sínusčísla a nazývaná ordináta bodu znázorňujúceho toto číslo na číselnom kruhu. Sínus uhla v a radián sa nazýva sínus čísla a.

Sinus- číselná funkcia X. jej domény

Sínusový rozsah- segment z -1 predtým 1 , pretože ľubovoľné číslo tohto segmentu na osi y je priemetom nejakého bodu na kružnici, ale žiadny bod mimo tohto segmentu nie je priemetom žiadneho z týchto bodov.

Sínusová perióda

Sínusové znamenie:

1. sínus je nula v , kde n- akékoľvek celé číslo;

2. sínus je kladný v , kde n- akékoľvek celé číslo;

3. sínus je záporný pri

Kde n- ľubovoľné celé číslo.

Sinus- funkcia zvláštny X a -X, potom ich súradnice - sínusy - budú tiež opačné. T.j pre hocikoho X.

1. Sínus sa zvyšuje na segmentoch , kde n- ľubovoľné celé číslo.

2. Sínus na segmente klesá , kde n- ľubovoľné celé číslo.

o ;

pri .

Kosínus

kosínusčísla a sa nazýva úsečka bodu znázorňujúceho toto číslo na číselnom kruhu. Kosínus uhla v a radián sa nazýva kosínus čísla a.

Kosínus je číselná funkcia. jej domény- množina všetkých čísel, pretože pre každé číslo môžete nájsť ordinátu bodu, ktorý ho predstavuje.

Rozsah kosínusu- segment z -1 predtým 1 , pretože ľubovoľné číslo tohto segmentu na osi x je priemetom nejakého bodu na kružnici, ale žiadny bod mimo tohto segmentu nie je priemetom žiadneho z týchto bodov.

kosínusové obdobie rovná sa . Koniec koncov, zakaždým, keď sa poloha bodu reprezentujúceho číslo presne opakuje.

Kosínusový znak:

1. kosínus je nula v , kde n- akékoľvek celé číslo;

2. kosínus je kladný pri , kde n- akékoľvek celé číslo;

3. kosínus je záporný pri , kde n- ľubovoľné celé číslo.

Kosínus- funkcia dokonca. Po prvé, doménou definície tejto funkcie je množina všetkých čísel, čo znamená, že je symetrická vzhľadom na počiatok. A po druhé, ak odložíme dve opačné čísla od začiatku: X a -X, potom sa ich úsečky - kosínusy - budú rovnať. T.j

pre hocikoho X.

1. Kosínus sa zvyšuje na segmentoch , kde n- ľubovoľné celé číslo.

2. Kosínus na segmentoch klesá , kde n- ľubovoľné celé číslo.

v ;

pri .

Tangenta

dotyčnicačíslo je pomer sínusu tohto čísla ku kosínusu tohto čísla:.

dotyčnica uhol v a radián sa nazýva tangens čísla a.

Tangenta je číselná funkcia. jej domény- množina všetkých čísel, ktorých kosínus sa nerovná nule, pretože neexistujú žiadne iné obmedzenia na definíciu dotyčnice. A keďže kosínus je nula v , potom , kde .

Tangentový rozsah

Dotykové obdobie X(nie sú rovnaké), líšia sa od seba , a nakreslite cez ne priamku, potom táto priamka prejde cez počiatok a v určitom bode pretína líniu dotyčníc t. Ukazuje sa teda, že číslo je perióda dotyčnice.

Dotykové znamenie: dotyčnica je pomer sínusu ku kosínusu. Takže on

1. je nula, keď je sínus nula, teda keď , kde n- ľubovoľné celé číslo.

2. je kladné, keď sínus a kosínus majú rovnaké znamienka. To sa deje len v prvom a treťom štvrťroku, teda kedy , kde a- ľubovoľné celé číslo.

3. je záporné, keď sínus a kosínus majú rôzne znamienka. To sa deje až v druhom a štvrtom štvrťroku, teda kedy , kde a- ľubovoľné celé číslo.

Tangenta- funkcia zvláštny. Po prvé, doména definície tejto funkcie je symetrická vzhľadom na pôvod. a po druhé, . V dôsledku nepárnosti sínusu a párnosti kosínusu sa čitateľ výsledného zlomku rovná a jeho menovateľ sa rovná, čo znamená, že tento zlomok sa sám rovná.

