A b sa nazývajú transcendentálne Liouvilleove čísla.

Teraz máme prostriedky na vytváranie reálnych čísel, ktoré nie sú algebraické. Je potrebné zostrojiť číslo, ktoré umožňuje aproximácie ľubovoľne vysokého rádu.

Príklad:

a- transcendentálne číslo.

Vezmime si svojvoľné skutočné n 1 a c>0. Nechaj kde k vybrané tak veľké, že kn, Potom

Keďže pre svojvoľné n 1 a c>0 môžete nájsť taký zlomok, že potom je transcendentálne číslo.

Nastavme číslo v tvare nekonečného desatinného zlomku: kde

Potom, kdekoľvek, . To znamená, že umožňuje aproximácie ľubovoľne vysokého rádu, a preto nemôže byť algebraické.

V roku 1873 C. Hermite dokázal transcendenciu čísla e, základy prirodzených logaritmov.

Dokázať transcendenciu čísla e sú potrebné dve lemmy.

Lema 1. Ak g(X) je polynóm s celočíselnými koeficientmi, potom pre ľubovoľné kN všetky jeho koeficienty k- ach derivát g (k) (X) sa delia na k!.

Dôkaz. Keďže operátor d/dx lineárne, potom stačí skontrolovať výrok lemy len pre polynómy tvaru g(X)=X s, s 0.

Ak k>s, To g (k) (X)= 0 a k!|0.

Ak k< s , To

binomický koeficient je celé číslo a g(k) ( X) sa opäť delí podľa k! úplne.

Lema 2 (hermitská identita). Nechaj f(X) - ľubovoľný polynóm stupňa k s reálnymi koeficientmi,

F( X)=f(X)+f" (X)+f"(X)+ … +f (k) (X) je súčtom všetkých jeho derivátov. Potom pre akékoľvek skutočné (a dokonca zložité, ale toto zatiaľ nebudeme potrebovať) X hotový:

Dôkaz. Poďme integrovať po častiach:

Integrál opäť integrujeme po častiach atď. Opakovaním tohto postupu k+1 krát, dostaneme:

Veta 7 (Hermite, 1873). číslo e transcendentálny.

Dôkaz. Dokážme toto tvrdenie protirečením. Predpokladajme, že e - algebraické číslo, mocniny m. Potom

a m e m + … +a 1 e+a 0 =0

pre niektoré prirodzené m a niektoré celé a m ,… a 1 , a 0 Namiesto toho nahraďme identitu Hermite (12). X celé číslo k ktorý nadobúda hodnoty od 0 do m; vynásobte každú rovnosť

podľa toho a k a potom ich všetky spočítajte. Dostaneme:

Keďže (toto je náš opačný predpoklad), ukázalo sa, že pre akýkoľvek polynóm f(X) musí byť splnená rovnosť:

Vhodnou voľbou polynómu f(X) môžete urobiť z ľavej strany (13) nenulové celé číslo a pravá strana bude medzi nulou a jednotkou.

Zvážte polynóm kde n sa určí neskôr ( nN, A n veľký).

Číslo 0 je koreňom násobnosti n-1 polynóm f(X), čísla 1, 2,…, m- korene mnohosti n, teda:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0) = (-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Zvážte g( X)=X n-1 (X-1) n (X-2) n … (x-m) n - mnohočlen podobný f(X), ale s celočíselnými koeficientmi. Podľa Lemy 1 sú koeficienty g ( l) (X) - celé čísla deliteľné číslom l!, teda keď l< n , derivát g ( l) (X) všetky koeficienty sú celé čísla deliteľné číslom n, pretože g ( l) (X) sa získa z g (l) ( X) delením iba ( n-1)!. Preto

Kde A- vhodné celé číslo a nad znamienkom súčtu je číslo ( m+1) n-1 - stupeň polynómu f(X) a hoci je možné sčítať do nekonečna, nenulové deriváty f(X) presne toľko.

Podobne

Kde B k- vhodné celé čísla, k = 1, 2,…, m.

Nechaj to teraz nN - akékoľvek celé číslo, ktoré spĺňa nasledujúce podmienky:

Zvážte ešte raz rovnosť (13):

V súčte vľavo sú všetky členy celé čísla a a k F(k) pri k = 1, 2,…, m deleno n, A a 0 F(0) zapnuté n nezdieľa. To znamená, že celá suma, ktorá je celým číslom, je n nedeliteľné, t.j. nie je nula. teda

Odhadnime teraz pravú stranu rovnosti (13). Je jasné, že na segmente a teda aj na tomto segmente

kde sú konštanty C 0 a C 1 nezávisia od n. To je známe

teda za dostatočne veľké n, pravá strana (13) je menšia ako jedna a rovnosť (13) nie je možná.

V roku 1882 Lindemann dokázal vetu o transcendencii mocnín čísla e s nenulovým algebraickým exponentom, čím sa dokazuje transcendencia čísla.

