\[(\Large(\text(Základné fakty o oblasti)))\]

Môžeme povedať, že plocha polygónu je hodnota, ktorá označuje časť roviny, ktorú daný polygón zaberá. Plošná jednotka sa berie ako plocha štvorca so stranou \(1\) cm, \(1\) mm atď. (jeden štvorec). Potom bude plocha meraná v cm\(^2\) , resp. mm\(^2\).

Inými slovami, môžeme povedať, že plocha obrázku je hodnota, ktorej číselná hodnota ukazuje, koľkokrát sa jednotkový štvorec zmestí do daného obrázku.

Vlastnosti oblasti

1. Plocha ľubovoľného mnohouholníka je kladná hodnota.

2. Rovnaké polygóny majú rovnaké plochy.

3. Ak je polygón zložený z viacerých polygónov, potom sa jeho plocha rovná súčtu plôch týchto polygónov.

4. Plocha štvorca so stranou \(a\) je \(a^2\) .

\[(\Veľký(\text(Oblasť obdĺžnika a rovnobežníka)))\]

Veta: oblasť obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika so stranami \(a\) a \(b\) je \(S=ab\) .

Dôkaz

Zostavme obdĺžnik \(ABCD\) na štvorec so stranou \(a+b\) , ako je znázornené na obrázku:

Tento štvorec pozostáva z obdĺžnika \(ABCD\) , ďalšieho obdĺžnika, ktorý sa mu rovná, a dvoch štvorcov so stranami \(a\) a \(b\) . teda

\(\začiatok(viacriadok*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \šípka doľava doprava (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Šípka doľava\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Šípka doprava S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Definícia

Výška rovnobežníka je kolmica vedená z vrcholu rovnobežníka na stranu (alebo predĺženie strany), ktorá tento vrchol neobsahuje.
Napríklad výška \(BK\) padá na stranu \(AD\) a výška \(BH\) padá na predĺženie strany \(CD\) :

Veta: oblasť rovnobežníka

Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu výšky a strany, na ktorú je táto výška nakreslená.

Dôkaz

Nakreslite kolmice \(AB"\) a \(DC"\), ako je znázornené na obrázku. Všimnite si, že tieto kolmice sa rovnajú výške rovnobežníka \(ABCD\) .

Potom \(AB"C"D\) je obdĺžnik, teda \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Všimnite si, že pravouhlé trojuholníky \(ABB"\) a \(DCC"\) sú rovnaké. teda

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Veľký(\text(Oblasť trojuholníka)))\]

Definícia

Stranu, na ktorú je v trojuholníku nakreslená nadmorská výška, nazveme základňou trojuholníka.

Veta

Plocha trojuholníka je polovicou súčinu jeho základne a výšky k tejto základni.

Dôkaz

Nech \(S\) je oblasť trojuholníka \(ABC\) . Vezmime stranu \(AB\) ako základňu trojuholníka a nakreslíme výšku \(CH\) . Dokážme to \ Doplníme trojuholník \(ABC\) do rovnobežníka \(ABDC\), ako je znázornené na obrázku:

Trojuholníky \(ABC\) a \(DCB\) sú rovnaké v troch stranách (\(BC\) je ich spoločná strana, \(AB = CD\) a \(AC = BD\) ako opačné strany rovnobežníka \ (ABDC\ ) ), takže ich plochy sú rovnaké. Preto sa plocha \(S\) trojuholníka \(ABC\) rovná polovici plochy rovnobežníka \(ABDC\), t.j. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Veta

Ak dva trojuholníky \(\trojuholník ABC\) a \(\trojuholník A_1B_1C_1\) majú rovnakú výšku, potom ich obsah súvisí so základňami, ku ktorým sú tieto výšky nakreslené.

Dôsledok

Stred trojuholníka ho rozdeľuje na dva trojuholníky s rovnakou plochou.

Veta

Ak dva trojuholníky \(\trojuholník ABC\) a \(\trojuholník A_2B_2C_2\) majú každý rovnaký uhol, potom ich obsah súvisí ako súčin strán zvierajúcich tento uhol.

