Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.
Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.
dôkaz:
- Daný trojuholník ABC.
- Cez vrchol B vedieme priamku DK rovnobežnú so základňou AC.
- \uhol CBK= \uhol C ako vnútorný priečne ležiaci s rovnobežnými DK a AC a sečnicou BC.
- \angle DBA = \angle Vnútorná priečna ležiaca s DK \paralelná AC a sečna AB. Uhol DBK je obrátený a rovný
- \uhol DBK = \uhol DBA + \uhol B + \uhol CBK
- Keďže rozvinutý uhol sa rovná 180 ^\circ , a \uhol CBK = \uhol C a \uhol DBA = \uhol A , dostaneme 180 ^\circ = \uhol A + \uhol B + \uhol C.
Veta je dokázaná
Dôsledky z vety o súčte uhlov trojuholníka:
- Súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka sa rovná 90°.
- V rovnoramennom pravouhlom trojuholníku je každý ostrý uhol rovný 45°.
- V rovnostrannom trojuholníku je každý uhol rovnaký 60°.
- V akomkoľvek trojuholníku sú buď všetky uhly ostré, alebo dva uhly sú ostré a tretí je tupý alebo pravý.
- Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.
Veta o vonkajšom uhle trojuholníka
Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch zostávajúcich uhlov trojuholníka, ktoré nesusedia s týmto vonkajším uhlom
dôkaz:
- Je daný trojuholník ABC, kde BCD je vonkajší uhol.
- \uhol BAC + \uhol ABC +\uhol BCA = 180^0
- Z rovnosti uhol \uhol BCD + \uhol BCA = 180^0
- Dostaneme \uhol BCD = \uhol BAC+\uhol ABC.
Predbežná informácia
Najprv sa pozrime priamo na koncept trojuholníka.
Definícia 1
Trojuholník nazveme geometrický útvar, ktorý tvoria tri body navzájom spojené úsečkami (obr. 1).
Definícia 2
V rámci Definície 1 budeme body nazývať vrcholy trojuholníka.
Definícia 3
V rámci definície 1 sa segmenty budú nazývať strany trojuholníka.
Je zrejmé, že každý trojuholník bude mať 3 vrcholy a tri strany.
Veta o súčte uhlov v trojuholníku
Zaveďme a dokážme jednu z hlavných teorém súvisiacich s trojuholníkmi, a to vetu o súčte uhlov v trojuholníku.
Veta 1
Súčet uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je $180^\circ$.
Dôkaz.
Zoberme si trojuholník $EGF$. Dokážme, že súčet uhlov v tomto trojuholníku sa rovná $180^\circ$. Urobme dodatočnú konštrukciu: nakreslite priamku $XY||EG$ (obr. 2)
Keďže priamky $XY$ a $EG$ sú rovnobežné, potom $∠E=∠XFE$ ležia priečne na sečne $FE$ a $∠G=∠YFG$ ležia priečne na sečne $FG$
Uhol $XFY$ bude obrátený, a preto sa rovná $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Preto
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Veta bola dokázaná.
Veta o vonkajšom uhle trojuholníka
Ďalšia veta o súčte uhlov pre trojuholník môže byť považovaná za vetu o vonkajšom uhle. Najprv si predstavme tento pojem.
Definícia 4
Vonkajším uhlom trojuholníka budeme nazývať uhol, ktorý bude susediť s ľubovoľným uhlom trojuholníka (obr. 3).
Uvažujme teraz teorém priamo.
Veta 2
Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia.
Dôkaz.
Uvažujme ľubovoľný trojuholník $EFG$. Nech má vonkajší uhol trojuholníka $FGQ$ (obr. 3).
Podľa vety 1 budeme mať $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, teda,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Keďže uhol $FGQ$ je vonkajší, susedí s uhlom $∠G$
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Veta bola dokázaná.
Vzorové úlohy
Príklad 1
Nájdite všetky uhly trojuholníka, ak je rovnostranný.
Pretože všetky strany rovnostranného trojuholníka sú rovnaké, budeme mať za to, že všetky uhly v ňom sú tiež rovnaké. Označme ich miery pomocou $α$.
Potom podľa vety 1 dostaneme
$α+α+α=180^\circ$
Odpoveď: všetky uhly sa rovnajú $60^\circ$.
Príklad 2
Nájdite všetky uhly rovnoramenného trojuholníka, ak sa jeden z jeho uhlov rovná $100^\circ$.
Uveďme nasledujúce označenie uhlov v rovnoramennom trojuholníku:
Keďže v podmienke nie je presne dané, ktorému uhlu $100^\circ$ sa rovná, sú možné dva prípady:
Uhol rovný $100^\circ$ je uhol v základni trojuholníka.
Pomocou vety o uhloch na základni rovnoramenného trojuholníka získame
$∠2=∠3=100^\circ$
Ale potom bude len ich súčet väčší ako $180^\circ$, čo je v rozpore s podmienkami vety 1. To znamená, že tento prípad nenastane.
Uhol rovný $100^\circ$ je uhol medzi rovnakými stranami, tj
Po včerajšku:
Poďme sa hrať s mozaikou podľa rozprávky o geometrii:
Kedysi boli trojuholníky. Tak podobné, že sú len kópiami jeden druhého.