Veta 8 (Lindeman) [3, strana 58]. Ak je algebraické číslo a, potom je číslo transcendentálne.

Lindemannova veta nám umožňuje zostrojiť transcendentálne čísla.

Príklady:

Z Lindemannovej vety napríklad vyplýva, že číslo ln 2 - transcendentálny, pretože 2 = e V 2, a číslo 2 je algebraické a ak číslo ln 2 bolo algebraické, potom podľa lemy číslo 2 bolo transcendentálne číslo.

Vo všeobecnosti, pre akúkoľvek algebraiku, ln podľa Lindemannovej vety je transcendentálny. Ak transcendentálne, tak potom ln nie nevyhnutne transcendentálne číslo, napr V e =1

Ukázalo sa, že na strednej škole sme videli veľa transcendentálnych čísel - ln 2,ln 3,ln() a tak ďalej.

Všimnite si tiež, že transcendentálne čísla sú čísla tvaru pre akékoľvek nenulové algebraické číslo (podľa Lindemannovej-Weierstrassovej vety, ktorá je zovšeobecnením Lindemannovej vety). Napríklad čísla sú transcendentálne.

Ak sú transcendentálne, potom nie nevyhnutne transcendentálne čísla, napr.

Dôkaz Lindemannovej vety sa dá urobiť pomocou Hermitovej identity, podobne ako sa dokázala transcendencia, s určitými komplikáciami v transformáciách. Presne tak to dokázal aj samotný Lindemann. Ale táto veta sa dá dokázať aj iným spôsobom, ako to urobil sovietsky matematik A.O. Gelfond, ktorého myšlienky viedli v polovici dvadsiateho storočia k vyriešeniu Hilbertovho siedmeho problému.

V roku 1900 na II. medzinárodnom kongrese matematikov Hilbert medzi problémami, ktoré formuloval, sformuloval siedmy problém: „Ak je pravda, že čísla v tvare, kde - algebraické a - iracionálne, sú transcendentálne čísla? . Tento problém vyriešil v roku 1934 Gelfond, ktorý dokázal, že všetky takéto čísla sú skutočne transcendentálne.

Dôkaz transcendencie hodnôt exponenciálnej funkcie, navrhnutý Gelfondom, je založený na použití interpolačných metód.

Príklady:

1) Na základe Gelfondovej vety je možné napríklad dokázať, že číslo je transcendentálne, pretože ak by bolo algebraicky iracionálne, potom by číslo 19 za Gelfondovou vetou bolo transcendentálne, čo nie je pravda.

2) Nechajte a A b- iracionálne čísla. Môže číslo a b byť racionálny?

Samozrejme, pri použití Hilbertovho siedmeho problému nie je ťažké vyriešiť tento problém. V skutočnosti je toto číslo transcendentálne (keďže ide o algebraické iracionálne číslo). Ale všetky racionálne čísla sú algebraické, teda iracionálne. Na druhej strane,

Uviedli sme teda jednoducho tieto čísla: Tento problém je však možné vyriešiť bez akéhokoľvek odkazu na výsledok Gelfondu. Môžete to zdôvodniť takto: zvážte číslo. Ak je toto číslo racionálne, potom je problém vyriešený, napr a A b nájdené. Ak je to iracionálne, tak berieme, a.

Predstavili sme teda dva páry čísel a A b, a to tak, že jeden z týchto párov spĺňa uvedenú podmienku, no nevie, ktorá. Takúto dvojicu však nebolo treba predstavovať! Takže toto riešenie je v istom zmysle existencia teorém.

ktorý, keď a = 1, nám slúžil na určenie súčtu geometrickej postupnosti. Za predpokladu, že Gaussova veta je dokázaná, predpokladajme, že a = a 1 je koreň rovnice (17), takže

	) = a n + a		a n-1			a n-2		a 1 + a

Odčítaním tohto výrazu od f(x) a preskupením členov získame identitu

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − an 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Teraz pomocou vzorca (20) môžeme izolovať faktor x − a 1 z každého člena a potom ho vyňať zo zátvoriek a stupeň polynómu, ktorý zostane v zátvorkách, bude o jeden menší. Opätovným preskupením výrazov získame identitu

f(x) = (x − a1 )g(x),

kde g(x) je polynóm stupňa n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 +. . . + b1 x + b0 .

(Nezaujíma nás výpočet koeficientov označených b.) Aplikujme ďalej rovnakú úvahu na polynóm g(x). Podľa Gaussovej vety existuje koreň a2 rovnice g(x) = 0, takže

g(x) = (x − a2 )h(x),

kde h(x) je nový polynóm stupňa už n − 2. Zopakovaním týchto argumentov n − 1-krát (samozrejme z toho vyplývajúca aplikácia princípu matematickej indukcie) nakoniec dospejeme k expanzii

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ).