Dôkaz

Nech \(\uhol A=\uhol A_2\) . Skombinujme tieto rohy, ako je znázornené na obrázku (bod \(A\) je zarovnaný s bodom \(A_2\) ):

Nakreslite výšky \(BH\) a \(C_2K\) .

Trojuholníky \(AB_2C_2\) a \(ABC_2\) majú rovnakú výšku \(C_2K\), preto: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trojuholníky \(ABC_2\) a \(ABC\) majú rovnakú výšku \(BH\), preto: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Vynásobením posledných dvoch rovnosti dostaneme: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( alebo ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pytagorova veta

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh:

Platí to aj naopak: ak v trojuholníku je štvorec dĺžky jednej strany rovný súčtu druhých mocnín dĺžok ostatných dvoch strán, potom je takýto trojuholník pravouhlý.

Veta

Plocha pravouhlého trojuholníka je polovica súčinu nôh.

Veta: Heronov vzorec

Nech \(p\) je semiperimeter trojuholníka, \(a\) , \(b\) , \(c\) sú dĺžky jeho strán, potom sa jeho obsah rovná \

\[(\Veľký(\text(Oblasť kosoštvorca a lichobežníka)))\]

Komentujte

Pretože kosoštvorec je rovnobežník, potom preň platí rovnaký vzorec, t.j. Plocha kosoštvorca sa rovná súčinu výšky a strany, na ktorú je táto výška nakreslená.

Veta

Plocha konvexného štvoruholníka, ktorého uhlopriečky sú kolmé, je polovicou súčinu uhlopriečok.

Dôkaz

Uvažujme štvoruholník \(ABCD\) . Označte \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Všimnite si, že tento štvoruholník sa skladá zo štyroch pravouhlých trojuholníkov, preto sa jeho plocha rovná súčtu plôch týchto trojuholníkov:

\(\begin(viacriadkový*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(viacriadkový*)\)

Dôsledok: oblasť kosoštvorca

Plocha kosoštvorca je polovicou súčinu jeho uhlopriečok: \

Definícia

Výška lichobežníka je kolmica vedená z vrcholu jednej základne k druhej základni.

Veta: oblasť lichobežníka

Plocha lichobežníka je polovica súčtu základov krát výška.

Dôkaz

Uvažujme lichobežník \(ABCD\) so základňami \(BC\) a \(AD\) . Nakreslite \(CD"\paralelné AB\) ako je znázornené na obrázku:

Potom \(ABCD"\) je rovnobežník.

Nakreslíme aj \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) sú výšky lichobežníka).

Potom \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Pretože lichobežník sa skladá z rovnobežníka \(ABCD"\) a trojuholníka \(CDD"\), potom sa jeho plocha rovná súčtu plôch rovnobežníka a trojuholníka, teda:

\ \[=\dfrac12 CH\vľavo(BC+AD"+D"D\vpravo)=\dfrac12 CH\vľavo(BC+AD\vpravo)\]

Každý, kto študoval v škole matematiku a geometriu, tieto vedy aspoň povrchne pozná. Ale časom, ak sa nepraktizujú, vedomosti sú zabudnuté. Mnohí dokonca veria, že len strácali čas štúdiom geometrických výpočtov. Mýlia sa však. Technickí pracovníci vykonávajú každodenné práce súvisiace s geometrickými výpočtami. Pokiaľ ide o výpočet plochy polygónu, tieto znalosti nachádzajú uplatnenie aj v živote. Budú potrebné aspoň na výpočet plochy pôdy. Poďme sa teda naučiť, ako nájsť oblasť polygónu.

Definícia polygónu

Najprv si definujme, čo je polygón. Ide o plochý geometrický obrazec, ktorý vznikol ako výsledok priesečníka troch alebo viacerých čiar. Ďalšia jednoduchá definícia: mnohouholník je uzavretá lomená čiara. Prirodzene, na priesečníku čiar vznikajú priesečníky, ich počet sa rovná počtu čiar, ktoré tvoria mnohouholník. Priesečníky sa nazývajú vrcholy a segmenty vytvorené z priamych čiar sa nazývajú strany mnohouholníka. Susedné segmenty mnohouholníka nie sú na rovnakej priamke. Segmenty čiary, ktoré nesusedia, sú tie, ktoré neprechádzajú spoločnými bodmi.