Nejako stáli vedľa seba v priamom rade. A keďže boli všetci rovnako vysokí -
potom boli ich vrcholy na rovnakej úrovni pod vládcom:
Trojuholníky milovali hádzať sa a stáť na hlavách. Vyliezli do horného radu a postavili sa na roh ako akrobati.
A my už vieme - keď stoja s vrcholmi presne v rade,
potom sa aj ich chodidlá riadia pravítkom - veď ak je niekto rovnako vysoký, tak je rovnako vysoký aj dolu hlavou!
Boli vo všetkom rovnakí – mali rovnakú výšku a rovnaké podrážky,
a šmykľavky po stranách – jedna strmšia, druhá plochejšia – majú rovnakú dĺžku
a majú rovnaký sklon. No proste dvojičky! (iba v inom oblečení, každý má svoj kúsok skladačky).
- Kde majú trojuholníky rovnaké strany? Kde sú rohy rovnaké?
Trojuholníky sa postavili na hlavu, stáli tam a rozhodli sa skĺznuť a ľahnúť si do spodného radu.
Šmýkali sa a šmýkali dolu kopcom; ale ich snímky sú rovnaké!
Zapadli teda presne medzi spodné trojuholníky, bez medzier a nikto nikoho neodstrčil.
Poobzerali sme sa po trojuholníkoch a všimli sme si zaujímavú vlastnosť.
Kdekoľvek sa ich uhly stretnú, všetky tri uhly sa určite stretnú:
najväčší je „hlavový uhol“, najostrejší uhol a tretí, stredne najväčší uhol.
Zviazali dokonca farebné stužky, aby bolo hneď zrejmé, ktorá je ktorá.
A ukázalo sa, že tri uhly trojuholníka, ak ich skombinujete -
vytvorte jeden veľký uhol, „otvorený roh“ – ako obálka otvorenej knihy,
_______________________O ____________________
nazýva sa to otočený uhol.
Akýkoľvek trojuholník je ako pas: tri uhly sa spolu rovnajú rozvinutému uhlu.
Niekto ti zaklope na dvere: - klop-klop, ja som trojuholník, nechaj ma prenocovať!
A ty mu povieš - Ukážte mi súčet uhlov v rozšírenej forme!
A hneď je jasné, či ide o skutočný trojuholník alebo podvodníka.
Overenie zlyhalo - Otočte o stoosemdesiat stupňov a choďte domov!
Keď hovoria „otočte sa o 180°“, znamená to otočiť sa dozadu a
ísť opačným smerom.
To isté v známejších výrazoch, bez „kedysi“:
Urobme rovnobežnú transláciu trojuholníka ABC pozdĺž osi OX
na vektor AB rovná dĺžke základne AB.
Priamka DF prechádzajúca vrcholmi C a C 1 trojuholníkov
rovnobežne s osou OX v dôsledku skutočnosti, že kolmá na os OX
úsečky h a h 1 (výšky rovnakých trojuholníkov) sú rovnaké.
Základňa trojuholníka A 2 B 2 C 2 je teda rovnobežná so základňou AB
a je rovná dĺžke (keďže vrchol C 1 je posunutý voči C o hodnotu AB).
Trojuholníky A 2 B 2 C 2 a ABC sú na troch stranách rovnaké.
Preto uhly ∠A 1 ∠B ∠C 2 zvierajúce priamy uhol sa rovnajú uhlom trojuholníka ABC.
=> Súčet uhlov trojuholníka je 180°
Pri pohyboch – „prekladoch“ je takzvaný dôkaz kratší a jasnejší,
kúskom mozaiky rozumie aj dieťa.
Ale tradičná škola:
založené na rovnosti vnútorných priečne ležiacich uhlov odrezaných na rovnobežných líniách
cenné v tom, že dáva predstavu o tom, prečo je to tak,
Prečo? súčet uhlov trojuholníka sa rovná opačnému uhlu?
Pretože inak by rovnobežné čiary nemali vlastnosti známe nášmu svetu.
Vety fungujú oboma smermi. Z axiómy rovnobežných priamok vyplýva
rovnosť priečne ležiacich a vertikálnych uhlov az nich - súčet uhlov trojuholníka.
Ale platí to aj naopak: pokiaľ sú uhly trojuholníka 180°, existujú rovnobežné čiary
(tak, že cez bod, ktorý neleží na priamke, možno nakresliť jedinečnú priamku || danej).
Ak sa jedného dňa na svete objaví trojuholník, ktorého súčet uhlov sa nerovná rozvinutému uhlu -
potom paralelné prestanú byť paralelné, celý svet bude ohnutý a pokrivený.
Ak sú pruhy s trojuholníkovými vzormi umiestnené nad sebou -
celé pole môžete pokryť opakujúcim sa vzorom, ako je podlaha s dlaždicami:
na takejto mriežke môžete obkresľovať rôzne tvary - šesťuholníky, kosoštvorce,
hviezdicové mnohouholníky a získajte rôzne parkety
Obkladanie lietadla parketami nie je len zábavná hra, ale aj relevantný matematický problém:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Pretože každý štvoruholník je obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec atď.,
môže byť zložený z dvoch trojuholníkov,
respektíve súčet uhlov štvoruholníka: 180° + 180° = 360°
Rovnaké rovnoramenné trojuholníky sa skladajú do štvorcov rôznymi spôsobmi.
Malý štvorec z 2 častí. Priemer 4. A najväčší z 8.
Koľko figúrok je na výkrese, ktorý pozostáva zo 6 trojuholníkov?
