Definícia základu. Systém vektorov tvorí základ, ak:

1) je lineárne nezávislý,

2) ktorýkoľvek vektor priestoru cez ňu je lineárne vyjadrený.

Príklad 1 Priestorový základ: .

2. V sústave vektorov vektory sú základom: , pretože lineárne vyjadrené pomocou vektorov.

Komentujte. Ak chcete nájsť základ daného systému vektorov, musíte:

1) napíšte súradnice vektorov do matice,

2) pomocou elementárnych transformácií priviesť maticu do trojuholníkového tvaru,

3) nenulové riadky matice budú základom systému,

4) počet vektorov v základe sa rovná hodnote matice.

Kronecker-Capelliho veta

Kronecker-Capelliho veta dáva vyčerpávajúcu odpoveď na otázku kompatibility ľubovoľného systému lineárnych rovníc s neznámymi

Kroneckerova-Capelliho veta. Systém lineárnych algebraických rovníc je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť rozšírenej matice systému rovná hodnosti hlavnej matice, .

Algoritmus na nájdenie všetkých riešení konzistentného systému lineárnych rovníc vychádza z Kronecker-Capelliho vety a nasledujúcich viet.

Veta. Ak sa poradie konzistentného systému rovná počtu neznámych, potom má systém jedinečné riešenie.

Veta. Ak je poradie konzistentného systému menšie ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet riešení.

Algoritmus na riešenie ľubovoľného systému lineárnych rovníc:

1. Nájdite poradie hlavnej a rozšírenej matice systému. Ak nie sú rovnaké (), potom je systém nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). Ak sú poradia rovnaké ( , potom je systém kompatibilný.

2. Pre kompatibilný systém nájdeme nejaký vedľajší, ktorého poradie určuje hodnosť matice (takýto vedľajší sa nazýva základný). Zostavíme nový systém rovníc, v ktorých sú koeficienty neznámych zahrnuté v základnej malej (tieto neznáme sa nazývajú hlavné neznáme), zvyšok rovníc zahodíme. Hlavné neznáme necháme s koeficientmi vľavo a zvyšné neznáme (nazývajú sa voľné neznáme) prenesieme na pravú stranu rovníc.

3. Nájdite vyjadrenia hlavných neznámych z hľadiska voľných. Získame všeobecné riešenie systému.

4. Zadaním ľubovoľných hodnôt voľným neznámym získame zodpovedajúce hodnoty hlavných neznámych. Tak nachádzame konkrétne riešenia pôvodného systému rovníc.

Lineárne programovanie. Základné pojmy

Lineárne programovanie je odvetvie matematického programovania, ktoré študuje metódy riešenia extrémnych problémov, ktoré sa vyznačujú lineárnym vzťahom medzi premennými a lineárnym kritériom.

Nevyhnutnou podmienkou pre stanovenie problému lineárneho programovania sú obmedzenia dostupnosti zdrojov, množstva dopytu, výrobnej kapacity podniku a ďalších výrobných faktorov.

Podstatou lineárneho programovania je nájsť body najväčšej alebo najmenšej hodnoty určitej funkcie pod určitým súborom obmedzení uložených na argumenty a generátory. systém obmedzení , ktorá má zvyčajne nekonečné množstvo riešení. Každá sada hodnôt premenných (argumenty funkcie F ), ktoré spĺňajú systém obmedzení, sa nazýva prijateľný plán problémy lineárneho programovania. Funkcia F , ktorého maximum alebo minimum je určené, sa nazýva objektívna funkcia úlohy. Prípustný plán, na ktorom je dosiahnuté maximum alebo minimum funkcie F , sa volá optimálny plán úlohy.

Systém obmedzení, ktorý definuje súbor plánov, je diktovaný podmienkami výroby. Problém lineárneho programovania ( ZLP ) je výber najziskovejšieho (optimálneho) zo súboru realizovateľných plánov.