Súčet plôch trojuholníkov

Ako nájsť oblasť polygónu? Oblasť mnohouholníka je vnútorná časť roviny, ktorá bola vytvorená v priesečníku segmentov alebo strán mnohouholníka. Keďže mnohouholník je kombináciou tvarov ako trojuholník, kosoštvorec, štvorec, lichobežník, univerzálny vzorec na výpočet jeho plochy jednoducho neexistuje. V praxi je najuniverzálnejšou metódou rozdelenie mnohouholníka na jednoduchšie obrazce, ktorých oblasť nie je ťažké nájsť. Sčítaním súčtu plôch týchto jednoduchých obrázkov dostaneme plochu mnohouholníka.

Cez oblasť kruhu

Vo väčšine prípadov má mnohouholník pravidelný tvar a tvorí obrazec s rovnakými stranami a uhlami medzi nimi. Výpočet plochy je v tomto prípade veľmi jednoduchý pomocou vpísanej alebo opísanej kružnice. Ak je plocha kruhu známa, musí sa vynásobiť obvodom mnohouholníka a výsledný produkt sa potom vydelí 2. Výsledkom je, že sa získa vzorec na výpočet plochy takéhoto mnohouholníka : S = ½∙P∙r., kde P je plocha kruhu a r je obvod mnohouholníka.

Metóda rozdelenia mnohouholníka na „pohodlné“ tvary je v geometrii najobľúbenejšia, umožňuje vám rýchlo a správne nájsť oblasť mnohouholníka. Takéto metódy sa väčšinou učí 4. ročník strednej školy.

V tomto článku budeme hovoriť o tom, ako vyjadriť oblasť mnohouholníka, do ktorého je možné vpísať kruh z hľadiska polomeru tohto kruhu. Okamžite stojí za zmienku, že nie každý mnohouholník môže byť vpísaný do kruhu. Ak je to však možné, potom sa vzorec, podľa ktorého sa vypočíta plocha takéhoto mnohouholníka, stane veľmi jednoduchým. Prečítajte si tento článok až do konca alebo si pozrite priložený videonávod a dozviete sa, ako vyjadriť plochu mnohouholníka z hľadiska polomeru kruhu, ktorý je do neho vpísaný.

Vzorec pre oblasť mnohouholníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice

Nakreslíme mnohouholník A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, nie nevyhnutne správny, ale taký, do ktorého možno vpísať kruh. Pripomínam, že vpísaný kruh je kruh, ktorý sa dotýka všetkých strán mnohouholníka. Na obrázku je to zelený kruh so stredom v bode O:

Ako príklad sme tu vzali 5-uholník. Ale v skutočnosti to nemá podstatný význam, pretože ďalší dôkaz platí pre 6-uholník aj 8-uholník a vo všeobecnosti pre ľubovoľný "gon" ľubovoľne.

Ak spojíte stred vpísanej kružnice so všetkými vrcholmi mnohouholníka, tak sa rozdelí na toľko trojuholníkov, koľko je vrcholov v danom mnohouholníku. V našom prípade: 5 trojuholníkov. Ak spojíme bodku O so všetkými bodmi kontaktu vpísanej kružnice so stranami mnohouholníka získate 5 segmentov (na obrázku nižšie sú to segmenty Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 a Oh 5), ktoré sa rovnajú polomeru kruhu a sú kolmé na strany mnohouholníka, ku ktorému sú nakreslené. To platí, pretože polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na dotyčnicu:

Ako nájsť oblasť nášho ohraničeného mnohouholníka? Odpoveď je jednoduchá. Je potrebné spočítať plochy všetkých trojuholníkov získaných v dôsledku rozdelenia:

Zvážte, aká je plocha trojuholníka. Na obrázku nižšie je to zvýraznené žltou farbou:

Rovná sa polovici produktu základne A 1 A 2 do výšky Oh 1 nakreslený k tejto základni. Ale, ako sme už zistili, táto výška sa rovná polomeru vpísanej kružnice. To znamená, že vzorec pre oblasť trojuholníka má tvar: , kde r je polomer vpísanej kružnice. Podobne sa nájdu plochy všetkých zostávajúcich trojuholníkov. V dôsledku toho sa požadovaná oblasť polygónu rovná:

Je vidieť, že vo všetkých pojmoch tohto súčtu je spoločný faktor , ktorý možno vyňať zo zátvoriek. Výsledkom je nasledujúci výraz:

To znamená, že v zátvorkách bol jednoducho súčet všetkých strán polygónu, teda jeho obvodu P. Najčastejšie sa v tomto vzorci výraz jednoducho nahrádza výrazom p a nazývajte toto písmeno "polobvod". Výsledkom je, že konečný vzorec je:

To znamená, že plocha mnohouholníka, do ktorej je vpísaný kruh so známym polomerom, sa rovná súčinu tohto polomeru a semiperimetru mnohouholníka. Toto je výsledok, o ktorý sme sa snažili.

Nakoniec poznamenáva, že kruh môže byť vždy vpísaný do trojuholníka, čo je špeciálny prípad mnohouholníka. Preto pre trojuholník môže byť tento vzorec vždy použitý. Pri iných mnohouholníkoch s viac ako 3 stranami sa musíte najskôr uistiť, že do nich možno vpísať kruh. Ak áno, môžete bezpečne použiť tento jednoduchý vzorec a nájsť z neho oblasť tohto mnohouholníka.

Pripravil Sergej Valerijevič

Prevodník jednotiek vzdialenosti a dĺžky Prevodník jednotiek plochy Pripojiť sa © 2011-2017 Michail Dovzhik Kopírovanie materiálov je zakázané. V online kalkulačke môžete použiť hodnoty v rovnakých merných jednotkách! Ak máte problémy s prevodom jednotiek merania, použite prevodník jednotiek vzdialenosti a dĺžky a prevodník jednotiek plochy. Ďalšie funkcie kalkulačky plochy štvoruholníka

• Medzi vstupnými poľami sa môžete pohybovať stlačením pravého a ľavého tlačidla na klávesnici.

teória. Oblasť štvoruholníka Štvoruholník je geometrický útvar pozostávajúci zo štyroch bodov (vrcholov), z ktorých žiadne tri neležia na rovnakej priamke, a štyroch segmentov (strany), ktoré tieto body spájajú v pároch. Štvoruholník sa nazýva konvexný, ak segment spájajúci ľubovoľné dva body tohto štvoruholníka bude v ňom.

Ako nájsť oblasť polygónu?

Vzorec na určenie plochy sa určí tak, že sa zoberie každý okraj mnohouholníka AB a vypočíta sa plocha trojuholníka ABO s vrcholom v počiatku O cez súradnice vrcholov. Pri prechádzaní okolo mnohouholníka sa vytvárajú trojuholníky, vrátane vnútra mnohouholníka a umiestnené mimo neho. Rozdiel medzi súčtom týchto plôch je plocha samotného polygónu.

Preto sa vzorec nazýva vzorec geodeta, pretože „kartograf“ je na začiatku; ak ide oblasťou proti smeru hodinových ručičiek, oblasť sa pridá, ak je vľavo, a odpočíta sa, ak je vpravo, pokiaľ ide o pôvod. Plošný vzorec je platný pre akýkoľvek nepretínajúci sa (jednoduchý) mnohouholník, ktorý môže byť konvexný alebo konkávny. Obsah

• 1 Definícia
• 2 Príklady
• 3 Zložitejší príklad
• 4 Vysvetlenie názvu
• 5 Pozri

Oblasť polygónu

Pozornosť

To môže byť:

• trojuholník;
• štvoruholník;
• päť- alebo šesťuholník a tak ďalej.

Takáto postava bude určite charakterizovaná dvoma polohami:

1. Priľahlé strany nepatria do tej istej línie.
2. Nesusedné nemajú spoločné body, to znamená, že sa nepretínajú.

Aby ste pochopili, ktoré vrcholy susedia, musíte zistiť, či patria na rovnakú stranu. Ak áno, tak susedný. V opačnom prípade môžu byť spojené segmentom, ktorý sa musí nazývať uhlopriečka. Môžu byť nakreslené iba v polygónoch, ktoré majú viac ako tri vrcholy.

Aké druhy existujú? Mnohouholník s viac ako štyrmi rohmi môže byť konvexný alebo konkávny. Rozdiel medzi nimi je v tom, že niektoré z jej vrcholov môžu ležať na rôznych stranách priamky vedenej cez ľubovoľnú stranu mnohouholníka.