Z identity (22) vyplýva nielen to, že komplexné čísla a1, a2,

A sú korene rovnice (17), ale aj rovnica (17) nemá žiadne iné korene. Ak by totiž číslo y bolo koreňom rovnice (17), potom by to vyplývalo z (22).

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Ale videli sme (s. 115), že súčin komplexných čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa jeden z faktorov rovná nule. Takže jeden z faktorov y − ar sa rovná 0, t.j. y = ar, čo je potrebné stanoviť.

§ 6.

1. Definícia a otázky existencie. Algebraické číslo je akékoľvek číslo x, skutočné alebo imaginárne, ktoré spĺňa nejakú algebraickú rovnicu tvaru

an xn + an-1 xn-1 +. . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6 = 0),

130 MATEMATICKÁ NUMERICKÁ SÚSTAVA kap. II

kde čísla ai sú celé čísla. Takže napríklad číslo 2 je algebraické, pretože spĺňa rovnicu

x2 − 2 = 0.

Rovnakým spôsobom je algebraické číslo akýkoľvek koreň akejkoľvek rovnice s celočíselnými koeficientmi tretieho, štvrtého, piateho, akéhokoľvek stupňa, a bez ohľadu na to, či je vyjadrený v radikáloch alebo nie. Pojem algebraické číslo je prirodzeným zovšeobecnením pojmu racionálne číslo, ktorému zodpovedá špeciálny prípad n = 1.

Nie každé reálne číslo je algebraické. Vyplýva to z nasledujúcej Cantorovej vety: množina všetkých algebraických čísel je spočítateľná. Keďže množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná, musia nevyhnutne existovať reálne čísla, ktoré nie sú algebraické.

Naznačme jednu z metód na prepočet množiny algebraických čísel. Každá rovnica tvaru (1) je spojená s kladným celým číslom

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

ktorú budeme pre stručnosť nazývať „výška“ rovnice. Pre každú pevnú hodnotu n existuje len konečný počet rovníc tvaru (1) s výškou h. Každá z týchto rovníc má najviac n koreňov. Preto môže existovať iba konečný počet algebraických čísel generovaných rovnicami výšky h; V dôsledku toho môžu byť všetky algebraické čísla usporiadané vo forme postupnosti, pričom sa najprv uvádzajú čísla vygenerované rovnicami výšky 1, potom čísla výšky 2 atď.

Tento dôkaz, že množina algebraických čísel je spočítateľná, potvrdzuje existenciu reálnych čísel, ktoré nie sú algebraické. Takéto čísla sa nazývajú transcendentálne (z latinského transcendere - prejsť, prekonať); Euler im dal toto meno, pretože „prekračujú silu algebraických metód“.

Cantorov dôkaz existencie transcendentálnych čísel nie je konštruktívny. Teoreticky vzaté by bolo možné zostrojiť transcendentálne číslo pomocou diagonálnej procedúry vykonávanej na pomyselnom zozname desiatkových expanzií všetkých algebraických čísel; ale takýto postup nemá praktický význam a neviedol by k číslu, ktorého rozšírenie na desatinný (alebo iný) zlomok by sa skutočne dalo zapísať. Najzaujímavejšie problémy spojené s transcendentálnymi číslami zahŕňajú dokazovanie, že určité špecifické čísla (sem patria čísla p a e, o ktorých pozri s. 319–322) sú transcendentálne.

ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTÁLNE ČÍSLA

**2. Liouvilleova veta a konštrukcia transcendentálnych čísel. Dôkaz o existencii transcendentálnych čísel ešte pred Cantorom podal J. Liouville (1809–1862). Umožňuje skutočne zostaviť príklady takýchto čísel. Liouvillov dôkaz je zložitejší ako Cantorov, a to nie je prekvapujúce, pretože zostaviť príklad je vo všeobecnosti zložitejšie ako dokázať existenciu. Pri nižšie uvedenom Liouvillovom dôkaze máme na mysli len pripraveného čitateľa, hoci znalosť elementárnej matematiky úplne postačuje na pochopenie dôkazu.

Ako zistil Liouville, iracionálne algebraické čísla majú tú vlastnosť, že ich nemožno aproximovať racionálnymi číslami s veľmi vysokým stupňom presnosti, pokiaľ nie sú menovatele aproximačných zlomkov považované za extrémne veľké.