Všeobecná formulácia problému lineárneho programovania je nasledovná:

Existuje niekoľko premenných x \u003d (x 1, x 2, ... x n) a funkcie týchto premenných f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , ktorá nesie názov cieľ funkcie. Úloha je stanovená: nájsť extrém (maximum alebo minimum) účelovej funkcie f(x) za predpokladu, že premenné X patria do nejakej oblasti G :

V závislosti od typu funkcie f(x) a oblastiach G a rozlišovať medzi sekciami matematického programovania: kvadratické programovanie, konvexné programovanie, celočíselné programovanie atď. Lineárne programovanie sa vyznačuje tým, že
a) funkcia f(x) je lineárna funkcia premenných x 1, x 2, ... x n
b) oblasť G určený systémom lineárne rovnosti alebo nerovnosti.

Prednášky z algebry a geometrie. 1. semester.

Prednáška 9. Základy vektorového priestoru.

Súhrn: sústava vektorov, lineárna kombinácia sústavy vektorov, koeficienty lineárnej kombinácie sústavy vektorov, báza na priamke, rovine a v priestore, rozmery vektorových priestorov na priamke, rovine a v priestore, rozklad vektor v báze, súradnice vektora vzhľadom na bázu, veta o rovnosti dva vektory, lineárne operácie s vektormi v súradnicovom zápise, ortonormálna trojica vektorov, pravá a ľavá trojica vektorov, ortonormálna báza, základná veta vektorovej algebry.

Kapitola 9

položka 1. Základ na čiare, na rovine a v priestore.

Definícia. Akákoľvek konečná množina vektorov sa nazýva systém vektorov.

Definícia. Výraz kde
sa nazýva lineárna kombinácia sústavy vektorov
a čísla
sa nazývajú koeficienty tejto lineárnej kombinácie.

Nech L, Р a S sú priamka, rovina a priestor bodov a
. Potom
sú vektorové priestory vektorov ako smerované segmenty na priamke L, na rovine P a v priestore S.

volá sa akýkoľvek nenulový vektor
, t.j. akýkoľvek nenulový vektor kolineárny s priamkou L:
A
.

Základný zápis
:
- základ
.

Definícia. Základ vektorového priestoru
je ľubovoľná usporiadaná dvojica nekolineárnych vektorov v priestore
.

, Kde
,
- základ
.

Definícia. Základ vektorového priestoru
je ľubovoľná usporiadaná trojica nekoplanárnych vektorov (to znamená, že neležia v rovnakej rovine) priestoru
.

- základ
.

Komentujte. Základ vektorového priestoru nemôže obsahovať nulový vektor: v priestore
podľa definície vo vesmíre
dva vektory budú kolineárne, ak je aspoň jeden z nich nula v priestore
tri vektory budú koplanárne, t.j. budú ležať v rovnakej rovine, ak aspoň jeden z troch vektorov bude nula.

položka 2. Rozklad vektora z hľadiska bázy.

Definícia. Nechaj je ľubovoľný vektor,
je ľubovoľný systém vektorov. Ak rovnosť

potom hovoria, že vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia daného systému vektorov. Ak je daný systém vektorov
je základom vektorového priestoru, potom sa rovnosť (1) nazýva rozklad vektora základ
. Lineárne kombinačné koeficienty
sa v tomto prípade nazývajú súradnice vektora vzhľadom na základ
.

Veta. (O expanzii vektora z hľadiska bázy.)

Akýkoľvek vektor vektorového priestoru je možné rozložiť vo svojom základe a navyše jedinečným spôsobom.

Dôkaz. 1) Nech L je ľubovoľná priamka (alebo os) a
- základ
. Vezmite ľubovoľný vektor
. Keďže oba vektory A kolineárne k rovnakej priamke L, potom
. Použime vetu o kolinearite dvoch vektorov. Pretože
, potom existuje (existuje) takéto číslo
, Čo
a tým sme získali rozklad vektora základ
vektorový priestor
.

Teraz dokážeme jedinečnosť takéhoto rozkladu. Predpokladajme opak. Nech existujú dva rozklady vektora základ
vektorový priestor
:

A
, Kde
. Potom
a pomocou distribučného zákona dostaneme:

Pretože
, potom z poslednej rovnosti vyplýva, že
, atď.