Ako nájsť oblasť pravidelného a nepravidelného šesťuholníka?

• Keď poznáte dĺžku strany, vynásobte ju 6 a získajte obvod šesťuholníka: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Nahraďte výsledky v našom vzorci:
Plocha \u003d 1/2 * obvod * apotéma Plocha \u003d ½ * 60 cm * 5√3 Vyriešte: Teraz zostáva zjednodušiť odpoveď, aby ste sa zbavili odmocnin, a uveďte výsledok v centimetroch štvorcových: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video o tom, ako nájsť plochu pravidelného šesťuholníka Existuje niekoľko možností na určenie plochy nepravidelného šesťuholníka:

• lichobežníková metóda.
• Metóda na výpočet plochy nepravidelných mnohouholníkov pomocou súradnicovej osi.
• Spôsob rozdelenia šesťuholníka na iné tvary.

V závislosti od počiatočných údajov, ktoré poznáte, sa vyberie vhodná metóda.

Dôležité

Niektoré nepravidelné šesťuholníky pozostávajú z dvoch rovnobežníkov. Ak chcete určiť plochu rovnobežníka, vynásobte jeho dĺžku jeho šírkou a potom pridajte dve už známe oblasti. Video o tom, ako nájsť oblasť mnohouholníka Rovnostranný šesťuholník má šesť rovnakých strán a je to pravidelný šesťuholník.

Plocha rovnostranného šesťuholníka sa rovná 6 oblastiam trojuholníkov, na ktoré je rozdelená pravidelná šesťuholníková postava. Všetky trojuholníky v pravidelnom šesťuholníku sú rovnaké, takže na nájdenie plochy takého šesťuholníka bude stačiť poznať oblasť aspoň jedného trojuholníka. Na nájdenie plochy rovnostranného šesťuholníka sa samozrejme používa vzorec pre oblasť pravidelného šesťuholníka, ktorý je opísaný vyššie.

404 nenájdené

Zdobenie domu, oblečenie, kreslenie obrázkov prispelo k procesu formovania a hromadenia informácií v oblasti geometrie, ktoré ľudia tých čias získavali empiricky, kúsok po kúsku a odovzdávali si ich z generácie na generáciu. Znalosť geometrie je dnes nevyhnutná pre rezača, staviteľa, architekta a každého bežného človeka v bežnom živote. Preto sa musíte naučiť, ako vypočítať plochu rôznych čísel, a nezabudnite, že každý zo vzorcov môže byť užitočný neskôr v praxi, vrátane vzorca pre bežný šesťuholník.
Šesťuholník je taký mnohouholníkový útvar, ktorého celkový počet uhlov je šesť. Pravidelný šesťuholník je šesťuholníkový útvar, ktorý má rovnaké strany. Uhly pravidelného šesťuholníka sú tiež rovnaké.
V bežnom živote môžeme často nájsť predmety, ktoré majú tvar pravidelného šesťuholníka.

Kalkulačka plochy nepravidelného mnohouholníka po stranách

Budete potrebovať

• - ruleta;
• — elektronický diaľkomer;
• - list papiera a ceruzka;
• - kalkulačka.

Pokyn 1 Ak potrebujete celkovú plochu bytu alebo samostatnej izby, stačí si prečítať technický pas bytu alebo domu, zobrazuje zábery každej izby a celkové zábery bytu. 2 Ak chcete zmerať plochu obdĺžnikovej alebo štvorcovej miestnosti, zoberte zvinovací meter alebo elektronický diaľkomer a zmerajte dĺžku stien. Pri meraní vzdialeností diaľkomerom dbajte na to, aby bol smer lúča kolmý, inak môžu byť výsledky merania skreslené. 3 Potom vynásobte výslednú dĺžku (v metroch) miestnosti šírkou (v metroch). Výsledná hodnota bude podlahová plocha, meria sa v metroch štvorcových.