Predpokladajme, že číslo z spĺňa algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. . . + an xn = 0 (an 6 = 0),

ale nespĺňa rovnakú rovnicu nižšieho stupňa. Potom

hovoria, že samotné x je algebraické číslo stupňa n. Napríklad,

číslo z = 2 je algebraické číslo 2. stupňa, pretože spĺňa rovnicu x2 − 2 = 0√ stupňa 2, ale nespĺňa rovnicu 1. stupňa; číslo z = 3 2 je stupňa 3, pretože spĺňa rovnicu x3 − 2 = 0, ale nespĺňa (ako ukážeme v kapitole III) rovnicu nižšieho stupňa. Algebraické číslo stupňa n > 1

nemôže byť racionálne, keďže racionálne číslo z = p q spĺňa

spĺňa rovnicu qx − p = 0 stupňa 1. Každé iracionálne číslo z možno aproximovať s ľubovoľným stupňom presnosti pomocou racionálneho čísla; to znamená, že vždy môžete zadať postupnosť racionálnych čísel

p 1 , p 2 , . . .

q 1 q 2

s neobmedzene rastúcimi menovateľmi, ktorý má svoje vlastné

že

p r → z. qr

Liouvilleova veta hovorí: nech je algebraické číslo z stupňa n > 1 akékoľvek, nemožno ho aproximovať racionalizáciou.

Pre dostatočne veľkých menovateľov nerovnosť nevyhnutne platí

z − p q			> qn1+1.

MATEMATICKÁ ČÍSELNÁ SÚSTAVA

Dáme dôkaz tejto vety, ale najprv ukážeme, ako ju možno použiť na zostavenie transcendentálnych čísel. Zvážte číslo

z = a1 10−1! + a2 · 10-2! + a3 · 10-3! + . . . + dopoludnia · 10-m! + . . . = = 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

kde ai označujú ľubovoľné čísla od 1 do 9 (najjednoduchší spôsob by bolo nastaviť všetky ai na 1) a symbol n!, ako zvyčajne (pozri stranu 36), označuje 1 · 2 · . . . · n. Charakteristickou vlastnosťou desatinného rozvoja takéhoto čísla je, že sa v ňom striedajú skupiny núl s rýchlo rastúcou dĺžkou s jednotlivými číslicami inými ako nula. Označme zm konečný desatinný zlomok, ktorý získame, keď v expanzii zoberieme všetky členy do am · 10−m! vrátane. Potom dostaneme nerovnosť

Predpokladajme, že z je algebraické číslo stupňa n. Potom, za predpokladu, že v Liouvilleovej nerovnosti (3) p q = zm = 10 p m! , musíme mať

|z − zm | > 10 (n+1)m!

pre dostatočne veľké hodnoty m. Porovnanie poslednej nerovnosti s nerovnosťou (4) dáva

10 (n+1)m!		10 (m+1)!			10 (m+1)!-1

čo znamená (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 pre dostatočne veľké m. To však neplatí pre hodnoty m väčšie ako n (nech si čitateľ dá tú námahu a podrobne dokáže toto tvrdenie). Dospeli sme k rozporu. Takže číslo z je transcendentálne.

Zostáva dokázať Liouvilleovu vetu. Predpokladajme, že z je algebraické číslo stupňa n > 1 spĺňajúce rovnicu (1), takže

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + . . . + an (zm n − zn ).

Vydelením oboch strán zm − z a použitím algebraického vzorca

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

dostaneme:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm2 + zm z + z2) +. . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . + zn−1 ). (6)

ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTÁLNE ČÍSLA

Keďže zm má tendenciu k z, potom pre dostatočne veľké m sa racionálne číslo zm bude líšiť od z o menej ako jedna. Preto pre dostatočne veľké m možno urobiť nasledujúci hrubý odhad:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

Navyše, číslo M vpravo je konštantné, pretože z sa počas dôkazu nemení. Vyberme teraz m také veľké, že

zlomok z m = p m má menovateľa q m bol väčší ako M; Potom qm

|z − zm | >	|f(zm)|			|f(zm)|

|f(zm)| =							−q n
							1 p + . . . + a
Racionálne číslo zm =			nemôže byť koreňom rovnice

odvtedy by bolo možné izolovať faktor (x − zm) z polynómu f(x), a preto by z vyhovovalo rovnici stupňa nižšieho ako n. Takže f(zm) 6= 0. Ale čitateľ na pravej strane rovnosti (9) je celé číslo, a preto sa v absolútnej hodnote rovná aspoň jednej. Z porovnania vzťahov (8) a (9) teda vyplýva, že

|z − zm | >
					qn+1

presne obsah naznačenej vety.

Za posledných niekoľko desaťročí výskum možnosti aproximácie algebraických čísel racionálnymi číslami pokročil oveľa ďalej. Napríklad nórsky matematik A. Thue (1863–1922) zistil, že v Liouvilleovej nerovnosti (3) možno exponent n + 1 nahradiť menším exponentom n 2 + 1.

K. L. Siegel ukázal, že je možné vziať ešte menší (ešte menší

pre väčšie n) je ukazovateľ 2 n.