Tak sa ukázalo, že.

znamená, dotyčnica sa zvyšuje v každej sekcii svojej definičnej domény, teda na všetkých intervaloch formulára , kde a- ľubovoľné celé číslo.

Kotangens

Kotangensčíslo je pomer kosínusu tohto čísla k sínusu tohto čísla: . Kotangens uhol v a radián sa nazýva kotangens čísla a. Kotangens je číselná funkcia. jej domény- množina všetkých čísel, ktorých sínus sa nerovná nule, pretože neexistujú žiadne iné obmedzenia na definíciu kotangensu. A keďže sínus je nula v , potom , kde

Kotangens rozsah je množina všetkých reálnych čísel.

Kotangentné obdobie rovná sa . Ak si totiž vezmeme akékoľvek dve možné hodnoty X(nie sú rovnaké), líšia sa od seba , a nakreslite cez ne priamku, potom táto priamka prejde počiatkom a pretína čiaru kotangens v určitom bode t. Ukazuje sa teda, že číslo je perióda kotangensu.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Počítanie uhlov na trigonometrickom kruhu.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Je to takmer rovnaké ako v predchádzajúcej lekcii. Sú tam osi, kruh, uhol, všetko je čína. Pridané čísla štvrtín (v rohoch veľkého štvorca) - od prvého do štvrtého. A potom zrazu kto nevie? Ako vidíte, štvrtiny (nazývajú sa aj krásnym slovom "kvadranty") sú očíslované proti smeru hodinových ručičiek. Pridané hodnoty uhlov na osiach. Všetko je jasné, bez ozdôb.

A pridal zelenú šípku. S plusom. čo tým myslí? Dovoľte mi pripomenúť, že pevná strana rohu vždy pribitý na kladnú os OH. Ak teda skrútime pohyblivú stranu rohu plus šípka, t.j. vo vzostupných štvrťročných číslach, uhol sa bude považovať za kladný. Napríklad obrázok ukazuje kladný uhol +60°.

Ak odložíme rohy v opačnom smere, v smere hodinových ručičiek, uhol sa bude považovať za negatívny. Umiestnite kurzor myši na obrázok (alebo sa dotknite obrázka na tablete), uvidíte modrú šípku s mínusom. Toto je smer záporného čítania uhlov. Ako príklad je znázornený záporný uhol (-60°). A tiež uvidíte, ako sa zmenili čísla na osiach ... Preložil som ich aj do negatívnych uhlov. Číslovanie kvadrantov sa nemení.

Tu zvyčajne začínajú prvé nedorozumenia. Ako to!? A ak sa negatívny uhol na kruhu zhoduje s pozitívnym!? A vo všeobecnosti sa ukazuje, že rovnakú polohu pohyblivej strany (alebo bodu na číselnom kruhu) možno nazvať negatívnym aj pozitívnym uhlom!?

Áno. presne tak. Povedzme, že kladný uhol 90 stupňov zaberá kruh presne to isté polohu ako záporný uhol mínus 270 stupňov. Kladný uhol, napríklad +110°, trvá presne to isté záporný uhol je -250°.

Žiaden problém. Všetko je správne.) Výber kladného alebo záporného výpočtu uhla závisí od podmienky zadania. Ak podmienka nič nehovorí obyčajný text o znamienku uhla (napríklad „určte najmenší pozitívne uhol" atď.), potom pracujeme s hodnotami, ktoré sú pre nás výhodné.

Výnimkou (a ako bez nich?!) sú trigonometrické nerovnosti, ale tam si tento trik osvojíme.

A teraz otázka pre vás. Ako zistím, že poloha uhla 110° je rovnaká ako poloha uhla -250°?
Naznačím, že je to kvôli plnému obratu. V 360°... Nie je to jasné? Potom nakreslíme kruh. Kreslíme na papier. Označenie rohu o 110°. A veriť koľko zostáva do úplného otočenia. Zostáva len 250°...