Vzorec pre Gaussovu oblasť

Ak potrebujete vypočítať podlahovú plochu zložitejšej konštrukcie, ako je napríklad päťuholníková miestnosť alebo miestnosť s okrúhlym oblúkom, načrtnite schematický náčrt na kus papiera. Potom rozdeľte zložitý tvar na niekoľko jednoduchých, napríklad štvorec a trojuholník alebo obdĺžnik a polkruh. Zmerajte pomocou meracej pásky alebo diaľkomeru veľkosť všetkých strán výsledných obrazcov (pre kruh potrebujete poznať priemer) a zadajte výsledky do výkresu.

5 Teraz vypočítajte plochu každého tvaru samostatne. Plocha obdĺžnikov a štvorcov sa vypočíta vynásobením strán. Ak chcete vypočítať plochu kruhu, rozdeľte priemer na polovicu a štvorec (vynásobte ho sebou), potom vynásobte výsledok 3,14.
Ak chcete len polovicu kruhu, rozdeľte výslednú plochu na polovicu. Ak chcete vypočítať plochu trojuholníka, nájdite P vydelením súčtu všetkých strán číslom 2.

Vzorec na výpočet plochy nepravidelného mnohouholníka

Ak sú body očíslované postupne proti smeru hodinových ručičiek, potom sú determinanty vo vzorci vyššie kladné a modul v ňom možno vynechať; ak sú očíslované v smere hodinových ručičiek, determinanty budú záporné. Je to preto, že vzorec možno považovať za špeciálny prípad Greenovej vety. Ak chcete použiť vzorec, potrebujete poznať súradnice vrcholov mnohouholníka v karteziánskej rovine.

Zoberme si napríklad trojuholník so súradnicami ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Vezmite prvú súradnicu x prvého vrcholu a vynásobte ju súradnicou y druhého vrcholu a potom vynásobte súradnicu x druhého vrcholu súradnicou y tretieho. Tento postup opakujeme pre všetky vrcholy. Výsledok možno určiť podľa nasledujúceho vzorca: A tri.

Vzorec na výpočet plochy nepravidelného štvoruholníka

A) _(\text(tri.))=(1 \viac ako 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|), kde xi a yi označujú zodpovedajúcu súradnicu. Tento vzorec možno získať otvorením zátvoriek vo všeobecnom vzorci pre prípad n = 3. Pomocou tohto vzorca zistíte, že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčtu 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, čo dáva 3. Počet premenných vo vzorci závisí od počtu strán mnohouholníka. Napríklad vzorec pre oblasť päťuholníka bude používať premenné až do x5 a y5: A pent. = 1 2 | x 1 r 2 + x 2 r 3 + x 3 r 4 + x 4 r 5 + x 5 r 1 − x 2 r 1 − x 3 r 2 − x 4 r 3 − x 5 r 4 − x 1 r 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A pre štvoricu - premenné do x4 a y4: štvorica.

1.1 Výpočet plôch v staroveku

1.2 Rôzne prístupy k štúdiu pojmov "oblasť", "polygón", "plocha mnohouholníka"

1.2.1 Pojem oblasť. Vlastnosti oblasti

1.2.2 Pojem mnohouholník

1.2.3 Pojem plochy polygónu. Opisná definícia

1.3 Rôzne vzorce pre oblasti polygónov

1.4 Odvodenie vzorcov oblasti polygónu

1.4.1 Plocha trojuholníka. Heronov vzorec

1.4.2 Plocha obdĺžnika

1.4.3 Oblasť lichobežníka

1.4.4 Plocha štvoruholníka

1.4.5 Univerzálny vzorec

1.4.6 Plocha n-uholníka

1.4.7 Výpočet plochy mnohouholníka zo súradníc jeho vrcholov

1.4.8 Výber vzorca

1.5 Pytagorova veta o súčte plôch štvorcov postavených na ramenách pravouhlého trojuholníka

1.6 Ekvivalencia trojuholníkov. Bogliai-Gervinova veta

1.7 Pomer plôch podobných trojuholníkov

1.8 Obrazce s najväčšou plochou

1.8.1 Lichobežník alebo obdĺžnik

1.8.2 Pozoruhodná vlastnosť štvorca

1.8.3 Pozemky rôzneho tvaru

1.8.4 Trojuholník s najväčšou plochou

Kapitola 2. Metodologické črty štúdia plôch polygónov v matematických triedach

2.1 Tematické plánovanie a črty vyučovania v triedach s hĺbkovým štúdiom matematiky

2.2 Metodika lekcie

2.3 Výsledky experimentálnych prác

Záver

Literatúra

Úvod

Téma „Oblasť polygónov“ je neoddeliteľnou súčasťou školského kurzu matematiky, čo je celkom prirodzené. V skutočnosti je historicky samotný vznik geometrie spojený s potrebou porovnávať pozemky tej či onej formy. Zároveň treba podotknúť, že možnosti vzdelávania na odhaľovanie tejto témy na strednej škole nie sú ani zďaleka plne využité.