Transcendentálne čísla boli vždy témou, ktorá priťahovala pozornosť matematikov. Ale až do relatívne nedávnej doby bolo medzi číslami, ktoré sú samy osebe zaujímavé, len veľmi málo známych, ktorých transcendentálny charakter bol stanovený. (Z transcendencie čísla p, o ktorom bude reč v kapitole III, vyplýva, že nie je možné kvadratúrovať kruh pomocou pravítka a kružidla.) David Hilbert vo svojom prejave na medzinárodnom matematickom kongrese v Paríži v roku 1900 navrhol tridsať matematických

ALGEBRA množín

problémy, ktoré umožňovali jednoduchú formuláciu, niektoré dokonca celkom elementárne a populárne, z ktorých ani jeden nebol nielen vyriešený, ale ani sa nezdal byť vyriešený prostriedkami vtedajšej matematiky. Tieto „Hilbertove problémy“ mali silný stimulačný vplyv na celé nasledujúce obdobie rozvoja matematiky. Takmer všetky boli postupne vyriešené a ich riešenie bolo v mnohých prípadoch spojené s jasne vyjadrenými úspechmi v zmysle vypracovania všeobecnejších a hlbších metód. Jeden z problémov, ktorý sa zdal dosť beznádejný, bol

dôkaz, že číslo

je transcendentálny (alebo aspoň iracionálny). Počas troch desaťročí nebol z nikoho ani náznak takého prístupu k problematike, ktorý by otváral nádej na úspech. Napokon Siegel a nezávisle od neho aj mladý ruský matematik A. Gelfond objavili nové metódy na dokázanie transcendencie mnohých

čísla, ktoré sú dôležité v matematike. Najmä bolo ustanovené

transcendencia nielen Hilbertovho čísla 2 2, ale aj celej pomerne rozsiahlej triedy čísel tvaru ab, kde a je algebraické číslo odlišné od 0 a 1 a b je iracionálne algebraické číslo.

DODATOK KU KAPITOLE II

Algebra množín

1. Všeobecná teória. Pojem triedy, zbierky alebo množiny objektov je jedným z najzákladnejších v matematike. Množina je definovaná nejakou vlastnosťou ("atribútom") A, ktorú musí mať alebo nemá mať každý predmetný objekt; tie objekty, ktoré majú vlastnosť A tvoria množinu A. Ak teda uvažujeme celé čísla a vlastnosť A je „byť prvočíslo“, potom zodpovedajúca množina A pozostáva zo všetkých prvočísel 2, 3, 5, 7, . . .

Matematická teória množín vychádza zo skutočnosti, že z množín možno pomocou určitých operácií vytvárať nové množiny (rovnako ako sa nové čísla získavajú z čísel pomocou operácií sčítania a násobenia). Štúdium operácií na množinách je predmetom „množinovej algebry“, ktorá má veľa spoločného s bežnou numerickou algebrou, hoci sa od nej v niektorých smeroch líši. Skutočnosť, že algebraické metódy možno použiť na štúdium nenumerických objektov, ako sú množiny, ilustruje napr.

ALGEBRA množín

vytvára väčšiu zhodnosť myšlienok v modernej matematike. Nedávno sa ukázalo, že množinová algebra vrhá nové svetlo na mnohé oblasti matematiky, napríklad teóriu miery a teóriu pravdepodobnosti; je užitočná aj pri systematizácii matematických pojmov a objasňovaní ich logických súvislostí.

V nasledujúcom budem označovať určitú konštantnú množinu objektov, ktorých povaha je indiferentná a ktorú môžeme nazvať univerzálnou množinou (alebo vesmírom uvažovania) a

A, B, C,. . . budú nejaké podmnožiny I. Ak I je množina všetkých prirodzených čísel, potom A povedzme môže označovať množinu všetkých párnych čísel, B množinu všetkých nepárnych čísel, C množinu všetkých prvočísel atď. Ak I označuje množinu všetkých bodov v rovine, potom A môže byť množina bodov vnútri nejakej kružnice, B môže byť množina bodov v inej kružnici atď. prázdna“ množina, ktorá neobsahuje žiadne prvky. Cieľom takéhoto umelého rozšírenia je zachovať pozíciu, že každej vlastnosti A zodpovedá určitá množina prvkov z I, ktoré túto vlastnosť majú. Ak je A všeobecne platná vlastnosť, ktorej príkladom (v prípade čísel) je vlastnosť splnenia triviálnej rovnosti x = x, potom zodpovedajúcou podmnožinou I bude samotné I, keďže takúto vlastnosť má každý prvok; na druhej strane, ak je A nejaký druh vnútorne protichodnej vlastnosti (ako x 6 = x), potom zodpovedajúca podmnožina neobsahuje vôbec žiadne prvky, je „prázdna“ a je označená symbolom.

Hovoria, že množina A je podmnožinou množiny B, v skratke „A je v B“ alebo „B obsahuje A“, ak v množine A nie je prvok, ktorý by nebol tiež v množine B. vzťah zodpovedá zápisu

A B, alebo B A.

Napríklad množina A všetkých celých čísel deliteľných 10 je podmnožinou množiny B všetkých celých čísel deliteľných 5, keďže každé číslo deliteľné 10 je deliteľné aj 5. Vzťah A B nevylučuje vzťah B A. Ak tak toto aj tamto

To znamená, že každý prvok A je zároveň prvkom B a naopak, takže množiny A a B obsahujú presne tie isté prvky.