2) Teraz nech P je ľubovoľná rovina a
- základ
. Nechaj
ľubovoľný vektor tejto roviny. Odložme všetky tri vektory z ktoréhokoľvek bodu tejto roviny. Postavme 4 rovné čiary. Nakreslíme rovnú čiaru , na ktorom leží vektor , priamy
, na ktorom leží vektor . Cez koniec vektora nakreslite čiaru rovnobežnú s vektorom a priamka rovnobežná s vektorom . Tieto 4 čiary vyrežú rovnobežník. Pozri nižšie obr. 3. Podľa pravidla rovnobežníka
, A
,
,
- základ ,
- základ
.

Teraz, čo už bolo dokázané v prvej časti tohto dôkazu, existujú čísla
, Čo

A
. Odtiaľto dostaneme:

a možnosť rozšírenia z hľadiska základu je preukázaná.

Dokážme teraz jedinečnosť rozšírenia z hľadiska základu. Predpokladajme opak. Nech existujú dva rozklady vektora základ
vektorový priestor
:
A
. Dostávame rovnosť

Kde by mal
. Ak
, To
a odvtedy
, To
a koeficienty expanzie sú:
,
. Nechaj teraz
. Potom
, Kde
. Podľa vety o kolinearite dvoch vektorov to znamená, že
. Získali sme rozpor s podmienkou vety. teda
A
, atď.

3) Nechajte
- základ
nechaj to tak
ľubovoľný vektor. Urobme nasledujúce konštrukcie.

Odložte všetky tri základné vektory
a vektor z jedného bodu a postavte 6 rovín: rovinu, v ktorej ležia základné vektory
, lietadlo
a lietadlo
; ďalej cez koniec vektora nakreslite tri roviny rovnobežné s tromi práve skonštruovanými rovinami. Týchto 6 lietadiel vystrihne krabicu:

Podľa pravidla sčítania vektorov dostaneme rovnosť:

. (1)

Podľa konštrukcie
. Z vety o kolinearite dvoch vektorov teda vyplýva, že existuje číslo
, také že
. podobne,
A
, Kde
. Teraz, keď tieto rovnosti nahradíme (1), dostaneme:

a možnosť rozšírenia z hľadiska základu je preukázaná.

Dokážme jedinečnosť takéhoto rozkladu. Predpokladajme opak. Nech existujú dva rozklady vektora základ
:

A . Potom

Všimnite si, že podľa predpokladu, vektory
nekoplanárne, preto sú párovo nekolineárne.

Možné sú dva prípady:
alebo
.

a) Nechajte
, potom z rovnosti (3) vyplýva:

. (4)

Z rovnosti (4) vyplýva, že vektor rozšírené z hľadiska základu
, t.j. vektor leží vo vektorovej rovine
a teda vektory
koplanárne, čo je v rozpore s podmienkou.

b) Zostáva prípad
, t.j.
. Potom z rovnosti (3) získame resp

Pretože
je základom priestoru vektorov ležiacich v rovine a jedinečnosť expanzie v základe vektorov roviny sme už dokázali, z rovnosti (5) vyplýva, že
A
, atď.

Veta bola dokázaná.

Dôsledok.

1) Medzi množinou vektorov vektorového priestoru existuje zhoda jedna ku jednej
a množina reálnych čísel R.

2) Medzi množinou vektorov vektorového priestoru existuje zhoda jedna ku jednej
a karteziánskeho štvorca

3) Medzi množinou vektorov vektorového priestoru existuje zhoda jedna ku jednej
a karteziánska kocka
množiny reálnych čísel R.

Dôkaz. Dokážme tretie tvrdenie. Prvé dva sú dokázané podobne.

Vyberme a opravme v priestore
nejaký základ
a nastavte displej
podľa nasledujúceho pravidla:

tie. každý vektor je spojený s usporiadanou množinou jeho súradníc.

Keďže s pevným základom má každý vektor jedinečný súbor súradníc, korešpondencia daná pravidlom (6) je skutočne mapovaním.

Z dôkazu vety vyplýva, že rôzne vektory majú rôzne súradnice vzhľadom na rovnakú bázu, t.j. mapovanie (6) je injekcia.

Nechaj
ľubovoľná usporiadaná množina reálnych čísel.