Hlavnou úlohou vyučovania matematiky v škole je zabezpečiť pevné a uvedomelé zvládnutie systému matematických vedomostí a zručností potrebných pre každého člena modernej spoločnosti v každodennom živote a práci, postačujúce na štúdium príbuzných odborov a ďalšie vzdelávanie.

Hĺbkové štúdium matematiky popri riešení hlavnej úlohy zabezpečuje u študentov formovanie trvalého záujmu o predmet, identifikáciu a rozvoj ich matematických schopností, orientáciu na profesie, ktoré s matematikou výrazne súvisia, a príprava na štúdium na vysokej škole.

Kvalifikačná práca zahŕňa obsah matematického kurzu všeobecnovzdelávacej školy a množstvo doplňujúcich otázok, ktoré s týmto kurzom bezprostredne súvisia a prehlbujú ho v hlavných ideových líniách.

Zahrnutie dodatočných otázok slúži na dva vzájomne súvisiace účely. Na jednej strane ide o vytvorenie, v spojení s hlavnými časťami kurzu, základne pre napĺňanie záujmov a rozvíjanie schopností študentov so sklonom k ​​matematike, na druhej strane o naplnenie zmysluplných medzier v hlavný kurz, ktorý dáva obsahu hĺbkového štúdia potrebnú integritu.

Kvalifikačná práca pozostáva z úvodu, dvoch kapitol, záveru a citovanej literatúry. Prvá kapitola rozoberá teoretické základy štúdia plôch polygónov a druhá kapitola sa priamo zaoberá metodologickými črtami štúdia plôch.

Kapitola 1

1.1Výpočet plôch v staroveku

Základy geometrických vedomostí súvisiacich s meraním plôch sa strácajú v hlbinách tisícročí.

Pred 4 - 5 tisíc rokmi boli Babylončania schopní určiť oblasť obdĺžnika a lichobežníka v štvorcových jednotkách. Štvorec dlho slúžil ako štandard na meranie plôch vďaka mnohým svojim pozoruhodným vlastnostiam: rovnaké strany, rovnaké a pravé uhly, symetria a všeobecná dokonalosť tvaru. Štvorce sa ľahko stavajú, alebo môžete vyplniť rovinu bez medzier.

V starovekej Číne bol mierou plochy obdĺžnik. Keď murári určili plochu pravouhlej steny domu, znásobili výšku a šírku steny. Toto je akceptovaná definícia v geometrii: plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho priľahlých strán. Obe tieto strany musia byť vyjadrené v rovnakých lineárnych jednotkách. Ich produktom bude plocha obdĺžnika vyjadrená v zodpovedajúcich štvorcových jednotkách. Povedzme, že ak sa výška a šírka steny meria v decimetroch, potom súčin oboch meraní bude vyjadrený v decimetroch štvorcových. A ak je plocha každého obkladového pozemku decimeter štvorcový, výsledný produkt bude udávať počet dlaždíc potrebných na obklad. Vyplýva to z tvrdenia, ktoré je základom merania plôch: plocha obrazca zloženého z nepretínajúcich sa obrazcov sa rovná súčtu ich plôch.

Starovekí Egypťania pred 4 000 rokmi používali takmer rovnaké techniky ako my na meranie plochy obdĺžnika, trojuholníka a lichobežníka: základňa trojuholníka bola rozdelená na polovicu a vynásobená výškou; pre lichobežník sa súčet rovnobežných strán rozdelí na polovicu a vynásobí výškou atď. Na výpočet plochy

štvoruholník so stranami (obr. 1.1), bol aplikovaný vzorec (1.1).

tie. polovičné súčty opačných strán sa vynásobili.