Vzťah A B medzi množinami v mnohom pripomína vzťah a 6 b medzi číslami. Predovšetkým si všimneme nasledovné

ALGEBRA množín

nasledujúce vlastnosti tohto vzťahu:

1) A.

2) Ak A B a B A, potom A = B.

3) Ak A B a B C, potom A C.

Z tohto dôvodu sa vzťah A B niekedy nazýva „relácia poradia“. Hlavný rozdiel medzi uvažovaným vzťahom a vzťahom a 6 b medzi číslami je v tom, že medzi akýmikoľvek dvoma danými (reálnymi) číslami a a b je nevyhnutne splnený aspoň jeden zo vzťahov a 6 b alebo b 6 a, zatiaľ čo pre vzťah A B medzi množinami je podobné tvrdenie nepravdivé. Napríklad, ak A je množina pozostávajúca z čísel 1, 2, 3,

a B je množina pozostávajúca z čísel 2, 3, 4,

potom neplatí vzťah A B ani vzťah B A. Z tohto dôvodu hovoria, že podmnožiny A, B, C, . . . množiny I sú „čiastočne usporiadané“, zatiaľ čo reálne čísla a, b, c, . . .

vytvoriť „kompletne objednanú“ sadu.

Všimnite si, mimochodom, z definície vzťahu A B vyplýva, že bez ohľadu na podmnožinu A množiny I,

Vlastnosť 4) sa môže zdať trochu paradoxná, ale ak sa nad tým zamyslíte, logicky presne zodpovedá presnému významu definície znaku. V skutočnosti by došlo len k porušeniu vzťahu A

V ak prázdna množina obsahovala prvok, ktorý by nebol obsiahnutý v A; ale keďže prázdna množina neobsahuje vôbec žiadne prvky, nemôže to tak byť, bez ohľadu na to, čo je A.

Teraz si zadefinujeme dve operácie na množinách, ktoré majú formálne veľa algebraických vlastností sčítania a násobenia čísel, hoci svojím vnútorným obsahom sú úplne odlišné od týchto aritmetických operácií. Nech A a B sú nejaké dve množiny. Zjednotením alebo „logickým súčtom“ A a B sa rozumie súbor pozostávajúci z prvkov obsiahnutých buď v A alebo

V B (vrátane prvkov obsiahnutých v A aj B). Táto sada je označená ako A + B. 1 „Priesečníkom“ alebo „logickým súčinom“ A a B sa rozumie množina pozostávajúca z prvkov obsiahnutých v A aj B. Táto množina sa označuje ako AB.2

Medzi dôležité algebraické vlastnosti operácií A + B a AB uvádzame nasledovné. Čitateľ si bude môcť skontrolovať ich platnosť na základe definície samotných operácií:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B) (A + C).
	Vzťah A B je ekvivalentný každému z týchto dvoch vzťahov

Overenie všetkých týchto zákonov je vecou tej najzákladnejšej logiky. Napríklad pravidlo 10) uvádza, že množina prvkov obsiahnutých v A alebo A je presne množina A; pravidlo 12) uvádza, že množina tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A a súčasne obsiahnuté buď v B, alebo v C, sa zhoduje so množinou prvkov, ktoré sú buď obsiahnuté súčasne v A a B, alebo obsiahnuté súčasne v A a C Logické uvažovanie používané pri dokazovaní pravidiel tohto druhu je vhodne ilustrované, ak súhlasíme so zobrazením množín A, B, C, . . . v podobe nejakých figúrok v rovine a budeme veľmi opatrní, aby sme nepremeškali niektorú z logických možností, ktoré sa vynárajú, keď ide o prítomnosť spoločných prvkov dvoch množín alebo naopak prítomnosť v jednej množine prvkov, ktoré sú nie sú obsiahnuté v druhom.

ALGEBRA množín

Čitateľ nepochybne upozornil na skutočnosť, že zákony 6), 7), 8), 9) a 12) sú navonok totožné so známymi komutatívnymi, asociatívnymi a distributívnymi zákonmi bežnej algebry. Z toho vyplýva, že všetky pravidlá bežnej algebry, ktoré z týchto zákonov vyplývajú, platia aj v množinovej algebre. Naproti tomu zákony 10), 11) a 13) nemajú v bežnej algebre analógy a dávajú množinovej algebre jednoduchšiu štruktúru. Napríklad binomický vzorec v množinovej algebre sa redukuje na najjednoduchšiu rovnosť

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

čo vyplýva zo zákona 11). Zákony 14), 15) a 17) hovoria, že vlastnosti množín a I vo vzťahu k operáciám zjednotenia a prieniku množín sú veľmi podobné vlastnostiam čísel 0 a 1 vo vzťahu k operáciám numerických akcií sčítania a násobenie. Ale zákon 16) nemá v numerickej algebre obdobu.