Zvážte vektor
. Podľa konštrukcie má tento vektor súradnice
. Preto je mapovanie (6) domnienka.

Mapovanie, ktoré je injektívne aj surjektívne, je bijektívne, t.j. jedna ku jednej atď.

Dôsledok je dokázaný.

Veta. (O rovnosti dvoch vektorov.)

Dva vektory sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich súradnice vzhľadom na rovnakú bázu rovnaké.

Dôkaz okamžite vyplýva z predchádzajúceho záveru.

položka 3. Rozmer vektorového priestoru.

Definícia. Počet vektorov v základe vektorového priestoru sa nazýva jeho dimenzia.

Označenie:
je rozmer vektorového priestoru V.

V súlade s touto a predchádzajúcimi definíciami teda máme:

1)
je vektorový priestor vektorov priamky L.

- základ
,
,
,
– vektorový rozklad
základ
,
- vektorová súradnica vzhľadom na základ
.

2)
je vektorový priestor vektorov roviny Р.

- základ
,
,
,
– vektorový rozklad
základ
,
sú vektorové súradnice vzhľadom na základ
.

3)
je vektorový priestor vektorov v priestore bodov S.

- základ
,
,
– vektorový rozklad
základ
,
sú vektorové súradnice vzhľadom na základ
.

Komentujte. Ak
, To
a môžete si vybrať základ
priestor
Takže
- základ
A
- základ
. Potom
, A
, .

Teda ľubovoľný vektor priamky L, roviny P a priestoru S možno rozšíriť z hľadiska bázy
:

Označenie. Na základe vety o vektorovej rovnosti môžeme identifikovať akýkoľvek vektor s usporiadanou trojicou reálnych čísel a napísať:

To je možné len v prípade, že základ
pevné a nehrozí zamotanie.

Definícia. Záznam vektora vo forme usporiadanej trojice reálnych čísel sa nazýva súradnicový tvar vektorového záznamu:
.

položka 4. Lineárne operácie s vektormi v súradnicovom zápise.

Nechaj
- vesmírny základ
A
sú jeho dva ľubovoľné vektory. Nechaj
A
je zápis týchto vektorov v súradnicovom tvare. Nechaj ďalej,
je ľubovoľné reálne číslo. V týchto zápisoch platí nasledujúca veta.

Veta. (O lineárnych operáciách s vektormi v súradnicovom tvare.)

2)
.

Inými slovami, ak chcete pridať dva vektory, musíte pridať ich zodpovedajúce súradnice a ak chcete vynásobiť vektor číslom, musíte vynásobiť každú súradnicu tohto vektora daným číslom.

Dôkaz. Pretože podľa podmienky vety, potom pomocou axiómov vektorového priestoru, ktoré sú predmetom operácií sčítania vektorov a násobenia vektora číslom, získame:

To znamená .

Druhá rovnosť je dokázaná podobne.

Veta bola dokázaná.

položka 5. Ortogonálne vektory. Ortonormálny základ.

Definícia. Dva vektory sa nazývajú ortogonálne, ak sa uhol medzi nimi rovná pravému uhlu, t.j.
.

Označenie:
– vektory A ortogonálne.

Definícia. Vektorové trio
sa nazýva ortogonálny, ak sú tieto vektory navzájom párovo ortogonálne, t.j.
,
.

Definícia. Vektorové trio
sa nazýva ortonormálny, ak je ortogonálny a dĺžky všetkých vektorov sú rovné jednej:
.

Komentujte. Z definície vyplýva, že ortogonálna a teda ortonormálna trojica vektorov je nekoplanárna.

Definícia. Usporiadaná nekoplanárna trojica vektorov
, odložený z jedného bodu, sa nazýva pravý (pravý), ak sa pozoruje od konca tretieho vektora do roviny obsahujúcej prvé dva vektory A , najkratšia rotácia prvého vektora do druhého prebieha proti smeru hodinových ručičiek. V opačnom prípade sa trojica vektorov nazýva ľavá (orientovaná doľava).

Tu obr. 6 ukazuje pravú trojicu vektorov
. Nasledujúci obrázok 7 ukazuje ľavý triplet vektorov
:

Definícia. Základ
vektorový priestor
sa nazýva ortonormálne ak
ortonormálna trojica vektorov.