Mám to? A teraz - pozor! Ak uhly 110° a -250° zaberajú kruh rovnaký pozícia, čo potom? Áno, skutočnosť, že uhly sú 110 ° a -250 ° presne to isté sínus, kosínus, tangens a kotangens!
Tie. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) atď. Teraz je to naozaj dôležité! A samo o sebe - existuje veľa úloh, kde je potrebné zjednodušiť výrazy a ako základ pre následný vývoj redukčných vzorcov a iných zložitostí trigonometrie.

Samozrejme som zobral náhodne 110° a -250°, čisto napr. Všetky tieto rovnosti fungujú pre všetky uhly, ktoré zaujímajú rovnakú polohu na kruhu. 60° a -300°, -75° a 285° a tak ďalej. Hneď si všimnem, že rohy v týchto pároch - rôzne. Ale majú goniometrické funkcie - rovnaký.

Myslím, že chápete, čo sú negatívne uhly. Je to celkom jednoduché. Proti smeru hodinových ručičiek je kladný počet. Po ceste je to negatívne. Zvážte pozitívny alebo negatívny uhol závisí od nás. Z našej túžby. No a viac z úlohy, samozrejme... Dúfam, že chápete, ako sa pohybovať v goniometrických funkciách zo záporných do kladných uhlov a naopak. Nakreslite kruh, približný uhol a uvidíte, koľko chýba pred úplným otočením, t.j. až 360°.

Uhly väčšie ako 360°.

Poďme sa zaoberať uhlami, ktoré sú väčšie ako 360 °. A také veci sa dejú? Existujú, samozrejme. Ako ich nakresliť na kruh? Žiadny problém! Predpokladajme, že musíme pochopiť, do ktorej štvrtiny padne uhol 1000 °? Jednoducho! Urobíme jednu celú otáčku proti smeru hodinových ručičiek (uhol nám bol daný kladný!). Pretočiť o 360°. No poďme ďalej! Ďalšia zákruta - už sa otočila o 720 °. Koľko zostáva? 280°. Na úplné otočenie to nestačí... Ale uhol je viac ako 270 ° - a to je hranica medzi treťou a štvrtou štvrtinou. Takže náš uhol 1000° spadá do štvrtej štvrtiny. Všetko.

Ako vidíte, je to celkom jednoduché. Ešte raz pripomeniem, že uhol 1000° a uhol 280°, ktoré sme získali vyradením „extra“ plných zákrut, sú, prísne povedané, rôzne rohy. Ale goniometrické funkcie týchto uhlov presne to isté! Tie. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° atď. Keby som bol sínus, nevšimol by som si rozdiel medzi týmito dvoma uhlami...

Prečo je toto všetko potrebné? Prečo potrebujeme prekladať uhly z jedného do druhého? Áno, všetko za to isté.) V záujme zjednodušenia výrazov. Zjednodušovanie výrazov je v skutočnosti hlavnou úlohou školskej matematiky. No, po ceste, hlava trénuje.)

Tak čo, zacvičíme si?)

Odpovedáme na otázky. Spočiatku jednoduché.

1. Do ktorej štvrtiny spadá uhol -325°?

2. Do ktorej štvrtiny padá uhol 3000°?

3. Do ktorej štvrtiny spadá uhol -3000°?

Je tu problém? Alebo neistota? Ideme do časti 555, Praktická práca s trigonometrickou kružnicou. V prvej lekcii tejto „Praktickej práce ...“ je všetko podrobne popísané ... In taký otázky neistoty nemal by!

4. Čo je znakom hriechu555°?

5. Aké je znamenie tg555°?

Rozhodne? Dobre! pochybnosti? Je potrebné § 555 ... Mimochodom, tam sa naučíte kresliť dotyčnicu a kotangensu na trigonometrickej kružnici. Veľmi užitočná vec.

A teraz tie inteligentnejšie otázky.

6. Priveďte výraz sin777° na sínus najmenšieho kladného uhla.

7. Preneste výraz cos777° na kosínus najväčšieho záporného uhla.

8. Preveďte výraz cos(-777°) na kosínus najmenšieho kladného uhla.

9. Preneste výraz sin777° na sínus najväčšieho záporného uhla.

Čo, otázky 6-9 sú zmätené? Zvyknite si, na skúške také formulácie nie sú ... Tak nech, preložím. Len pre teba!