Zostáva definovať ešte jednu operáciu v množinovej algebre. Nech A je nejaká podmnožina univerzálnej množiny I. Potom doplnok A v I chápeme ako množinu všetkých prvkov I, ktoré nie sú obsiahnuté v A. Pre túto množinu zavedieme označenie A0. Takže, ak I je množina všetkých prirodzených čísel a A je množina všetkých prvočísel, potom A0 je množina pozostávajúca zo všetkých zložených čísel a čísla 1. Operácia presunu z A do A0, pre ktorú existuje žiadny analóg v bežnej algebre, má nasledujúce vlastnosti:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) Pomer A B je ekvivalentný pomeru B 0 A0 .

25) (A + B)o = A0BO. 26) (AB)o = A0 + B0.

Overenie týchto vlastností opäť nechávame na čitateľa.

Zákony 1)–26) sú základom množinovej algebry. Majú pozoruhodnú vlastnosť „duality“ v nasledujúcom zmysle:

Ak v niektorom zo zákonov 1)–26) nahradíme zodpovedajúci

(pri každom ich výskyte), potom je výsledkom opäť jeden z tých istých zákonov. Napríklad zákon 6) prechádza do zákona 7), 12) do 13), 17) do 16) atď. Z toho vyplýva, že každej vete, ktorú možno odvodiť zo zákonov 1)–26) zodpovedá iná, jej „dvojka“ teorém, získaný z prvého pomocou naznačených permutácií symbolov. V skutočnosti od dôkazu

Ch. II ALGEBRA množín 139

prvá veta pozostáva zo sekvenčnej aplikácie (v rôznych štádiách argumentácie) niektorých zákonov 1–26), potom aplikácia v zodpovedajúcich štádiách „duálnych“ zákonov bude predstavovať dôkaz „duálnej“ vety. (Podobnú „dualitu“ v geometrii nájdete v kapitole IV.)

2. Aplikácia na matematickú logiku. Overenie zákonov množinovej algebry bolo založené na analýze logického významu vzťahu A B a operácií A + B, AB a A0. Teraz môžeme tento proces zvrátiť a považovať zákony 1)–26) za základ pre „algebru logiky“. Buďme presnejší: tú časť logiky, ktorá sa týka množín, alebo, čo je v podstate to isté, vlastností uvažovaných objektov, možno zredukovať na formálny algebraický systém založený na zákonoch 1)–26). Logický „konvenčný vesmír“ definuje množinu I; každá vlastnosť A definuje množinu A pozostávajúcu z tých objektov v I, ktoré majú túto vlastnosť. Pravidlá na preklad bežnej logickej terminológie do jazyka množín sú jasné z

nasledujúce príklady:
"Ani A ani B"			(A + B)0, alebo, čo je to isté, A0 B0
"Nie je pravda, že A aj B"			(AB)0 alebo, čo je to isté, A0 + B0
je B", alebo
"Ak A, tak B"
"Od A nasleduje B"
"Niektoré A je B"
"Nie A je B"			AB =
“Niektoré A nie je B”			AB0 6=
"Neexistuje žiadne A"

Z hľadiska množinovej algebry má sylogizmus „Barbara“ označujúci, že „ak každé A je B a každé B je C, potom každé A je C“ jednoduchú formu:

3) Ak A B a B C, potom A C.

Podobne „zákon protirečenia“, ktorý hovorí, že „predmet nemôže mať a zároveň nemať nejakú vlastnosť“, je napísaný takto:

20) AA 0 = ,

A „Zákon vylúčeného stredu“, ktorý hovorí, že „predmet musí mať alebo nemusí mať nejakú vlastnosť“, je napísaný:

19) A + Ao = I.

ALGEBRA množín

S tou časťou logiky, ktorá je vyjadrená pomocou symbolov +, · a 0, možno teda zaobchádzať ako s formálnym algebraickým systémom v súlade so zákonmi 1)–26). Na základe spojenia logickej analýzy matematiky a matematickej analýzy logiky vznikla nová disciplína - matematická logika, ktorá je v súčasnosti v procese prudkého rozvoja.

Z axiomatického hľadiska si zasluhuje pozornosť pozoruhodný fakt, že tvrdenia 1)–26) spolu so všetkými ostatnými vetami množinovej algebry možno logicky odvodiť z nasledujúcich troch rovníc:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0)0 + (A0 + B)0 = A.

Z toho vyplýva, že množinovú algebru možno skonštruovať ako čisto deduktívnu teóriu, podobne ako euklidovská geometria, na základe týchto troch ustanovení, akceptovaných ako axiómy. Ak sú tieto axiómy prijaté, potom operácia AB a vzťah A B sú definované v podmienkach A + B a A0:

	označuje množinu (A0 + B0 )0,
	B znamená, že A + B = B.