Tento vzorec je zjavne nesprávny pre akýkoľvek štvoruholník, vyplýva z neho najmä to, že plochy všetkých kosoštvorcov sú rovnaké. Medzitým je zrejmé, že plochy takýchto kosoštvorcov závisia od veľkosti uhlov vo vrcholoch. Tento vzorec platí len pre obdĺžnik. S jeho pomocou môžete približne vypočítať plochu štvoruholníkov, v ktorých sú uhly blízko doprava.

Na určenie oblasti

rovnoramenný trojuholník (obr. 1.2), v ktorom Egypťania používali približný vzorec:
(1.2) Obr. 1.2 Chyba v tomto prípade je tým menšia, čím menší je rozdiel medzi stranou a výškou trojuholníka, inými slovami, čím bližšie je vrchol (a) k základni výšky od. Preto je približný vzorec (1.2) použiteľný len pre trojuholníky s relatívne malým vrcholovým uhlom.

Ale už starí Gréci vedeli, ako správne nájsť oblasti polygónov. Euklides vo svojich Živloch nepoužíva slovo „plocha“, keďže pod slovom „postava“ chápe časť roviny ohraničenú jednou alebo druhou uzavretou čiarou. Euklides nevyjadruje výsledok merania plochy číslom, ale porovnáva plochy rôznych obrazcov medzi sebou.

Rovnako ako iní vedci staroveku, aj Euclid sa zaoberá premenou niektorých postáv na iné, veľkosťou sú rovnaké. Plocha zloženej figúry sa nezmení, ak sú jej časti usporiadané inak, ale bez kríženia. Preto je napríklad možné na základe vzorcov pre oblasť obdĺžnika nájsť vzorce pre oblasti iných obrázkov. Trojuholník je teda rozdelený na také časti, z ktorých potom môžete vytvoriť obdĺžnik s rovnakou plochou. Z tejto konštrukcie vyplýva, že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho základne a výšky. Pri takomto prekreslení zistili, že plocha rovnobežníka sa rovná súčinu základne a výšky, plocha lichobežníka je súčinom polovice súčtu základov a výšky.

Keď musia murári obkladať stenu komplexnej konfigurácie, môžu určiť plochu steny spočítaním počtu dlaždíc, ktoré sa použili na obkladanie. Niektoré dlaždice, samozrejme, budú musieť byť štiepané, aby sa okraje obkladu zhodovali s okrajom steny. Počet všetkých dlaždíc, ktoré sa dali do práce, hodnotí plochu steny s prebytkom, počet neporušených dlaždíc - s nevýhodou. Keď sa veľkosť buniek zmenšuje, množstvo odpadu sa znižuje a plocha steny určená počtom dlaždíc sa počíta čoraz presnejšie.

Jedným z neskorých gréckych matematikov – encyklopedistov, ktorých diela sa uplatnili najmä v prírode, bol Herón Alexandrijský, ktorý žil v 1. stor. n. e. Ako vynikajúci inžinier ho nazývali aj „mechanik volavka“. Vo svojom diele Dioptria Heron popisuje rôzne stroje a praktické meracie prístroje.

Jedna z Heronových kníh bola ním pomenovaná „Geometria“ a je akousi zbierkou vzorcov a zodpovedajúcich problémov. Obsahuje príklady na výpočet plôch štvorcov, obdĺžnikov a trojuholníkov. O hľadaní plochy trojuholníka pozdĺž jeho strán Heron píše: „Nech má napríklad jedna strana trojuholníka dĺžku 13 meraných šnúr, druhá 14 a tretia 15. Ak chcete nájsť plochu, postupujte takto nasleduje. Pridajte 13, 14 a 15; dostanete 42. Polovica z toho je 21. Odpočítajte od týchto troch strán jednu po druhej; najprv odčítajte 13 - zostane 8, potom 14 - zostane 7 a nakoniec 15 - zostane 6. Teraz ich vynásobte: 21 krát 8 dá 168, vezmite toto 7 krát - dostanete 1176 a toto ešte 6 krát - dostanete 7056. Odtiaľ bude druhá odmocnina 84. Toľko meracích šnúr bude v oblasti trojuholníka.