Slová „redukovať výraz na ...“ znamenajú transformovať výraz tak, aby mal hodnotu sa nezmenil a vzhľad sa zmenil v súlade s úlohou. Takže v úlohách 6 a 9 by sme mali dostať sínus, vo vnútri ktorého je najmenší kladný uhol. Na všetkom ostatnom nezáleží.

Odpovede dám v poradí (v rozpore s našimi pravidlami). Ale čo robiť, existujú len dve znamenia a iba štyri štvrtiny ... Nebudete sa rozptýliť v možnostiach.

6. hriech57°.

7,cos (-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Predpokladám, že odpovede na otázky 6-9 niektorých ľudí zmiatli. Predovšetkým -sin (-57°), však?) V základných pravidlách počítania uhlov je skutočne priestor na chyby ... Preto som si musel urobiť lekciu: "Ako určiť znaky funkcií a dať uhly na trigonometrickom kruhu?" V sekcii 555. Tam sú roztriedené úlohy 4 - 9. Dobre zoradené, so všetkými nástrahami. A sú tu.)

V ďalšej lekcii sa budeme zaoberať záhadnými radiánmi a číslom „Pí“. Naučte sa, ako jednoducho a správne previesť stupne na radiány a naopak. A budeme prekvapení, keď zistíme, že tieto základné informácie na webe už dosť vyriešiť niektoré neštandardné trigonometrické hádanky!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Znamienko goniometrickej funkcie závisí výlučne od súradnicovej štvrtiny, v ktorej sa nachádza číselný argument. Minule sme sa naučili, ako preložiť argumenty z radiánovej miery na mieru stupňov (pozri lekciu „Radián a miera uhla“) a potom určiť rovnakú súradnicovú štvrtinu. Teraz sa poďme zaoberať definíciou znamenia sínusu, kosínusu a tangenty.

Sínus uhla α je ordináta (súradnica y) bodu na trigonometrickej kružnici, ktorá vzniká pri otočení polomeru o uhol α.

Kosínus uhla α je úsečka (súradnica x) bodu na trigonometrickej kružnici, ktorá vzniká, keď sa polomer otáča o uhol α.

Tangenta uhla α je pomer sínusu ku kosínusu. Alebo ekvivalentne pomer y-ovej súradnice k x-ovej súradnici.

Zápis: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Všetky tieto definície poznáte z kurzu algebry na strednej škole. Nás však nezaujímajú samotné definície, ale dôsledky, ktoré vznikajú na trigonometrickom kruhu. Pozri sa:

Modrá farba označuje kladný smer osi OY (os ordináta), červená farba označuje kladný smer osi OX (os x). Na tomto „radare“ sú znaky goniometrických funkcií zrejmé. Najmä:

1. sin α > 0, ak uhol α leží v I alebo II súradnicovej štvrtine. Je to preto, že podľa definície je sínus ordináta (súradnica y). A súradnica y bude kladná presne v súradnicových štvrtiach I a II;
2. cos α > 0, ak uhol α leží v I alebo IV súradnicovej štvrtine. Pretože len tam bude súradnica x (je to aj úsečka) väčšia ako nula;
3. tg α > 0, ak uhol α leží v I alebo III súradnicovom kvadrante. Vyplýva to z definície: veď tg α = y : x , teda je kladné len tam, kde sa znamienka x a y zhodujú. To sa deje v 1. súradnicovej štvrtine (tu x > 0, y > 0) a 3. súradnicovej štvrti (x< 0, y < 0).

Kvôli prehľadnosti si všimneme znamienka každej goniometrickej funkcie - sínus, kosínus a tangens - na samostatnom "radare". Dostávame nasledujúci obrázok:

Poznámka: vo svojich úvahách som nikdy nehovoril o štvrtej goniometrickej funkcii – kotangens. Faktom je, že znaky kotangens sa zhodujú so znakmi tangenty - neexistujú žiadne špeciálne pravidlá.

Teraz navrhujem zvážiť príklady podobné úlohám B11 zo skúšobnej skúšky z matematiky, ktorá sa konala 27. septembra 2011. Napokon, teóriu najlepšie pochopíte praxou. Najlepšie veľa praxe. Samozrejme, mierne sa zmenili podmienky úloh.