Úplne iný druh príkladu matematického systému, v ktorom sú splnené všetky formálne zákony množinovej algebry, je daný sústavou ôsmich čísel 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tu a + b označuje , podľa

definícia, spoločný najmenší násobok aab, ab je najväčší spoločný deliteľ aab, ab je výrok „b je delené a“ a a0 je číslo 30 a. Su-

Existencia takýchto príkladov viedla k štúdiu všeobecných algebraických systémov, ktoré spĺňajú zákony 27). Takéto systémy sa nazývajú „Booleovské algebry“ podľa Georga Boolea (1815–1864), anglického matematika a logika, ktorého kniha An Investigation of the Laws of Thought vyšla v roku 1854.

3. Jedna z aplikácií teórie pravdepodobnosti. Množinová algebra úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti a umožňuje nám pozrieť sa na ňu v novom svetle. Uvažujme o najjednoduchšom príklade: predstavte si experiment s konečným počtom možných výsledkov, ktoré sú všetky považované za „rovnako možné“. Experiment môže napríklad pozostávať z náhodného ťahania karty z dobre zamiešaného plného balíčka. Ak množinu všetkých výsledkov experimentu označíme I a A nejakú podmnožinu I, potom pravdepodobnosť, že výsledok experimentu bude patriť do podmnožiny A, je definovaná ako pomer

p(A) = počet prvkov A . počet prvkov I

ALGEBRA množín

Ak súhlasíme, že počet prvkov v nejakej množine A označíme n(A), potom posledná rovnosť môže mať tvar

V našom príklade, za predpokladu, že A je podmnožinou palíc, dostaneme
kde n(A) = 13, n(I) = 52 a p(A) =

Myšlienky množinovej algebry sa odhaľujú pri výpočte pravdepodobností, keď je potrebné, poznať pravdepodobnosti niektorých množín, vypočítať pravdepodobnosti iných. Napríklad, ak poznáte pravdepodobnosti p(A), p(B) a p(AB), môžete vypočítať pravdepodobnosť p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Dokázať to nebude ťažké. Máme

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

keďže prvky obsiahnuté súčasne v A a B, teda prvky AB, sa pri výpočte súčtu n(A) + n(B) počítajú dvakrát, a preto je potrebné od tohto súčtu odpočítať n(AB), aby bolo možné vypočítať n(A + B) bolo vytvorené správne. Potom vydelením oboch strán rovnosti n(I) dostaneme vzťah (2).

Zaujímavejší vzorec získame, ak hovoríme o troch množinách A, B, C z I. Pomocou vzťahu (2) máme

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Zákon (12) z predchádzajúceho odseku nám dáva (A + B)C = AC + BC. To znamená:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Dosadením hodnoty p[(A + B)C] a hodnoty p(A + B) prevzatej z (2) do predtým získaného vzťahu dostaneme vzorec, ktorý potrebujeme:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Ako príklad zvážte nasledujúci experiment. Tri čísla 1, 2, 3 sú napísané v ľubovoľnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom (z hľadiska číslovania) mieste? Nech A je množina permutácií, v ktorej je číslo 1 na prvom mieste, B množina permutácií, v ktorej je číslo 2 na druhom mieste, C množina permutácií, v ktorej je číslo 3 na treťom mieste. Musíme vypočítať p(A + B + C). To je jasné

p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13;

skutočne, ak je akákoľvek číslica na správnom mieste, potom existujú dve možnosti, ako zmeniť usporiadanie zvyšných dvoch číslic z celkového počtu 3 · 2 · 1 = 6 možných permutácií troch číslic. ďalej

Cvičenie. Odvoďte vhodný vzorec pre p(A + B + C + D) a aplikujte ho na experiment so 4 číslicami. Zodpovedajúca pravdepodobnosť je 5 8 = 0,6250.

Všeobecný vzorec pre kombináciu n množín je

p(A1 + A2 + .. + An) =
	p(Ai) -
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... An), (4)
kde sú postavy				označujú súčet všetkých možných

kombinácie obsahujúce jeden, dva, tri, . . . , (n − 1) písmená z A1 , A2 , . . .

An. Tento vzorec možno stanoviť matematickou indukciou – rovnakým spôsobom, akým bol vzorec (3) odvodený od vzorca (2).

Zo vzorca (4) môžeme usúdiť, že ak je n číslic 1, 2, 3, . . . , n sú napísané v ľubovoľnom poradí, potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom mieste, sa rovná

pn = 1 -

a pred posledným členom je znamienko + alebo − v závislosti od toho, či je n párne alebo nepárne. Najmä pre n = 5 sa táto pravdepodobnosť rovná

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

V kapitole VIII uvidíme, že keď sa n blíži k nekonečnu, výraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ±n!

smeruje k hranici 1 e, ktorej hodnota s presnosťou na päť desatinných miest,

rovná sa 0,36788. Keďže zo vzorca (5) je zrejmé, že pn = 1 − Sn, vyplýva, že ako n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.