Označenie. V nasledujúcom texte použijeme správny ortonormálny základ
, pozri nasledujúci obrázok.

Vyjadrenie formy volal lineárna kombinácia vektorov A 1 , A 2 ,..., A n s koeficientmi λ 1, λ 2,...,λ n.

Určenie lineárnej závislosti sústavy vektorov

Vektorový systém A 1 , A 2 ,..., A n volal lineárne závislé, ak existuje nenulová množina čísel λ 1, λ 2,...,λ n, pod ktorým lineárna kombinácia vektorov λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n rovný nulovému vektoru, teda sústava rovníc: má nenulové riešenie.
Sada čísel λ 1, λ 2,...,λ n je nenulové, ak je aspoň jedno z čísel λ 1, λ 2,...,λ n odlišný od nuly.

Určenie lineárnej nezávislosti sústavy vektorov

Vektorový systém A 1 , A 2 ,..., A n volal lineárne nezávislé, ak lineárna kombinácia týchto vektorov λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sa rovná nulovému vektoru iba pre nulovú množinu čísel λ 1, λ 2,...,λ n , teda sústava rovníc: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ má unikátne nulové riešenie.

Príklad 29.1

Skontrolujte, či je systém vektorov lineárne závislý

Riešenie:

1. Zostavíme sústavu rovníc:

2. Riešime to Gaussovou metódou. Jordánske transformácie systému sú uvedené v tabuľke 29.1. Pri výpočte sa nezapisujú správne časti systému, pretože sa rovnajú nule a pri Jordanových transformáciách sa nemenia.

3. Z posledných troch riadkov tabuľky zapíšeme povolený systém ekvivalentný originálu systém:

4. Dostaneme všeobecné riešenie systému:

5. Po nastavení hodnoty voľnej premennej x 3 =1 podľa vlastného uváženia, dostaneme konkrétne nenulové riešenie X = (-3,2,1).

Odpoveď: Pri nenulovej množine čísel (-3,2,1) sa teda lineárna kombinácia vektorov rovná nulovému vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. teda sústava vektorov lineárne závislá.

Vlastnosti vektorových systémov

Nehnuteľnosť (1)
Ak je systém vektorov lineárne závislý, potom sa aspoň jeden z vektorov rozloží na zvyšok a naopak, ak sa aspoň jeden z vektorov systému rozloží na zvyšok, potom sa rozloží systém vektorov je lineárne závislý.

Nehnuteľnosť (2)
Ak je ľubovoľný podsystém vektorov lineárne závislý, potom je lineárne závislý celý systém.

Nehnuteľnosť (3)
Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, potom ktorýkoľvek z jeho podsystémov je lineárne nezávislý.

Nehnuteľnosť (4)
Akýkoľvek systém vektorov obsahujúci nulový vektor je lineárne závislý.

Nehnuteľnosť (5)
Systém m-rozmerných vektorov je vždy lineárne závislý, ak počet vektorov n je väčší ako ich rozmer (n>m)

Základ vektorového systému

Základ systému vektorov A 1 , A 2 ,..., A n taký podsystém B 1 , B 2 ,...,B r(každý z vektorov B1,B2,...,Br je jedným z vektorov A1,A2,...,An), ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:
1. B1,B2,...,B r lineárne nezávislý systém vektorov;
2. akýkoľvek vektor Aj systému A 1 , A 2 ,..., A n je lineárne vyjadrený pomocou vektorov B 1 ,B 2 ,...,B r

r je počet vektorov zahrnutých v základe.

Veta 29.1 Na jednotkovej báze sústavy vektorov.

Ak systém m-rozmerných vektorov obsahuje m rôznych jednotkových vektorov E 1 E 2 ,..., E m , potom tvoria základ systému.

Algoritmus na nájdenie základu systému vektorov

Na nájdenie základu sústavy vektorov A 1 ,A 2 ,...,A n je potrebné:

• Zostavte homogénnu sústavu rovníc zodpovedajúcu sústave vektorov A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• priniesť tento systém