Úloha. Určite znamienka goniometrických funkcií a výrazov (hodnoty samotných funkcií nie je potrebné brať do úvahy):

1. hriech(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. opálenie (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Akčný plán je nasledovný: najprv prevedieme všetky uhly z radiánovej miery na mieru stupňov (π → 180°) a potom sa pozrieme, v ktorej súradnicovej štvrtine leží výsledné číslo. Poznaním štvrtí môžeme ľahko nájsť znamenia - podľa práve opísaných pravidiel. Máme:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Od 135° ∈ je to uhol z II súradnicového kvadrantu. Ale sínus v druhej štvrtine je kladný, takže sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Pretože 210° ∈ , je to uhol zo súradnicového kvadrantu III, v ktorom sú všetky kosínusy záporné. Preto cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Od 300° ∈ sa nachádzame v kvadrante IV, kde dotyčnica nadobúda záporné hodnoty. Preto tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Poďme sa zaoberať sínusom: pretože 135° ∈ , ide o druhú štvrtinu, v ktorej sú sínusy kladné, t.j. sin (3π/4) > 0. Teraz pracujeme s kosínusom: 150° ∈ - opäť druhá štvrtina, tam sú kosínusy záporné. Preto cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Pozeráme sa na kosínus: 120° ∈ je štvrtina súradníc II, takže cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Opäť sme dostali produkt, v ktorom faktory rôznych znamení. Keďže „mínus krát plus dáva mínus“, máme: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Pracujeme so sínusom: od 150° ∈ hovoríme o súradnicovej štvrtine II, kde sú sínusy kladné. Preto je sin (5π/6) > 0. Podobne 315° ∈ je IV súradnicová štvrtina, kosínusy sú tam kladné. Preto cos (7π/4) > 0. Dostali sme súčin dvoch kladných čísel – takýto výraz je vždy kladný. Dospeli sme k záveru: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ale uhol 135° ∈ je druhá štvrtina, t.j. opálenie (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Keďže „mínus plus dáva znamienko mínus“, máme: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Pozrime sa na argument kotangens: 240° ∈ je III súradnicová štvrtina, preto ctg (4π/3) > 0. Podobne pre dotyčnicu máme: 30° ∈ je I súradnicová štvrtina, t.j. najjednoduchší roh. Preto tg (π/6) > 0. Opäť sme dostali dva kladné výrazy – ich súčin bude tiež kladný. Preto ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Nakoniec sa pozrime na niekoľko zložitejších problémov. Okrem zisťovania znamienka goniometrickej funkcie tu musíte urobiť malý výpočet – tak ako sa to robí v reálnych úlohách B11. V zásade ide o takmer reálne úlohy, ktoré sa na skúške z matematiky naozaj nachádzajú.

Úloha. Nájdite sin α, ak sin 2 α = 0,64 a α ∈ [π/2; π].

Keďže sin 2 α = 0,64, máme: sin α = ±0,8. Zostáva rozhodnúť: plus alebo mínus? Za predpokladu, že uhol α ∈ [π/2; π] je súradnicová štvrť II, kde sú všetky sínusy kladné. Preto sin α = 0,8 - neistota so znamienkami je eliminovaná.

Úloha. Nájdite cos α, ak cos 2 α = 0,04 a α ∈ [π; 3π/2].

Postupujeme podobne, t.j. vezmeme druhú odmocninu: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Za predpokladu, že uhol α ∈ [π; 3π/2], t.j. hovoríme o súradnicovom štvrťroku III. Tam sú všetky kosínusy záporné, takže cos α = −0,2.

Úloha. Nájdite sin α, ak sin 2 α = 0,25 a α ∈ .

Máme: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Opäť sa pozrieme na uhol: α ∈ je IV súradnicová štvrtina, v ktorej, ako viete, bude sínus záporný. Dospeli sme teda k záveru: sin α = −0,5.

Úloha. Nájdite tg α, ak tg 2 α = 9 a α ∈ .

Všetko je rovnaké, len pre dotyčnicu. Vezmeme druhú odmocninu: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ale podľa podmienky je uhol α ∈ I súradnicový kvadrant. Všetky goniometrické funkcie, vrát. dotyčnica, sú kladné, takže tg α = 3. To je všetko!